2. - McGraw-Hill

T’atreveixes
amb les mates?
7
Quadern d’Activitats
Segon Cicle • ESO
José Luis Uriondo González
Silvia Pérez Mateo
Ángela Vallejo Martín-Albo
BARCELONA • MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÈXIC
NOVA YORK • PANAMÀ • SAN JUAN • SANTA FE DE BOGOTÀ • SANTIAGO • SAO PAULO
AUCKLAND • HAMBURG • LONDRES • MILÀ • MONT-REAL • NOVA DELHI • PARÍS
SAN FRANCISCO • SYDNEY • SINGAPUR • SAINT LOUIS • TÒQUIO • TORONTO

T’ atreveixes amb les mates? Estem segurs que sí. Aprendre matemàtiques pot ser una aventura
interessant i amena. Per això t’oferim aquest quadern d’activitats amb exercicis i problemes
complementaris als que realitzes a classe. Així podràs consolidar la comprensió dels continguts que has estudiat i
resoldre els dubtes que se’ns plantegen a tots al llarg del curs.
T’atreveixes amb les mates? 7 és un quadern dividit en cinc unitats temàtiques: «Nombres racionals», «Polinomis»,
«Equacions de primer i segon grau», «Sistemes d’equacions lineals» i «Successions i progressions». Cada unitat
comença amb un apartat anomenat Fes un repàs, en el qual t’oferim una síntesi dels continguts teòrics que
necessites entendre per fer els exercicis.
La resta és cosa teva. No oblidis llegir detingudament els enunciats dels exercicis per estar ben segur del que es
pregunta abans de posar-te mans a l’obra. Sigues ordenat i net; confia en tu mateix i... l’èxit està garantit!
Í
ndex
1. Nombres racionals
• Fraccions i nombres decimals ................................................ 7
• Operacions . ............................................................ 10
• Aproximacions ........................................................... 12
2. Polinomis
• Expressions algèbriques ..................................................... 18
• Monomis. Operacions . ..................................................... 20
• Polinomis. Operacions ..................................................... 23
• Mètode de Ruffini ........................................................ 27
3. Equacions de primer i segon grau
• Equacions de primer grau ................................................... 31
• Equacions de segon grau .................................................... 34
• Aplicacions ............................................................ 37
4. Sistemes d’equacions lineals
• Sistemes ............................................................... 43
• Mètodes de resolució ...................................................... 44
• Problemes .............................................................. 47
5. Successions i progressions
• Successions ............................................................. 53
• Tipus de successions. Fites. .................................................. 56
• Progressions aritmètiques ................................................... 58
• Progressions geomètriques ................................................... 61

1
Exemple:
Nombres racionals
2
5
2
5
de 20
2 · 20
5
8
2
5
2
5
2
5
40
40 %
100
2 : 5 0,4
Exemple:
3
4
6
8
0,75 0,75
3 · 8 6 · 4
2
3
5
6
5
6
són boles negres
2
,
4
,
6
,
8
,
10
{ …}
3 6 9 12 15
4
>
7
4
7
35
42
24
42
11
42
>0
Fes un repàs
➔ Fraccions i nombres decimals
• Siguin a i b nombres enters amb b / 0.
a
La fracció és un nombre que expressa:
b
que es prenen a parts de les b parts iguals en què s’ha dividit la unitat.
un operador.
una raó. Si el denominador és 100, s’anomena tant per cent.
el quocient de a entre b.
• Expressió decimal d’una fracció és el nombre decimal que s’obté efectuant
el quocient.
• Fracció generatriu d’un nombre decimal és la fracció l’expressió decimal
de la qual coincideix amb el nombre decimal. Observa la taula
següent:
Nombre decimal exacte Nombre decimal periòdic
Pur Mixt
2,37
237
100
0,064 8 64
1000 125
z 4, 3
10z 43, 3
10z z 43, 3 4, 3 39
9z 39 ➔ z 13 39
9 3
• Fraccions equivalents
a c
Dos fraccions i són equivalents si expressen el mateix nombre. Si
b d
dues fraccions són equivalents:
tenen la mateixa expressió decimal.
a · d b · c
• Fracció irreducible
És la fracció el denominador i el numerador de la qual són nombres primers
entre ells.
➔ Nombres racionals
z 1,5 7
10 · z 15, 7
100 · z 157, 7
100z 10z 157, 7 15, 7 142
90z 142 ➔ z 71
142
90
45
Totes les fraccions equivalents entre elles expressen un mateix nombre
que s’anomena nombre racional.
El conjunt de tots els nombres racionals es representa amb la lletra .
• Ordenació de nombres racionals
Si tenen diferent signe, el signe positiu sempre és major.
Si tenen el mateix signe: p > q si p q > 0.
5

6
2
5
Suma i resta
Multiplicació
Divisió
Jerarquia de
les operacions
7,324 7,32
9,365 9,37
3,47 3,5
• Representació en la recta de nombres decimals
Menor que la unitat Major que la unitat
5 parts iguals
semirecta
0 1 2
s’agafen 2 parts
2
5
• Producte de fraccions
• Potència d’una fracció
11
4
• Operacions amb nombres racionals
➔ Aproximacions
2 3
4
L’aproximació és substituir el valor exacte d’un nombre per un d’aproximat.
Un mètode d’aproximació és l’arrodoniment. Si la primera xifra
que s’elimina és:
• menor que 5, l’última xifra que hi ha es queda igual. S’anomena aproximació
per defecte.
• major o igual que 5, l’última xifra que hi ha augmenta en una unitat.
S’anomena aproximació per excés.
➔ Nombres irracionals
4 parts iguals
semirecta
0 1 2 3
s’agafen 3 parts
11
4
Han de tenir el mateix denominador; si no el tenen, es calculen fraccions equivalents
a les donades que tinguin el mateix denominador.
2
1 5 3 1 · 12 5 · 5 3 · 15 12 25 45 8
5 12 4 60 60 60 60 60 60 60 15
· ·
( ) p ( ) 2
( ) p ( ) p ( ) 2 ( ) 2 9
b 7 3
3 7 49
p
ap 3 9
16
a b
b a
2
42 a 3
4
p
bp a c
b
d
a · c
b · d
4 5
7 2
4 · 5
7 · 2
20
14
a
b
a
b
: · : ( ) · ( c a d a · d 4 8 4 9 4 · 9 36 9
)
d b c b · c 7 9 7 8 7 · 8 56 14
Les operacions s’efectuen tenint en compte l’ordre següent:
1r. Operacions entre parèntesis.
2n. Multiplicacions o divisions en l’ordre en què apareguin.
3r. Sumes i restes.
Són els nombres que no podem expressar mitjançant una fracció.
L’expressió decimal d’aquests nombres té infinites xifres decimals no
periòdiques. Per exemple: π, 2, 3…
10
7

1. Quina fracció hem acolorit en cada figura?
Fraccions:
2. Acoloreix les fraccions que s’indiquen en les figures següents:
1
5
Nombres racionals • Fraccions i nombres decimals
3. Col·loca les fitxes següents de manera que es formi un tren de fraccions equivalents, és a dir, si dues fitxes es
toquen, les fraccions que estan contacte han de ser equivalents.
9
6
1
4
2
4
15
10
7
5
1
3
9
12
12
36
2
4
2
25
100
16
20
12
60
12
6
1
4
3
4
15
10
15
30
50
150
9
12
9
6
1
4
5
25
2
6
16
20
2
4
4
5
15
30
7
5
4
5
15
45
5
25
25
100
15
45
50
150
2
6
12
36
12
60
5
6
2
12
6
4
2
3
4
7
10
7

8
4. Calcula la fracció equivalent irreductible de les fraccions següents:
180
75
1 848
756
a) b) c) d)
28
435
216
54
5. Calcula mentalment l’expressió decimal de les fraccions següents i ordena-les de menor a major:
1
2
1
4
3
a) b) c) d) e)
4
5
5
6
10
Ordenació:
3 15
6. Representa en la recta les fraccions i .
5 6
7. Calcula el terme que manca en les parelles de fraccions equivalents següents:
10
a)
3
8
d)
72
9
2
–2 –1 0
1 2 3
5
b)
4
e)
10
6
80
100
8. Calcula la fracció generatriu dels nombres decimals següents:
a) 1,205 b) 0,789 c) 3, 8
c)
30
f) 2
100 5
d) 12,2 4 e) 9, 97 f ) 5,2 13
12
20

Nombres racionals • Fraccions i nombres decimals
9. Calcula mentalment.
a)
1
de 200
8
b)
3
de 150
5
c)
7
de 40
10
d) 25 % de 50 e) 30 % de 120 f ) 150 % de 20
g) 60 % de 10 h) 40 % de 60 i) 50 % de 125
10. Escriu el tant per cent o la fracció corresponent.
a) 5% b) 10% c)
2
5
d) 75%
e)
3
5
f) 80% g) 20% h)
3
10
11. Aquestes són les etiquetes d’alguns articles rebaixats en una botiga. A cada etiqueta ha d’aparèixer el preu
d’abans de la rebaixa, el preu posterior a la rebaixa i el tant per cent rebaixat. Malauradament alguns preus
s’han esborrat. Esbrina’ls! Si cal, arrodoneix el resultat.
Abans: 21,5 €
Ara: ...........
Rebaixa del 28 %
Abans: ............
Ara: 9,18 €
Rebaixa del 15 %
12. Quan l’aigua es congela, augmenta el seu volum un 10 %.
a) Quin serà el volum de 24 L d’aigua després de congelar-se?
b) Quin serà el volum en estat líquid de 245,7 L d’aigua gelada?
Abans: 24,2 €
Ara: 14,52 €
Rebaixa del ..........%
13. El preu sense impostos d’un article és de 21 € i amb impostos és de 22,68 €. Quin tant per cent suposen els
impostos?
9

