Exercicis i problemes d'estadística

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 1
Estadística
Annexos
Annex 1
Exercicis i problemes d’estadística
Introducció
Aquests exercicis tenen com a objectiu complementar el material didàctic en suport paper
de l’assignatura Estadística, de tal manera que pugueu desenvolupar pràcticament els conceptes
apresos i ampliar-ne alguns d’altres que us poden resultar útils com a futurs Enginyers.
Els exercicis i els problemes es troben estructurats en 6 apartats i tenen a veure amb blocs
de capítols del mòdul d’Estadística. Així tenim:
– Estadística descriptiva capítols 1 a 6
– Probabilitat, variables aleatòries capítols 7 a 10
– Distribucions de probabilitat capítols 11 a 13
– Distribucions mostrals capítols 14 a 16
– Intervals de confiança capítols 17 i 18
– Relacions entre variables capítols 19 a 21
Dins de cadascun d’aquests 6 apartats es presenten, en primer lloc, els enunciats d’un conjunt
d’exercicis i problemes i, posteriorment, es troba en uns casos la resolució detallada i
en d’altres la solució només indicada.
Hem optat per separar els enunciats de les solucions per tal que, en primera instància, tracteu
de realitzar l’exercici o problema sense consultar la solució i que aquesta sigui únicament
una confirmació del que s’ha fet i, en darrera instància, tingueu una guia per a resoldre
el problema quan aquest ja ha estat treballat a bastament.
Finalment, indiquem que en la presentació dels enunciats hem anat incorporant unes petites
notes, les quals, en uns casos, han estat merament recordatòries del que es pot trobar en
el mòdul didàctic de l’assignatura i, en altres casos, pretenen introduir algun concepte nou
que complementaria els del mòdul didàctic. En qualsevol cas, sempre tenen un caràcter
eminentment pràctic.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 3
Estadística
Estadística descriptiva
Part 1
1. Suposeu que el preu mitjà de tots els peatges d’una autopista és de 615 ptes. i la variància, de
12.420 ptes 2 . Com es veurien alterades aquestes mesures en cadascun dels supòsits següents?:
a) Un increment fix en el preu de tots els peatges de 22 ptes.
b) Un augment proporcional del 10% del preu de tots els peatges.
2. La nota mitjana d’un examen ha estat de 5,8 punts, 5,5 per als nois i 6 per a les noies. Determineu
la proporció de nois i noies que s’han examinat.
3. A la taula I es mostren les calories per 100 grams detectades en una mostra A de 20 hamburgueses
fetes amb carn de boví i les presents en una mostra B de 17 hamburgueses fetes amb
carn de pollastre.
a) Calculeu els cinc nombres resum de la distribució de dades de la mostra A.
b) Feu el mateix amb la distribució de dades de la mostra B.
c) Feu un croquis dels respectius diagrames de caixa.
d) Utilitzeu aquests diagrames per comparar les dues distribucions de dades i explicar-ne
les diferències més notables.
e) Calculeu la mitjana i la desviació estàndard de la distribució de dades de la mostra A.
f) Feu el mateix amb la distribució de dades de la mostra B.
g) Compareu les dues distribucions a partir de la informació que aporten aquests dos estadístics
(mitjana i desviació estàndard).
Calories en hamburgueses de boví
186 181 176 149 184 190
158 139 175 148 152 111
141 153 190 157 131 149
135 132
Calories en hamburgueses de pollastre
129 132 102 106 94 102
87 99 170 113 135 142
86 143 152 146 144
4. La distribució de la superfície de les 90 botigues que integraran un nou complex comercial és:
superfície (m 2 ) botigues
de 40 a 60 16
de 60 a 80 42
de 80 a 120 13
de 120 a 200 11
de 200 a 400 8
Ens plantegem el càlcul de:
a) La superfície aproximada de tot el complex tenint en compte que la zona no destinada a
botigues (passadissos, àrea de descans, etc.) ocupa una superfície idèntica a la de les botigues.
b) Recorregut que separa el primer i el tercer quartils.
c) La dimensió que hauria de tenir una botiga per a poder ser considerada del grup de les
15 més grans.
5. La distribució per intervals dels ingressos mensuals dels diplomats en Ciències Empresarials
amb més d’un any d’experiència és:
milers de pessetes % diplomats
menys de 120 6,30
de 120 a 168 9,83
de 168 a 240 20,87
de 240 a 360 27,63
de 360 a 480 15,00
de 480 a 960 18,27
de 960 a 1400 1,65
més de 1400 0,45
Ho sabíeu...?
Donat un conjunt de dades
x1,x2,...,xn amb una mitjana
mx, una variància sx 2 i una
desviació estàndard sx,
apliquem una transformació
lineal y = ax +
+ b (a > 0, o bé a < 0) de
manera que les dades
transformades y1, y2, ....., yn
tenen una mitjana my,una
variància sy 2 i una
desviació estàndard sy.
Aleshores:
my = a * mx + b
sy 2 = a2 * sx 2
sy = /a/ * sx
Ho sabíeu...?
Quan no disposem de les
dades en brut sinó tan sols
d’una distribució per a dades
agrupades, farem el supòsit
que el punt mitjà de l’interval,
que s’anomena marca de
classe, representa de forma
adient tots els valors inclosos
dins l’interval.
La marca de classe es
calcula com la semisuma dels
límits de l’interval
corresponent.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 4
Estadística
Si volem dividir la població en quatre categories d’igual nombre de diplomats (ingressos baixos,
ingressos mitjans-baixos, ingressos mitjans-alts i ingressos alts), quins nivells de renda
separen cada un d’aquests estrats?
6. Els salaris d’una empresa representen una mitjana de 162.345 ptes. per treballador i
mes, una mediana de 147.600 ptes. i una desviació estàndard de 27.225 ptes. Si després
del nou conveni laboral s’acorda un increment proporcional del 8% i un altre de lineal de
10.600 ptes., quins són els paràmetres de la nova distribució salarial?
7. Durant el mes d’agost les temperatures diürnes d’una zona d’estiueig presenten les característiques
següents:
mínima 24
màxima 41
mitjana 34
moda 36
variància 16
Estem interessats a proporcionar aquesta informació a una agència de viatges britànica, qüestió
per la qual ens plantegem presentar aquelles mesures que venien donades en graus centígrads
en escala Fahrenheit (°F = 32 + 1,8 °C).
8. Dades relatives a una enquesta de consum revelaven una mitjana de 4,5 litres per persona i
mes. Si una revisió posterior ha permès determinar que un 20% dels enquestats havien declarat
1 litre més del que realment havien consumit, quina és la veritable mitjana de consum de llet?
9. Per a diferents franges horàries hem triat mostres relatives als cotxes que sortien de l’autopista
del peatge de Montblanc i hem enregistrat el nombre de vehicles per minut que passaven:
observ. de 5 a 7 de 7 a 9 de 9 a 11 d’11 a 13 de 13 a 15
1 0 5 32
2 1 4 2 4 2
3 0 3 4 2 1
4 0 1 2 3 1
5 0 2 2 0 1
6 2 2 1 3 3
7 0 6 3 2 2
8 1 3 0 2 4
9 1 4 0 4 1
10 0 4 2 1 2
11 0 7 3 1 1
12 0 5 1 2 1
13 1 3 6 3
14 1 5 6
15 0 4
Volem determinar en quin interval de temps hi ha major desigualtat en el nombre de cotxes
que passen el peatge per minut, utilitzant el coeficient de variació de Pearson.
10. Disposem de 4 variables:
X = “Edat de les persones mortes a Catalunya en els últims 5 anys”
Y = “Números que han sortit en les 200 últimes loteries de la Lotto 6/49”
Z = “Salaris mensuals de tot el personal (incloent-hi el directiu) d’una gran empresa”
T = “Alçades dels alumnes de sexe femení d’una universitat”
Disposem també de 4 diagrames de caixa:
Diagrama 1: ————————| | |—––
Diagrama 2: —————| | |—————
Diagrama 3: ———––| | |———–—
Diagrama 4: ——| | |————————
Associeu raonadament cada variable amb el diagrama de caixa que més li escaigui.
11. Si una distribució de dades té un biaix (cua extremadament llarga) cap a la dreta, llavors
(només una afirmació és correcta):
a) La mediana és major que la mitjana.
b) La mitjana és major que la mediana.
c) La mediana i la mitjana són iguals.
d) No es pot afirmar res amb relació a la mitjana i a la mediana.
Ho sabíeu...?
Quan no disposem de les
dades en brut sinó tan sols
d’una distribució amb dades
agrupades, el càlcul de la
mediana, els quartils i els
percentils es realitza d’una
manera aproximada a partir
de les expressions:
N – Ni–1
2
Me = Li –1 +
⋅ Ci
essent:
Li–1 el límit inferior de l’interval
que conté la mediana, N el
nombre total d’observacions,
Ni–1 el nombre total
d’observacions acumulades
fins a l’interval
immediatament anterior a
aquell que conté la mediana,
ni el nombre d’observacions
incloses en l’interval que conté
la mediana, i ci l’amplada de
l’interval que conté la
mediana. Per al primer i el
tercer quartils els càlculs són
equivalents i només cal
substituir N/2 en l’expressió
anterior per N/4 i 3N/4,
respectivament.
Ho sabíeu...?
El coeficient de variació (CV)
és una mesura de dispersió
relativa adimensional que es
defineix com:
CV =
Nota:
ni
desviació estàndard
mitjana
Els 4 diagrames de caixa no
estan dibuixats a la mateixa
escala. Les 3 línies verticals |
mostren els 3 quartils.
⋅ 100

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 5
Estadística
12. L’any 1975 a l’illa de Menorca i durant el mes d’agost el lloguer d’apartaments presentava
les xifres següents:
lloguer (ptes. mes) % lloguer % apartaments
menys de 30.000 22,15 46,05
de 30.000 a 60.000 34,85 38,47
de 60.000 a 90.000 12,16 8,67
de 90.000 a 120.000 6,05 2,96
més de 120.000 24,79 3,85
Calculeu el percentatge de la suma total de lloguers pagats pel damunt de la mediana.
13. La distribució següent correspon al temps de demora en el subministrament de pizzes a
domicili sobre una mostra de 275 serveis realitzats per una empresa de catering.
minuts de demora serveis
menys de 10 11
entre 10 i 15 52
entre 15 i 20 64
entre 20 i 25 80
entre 25 i 30 45
entre 30 i 40 14
més de 40 9
Donada la mostra representativa del moviment habitual d’aquesta empresa, heu de calcular:
a) El rang interquartílic.
b) Si volguéssim regalar un bo descompte al 10% dels clients que han sofert un major retard
en el servei, a partir de quina demora s’és mereixedor de l’obsequi?
14. Disposem d’una taula que conté una ordenació decreixent i acumulada de les edats dels
homes d’una zona mercadològica:
més de % homes
75 anys 0,03
65 anys 5,41
55 anys 12,42
45 anys 21,86
35 anys 33,49
25 anys 48,53
15 anys 67,10
10 anys 77,13
5 anys 88,57
Una empresa vol treure una nova línia de productes de cosmètica masculina i situa el mercat
potencial entre els 15 i els 55 anys. Obteniu la distribució percentual no acumulada d’aquells
intervals d’edat.
15. Calculeu les qüestions següents utilitzant criteris algebraics i comproveu com el resultat
no coincideix amb la mitjana aritmètica:
a) Un cotxe realitza un trajecte a velocitat uniforme de 60 km/h i torna a velocitat
uniforme de 40 km/h. Quina és la velocitat mitjana d’anada i tornada?
b) Hem dividit un país en quatre zones d’igual població: a la primera hi ha 4,5 habitants
per telèfon, a la segona 5, a la tercera 6 i a la quarta 4,5. Quina és la mitjana d’habitants
per telèfon que hi ha en tot el país?
16. Una alternativa a la variància o desviació estàndard com a mesures de dispersió és la
desviació absoluta respecte a la mediana (DAMe), entesa com una mitjana de les desviacions
absolutes de tots els valors d’una variable respecte a la mediana:
DAMe =
| Xi – Me |
n
Ho sabíeu...?
Per a calcular el valor mitjà
de ratios en què els
numeradors són iguals
(o proporcionals):
x1 = k/w1, x2 = k/w2,...,
xn = k/wn
la mitjana harmònica: Mh
Mh =
n
1/xi
resulta més adequada que la
mitjana aritmètica X.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 6
Estadística
Obteniu aquesta mesura de dispersió per al llistat següent de dades, que correspon als gruixos
de neu observats el mes de gener en 33 punts de la vall de Núria:
2,21629 1,11432 1,40542 0,09886 2,24539 1,89300 1,14768 2,14951 1,16489
1,26485 0,63494 0,83456 1,52173 1,87478 2,37129 1,07849 1,96909 0,76536
1,69359 0,97161 1,89988 1,75075 0,12324 1,15324 1,15346 0,46159 0,78331
1,51436 0,96749 2,29511 1,42806 2,32879 1,09676

