Control de Sistemas con Retardo del Predictor de Smith al MPC

Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
Control de Sistemas con Retardo
del Predictor de Smith al MPC
Prof. Julio E. Normey-Rico
Departamento de Automação e Sistemas - DAS
Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
julio@das.ufsc.br
www.das.ufsc.br
Febrero 2012

Sumário
1 Introducción
2 Procesos con Retardo
3 Control PID de Procesos con Retardo
4 El Predictor de Smith
5 El Predictor de Smith Filtrado
6 Predictores en Control de Procesos
7 Control Predictivo Basado en Modelo
8 Control Predictivo Generalizado (GPC)
9 GPC para Procesos con Retardo
10 Conclusiones y Perspectivas
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Sumário
1 Introducción
2 Procesos con Retardo
3 Control PID de Procesos con Retardo
4 El Predictor de Smith
5 El Predictor de Smith Filtrado
6 Predictores en Control de Procesos
7 Control Predictivo Basado en Modelo
8 Control Predictivo Generalizado (GPC)
9 GPC para Procesos con Retardo
10 Conclusiones y Perspectivas
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1 - Introducción
Por que estudiar sistemas con retardo?
El retardo está presente en la mayoría de los sistemas reales.
El retardo puede ser causado por:
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transporte de masa, energía o información;
efecto causado por varios sistemas de bajo orden conectados
en serie;
tiempo de procesamiento en sensores o controladores.

1 - Introducción
Por que estudiar sistemas con retardo?
Retardo importante ⇒ dificultad para el sistema de control.
Las dificuldades son provocadas principalmente porque:
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el efecto de las perturbaciones demora para ser sentido;
la acción de control demora para causar efecto en la variable
controlada;
la acción de control se calcula con base en un error pasado.

Sumário
1 Introducción
2 Procesos con Retardo
3 Control PID de Procesos con Retardo
4 El Predictor de Smith
5 El Predictor de Smith Filtrado
6 Predictores en Control de Procesos
7 Control Predictivo Basado en Modelo
8 Control Predictivo Generalizado (GPC)
9 GPC para Procesos con Retardo
10 Conclusiones y Perspectivas
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2 - Procesos con Retardo
Ejemplos prácticos: Caldera a gas natural
Se calienta agua usando quemador de gas natural
Se mide la temperatura del agua a la salida
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Water
Gas
V1
V2
T

2 - Procesos con Retardo
Ejemplos prácticos: Evaporadores de la Industria del Azucar
Se usa vapor para calentar y evaporar el agua del jugo de caña
Se controlan los niveles en cada evaporador
STEAM
LT
BUFFER 1
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LC LC
LC LC FC
LC
JUICE
EVAPORATORS
BUFFER 2

2 - Procesos con Retardo
Ejemplos prácticos: Columnas de destilación
Se usa vapor para calentar la mezcla en el fondo
Se controlan las temperaturas de platos para controlar la
concentración de las extracciones
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TC
entrada vino
FC
FT
salida vinaza
TT
PT
Intercambiador
LC
LT
entrada vapor
FT
FC
PC

2 - Procesos con Retardo
Representación del Retardo en el Tiempo
Respuesta al escalón de G(s)e −sL , con L > 0.
L puede representar retardo real o aparente
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Level (%)
control (%)
80
75
70
65
60
70
60
50
40
Level
0 5 10 15 20 25
time
30
control
0 5 10 15 20 25
time

2 - Procesos con Retardo
Representación del Retardo en la Frequencia
Modelo del retardo G(s) =e −sL , con L > 0.
|G(jω)| = |e −jωL | = 1, y ∠G(jω) =−ωL
Ejemplo de diagrama de fase P(s) = e−sL
(1+s) 2
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Fase
0
−50
−100
−150
−200
−250
10 −2
−300
L=0
L=0.1
L=1
10 −1
10 0
Freqüência (rad/s)
10 1
10 2

2 - Procesos con Retardo
Efecto en el lazo cerrado
Proceso P(s) =
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1
(1+1.5s)(1+0.4s) e−sL .
Control C(s) =Kc (1+Ti s)
Ti s .
Para L = 0 sintonia con Kc = 1eTi = 1.2.
Para L = 1.5 bajamos la ganancia para Kc = 0.3.
Resposta ao Degrau
2
1
0
Resposta ao Degrau
−1
0 2.5 5
Tempo (s)
(L=0,Kc=1)
(L=1.5,Kc=1)
(L=1.5,Kc=0.2)
7.5 10

2 - Procesos con Retardo
Efecto en el lazo cerrado
Para L = 0yKc = 1, Mf ≈ 70 o y ωc > 0.7rad/s
Para L = 1.5 yKc = 1, Mf ≈ 5 o y ωc > 0.7rad/s
Para mejorar la respuesta es necesario mejorar la MF via reducción de Kc.
Asi, para Kc = 0.3, Mf > 60 0 y ωc ≈ 0.25rad/s. Respuesta mas lenta.
Magnitude
Fase
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10 0
10 −1
10 −2
0
−60
−120
−180
−240
10 −1
Resposta em freqüência
10 0
10 0
Freqüência (rad/s)
(L=0,Kc=1)
(L=1.5,Kc=1)
(L=1.5,Kc=0.2)
10 1
10 1

2 - Procesos con Retardo
Control “Ideal”de Sistemas con Retardo
r(t)
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q(t)
C(s) P(s) e−sLn El retardo está en la relación entrada salida.
El retardo no aparece en la ec. característica.
Y (s) C(s)G(s)
=
R(s) 1 + C(s)G(s) e−sL
y(t)

