Sí - Ejercicios de física y matemática
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Hernán Verdugo Fabiani<br />
Profesor <strong>de</strong> Matemática y Física<br />
www.hverdugo.cl<br />
Soluciones<br />
Energía mecánica y Caída Libre… y lanzamiento vertical hacia arriba<br />
Si no se dice otra cosa, no <strong>de</strong>be consi<strong>de</strong>rarse el efecto <strong>de</strong>l roce con el aire.<br />
1.- Un objeto <strong>de</strong> masa m cae libremente <strong>de</strong> cierta altura. ¿En qué lugar <strong>de</strong> la<br />
trayectoria será máxima la energía: cinética, potencial y total?, ¿y mínimas?<br />
La energía cinética es máxima en el momento <strong>de</strong> llegar al suelo, eso si la caída la<br />
hace sin tropiezos.<br />
La energía potencial es máxima en preciso instante antes <strong>de</strong> caer, si es que se<br />
consi<strong>de</strong>ra como referencia el nivel <strong>de</strong>l suelo. Si se escogiera otro nivel <strong>de</strong> referencia<br />
habría que examinar <strong>de</strong> nuevo la situación.<br />
La energía total mecánica, al no haber disipación <strong>de</strong> energía por efecto <strong>de</strong> roce, en<br />
todo momento tiene un mismo valor, que equivale a la suma <strong>de</strong> la energía cinética y<br />
potencial para un mismo instante o una misma posición.<br />
La energía cinética es mínima en el preciso instante antes <strong>de</strong> caer, <strong>de</strong>bido a que en<br />
ese momento su velocidad es nula.<br />
La energía potencial es mínima en el momento <strong>de</strong> llegar al suelo (h = 0 m), si acaso se<br />
escoge el suelo como nivel <strong>de</strong> referencia. Si se escoge otro nivel <strong>de</strong> referencia, habría<br />
que examinar nuevamente esta respuesta.<br />
2.- Se pue<strong>de</strong> afirmar que la energía potencial <strong>de</strong> un cuerpo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l sistema<br />
<strong>de</strong> referencia que se escoja, estableciendo un nivel para U = 0 J, ¿se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>cir,<br />
también, que la energía cinética <strong>de</strong> un cuerpo <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> referencia que<br />
se escoja? Si es afirmativa su respuesta, dé un ejemplo que lo muestre claramente.<br />
<strong>Sí</strong>, también <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> referencia que se escoja.<br />
Un ejemplo. Supongamos que Antonio y María van en un automóvil que se <strong>de</strong>splaza a<br />
razón <strong>de</strong> 20 m/s, respecto al suelo, en una carretera. Esto lo observa otra persona,<br />
Juan, que está en reposo en la orilla <strong>de</strong> la carretera. Entonces, Juan estima que la<br />
energía cinética <strong>de</strong> Antonio la <strong>de</strong>be calcular con la velocidad que lleva el automóvil,<br />
<strong>de</strong>bido a que él (Antonio) va moviéndose junto al vehículo, por lo tanto obtendrá cierto<br />
valor. Sin embargo, María observa a Antonio siempre a su lado, por lo tanto no lo verá<br />
moverse, ya que ambos van en el vehículo y, uno respecto al otro no se mueve, y<br />
tampoco respecto al vehículo, por lo tanto, para María, Antonio tiene una velocidad<br />
nula, y su energía cinética será nula.<br />
Si Antonio tuviera una masa <strong>de</strong> 70 kg.<br />
<br />
Energía cinética <strong>de</strong> Antonio respecto a Juan: K = (70 kg x (20 m/s) 2 / 2 = 14.000 J<br />
Energía cinética <strong>de</strong> Antonio respecto a María: K = (70 kg x (0 m/s) 2 / 2 = 0 J<br />