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 7
Estadística
Solucionari
Part 1
1.
a) Un canvi d’origen en la variable altera la mitjana en el mateix sentit, però la variància
es manté constant. Així doncs, les noves mesures són:
mitjana = 615 + 22 = 637
variància = 12420
b) En multiplicar una variable per una constant, la mitjana també queda multiplicada
per la constant i la variància es veu afectada per la constant al quadrat. En conseqüència
tenim que:
mitjana = 615 + 615 * 0,10 = 615 * 1,10 = 676,5
desv. est. = 111,45 + 111,45 * 0,1 = 111,45 * 1,10 = 122,59
variància = 122,592 = 12.420 * 1,102 = 15.028,2
2. La mitjana d’una població es pot presentar com a valor mitjà ponderat de les mitjanes de
les subpoblacions. Així sabem per l’enunciat que:
5,8 = 5,5 freq(nois) + 6 freq(noies)
mentre que s’ha de complir que:
freq(nois) + freq(noies) = 1
Per tant, fent operacions obtenim:
freq(nois) = 0,4 (40% de nois)
freq(noies) = 0,6 (60% de noies)
3.
a) Els cinc nombres resum de la mostra A són:
mínA = x(1) = 111
màxA = x(20) = 190
Q1A = [x(5)+x(6)] / 2 = (139+141) / 2 = 140
MedA = [x(10)+x(11)] / 2 = (152+153) / 2 = 152,5
Q3A = [x(15)+x(16)] / 2 = (176+181) / 2 = 178,5
b) Els cinc nombres resum de la mostra B són:
mínB = x(1) = 86
màxB = x(17) = 170
Q1B = [x(4)+x(5)] / 2 = (99+102) / 2 = 100,5
MedB = x(9) = 129
Q3B = [x(13)+x(14)] / 2 = (143+144) / 2 = 143,5
c) Els diagrames de caixa corresponents serien:
80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
Escala +——–+——–+——–+——–+——–+——–+——–+——–+——–+——–+——–
A... ——————————| | |———
B... ——————| | |———————
d) Els dos diagrames de caixa posen en evidència una falta de simetria de les dues distribucions
de dades. Tot i això, la falta de simetria de la distribució de dades del conjunt A
no és de la mateixa naturalesa que la del conjunt B. Globalment i d’una manera genèrica,
podríem dir que les hamburgueses de boví (A) tenen més calories que les hamburgueses
de pollastre (B).
e) mA = 156,85 sA = 22,64
f) mB = 122,47 sB = 25,48
g) Ambdues distribucions tenen una gran variabilitat atès que tant sA com sB tenen valors
molt grans en comparació de les mitjanes (sA representa un 14% del valor de mA; sB
representa un 21% del valor de mB). Malgrat que sB és major que sA, la diferència no sembla
prou gran per a afirmar categòricament que la variabilitat del nombre de calories de
les hamburgueses de pollastre és major que la variabilitat del nombre de calories de les
hamburgueses de boví.
En canvi, sembla clar que la mitjana de les calories de les hamburgueses de boví és significativament
més gran que la mitjana de les calories de les hamburgueses de pollastre.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 8
Estadística
4. Construirem en primer lloc una taula de freqüències que ens ajudarà en la resolució de
l’exercici. En aquesta taula indicarem cadascuna de les marques de classe dels intervals donats,
les freqüències absolutes (ni), les freqüències relatives (fi), i les corresponents acumulades
(Ni i Fi).
a) Per tal d’obtenir la superfície total aproximada considerem la marca de classe com a
valor representatiu de totes les observacions incloses en l’interval. Així, en el primer interval
tenim 16 botigues amb 50 m2 , la qual cosa dóna una superfície de 800 metres quadrats.
Sumant la corresponent als cinc intervals, tenim una superfície de les botigues de
9.200 m2 i, tenint en compte que l’àrea comercial té una superfície de dues vegades la de
les botigues, arribem a la conclusió que 18.400 m2 és la superfície total aproximada.
b) Per tal de calcular el recorregut interquartílic hem de calcular en primera instància els
quartils primer i tercer. Atès que només disposem de les dades agrupades ens veiem obligats
a aproximar els valors dels quartils mitjançant les expressions:
Tenint en compte que els intervals que contenen els quartils són el 60-80 i el 80-120,
resultarà d’aplicar l’anterior que:
Q1 =60+
Q1 =Li–1 +
22,5 – 16
42
N
4 –Ni–1
⋅ 20 = 63,1
i, per tant, el recorregut interquartílic és Q3 – Q1 = 46,135 m 2 .
c) Amb la mateixa idea que la utilitzada per aproximar el càlcul dels quartils primer i tercer
i per aproximar la mediana quan disposem de dades agrupades, també podem ara calcular
quina hauria de ser la dimensió mínima necessària per estar entre les 15 botigues
més grans. Ara, doncs, farem:
P75/90 = 120 +
on la dimensió mínima és de 149 m 2 .
75 – 71
11
Q3 = 80 +
67,5 – 58
13
⋅ 80 = 149,1
5. La resposta és que els nivells d’ingressos que permeten segmentar la població dels diplomats
en Ciències Empresarials en quatre grups coincidiran amb els dos quartils i la mediana
de la distribució:
menys de 198,6 milers de ptes. : Ingressos baixos
entre 198,6 i 296,46 milers de ptes. : Ingressos mitjans-baixos
entre 296,46 i 442,96 milers de ptes. : Ingressos mitjans-alts
més de 442,96 milers de ptes. : Ingressos alts
6. Un cop efectuats els corresponents augments, les noves mesures descriptives són:
mitjana 185.932,6
mediana 170.008,0
desv. estàndard 29.403,0
7. Les mesures descriptives expressades en graus Fahrenheit són:
mínima 75,2
màxima 105,8
mitjana 93,2
moda 96,8
variància 51,84
ni
Marca
Interval Classe ni fi Ni Fi
40-60 50 16 17,78 16 17,78
60-80 70 42 46,67 58 64,45
80-120 100 13 14,44 71 78,89
120-200 160 11 12,22 82 91,11
200-400 300 8 8,89 90 100,89
3
⋅ Ci Q3 =Li–1 +
N
4 –Ni–1
⋅ Ci
ni
⋅ 40 = 109,23

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 9
Estadística
8. La mitjana de consum de llet és de 4,3 litres per persona i mes.
9. Els coeficients de variació per a cadascuna de les franges horàries són els següents:
ordenació
franja observac. mitjana desv. est. c. variac. desigualtat
de 5 a 7 15 0,467 0,640 137,04 5è
de 7 a 9 15 3,867 1,598 41,32 1r
de 9 a 11 14 2,500 1,871 74,84 4t
d’11 a 13 13 2,231 1,166 52,26 2n
de 13 a 15 12 1,750 0,965 55,14 3r
10.
Variable X ⇒ Diagrama 1.
Sortosament la majoria de persones mor a una edat avançada. Això fa que la mediana,
el quartil superior Q3 i xmàx tinguin, relativament, valors molt més propers
entre ells que no els valors xmín, Q1 i la mediana.
Variable Y ⇒ Diagrama 3.
Els valors d’un sorteig es reparteixen per igual entre el valor mínim i el valor màxim.
Per aquest motiu, els valors Q1, la mediana i Q2 han d’estar, aproximadament, repartits
per igual entre el valor xmín = 1 i el valor xmàx = 49.
Variable Z ⇒ Diagrama 4.
En una gran empresa, la majoria del personal sol cobrar els salaris més baixos; a mesura
que el salari creix, decreix el nombre de persones que el cobra. Per aquest motiu,
la majoria de salaris estaran situats a la banda baixa de la distribució de dades. Això fa
que, comparativament, els valors zmín, Q1 i la mediana estiguin més propers entre
ells que no ho estan la mediana, Q3 i zmàx.
Variable T ⇒ Diagrama 2.
Les alçades d’un conjunt ”homogeni” de persones (com és el cas de les alumnes
d’una universitat) estan majoritàriament concentrades a la zona central de la distribució
de dades: la majoria de les persones no són ni altes ni baixes (tenen una alçada
”normal”). Per aquest motiu, els valors Q1, la mediana i Q3 estaran, relativament,
més propers entre ells que no ho estan els valors tmín i Q1 o Q3 i tmàx.
11. La resposta correcta és la b). La mitjana es veu fortament afectada per la presència de dades
allunyades, ja que aquestes ”l’estiren” cap a la seva posició.
12. Els lloguers pagats pel damunt de la mediana representen el 74,272% del total.
13.
a) El recorregut entre el primer i el tercer quartils és de 9,5 minuts.
b) Amb un retard de 29,9 minuts o més hauríem de regalar el bo descompte.
14. Els nous percentatges són:
15.
a) La velocitat mitjana és de 48 km/h.
b) Hi ha 4,9315 habitants per telèfon.
edats % homes
de 15 a 25 33,96
de 25 a 35 27,51
de 35 a 45 21,27
de 45 a 55 17,26
16. La mediana de les 33 observacions us ha de donar 1,265 i la DAMe, 0,5154.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 10
Estadística
Part 2
1. Una empresa multinacional de la informàtica vol tirar endavant una sèrie de mesures que
afectaran per igual la totalitat de la plantilla de totes les seus de l’empresa. Abans, però, vol
realitzar una enquesta a una mostra de 1.000 persones “representativa” de la plantilla de tota
l’empresa. Expliqueu el procediment que seguiríeu per obtenir la mostra. (Heu de tenir
en compte que l’empresa consta de diverses seus; que el personal té diferents qualificacions
professionals; que el nombre de treballadors de cada seu i de cada categoria són molt diferents;
etc.)
2. Indiqueu quin mètode de mostratge s’ha utilitzat en cadascun dels casos següents:
a) Prenem una mostra a l’atzar de 50 socis de cada un dels clubs de la Primera Divisió de
futbol per fer un estudi de comportament de masses.
b) Per analitzar el grau de satisfacció en el servei que reben els usuaris de turisme rural
ens adrecem a tots els que han llogat una masia del terme municipal de vuit dels pobles
que ofereixen aquest servei.
c) De les 80 pàgines que hi ha a la guia telefònica de la ciutat de Tortosa, n’hem escollit
un número a l’atzar (el penúltim de la primera fila). Els 80 abonats que ocupen aquesta
posició en totes les pàgines de la guia formaran la mostra.
d) Hem dividit la Cerdanya en tres zones (Lleida, Girona i Nord) i triem submostres de
cerdans en proporció a la distribució de la població en aquestes tres zones.
e) En una universitat presencial decidim enquestar tots els alumnes que en un moment
donat estan a la biblioteca, al bar, a l’aula de quart A i al passadís del segon pis.
f) Per fer un estudi dels comerços que hi ha a l’Eixample de Barcelona, en una primera
fase hem elegit aleatòriament districtes, a continuació illes de cases d’aquests districtes i
posteriorment una orientació (Besòs, Llobregat, mar, muntanya) del carrer d’aquestes
illes. Finalment, han estat visitats tots el comerços que havien sortit.
g) Un professor ha llançat a l’aire les fitxes dels seus alumnes i n’ha agafat 12.
h) Un auditori té 50 files de 25 butaques. Per estudiar els desperfectes del mobiliari es
pren una mostra pilot de 50 butaques i s’elegeix un número a l’atzar d’1 a 25 (per exemple
el 4) i automàticament es revisen les butaques de cada filera amb aquest número.
3. Poseu un parell d’exemples que justifiquin la validesa de les proposicions següents:
a) L’anàlisi exhaustiva de tota la població implicaria la seva destrucció.
b) Resulta materialment impossible abraçar tota la població.
c) Raons ètiques i legals impedeixen treure resultats vinculants a partir de mostres.
4. La taula següent conté les despeses de funcionament (en milers de pessetes) d’una empresa
durant l’últim exercici comptable agrupades per intervals de manera decreixent:
import de la despesa nombre de despeses import de l’interval
més de 500 51 5.394
de 100 a 500 144 43.488
de 25 a 100 297 18.117
menys de 25 482 9.408
Per donar el vist-i-plau a aquest compte puntejarem una mostra de 76 registres obtinguts
amb mostratge estratificat en quatre intervals. Quants apunts hem de prendre de cada estrat
utilitzant:
a) assignació mostral igual en cada estrat (assignació fixa)?
b) assignació mostral en proporció al nombre de despeses comptabilitzades en cada estrat
(assignació proporcional)?
c) assignació mostral en proporció a la suma de despeses de cada estrat (assignació valoral)?
5. La plantilla d’una empresa presenta per a les tres categories professionals les característiques
següents:
categoria treballadors salari mitjà/hora
peons 448 392
oficials 296 611
tècnics 83 724
Recordeu...!
El mostratge estadístic
distingeix segons la manera
d’extracció dels elements
mostrals:
Mostratge aleatori pur:
tria dels elements amb
reemplaçament.
Mostratge irrestricte:
tria dels elements sense
reemplaçament.
Ho sabíeu...?
Hi ha molts altres mètodes de
selecció de mostres a part
dels ja estudiats, entre
d’altres:
El mostratge aleatori
sistemàtic consisteix a elegir
a l’atzar un sol element de la
població i a aconseguir la
resta de la mostra a intervals
regulars de dades.
El mostratge per
conglomerats consisteix a
elegir a l’atzar no pas
elements sinó grups o blocs
representatius de tota la
població per analitzar-ne
tots els elements que
contenen.
Ho sabíeu...?
A més a més de l’afixació
proporcional, el mostratge
estratificat comprèn altres
maneres d’assignació de
mostres en funció del criteri
utilitzat per mesurar la
importància de cada estrat.
Distingim, entre d’altres:
Afixació simple: igual
submostra en cada estrat.
Afixació proporcional:
submostres en proporció al
nombre d’elements que hi ha
en cada estrat.
Afixació valoral: submostres
en proporció a la massa de
variable inclosa en cada
estrat.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 11
Estadística
Volem fer una enquesta a 62 dels 827 treballadors i ens plantegem la mostra que hem de
prendre de cada categoria d’acord amb els criteris següents:
a) En proporció al nombre de treballadors que integra cada estrat (assignació proporcional).
b) En proporció a la massa salarial absorbida per cada estrat (assignació valoral).
6. De vegades el mostratge estadístic no és el millor sistema per estudiar col·lectius de dades.
Així, per exemple, les inspeccions bancàries no sempre es poden basar en mostres elegides a
l’atzar i arriscar-se a no incorporar-hi elements clau per a un correcte diagnòstic financer. Argumenteu
amb algun exemple aplicat a l’auditoria bancària la improcedència del mostratge
estadístic i la conveniència d’utilitzar mostratge opinàtic o dirigit.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 12
Estadística
Solucionari:
Part 2
1. Si la mostra ha de ser representativa del personal de l’empresa, aquella haurà de guardar
proporcionalitat amb aquells atributs (variables) que nosaltres considerem que distingeixen
els treballadors d’aquesta empresa amb relació a la temàtica de què tracta l’enquesta. Certament
d’atributs, n’hi poden haver de molts tipus:
– categoria professional del treballador;
– ubicació de la sucursal on treballa el treballador;
– sexe del treballador;
– edat del treballador;
– etc.
El primer que caldria destriar és quins són els atributs que volem que quedin representats
proporcionalment en la mostra: caldria triar aquells que, a priori, creiem que poden tenir influència
amb relació al tema de l’enquesta. Tot seguit, a partir de la informació que tinguem
sobre el repartiment percentual de les diferents combinacions de les categories que adquireixen
els atributs, haurem de procurar que la mostra de 1.000 persones contingui aquest mateix
tant per cent. És a dir, s’ha de fer una mostra estratificada.
Així, per exemple, si els atributs que interessen són només sexe (H-D) i ubicació del personal
(U1, U2, U3, U4), i resulta que el personal de l’empresa està repartit de manera que:
a la mostra, s’hi hauran de guardar aproximadament els mateixos percentatges. Per tant, haurem
d’escollir 120 homes d’U1 i 150 dones d’U1; 110 homes d’U2 i 140 dones d’U2; etc. Com
es pot suposar, si s’han de tenir en compte més atributs, el quadre anterior es complicarà tot i
que el procediment haurà de ser en el fons el mateix.
Una vegada conegut el nombre de persones de cada tipus que hi ha d’haver a la mostra, la selecció
es pot fer aleatòriament i, si això no és possible, es pot procedir a fer-ho per quotes.
2.
3.
4.
a) Mostratge estratificat amb assignació simple.
b) Mostratge per conglomerats, blocs o àrees.
c) Mostratge sistemàtic.
d) Mostratge estratificat amb assignació proporcional.
e) Mostratge per conglomerats, blocs o àrees.
f) Mostratge polietàpic o polifàsic.
g) Mostratge sense retorn o irrestrictament aleatori.
h) Mostratge sistemàtic.
a) Sagnar un pacient fins l’última gota per saber quants glòbuls blancs té.
Esbrinar el suc de llimona que es pot extreure de les plantacions del Baix Ebre.
Determinar la resistència a la sequera dels avets que hi ha al Pirineu.
La pressió màxima que és capaç d’aguantar cada un dels pneumàtics que fabriquem.
b) Les despeses en esbarjo de tots els forasters que arriben a la Costa Brava.
Índex de salinitat de l’oceà Atlàntic.
Granets de sorra que hi ha a la platja de Gavà.
Hores/dia que els universitaris dediquen a l’estudi.
c) Eleccions municipals.
Qualificació d’un examen tipus test amb moltes preguntes.
Referèndum per decidir la sortida de l’OTAN.
Emetre veredicte a partir de l’opinió del jurat popular.
a) 19 apunts de cada un dels intervals.
b) 4, 11, 23 i 38 apunts, respectivament.
c) 6, 43, 18 i 9 apunts, respectivament.
U1 U2 U3 U4
H 12% 11% 10% 10% 43%
D 15% 14% 12% 16% 57%
27% 25% 22% 26% 100%