10
14. Col·loca adequadament els parèntesis per tal que les igualtats siguin correctes. Acaba les operacions.
3 7 4 1 1 3 7 8 1
a) · 2 · : · :
2 2 6 3 5 2 2 6 5
b) · : (2) · 3 · ( 4 6
10 1 4 6 17
10)
· 3
3 5 3 2 3
6
c) ( ) : · 4 6 ( 1 6 5 9 1
57 34
44)
: · 4 6
2 11 4 7 3
21
1 1 1 7 4 2
d) · : 1
2 4 8 8 5 21
e) · : 2 · : · · ( 1 1 3 1 2 1 1 11 1 2 1 4 1 2 1 7
5 6 4 6 9 5 6 4 6 9 5 66 6 9 5 66 )
15. Completa els numeradors, els denominadors i els exponents que falten:
7
6
2
21
2
3
0
2
9
a) ( ) 3 b) ( ) 625 c) ( ) 3 d) ( ) 2 64
1
3 8
6
5
5
e) ( ) 2 f) ( ) 5 g) ( ) h) ( ) 2 25
2
9 16
7
3 32
4 81
9
16. Completa el quadrat màgic següent. Per això hauràs d’esbrinar les xifres que falten perquè les diagonals, les
verticals i les horitzontals sumin un nombre: el 2. Tingues en compte que pots utilitzar nombres negatius.
64

Nombres racionals • Operacions
17. Fes les operacions següents, però simplifica quan sigui possible abans d’operar:
a) [ · (2) · ( )] : · ( )
1 1 5 7 3 10 1
2 4 6 3 5 9 5
25 27 10 4 49
b) · · · ·
6 5 3 7 8
c) 3 (5) : ( ) 2 · [ (6) · ( ) 2 ( ) 3 7 1 7 1
: (3)
3 4 6 9
18. Tres amics han de posar gasolina per fer un curt viatge en cotxe. El primer amic paga 5 L, el segon 3 L i el tercer,
com que no porta diners, no paga res. Al dia següent, per compensar-los i agrair-los el viatge, els regala
8 butlletes de loteria. Com han de repartir-se-les?
19. La superfície d’un viver en què es cultiven arbres i flors es distribueix de la manera següent:
5
Arbres fruiters:
12
3
Arbres ornamentals:
20
2
Plantes de temporada: repartits de la manera següent:
7
•
1
per a petúnies
4
•
2
per a alegries
5
•
7
20
per a dàlies
3]
8 varietats diferents d’altres plantes. A cada una s’hi dedica
a) Quina fracció del total es dedica a cada planta de temporada?
1
105
b) La resta es dedica a instal·lacions del viver. Quina fracció suposa?
11
Recorda:
simplifica abans d’operar.

12
20. Indica quins arrodoniments s’han fet correctament:
a) 5,1264 5,126 b) 2,305 2,31 c) 4 567 4 570
d) 20,629 20,7 e) 3,49 3,4 f) 345,5 346
21. Arrodoneix els nombres següents a la xifra que s’indica:
a) 23,7461 a les mil·lèsimes ➔
b) 72,032 a les centèsimes ➔
c) 4,53 a les unitats ➔
d) 32,760 a les dècimes ➔
e) 432 a les desenes ➔
f) 3,12497 a les deumil·lèsimes ➔
g) 5,400 a les dècimes ➔
22. Arrodoneix a les centèsimes els nombres següents i indica si l’aproximació és per defecte o per excés:
a) 56,789 b) 56,9213
c) 9 756,234 d) 67,809
e) 1,4651 f ) 0,108
g) 25,1003 h) 90,167
23. Per què creus que s’utilitza el criteri que has estudiat per a l’arrodoniment? Utilitza la representació en la recta
per exemplificar la teva resposta.

24. Observa els nombres següents. Busca els arrodoniments per excés
en la figura i, si els uneixes de menor a major, obtindràs la teva
bona estrella.
3,549; 1,5267; 90,27; 200,5; 16,009
Per tancar l’estrella, has de tornar al principi.
Nombres racionals • Aproximacions
25. Tres amics compren un regal per a una amistat comuna. El regal ha costat 25 €.
a) Quant ha de pagar cadascun d’ells? Pensa a quina xifra has d’aproximar el resultat.
b) És una quantitat exacta? Fes una proposta de repartiment per tal que no hi sobrin ni hi faltin diners.
26. Una persona disposa de 35 hores per fer en una setmana vuit tasques que requereixen el mateix temps.
a) Quant de temps ha de dedicar a cada tasca?
b) Val la pena donar el valor exacte? A quina unitat has d’aproximar el resultat? Expressa en minuts la diferència
amb el valor exacte.
27. Un parc té la forma i les mesures indicades en el dibuix. Un camí recorre el parc de punta a punta, com s’indica
en el dibuix. Volem col·locar-hi una tanca als dos costats del camí per protegir els jardins. Quina quantitat
de tanca necessitarem? Convé que arrodonim per excés o per defecte?
10 m
10 m
camí
10 m
10 m
16,01
1,5260
3,5
201
1,53
16
200
3,55
90,3
90
13

14
28. Arrodoneix, a les xifres indicades, els nombres irracionals següents:
Nombre irracional
π
2
3
10
Arrodoniment
Dècimes Centèsimes
29. Volem comprar cinta per rematar la vora d’una funda per a una taula rodona. La funda és un cercle de tela
que cobreix la taula de dalt a baix. Si el diàmetre de la taula és d’1,20 m i l’altura de 70 cm, quina quantitat
de cinta hem de comprar?
30. Calcula l’altura d’un triangle equilàter de 3 cm de costat. Arrodoneix el resultat a les dècimes.
Mil·lèsimes
31. Calcula la mida del cercle màxim de la superfície terrestre. Utilitza el valor de π de la teva calculadora. En
quin ordre d’unitat has d’arrodonir el resultat? (Radi de la Terra: 6 370 km).
22
32. En algun moment de la història es va utilitzar la fracció com a valor del nombre π. De quin ordre d’uni-
7
tat era l’error comès?

2
Àrea x · y
Polinomis
Àrea x · y 4 · 2 8 cm2 4 cm
Exemple de monomis:
Part literal
Exemple:
3ab i 2ab són monomis semblants.
Exemple:
3x 4 5x 4 8x 4
2x 3 4x 2 3x 3 x 3 4x 2
Exemple:
5 · 3x 4 15x 4
3 · 4x 2 12x 2
Exemple:
5x 3 · 3x 4 15x 7
20x 8 : 4x 5 5x 3
x
5 x 3 3 x 2
➔
➔
Coeficient
➔ ➔
2 cm
y
Fes un repàs
➔ Expressions algèbriques
• Una expressió algèbrica és una combinació de nombres i lletres lligades
per operacions. Les lletres s’utilitzen per representar, per exemple,
el valor d’una magnitud.
• Les lletres s’anomenen variables o indeterminades, perquè poden tenir
valors diferents.
• Valor numèric d’una expressió algèbrica. Quan se substitueixen les
variables d’una expressió algèbrica per un valor concret i es fan les
operacions indicades, s’obté un nombre. Aquest nombre és el valor
numèric de l’expressió algèbrica per a aquests valors de les variables.
➔ Monomis. Operacions
• Monomi és el producte d’un nombre per una o més lletres.
• Aquest tema se centra en l’estudi de monomis de la forma ax n (a · x n)
on a és un nombre i x és una variable que s’anomena part literal del
monomi. Al nombre a se l’anomena coeficient del monomi i n és el
grau del monomi.
• Es diu que dos monomis són semblants si tenen exactament la mateixa
part literal.
— Suma i resta de monomis
Només es poden sumar o restar monomis semblants. El resultat és un
altre monomi que té la mateixa part literal i el coeficient del qual és
la suma o la resta del coeficients.
— Multiplicació d’un nombre per un monomi
El resultat de multiplicar un nombre per un monomi és un altre
monomi amb la mateixa part literal i el coeficient de la qual és el
producte del nombre pel coeficient del monomi.
— Multiplicació i divisió de monomis
El resultat de multiplicar (dividir) dos monomis és un altre monomi
que té per coeficient el producte (quocient) dels coeficients dels
monomis el grau del qual és la suma (diferència) dels graus.
15

16
P (x) 3x 6 5x 4 2
3x 6 ➔ terme de grau 6
5x 4 ➔ terme de grau 4
2 ➔ terme independent
Grau de P (x) 6
3, 5 i 2 ➔ Coeficients de P(x)
R(x) 5x 3 4x 2 2x 8 és un
polinomi complet de grau 3.
S(x) x 3 4x 5
8 és el valor numèric de S(x) per a
x 1:
S(1) (1) 3 4(1) 5
1 4 5 8
➔ Polinomis. Operacions
• Un polinomi és la suma o la diferència de més d’un monomi. Se solen
escriure ordenant els monomis segons l’ordre decreixent dels graus.
• Cada un dels monomis que componen un polinomi s’anomena terme
del polinomi. En particular, el terme de grau 0, que és un nombre, s’anomena
terme independent.
• El grau del polinomi és el major dels graus dels monomis que el componen.
• Els coeficients d’un polinomi són els coeficients dels monomis que el
componen.
• Un polinomi s’anomena complet quan té els termes de tots els graus.
• S’anomena valor numèric del polinomi P(x) per a x a al nombre que
s’obté després de substituir la variable per a i fer les operacions indicades.
Es representa per P(a).
— Suma de polinomis
P(x) 3x 4 5x 3 2x 7 Q(x) 5x 4 6x 3 3x 2 10
Per sumar dos polinomis se sumen els monomis del mateix grau de
cada un dels polinomis.
P(x) Q(x) (3x4 5x3 2x 7) (5x4 6x3 3x2 10) 3x4 5x4 5x3 6x3 3x2 2x 7 10
2x4 x3 3x2 2x 3
P(x) 3x 4 5x 3 2x 7
P(x) 3x 3 2x Q(x) 2x 4 3x 5
— Multiplicació d’un nombre per un polinomi
Per multiplicar un nombre per un polinomi, es multiplica el nombre
per cada un dels monomis que componen el polinomi.
3 · P(x) 3 · (3x 4 5x 3 2x 7) 3 · (3x 4) 3 · 5x 3 3 · (2x) 3 · 7 9x 4 15x 3 6x 21
— Multiplicació de polinomis
Per multiplicar dos polinomis, es multiplica cada monomi del primer
per tots els monomis del segon. Després se sumen els monomis
resultants que siguin del mateix grau.
P(x) · Q(x) (3x3 2x) · (2x4 3x 5 ) 3x3 · (2x4) 3x3 · 3x 3x3 · (5) 2x · (2x4) 2x · 3x 2x · (5)
6x7 9x4 15x3 4x5 6x2 10x 6x7 4x5 9x4 15x3 6x2 10x