Y ambos tienen razón, la diferencia <strong>de</strong> los resultados se <strong>de</strong>be a que usan diferentes<br />
sistemas <strong>de</strong> referencia.<br />
3.- Si se consi<strong>de</strong>rara el efecto <strong>de</strong>l roce con el aire, en la caída <strong>de</strong> un cuerpo.<br />
¿Cómo se comportaría la energía mecánica a medida que cae? Refiérela a cada tipo<br />
<strong>de</strong> energía.<br />
A medida que cae la energía potencial va disminuyendo hasta hacerse nula en el<br />
momento <strong>de</strong> llegar al suelo o don<strong>de</strong> caiga.<br />
En relación a la energía cinética. Como el roce con el aire hace que la velocidad<br />
disminuya, la velocidad que va adquiriendo es menor que la que tendría, en un mismo<br />
instante, si cayera en caída libre (en este caso su velocidad no se vería afectada). El<br />
roce hace que la aceleración con que cae el objeto no sea exactamente la aceleración<br />
1
<strong>de</strong> gravedad. Bueno, si bien es cierto la energía cinética <strong>de</strong>l objeto aumenta a medida<br />
que cae, <strong>de</strong>bido al aumento <strong>de</strong> velocidad, no aumenta en la misma medida que si<br />
cayera libremente, por lo que hay una “perdida” <strong>de</strong> energía cinética.<br />
Esa pérdida <strong>de</strong> energía cinética en realidad es una transformación, hay una<br />
transformación a energía térmica. Tanto el objeto como el ambiente aumentan su<br />
temperatura, aunque probablemente sea difícil <strong>de</strong>tectar ese aumento.<br />
La energía total, entonces, también se ve disminuida, ya que en cada instante<br />
correspon<strong>de</strong> a la suma <strong>de</strong> las energías cinética y potencial. Y como la cinética va<br />
“perdiendo” algo a medida que cae (en realidad va transformándola a energía térmica),<br />
entonces la total también disminuye en la misma cantidad.<br />
Hay que consi<strong>de</strong>rar incluso que podría ocurrir que por efecto <strong>de</strong>l roce, o fricción, con el<br />
aire, el objeto alcance un momento en que su velocidad con que sigue cayendo es<br />
uniforme, ya no aumenta más. Esto ocurre cuando la fuerza <strong>de</strong> roce que afecta al<br />
objeto se equipara con su peso. En este caso, a partir <strong>de</strong>l momento en que ocurre eso,<br />
la energía cinética ya no disminuiría más.<br />
4.- Si se <strong>de</strong>ja caer una pelota <strong>de</strong>s<strong>de</strong> cierta altura. Entonces ocurrirá que empezará<br />
a dar botes en el lugar que caiga y poco a poco irá alcanzando menos altura y<br />
finalmente se <strong>de</strong>tendrá. ¿Qué ocurre con la energía mecánica <strong>de</strong> la pelota en este<br />
caso?<br />
Parte <strong>de</strong> la energía cinética, a medida que el objeto cae y/o sube, irá transformándose<br />
en energía térmica. Y, a<strong>de</strong>más, cada vez que impacta en el suelo parte <strong>de</strong> su energía<br />
mecánica es transferida a la Tierra. Este proceso poco a poco irá provocando una<br />
disminución <strong>de</strong> la energía mecánica <strong>de</strong> la pelota hasta que al final quedará en reposo<br />
sobre el lugar don<strong>de</strong> está dando botes.<br />
La pelota, y cualquier otro objeto, no es un cuerpo perfectamente elástico, por lo tanto<br />
es imposible que no pierda energía al colisionar con el suelo.<br />
5.- Un globo aerostático está ascendiendo con cierta velocidad. Si mientras sube<br />
se suelta un objeto y este cae. ¿En qué lugar <strong>de</strong> la trayectoria, respecto al suelo, la<br />