2 - Procesos con Retardo
Control “Ideal”de Sistemas con Retardo
r(t)
yp(t)
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C(s)
Gn(s)
q(t)
ˆy(t + Ln)
P(s)
e −sLn
ˆy(t)
ep(t)
El predictor de Smith - estructura de compensación de retardo.
Sea P(s) =G(s)e −sL y el modelo nominal Pn(s) =Gn(s)e −sLn .
y(t)

2 - Procesos con Retardo
Control ”Ideal”de Sistemas con Retardo
r(t)
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yp(t)
C(s)
Si P(s) =Pn(s) y q(t) =0:
G(s)
q(t)
ˆy(t + Ln)
G(s)e −sL
e −sL
ˆy(t)
ep(t) =0
Y (s) C(s)G(s)
=
R(s) 1 + C(s)G(s) e−sL
Sintonizar C(s) en función de G(s).
El retardo no afecta las prestaciones del bucle nominal.
Analizar las perturbaciones y errores de modelado.
y(t)

2 - Procesos con Retardo
Control ”Ideal”de Sistemas con Retardo
Precisamos de un modelo del proceso que incluya el retardo.
Modelos fenomenologicos de la planta industrial
Modelos del tipo caja negra (experimentales)
Modelos del tipo caja gris (parte fenomenologica pero con
parametros ajustados por experimentos)
Es importante cuantificar los errores de modelado.
Los métodos gráficos de respuesta al escalónyelmétodo numérico de
los mínimos cuadrados son los mas usados en la practica.
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2 - Procesos con Retardo
Aplicación en la industria del azucar
Proceso de producción de azucar de caña:
Preparación de la caña. Lavado, Molienda y mezcla con agua.
Preparación del jugo.
Evaporación en conjunto de evaporadores que eliminan gran parte
del agua.
Tachas de cristalización.
Separación del azucar.
Cristalización de las masas que sobran. Formación de cristales por
enfriamiento.
Centrifugación
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2 - Procesos con Retardo
Cristalizadores-Resultados
Tms 2
Fa 2
200
180
160
140
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analisis Crist 2 − respuesta al escalon de agua
120
100
2500 3000 3500
tiempo
4000
T masa salida 2
4500
165
160
155
150
2500 3000 3500
tiempo
4000
Caudal agua 2
4500

Sumário
1 Introducción
2 Procesos con Retardo
3 Control PID de Procesos con Retardo
4 El Predictor de Smith
5 El Predictor de Smith Filtrado
6 Predictores en Control de Procesos
7 Control Predictivo Basado en Modelo
8 Control Predictivo Generalizado (GPC)
9 GPC para Procesos con Retardo
10 Conclusiones y Perspectivas
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3 - Control PID de Procesos con Retardo
Controladores PID
El PID es el controlador mas usado en la industria
La mayoria de los metodos para la industria usan modelos de
primer orden con retardo
Devemos tener cuidado con las relaciones L/T definidas para cada
ajuste
Vimos que la solución ideal incluye un predictor
Como ajustar el PID teniendo en cuenta estas ideas de predicción
para todo valor de retardo?
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3 - Control PID de Procesos con Retardo
Controladores PID
PID ideal ISA
La ley real (propia) de esta estructura es:
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C(s) =Kc(1 + 1
T i s + T d s)
C(s) =
Kc(1 + 1
T i s + T d s)
αT d s + 1
(ISA)
α se sintoniza con base en la atenuación de ruído y la robustez, α ∈ (0, 1).
Los controladores PID también son utilizados como:
1 + Ti s Td s + 1
C(s) =Kc
Ti s αTd s + 1 (série)
C(s) =Kp + Ki s +
Kd s
αKd s + 1 (paralelo)

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Controlador Equivalente - Predictor de Smith
Estructura del PS con controlador equivalente:
r(t)
r(t)
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yp(t)
C(s)
Ceq =
Ceq(s)
Gn(s)
q(t)
ˆy(t + Ln)
P(s)
e −sL
C(s)
1 + C(s)(Gn(s) − Pn(s))
C(s)
Gn(s) − Pn(s)
q(t)
P(s)
ˆy(t)
ep(t)
y(t)
y(t)

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Controlador Equivalente - Predictor de Smith
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R(s) Y (s)
Ce(s) P(s)
El controlador equivalente en la estructura del predictor de Smith es:
Ce =
C(s)
1 + C(s)[Gn(s) − Pn(s)]
Considerando Pn(s) = Ke−sL
K
, Gn = 1+Ts 1+Ts y C(s) = K1(1+sT1) .
Ajustando T1 = T resulta:
Ce(s) =
K1(1 + Ts)
Ts + K1Kp(1 − e −sL )
sT 1
(Función irracional con polo en s = 0)

3 - Control PID de Procesos con Retardo
PID aproximando el Control Ideal
Con la aproximación de Padé e −sL ≈ 1−0.5Ls
1+0.5Ls
El controlador anterior es:
O sea:
Con: Kc =
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Ce(s) = K1(1 + Ts)(1 + 0.5Ls)
Ts(1 + 0.5Ls + K 1KpL
T )
1 + Ti s Td s + 1
Ce(s) =Kc
Ti s αTd s + 1
T
(L+T 0)Kp , T i = T , T d = 0.5L, α = T 0
T 0+L
Sistema en BC con constante de tiempo T0