Dividend Divisor
24x 4 18x 2 20x 8 4x 2 2x 8
24x 4 12x 3 48x 2 6x 2 3x 9
12x3 30x2 20x 8
12x3 6x2 24x
36x2 4x 8
36x2 18x 72
22x 64
Coeficients del dividend
3 8 0 1 7
2 6 4 8 14
3 2 4 7 7
3 · 2
2 · 2
4 · 2
Coeficients del quocient
7 · 2
Quadrat d’una suma:
(a b) 2 a 2 b 2 2ab
Residu
residu
Quocient: 3x 3 2x 2 4x 7 Residu: 7
Fes un repàs
— Divisió de polinomis
Per dividir dos polinomis, se segueix el procediment que es desenvolupa
en l’exemple:
Quocient
1. S’escriu el dividend ordenat i deixant un buit quan falta algun terme.
2. Es divideix el monomi que té el dividend de grau més gran entre
el monomi que té el divisor de grau més gran i el resultat s’escriu
en el quocient (24x4 : 4x2 6x2). 3. S’efectua el producte del monomi que s’ha posat en el quocient
pel polinomi divisor, es canvia el signe del resultat i es col·loca a
sota del dividend. Després se sumen.
4. El polinomi resultant de la suma passa a ser el nou dividend.
Es repeteixen els punts 2 i 3 fins que el polinomi que s’obté en sumar
sigui de menor grau que el polinomi divisor. Aquest polinomi serà el
residu de la divisió.
➔ Regla de Ruffini
Aquest procediment només es pot utilitzar quan el divisor és de la
forma x a.
Per efectuar la divisió (3x4 8x3 x 7) : (x 2) es procedeix com
en el diagrama de l’esquerra.
Tingues en compte que:
• s’ha de posar un zero si falta algun terme en el polinomi dividend.
• si el polinomi divisor hagués estat x 2, en el lloc del 2, s’ha de posar 2.
• el grau del quocient és el grau del dividend menys 1.
➔ Identitats notables
Quadrat d’una diferència:
(a b) 2 a 2 b 2 2ab
Dividend divisor · quocient residu
24x 4 18x 2 20x 8
(4x 2 2x 8) · (6x 2 3x 9) (22x 64)
Suma per diferència:
(a b) · (a b) a 2 b 2
17

18
1. Associa les oracions de l’esquerra amb les expressions algèbriques de la dreta:
Un nombre parell a) n 2
Un nombre senar b) 4 (x 2)
L’edat d’un home d’aquí quatre anys c) 4a
El doble de l’edat que tindrà un home d’aquí a quatre anys d) (a b) 2 a 2b
El quadrat d’un nombre e) 2n
La diferència d’un múltiple de quatre menys dos f) 4x 2
El quatre per cent d’un nombre g) 2n 1
El quàdruple del residu d’un nombre menys dos h) 2 (x 4)
El quadrat d’una potència és una potència de la mateixa base
i d’exponent el doble de l’exponent
i) A
1
ab
2
El perímetre d’un quadrat de costat a j) x 4
L’àrea d’un triangle és la meitat del producte de la base per l’altura k) 0,04x
2. Expressa mitjançant una expressió algèbrica les oracions següents:
a) Un nombre més set ➔
b) Set més el doble d’un nombre ➔
c) La meitat del triple d’un nombre ➔
d) La quarta part de l’àrea d’un quadrat de costat x ➔
e) L’edat que tenia un home fa sis anys si ara té x anys ➔
f) El perímetre d’un triangle equilàter de costat c ➔
g) L’àrea d’un cercle de radi r ➔
h) El semiperímetre d’un triangle isòsceles els costats del qual són a i b, essent b el costat desigual ➔
i) La semisuma dels quadrats de dos nombres ➔
j) El quadrat de la semisuma de dos nombres ➔
k) El preu d’un pantaló després d’una rebaixa del 12 %, sabent que abans valia x € ➔
l) La velocitat mitjana d’un mòbil és igual a l’espai recorregut dividit pel temps que ha trigat a recórrer-lo ➔

Polinomis • Expressions algèbriques
3. Calcula el valor numèric de les següents expressions algèbriques per als valors de les variables que es proposen
en cada apartat:
a) 3x 5 per a x 4 b) 5x 3 per a x 2
c) 2xy2 per a x 3 i y 1 d) a2b 2
per a a 2 i b 3
3
e) 3x25x per a x f) 2x3 4x2 1
3x per a x 2
2
4. Utilitza una expressió algèbrica per expressar el que es demana en cada apartat:
a) b) c)
• Perímetre • Perímetre • Perímetre
• Àrea • Àrea • Àrea
d) e) f)
a
a
a
a
b
• Àrea total • Perímetre • Àrea total
• Volum • Àrea • Volum
g) x
h)
x
a
• Àrea de la part de la figura ombrejada • Àrea de la part de la figura ombrejada
c
b
b a b
R
a
b
h
x
c
19

20
5. Completa les taules següents:
Monomi
3x 2
7r 3
6. Escull tots els monomis que es puguin sumar i troba el monomi suma. Podràs fer dues sumes diferents.
4x 3
7. Completa cada igualtat:
Coeficient
5x 2
8b 6
5
6
b 7
5b 6
3x 4
10x 3
a) 4x 5 6x 5 ____________ b) 8x 3 10x 3 ____________
c) 8x 2 9x 2 2x 2 ____________ d) 7x 4 5x 4 2x 2 ____________ 2x 2
e) 5b 4 ____________ 5b 4 f) 2x 3 5x 2 2x 3 ____________ x 2
8. Completa la taula següent escrivint un monomi en les caselles que estan en blanc:
2b 4
2x b 6
x 3
Grau
6
0
2b 2
3x 3 5x 3 8x 3
11x 3
Monomi
4x 7
b 8
2
5
3x 3 16x 3
Coeficient
2
3
1
2
Grau
3
1

8x 4 · 2x 2 16x 8 4x 2 : 2x 2 4x · x 3 5x 2 · 6x 30x 3 4x ·2x 2
16x 6 2x x 2 30x 8x 2
2x 4 : 2x x 4 4x 2 ·2x 8x 3 x · x 8x 3 4x 2 · 2x 8x 4 16x 2 : 2x 2
x 3 8x 2 x 8 8x
3x · 4x 12x 2 15x 2 : x 15x 3x 2 : 4x 2 0,75x 2
Polinomis • Monomis. Operacions
9. Efectua les operacions següents:
a) 4x2 3x2 5x2 8x2 b) 3x3 x3 3x3
c) 3x · 4x3 d) 15x2 · x5
e) 4 · (2y3 ) f ) 15r2 : 3r2 5
2
1
3
g) x4 : x3 h) 3x5 : 2x2
i) 4t8 : ( 4t 4 ) j ) 3x5 · 5x1
k) l )
(3x
3) 3 · 2x5 2x4 · 9x8 2
5
1
5
3x 2
10. Passa d’una casella a una altra per la porta correcta i arribaràs a la sortida del laberint.
8x · x 3
8x 4
14x 3 : 7x 3
12x 16x 0,75 10x 8 2
4x 2 : 2x x 2x · 3x 4 5x 5 4x 8 : x 3 4x5 5x 2 · 2x 6 10x 12
11. Troba el valor de a i de b en les següents operacions amb monomis:
a) 3x a · bx 5 12x 10 b) (2x) a · bx 8x 7
a b a b
3x 7
c) 3x4 ax4 6xb x4 d) (4x2) 3 · 3x axb a b a b
e) x2 : axb x f) (ax8 · 5x2) : 10xb 2x2 5
2
5
4
a b a b
21

22
12. També es poden fer operacions amb monomis que tinguin més d’una variable en la part literal. Fes les operacions
amb monomis següents:
a) 4ab 5ab 10ab b) 3xy 2 5xy 2 2 xy 2
c) 3s2t4s 5s2t d) 5x4y2 3xy 6xy
e) 4a · 2ab3 f) a2b · a3b4
g) 3r 3s · (2rs4 3 2
4 3
) h) 4mn · (2mn)
i) 27m 3n : 3 j) 30m2n3 : mn
k) 33a3b : 11a2b l) x2y3 : xy2 2 1
5 5
13. Utilitza una expressió algèbrica per indicar la fullola que es necessita per fabricar totes aquestes caixes de llautó.
(La x i la y expressen mesures en centímetres.)
14. Escriu:
15. Escriu:
x
y
a) Un monomi que multiplicat per 3x 4 doni com a resultat 15x 5.
b) Dos monomis que siguin divisors de 15x 5.
a) Un monomi que elevat al quadrat doni com a resultat 16x 4.
b) Un monomi que elevat al quadrat doni com a resultat 25x2y4. x
y

Polinomis • Operacions
16. En aquests mots encreuats totes les definicions estan relacionades amb els polinomis.
1. Ho és 3 en 3x4 9
2x.
1
2. Cada un dels monomis que componen un
3
10
polinomi.
7
6 3. Al revés, la part formada per les variables.
8
4
17. Si P(x) x 3 3x 2 5x i Q(x) 8x 2 3x 8, calcula:
a) P(x) Q(x)
b) P(x) Q(x)
c) 3 · P(x)
2
d) 2 · Q(x)
e) 3 · P(x) 2 · Q(x)
5
11
4. 3x ho és de 9x 2.
5. Ho és 7 en 7x 7 5x 3.
6. El coeficient de 3x 2 · 2x (en lletra).
7. La suma o resta de més d’un monomi. Plural.
8. Un procediment per dividir polinomis quan
el divisor és de la forma x a.
9. Grau de x · x.
10. Al revés, aplicant Ruffini, últim nombre de
la dreta sota de la línia horitzontal.
11. Nombre de monomis de 3x 2 5x.
23