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 13
Estadística
5. El quadre de treball següent recull els càlculs necessaris per realitzar les assignacions proporcionals:
categoria Ni Xi Ni Xi
peons 448 392 175.616
oficials 296 611 180.656
tècnics 83 724 60.092
827 416.564
El repartiment de la mostra de 62 treballadors per categories en funció de Ni i de Ni Xi dóna
aproximadament les submostres següents:
a) 34, 22 i 6 treballadors, respectivament.
b) 26, 27 i 9 treballadors, respectivament.
6. En alguns càrrecs o abonaments concrets es presenten certs tipus d’anomalies que cal
anar a buscar.
Hi ha descoberts de clients que són estacionals.
En algunes agències es presenten sistemàticament determinades irregularitats que és precís
que estiguin a la mostra.
Per estudiar la viabilitat d’un sistema de crèdits s’acostuma a fer un seguiment d’alguna línia
de préstec que abraci tots els controls i no solament uns quants.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 15
Estadística
Probabilitat, variables aleatòries
1. Si teniu instal·lades les macros d’Excel per a anàlisi de dades, podreu accedir a Análisis de
Datos amb el menú Herramientas i obtindreu un quadre amb la llista de macros possibles.
a) Trieu Generación de datos aleatorios i genereu 100 dades aleatòries que segueixin una llei
binomial amb paràmetres n = 5 i p = 0.25.
b) Compteu les freqüències absolutes de cada un dels resultats possibles.
c) Feu una taula amb l’Excel que mostri les freqüències relatives de la vostra simulació
comparades amb les que dóna la fórmula d’Excel per a les probabilitats d’una binomial
amb n = 5 i p = 0.25.
2. En una bossa tenim set boles blanques i set boles negres, i cada col·lecció està numerada de
l’u al set. Traiem tres boles a l’atzar i les col·loquem sobre la taula de dreta a esquerra en l’ordre
en què les anem traient.
a) Quants resultats diferents podem obtenir? (Us pot ajudar la regla de multiplicar possibilitats.)
b) Quants dels trios possibles tenen alguna bola blanca? (Recordeu que sempre cal pensar:
què és més fàcil de comptar, el que vull o el contrari?)
c) Quants dels trios tenen exactament una bola blanca? Quants tenen exactament dues
boles blanques?
d) Quants d’aquests resultats contenen alguna bola amb el nombre 1? Quina diríeu que
és la probabilitat d’obtenir alguna bola amb el nombre 1?
3. Tenim contractades dues companyies de subministrament elèctric, HELSA i JOCSA, de manera
que quan en falla una automàticament saltem a l’altra. La probabilitat que HELSA falli
és del 7%, JOCSA falla el 5% de les vegades que ens hi connectem i sabem que la probabilitat
que JOCSA falli quan ha fallat HELSA puja fins al 30%. Suposeu que la nostra estratègia és
connectar amb HELSA i, si falla, saltar a JOCSA. Si aquesta també falla, recorrerem al nostre
generador de gasoil.
a) Tenint en compte la definició de probabilitat condicional, calculeu la probabilitat que
fallin totes dues companyies alhora.
b) Dibuixeu un diagrama tipus Venn amb els esdeveniments A = “HELSA falla”, B =
“JOCSA falla”.
c) Dibuixeu també un arbre de probabilitats seguint els criteris que s’han establert en el
mòdul.
d) Són independents els successos A i B? Quin és el succés A?
e) Quina és la probabilitat que falli HELSA si ha fallat JOCSA? Si canviéssim l’estratègia
prenent JOCSA com a primer proveïdor, hi sortiríem guanyant? Dibuixeu l’arbre corresponent.
4. En un sistema automàtic, la primera fase la pot fer una de les tres màquines M1, M2, M3
amb probabilitats de 0.2, 0.3 i 0.5 respectivament. El temps que tarden les maquines és,
també respectivament, 1, 1.5 i 2 hores. La segona fase del procés és independent de la primera
i es realitza a dins de l’empresa, amb probabilitat 0.75 i en dues hores, o a fora de l’empresa,
en què tarden dues hores i mitja.
a) Descriviu l’espai mostral associat a aquesta situació aleatòria i calculeu la probabilitat
de cada un dels sis resultats possibles.
b) Considereu la variable aleatòria X = “temps que ha trigat el procés complet”. Digueu
quins són els valors possibles de la variable i quina és la probabilitat de cada un dels valors.
Representeu gràficament la funció de probabilitat de X.
c) Calculeu l’esperança de X.
d) Com explicaríeu en termes de probabilitats el fet que la primera fase i la segona són independents?
5. Tornem a la situació de l’exercici anterior, en què teníem una variable aleatòria X que ens
dóna el temps necessari per a realitzar un procés que té dues fases.
a) Si X1 és la variable “temps de la primera fase” i X2 = “temps de la segona fase”, calculeu
els valors esperats i comproveu que l’esperança de la suma és la suma de les esperances.
b) Calculeu les variàncies de les variables X, X1i X2. Es compleix aquí que la variància de
la suma és la suma de variàncies? Per què?
c) Si en lloc de mesurar els temps en hores ho fem en minuts, quin seria el valor esperat
del temps total? I la variància?

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 16
Estadística
Solucionari: Probabilitat, variables aleatòries
1. Trieu l’opció Análisis de datos del menú Herramientas.
a) Trieu l’opció Generación de números aleatorios de la llista de macros. Indiqueu que voleu
una sola variable (una sola columna), i cent nombres aleatoris. Trieu l’opció Binomial de
la llista Distribuciones.
b) Indiqueu que voleu una probablitat d’èxit 0,25 i un nombre d’experiments 5. També
heu d’indicar on voleu que vagin els nombres generats, en aquest cas hem posat $A$19.
Feu clic en el botó Aceptar i obtindreu els cent nombres a les caselles $A$19:$A$118. Per a
facilitar la feina posterior, desplegueu el menú Insertar, seleccioneu l’opció Nombre, a
continuació l’opció Definir i escriviu ”dades” per a donar nom a aquestes caselles
$A$19:$A:$118.
c) Feu una llista dels valors possibles per fer la taula de freqüències.
Les freqüències absolutes les podeu comptar manualment, però és més agradable que ho
faci l’Excel. Una possibilitat és ordenar les dades per a facilitar-ne el recompte:
Seleccioneu primer tot el tros que ocupen les dades i trieu l’opció Ordenar del menú Datos.
Per tal que el recompte el faci l’Excel tot sol:
Seleccioneu les caselles D39:D44 on han d’anar les freqüències absolutes. Trieu l’opció
Función del menú Insertar. Busqueu la funció Frecuencia a la categoria Estadísticas. Feu
clic a Siguiente i escriviu “dades” en el quadre anomenat Datos o bé $A$19:$A$118 si no
heu definit “dades” abans. Introduïu C39:C44 en el quadre anomenat Grupos. Feu clic en
el botó Aceptar i premeu alhora les tecles Retorn, Ctrl i Majúscules. Per a les freqüències
relatives, podeu introduir la fórmula =D39/100 a la casella E39 i despres copiar-la a sota
arrosegant la creueta inferior dreta. Per a la binomial exacta, podreu introduir fàcilment
la fórmula DISTR.BINOM (C39;5;,25;falso) si la busqueu des de l’opció Función del menú
Insertar. Busqueu DISTR.BINOM a la categoriade funcions estadístiques i feu clic a Siguiente.
Haureu d’introduir la informació precisa: el valor de la binomial del qual voleu la
probabilitat, el nombre d’experiments i la probabilitat d’èxit. Després, copieu la fórmula
a sota. El resultat final és el següent:
Valors Fr. absolutes Fr. relatives Binomial exacta
0 24 0.24 0.237304688
1 48 0.48 0.395507813
2 22 0.22 0.263671875
3 4 0.04 0.087890625
4 2 0.02 0.014648438
5 0 0 0.000976563
“Si l’opció Análisis de datos no apareix al menú Herramientas, aquestes són les instruccions”
necessàries per a activar les macros de l’Excel per a l’anàlisi de dades:
– Trieu l’opció Macros automáticas del menú Herramientas.
– Marqueu Herramientas para análisis en la llista de macros possibles
– Feu clic en el botó Aceptar.
“Si no apareix Herramientas para análisis en la llista de macros possibles, seguiu el procediment
següent:”
– Busqueu el CD-ROM o els disquets originals de l’Office 95.
– Executeu el programa d’instal·lació de l’Office 95.
– Aneu a Agregar o eliminar
– Marqueu Microsoft Excel i Modificar opción del quadre de diàleg Mantenimiento
– Marqueu Macros automáticas i Modificar opción
– Assegureu-vos que Herramientas de Análisis està seleccionat.
– Feu clic en el botó Aceptar fins que sortiu de la instal·lació.
2.
a) Per a comptar els resultats de treure tres boles, només hem de pensar que tenim 14
boles diferents, que són les 14 possibilitats diferents per a la primera bola, tretze possi-
1
0
1
2
1
1
2
2
0
1
1
2
1
0
1
1
2
1
2
1
2
1
3
1
0
1
0
0
3
0
0
0
1
1
0
0
0
2
1
1
0
1
2
0
3
2
1
1
3
1
Dades
1
2
1
0
1
1
1
1
1
1
2
1
0
1
1
4
2
1
4
0
1
1
1
2
1
1
2
0
0
2
2
2
2
1
2
0
1
0
2
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
2