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Solución equivalente - posicionamiento de Polos
Solución por el Lugar de las Raices para modelo Pm =
PID Cx(s) =Kx (1+Ts)(1+0.5Ls)
Ts(1+0.5αLs)
Se posicionan dos polos en s = − 1
T 0 y se encuentran Kx y α:
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Kx =
α =
2T
(L + 4T0)Kp
4T 2 0
(L + 4T0)L
K (1−0.5Ls)
(1+Ts)(1+0.5Ls)

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Análisis del Cancelamiento Polo-Cero
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Q(s)
R(s) Y (s)
Ce(s) P(s)
El cancelamiento de dinámicas lentas debe ser evitado cuando se desea acelerar la
respuesta a las pertubaciones.
Relaciones:
Y (s)
R(s) =
KcKp(1 + Td s)e−sL sT (1 + αTd s)+KcKp(1 + Td s)e−sL )
Y (s) e−sL
sT (1 + αTd s)
=
Q(s) 1 + sT sT (1 + αTd s)+KcKp(1 + Td s)e−sL )
Si L

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Análisis del Cancelamiento Polo-Cero - Ejemplo
Saída e Referência
0.8
0.6
0.4
0.2
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1
0
T 0 =0.2
T 0 =0.3
Referência
0 2 4 6 8 10
Tempo
Ação de Controle
10
8
6
4
2
0
u for T 0 =0.2
u for T 0 =0.3
0 2 4 6 8 10
Tempo
Modelo del tanque con calentador P(s) = e−0.5s
1+1.5s .
Controladores ajustados para: T0 = 0.2 yT0 = 0.3.
Observe que:
- T0 define la respuesta a la consigna;
- la repuesta a la consigna es mas rápida que la de rechazo de la perturbación.

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Sintonía para Procesos con Retardo Dominante
Se usa el modelo aproximado P = Ke−sL
(1+Ts) con L > 2T yel
controlador PID C(s) =Kc (1+Ts)(1+0.5Ls)
Ts(1+0.5αLs)
Se define la respuesta en BC con T0 en función de L:
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T0 =[(α 2 + α) 1
2 + α] L
2
Para cada α, la respuesta nominal es la misma en el tiempo
normalizaddo por L.
Mayores valores de α mayor robustez
Si el retardo es dominante, no interesa acelerar la respuesta:
el tiempo de respuesta total cambia poco;
se pierde en robustez.

3 - Control PID de Procesos con Retardo
PID de Dos Grados de Libertad - PID2DOF
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Q(s)
R(s) Y (s)
F (s) C(s) P(s)
Estructura 2DOF:
- polos para rechazo de perturbación rápida;
- filtro de set-point para evitar picos en la respuesta a las consignas.
Para un PID con ponderación de P e D:
C(s) =Kc
b pondera P y c pondera D.
En general b y c ∈ (0.2, 0.6).
(1 + Ti s + Ti Td s2 )
, F (s) =
Ti s(Tf + 1)
1 + bTi s + cTi Td s2 1 + Ti s + Ti Td s2 Si no hay filtro debemos sintonizar α para un compromiso entre las dos respuestas.

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Procesos Integradores - Procedimiento
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P2(s) C P(s)
′ Q(s)
R(s) Y (s)
F (s)
′ (s)
Etapa 1: Estabilizar la planta con Ko
Etapa 2: Sintonia del PID para la planta equivalente estable P2
Etapa 3: Se ajusta el filtro de set-point
Se obtiene la constante de tiempo de BC
T0 =[γ +(γ 2 + γ) 1 2 ] L
2
- γ regula la robustez como α en el caso estable.
Ko

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Procesos Integradores - Procedimiento
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R(s)
Q(s)
Y (s)
F (s) C(s) P(s)
Las plantas se dividen en dos grupos para el ajuste
Retardo-dominante Dead-time Dominant o constante de tiempo dominante Lag
Dominant
Procesos del tipo Lag Dominant (T >> L)
Aproximación por:
P(s) = Kpe−sL
Ts+1
≈ Kpe−sL
Ts
= Kv e−sL
s

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Procesos Integradores - Ejemplo
Saída e Referência
1.6
1.4
1.2
0.8
0.6
0.4
0.2
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1
0
γ=0.2
γ=0.2, b=0.43, c=0.5
Referência
0 20 40 60 80 100
Tempo
Proceso P(s) =
Ação de Controle
0.4
0.3
0.2
0.1
0
γ=0.2
γ=0.2, b=0.43, c=0.5
−0.1
0 20 40 60 80 100
Tempo
2e −5s
2e−5s
, Modelo Pn(s) = .
s(1+s)(1+0.5s)(1+0.1s) s
Sintonía con γ = 0.2 Caso 1: b = c = 1, Caso 2: b = 0.43 y c = 0.5.
Observar eficacia del método.