energía potencial <strong>de</strong>l objeto será máxima?, ¿cuál es esa energía?<br />
Al momento <strong>de</strong> empezar a caer el<br />
objeto, éste tiene la altura en que se<br />
encuentra el globo, pero como el<br />
globo está ascendiendo, el objeto<br />
también está ascendiendo.<br />
Por lo tanto el objeto alcanzará una<br />
altura superior a aquella en que se<br />
encontraba al momento <strong>de</strong> ser<br />
soltada <strong>de</strong>l globo, entonces la<br />
energía potencial máxima la tendrá<br />
en esa altura que alcance antes <strong>de</strong><br />
empezar a caer.<br />
En cuánto a la energía potencial que<br />
tendría en ese lugar, tendríamos lo<br />
siguiente:<br />
Hernán Verdugo Fabiani<br />
Profesor <strong>de</strong> Matemática y Física<br />
www.hverdugo.cl<br />
<br />
v<br />
Altura al momento<br />
<strong>de</strong> soltarse <strong>de</strong>l globo<br />
Lugar don<strong>de</strong> tendrá la<br />
energía potencial máxima<br />
Altura que<br />
alcanza<br />
antes <strong>de</strong><br />
empezar a<br />
caer<br />
Des<strong>de</strong> la posición inicial <strong>de</strong>l objeto<br />
trayectoria<br />
sube una distancia y, que se pue<strong>de</strong><br />
obtener <strong>de</strong> vf 2 = vi 2 + 2gy, y como vf<br />
es 0 m/s en la parte más alta <strong>de</strong>l recorrido, se tendrá que y = - vi 2 /2g (con g = - 9,8<br />
m/s 2 ).<br />
Y, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el suelo, la altura máxima que alcanzará el objeto será:<br />
H = h + y<br />
2
Hernán Verdugo Fabiani<br />
Profesor <strong>de</strong> Matemática y Física<br />
www.hverdugo.cl<br />
H = h –vi 2 /2g<br />
Por lo tanto, la energía potencial, en la parte más alta <strong>de</strong> la trayectoria <strong>de</strong>l objeto, es:<br />
U = mgH<br />
U = mg(h – vi 2 /2g)<br />
6.- Des<strong>de</strong> lo alto <strong>de</strong> un puente, que tiene 8 metros hasta el agua que circula bajo<br />
él, se <strong>de</strong>ja caer una piedra <strong>de</strong> 2 kg. Determine la energía potencial, cinética y total: a)<br />
antes <strong>de</strong> que la piedra caiga, b) al momento <strong>de</strong> impactar en el agua, c) cuándo aún le<br />
faltan 3 m por llegar al agua.<br />
Datos:<br />
m = 2 kg<br />
a) ha = 8 m; va = 0 m/s<br />
Ua = mgha = 2 kg x 9,8 m/s 2 x 8 m = 156,8 J<br />
Ka = mv 2 /2 = 2 kg x (0 m/s) 2 / 2 = 0 J<br />
Ea = Ka + Ua = 0 J + 156,8 J = 156, 8 J<br />
b) hb = 0 m; vb = ?; yb = 8 m<br />
Para <strong>de</strong>terminar la velocidad que tiene la piedra al momento <strong>de</strong> impactar en el<br />
agua, hay que consi<strong>de</strong>rar que cae en “caída libre”, por lo tanto, con la ecuación <strong>de</strong><br />
caída libre vf 2 = 2gy (con y como el camino recorrido en la caída), y consi<strong>de</strong>rando vb =<br />
vf en este tramo, se tendrá:<br />
vb 2 = 2 x 9,8 m/s 2 x 8 m = 156,8 m 2 /s 2 (no se extraerá la raíz ya que se necesita<br />
la velocidad al cuadrado y eso fue lo que se calculó).<br />
Ub = mghb = 2 kg x 9,8 m/s 2 x 0 m = 0 J<br />
Kb = mvb 2 /2 = 2 kg x 156,8 m 2 /s 2 / 2 = 156,8 J<br />
Eb = Kb + Ub = 156,8 J + 0 J = 156,8 J<br />
Nota, sabiendo que la energía mecánica se conserva, podríamos haber usado la<br />
relación Eb = Ea para haber calculado la energía cinética, sin necesidad <strong>de</strong> haber<br />
calculado la velocidad al momento <strong>de</strong> llegar al suelo.<br />
Eb = Ea<br />
Kb + Ub = 156,8 J<br />
Kb = 156,8 J – Ub = 156,8 J – 0 J = 156,8 J<br />
c) hc = 3 m; vc = ?, yc = 5 m<br />