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 17
Estadística
3.
bilitats per a la segona i només dotze per a la tercera: 14 × 13 × 12 = 2184 és el total de
possibilitats.
b) Per a saber quants resultats tenen alguna bola blanca, és molt més fàcil comptar quants
no en tenen cap: 7 × 6 × 5 = 210 i restar: 2184 – 210 = 1974. Que tinguin exactament una
bola blanca seran 7 possibles boles blanques en 3 posicions diferents i 7 × 6 possibilitats per
a les altres dues boles que han de ser negres, total 7 × 3 × 7 × 6 = 882. Que tinguin exactament
dues blanques seran 7 × 6 possibles parelles de boles blanques complementades amb
7 possibles boles negres. Aquesta bola negra de complement pot anar col·locada en tres posicions
diferents, total 7 × 6 × 7 × 3 = 882, la mateixa quantitat que abans. És casualitat?
c) Si volem saber quantes d’aquestes possibilitats contenen una bola amb el nombre 1,
serà més fàcil comptar quantes no tenen cap 1, que són 12 × 11 × 10 = 1320 i, per tant,
que continguin algun 1 són 2184 – l320 = 864. La probabilitat d’obtenir algun 1 en treure
tres boles és: 864/2184 ≈ 39,6%.
a) La probabilitat que ens donen és p [ B | A ] = 0.3. La definició ens diu
i d’això podem extreure que
b)
El diagrama de Venn de les fallades en el subministrament elèctric
c) En la figura següent podeu veure l’arbre de probabilitats. Com sempre, posem en les
branques probabilitats condicionals i en els nodes probabilitats absolutes de l’esdeveniment
corresponent.
1
A
Falla
p [ B | A ] =
.049
HELSA
Funciona
0.07
0.93
La mateixa informació recollida en un arbre
p [ A B]
p [ A ]
d) És ben clar que els successos A i B no són independents, ja que la probabilitat de B canvia
quan condicionem A, és a dir,
La probabilitat que ens demanen ara és:
p [ A | B ] =
U
=
p [ A B] = .021
U
0.021
0.07
0.93
Falla
JOCSA
Funciona
p [ B | A ] ≠ p [ B ]
p [ A B]
U
p [ B ]
=
p [ A B]
U
0.07
0.3
0.7
0.021
0.05
.029
=
B
0.3
0.021
0.049
=
0.42
.901

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 18
Estadística
e) L’arbre corresponent a l’estratègia “primer JOCSA” és el de la figura següent. Veiem que la
probabilitat de no tenir cap fallada és superior; en aquest sentit hi sortim guanyant. La probabilitat
de necessitar el nostre equip electrogen continua essent, però, la mateixa, 0.021, i en
aquest sentit és indiferent una estratègia o una altra.
L’arbre per al cas que ens connectem primer amb JOCSA
4.
1
Falla
JOCSA
Funciona
a) Els resultats possibles són les sis parelles que es poden fer triant una opció de la primera
fase i una altra de la segona fase (Dins o Fora). Tindrem l’espai mostral
{(M1, D), (M2, D), (M3, D), (M1, F), (M2, F), (M3, F)}.
Les probabilitats les podem presentar en una taula com la següent:
Pel que fa als valors de la variable X, temps del procés, tindrem:
b) La variable X té, doncs, només quatre valors diferents amb probabilitats respectives
P[X = 3] = 0.15, P[X = 3.5] = 0.225 + 0.05 = 0.275
P[X = 4] = 0.375 + 0.075 = 0.45, P[X = 4.5] = 0.125
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
La funció de probabilitat de la variable temps
0.05
0.95
0.05
0.95
Falla
HELSA
Funciona
0.42
0.58
0.021
0.029
Probabilitat M1 M2 M3 Total
Dins 0.15 0.225 0.375 0.75
Fora 0.05 0.075 0.125 0.25
Total 0.2 0.3 0.5 1
Temps total M1 M2 M3
Dins 3 3.5 4
Fora 3.5 4 4.5

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 19
Estadística
5.
c) El valor esperat serà la suma dels productes dels valors per la seva probabilitat:
E(X) = 30.15 + 3.50.275 + 40.875 + 4.50.25 = 3.775
d) Que la primera fase i la segona són independents es tradueix en què la probabilitat que
la segona fase es faci dins o fora de l’empresa és exactament la mateixa si la primera fase
l’ha fet la màquina 1, la 2 o la 3.
a) Els valors esperats seran:
E(X1) = 0.21 + 0.31.5 + 0.52 = 1.65
E(X2) = 0.752 + 0.252.5 = 2.125
i veiem que la suma ens dóna 3.775, el mateix que hem obtingut a l’exercici anterior per
a E(X).
b) Les variàncies:
V(X) = (3 – 3.775)2 * 0.15 + (3.5 – 3.775)2 * 0.275 + (4 – 3.775) 2 * 0.45 + (4.5 – 3.775) 2 *
0.125 ≈ 0.1994
V(X1) = (1 – 1.65)2 * 0.2 + (1.5 – 1.65)2 * 0.3 + (2 – 1.65) 2 * 0.5 = 0.1525
V(X2) = 0.75 * (2 – 2.125) 2 + 0.25 * (2.5 – 2.125) 2 = .0468
c) Es compleix (salvant errors d’arrodoniment) que la suma de variàncies és la variància
de la suma, ja que les dues variables que sumen són independents (vegeu l’exercici anterior).
Si en lloc de mesurar els temps en hores ho fem en minuts, treballem amb 60X en lloc de
X i tindrem
E(60X) = 60E(X) = 226.5, V(60X) = 60’V(X) = 717.84.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 21
Estadística
Distribucións de probabilitat
1.
a) S’ha obtingut el diagrama de tronc i fulles i el diagrama de caixa per a un conjunt de
dades de la variable x.
Cmd> stemleaf(x)
17 +0 23334445677779999
45 1 0011112223344444555666778899
75 2 000011111222333444455555688899
89 3 00122344778899
(21) 4 000112223345556667899
90 5 000123444669
78 6 011244455666667899
60 7 000002566778
48 8 0235779
41 9 02569
36 10 0223469
29 11 1223
25 12 588
22 13 13
20 14 23
18 15 3
High 164, 172, 173, 190, 193, 200, 203, 221, 223, 301, 352, 409,
442, 478, 543, 564, 788
1 1 represents 0,11 Leaf digit unit = 0,01
Cmd> boxplot(x,dumb:T)
Box Plot
+————+————+————+————+————+————+————+————++
| |
| |
1,4 + +
| +–+—+ |
|+| | | |
|+| | | |
B 1,2 + | | | +
o |+| | | |
x |+| | | |
|+| | |——–+**** * o o o o o o o o|
N 1 + | | | +
u |+| | | |
m |+| | | |
b |+| | | |
e 0,8 + | | | +
r | +–+—+ |
| |
| |
0,6 + +
| |
+————+————+————+————+————+————+————+————++
0 1 2 3 4
Values
5 6 7 8
A partir d’aquests diagrames valoreu la normalitat d’aquestes dades. Diríeu que aquestes
dades són una mostra procedent d’una distribució normal?

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 22
Estadística
b) Aplicant una transformació logarítmica a les dades de x i adjudicant-les a la variable y
s’obté el diagrama de tronc i fulles i el diagrama de caixa de les dades d’aquesta variable y.
Cmd> y < – log (x)
Cmd> stemleaf(y)
Low –37
7 –3* 322111
13 –2. 876665
27 –2* 33332211111100
55 –1. 9999998888877776665555555555
83 –1* 4444444333333332222211111000
(40) –0. 9999999888888888877777777776666666655555
77 –0* 44444444444443333333333222222211111110000
36 +0* 00000001111222223344
16 +0. 55666778
8 +1* 1244
4 +1. 567
High 20
+1* 1 represents 1,1 Leaf digit unit = 0,1
Cmd> boxplot(y,dumb:T)
Box Plot
+ – – – – – – + – – – – – – – + – – – – – – – + – – – – – – – + – – – – – – – + – – – – – – – + – +
| |
| |
1,4 + +
| + – – – – – + – – – + |
| | | | |
| | | | |
B 1,2+ | | | +
o | | | | |
x | | | | |
|* + – – – – – – – – – – – – – – | | | – – – – – – – – – – – – – +** * |
N 1+ | | | +
u | | | | |
m | | | | |
b | | | | |
e 0,8+ | | | +
r | + – – – – – + – – – + |
| |
| |
0,6 + +
| |
+ – – – – – – + – – – – – – – + – – – – – – – + – – – – – – – + – – – – – – – + – – – – – – – + – +
–3 –2 –1
Values
0 1 2
A partir d’aquests diagrames valoreu la normalitat d’aquestes dades transformades. Diríeu
que aquestes dades són una mostra procedent d’una distribució normal?
2. Les mesures següents corresponen a les notes d’examen de diferents assignatures d’un
curs d’ensenyament bàsic, en tots els casos d’acord amb un model normal:
assignatura mitjana estàndard
Matemàtiques 3,9 1,4
Llengua 5,4 1,5
Història 6,0 2,1
C. Naturals 5,8 2,2
Esport 7,1 1,3
Anglès 5,2 2,4
Suposeu un alumne que ha tret respectivament en cada assignatura: 5,5 - 6 - 7,5 - 8 - 8,5 - 7,5.
A partir de la tipificació d’aquestes notes indiqueu en quina assignatura l’alumne ocupa millor
posició relativa i en quina ocupa pitjor posició respecte a la resta dels companys.
Recordeu...!
Per a estandarditzar una
variable cal restar la mitjana
i dividir per la desviació
estàndard:
Z =
X –