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Control de trayectoria en robot movil
RESULTADOS EXPERIMENTALES
Control de trayectoria del NOMAD 200
Se miden por odometria la posicion y orientación del robot
Se usa una trayectoria de aproximacion a la referencia deseada
Se usa la velocidad de giro como señal de control y una velocidad
lineal constante
El modelo dinamico es no lineal pero se puede aproximar por un
retardo con un integrador:
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P(s) = e−0.2s
s
Se usa un PID para el control de este bulce

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Control de trayectoria en robot movil
Approximation
Point
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ref . angle
x g,y g,angle
2DOF -PID Mobile Robot
u(t)
angle

3 - Control PID de Procesos con Retardo
Control de trayectoria en robot movil
y (m)
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5 1 1.5 2 2.5
x (m)
3 3.5 4 4.5
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3 - Control PID de Procesos con Retardo
Prestaciones alcanzábles
Para obtener robustez debemos mantener T0 relacionado con L
Con α y γ ∈ [0.4, 0.5] se obtiene T0 = 0.5L
La respuesta en BC puede ser mucho mas lenta que en BA
Pero independientemente del valor del retardo se controla al
sistema
Si precisamos mas velocidad debemos usar el PS
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Sumário
1 Introducción
2 Procesos con Retardo
3 Control PID de Procesos con Retardo
4 El Predictor de Smith
5 El Predictor de Smith Filtrado
6 Predictores en Control de Procesos
7 Control Predictivo Basado en Modelo
8 Control Predictivo Generalizado (GPC)
9 GPC para Procesos con Retardo
10 Conclusiones y Perspectivas
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4 - El Predictor de Smith
Propiedades del Predictor de Smith (PS)
Estructura del PS no caso nominal (Pn(s) =P(s) =G(s)e −sL ):
r(t)
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yp(t)
C(s)
Compensación del Retardo
Gn(s)
q(t)
P(s)
e −sLn
ˆy(t + Ln)
ep(t)
ˆy(t)
y(t)
Y (s) C(s)P(s) C(s)G(s)
= =
R(s) 1 + C(s)G(s) 1 + C(s)G(s) e−sL
Predicción
yp(t) =ˆy(t + Ln) → anticipación de y(t) para cambio de consigna.

4 - El Predictor de Smith
Predictor de Smith (PS) - Controlador Equivalente
Estructura del PS con controlador equivalente:
r(t)
r(t)
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
yp(t)
C(s)
Ceq =
Ceq(s)
Gn(s)
q(t)
ˆy(t + Ln)
P(s)
e −sL
C(s)
1 + C(s)(Gn(s) − Pn(s))
C(s)
Gn(s) − Pn(s)
q(t)
P(s)
ˆy(t)
ep(t)
y(t)
y(t)

4 - El Predictor de Smith
Predictor de Smith (PS) - Controlador Equivalente
Estructura del PS con controlador equivalente:
r(t)
r(t)
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
yp(t)
C(s)
Ceq(s) =
Ceq(s)
Gn(s)
q(t)
ˆy(t + Ln)
P(s)
e −sL
C(s)
1 + C(s)(Gn(s) − Pn(s))
C(s)
Gn(s) − Pn(s)
q(t)
P(s)
ˆy(t)
ep(t)
y(t)
y(t)

4 - El Predictor de Smith
Predictor de Smith (PS) - Desventajas
• Ceq =
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q(t)
r(t) y(t)
Ceq(s) P(s)
C
1 + C(Gn − Pn) =
• P(s) = Ng(s)
Dg(s) e−sL
1 + Nc
Dc
( Ng
Dg
Nc
Dc
e Ceq(s) =
− Ng
Dg e−sL ) =
NcDg
DcDg + NcNg(1 − e −sL )
Nc(s)Dg(s)
Dc(s)Dg(s)+Nc(s)Ng(s)(1 − e −sL )
Cancelamiento de polos → problemas con plantas inestables e dinámicas
lentas.

4 - El Predictor de Smith
Predictor de Smith (PS) - Desventajas
Seja P(s) =Pn(s) então:
Y (s)
Q(s) =
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q(t)
r(t) y(t)
Ceq(s) P(s)
Y (s) Ceq(s)G(s)e−sL
=
R(s) 1 + Ceq(s)G(s) e−sL = C(s)Gn(s)e−sL
1 + C(s)Gn(s)
Gn(s)e −sL
= Gn(s)e−sL
1 + Ceq(s)Gn(s)
1 − C(s)Pn(s)
1 + C(s)Gn(s)
-Estructura de 1 grado de libertad. Y (s)/R(s) e Y (s)/Q(s) dependen
directamente de C(s).
- La respuesta de rechazo de perturbación es limitada por la constante de
tiempo dominante de la planta.

4 - El Predictor de Smith
Predictor de Smith (PS) - Desventajas
Si Pn(s) = Ge(s)e−sL
y C(s) integrador.
s
Si aplicamos una perturbación del tipo escalón.
R(s)
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Ce(s)
C(s)
Gn(s) − Pn(s)
Q(s)
Y (s)
P(s)
C(s)
El Controlador equivalente es Ceq = 1+C(s)(Gn(s)−Pn(s)) .
Aunque C(s) tenga un polo en s = 0, Ceq(s) no lo tiene:
lim H(s) = lim
s→0 s→0 Ge(s)
−sLn 1−e
= LnGe(0) = 0
s
C
lim Ceq = lim
s→0 s→0
′ (s)
s+C ′
= (s)H(s)
1
H(0) =
1
LnGe(0)

4 - El Predictor de Smith
Proceso Integrador - Ejemplo
Saída e Referência
0.8
0.6
0.4
0.2
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1
0
Saída
Referência
0 50 100 150
Tempo
Proceso P(s) = 2e−5s
s(1+0.1s)
Ação de Controle
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
0 50 100 150
Tempo
2e−5.1s
modelado por Pn(s) = . s
Controlador primario PI (C(s) =0.25 8s+1
8s ).
Perturbación en escalón de −0.05 en t = 75.
Y (s) 1
lim = = 10.2 → y∞ = 1 − 0.05 ∗ 10.2 = 0.49.
s→0
Q(s) Ceq(0)
No rechaza la perturbación en escalón, aun cuando C(s) es PI.
u