vc 2 = 2gyc = 2 x 9,8 m/s 2 x 5 m = 98 m 2 /s 2<br />
Uc = mghc = 2 kg x 9,8 m/s 2 x 3 m = 58,8 J<br />
Kc = mvc 2 /2 = 2 kg x 98 m 2 /s 2 / 2 = 98 J<br />
Ec = Kc + Uc = 98 J + 58,8 J = 156,8 J<br />
7.- Un globo aerostático está en reposo a una altura <strong>de</strong> 120 m <strong>de</strong>l suelo. Un<br />
pasajero <strong>de</strong>l globo <strong>de</strong>ja caer un saco con arena, que sirve <strong>de</strong> contrapeso, <strong>de</strong> 20 kg.<br />
Determine la energía cinética, potencial y total <strong>de</strong>l saco, cuando: a) aún no cae, b) está<br />
llegando al suelo, c) le faltan 40 m por llegar al suelo, d) lleva una rapi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> 20 m/s.<br />
Datos:<br />
m = 20 kg<br />
<br />
a) ha = 120 m; va = 0 m/s<br />
Ua = mgha = 20 kg x 9,8 m/s 2 x 120 m = 23.520 J<br />
Ka = mv 2 /2 = 2 kg x (0 m/s) 2 / 2 = 0 J<br />
Ea = Ka + Ua = 0 J + 23.520 J = 23.520 J<br />
3
) hb = 0 m; vb = ?; yb = 120 m<br />
vb 2 = 2 x 9,8 m/s 2 x 120 m = 2.352 m 2 /s 2<br />
Ub = mghb = 2 kg x 9,8 m/s 2 x 0 m = 0 J<br />
Kb = mvb 2 /2 = 20 kg x 2.352 m 2 /s 2 / 2 = 23.520 J<br />
Eb = Kb + Ub = 23.520 J + 0 J = 23.520 J<br />
c) hc = 40 m; vc = ?, yc = 80 m<br />
vc 2 = 2gyc = 2 x 9,8 m/s 2 x 80 m = 1.568 m 2 /s 2<br />
Uc = mghc = 20 kg x 9,8 m/s 2 x 40 m = 7.840 J<br />
Kc = mvc 2 /2 = 20 kg x 1.568 m 2 /s 2 / 2 = 15.680 J<br />
Ec = Kc + Uc = 15.680 J + 7.840 J = 23.520 J<br />
d) hd = ?; vd = 20 m/s; yd = ?<br />
vc 2 = 2gyd yd = vc 2 /2g = (20 m/s) 2 / (2 x 9,8 m/s 2 ) = 20,4 m<br />
hd + yd = 120 m hd = 120 m – 20,4 m = 99,6 m (se aproximó)<br />
Ud = mghd = 20 kg x 9,8 m/s 2 x 99,6 m = 19.522 J = 19.520 J (se aproxima)<br />
Kd = mvd 2 /2 = 20 kg x (20 m/s) 2 / 2 = 4.000 J<br />
Ed = Kd + Ud = 19.520 J + 4.000 J = 23.520 J<br />
8.- Un jugador <strong>de</strong> fútbol patéa una pelota, <strong>de</strong> 400 g <strong>de</strong> masa, y la arroja<br />
verticalmente hacia arriba con una velocidad <strong>de</strong> 16 m/s. Determine, con conceptos <strong>de</strong><br />
energía mecánica, la altura que alcanza.<br />
Datos:<br />
m = 0,4 kg<br />
vi = vab = 16 m/s hacia arriba<br />
habajo = hab = 0 m<br />
harriba = har = ?<br />
En la parte más alta, la velocidad es vf = var = 0 m/s<br />
Entonces, como hay conservación <strong>de</strong> la energía mecánica:<br />
Hernán Verdugo Fabiani<br />
Profesor <strong>de</strong> Matemática y Física<br />
www.hverdugo.cl<br />
Earriba = Eabajo<br />
Kar + Uar = Kab + Uab<br />
mvar 2 /2 + mghar = mvab 2 /2 + mghab<br />
consi<strong>de</strong>rando que var = 0 m/s y que hab = 0 m<br />
mghar = mvab 2 /2<br />
har = vab 2 /2g<br />
har = (16 m/s) 2 / (2 x 9,8 m/s 2 )<br />
harriba = 13,06 m<br />
Entonces, la pelota alcanza una altura <strong>de</strong> 13,06 m.<br />
9.- Un arquero lanza, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo, verticalmente hacia arriba una flecha <strong>de</strong> 50<br />
g. Si la flecha alcanza una altura <strong>de</strong> 50 m. Determine la energía cinética con que fue<br />
lanzada.<br />
Es similar al problema anterior, en cuanto al razonamiento.<br />
Datos:<br />
m = 0,05 kg<br />
har = 50 m<br />
var = 0 m/s<br />
hab = 0 m<br />
<br />
4
Hernán Verdugo Fabiani<br />
Profesor <strong>de</strong> Matemática y Física<br />
www.hverdugo.cl<br />
Earriba = Eabajo<br />
Kar + Uar = Kab + Uab<br />
mvar 2 /2 + mghar = Kab + mghab<br />
mghar = Kab<br />
Kab = 0,05 kg x 9,8 m/s 2 x 50 m = 24,5 J<br />
Entonces, la flecha es lanzada con una energía cinética <strong>de</strong> 24,5 J.<br />
10.- Una persona se ducha y sin darse cuenta <strong>de</strong>ja goteando el grifo que está a 2 m<br />