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 23
Estadística
3. Calculeu els valors z1, z2 i z3 corresponents al primer quartil, a la mediana i al tercer quartil,
respectivament, d’una distribució normal estàndard.
4. Expresseu en funció de i els valors x1, x2 i x3 corresponents al primer quartil, a la mediana
i al tercer quartil, respectivament, d’una distribució normal de mitjana i desviació
estàndard .
5. Els experts han estimat per al proper any un increment en la xifra de vendes entre 70 i
122 milions de ptes. amb una probabilitat del 80%, essent 96 milions la xifra més probable
d’augment. Suposant un model acceptablement normal, quina probabilitat hi ha que l’increment
no superi els 100 milions de ptes.?
6. Hi ha dos tipus A i B de tests que mesuren la mateixa habilitat sobre un individu. L’aplicació
reiterada d’aquests tests a molts individus ha permès establir que les puntuacions del test
A es distribueixen segons una llei normal de mitjana 500 i desviació estàndard 100. De la mateixa
manera, les puntuacions del test B es distribueixen segons una llei normal de mitjana
18 i desviació estàndard 6. El Manel s’ha sotmès al test A i ha obtingut 680 punts, mentre que
la Júlia s’ha sotmès al test B i ha obtingut una puntuació de 27 punts. Llavors, amb relació a
l’habilitat mesurada per aquests dos tests, compareu totes dues puntuacions.
7. Se sap d’altres convocatòries que les qualificacions mitjanes dels expedients acadèmics
dels aspirants a obtenir una beca a l’estranger es distribueixen aproximadament segons una
llei normal de mitjana 6,9 punts i desviació estàndard 0,7 punts. En la convocatòria d’aquest
any s’han presentat 2.000 sol·licituds i només hi ha 50 beques per concedir. Aproximadament,
a partir de quina nota d’expedient hom té possibilitats d’aconseguir una de les 50 beques?
8. D’una distribució de mitjana i desviació estàndard desconegudes, se sap que l’interval
(1831,5, 2160,5) està centrat en la mitjana de la distribució i conté un 90% de la població.
Calculeu el valor de i .
9. Un fabricant de camises vol treure una nova línia de producte adreçada a públic adolescent.
S’ha calculat per a la futura clientela un diàmetre de coll normalment distribuït amb
una mitjana de 36,5 cm i una desviació estàndard igual a 1 cm. Segons experiències anteriors,
els que fan menys de 35 cm haurien de portar la talla petita, els que fan entre 35 i 36,5 cm la
mitjana, entre 36,5 i 37,5 cm la gran i més de 37,5 cm l’extragran. Quina proporció de camises
hauria de planificar de cada talla?
10. Després de realitzar les proves de velocitat en l’examen de mecanografia s’ha comprovat
que les pulsacions assolides pels alumnes s’adaptaven a un model normal de mitjana 265 i
desviació estàndard de 20. En el supòsit que volguéssim suspendre el 33% de l’alumnat, donar
aprovat al 15%, notable al 49,5% i excel·lent al 2,5% restant, quantes pulsacions hauríem
de demanar per a cada qualificació?
11. Experts d’una entitat d’estalvi han calculat que els recursos que es podrien captar amb un
nou producte financer s’adapten a un model normal, estimant en un 73,5% la probabilitat de
superar els 1.500 milions de ptes. i en un 98,8% la probabilitat de captar menys de 2.500 milions
de ptes. Calculeu la probabilitat de superar els 1.700 milions de ptes. necessaris per fer
rendible el llançament d’aquest nou producte financer.
12. El 998 per mil de les ampolles d’oli contenen menys d’un litre, mentre que dues de cada
tres ampolles contenen més de 0,870 litres d’oli. Assumint un model normal per al contingut
de totes les botelles, quina proporció d’elles no arriba als 0,850 litres d’oli?
13. Es calcula que la durada d’una pila d’una marca determinada s’adequa bastant bé a una
llei normal, de manera que hi ha una probabilitat del 50% de superar les 7,56 hores d’ús i una
probabilitat del 33% de superar-ne les 8 hores. Ens plantegem el càlcul de:
a) Mitjana i desviació estàndard de la vida d’una pila.
b) Proporció de piles que s’exhauriran abans de les 6,5 hores.
c) Durada mínima que pot garantir el fabricant amb un risc d’incompliment del 4%.
14. Necessitem fer una provisió d’un gran nombre de peces circulars el diàmetre de les quals
ha d’estar necessàriament comprès entre 49 i 51 mm, ja que han d’encaixar correctament a
l’interior d’una altra peça.
Una fàbrica A ens informa que pot fer aquestes peces en un procés automàtic de producció
en el qual el diàmetre de les peces fabricades es distribueix segons una llei normal de mitjana
= 50 mm i desviació estàndard = 0,5 mm. El cost unitari és de 200 ptes.
Una segona fàbrica B ens les pot servir igualment amb un cost unitari de 208 ptes., tot i que
les característiques de fabricació són = 50 mm i desviació estàndard = 0,4 mm.
Recordeu...!
Es poden calcular àrees sota
qualsevol corba normal, per
a qualssevol paràmetres μ
i σ, només estandarditzant
i treballant sobre les taules
de la distribució normal
estàndard.
Cal tenir present la simetria
de la distribució normal per
a fer un ús correcte de les
taules.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 24
Estadística
Hem de decidir a quina de les dues fàbriques hem de comprar les peces, tenint en compte que
les que no tinguin el diàmetre comprès entre 49 i 51 mm, no les podrem retornar ni reclamar
a la fàbrica que ens les ha servides.
Apliqueu un criteri de cost mínim per decidir entre una de les dues fàbriques.
15. En un procés d’envasament automàtic de bosses de sucre, el contingut net introduït a
la bossa es distribueix segons una llei normal de mitjana grams i desviació estàndard
= 0,2 grams. Podem regular el procés canviant el valor de al nostre gust, sense que sigui
possible canviar el valor de . Les bossetes haurien de contenir, com a mínim, 8 grams de sucre
tal com figura a l’etiqueta. Les inspeccions oficials no permeten que més d’un 1,5% de les
bossetes envasades tinguin un contingut inferior al que indica l’etiqueta.
Calculeu el valor mínim de per tal d’assegurar que el procés d’envasament supera els controls
oficials.
16. A la ciutat de Girona, el 62,1% de la gent són catalanoparlants, el 31,2%
castellanoparlants i la resta, 6,7%, parla una altra llengua. Un estudiant de ciències
polítiques fa un estudi empíric sobre la nova llei lingüística i la gent, en la seva mostra de
123 gironins, es divideix en els grups
següents:
– catalanoparlants 3
– castellanoparlants 24
– altres 6
Aquesta mostra és representativa de la població de Girona o no ho és?
17. Es tira un dau 60 vegades i surt cinc vegades l'1, dotze el 2, nou el 3, nou el 4, catorze el
5 i onze el 6. Quines són les freqüències esperades si el dau no està trucat? Hi ha una
diferència significativa entre aquest resultat observat i el que esperem?
18. Mireu les dades dels tres poemes de Miguel Hernández en l’exercici 1 de l’apartat 1
("Estadística descriptiva"). Calculeu l’estadístic khi quadrat per comprovar si hi ha
diferències entre els poemes respecte a la utilització de les 9 paraules.
19. El nombre d’inscripcions per a un diploma de postgrau en una universitat a Catalunya
per als anys 1995-96 i 1996-97 és el següent:
nois noies
1995-96 64 25
1996-97 49 6
a) Per explicar la representació de les noies, quins percentatges calcularíeu? Percentatges
files o percentatges columnes? Feu els càlculs i interpreteu els resultats.
b) Si no hi hagués diferències en la representació femenina d’un any a l’altre, quants
nois i quantes noies hauríeu esperat de les 89 persones que es van inscriure el 1995-96 i
de les 65 del 1996-97?
c) Calculeu l’estadístic khi quadrat que mesura la diferència entre les freqüències
observades i les esperades i comenteu-ne el resultat.
20. En una discoteca hi ha dos tipus de clients: els qui entren de franc presentant el carnet
de soci i els qui abonen un tiquet a l’entrada amb dret a una consumició. S’ha fet un
seguiment de cada un dels dos grups amb els resultats següents:
mostra 86 111
prenen 2 consumicions
o més
socis no socis
59 60
Calculeu l’estadístic khi quadrat per determinar si hi ha una diferència significativa entre les
proporcions d’ambdós col·lectius que prenen més d’una consumició.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 25
Estadística
21. Sigui x una variable aleatòria amb valors 1, 2, 3, ..., n i amb funció de probabilitat:
f(x) = k x x = 1, 2, ..., n
a) Calculeu el valor de k .
b) Quina és la funció de distribució de X?
c) Calculeu la probabilitat que X sigui parell.
22. Un examen tipus test consisteix en cinc preguntes, cada una amb tres possibles
respostes. Un alumne contesta a l’atzar les cinc preguntes. Suposant que cada resposta
correcta val dos punts, trobeu la funció de probabilitat del nombre de punts obtinguts de
l’alumne.
23. Sigui X una variable aleatòria que designa el nombre de cotxes venuts cada setmana en
una concessionària. Sabem que X té la funció de probabilitat següent:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 o més
p(x) 0.04 0.04 k 0.11 0.30 0.23 0.10 0.05 0.03
a) Calculeu el valor de k.
b) Determineu la funció de distribució de X.
c) Calculeu les probabilitats següents: p(2 < X £ 5), p(X &sup3; 7) i p(X £ 6 | X > 3)
24. Sigui X una variable aleatòria amb funció de probabilitat:
f(x) = 1 - |x| |x| < 1
a) Feu un diagrama d’aquesta funció.
b) Determineu i dibuixeu la funció de distribució de X.
c) Calculeu les probabilitats següents: p(X > = 0), i p(|X| < 0,5).
25. El nombre de pacients, X, que necessiten diàriament els serveis de la unitat coronària de
la comarca del Bages segueix la distribució de Poisson amb paràmetre l = 5. L’hospital
comarcal només té capacitat per a rebre tres d’aquests pacients i en desvia la resta a una
clínica a Barcelona. Determineu la funció de probabilitat del nombre d’ingressos diaris a la
unitat coronària de l’hospital comarcal.
26. El nombre de persones per cotxe que entra a l’aparcament de Port Aventura té la funció
de probabilitat següent:
nombre de persones, X 1 2 3 4 5
p(x) 0.15 0.20 0.35 0.20 0.10
Calculeu el nombre mitjà de persones per cotxe i la variància.
27. El temps, en dies, que una persona abonada al servei CatNet d’Internet tarda a contestar
un missatge de correu electrònic té la distribució de probabilitat següent:
F(x) = 1 - (2/3)exp(-x/2)
a) Demostreu que això és una distribució exponencial. Amb quin paràmetre?
b) Calculeu el temps mitjà i el temps medià que tarda a contestar.
c) Quin percentatge de gent contesta en menys d’un dia?
28. Si X és una variable aleatòria amb distribució de Bernoulli, quin és el valor del paràmetre
p que dóna la variància var(X) més gran?
29. Sigui X una variable aleatòria amb distribució binomial de paràmetres p = 0.3 i n = 15.
Calculeu:
a) La probabilitat p(X = 2).
b) La probabilitat p(X £ 2).
c) El valor mínim de x tal que p(X £ x) &sup3; 0.3
30. El nombre d’accidents laborals, X, que es produeixen en una fàbrica cada
setmana segueix una distribució Poisson. Sabem que el percentatge de
setmanes en què hi ha un accident és la meitat del percentatge de setmanes
sense cap accident.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 26
Estadística
a) Quin és el valor del paràmetre l ?
b) Quin és el nombre esperat d’accidents setmanals?
c) Quina és la probabilitat que en dues setmanes successives es produeixin
dos accidents cada setmana?
31. Sabem, segons els partits que va jugar l’equip de bàsquet del TDK Manresa, que un
jugador determinat té una probabilitat de 0.8 d’èxit en tirs lliures.
a) Aquest jugador realitza una sèrie de 5 tirs lliures. Quina és la
probabilitat que n’encerti almenys dos?
b) Quin és el nombre mitjà de tirs lliures abans d'aconseguir el primer èxit
de tir lliure?
32. En la fabricació de certes làmines metàl·liques es produeixen
imperfeccions que estan distribuïdes aleatòriament sobre tota la superfície.
El nombre d’imperfeccions per làmina és una variable aleatòria de Poisson de
mitjana 2.
a) Es trien a l’atzar 10 làmines de la cadena de muntatge. Quina és la
probabilitat que exactament 3 tinguin defectes?
b) Quin percentatge de làmines tindran almenys 4 imperfeccions?

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 27
Estadística I
Solucionari: Distribucións de probabilitat
1.
a) Tant el diagrama de tronc i fulles com el diagrama de caixa de la variable x mostren un
clar biaix cap a la dreta, la qual cosa fa sospitar que la població origen de la mostra no es
distribueix segons una llei normal amb relació a aquesta variable.
b) Els dos diagrames presenten una simetria acceptable. El diagrama de tronc i fulles
mostra una forma clarament de campana, pròpia de les distribucions normals. Per tant, a
la vista d’aquests diagrames, es podria pensar que la variable transformada y = log(x) segueix
una distribució normal sobre la població de procedència de la mostra.
2. Un cop tipificades, les notes de l’alumne proporcionen els valors següents:
assignatura nota tipificada
Matemàtiques 1,14 (més alta)
Llengua 0,40 (més baixa)
Història 0,71
C. Naturals 1,00
Esport 1,07
Anglès 0,96
3. Els valors de la normal estàndard corresponents a la mediana i al primer i tercer quartils
són:
z1 = –0,675 z2 = 0 z3 = 0,675
Les àrees sota les z del primer quartil, la mediana i el tercer quartil són, respectivament,
0,250, 0,500 i 0,750. La consulta de les taules d’una distribució normal estàndard ens proporciona
els valors corresponents z1, z2 i z3 abans indicats. (Com que, a les taules, no hi trobem
exactament l’àrea 0,2500, fem la mitjana entre les z corresponents a les àrees de 0,2483 i
0,2514. El mateix fem per a l’àrea 0,7500.)
4. Els valors corresponents al primer quartil, a la mediana i al tercer quartil d’una distribució
normal de mitjana i desviació estàndard són:
x1 = – 0,675*σ x2 = x3 = + 0,675*
N’hi ha prou a “llevar l’estandardització” (aplicar la fórmula inversa de l’estandardització)
dels valors z1, z2 i z3 trobats a l’exercici anterior.
5. Per a calcular la probabilitat demanada cal obtenir prèviament la mitjana i la desviació
estàndard. Atès que 96 és la xifra més probable (moda), també coincideix amb la mitjana en
una distribució normal:
= 96
D’altra banda, tipificant els punts 70 i 122 (centrats en la mitjana) obtenim l’acotació d’una
àrea del 80%:
122 –
= 1,282
70 –
= 1,282
d’on obtenim la desviació estàndard:
= 20,28
i ara ja podem calcular la probabilitat demanada:
P (X < 100) = P (Z < 0,20) = 0,579
6. Atès que les puntuacions dels dos tests segueixen distribucions normals amb diferents
mitjanes i desviacions estàndard, la comparació s’ha de fer a partir de les respectives puntuacions
estàndard:
Puntuac. estàndard Manel = (680–500) / 100 = 1,8
Puntuac. estàndard Júlia = (27–18) / 6 = 1,5
D’aquesta manera, s’observa que la puntuació estàndard del Manel és més gran que la de la
Júlia.
7. Aproximadament, a partir de la nota 8,27 punts. Si només es poden adjudicar 50 beques
entre les 2.000 sol·licituds, això vol dir que només seran acceptades un 2,5% de les peticions.
Cal, doncs, buscar el valor x d’una llei normal X de = 6,9 i = 0,7 que té una àrea per sobre
igual a 0,025. Aquest valor no és altre que x = 6,9 + 1,96 * 0,7 = 8,27 punts. (Trobareu el valor
z = 1,96 a les taules.)