24
18. Escull un polinomi i una operació de cada columna de manera que, en situar-los en el requadre que hi ha a
sota, obtinguis una igualtat vertadera.
a)
b)
c)
5x7 3x 8
4x3 2x2 3
4x3 2x2 3x
2m 2 1
3m 8
m3 4m
x5 8x 10
3x 4
x3 2x
19. Si P(x) 3x 4 3x 5 5x 3, Q(x) 2x 3 3x 2 1 i R (x) x 4 5x 3, calcula:
a) P(x) 2 · Q(x) 3 · R (x)
b) 3 · P(x) Q(x) · R (x)
➔
➔
➔
c) 5 2R (x) · [P(x) 3 · Q(x)]
·
·
·
➔
➔
➔
x4 3x 5
x3 2x2 5
2x2 3x 5
m 2
m 4 1
m 2 5
6x5 6x
4x4 4x 3
7x5 2x 1
➔
➔
➔
5x7 3
4x3 2x 13
4x3 3x 8
2m 4 1
m 3 1
m 5 4m 3
6x10 10
6x5 6x 9
8x3 4
➔
➔
➔

20. Completa les igualtats següents:
a) (3x 2 5x) · (4x 3 2x) 12x ■ ■ x3 20 x■ ■ x2
Polinomis • Operacions
b) (4x3 6x 2) · (2x2 4) ■ x5 ■ x3 ■ x3 24■ 4x■ 8 ■ x5■ x3 ■ x2 ■ x ■
21. Efectua les multiplicacions de polinomis següents. El polinomi producte ha d’estar simplificat i ordenat.
a) (2x 3 4x) · (x 2 2)
b) (3x 1) · (5x 2 2x 2)
c) (3x 3 2x 2 3x) · (2x 6 5x 8)
22. Ara opera expressions algèbriques amb més d’una variable. Troba l’expressió algèbrica resultant en cada
apartat.
a) 2x (x y) 4xy
b) 5 ab (ab 3) a 2b 2
c) 4a 2b (a 3 b) 2a (a 4b 2ab)
23. Fixa’t en la primera fila i completa tu la resta. El producte de l’última columna és equivalent a l’expressió de
la primera columna.
Expressió algèbrica Descomposició en factors Factors comuns Expressió algèbrica
6xy 2 3x 3x 2y
15a 3 5a 2b
4mn 12mn 2 2m
15a 3 5a 2
2 · 3 · x · y · y 3 · x 3 · x · x · y 3x 3x · (2y 2 1 xy)
Troba el factor comú
25

26
24. Representa les expressions següents com a producte:
a) 12x 8 4x 2
b) 15ab 3a
c) 27mn 2 9 mn 18 m 3n
d) 4ab 3 10 a 2b 2ab
25. Efectua les divisions següents:
a) 27x 4 18x 3 18x 3 6x 3 9x 2 3 b) 9x 4 15x 3 3x 2 12x 6 3x 2 2
26. Completa els requadres buits d’aquesta divisió. Després comprova que es compleix la relació:
dividend = divisor x quocient + residu.
6x 5 ■x 3 4x 2 ■x ■ 2x 2 ■
6x 5 12 x 3 ■x 3 7x ■
14 x 3 4x 2 ■x ■
14 x 3 ■x
■x 2 24x ■
■x 2 ■
■x 10
27. Esbrina si el polinomi 4x 2 + 3x – 8 és divisor del polinomi 12x 3 + 17x 2 – 18.
Troba els factors
que siguin comuns a tots
els termes

Polinomis • Mètode de Ruffini
28. Troba el quocient i el residu de la divisió (x 4 – 3x + 2x 2 – 5) : (x – 2). Utilitza dos procediments diferents.
a) x 4 3x 2x 2 5 x 2 b)
29. Si P (x) = x 3 – 5x –1, Q (x) = x + 2, R(x) = x – 3 i S(x) = x – 1:
• Quocient
• Residu
a) Troba, utilitzant el mètode de Ruffini, el quocient i el residu de P (x) : Q (x), P (x) : R(x), P (x) : S (x).
P (x) : Q(x) P(x) : R(x) P(x) : S (x)
• Quocient • Quocient • Quocient
• Residu • Residu • Residu
b) Troba P (–2) =
Troba P (3) =
Troba P (1) =
c) Observa els residus obtinguts en les divisions de l’apartat a) i els valors numèrics obtinguts en l’apartat b).
Pots extreure’n cap conclusió?
Troba, sense fer la divisió, el residu de (2x4 – x3 + 4x3 – 5) : (x + 2).
30. Esbrina el valor de m per tal que el residu de la divisió (x 3 – 7x 2 + mx + 5) : (x + 1) sigui 9. Quant ha de valer
m perquè la divisió anterior sigui exacta?
27

28
31. Completa la taula següent per demostrar les tres identitats notables:
a b + 2ab + 1
2
2
(ab + 1) 2
(2x – y) 2
4x + y – 4xy
2 2
a b – 1
2 2
9x – 1
2
(ab + 1) (ab – 1) (4x – y) 2
Procediment raonat
(a b) 2 (a b) · (a b) a · a a · b b · a b · b a 2 2ab b 2
(a b) 2
(a b) · (a b)
32. Tot aplicant les fórmules de les identitats notables o fent un procés raonat, desenvolupa les operacions
següents:
a) (3 2y) 2 b) (x 2) · (x 2)
c) (x 2 3x) · (x 2 3x) d) (3 2y) 2
e) (4x y 3 ) 2 f) (3r t 2) 2
33. Indica si les igualtats següents són vertaderes o falses. Modifica per fer-les vertaderes les igualtats que no siguin
correctes:
a) (x 2y) 2 x 2 (2y) 2 b) (3x y) 2 (3x) 2 y 2 6xy
c) (a 2b) · (a 2b) (a 2b) 2 d) (4x 3y) 2 16x 2 9y 2
e) (2a b) 2 4a 2 b 2 4ab f) (3ab 1)(3ab 1) 3ab 2 1
34. Col·loca correctament les fitxes perquè formin una cadena d’igualtats notables:
(3x + 1) 2
(2x + y) (2x – y)
(3x + 1) (3x – 1) 25x – 10x + 1
(ab + 1) 2
(2x – y) 2
16x 2
+ y 2
– 8xy 25x – y
(ab + 1) (ab – 1) (4x – y) 2
2
2
2 2
4x – y
16x 2 + y 2
– 8xy 25x – y
4x + y – 4xy
2 2
a b – 1
2 2
a b + 2ab + 1
2
2
2
(3x + 1) 2
(2x + y) (2x – y)
(5x + 1) (5x – 1)
a b + 2ab + 1
a b + 2ab + 1
(3x + 1) (3x – 1) 25x – 10x + 1
2
2
2
2
2
9x – 1
2
9x – 1
2
9x – 1
2

3
Fes un repàs
Equacions de primer i de segon grau
3x 2 · (x 1) x 6
Incògnita: x
Solució: x = 2
3 · 2 2 · (2 1) 6 2
Exemples d’equacions equivalents:
2x 3 5
Sumem
x: 3x3 x 5
Restem
1: 2x 4 4
Multipliquem per (–3): 6x 9 15
➔ Equació de primer grau amb una incògnita
És una igualtat entre expressions algèbriques en què la variable és elevada
a 1.
• Incògnita és el nom que se li dóna a la variable en una equació.
• Solució o arrel és el valor o els valors de la incògnita que verifiquen la
igualtat.
• Equacions equivalents són aquelles que tenen les mateixes solucions.
• Critèris d’equivalència. Si als dos membres d’una equació els sumem
una mateixa quantitat o els multipliquem per una mateixa quantitat
(diferent de zero), l’equació resultant és equivalent a la donada.
• Resolució d’equacions de primer grau.
Resoldre una equació consisteix a trobar les seves arrels. Per això s’ha
d’aïllar la incògnita tenint present el següent:
Cal fer, en qualsevol moment, les operacions que es puguin realitzar.
Cal aconseguir equacions equivalents fins que en un dels membres
aparegui només la incògnita.
5x 4
3 · (2x 2)
3
4x
Apliquem la propietat distributiva ➔
5x 4
6x 6 4x
3
Multipliquem els dos membres de l’equació per 12 ➔ 72x 72 20x 16 48x x 2
Sumem termes semblants ➔ 92x 88 47x 2
Restem 47x als dos membres ➔ 92x 88 47x 47x 2 47x ➔ 45x 88 2
Sumem 88 als dos membres ➔ 45x 88 88 2 88 ➔ 45x 90
Dividim els dos membres entre 45 ➔ x 2
x 2
12
x 2
12
29

30
3x y 2
x y
0 2
2 4
5
4
3
2
1
–1
–1
–2
–3
1 2 3
➔ Equació de primer grau amb dues incògnites
És una expressió que es pot reduir a la forma:
ax + by = c
x i y són les incògnites.
Per resoldre una equació d’aquesta mena es representa gràficament la recta.
Les coordenades de cada punt de la recta són una solució de l’equació.
➔ Equació de segon grau amb una incògnita
És una igualtat entre expressions algèbriques en què la variable és elevada
a 2. Es pot reduir a la forma ax 2 + bx + c = 0.
• Resolució d’equacions de segon grau
Equació completa: a 0, b 0 i c 0.
x2 x ➔ x
2x 8 0
2 ± (2) 2 ± 36
2
2 b ± b 4 · 1 · (8)
2 · 1
2 4ac
2a
b 0 ➔ ax2 c 0
9x2 16 0 ➔ 9x2 16
x2 16
9
16
➔ x ± 9
➔
4
x
3
4
x
3
Equacions incompletes: b = 0 oc = 0.
• Discriminant:
c 0 ➔ ax 2 bx 0
15x 2 4x 0
x(15x 4) 0 ➔
x 4
x 2
x 0
15x 4 0 ➔ x 4
15
És l’expressió Δ b 2 4ac. El seu signe indica el nombre de solucions
de l’equació.
Δ > 0: dues solucions diferents
x2 Δ < 0: cap solució
4x 5 0
x
x
2 Δ 0: dues solucions iguals
x 3 0
x
x
2 6x 9 0
x
6 ± (6)
2 1 ± (1) 4 · 1 · 9
2
2 (4) ± 4 4 · 1 · 3
2
2 4 · 1 · (5)
2
x (4) ± 36
1
1 ± 11
6 ±
0
2
No té solució
x 5 2
2
x 3
x 3
➔ Aplicacions a la resolució de problemes
Es pot seguir l’esquema següent:
1. Què es pregunta.
2. Quina quantitat s’escull com a incògnita.
3. Quines són les dades.
4. Anomenar la incògnita amb una lletra i expressar les dades en funció d’aquesta
lletra.
5. Plantejar i resoldre l’equació.
6. Comprovar si la solució verifica les condicions del problema.
7. Escriure la solució del problema.