4 - El Predictor de Smith
Procesos Inestables - Ejemplo
Saída e Referência
1.5
0.5
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
1
0
−0.5
−1
0 2
Saída
Referência
4 6
Tempo
8 10
Ação de Controle
6
5
4
3
2
1
0
−1
−2
0 2 4 6 8 10
Tempo
Proceso P(s) = e−s
(s−1) con control PS y C(s) es un PI con Kc = 6, T i = 1.
Polos de
Y (s)
son s = −2 es = −3.
R(s)
Para perturbación escalón de −0.1 ent = 5.
Respuesta inestable a la perturbación.
u

4 - El Predictor de Smith
PS de Dos Grados de Libertad - Sintonia de un modelo FOPDT
R(s)
Para Pn = Kpe−sLn
1+Ts
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F (s)
e Gn = Kp
1+Ts :
Ceq(s)
C(s)
Gn(s) − Pn(s)
Q(s)
P(s)
Y (s)
- Elija C(s) =Kc(1 + 1
sT i ), con T i = T : 1+ C(s)Gn(s) =1 +
kc Kp
sT i
- Defina la constante de tiempo de bucle cerrado T0, así: Kc = T i
KpT 0
- Sintonice el filtro F (s) = 1+sT 0
1+sT 1
Esto separa las respuestas a consignas (T1) y perturbación (T0):
Y (s) e−sLn
=
R(s) 1 + sT1
e
−sLn
Y (s) K0e
= 1 −
Q(s) 1 + sT
e−sLn
1 + sT0
- Sintonia simple para procesos con retardo dominante: T0 = T1 = T ⇒ Kc = 1
Kp
(Predictive PI Controller)

4 - El Predictor de Smith
Control Preditivo PI (PPI)- Ejemplo
Saída
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
PPI
PID−2DOF
Referência
0
0 50 100
Tempo
150
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
0.3
0.25
0.2
0.15
P(s) = 5e−10s
5e−15s
(1+s) 8 modelado por Pn(s) = 1+3s .
Primero se ajusta un PID con α = 0.3:
Kc =
Sinal de Controle
0.1
0.05
0
0 50 100
Tempo
PPI
PID−2DOF
150
0.35(L+2T )
KpL T i = T + 0.5L T d = LT
L+2T T f = 0.15L b = 0.80 c = 1
Comparando con PPI: es más rápido y menos oscilatorio.

4 - El Predictor de Smith
Control Preditivo PI (PPI)- Ejemplo
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
Magnitude
10 2
10 0
10 −2
10 −4
10 −6
10 −3
10 −8
10 −2
10 −1
Freqüência
10 0
δ PPI
δ PID
W − PPI
W − PID
Condición de estabilidad robusta
|δP(jω)| < dP(jω) =
1 + C(jω)Pn(jω)
C(jω)Pn(jω)
Efecto de la aproximación de Padé en el error de modelado - caso PID.
10 1

4 - El Predictor de Smith
Resumen
Que debemos recordar de un sistema controlado con un PS:
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El PS elimina el efecto del retardo en la respuesta nominal a
consignas;
El PS permite compromisso entre robustez e prestaciones;
El PS no se puede usar en plantas inestables ni integradoras;
El PS no puede acelerar la respuesta al rechazo de
perturbaciones mas que el bucle abierto.

Sumário
1 Introducción
2 Procesos con Retardo
3 Control PID de Procesos con Retardo
4 El Predictor de Smith
5 El Predictor de Smith Filtrado
6 Predictores en Control de Procesos
7 Control Predictivo Basado en Modelo
8 Control Predictivo Generalizado (GPC)
9 GPC para Procesos con Retardo
10 Conclusiones y Perspectivas
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.

5 - Predictor de Smith Filtrado
Robustez y cambios en control equivalente
Estructura del PS con filtro en la predicción:
r(t)
r(t)
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
yp(t)
C(s)
C(s)
Gn(s)
Gn(s)
Fr (s)
q(t)
P(s)
e −sL
ˆy(t + Ln)
q(t)
Fr (s)
P(s)
Pn(s)
El filtro Fr (s) se usa para atenuar los efectos de los errores de modelado.
ˆy(t)
y(t)
y(t)

5 - Predictor de Smith Filtrado
Robustez y cambios en control equivalente
Estructura equivalente del PS con filtro de robustez:
r(t)
r(t)
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
Ceq(s)
C(s)
Gn(s)
C(s)
Fr (s)
Gn(s) − Fr (s)Pn(s)
Y (s)
R(s) =
Ceq(s)P(s)
1 + Ceq(s)Fr (s)P(s)
Fr (s)
e
q(t)
P(s)
Pn(s)
q(t)
P(s)
y(t)
y(t)
Y (s)
R(s) =
Ceq(s)
1 + Ceq(s)Fr (s)P(s)