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 28
Estadística I
8. Els valors de i demanats són: = 1,996 = 100
El valor de serà el punt central de l’interval (1831,5, 2160,5): = (1831,5+2160,5) / 2 =
1996. Ja que dins l’interval (1831,5, 2160,5) centrat a hi ha una àrea igual a 0,90, repartit en
els dos extrems hi haurà el 0,10 que resta. Per tant, sota el valor 1831,5 hi ha una àrea de 0,05.
Això fa que el valor estàndard de 1831,5 sigui z = –1,645 (consulteu taules) i que s’hagi de
complir la igualtat:
d’on, aïllant la , s’obté = 100.
9.
10.
1831,5 = 1996 – 1,645 *
11. Hi ha una probabilitat de 0,52 que l’operació sigui rendible.
12. Cal calcular prèviament els paràmetres del model normal:
2
3
Resolent el sistema tenim = 0,88688 i = 0,0393, la qual cosa permet obtenir la probabilitat
demanada:
P(X

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 29
Estadística I
– Fàbrica B.
Com que el seu procés de fabricació segueix una llei normal de mu = 50 mm i sigma
= 0,4 mm, n’hi haurà prou a calcular l’àrea que sota aquesta corba normal queda a l’esquerra
de 49 mm i l’àrea que queda a la dreta de 51 mm. O, equivalentment, l’àrea compresa
entre 49 i 51 mm, i després restar d’1. Si estandarditzem aquests dos valors, obtenim:
x1 = 49 mm z1 = (49-50) / 0,4 = –2,5 área a l’esquerra = 0,0062
x2 = 51 mm z2 = (51-50) / 0,4 = +2,5 àrea a l’esquerra = 0,9938
àrea compresa entre x1 i x2 = 0,9938 – 0,0062 = 0,9876
àrea a l’esquerra de x1 + àrea a la dreta de x2 = 1– 0,9876 = 0,0124
Per tant, un 1,24% de les peces fabricades per B seran dolentes.
Cal prendre la decisió a partir de criteris econòmics. De cada peça que comprem a A només
n’aprofitarem 0,9544 i en pagarem 200 ptes. Per tant, el preu real d’una peça bona (aprofitable)
serà 200 / 0,9544 = 209,6 ptes. De la mateixa manera, de cada peça que comprem a B només
n’aprofitarem 0,9876, i en pagarem 208 ptes. Per tant, el preu real d’una peça bona
(aprofitable) serà de 208 / 0,9876 = 210,6 ptes. Així doncs, des d’un punt de vista estrictament
econòmic, és aconsellable comprar a la fàbrica A.
15. Hem de calcular la de la distribució normal de = 0,2 grams, de tal manera que a l’esquerra
de 8 grams hi hagi, com a màxim, una àrea de 0,015. Mirant les taules d’una distribució
normal estàndard, el valor z que deixa a l’esquerra una àrea de 0,015 ès z = –2,17. Això vol
dir, doncs, que l’estandardització de x = 8 gr ha de ser z = –2,17. Si apliquem la fórmula de
“llevar l’estandardització”:
x = + z
on x = 8, z = –217, sigma = 0,2, podem aïllar la i trobar que = 8.434 grams.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 31
Estadística
Distribucions mostrals
1. Suposeu una aula de jocs amb 5 alumnes assistents: Mireia (4 anys), Lluís (6 anys), Susanna
(8 anys), Roger (6 anys) i Esteve (4 anys). Si prenguéssim una mostra aleatòria i sense
retorn de 2 alumnes:
a) Quina és la distribució de l’edat mitjana de la mostra?
b) Comproveu que la mitjana de totes les possibles mitjanes mostrals coincideix amb la
mitjana de la població.
c) Quina és la distribució de la proporció de noies que hi ha a la mostra?
d) Comproveu que la mitjana de totes les proporcions mostrals coincideix amb la proporció
de noies que hi ha a tota la població.
2. Indiqueu raonadament quines de les afirmacions següents són certes i quines són falses.
a) La mitjana X – n es distribueix sempre segons una llei normal, sigui quina sigui la mida n
de la mostra i sigui quin sigui el tipus de distribució que segueix la variable X.
b) Sigui X la variable (= població): “Edat de les persones mortes a Catalunya els últims
5 anys”. Prenem mostres de mida n = 4. Llavors és cert que la variable X – 4 segueix una llei
normal.
c) Si la variable (= població) X es distribueix segons una llei normal, la variable X – n pot ser
que no sigui normal, si la mida n de la mostra és petita.
d) Si n ≥ 2, llavors la desviació estàndard de X – n és sempre menor que la desviació estàndard
de X.
3. S’ha calculat que un nen de 7 anys està veient televisió un nombre aleatori d’hores que
segueix una distribució normal de paràmetres = 2,2 i = 0,8. Si prenem una mostra aleatòria
de 25 nens d’aquella edat, quina probabilitat hi ha que la mitjana de la mostra no superi
les dues hores?
4. Una empresa que fabrica llumins se sotmet a una auditoria de control de qualitat. Un dels
controls consisteix a auditar el nombre X de llumins que contenen les capses. L’empresari
afirma que la variable X té una mitjana = 50 llumins i una desviació estàndard
= 0,5 llumins.
L’auditor pren una mostra de 25 capses i compta el nombre de llumins que contenen. Els
25 valors que obté són els següents:
48 49 49 49 50 50 51 50 50 51
50 49 50 50 50 50 49 50 49 49
50 49 51 50 49
Donant per bona la desviació estàndard del procés, creieu que l’auditor donarà per bona la
mitjana = 50 del procés? Raoneu la vostra resposta.
5. Se sap que un 64% de les persones d’una població molt nombrosa són no fumadores. Simbolitzem
amb p la proporció de persones no fumadores presents en una mostra
aleatòria de mida n = 400 persones procedents d’aquesta població.
a) Quin tipus de distribució segueix aproximadament la proporció mostral p?
b) Quant valen la mitjana i la desviació estàndard d’aquesta distribució?
c) Doneu un interval centrat a 0,64 (= 64%) que contingui un 95% dels possibles valors
que pot adquirir p.
d) És possible que, essent 64% la proporció real de no fumadors de la població, la proporció
p de no fumadors de la nostra mostra de 400 persones sigui igual a 56,8%? Ho veieu
gaire probable (= factible)? Raoneu la vostra resposta.
6. El pes de les pomes d’una collita s’adapta bastant bé a un model normal de mitjana 212 gr i
desviació estàndard 24 gr. Si prenem un cistell amb 16 unitats, quina probabilitat hi ha que el
pes mitjà de les pomes:
a) superi els 200 gr?
b) estigui comprès entre 210 i 214 gr?
7. Hom sap que el pes net de les garrafes d’aigua mineral de determinada marca segueix una
llei normal de paràmetres = 8,062 i = 0,291 litres. Quina probabilitat hi ha que una mostra
aleatòria de 16 garrafes proporcioni un pes mitjà inferior a 8 litres?
8. Un registre inclou gran quantitat d’apunts comptables relatius a despeses corrents amb
una variància igual a 2224. Volem prendre una mostra aleatòria de manera que la probabilitat
que l’import mitjà mostral es desviï (per excés o per defecte) de la veritable mitjana poblacional
més de 12 ptes. sigui d’un 5%. Quina mida de mostra ens caldrà?
9. Quan un procés automàtic d’envasament de cafè està sota control, el contingut net de cafè
dels paquets es distribueix segons una llei normal de = 251 gr i desviació estàndard
= 0,6 gr. Per tal de controlar el procés, es treuen periòdicament mostres de 9 paquets de
Recordeu...!
La distribució de la mitjana
mostral (X – ) se centra al
voltant del valor de la mitjana
poblacional () i té una
dispersió inferior a la de la
població, dispersió que ve
donada per la seva desviació
estàndard:
¯x = n
La distribució de la proporció
mostral (ρ) se centra al voltant
del valor de la proporció
poblacional (π) amb una
dispersió que ve donada per
la seva desviació estàndard:
(1– )
p =
n
Nota:
Si X simbolitza una variable
(= població) qualsevol,
convindrem a simbolitzar
amb – Xn la variable: “Mitjana
de les mostres de mida n
procedents de X”.
Recordeu...!
Si podem suposar que la
mitjana mostral es distribueix
normalment i coneixem la
mitjana poblacional (o un
valor de referència
prèviament fixat) i l’error
estàndard de la mitjana
mostral, aleshores podem
fixar els límits de control de
qualitat com a tres errors
estàndard a cada costat de
la mitjana poblacional.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 32
Estadística
cafè. Els paquets de la mostra es pesen juntament amb els seus envasos i es calcula la mitjana
X – dels 9 pesos. Se sap que l’envàs d’un paquet té un pes constant de 10 gr.
Indiqueu quins són els límits de control superior i inferior d’aquest procés amb relació a la
variable “pes total (cafè + envàs) dels paquets de cafè”.
10. Una empresa de calculadores de butxaca ha seleccionat una mostra aleatòria de 100 calculadores
per tal de conèixer–ne el percentatge que el procés productiu genera com a defectuoses.
Suposant que poblacionalment el 90% de les calculadores produïdes per l’empresa
són acceptables, quina és la probabilitat que la proporció mostral no es desviï per excés ni per
defecte més d’un 5% de la proporció poblacional?
11. Un empresari assegura que el percentatge de productes defectuosos que fabrica és del 5%.
Un client decideix comprovar l’afirmació del fabricant seleccionant aleatòriament 200 productes,
entre els quals en troba 19 de defectuosos. El procés de fabricació es troba sota control?
Seguirà el client comprant al fabricant?
12. Una determinada escola de mecanografia afirma que només el 10% dels alumnes que superen
les seves proves cometen errors mecanogràfics seriosos. Una empresa decideix iniciar
un procès de selecció de mecanògrafs i mecanògrafes i efectua proves a 100 alumnes d’aquella
escola. Quin haurà de ser el nombre d’entrevistats amb errors mecanogràfics seriosos per
tal de poder afirmar que el procés d’aprenentatge està fora de control?

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 33
Estadística
Solucionari: Distribucions mostrals
1.
2.
a) Atès que realitzem un mostratge aleatori sense retorn, podem formar 10 parelles diferents
amb els 5 nens; en conseqüència, podem obtenir 10 mostres diferents de 2 nens. La
mitjana mostral de cadascuna de les 10 parelles és:
M-Ll (4+6) / 2 = 5 M-S (8+4) / 2 = 6
M-R (4+6) / 2 = 5 M-E (4+4) / 2 = 4
L-S (6+8) / 2 = 7 L-R (6+6) / 2 = 6
L-E (6+4) / 2 = 5 S-R (8+6) / 2 = 7
S-E (8+4) / 2 = 6 R-E (6+4) / 2 = 5
i, per tant, la distribució de la mitjana mostral és:
mitjana % freqüència
4 10
5 40
6 30
7 20
b) La mitjana aritmètica de totes les mitjanes mostrals és:
(5+6+5+4+7+6+5+7+6+5) / 10 = 5,6
valor coincident amb la mitjana de la població():
(4+6+8+6+4) / 5 = 5,6
c) Considerant ara la proporció de noies a les diferents mostres tenim:
M-Ll 50% M-S 100%
M-R 50% M-E 50%
L-S 50% L-R 0%
L-E 0% S-R 50%
S-E 50% R-E 0%
i, per tant, la distribució de la proporció mostral de noies és:
proporció % freqüència
0 30
50 60
100 10
d) La mitjana aritmètica de totes les proporcions mostrals és:
(0+0+0+50+50+50+50+50+50+100) / 10 = 40%
valor coincident amb la proporció de noies que hi ha a la població ( = 2 / 5 = 40%).
a) Fals. Si la variable X no és normal i la mida n de la mostra és petita, la variable X – n pot
ser bastant diferent d’una llei normal.
b) Fals. En aquest cas, la variable X té un biaix molt fort (és molt asimètrica) cap a l’esquerra.
Per tant, X no és normal, i com la mida n = 4 de les mostres és molt petita, la variable
X – n continuarà encara mostrant un biaix en la mateixa direcció i, en conseqüència, no
s’ajustarà a una llei normal.
c) Fals. Si X és normal, sigui quina sigui la mida n de la mostra, la variable X – n segueix
sempre una llei normal.
d) Cert. La desviació estàndard de X – n és igual a / n,
essent la desviació estàndard de
la variable (població) X. Per tant, si n ≥ 2, el valor de /n serà inferior al valor de .
3. Atès que el nombre d’hores que un nen de 7 anys veu la televisió es distribueix normalment,
la mitjana mostral obtinguda a partir d’una mostra aleatòria es distribuirà també normalment
sigui quina sigui la mida de la mostra. En aquest cas, coneixem també els valors poblacionals
= 2,2 hores i = 0,8 hores, la qual cosa ens permet determinar la distribució de la mitjana
mostral, que serà normal de mitjana = 2,2 hores i desviació estàndard = 0,8 25 = 0,16.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 34
Estadística
En aquestes condicions podem calcular la probabilitat que la mitjana mostral prengui un valor
inferior o igual a 2 hores, o el que és el mateix, l’àrea que queda per sota de la corba normal
definida pels paràmetres que caracteritzen la distribució de la mitjana mostral:
4. Segurament l’auditor no donarà per bona la mitjana X – = 50 llumins del procés.
El més normal és que l’auditor comenci calculant la mitjana X – del nombre de llumins de la
mostra de 25 capses. Aquesta mitjana és igual a X – = 49.68 llumins.
El que procedeix tot seguit és preguntar-se fins a quin punt és possible obtenir una mitjana de
X – = 49,68 llumins en una mostra de n = 25 capses quan el procés funciona correctament.
Si l’empresari diu la veritat, la mitjana del procés val = 50 llumins i la desviació estàndard
= 0,5 llumins. En aquest cas, doncs, la variable X – de les mostres de mida 25 es comportarà
com una llei normal de mitjana = 50 llumins i desviació estàndard = 0,5 / 5 = 0,1 llumins.
Ens podem preguntar, llavors, si la mitjana X – n
= 49,68 llumins está gaire “allunyada” de
la mitjana teòrica = 50 llumins. Per mesurar-ho, n’hi haurà prou a calcular el nombre de
desviacions estàndards a què està situat X de μ:
(49,68 – 50) / 0,1= –3,2
La mitjana està, doncs, a 3,2 desviacions estàndard a l’esquerra del valor teòric de . Això és
altament improbable que passi. Si mirem les taules, a l’esquerra de –3,2 només hi ha una àrea
de 0,0007 = 0,07%.
Per tant, hi ha molts motius per a sospitar que la real del procés no és = 50 llumins, sinó
més petita.
5.
6.
a) La proporció mostral p segueix una distribució normal atès que la mida de la mostra
(n = 400) és molt gran i la proporció p no és excessivament petita.
b) La mitjana de la proporció mostral p és igual a 0,64 i la desviació estàndard és
igual a 0,024. Segons la teoria, la proporció mostral p calculada sobre mostres de mida n
té per mitjana el valor que té la proporció en el conjunt de la població ( = 0,64 = 64%) i
per desviació estàndard:
c) Interval que conté la proporció mostral p:
(0,64 – 1,96 x 0,024 , 0,64 + 1,96 x 0,024) = (0,593 , 0,687)
d) Sí que és possible obtenir una mostra amb una proporció del 56,8% de persones no fumadores.
No és, però, gens factible (probable).
Segons es veu a l’apartat c), un 95% de les vegades, la proporció p de no fumadors en una
mostra de mida 400 procedent d’una població amb un 64% de persones no fumadores,
estarà compresa entre 59,3% i 68,7%. Per tant, si bé és possible que l’atzar ens faci obtenir
una mostra amb una proporció de 56,8% de no fumadors, és altament improbable d’obtenir
aquest valor.
Podem ser encara més precisos: el valor 0,568 està a 3 desviacions estàndard a l’esquerra
de la mitjana 0,064:
(0,568 – 0,64) / 0,024 = –3
L’àrea a l’esquerra de –3 en una distribució normal estàndard és 0,0013, la qual cosa vol
dir que només un 0,13% de les proporcions mostrals estan tan allunyades de 0,64 com la
proporció 0,568 de la nostra mostra o més.
a) 0,977
b) 0,262
X – –
P(X
n
– ≤2) = P(
7. La probabilitat és de 0,19711.
8. Calen entre 59 i 60 apunts comptables.
9. Límit de control inferior: 260,4 gr
Límit de control superior: 261,6 gr
10. La probabilitat és d’un 0,91.
(1–)
n
≥
2 – 2,2
0,16
= P(Z≤–1,25) = 0,10565
= 0,64 ⋅ 0,36/400 = 0,024