<strong>de</strong> altura. Caen gotas a intervalos <strong>de</strong> 0,16 s. Si cada gota tiene una masa 0,02 g,<br />
<strong>de</strong>terminar la energía cinética <strong>de</strong> cada gota que cae, en el momento que la primera en<br />
caer está llegando al suelo.<br />
Solución:<br />
Debemos conocer cuántas gotas salen <strong>de</strong>l grifo, y qué rapi<strong>de</strong>z tiene cada una, en el<br />
momento que la primera está llegando al suelo.<br />
Primero se <strong>de</strong>terminará el tiempo que tarda la primera gota en llegar al suelo, con ello<br />
se pue<strong>de</strong> saber cuántas gotas salen <strong>de</strong>l grifo en ese tiempo.<br />
Datos:<br />
y = 2 m<br />
y = gt 2 2y<br />
2x2m<br />
/2 t = = = 0,<br />
64s<br />
(el tiempo está aproximado)<br />
g m<br />
9,<br />
8 2<br />
s<br />
Como cada gota cae en un intervalo <strong>de</strong> 0,16 s con la anterior, se tiene que han caído<br />
0,64 s / 0,16 s = 4 gotas.<br />
Y, or<strong>de</strong>nándolas a medida que van saliendo <strong>de</strong>l grifo, se tendrá:<br />
Primera gota: t1 = 0,64 s<br />
Segunda gota: t2 = t1 – 0,16 s = 0,64 – 0,16 s = 0,48 s<br />
Tercera gota: t3 = t2 – 0,16 s = 0,48 s – 0,16 s = 0,32 s<br />
Cuarta gota: t4 = t3 – 0,16 s = 0,32 s – 0,16 s = 0,16 s<br />
La quinta gota saldría tendría un tiempo <strong>de</strong> caída <strong>de</strong> t4 – 0,16 s = 0,16 s – 0,16 s = 0 s,<br />
es <strong>de</strong>cir, aún no sale <strong>de</strong>l grifo, está en el instante previo a la caída.<br />
Como cada gota cae libremente, su velocidad se calcula con la expresión vf = gt y la<br />
energía cinética con K = mvf 2 /2, a<strong>de</strong>más se usa m = 0,00002 kg<br />
El cuadro siguiente muestra las respuestas finales al problema:<br />
Gota t (s) v (m/s) K (J)<br />
Primera 0,64 6,272 3,93x10 -4<br />
Segunda 0,48 4,704 2,21x10 -4<br />
Tercera 0,32 3,136 0,98x10 -4<br />
Cuarta 0,16 1,568 0,25x10 -4<br />
Quinta 0 0 0<br />
11.- Una pelota “saltarina”, <strong>de</strong> 1 kg se suelta <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 2 m <strong>de</strong> altura y cae en una<br />
superficie plana y lisa. En el rebote con la superficie disipa el 10% <strong>de</strong> su energía<br />
mecánica, y así ocurre en los <strong>de</strong>más botes que da. Determine a qué altura llega la<br />
pelota luego <strong>de</strong>l cuarto rebote.<br />
Solución:<br />
Datos:<br />
<br />
5
m = 1 kg<br />
h = 2 m<br />
Inicialmente tiene una energía potencial que es Ui = mgh. Al llegar abajo, al suelo, su<br />
energía potencial es 0 J, y toda su energía potencial que tenía antes <strong>de</strong> caer se ha<br />
convertido en energía cinética, por lo tanto, si no hay pérdida <strong>de</strong> energía inicia el<br />
movimiento luego <strong>de</strong>l rebote con la energía con que llega al suelo, es <strong>de</strong>cir, con Ui.<br />
Pero, como en este caso la energía total sufre una disminución <strong>de</strong>l 10% en cada bote,<br />
el movimiento <strong>de</strong> subida, luego <strong>de</strong> cada bote, lo empieza con una energía que<br />
equivale al 90% <strong>de</strong> la energía con que empezó a caer en forma previa.<br />
En el primer rebote disminuye su energía en un 10%, por lo tanto queda con el 90%<br />
(0,9) <strong>de</strong> la inicial, es <strong>de</strong>cir, queda con U1 = 0,9Ui.<br />
Al dar el segundo bote disminuye su energía anterior en un 10%, por lo tanto queda<br />