5 - Predictor de Smith Filtrado
Ajuste del filtro Fr
El filtro cumple dos funciones fundamentales:
Debe ser pasa bajos si queremos que atenue los errores de modelado en
alta frecuencia).
Debe hacer con que el Control Equivalente no cancele al polo lento de la
planta si queremos acelarar la respuesta a perturbaciones
IMPORTANTE: este dos ultimos requisitos pueden ser conflictuantes
Si el filtro se ajusta para evitar el cancelamiento de polos inestables
permite el uso con plantas inestables
En el caso integrador el filtro permite rechazo de perturbaciones pues hace
que el Control equivalente sea integrador
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5 - Predictor de Smith Filtrado
Implementación en tiempo discreto
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q(t)
r(kh) u(kh)
y(t)
F (z) C(z)
Bo(s)
P(s)
y(kh)
En la práctica el PS o PSF solo se usa en plataformas digitales).
Implementación: [Nfr (s)e −sL − Dfr (s)] ↩→ [Nfr (z −1 )z −d − Dfr (z −1 )].
Ceq(z −1 ) es racional - cancelamiento directo - fácil de implementar.
En la discretización elejir bien el período de muestreo h.
Puede haber restriciones prácticas para elejir h.
h

5 - Predictor de Smith Filtrado
Discretización
Se hace el proyecto en tiempo continuo (dominio s).
Se define (h).
⎧
⎪⎨
Se discretizan (C(s) e Fr (s)):
⎪⎩
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s = z−1
h
s =
(Euler)
z−1
zh (Back. Dif.)
s = 2(z−1)
h(z+1) (Tustin)
El processo debe ser Pzoh(z) =Gzoh(z)z −d , con Gzoh(z) =BoG(z) e
Bo(s) = 1−e−sh
. s
Se calcula el controlador equivalente a partir de C(z), Fr (z) y Gzoh(z).
Importante: no utilizar um método de aproximación (Tustin, Euler, etc...)
para discretizar el proceso.

Sumário
1 Introducción
2 Procesos con Retardo
3 Control PID de Procesos con Retardo
4 El Predictor de Smith
5 El Predictor de Smith Filtrado
6 Predictores en Control de Procesos
7 Control Predictivo Basado en Modelo
8 Control Predictivo Generalizado (GPC)
9 GPC para Procesos con Retardo
10 Conclusiones y Perspectivas
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6 - Predictores en Control de Procesos
Ideas Generales
Extensión de las ideas de predicción
¿por que limitar la predicción al tiempo del atraso?
¿se podria usar en casos no lineales y con restricciones?
¿como ajustar el control primario en casos complejos ?
CONTROL ÓPTIMO
Optimizar una cierta función objetivo que es calculada en un horizonte
futuro basado en el error futuro, el el control futuro y en las condiciones o
restricciones.
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.

6 - Predictores en Control de Procesos
Ideas Generales
controle atual
CONTROLE
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
controle atual
CALCULO DO
Estrutura del CPBM
PROCESSO
saida futura
MODELO
condicoes e restricoes
saida atual
saida do
modelo
erro atual
-
+

Sumário
1 Introducción
2 Procesos con Retardo
3 Control PID de Procesos con Retardo
4 El Predictor de Smith
5 El Predictor de Smith Filtrado
6 Predictores en Control de Procesos
7 Control Predictivo Basado en Modelo
8 Control Predictivo Generalizado (GPC)
9 GPC para Procesos con Retardo
10 Conclusiones y Perspectivas
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7 - Control Predictivo Basado en Modelo
CPBM
Ideas del CPBM
Utilizar un modelo explícito
Minimizacción de un objetivo
Horizonte deslizante
Elementos del CPBM
El modelo de predicción
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Modelo del Proceso
Modelo de las Perturbaciones
La función objetivo
Un método para la obtención de la ley de control
Algoritmos de CPBM
DMC
GPC
UPC

7 - Control Predictivo Basado en Modelo
Control Predictivo de Procesos con Retardo
Diferencias de los algoritmos CPBM
El modelo de parametros concentrados tipo ARIMA son más generales
Los modelos respuesta escalón e impulsiva necesitan de muchos
parámetros cuando el retardo e grande
Los modelos paramétricos permiten dejar el atraso evidencia en el modelo
Ventajas del algoritmo GPC
El modelo es general
El atraso es representado por z −d
Permite usar polinomios de filtrado para mejorar robustez y rechazo de
perturbaciones
El estudio se puede hacer también con otros algoritmos de
CPBM.
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Sumário
1 Introducción
2 Procesos con Retardo
3 Control PID de Procesos con Retardo
4 El Predictor de Smith
5 El Predictor de Smith Filtrado
6 Predictores en Control de Procesos
7 Control Predictivo Basado en Modelo
8 Control Predictivo Generalizado (GPC)
9 GPC para Procesos con Retardo
10 Conclusiones y Perspectivas
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8 - Control Predictivo Generalizado
GPC Ideas
Algoritmo de control GPC
Modelo para cálculo de predicciones
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A(z −1 )y(t) =z −d B(z −1 )u(t − 1)+C(z −1 )
A, B, C y D polinomios en función del operador atraso z −1
Función Objetivo
e(t)
D(z −1 )△
N 2
J = δ(j)[ˆy(t + j | t) − w(t + j)] 2 Nu
+ λ(j)[△u(t + j − 1)] 2
j=N 1
Ajuste
Horizontes N1, N2, Nu
Ponderaciones δ(j), λ(j)
Objetivo
Calcular control futuro u(t), u(t + 1), ... para minimizar J
j=1

8 - Control Predictivo Generalizado
GPC Ideas
GPC utiliza la predicción óptima:
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Cálculo de las Predicciones
¿Como obtener ˆy(t + j/t) óptimo?
Se no hay perturbaciones:
ˆy(t + j/t) =E(y(t + j))
A(z −1 )y(t) =z −d B(z −1 )u(t − 1)
Cuando hay perturbaciones −→ Usar a información de e(t)