Equacions de primer i segon grau • Equacions de 1r grau
1. Sense resoldre les equacions, assigna a cada equació la seva solució. Fes els càlculs mentalment.
2. Assigna a cada equació de la fila superior una de la fila inferior que sigui equivalent.
3. Completa els requadres en blanc perquè els parells d’equacions següents siguin equivalents.
a) 5x 1 x 3 ■x ■ 6
b) 2 ■x ■ x ■ 8
c) ■ (x 2) 4x 12 x 2 ■x 6
d) ■x 5 2x 3 6x x 1
2
x 3
4
■ 3x 7
4. Escriu dues equacions equivalents que tinguin per solució x = –2.
5. Indica quina de les equacions següents té solucions infinites, una solució o cap solució.
a) 3x 5 x 3
b) 6(x 2) x 7x 5 2x • Cap solució:
c) x 5 3
d) 4x 6 x 2x 1 x • Una solució:
e) 2(x 2) 5 4(x 1) 2x 5
f) x 9 2(x 1) x • Solucions infinites:
g) 4(x 5) 6 2(2x 10) 6
3(x 1) 2x
6x 12 x 2
x 1
3
2x 3
2x 2 4x 2
x 2
x 0
x 3
x 2
x 3
x 5
3x 2 x 1 1 2 x x 1 4x 2 5x 3
12
2
10x 5 5x 15
x 15 24 3x 3 6x 2 2x 2 1
x 5 2x 2 2x 1 x 3
Comprova: El nombre d’equacions que tenen una solució és igual a la suma de les altres dues quantitats menys 1.
31

32
6. Resol mentalment les equacions següents:
a) x 1 2 ➔ x b) 2x 3 6 ➔ x c) x 1 0 ➔ x
d) 5x 5 5 ➔ x e) 3x 7 7 ➔ x f) 5x 3 0 ➔ x
g) x 5 5 ➔ x h) x 2 2x 1 ➔ x i) 4x 8 0 ➔ x
7. Resol les equacions següents:
a) 2(x 1) 3(2x 6) 2x 2(2x 3) b)
x 1
4
2(x 3) 4 5x 5
2x 1
c) 5(3x 3) 15 4(2x 3) 2(3x 9) 29 d)
4
Amb els nombres que has obtingut com a solucions podràs formar
l’any en què Robert Record va proposar la utilització del signe
igual (=) en les equacions. Ah, el nombre no és múltiple de 5!
3 (x 4)
12
8. Resol les equacions següents:
a) 2 · x b) 3 2 · x
2x 1
3
x 6
4
x 2
6
x 1
5
2x 3
2 4

Equacions de primer i segon grau • Equacions de 1r grau
x 2 3x 7 1 5x
x 3
c)
4
10
2
d) x 4
5
6x 1
3x 1 2x 3 x 1 x 1
3x 4 x 1
e)
6
15
2
4
f)
3
5
8
6x 2
4
9. El següent dibuix mostra una estrella màgica en què les sis files de nombres sumen el mateix. Aquesta suma
es denomina nombre màgic. Calcula el valor de x, el nombre màgic i els valors de a, b i c.
–x –2x + b
cx + 8
–(x – 4)
–4x ax + 23
–x + 2
x + 5 –3x –(x – 10) 2(x + 11)
–(3x + 1)
33

34
10. Resol gràficament les equacions següents:
2x y 3 x 2y 1
x y
–3 –2
11. La gràfica representa la solució d’una equació del tipus ax + by = c.
a) És x = –1, y = 2 una solució de l’equació?
b) És x = 1, y = 0 una solució de l’equació?
c) Escriu una altra solució de l’equació.
3
2
1
–1 1 2 3
–1
–2
–3
x y
d) És x = 0, y = 0 una solució? Quin és, doncs, el valor de c?
12. Resol mentalment les equacions de segon grau següents. Compte!, algunes no tenen solució!
a) x 2 4 0 b) x 2 5x 0 c) 2x 2 4x 0 d) 4x 2 25 0
e) x 2 9 0 f) 4x 2 9x 0 g) x 2 3 0 h) x 2 1 0
13. Escriu una equació de segon grau les arrels de la qual siguin x = –2 i x = 3.
3
–3 –2
3
2
1
–1 1 2 3
–1
–2
–3
–2
3
2
1
–1 1 2
–1
–2
–3

Equacions de primer i segon grau • Equacions de 2n grau
14. Aquí tens 12 peces d’un trencaclosques. Per contruir-lo has de tenir present que una peça es pot unir a una
altra peça si concorden una equació i les seves solucions.
x 1
4
x 4 0
x 0 x 5 x 2 3 0
x 1
4
x 0 x 3
x 4 x 0
x 1
3
x 1
4
x 6 0
x 4 x 0
x 1
3
3x 1 0
x 0 x 6 2x2 12x 0 2x 0
x 0 x 0
x2 1 0 x2 x 5 x 5 x 1 x 1
x 0
4x2 1 0
x x 1
1
2 2
x 1
x 2 x 0 x 1 2x
2
2 x 0 x2 4 0
3x 2 0
x 0 x 6
x 3 x 3 x 1 0
x 0 x 0
x 2 1 0 x 2 x 0
x 1
3x 1 0
x 5 x 5 x 1 x 1
4x 2 1 0
x 2 3
2x 2 x 0 x 2 4 0
x 4
x 3 x 3
x 2 0
x 2 3
x 4
x 2
x 0
15. Resol les equacions següents. Quines equacions no tenen solució?
a) x2 x 6 0 b) x2 1
x 0
4
c) 2x 2 9x 4 0 d) 2x 2 3x 5 0
e) x 2 6x 9 0 f) 6x 2 x 1 0
x x 1
1
2 2
3x 2 0
x 3 x 3
4x 2 9 0
x 1 0
x 5
x 5 0
4x 2 9 0
x 2 x 2 x 2 9 0
x 4 0
x 0 x 5 x2 x 3 0
2 5x 0
x 0 x 3
x2 6x 0 x2 x 0 x 1 x 0 x 6
2 0
x x 3
3
2 2
x 2 6 0
x 0 x 1
2
2x 2 12x 0 2x 0
x 2 0
x 5 0
x 0 x 1 x 0 x 6
x 1 0
x 0 x 2 5x 0
x 5
x x 3
3
2 2
x 2 x 2 x 2 9 0
x 2 6 0
3x 2 9x 0
x 2 6x 0 x 2 2 0
16x 4 0
3x 2 9x 0
x 1
4
x 3 x 3 x 1 0
x 6 0
35

36
16. Observa les solucions de les equacions del problema anterior.
a) Quantes solucions pot tenir una equació de segon grau?
b) De qué depèn aquest nombre?
17. Resol les equacions següents:
(x 2)
a) (2x 3)(x 1) 3(x 4) (x 1) (x 2) 3 b) x 2
2
16
c) 2(x 5) (x 3) 2 x (x 4) (x 4) 2x2 d) 2x2 x(x 5)
5
x 5
(x 5) (x 2) (x 1)
e) 1 f)
2
9
2
(x 1) (2x 1) (x 3)
3
4
2
(x 1)
6
2
3
4 19
x
3

Equacions de primer i segon grau • Aplicacions
18. L’altura d’un trapezi fa 5 m i la base major fa 3 m més que la base menor. L’àrea d’aquest trapezi és igual a
l’àrea d’un rectangle la base del qual fa 1 m més que la base major del trapezi i l’altura fa 3 m. Calcula la
mesura de les bases del trapezi.
19. Volem aconseguir un pot de 15 kg barrejant pintura de dues classes. El quilo d’una de les pintures costa 85
cèntims d’euro i el de l’altra, 2 €. Si el preu del pot ha de ser de 24,25 €, quants quilos hem de fer servir de
cada classe de pintura?
20. Un capital es divideix en dues parts per invertir-lo en un banc. La primera té un 2% d’interès i la segona, que
és de 2000 € menys que el doble de la primera, un interès del 4%. En aquestes condicions, el que produeix
la segona quantitat és 10 € més que el triple del que produeix la primera. Calcula les dues quantitats.
37

38
21. Dos amics es posen d’acord per fer el mateix viatge, cada un d’ells en el seu cotxe, i arribar a la mateixa ciutat.
Els dos surten al mateix temps del mateix lloc. Un d’ells viatja a 100 km/h i arriba a tres quarts de dotze. L’altre
amic viatja a 90 km/h i arriba a un quart d’una. A quina distància es trobaven de la ciutat de destí?
3
22. Cada un dels alumnes d’una classe té la seva cadira corresponent. Si falten dels alumnes, sobren quatre
10
1
cadires més que si falta dels alumnes. Quants alumnes hi ha a la classe?
6
23. En Miquel i la Marta són dos amics que estan comptant els seus cromos. Si la Marta regala 10 cromos a en
Miquel, aleshores ella només tindrà 10 cromos més que ell. Si en Miquel li dóna 10 cromos, aleshores ella
tindrà el triple de cromos que ell. Quants cromos té cada un d’ells inicialment?