con el 90% (0,9) <strong>de</strong> la anterior, es <strong>de</strong>cir, queda con U2 = 0,9U1 = 0,9 x 0,9 Ui = 0,81 Ui.<br />
Al dar el tercer bote disminuye su energía anterior en un 10%, por lo tanto queda con<br />
el 90% (0,9) <strong>de</strong> la anterior, es <strong>de</strong>cir, queda con U3 = 0,9U2 = 0,9 x 0,81 Ui = 0,729 Ui.<br />
Y, al dar el cuarto bote disminuye su energía anterior en un 10%, por lo tanto queda<br />
con el 90% (0,9) <strong>de</strong> la anterior, es <strong>de</strong>cir, queda con U4 = 0,9U3 = 0,9 x 0,729 Ui =<br />
0,6561 Ui.<br />
Entonces, al empezar a subir luego <strong>de</strong>l cuarto bote, tiene una energía cinética que<br />
equivale a 0,6561 Ui.<br />
Por lo tanto, la energía potencial que alcanza <strong>de</strong>spués <strong>de</strong>l cuarto bote, sería:<br />
Hernán Verdugo Fabiani<br />
Profesor <strong>de</strong> Matemática y Física<br />
www.hverdugo.cl<br />
U = 0,6561 Ui<br />
mgh6 = 0,6561 mghi<br />
h6 = 0,6561 hi<br />
h6 = 0,6561 x 2 m<br />
h6 = 1,3122 m<br />
Otro procedimiento con que podría resolverse el problema sería ir <strong>de</strong>terminando bote a<br />
bote la altura que alcanza, cuidando que cada vez que rebota, la pelota inicia el<br />
movimiento <strong>de</strong> subida con el 90% <strong>de</strong> la energía con que había llegado al suelo.<br />
12.- Un durazno tiene frutos que en promedio tienen masas <strong>de</strong> 150 g. Debido a que<br />
uno <strong>de</strong> ellos estaba muy maduro, cae hasta el suelo situado a 1,8 m. Determine la<br />
energía cinética al momento <strong>de</strong> llegar al suelo.<br />
Datos:<br />
m = 0,15 kg<br />
h = 1,8 m<br />
Recor<strong>de</strong>mos que en la parte más alta la velocidad <strong>de</strong> los duraznos, antes <strong>de</strong> caer, es<br />
nula, por lo tanto, en la parte más alta la energía total <strong>de</strong>l durazno es: Ear = Kar + Uar =<br />
Uar, y al llegar al suelo, la altura es nula y la velocidad es máxima, entonces la energía<br />
total al llegar al suelo, es: Eab = Kab + Uab = Kab.<br />
Entonces:<br />
<br />
Eab = Ear<br />
Kab = Uar<br />
Kab = mgh<br />
Kab = 0,15 x 9,8 m/s 2 x 1,8 m<br />
Kab = 2,646 J<br />
13.- Un niño está jugando al famoso juego <strong>de</strong> la “payaya” y lanza, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el suelo,<br />
hacia arriba una pequeña piedra <strong>de</strong> 5 g <strong>de</strong> masa. La piedra alcanza una altura <strong>de</strong> 30<br />
cm sobre el suelo. Determine la energía cinética, potencial y total que tiene la piedra:<br />
a) al momento <strong>de</strong> ser arrojada, b) al llegar a la parte más alta.<br />
6
Datos:<br />
m = 0,005 kg<br />
a) ha = 0 m; va = ?<br />
Si la piedra alcanza una altura <strong>de</strong> 0,3 m, entonces se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar la<br />
rapi<strong>de</strong>z con que fue lanzada con la ecuación: vf 2 = vi 2 + 2gy, don<strong>de</strong> vf = 0 m/s, por<br />
llegar a la parte más alta. Entonces,<br />
vi 2 = va 2 = - 2gy = - 2 x (- 9,8 m/s 2 ) x 0,3 m = 5,88 m 2 /s 2 (se ha consi<strong>de</strong>rado<br />
negativa la aceleración <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong>bido a que <strong>de</strong>sacelera la velocidad <strong>de</strong> la<br />
piedra).<br />
Ya que se ha <strong>de</strong>terminado vi 2 no se extraerá raíz ya que precisamente se usará<br />
ese valor para <strong>de</strong>terminar la energía cinética.<br />
Ua = mgha = 0,005 kg x 9,8 m/s 2 x 0 m = 0 J<br />
Ka = mva 2 /2 = 0,005 kg x 5,88 m 2 /s 2 / 2 = 0,0147 J<br />
Ea = Ka + Ua = 0,0147 J + 0 J = 0,0147 J<br />