8 - Control Predictivo Generalizado
GPC Ideas
Cálculo de las Predicciones
Predicción Óptima:
Combinación lineal de las salidas anteriores del proceso (de t a t − na) y
de los controles pasados e futuros.
Predicciones Óptimas no Horizonte N
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ˆy(t + d + 1 | t) = Gd+1 △ u(t)+Fd+1y(t)
ˆy(t + d + 2 | t) =
.
Gd+2 △ u(t + 1)+Fd+2y(t)
ˆy(t + d + N | t) = Gd+N △ u(t + N − 1)+Fd+Ny(t)

8 - Control Predictivo Generalizado
GPC Ideas
Cálculo de las Predicciones
Forma Vectorial
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y = Gu + F(z −1 )y(t)+G ′ (z −1 ) △ u(t − 1)
Respuesta libre fr + respuesta forzada
y = Gu + fr
y = Gu - respuesta obtenida si las condiciones iniciales
son nulas;
y = fr - respuesta obtenida si el control futuro es cero.

8 - Control Predictivo Generalizado
GPC Ideas
MATRICES PARA CALCULO DE LAS PREDICCIONES
y =
u =
G ′ (z −1 ) =
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⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
ˆy(t + d + 1 | t)
ˆy(t + d + 2 | t)
.
ˆy(t + d + N | t)
△u(t)
△u(t + 1)
.
△u(t + N − 1)
⎤
⎥
⎦ F(z−1 ⎡
⎢
)= ⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
G = ⎢
⎣
Fd+1(z −1 )
Fd+2(z −1 )
.
Fd+N(z −1 )
⎤
⎥
⎦
g0 0 ... 0
g1 g0 ... 0
.
.
.
.
gN−1 gN−2 ... g0
(Gd+1(z −1 ) − g0)z
(Gd+2(z −1 ) − g0 − g1z −1 )z 2
.
(Gd+N(z −1 ) − g0 − g1z −1 −···−gN−1z −(N−1) )z N
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦

8 - Control Predictivo Generalizado
GPC Ideas
Cálculo del control en la práctica
Matriz G es la respuesta al ESCALÓN calculada como:
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gj =
j
i=1
j−1
aigj−i + bi
i=0
¿Como calcular u óptimo?
j = 0...N − 1,
Caso simple: δ(j) =1yλ(j) =λ constantes.
Error de predicción: y − w
J =(y − w) T (y − w)+λu T u
J =(Gu + fr − w) T (Gu + fr − w)+λu T u
J =(Gu + fr − w) T Qδ(Gu + fr − w)+u T Qλu

8 - Control Predictivo Generalizado
GPC Ideas
Forma final del control en la práctica
Forma Cuadrática:
J = 1
2 uT Hu + b T u + f0
donde: H = 2(G T G + λI)
b T = 2(fr − w) T G
f0 = (fr−w) T (fr − w)
Cálculo del Controle:
Algoritmo de Horizonte Deslizante:
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u = −H −1 b =(G T G + λI) −1 G T (w − fr )
únicamente u(t) é aplicada
Ley de Control Final: △ u(t) =K(w − fr ) odnde K es la primera fila de la
matriz (G T G + λI) −1 G T .

8 - Control Predictivo Generalizado
GPC Ideas
Diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado
w
+
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-
K
controle atual
fr
Horizonte Deslizante:
Δu(t) es aplicado
control es recalculado en (t + 1)
solamente se usa la 1a. fila de K !
PROCESSO
Calcula resposta livre
saida atual

Sumário
1 Introducción
2 Procesos con Retardo
3 Control PID de Procesos con Retardo
4 El Predictor de Smith
5 El Predictor de Smith Filtrado
6 Predictores en Control de Procesos
7 Control Predictivo Basado en Modelo
8 Control Predictivo Generalizado (GPC)
9 GPC para Procesos con Retardo
10 Conclusiones y Perspectivas
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9 - GPC para Procesos con Retardo
Propiedades
Particularidades del caso con retardo
Interesa solamente ˆy(t + d + j | t)
Se considera inicialmente el modelo más simple con T = 1
Con un procedimiento similar al ya visto se obtiene las predicciones.
⎡
ˆy(t+d+1|t)
⎤
⎢
⎣
ˆy(t+d+2|t)
.
⎥
⎦
ˆy(t+d+N|t)
=G
⎡
△u(t)
⎤
⎢
⎣
△u(t + 1)
.
⎥
⎦
△u(t+N−1)
+H
⎡
△u(t−1)
⎤
⎢
⎣
△u(t−2)
.
⎥
⎦
⎡
ˆy(t + d|t)
⎢ ˆy(t+d−1|t)
⎢
+S ⎢ .
⎣ .
ˆy(t+d−na|t)
⎤
⎥
⎦
△u(t−nb)
,
Escribiendo en la forma vectorial:
ˆy = Gu+ Hu1 + Se1
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9 - GPC para Procesos con Retardo
Propiedades
Nuevamente
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
ˆy = Gu+ fr
Ahora fr está en función de ˆy(t + d | t)
Como obtener la nova ley de control?
Nuevamente minimizando J con relación al vector u
Usando horizonte deslizante, se calcula solamente △u(t)
CONTROL FINAL:
△u(t) =ly1ˆy(t + d | t)+ly2ˆy(t + d − 1 | t)+... + lyna+1ˆy(t + d − na | t)
+lu1 △ u(t − 1)+lu2 △ u(t − 2)+... + lunb △ u(t − nb)+lr r(t)
donde los coeficientes lyi, lui e fi son funciones del:
modelo ai, bi
los parámetros de control N,δ(i) y λ(i)