Equacions de primer i segon grau • Aplicacions
24. Els treballadors d’una empresa van rebre un incentiu per l’augment de les vendes. Cada un d’ells rep tants
euros com treballadors són més 30 €. Si es reparteixen 1219 €, quants treballadors són?
25. En un quadrat de 7 cm de costat s’insereix un altre quadrat de 25 cm 2 d’àrea. Calcula a quina distància dels
vèrtexs del quadrat inicial estan els vèrtexs del quadrat inscrit.
26. L’amplada d’una piscina de planta rectangular és la quarta part de la seva llargada. Si la piscina és plena i
traiem 15 000 L d’aigua, l’altura de l’aigua disminueix 15 cm. Calcula la llargada i l’amplada de la piscina.
39

40
27. L’amplada d’un full de paper és el 70 % de la seva llargada. Si deixem un marge superior i inferior de 2,5 cm
i un marge esquerre i dret de 3 cm, la superfície per escriure fa 375 cm 2. Calcula les dimensions del full de
paper.
28. Si sabem que l’àrea de la part ombrejada és 21,5 cm 2, calcula la mesura del costat del quadrat. Agafa π = 3,14.
2
2 x
x 21,5
2
29. Una fotografia rectangular mesura 5 cm menys d’amplada que de llargada. La motllura del marc té 2 cm d’amplada
i tot el conjunt, fotografia i marc, té una àrea de 546 cm 2. Calcula les dimensions de la fotografia.

4
3x 2y 1
Fes un repàs
Sistemes d’equacions lineals
2x y 4
x = –1; y = 2 solució del sistema
3 · (1) 2 · 2 1
2 · (1) 2 4
2x y 4 Compatible
x y 2 determinat
x 2 y 0
3x y 2 Compatible
6x 2y 4 indeterminat
x 0 y 2
x 1 y 5
x 2y 5 Incompatible
x 2y 4 No té solució
2x 3y 1
x 4y 2
· 2
· (1)
4x 6y 2
x 4y 2 Sumem
5x 10y 4 és combinació lineal de les
dues equacions primeres
3x 4y 2 x
x 3y 1
Restem x als dos membres de la 1a i multipliquem
per (–2) els dos membres de la 2a.
2x 4y 2
2x 6y 2
x y 5 x y 5
x y 5 0 0
Indeterminat
x y 2 x y 2
x y 9 0 11 Incompatible
➔ Sistema d’equacions lineals amb dues incògnites
És un conjunt de dues equacions lineals amb dues incògnites. Es pot reduir
a la forma:
a 1x b 1y c 1
a 2x b 2y c 2
• Solucions d’un sistema són els valors de les variables que verifiquen
les dues equacions.
• Classificació de sistemes:
Sistema compatible determinat: si té solució única. És a dir, hi ha
un sol valor per a cada variable que verifica les dues equacions.
Sistema compatible indeterminat: si té solucions infinites. És a dir,
existeixen valors infinits de les variables que verifiquen les dues
equacions.
Sistema incompatible: si no té solució.
• Combinació lineal d’equacions
Una equació és combinació lineal d’altres equacions si s’obté de sumar
aquestes equacions prèviament multiplicades per nombres.
• Sistemes equivalents
Dos sistemes són equivalents si tenen les mateixes solucions.
• Criteris d’equivalència
Si als dos membres d’una equació d’un sistema se’ls suma una mateixa
quantitat o es multipliquen per una mateixa quantitat (diferent de
zero), el sistema resultant és equivalent al donat.
Si en un sistema se substitueix una equació per una altra combinació
lineal d’ella mateixa i de les altres, el sistema resultant és equivalent
al donat.
• Si en un sistema equivalent a un altre apareix l’equació:
0 = 0, el sistema és compatible indeterminat.
0 = k, el sistema és incompatible.
41

42
Per substitució:
2x y 0 y 2x
3x 4y 5 3x 4y 5
y 2x y 2x
3x 4(2x) 5 5x5 y 2x y 2
x 1 x 1
Per igualació:
2x y 7
x 3y 14
7 y
14 3y
2
x 14 3y
y 3 y 3
x 14 3y x 5
Per reducció:
7 y 28 6y
x 14 3y
3x 2y 10 2n · (3) 3x 2y 10
x 3y 1 3x 9y 3
1r 2n
3x 2y 10 3x 2y 10
7y 7 y 1
3x 12 x 4
y 1 y 1
2x – y = 3
x – y = 2
–2
3
2
1
–1 1 2 3
–1
–2
–3
7 y
x
2
x 14 3y
2x – y = 3
x – y = 2
Rectes secants
Solució única
x 1
y 1
➔ Resolució d’un sistema
• Mètode de substitució
1. S’aïlla una incògnita d’una de les equacions.
2. El resultat se substitueix en l’altra equació.
3. Es resol l’equació de primer grau que en resulta.
4. El valor calculat de la incògnita se substitueix en l’expressió
obtinguda en el pas 1.
• Mètode d’igualació
1. S’aïlla la mateixa incògnita de les dues equacions.
2. Se substitueix una de les equacions per l’equació que resulta
d’igualar les expressions obtingudes en el pas 1.
3. Es resol l’equació de primer grau que en resulta.
4. El valor calculat de la incògnita se substitueix en l’altra equació.
• Mètode de reducció
1. Se substitueix una de les equacions per una combinació lineal de les
dues, de manera que el coeficient d’una de les incògnites sigui zero.
2. Es resol l’equació de primer grau que resulta del pas 1.
3. El valor de la incògnita calculat se substitueix en l’altra equació.
• Mètode gràfic
–2
1. Cada equació del sistema representa una recta. Es representen les
dues rectes en els mateixos eixos.
2. La solució del sistema és donada per les coordenades del punt o
dels punts d’intersecció d’ambues rectes..
x – 3y = 2
4x – 12y = 8
3
2
1
–1 1 2 3
–1
–2
–3
x – 3y = 2
Rectes coincidents
Infinites solucions
x – 5y = 3
2x – 10y = 0
–2
3
2
1
–1 1 2 3
–1
x – 5y = 3
–2
–3
2x – 10y = 0
Compatible determinat Compatible indeterminat Incompatible
Rectes paral·leles
No tenen solució

Sistemes d’equacions • Sistemes
1. Expressa en llenguatge algèbric les expressions següents. En cada cas indica què representen les variables.
a) El perímetre d’un rectangle.
b) El preu que es paga per comprar 2 kg de taronges i 4 kg de pomes.
c) L’àrea d’un trapezi de 3 cm d’altura.
d) La tercera part d’un nombre és igual a 4 més la cinquena part d’un altre nombre.
e) L’oposat del doble de la suma de dos nombres és igual a la cinquena part de la seva diferència.
2. Comprova si els valors que es donen són la solució de cada sistema.
3x 2y 5
3x y 3
a) x 1 y 1 b) x 0 y 3
x y 0
2x 2y 5
x y 1
x 5y 1
c) x 2 y 1 d) x 2 y 3
4x 2y 6
2x y 3
a1x b1y c1 3. Calcula sistemes equivalents als que trobaràs tot seguit. Han de tenir la forma .
a2x b2y c2 3x 2y 1 2(x y) 4
x 4 2x 1
a) b)
2
y
3
x 3 3x y 2
x
3
y 1
4
y
2
43

44
4. Uneix cada sistema d’equacions de l’esquerra amb una equació combinació lineal de les equacions de la
columna de la dreta. Al costat, escriu com s’ha calculat la combinació.
x y 2
3x y 0
x 2y 1
x y 0
3x y 4
5x 3y 2
x y 1
2x y 2
4x y 1
x 2y 3
x 3
8x 2y 2
x 0
5x 3y 2
2x 2
2x 4y 2
2x 2y 2
2x 2y 2
2x 3y 1
5x 3y 4
5. Calcula una equació que sigui combinació lineal de les equacions següents.
x y 2
a) b)
2x y 0
c)
x 3y 0
2x y 4
x y 3
d)
5x 5y 5
x y 1
x 5y 10
3x 2
2x 2y 0
6. Resol el primer sistema per substitució; el segon, per igualació, i el tercer, per reducció.
3x 2y 5
2x 4y 2
a) b) c)
x 3y 2 4x 2y 0,5
2 4y 0,5 2y
x , x
2 4
4 8y 0,5 2y
6y 4,5
4,5 3
y
6 4
3
2 4
4
1
x
2 2
1 3
x , y
2 4
5x 3y 12
4x 6y 18

Sistemes d’equacions • Mètodes de resolució
7. Resol el sistema següent pels mètodes de substitució, d’igualació i de reducció. Tot seguit indica quin mètode
t’ha resultat més fàcil i per què.
a)
x y 4
2x 5y 8
Mètode de substitució:
Mètode d’igualació:
Mètode de reducció:
Mètode més senzill:
8. Resol els sistemes següents pel mètode que t’estimis més:
a)
2x y x 21
b) 5
3
6
c)
3(x 1) 2(y 2) x y 6
5x 3(y 1) 2(x y 1) 2x 22
x 5
3(x 2) y 2x y 1
2
x y 2
x y 0
10
3
45

46
9. Resol gràficament els sistemes següents i indica a quina classe pertanyen:
3x 2y 1 a) b)
2x 3y 4 3
2
1
3x y 3
c) d)
6x 2y 8
x 6y 3
3x 18y 9
–3 –2 –1 1 2 3
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
–1
–1
–2
–3
4
3
2
1
x 2y 1
4x 6y 0
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4
–1
–1
–2
–3
–4
10. Resol els sistemes anteriors per algun dels mètodes.
4
3
2
1
–2
–3
–4
4
3
2
1
–2
–3
–4

Sistemes d’equacions • Problemes
11. Indica de quin tipus és cada sistema. En el cas dels compatibles determinats escriu la solució i en els indeterminats
dóna un parell de solucions.
3
2
1
–2 –1
–1
–2
–3
3
2
1
1 2 3
3
2
1
–3 –2 –1 1 2 3
–1
–2
12. Un comerciant té pensat de comprar 20 pantalons i 30 camises en un magatzem i de pagar per tot plegat 1480 €.
En arribar al magatzem s’assabenta que, per una gran comanda, els pantalons tenen un 30 % i les camises un 10 %
de descompte. Al final en paga 1 180 €. Calcula el preu sense descompte d’un pantaló i d’una camisa.
–3 –2
–1
3
2
1
–1
–2
1 2 3
3
2
1
–2
47
–3 –2 –1 1 2 3
–1
–3 –2 –1 1 2 3
–3 –2 –1 1 2 3
–3 –2 –1 1 2 3
–3 –2
–1 1 2 3
–1
–1
–1
–1
–2
3
2
1
–2
3
2
1
–2
–3
3
2
1
–2
–3