b) hb = 0,3 m; vb = 0 m/s<br />
Ub = 0,005 kg x 9,8 m/s 2 x 0,3 m = 0,0147 J<br />
Kb = mvb 2 /2 = 0,005 kg x 0 m 2 /s 2 / 2 = 0 J<br />
Eb = Kb + Ub = 0 J + 0,0147 J = 0,0147 J<br />
14.- Un mono, <strong>de</strong> unos 10 kg <strong>de</strong> masa, se <strong>de</strong>ja caer <strong>de</strong> una rama situada a cierta<br />
altura. Si llega al suelo con una energía cinética <strong>de</strong> 720 J. Determine: a) la velocidad<br />
con que llega al suelo, b) la altura <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la que cae.<br />
Datos:<br />
m = 10 kg<br />
K = 720 J<br />
a) v = ?<br />
Abajo, en el suelo, la altura es 0 m, por lo tanto su energía es solo energía<br />
cinética (respecto al suelo), por lo tanto:<br />
a) h = ?<br />
K = mv 2 /2 = 720 J<br />
v =<br />
2K<br />
m<br />
=<br />
2x720J<br />
10kg<br />
m<br />
= 12<br />
s<br />
En la altura máxima la velocidad es cero, por lo tanto, toda su energía es<br />
potencial, entonces:<br />
U = 720 J<br />
mgh = 720 J<br />
h = 720 J / mg = 720 J / (10 kg x 9,8 m/s 2 ) = 7,35 m<br />
15.- Un objeto <strong>de</strong> 2 kg cae <strong>de</strong>s<strong>de</strong> cierta altura y tarda 4 s en llegar al suelo.<br />
Determine la energía cinética, potencial y total en cada segundo <strong>de</strong> caída (<strong>de</strong>s<strong>de</strong> 0 a 4<br />
s).<br />
Datos:<br />
m = 2 kg<br />
Hernán Verdugo Fabiani<br />
Profesor <strong>de</strong> Matemática y Física<br />
www.hverdugo.cl<br />
<br />
7
Primero se <strong>de</strong>termina la velocidad que tiene al llegar al suelo, a los 4 s, en ese lugar la<br />
energía potencial es nula, <strong>de</strong>bido a que ahí h = 0 m, entonces, la energía total, en todo<br />
momento, es equivalente a la energía cinética al llegar al suelo.<br />
La velocidad en cada instante se <strong>de</strong>termina con vf = gt y la energía potencial se<br />
<strong>de</strong>termina con U = E – K. El siguiente cuadro muestra los resultados.<br />
t (s) v (m/s) K (J) U (J) E (J)<br />
4 39,2 1.536,64 0 1536,64<br />
3 29,4 864,36 671,68 1536,64<br />
2 19,8 392,04 1.144 1536,64<br />
1 9,8 96,04 1.440 1536,64<br />
0 0 0 1536,64 1536,64<br />
16.- Un joven lanza, verticalmente hacia arriba, una pelota <strong>de</strong> tenis, <strong>de</strong> 60 g. Si la<br />
pelota tarda 4 s en retornar al punto <strong>de</strong> partida. Determine la energía cinética,<br />
potencial y total al momento: a) <strong>de</strong> ser lanzada, b) <strong>de</strong> llegar al punto más alto.<br />
Datos:<br />
m = 0,06 kg<br />
El tiempo <strong>de</strong> subida y bajada es 4 s, por lo tanto, el tiempo en subir es solo 2 s. Hay<br />
que recordar que el tiempo que tarda un objeto en subir es el mismo tiempo que tarda<br />
en bajar, consi<strong>de</strong>rando que hay ausencia <strong>de</strong> roce.<br />
Por lo tanto, la velocidad con que es lanzada la pelota la po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>terminar con la<br />
ecuación vf = vi + gt, con vf = 0 m/s y g = - 9,8 m/s 2 .<br />
a) ha = 0 m; vi = ?<br />
vi = vf – gt = 0 m/s – (-9,8 m/s 2 ) x 2 s = 19,6 m/s<br />
Ua = mgha = 0,06 kg x 9,8 m/s 2 x 0 m = 0 J<br />
Ka = mvi 2 /2 = 0,06 kg x (19,6 m/s) 2 / 2 = 11,525 J<br />
Ea = Ka + Ua = 11,525 J + 0 J = 11,525 J<br />
b) hb = ? vf = 0 m/s<br />
La altura máxima se pue<strong>de</strong> calcular con la ecuación vf 2 = vi 2 + 2gy, con vf = 0<br />
m/s, g = - 9,8 m/s 2 . Con hb = y.<br />
y = (vf 2 – vi 2 )/2g = (0 m 2 /s 2 – (19,6 m/s) 2 ) / (2 x (– 9,8 m/s 2 )) = 19,6 m<br />
Ub = mghb = 0,06 kg x 9,8 m/s 2 x 19,6 m = 11,525 J<br />