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 35
Estadística
11. La desviació estàndard de la proporció mostral val 0,015. Els límits de control seran, doncs,
0,05 ± 3 x 0,015 = (0,005 ; 0,095) = (0,5% ; 9,5%) de manera que el procés es troba vorejant els
límits de control, atès que la proporció mostral pren un valor de 19 / 200 = 9,5%.
12. La desviació estàndard de la proporció mostral val 0,03. Els límits de control seran,
doncs, 0,10 ± 3 x 0,03 = (0,01 ; 0,19) = (1% ; 19%). En conseqüència, si apareixen més de 19
mecanògrafs i mecanògrafes amb errors seriosos, el procés es trobarà fora de control.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 37
Estadística
Intervals de confiança
1. Volem determinar el consum mitjà diari d’aigua beguda per un adult. Després de controlar
una mostra de 612 persones adultes vàrem calcular una mitjana igual a 0,62 litres i una
desviació estàndard de 0,28 litres. Treballant amb una confiança del 72%, obteniu un interval
per a la mitjana de tota la població.
2. Una màquina confecciona broques d’acer de llargada aleatòria normalment distribuïda.
Per estimar la seva longitud mitjana s’ha pres una mostra a l’atzar de 18 peces amb les mides
següents donades en mil·límetres:
32,5 33,3 33,1 32,6 32,7 33,7 33,1 32,3 33,6 33,0
32,7 32,8 32,3 32,6 33,6 33,5 33,4 32,9
Estimeu un interval per a la mitjana de les llargades als nivells de confiança del:
a) 80% b) 90% c) 95% d) 99%
3. La velocitat màxima assolible per quatre models diferents de motocicleta, tots ells de característiques
tècniques similars, s’adapta bastant bé a models normals. Per comprovar si
aquesta velocitat punta també és similar, hem sotmès a prova 10 motocicletes de cada model
amb els màxims enregistrats següents:
Model 1 Model 2 Model 3 Model 4
172 172 168 170
168 171 169 168
168 173 168 170
173 172 169 170
171 169 171 172
171 170 173 172
169 171 171 172
168 170 171 169
171 173 169 171
168 172 172 168
Heu de calcular un interval al 95% de confiança per a la velocitat màxima que es pot aconseguir
en cada model de motocicleta i comprovar si hi ha algun valor comú que pertanyi als
quatre intervals.
4. Diversos estudis de mercat proporcionaven els resultats mostrals següents a partir
dels quals heu de cercar l’interval de confiança per a la proporció poblacional al nivell
1 – = 0,9:
a) De 900 persones consultades, 225 feien més de 3 setmanes seguides de vacances.
b) Preguntats 760 nens, 525 eren partidaris de les joguines bèl.liques.
c) 442 de 508 homes casats deien compartir les tasques domèstiques de la llar.
d) Una enquesta a 600 usuaris d’una línia de tren de rodalies mostrava satisfacció en el
servei en 486 dels preguntats.
5. Utilitzant l’expressió per a determinar la mida mostral en situació de màxima incertesa,
calculeu la mostra necessària per a esbrinar la proporció de fumadors que hi ha entre la població
adulta d’un país amb una precisió de més-menys 2% i una confiança del 70%, 80%,
90%, 95% i 99%.
6. Les dades següents corresponen als residents observats en una mostra de 60 habitatges
d’una barriada:
4 8 3 6 0 4 4 2 1 0 7 2 2 3 1
1 6 3 2 3 0 0 3 5 3 1 3 4 3 1
1 6 5 0 3 5 1 6 7 2 8 3 2 9 0
6 5 2 9 2 1 0 6 0 5 3 6 1 4 2
Treballant amb un nivell 0,95 de confiança, calculeu un interval:
a) Per a la mitjana de residents per habitatge.
b) Per a la proporció de vivendes desocupades.
c) Per a la proporció de vivendes on viuen 5 o més persones.
Recordeu...!
El marge d’error d’un interval
de confiança és el radi de
l’interval al voltant de la
mitjana o la proporció.
Si coneixem la desviació
estàndard poblacional d’una
població normal o si es pot
aplicar el teorema del límit
central, el marge d’error es
calcula utilitzant la distribució
normal estàndard:
±Z/2 ⋅ X –
Si desconeixem la desviació
estàndard poblacional i
només disposem de la
corresponent dada mostral,
hem d’utilitzar la distribució t
de Student:
± t/2.n1 ⋅ S X –

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 38
Estadística
7. En un supermercat s’està estudiant el temps que tarda el responsable de la caixa a atendre
un client. Per això es mesura el temps que 25 clients triats a l’atzar tarden a ser atesos. Els 25
temps mesurats, expressats en segons, són els següents:
52 33 81 158 29 43 19 63 19 248
31 123 70 21 57 99 10 20 18 14
18 144 89 32 95
Estimeu, a un nivell de confiança del 95%, la mitjana del temps de servei d’un client en els
dos supòsits següents:
a) Suposeu que la desviació estàndard del temps de servei és coneguda d’altres vegades
i igual a = 50 segons.
b) Suposeu que la desviació estàndard del temps de servei és desconeguda, per la qual
cosa l’heu d’estimar a partir de la mostra obtinguda.
8. El gerent d’una empresa de serveis vol conèixer el grau de satisfacció dels seus clients amb
relació a l’atenció rebuda per part del personal de l’empresa. (Els clients es desplacen a l’empresa
a hores concertades amb antelació.)
Amb aquesta finalitat, durant un mes, demanen a uns quants clients que visiten l’empresa
que contestin un breu qüestionari. Una de les preguntes del qüestionari és:
Ha hagut d’esperar més de 5 minuts de l’hora prèviament concertada per ser atès?
La resposta és senzillament sí o no i suposarem que no es produeixen respostes en blanc.
Al final del mes s’han recollit un total de 600 enquestes, en què 225 enquestats contesten
afirmativament a la pregunta anterior.
a) Estimeu, a un nivell de confiança del 99%, la proporció (expressada en tant per cent)
de clients d’aquesta empresa que s’han d’esperar més de 5 minuts per ser atesos.
b) Fa 6 mesos es va passar la mateixa enquesta i la proporció de clients que varen contestar
afirmativament l’anterior pregunta va ser del 40,2%. A la vista de les dades de l’última
mostra, afirmaríeu (des d’un punt de vista estadístic) que la proporció ha disminuït significativament?
9. En una enquesta preelectoral d’unes eleccions municipals, una empresa especialitzada ha
preguntat la intenció de vot a una mostra de 400 persones triades aleatòriament, de les quals
220 han manifestat que pensen votar el partit A. Els responsables del partit A, a la vista del resultat
de l’enquesta, afirmen que tenen les eleccions guanyades.
Jutgeu i critiqueu, des d’un punt de vista estrictament estadístic, l’afirmació dels responsables
del partit A.
10. Es vol estimar, amb un nivell de confiança del 95% i amb un marge d’error no superior a
2.000 ptes., la mitjana dels ingressos familiars mensuals d’una gran col·lectivitat.
Atès que no es té cap tipus d’informació del valor de la desviació estàndard d’aquesta variable
en aquesta col·lectivitat, es treu una petita mostra inicial de 100 famílies i es calcula la
desviació estàndard s dels seus ingressos. El valor que s’obté és s = 36.000 ptes.
Prenent com a valor de el valor s de la mostra prospectiva, determineu la mida n que ha de
tenir com a mínim la mostra per dur a terme l’estimació esmentada.
11. En un procés de producció de copes de cristall, hom vol estimar, a un nivell de confiança
del 99,6% i amb un marge d’error no superior a 0,5%, la proporció percentual de copes malmeses
al final del procés de producció. Se sap d’altres vegades que aquesta proporció no supera
l’1% de la producció total.
Determineu la mida mínima n que ha de tenir la mostra que cal investigar.
12. Raoneu si és certa l’afirmació següent o no:
“Per fer una estimació, a un determinat nivell de confiança, de la intenció de vot a un
partit A en una ciutat com Barcelona, s’ha de triar una mostra molt més gran que la que es
triaria per fer la mateixa estimació en una ciutat més petita, com ara Girona”.
Ho sabíeu...?
Per provar la validesa
d’alguns supòsits o creences
apriorístiques hi ha
procediments més adequats
que els que fins ara heu après.
Més endavant, estudiareu
la contrastació d’hipòtesis,
la qual aporta una metodologia
de treball molt més
estructurada i potent per a
contestar algunes de les
qüestions que aquí es
plantegen.
Ho sabíeu...?
Quan la població sobre la
qual es realitza el mostratge
és finita, és a dir, quan està
formada per pocs individus,
cal realitzar unes correccions
en les expressions dels errors
estàndards de mitjanes i
proporcions mostrals:
¯x =
n
p = p(1–p)
n
on N és la mida de la
població.
N–n
N–1
N–n
N–1

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 39
Estadística
Solucionari: Intervals de confiança
1. El fet de treballar amb una mostra gran (n = 612) ens permet que, malgrat desconèixer el
valor de la desviació estàndard poblacional i, per tant, trobant-nos obligats a utilitzar la desviació
estàndard mostral, puguem utilitzar la distribució normal estàndard per tal de fixar els
valors que determinen l’interval de confiança.
L’interval de confiança per a la mitjana poblacional és:
–
X ± z α /2 s n
0,62 ± 1,08 ⋅ 0,28/ 612
Al nivell de confiança del 72% hem de localitzar el valor de la normal estàndard que acumula
fins a ell un 86% de l’àrea total, de manera que en les dues cues alienes a l’interval quedi el
28% restant repartit a parts iguals entre ambdues cues. El valor cercat és z = 1,08.
Finalment, realitzant les operacions l’interval és de 0,608 a 0,632 litres per persona i dia.
2. Amb les dades mostrals:
grandària = 18
mitjana = 32,983
desv. estàndard = 0,454
i els punts crítics de la llei t de Student:
trobem els intervals següents per a la mitjana:
a) (32,841 33,126)
b) (32,797 33,170)
c) (32,757 33,209)
d) (32,673 33,294)
3. Amb els paràmetres mostrals següents:
1- t/2
0,80 1,333
0,90 1,740
0,95 2,110
0,99 2,898
mostra mitjana desv. est. est. de mitj.
Model 1 10 169,90 1,91 0,60
Model 2 10 171,30 1,34 0,42
Model 3 10 170,10 1,73 0,55
Model 4 10 170,20 1,55 0,49
i el punt crític de la llei t de Student al nivell 0,95 i 9 graus de llibertat (2,262), trobem els intervals
següents:
Model 1 (168,532 171,268) (—————*—————)
Model 2 (170,343 172,257) (—————*—————)
Model 3 (168,863 171,337) (—————*—————)
Model 4 (169,091 171,309) (—————*—————)
on podem comprovar que admeten alguns valors comuns que farien admissible el supòsit
que tots els models permeten assolir una mateixa mitjana de velocitat punta.
4. Per a tots els casos, la proporció de la població () girarà al voltant de la proporció mostral (p)
més-menys un marge d’error resultant de multiplicar el punt crític de la distribució normal
(1,645 en aquest exercici) per l’error estàndard de l’estadístic p(1–p)
.
n
p± 1,645
la qual cosa implicaria els intervals següents:
p(1–p)
n
a) 0,2263 - 0,2737 c) 0,8455 - 0,8946
b) 0,6632 - 0,7184 d) 0,7837 - 0,8363