48
13. L’Anna mesura, comptant en passes, l’amplada del pati rectangular del seu institut i la Rosa en mesura la llargada.
L’Anna compta 36 passes i la Rosa, 30 passes. Després intercanvien els papers i l’Anna mesura 40 passes
de llargada i la Rosa, 27 passes d’amplada. Pots esbrinar les dimensions del pati amb aquestes dades?
14. És possible que entre dos amics tingués lloc la conversa següent?
Carles: «Ahir vaig anar a una papereria del nostre barri a comprar el que necessitem per fer el treball. Vaig
comprar 12 carpetes i 8 retoladors. Tot plegat em va costar 10,32 €!»
Xavier: «Òndia!, doncs jo també hi vaig anar. Pensava que necessitàvem 15 carpetes i 10 retoladors! Tot plegat
em va costar 13,2 €!»
15. La mida de les diagonals d’un rombe estan en proporció tres a dos. Amb el doble de la diagonal major i
18 cm més de la mida de la diagonal menor, podem construir les bases d’un trapezi de 4 cm d’altura i l’àrea
del qual sigui 25 vegades la diferència entre les diagonals. Calcula la mesura de cada diagonal.
x 3
y 2
4(2x y 18) 25(x y)
2

Sistemes d’equacions • Problemes
16. Una persona fa un passeig en què ha de travessar una esplanada i pujar un pendent. Surt de casa seva a les 9
del matí i torna, fent el mateix camí, a les 10.48 h. Camina a 4 km/h per l’esplanada; a 3 km/h per la pujada,
i a 5 km/h per la baixada. Una altre amic diu que ell fa el mateix recorregut en 1h i 12 minuts caminant per
l’esplanada a 6 km/h; per la pujada a 4,5 km/h, i per la baixada a 7,5 km /h. És cert que fan el mateix camí?
x y y x
1,8
4 3 5 4 15x 16y 54
x y y x 15x 16y 54
1,2
6 4,5 7,5 6
17. Quan tu tinguis l’edat que jo tinc, les nostres edats sumaran 60 anys i, aleshores, la meva edat serà 7 vegades
l’edat que tu tenies quan jo tenia l’edat que tu tens. Quines edats tenen actualment?
18. Un alumne fa una prova en què cada pregunta del primer bloc puntua 0,75 i cada pregunta del segon bloc
puntua 1,25. Fa comptes i pensa que tindrà un 7,25. Quan rep la nota veu que té 6,75 punts i decideix preguntar
a la seva professora. Llegeix el que li respon ella i descobreix qui té raó.
Estem d’acord que en el primer bloc tens bé
una pregunta menys que en el segon bloc i
que tens un nombre enter de preguntes ben
contestades, oi? Doncs, fes comptes tu mateix!
49

50
19. Un agricultor necessita 6,5 kg de nitrogen per adobar els seus terrenys. Per aquest motiu compra un producte
M que conté un 15 % de nitrògen i costa 4,5 €/kg i un producte N que conté un 25 % de nitrogen i costa
6 €/kg. Si es gasta 165 € en la compra d’ambós productes, calcula les quantitats de M i N que ha comprat.
Resol el problema gràficament i per algun dels altres mètodes.
20. El 40 % dels alumnes de 4t d’un institut han anat d’excursió, mentre que només el 12 % dels alumnes de 3r
ho han fet. En total han sortit 84 alumnes. El nombre total d’alumnes de 4t i els tres quarts del total de 3r sumen
300 alumnes. Quants alumnes hi ha de cada curs?
21. La diferència del doble d’un nombre i un altre nombre és 5, mentre que la suma d’ambdós és 1. De quins
nombres es tracta? Resol gràficament aquest problema.

5
{a n} {3, 5, 7, 9, …}
an 2n 1 a26 2 · 26 1 53
terme
general
terme que ocupa
el lloc 26
Fes un repàs
Successions i progressions
a1 3; a2 5; a3 7; a4 9;
… a1 a2 a3 a4 0 1
{3, 3, 0, 0, 6, 6, 9, 9 …}
és creixent
{3, 0, 3, 6, 9 …}
és estrictament creixent
{3, 1, 1, 1, 1, 1, 1 …}
{
és decreixent
3 3 3
3, , , …}
2 4 8
és estrictament decreixent
{2, 2, 2, 2, 2, 2 …} és constant
{2, 4, 8, 16, 32, 64 …} és oscil·lant
{ 1 1 1
1, , , …}
2 4 8
és convergent i el seu límit és 0
{3, 6, 9, 12 …} és divergent
➔ Successions
• Una successió numèrica és un conjunt infinit i ordenat de nombres.
Cada un d’aquests nombres s’anomena terme de la successió i es
representa per una lletra acompanyada d’un subíndex, que indica el
lloc que ocupa el nombre en la successió.
• Els termes d’una successió es poden representar en la recta real si prenem
com a dades els seus valors numèrics corresponents.
• El terme general de la successió és l’expressió algèbrica que ens permet
de trobar qualsevol terme només substituint la variable n pel nombre
que indica el lloc que ocupa el terme. Es representa per a n.
➔ Tipus de successions
• Una successió és creixent si cada un dels seus termes és major o igual
que l’anterior.
• Una successió és estrictament creixent si cada un dels seus termes és
major que l’anterior.
• Una successió és decreixent si cada un dels seus termes és menor que
l’anterior.
• Una successió és estrictament decreixent si cada un dels seus termes
és menor que l’anterior.
• Una successió és constant si els seus termes són iguals.
• Una successió és alternada o oscil·lant si els seus termes són alternativament
nombres positius i negatius.
• Una successió és convergent quan els seus termes s’aproximen cada
vegada més a un nombre, anomenat límit de la successió.
• Una successió és divergent si no té límit.
51

52
{an} ➔ {1, 3, 5, 7, …}
1 2 3
{bn} ➔ {0, , , , …}
2 3 4
{a n} està fitada inferiorment
però no superiorment.
Fites inferiors: 1, 0, 5, 8, etc.
{b n} està fitada.
Fites superiors: 1, 3, 10, etc.
Fites inferiors: 0, 1, 5, 8, etc.
Progressió aritmètica:
{10, 8, 6, 4, 2 …}
(2) (2) (2) (2) … ➔ d 2
Terme general:
a n 10 (n 1) · (2) 2n 12
Terme nombre 15:
a 15 2 · 15 12 18
Suma dels 15 primers termes:
10 (18)
S15 15 · 60
2
Progressió geomètrica:
{10, 5, 2,5, 1,25, 0,625 …}
1 1 1 1
1
· · · · … ➔ r
2 2 2 2
2
Terme general:
n 1
an 10 · ( )
Terme nombre 15:
14
a15 10 · ( ) 0,0006
Suma dels 15 primers termes:
15
10 · ( ) 10
S15 ——————— 19,9994
1
Producte dels 15 primers termes:
P15 (10 · 0,0006) 15 2,1684 · 1017 1
2
1
2
1
2
1
2
Suma dels termes infinits:
10
S ∞ ——— 20
1 1
2
➔ Fites d’una successió
• Una fita superior d’una successió és un nombre major o igual que tots
els termes de la successió. Una fita inferior és un nombre menor o
igual que tots els termes de la successió.
• Una successió està fitada superiorment si té una fita superior i està
fitada inferiorment si té una fita inferior.
• Una successió està fitada si està fitada superiorment i inferiorment. En
cas contrari es diu que la successió no està fitada.
➔ Progressions aritmètiques
• Una progressió aritmètica és una successió en què cada terme s’obté
sumant l’anterior per un mateix nombre, anomenat diferència de la
progressió (d).
• Terme general:
• Suma dels n primers termes:
a n a 1 (n 1) · d
S n n ·
➔ Progressions geomètriques
• Una progressió geomètrica és una successió en què cada terme s’obté
multiplicant l’anterior per un mateix nombre, anomenat raó de la
progressió (r).
• Terme general:
a n a 1 · r n1
• Suma dels n primers termes:
Sn
anr a1 r 1
• Producte dels n primers termes:
Pn (a1 · an) n
• Suma dels termes infinits (0 < r < 1):
S
a 1 a n
2
a 1
1 r
a 1r n a 1
r 1

1. Escriu el nombre que falta en els hexàgons següents:
2. Afegeix dos termes més a les successions següents:
Successions i progressions • Successions
a) 8 4 2 1 b) 1 1 1 1
c) 1 0,2 0,04 0,008 d) 1 4 9 16
e) 1 2 4 8 f) 0 3 8 15
g) h)
6
3 4 5
4 5 6 7
3. Afegeix una figura més a les sèries següents i escriu els termes corresponents:
a)
b)
–8
0
–2
–6 –4
–5
Nombre de quadrats de cada figura
Longitud total de les línies poligonals
5
–1
4
2
1
3
27
1
9
3
1
2
8
1
5
1
4
2
3
1
8
0,5
1
16
2
2
2
1
La quadrícula és
de 0,4 cm.
53

54
4. A partir del terme general, troba els tres primers termes de cada successió i el terme que ocupa el lloc 13.
a) a n 3n 1; a 1 –––––––– a 2 –––––––– a 3 –––––––– a 13 ––––––––
n
b) bn ; b1 –––––––– b2 –––––––– b3 –––––––– b13
n 2
––––––––
c) c n (2) n 2; c 1 –––––––– c 2 –––––––– c 3 –––––––– c 13 ––––––––
5. Escriu el terme general de les successions següents:
a) x 1 3; x 2 9; x 3 27; x 4 81 …
b) y 1 2; y 2 4; y 3 6; y 4 8 …
c) z 1 1; z 2 3; z 3 5; z 4 7 …
1
1
1
1
d) r1 ; r2 ; r3 ; r4 …
2
3 4 5
39
41
e) s1 ; s2 20; s3 ; s4 21 …
2
2
Quina de les successions anteriors representa tots els nombres parells? I els imparells?
6. Escriu els deu primers termes de cada successió a partir del seu terme general.
an (1) n
b n (1) n · n
c n (1) n · (n 3)
Fixa’t en les successions anteriors. Com és una successió el terme general de la qual té el factor (–1) n ?
7. Escriu el terme general de la successió –2, 4, –6, 8, –10, 12 ... Troba també els termes que ocupen els llocs
230 i 231.