Kb = mvb 2 /2 = 0,06 kg x (0 m/s) 2 / 2 = 0 J<br />
Eb = Kb + Ub = 0 J + 11,525 J = 11,525 J<br />
17.- Un niño <strong>de</strong> 40 kg, <strong>de</strong> 1,2 m <strong>de</strong> altura, está en el tercer piso <strong>de</strong> un edificio. Si<br />
cada piso tiene 3 m <strong>de</strong> altura. Determine la energía potencial <strong>de</strong>l niño respecto al suelo<br />
<strong>de</strong>l: a) primer piso, b) segundo piso, c) tercer piso, d) cuarto piso.<br />
Datos:<br />
m = 40 kg<br />
a) Nótese que cuando el niño está en el piso <strong>de</strong>l tercer piso, está parado a 6 m <strong>de</strong><br />
altura. En estricto rigor <strong>de</strong>beríamos consi<strong>de</strong>rar la altura <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el piso <strong>de</strong>l primer piso<br />
hasta el centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong>l niño, y si suponemos que su centro <strong>de</strong> gravedad está<br />
a la mitad <strong>de</strong> su altura, a 0,6 m arriba <strong>de</strong>s<strong>de</strong> don<strong>de</strong> está parado, entonces, hay que<br />
fijarse en ese <strong>de</strong>talle a la hora <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar la altura respecto al nivel <strong>de</strong> referencia<br />
que se escoja.<br />
h1 = 6,6 m<br />
Hernán Verdugo Fabiani<br />
Profesor <strong>de</strong> Matemática y Física<br />
www.hverdugo.cl<br />
<br />
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U1 = mgh1 = 40 kg x 9,8 m/s 2 x 6,6 m = 2.587,2 J<br />
b) h2 = 3,6 m<br />
U2 = mgh2 = 40 kg x 9,8 m/s 2 x 3,6 m = 1.411,2 J<br />
c) h3 = 0,6 m<br />
U3 = mgh3 = 40 kg x 9,8 m/s 2 x 0,6 m = 235,2 J<br />
d) h4 = - 2,4 m<br />
U4 = mgh4 = 40 kg x 9,8 m/s 2 x – 2,4 m = - 940,8 J<br />
18.- Un globo ascien<strong>de</strong> a una velocidad constante <strong>de</strong> 5 m/s. En un momento que se<br />
encuentra a 100 m <strong>de</strong> altura, respecto al suelo, se <strong>de</strong>ja caer, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el globo, un objeto<br />
<strong>de</strong> 5 kg. Determine: a) la energía potencial máxima que adquiere el objeto, respecto al<br />
suelo, b) la energía cinética que tiene el objeto al llegar al suelo.<br />
Datos:<br />
vi = 5 m/s<br />
hi = 100 m<br />
m = 5 kg<br />
Aquí hay que consi<strong>de</strong>rar que el objeto al momento <strong>de</strong> ser soltado se mueve hacia<br />
arriba con el globo, por lo tanto seguirá subiendo hasta que su velocidad llegue a 0<br />
m/s, luego caerá libremente.<br />
Entonces, primero se <strong>de</strong>termina a qué altura llega, respecto a la posición inicial <strong>de</strong>l<br />
globo, con la ecuación vf 2 = vi 2 + 2gy<br />
y = (vf 2 – vi 2 )/2g = (0 m 2 /s 2 – (5 m/s) 2 ) / (2 x (– 9,8 m/s 2 )) = 1,28 m<br />
Por lo tanto, la altura máxima que alcanza el objeto, respecto al suelo, es h = 100 m +<br />
y<br />
h = 100 + 1,28 m = 101,28 m<br />
a) U = mgh = 5 kg x 9,8 m/s 2 x 101,28 m = 4.962,72 J<br />
b) La energía cinética al llegar al suelo, ha <strong>de</strong> ser la misma potencial que tenía en<br />
la altura máxima.<br />
Pero, si se <strong>de</strong>termina la velocidad con que llega al suelo, se tendrá:<br />
Hernán Verdugo Fabiani<br />
Profesor <strong>de</strong> Matemática y Física<br />
www.hverdugo.cl<br />
<br />
vf 2 = 2gy = 2 x 9,8 m/s 2 x 101,28 m = 1.985,088 m 2 /s 2<br />
K = mv 2 /2 = 5 kg x 1.985,088 m 2 /s 2 / 2 = 4.962,72 J<br />
Que es, como se esperaba, la misma potencial en la altura máxima.<br />
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