Microeconomia Avançada I Examen Final, Gener 2007. - UAB

Microeconomia Avançada I
Examen Final, Gener 2007.
Xavier Martinez-Giralt, Joanna Ziolkowska, Selim Ergun
1. (2 punts) Considereu les següents preferències definides en R 2 + : (x ′ , y ′ )
(x, y) si x ′ ≥ x − 1
2 .
Sigui (x ′ , y ′ ) = (1, 2).
a) Dibuixar el conjunt de cistelles (x, y) que satisfan (1, 2) (x, y).
b) Dibuixar el conjunt de cistelles (x, y) que satisfan (x, y) (1, 2).
c) Dibuixar el conjunt de cistelles (x, y) que satisfan (1, 2) ∼ (x, y).
d) Aquestes preferències són completes? Per qué?
e) Aquestes preferències són reflexives? Per qué?
f) Aquestes preferències són transitives? Per qué?
2. (2 punts) Considereu una economia amb dos bens x i y, on el be x és un be
Giffen.
a) Dibuixar en una gràfica la demanda del be x.
b) Dibuixar en una gràfica els efectes substitució i renda del be x.
c) Caracteritzar els efectes substitució i renda del be x amb l’equació de
Slutsky.
3. (2 punts) Considereu la funció d’utilitat U(x, y) = x 4 y 4 , i el sistema de
preus, (px, py) = (2, 3).
a) Derivar la corba d’Engel del be x.
b) Suposeu que la renda del consumidor és m = 100. Derivar la cistella
maximitzadora d’utilitat.
1

4. (4 punts) Considereu una economia amb dos consumidors (“consumidor 1”,
i “consumidor 2”), i dos bens (x, y). El consumidor 1 considera els bens
com perfectament substitutius, i les seves preferències es representen amb
la funció d’utilitat,
u1(x, y) = x1 + y1.
El consumidor 2 en canvi te preferències de tipus Cobb-Douglas que es
representen amb la funció d’utilitat,
U2(x, y) = x 0.2
2 y 0.8
2 .
Les dotacions inicials són w. Ens diuen que en una situació d’equilibri walrasià
hi ha intercanvi, i el consumidor 1 consumeix quantitats estrictament
popsitives d’ambdós bens.
a) Quin és el sistema de preus associat a aquesta situació d’equilibri? Per
què?
b) Prefereixen els consumidors la cistella de consum d’equilibri walrasià
a les seves dotacions inicials? Per què?
c) Representeu aquesta economia en una capsa d’Edgeworth.
ATENCIO:
1) La solució de l’examen estarà disponible a la plana web de l’assignatura
http://pareto.uab.cat/xmg/MA1.html a partir del dia 31 de gener de 2007.
2) Les notes de l’examen estaran disponibles a la plana web de l’assignatura
http://pareto.uab.cat/xmg/MA1.html a partir del dia 12 de febrer de 2007.
3) La revisió de l’examen es farà el dia 14 de febrer entre 12:00h i 14:00h
2

1.abc Vegeu la Figura 1
Solució Examen
1.d) Les preferències són completes perquè per qualsevol parell de cistelles (x, y), (x ′ , y ′ )
podem dir:
(i) x ≥ x ′ − 1
2 ⇒ (x, y) (x′ , y ′ ) o be,
(ii) x ≤ x ′ − 1
2 ⇒ (x′ , y ′ ) (x, y) o be,
(iii) x = x ′ − 1
2 ⇒ (x, y) ∼ (x′ , y ′ ).
1.e Les preferències són reflexives perquè per qualsevol cistella (x, y) tenim
que
x ≥ x − 1
⇒ (x, y) (x, y).
2
1.f Les preferències NO són transitives. Per demostrar-ho nomes necesitem un
exemple que no satisfaci la transitivitat. Considerem doncs tres cistelles
(1, 2), ( 3
3
3
, 2), (2, 2). Aleshores, (1, 2) ( , 2) i també ( , 2) (2, 2). Pero
2 2 2
en canvi no es verifica que (1, 2) (2, 2) perquè 1 < 2 − 1
2 .
2.a,b Vegeu la figura 2
2.c Un be Giffen apareix quan associat a un augment del seu preu, la seva demanda
també augmenta.. Aquest augment de la demand és el resultat de la
combinació de l’efecte substitució que fa disminuir la demanda (degut a la
taxa marginal de substitució decreixent) i de l’efectge renda que fa augmentar
la demanda suficientment per dominar sobre l’efecte substitució. Més
formalment, donats (py, m), l’equació de Slutsky pren l’expressió,
∂x ∗
∂px
Com el be x és de tipus Giffen, ∂x∗
∂px
= ∂h∗ x
∂px
∗ ∂x∗
− x
∂m .
> 0. L’efecte substitució, degut a la taxa
marginal de substitució decreixent, és negatiu, és a dir ∂h∗ x
∂px
necessàriament, ∂x∗
∂m
l’efecte substitució.
3.a Solucionem
< 0 i a mes, l’efecte renda x∗ ∂x∗
∂m
max x 4 y 4 s.a 2x + 3y = m
3
< 0. Per tant,
< 0 ha de dominar

Les condicions de primer ordre ens diuen,
y
x
= 2
3
(1)
y = 1
(m − 2x) (2)
3
Combinant (1) and (2) obtenim la corba d’Engel del be x com
x(m) = m
4
3.b Per m = 100, substituint directament a (3) obtenim x = 25. Finalment,
substituint aquest valor a (1) o (2) obtenim y = 50/3. Per tant,
(x ∗ , y ∗ ) = (25, 50
3 ).
4.a El preu relatiu associat a la situació d’equilibri descrita ha de ser px/py = 1.
Si px
px
> 1, el consumidor 1 només demandaria be y. Si < 1, el consum-
py py
idor 1 només demandaria be x. si en equilibri el consumidor 1 consumeix
quantitats positives ambdós bens necessariament ha de ser el cas que px
= 1.
4.b Donat que px
py
= 1, el consumidor 1 es manté en la corba d’indiferència que
passa pel punt de les seves dotacions inicials. Per tant, el consumidor 1 no
guanya ni perd amb l’intercanvi. El consumidor 2 però surt guanyant amb
l’intercanvi.
4.c Vegeu la Figura 3
4
py
(3)

(1, 2) (x, y) si 1 ≥ x − 1 3
⇒ x ≤
2 2
y
2
0
1
y
2
3
2
0
x
y
(x, y) (1, 2) si x ≥ 1 − 1 1
⇒ x ≥
2 2
2
0
(x, y) ∼ (1, 2) si x ∈
(x, y) ∼ (1, 2) ⇔
1
2
1
1
2
1
2
x
1
3
, donat que
2
(x, y) (1, 2) ⇒ x ≥ 1
2
(1, 2) (x, y) ⇒ x ≤ 3
2
Figure 1: Problema 1a, 1b, 1c
5
x

y
m
py
px
(py, m) donat
x ∗ x 1
s x ∗ 2
m
p 2 x
x(px)
(a) funció de demanda d'un be Giffen
ES
ER
x
(p 2 x > p 1 x)
(b) Efectes substitució i renda quan el be x és Giffen
Figure 2: Problema 2a, 2b.
6
m
p 1 x
x

x2
y1
01
w
E
tg(α) = px
= 1
py
α
Figure 3: Problema 4c
7
y2
02
x1