Successions i progressions • Successions
8. Afegeix una figura més a cada sèrie. Després, escriu alguns termes de cada successió i, per acabar, escriu el
terme general.
a)
b)
c)
Successió: Nombre de triangles de cada figura.
–––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– ––––––––––
Terme general: ––––––––––
Successió: Longitud de la diagonal de cada quadrat.
–––––––––– 2 –––––––––– 2 –––––––––– 2 –––––––––– 2 –––––––––– 2 –––––––––– 2 –––––––––– 2 –––––––––– 2
a
Terme general: n
n 2
––––––––––
Successió: Àrea de cada figura, si l’àrea de cada quadrat fos 3 cm 2.
–––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– ––––––––––
Terme general: ––––––––––
Considera que la
quadrícula és d’1cm
de costat.
55

56
9. Representa els termes de cada successió en la recta real i decideix si és creixent, decreixent, constant o
oscil·lant.
a) x 1 3; x 2 5; x 3 7; x 4 9; x 5 11
1
1
1
b) y1 1; y2 ; y3 ; y4 ; y5
2
4
8
c) z 1 0,1; z 2 0,1; z 3 0,2; z 4 0,2
d) k 1 3; k 2 3; k 3 3; k 4 3
10. Troba el terme 10 per a les successions de l’exercici anterior i contesta les preguntes plantejades. Quan una
successió estigui fitada superiorment o inferiorment, escriu dues fites superiors o inferiors.
a) x 10 b) y 10
• Està fitada {x n} superiorment? • Està fitada {y n} superiorment?
• Està fitada {x n} inferiorment? • Està fitada {y n} inferiorment?
• Esta fitada {x n}? • Està fitada {y n}?
c) z 10 d) k 10
• Està fitada {z n} superiorment? • Està fitada {k n} superiorment?
• Està fitada {z n} inferiorment? • Està fitada {k n} inferiorment?
• Està fitada {z n}? • Està fitada {k n}?
0
0
0
0
1
16

Successions i progressions • Tipus de successions. Fites
11. Aquí tens representats els quatre primers termes de la successió {a n}.
a) Representa dos termes més i escriu els 8 primers termes d’aquesta successió.
b) La successió és creixent, decreixent, oscil·lant o constant? Raona la teva resposta.
c) És convergent? Si la resposta és afirmativa, quin és el seu límit?
12. Aquests són els sis primers termes de les successions {a n} y {b n} representats en la recta real. Completa la taula
següent:
• Escriu els 6 primers termes de cada successió:
{a n}
{b n}
{a n}
{b n}
0 1
a 1
2
0
13. Aquest nombre és una aproximació del nombre π.
a 4
3,14159265358979
Escriu els deu primers termes d’una successió
que convergeixi en π.
a 2
a 3
Està fitada
superiorment?
a 3
1
b 2
1
a 4
2
a 2
Està fitada
inferiorment?
a 5
a 6
0 1
b 4
2
b 6
b 5
Està fitada?
3 4
b 3
3
Aquesta aproximació
té catorze decimals!
a 1
És convergent o
divergent?
2
b 1
4
Té límit?
57

58
14. Decideix quina de les successions següents són progressions aritmètiques. Quan ho siguin, troba’n el terme
general i el terme que ocupa el lloc 20.
a) {2, 5, 8, 11 …} b) {4, 0, 4, 8 …}
c) {2, 4, 8, 16 …} d) {1, 1, 1, 1 …}
1 3
1 1 1 1
e) { , 1, , 2 …} f) { , , , …}
2 2
2 4 8 16
2 4 5
g) {3, 13, 23, 33 …} h) { , 1, , …}
3 3 3
15. Fixa’t en la successió de figures següents i afegeix-n’hi dues més.
• Escriu la successió que representi el nombre de quadrats ombrejats. És una progressió aritmètica? En cas afirmatiu,
escriu-ne la diferència i el terme general.

Successions i progressions • Progressions aritmètiques
16. Escriu els deu primers termes d’una progressió aritmètica el primer terme de la qual és 4 i la diferència de la qual
és –2.
17. En una progressió aritmètica a 1 = –24 i d = 5. Troba a 32 i la suma dels trenta-dos primers termes.
18. Tot sabent que a 6 = 25 i a 17 = 69, troba la diferència de la progressió aritmètica.
19. En un gratacels la distància entre dos pisos és de 3,25 m i el
primer dista del terra 4m. A quina altura es troba el pis 134?
20. En una progressió aritmètica de diferència d = 3 i de primer
terme t 1 = 7, quin lloc ocupa el nombre 181?
59

60
21. Troba la suma de tots els múltiples de 3 compresos entre 0 i 500.
22. La suma de tots els nombres senars menors que 500 és menor o major que la suma de tots els múltiples de 3
menors que 500? Comprova la teva resposta tenint en compte l’exercici 21 i calculant la suma dels nombres
senars menors que 500.
23. Troba una propietat de les progressions aritmètiques. Aquests termes són els catorze primers termes d’una progressió
aritmètica:
Els termes a 4 i a 11 són equidistants dels extrems.
També ho són a 6 i a 9.
• Troba: a 4 a 11
a 6 a 9
Què observes?
• Escull una altra parella de termes equidistants dels extrems i troba’n
la suma. Què obtens?
• Fes el mateix amb una parella més.
• Escriu la conclusió que has obtingut.
Extrems
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14
32 28 24 20 16 12 8 4 0 4 8 12 16 20
Equidistant vol
dir a igual
distància.

Successions i progressions • Progressions geomètriques
24. Escriu els deu primers termes d’una progressió geomètrica sabent que el seu primer terme és s 1 = 4 i la seva
raó és –2. Quin tipus de successió és?
25. Decideix quina de les successions següents són progressions geomètriques. Quan ho siguin, troba’n el terme
general i el terme que ocupa el lloc 15.
a) {2, 4, 8, 16, 32 …} b) {2, 4, 8, 16, 32 …}
c) {5, 10, 15, 20, 25 …} d) {0,1, 0,02, 0,003, 0,0004 …}
3 3 3 3
e) {0,01, 0,02, 0,04, 0,08 …} f) { 3, , , , …}
2 4 8 16
26. Quants trèvols hi hauria en l’última fila d’una taula com la del dibuix si tingués 10 files? Quants trèvols hi hauria
en tota la taula?
27. Un ferrer va proposar a un ramader de posar ferradures a un dels seus
cavalls cobrant un cèntim d’euro pel primer clau, dos cèntims d’euro
pel segon, quatre cèntims pel tercer i així successivament, doblant el
preu del clau anterior. El ramader s’hi va negar en rodó. Pots explicar
per què? Calcula el preu de col·locar les quatre ferradures si cada
ferradura té vuit claus.
61

62
28. La successió {x n} és una progressió geomètrica. Si x 4 = 32 i x 6 = 128, calcula:
a) la raó i el novè terme.
b) la suma dels nou primers termes.
c) el producte dels nou primers termes.
29. En una progressió geomètrica la raó és r = 2 i el tercer terme és a 3 = 28. Quin lloc ocupa el nombre 896?
30. Creus que la suma d’infinits nombres pot ser un nombre infinit? Fes la suma següent i escriu-ne el resultat en
el requadre.
31. Fixa’t en la successió de figures següent:
2 0,9 0,09 0,009 0,0009 0,00009 …
Suma d’infinits nombres
a) Escriu les àrees d’aquests tres quadrats. Estan en progressió geomètrica? En cas afirmatiu, quina és la raó?
b) Quina serà la suma de les àrees dels primers 23 vint-i-cinc quadrats construïts d’aquesta manera?
1 1
24 23 · 4 25
1 1
4 4 1 4 16
a25 4 ; S
25 24
4 4
1 3·4
3
1
4
c) Quina és la suma de les àrees dels infinits quadrats de la successió?
S
4 16
1 3
1 4

Successions i progressions • Progressions geomètriques
32. Troba la suma i el producte dels primers sis termes d’aquesta successió: {2, 8, 32, 128 ...}. Fes-ho de dues
maneres diferents. En primer lloc, escriu els sis termes; després, suma’ls i multiplica’ls. En segon lloc, fes-ho
aplicant les fórmules corresponents.
33. Recorda la propietat de les progressions aritmètiques que vas descobrir en l’exercici 23. En les progressions geomètriques
passa quelcom de semblant, però en aquest cas amb el producte dels termes equidistants dels extrems.
a) Quin és el producte dels extrems?
b) Tria tres parelles de termes equidistants dels extrems i troba’n el producte. Quin és el resultat?
c) Escriu la conclusió que has obtingut.
Extrems
Utilitza la calculadora i, si cal,
escriu el resultat en notació
científica.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 3 18 108 648 3 888 23 328 139 968 839 808
Equidistants
63

64
34. A l’hora del pati, a les 11 del matí, has explicat un secret a dos amics teus; ells han cregut que no seria gaire
greu si l’explicaven a dos amics més cada un d’ells. El pitjor és que cada una de les persones a qui algú els
ha explicat el secret ha fet el mateix i, a l’hora del segon pati, t’has adonat que un munt de gent el sabia.
Quantes persones saben el teu secret a les 13.30 si cada persona l’ha guardat durant 15 minuts només?
35. Un banc ofereix als seus clients un interès compost del 7 % anual. Quant obtindràs per 1500 € al cap de
15 anys?
Observa la gràfica per
relacionar aquest
problema amb les
progressions.
1r any 2n any
1 500 1 500 · 1,07 1 500 · 1,07 · 1,07
…
36. Un propietari d’una casa amb pocs escrúpols va voler aprofitar-se d’un matemàtic que passava per un mal
moment econòmic i li va exigir 1 € pel primer dia de lloguer, 2 € pel segon, 3 € pel tercer, 4 € pel quart i
així successivament. El matemàtic, després de pensar-hi una mica, va aconseguir una petita rebaixa del propietari.
Li va demanar que el primer dia li tornés un cèntim d’euro, el segon dia dos, el tercer dia quatre, el
quart dia vuit, etc. El propietari va córrer a tancar el tracte per a trenta dies... Qui va sortir-hi guanyant?