9 - GPC para Procesos con Retardo
ESQUEMA DE CONTROL
Modelo del proceso Pn(z) =Gn(z)z −d = B(z−1 )z −1−d
Un filtro R(z) = ly 1F d +ly 2F d−1 +...+ly na+1F d−na
ly 1+ly 2z −1 +...+ly na+1z −na
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A(z −1 )
C(z) y W (z) representan el controlador primario 2 DOF:
w(t)
W(z)
+
-
C(z)
u(t)
q(t)
+
+
PROCESS0
Gn(z)
^y(t+d/t)
Preditor otimo
+
+
-d
z
R(z)
y(t)
^
-
+
y(t)

9 - GPC para Procesos con Retardo
Propiedades
Análisis del Esquema de Control
Estructura de control es equivalente a la de un compensador de tiempo
muerto con dos grdos de libertad, como el predictor de Smith con un filtro
de referencia.
La inclusión del polinomio T en el modelo CARIMA como parámetro de
ajuste permite modificar R(z).
La estructura de R define as características de control para un dado
conjunto de parámetros (horizontes y ponderaciones)
Resultados Interesantes:
el posible estudiar claramente el efecto del atraso en la estructura del GPC
permite relacionar el GPC con los algoritmos de compensación de tiempo
muerto.
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9 - GPC para Procesos con Retardo
El GPC como DTC
El GPC posee una estructura de predictor más control primario.
Siempre é posible usar el mismo control primario C y W en las dos
estructuras.
Si P = Pn y no hay perturbaciones, ambos sistemas tienen la misma
respuesta cuando se usa el mismo control primario.
Ambas estructuras realimentan el error de predicción.
Diferencia: FILTRO R DEL PREDICTOR
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9 - GPC para Procesos con Retardo
Análisis Comparativa del DTC y GPC
Mejor Robustez del DTC. Se demuestra que:
el ajuste del filtro en el DTC tiene mas grados de libertad que e el DTC
Se pueden conseguir mejores prestaciones con igual robustez
El ajuste del GPC para el control primario es interesante para casos
complejos y porque puede incluir restricciones
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9 - GPC para Procesos con Retardo
El DTC GPC
Como GPC es sensíble a errores de modelado en altas frecuencias −→ Usar
otro predictor.
Características del DTC GPC
Misma función objetivo que GPC
Predictor de Smith Filtrado
Filtros pasa bajas para mejorar la robustez y permitir uso con plantas
inestables
Ventajas:
Mejor robustez e igual desempeño
Mas simple de ajustar: Filtros!
Implementación:
Idéntico al GPC usando respuesta libre y minimización
Las resticciones se usan en el procedimiento de minimización y el efecto
del predictor es solo en la respuesta libre
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9 - GPC para Procesos con Retardo
NUEVO ESQUEMA DE CONTROL
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constraints
w u(t)
Optimisation
f r
Free response
y p(t)
q
Predictor
Process
y(t)
r(t) y(t)
^
y(t+d)
z -d
constraints
q(t)
Nonlinear
u( t)
Nonlinear
Optimization
Process
Dead-time-free
discrete model
^
y(t)
_
+
yp(t) +
+
Fr(z) e p(t)

9 - GPC para Procesos con Retardo
Aplicación a robótica móvil
Robot Labmate El seguimiento de trayectorias (ST) es un de los temas
más importantes en el campo de la robótica móvil.
Menor error con mínimo esfuerzo (energía)
Caminos de aproximación. Modelos lineales simples. Control robusto
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9 - GPC para Procesos con Retardo
Resultados
Robot Labmate
y(metros)
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
8
7
6
5
4
3
2
1
N = 15,λ= 0.5,δe + 1,δθ = 0.5
ponto de partida
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x(metros)
3 3.5 4 4.5 5

9 - GPC para Procesos con Retardo
Resultados
Robot Labmate N = 15,λ= 0.5,δe = 1,δθ = 0.5
Error de estimacion del retardo de 40%
y(metros)
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.
8
7
6
5
4
3
2
1
ponto de partida
0
0 1 2 3 4 5
x(metros)
6 7 8 9 10

Sumário
1 Introducción
2 Procesos con Retardo
3 Control PID de Procesos con Retardo
4 El Predictor de Smith
5 El Predictor de Smith Filtrado
6 Predictores en Control de Procesos
7 Control Predictivo Basado en Modelo
8 Control Predictivo Generalizado (GPC)
9 GPC para Procesos con Retardo
10 Conclusiones y Perspectivas
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.

10- Conclusiones
Estudio del control de sistemas con atraso a partir de estructuras basadas
en predictores.
Se mostró como las estructuras de predicción aparecen en los
controladores clásicos.
Se introdujo a los CPBM como generalización de los compensadores de
tiempo muerto.
Se mostró que el GPC es equivalente a un predictor óptimo más un
controlador primario.
El DTC GPC da solución de compromiso adecuada
Resultados de simulación y reales comprueban resultados.
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10- Perpectivas y estudios futuros
Solo hemos demostrado estabilidad en algunos casos
Hay que buscar prueba de estabilidad para el caso general NL con
resticciones.
El ajuste de los filtros es mas sencillo que el de N y λ, sobre todo en casos
MIMO. Hay que estudiar mejor esta sintonia
Sistemas hibridos?.
Otras aplicaciones
Florianópolis, 6 de fevereiro de 2012.