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 40
Estadística
5. Les mides mostrals per a cadascun dels nivells de confiança són:
6.
7.
8.
a) Amb les mides mostrals:
mitjana: 3,25
desv. estàndard: 2,454
obtenim l’interval per a la mitjana poblacional:
(2,616 3,884)
b) Amb el percentatge mostral de vivendes desocupades (0,133), obtenim l’interval de la
proporció poblacional:
(0,0473 0,2193)
c) Amb el percentatge mostral d’habitatges amb 5 o més residents (0,3), obtenim l’interval
de la proporció poblacional:
(0,184 0,416)
a) L’interval és de 43,84 a 83,04 segons.
b) L’interval és de 39,90 a 86,98 segons.
confiança mostra
70% 526
80% 801
90% 1.028
95% 1.225
99% 1.610
a) L’interval de confiança és de 32,4% a 42,59%.
b) A la vista de les últimes dades i, per tant, treballant sobre la distribució de la proporció
mostral que ve donada per p = 0,375 amb p = 0,01976, la probabilitat d’obtenir una proporció
mostral més gran o igual que 40,2% és d’un 8,03%, relativament poc probable. En
conseqüència es pot afirmar que hi ha hagut una reducció significativa del temps d’espera.
9. A la vista dels resultats mostrals, amb una proporció de vot favorable al partit A del 55%,
l’interval de confiança per a estimar la proporció poblacional amb un nivell de confiança del
95% pren els valors de 50,1% a 59,9%. En aquest sentit, amb una confiança del 95% s’assegurarien
la majoria absoluta.
Malgrat tot, al 99% de confiança l’interval s’estén des del 48,6% fins al 61,44%, de tal manera
que no és possible garantir la victòria d’una manera absoluta.
10. La mida de la mostra ha de ser superior a 1.245 famílies.
11. La mida mínima que ha de tenir la mostra és de 3.285 copes.
12. Si malgrat haver-hi diferències substancials entre les poblacions de Barcelona i Girona es
pot suposar que totes dues són infinites a efectes estadístics, es podrà utilitzar la mateixa
mida de mostra per a ambdues ciutats.
En cas contrari ens trobaríem davant de mostratge en poblacions finites i caldria efectuar una
correcció en el càlcul de l’error estàndard de la proporció mostral que donaria lloc a diferències
de mida mostral. L’error estàndard per a proporcions mostrals en mostratge per a poblacions
finites és:
p =
p(1–p)
n
N–n
N–1

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 41
Estadística
Relacions entre variables
1. Una factoria disposa de dades relatives al procés de producció: nombre d’unitats acabades
(Y) i nombre d’hores treballades (X), sobre una mostra pilot de 10 setmanes:
setm. Y X setm. Y X
1 2.649 43 6 2.212 40
2 3.305 51 7 3.045 47
3 2.965 47 8 1.885 34
4 1.865 34 9 1.997 36
5 3.711 54 10 4.626 60
A partir d’aquesta informació heu de realitzar una estimació completa de la relació lineal de Y
sobre X.
2. En dades de municipis de petita i mitjana dimensió hem observat el nombre d’agències
bancàries que hi operen, com també un índex d’activitat comercial:
Bancs 16 9 24 8 11 10 4 2
Índex 113 74 185 70 85 82 60 51
Efectueu les regressions de Bancs s/ Índex i d’Índex s/Bancs, comprovant que:
a) Les dues rectes es tallen en les mitjanes de les variables.
b) El coeficient de determinació és el mateix i coincideix amb el producte dels dos pendents.
3. Sobre una mostra de 20 arbres d’una gran plantació hem observat les variables:
Diàmetre de la soca del tronc en cm
Alçada fins la copa en cm
Volum de fusta en uu de capacitat
Densitat de la fusta en uu de densitat
amb els resultats següents:
Arbre Diàmetre Alçada Volum Densitat
1 21,0 213 0,292 729,452
2 21,8 198 0,292 678,082
3 22,4 192 0,289 664,360
4 26,6 219 0,464 472,206
5 27,2 247 0,532 464,286
6 27,4 253 0,558 449,533
7 28,0 210 0,480 437,500
8 27,9 229 0,515 440,679
9 26,6 217 0,423 513,002
10 28,4 229 0,564 412,213
11 28,7 241 0,685 351,825
12 26,2 232 0,502 462,151
13 29,0 232 0,606 365,360
14 29,7 210 0,603 348,259
15 30,5 229 0,541 419,234
16 28,7 251 0,696 360,632
17 32,8 259 0,957 272,223
18 29,1 240 0,775 319,057
19 34,8 216 0,728 296,703
20 35,1 195 0,705 272,642
El nostre propòsit és explicar la densitat a partir de la variable que estigui més correlacionada,
qüestió per la qual se us demana que:
a) Calculeu el coeficient de correlació lineal entre la densitat i cada una de les altres variables.
b) Estimeu la recta de regressió entre la densitat i la variable que presenta major correlació.
c) Presenteu la taula que conté els valors reals, estimats i errors en l’ajustament anterior.
Ho sabíeu...?
En la recta de regressió de Y
sobre X el pendent pren el
valor:
cov (x,y)
m =
mentre que en la recta de
regressió de X sobre Y el
pendent pren el valor:
m =
cov (x,y)
De manera que el producte
de m per m’ serà igual al
quadrat del coeficient de
correlació lineal entre X i Y, o
el que és el mateix, el
coeficient de determinació R2 de la regressió lineal de X
sobre Y o de Y sobre X:
= r 2 = R2 [cov (x,y)] 2
m ⋅ m’ =
sx 2 sy 2
sx 2
sy 2

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 42
Estadística
4. Sovint s’utilitza la regressió per determinar la trajectòria lineal que presenten algunes variables
en el decurs del temps. Això l’equació:
Y = a + b t
representa la tendència d’una variable cronològica (Y), i com a variable explicativa emprem
el temps (t).
Suposeu la distribució de les vendes de telèfons portàtils en una regió observada per al període
1991-1996:
t 1 2 3 4 5 6
Y 348 505 724 996 1.220 1.492
Efectueu una estimació de la trajectòria anual de les vendes i feu una previsió fins l’any 2000
projectant la recta d’ajust trobada.
5. Disposem de dades relatives a alguns anys sobre les variables:
Any VEN PUB
1991 236,7 8,3
1992 * 9,4
1993 258,8 9,2
1994 250,6 9,1
1995 279,8 10,5
1996 * 10,8
VEN: vendes en milers de milions
de pessetes
PUB: despeses de publicitat
en milions de pessetes
Obteniu la recta de regressió que explica la xifra de vendes a partir de les despeses de publicitat
utilitzant la informació dels anys 1991, 1993, 1994 i 1995 i feu una estimació per als anys
1992 i 1996.
6. S’ha pres una mostra pilot de famílies formades pel matrimoni i dos fills, un noi i una noia d’edats
compreses entre 12 i 16 anys. En tots els casos se’ls ha demanat que valoressin de 0 a 10 una
dotzena de programes de televisió, la qual cosa ens ha permès d’obtenir la taula de resultats següent
a partir de les puntuacions mitjanes de tots els enquestats:
Programa Mare Pare Filla Fill
1 Notícies 6,4 7,1 3,7 2,9
2 Futbol 2,3 9,0 4,2 9,2
3 Concert 2,0 1,9 2,5 0,6
4 Magazine 7,3 5,8 7,1 6,7
5 Cabaret 4,4 8,1 2,7 7,8
6 Concurs 5,4 5,5 6,7 6,7
7 Natura 7,8 6,6 8,6 5,7
8 Dibuixos 0,3 0,6 3,9 4,4
9 Cinema 8,1 8,0 6,2 7,5
10 Serial 7,7 2,7 6,9 3,1
11 Humor 2,8 3,2 2,5 3,3
12 Tertúlia 5,3 6,7 2,7 4,1
Calculeu les correlacions dos a dos de les diferents puntuacions atorgades.
7. Un cop calculats en dòlars els ingressos i estalvis de les famílies d’un país hem obtingut
una correlació igual a 0,75. Quant hauria donat la correlació si haguéssim calculat les variables
en pessetes?
Ho sabíeu...?
Un dels principals objectius
de la regressió és la predicció
o el pronòstic sobre el
comportament esperat d’una
variable donat un valor
determinat de l’altre. Si la
variable explicativa és el
temps, t, aleshores el model
de regressió lineal ens permet
fer prediccions dels valors
futurs de la variable
dependent Y.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 43
Estadística
8. Disposem d’una distribució bivariant relativa als temps invertits per una dotzena de nens
en els 100 i 200 metres llisos:
nen 100 200
1 13,8 30,6
2 13,6 29,9
3 12,9 28,2
4 14,5 31,7
5 14,2 31,1
6 14,6 31,7
7 13,0 28,7
8 12,9 28,6
9 13,8 30,3
10 13,8 32,0
11 14,6 32,6
12 14,1 30,9
a) Calculeu la mitjana i la desviació estàndard dels temps aconseguits en totes dues curses.
b) Presenteu les distribucions estandarditzades.
c) Calculeu la covariància entre les dues sèries tipificades i comproveu que coincideix
amb la correlació que presenten les variables abans d’estandarditzar.
9. Hom sap que hi ha una relació funcional entre el cost de producció (C) i el nombre d’unitats
acabades (q). A partir de les dades corresponents a 12 dies de fabricació elegits a l’atzar:
dia C q dia C q
1 23563,3 217 2 51860,9 322
3 32786,9 256 4 54799,4 331
5 21031,3 205 6 64459,4 359
7 84479,4 411 8 27631,3 235
9 74903,4 387 10 88639,4 421
11 92468,9 430 12 70331,4 375
volem determinar quin dels models següents resultaria més adequat com a funció de costos:
C = a + b q
C = a + b q2
C = a + b log q
qüestió per la qual heu de calcular la correlació lineal que presenta la variable C i cada una de
les variables explicatives q, q2 i log q.

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 44
Estadística
Solucionari: Relacions entre variables
1. L’estimació del model de producció és:
2.
3.
predictor coeficient desv. est. raó t
constant –1654,5 239,4 –6,911
X 100,46 5,276 19,041
Desv. estàndard de les pertorbacions: 139,6
Coeficient de determinació: 0,978
a) Les rectes de regressió:
Bancs = – 3,729 + 0,1581 Índex
Índex = 27,156 + 5,9851 Bancs
es tallen en el punt 10,5 i 90, que correspon a les mitjanes respectives de bancs i índex.
b) El producte dels dos pendents (0,1581 * 5,9851) coincideix amb el coeficient de determinació
de les dues rectes de regressió (0,9462).
a) Correlacions entre la densitat i la resta de variables:
b) Regressió de la densitat respecte al diàmetre:
diàmetre alçada volum
densitat –0,933 –0,439 –0,925
predictor coef. desv. est. estadístic-t
constant 1356,04 84,25 16,09
diàmetre –32,731 2,975 –11,00
s = 47,87 R 2 = 0,871
c) Llistat d’observacions, estimacions i errors de la regressió:
arbre densitat estim. densit. error
1 729,452 668,696 60,7565
2 678,082 642,511 35,5713
3 664,360 622,872 41,4875
4 472,206 485,403 –13,1967
5 464,286 465,764 –1,4784
6 449,533 459,218 –9,6850
7 437,500 439,579 –2,0794
8 440,679 442,853 –2,1735
9 513,002 485,403 27,5997
10 412,213 426,487 –14,2741
11 351,825 416,668 –64,8430
12 462,151 498,495 –36,3435
13 365,360 406,849 –41,4886
14 348,259 383,937 –35,6782
15 419,234 357,752 61,4818
16 360,632 416,668 –56,0356
17 272,223 282,471 –10,2482
18 319,057 403,575 –84,5184
19 296,703 217,009 79,6939
20 272,642 207,190 65,4518

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 45
Estadística
4. L’equació de la tendència ajustada és:
Yt = 67,1333 + 232,486 * t
i les previsions de vendes fins l’any 2000
5. Aplicant la regressió mínim quadràtica obtindrem l’ajustament
VEN = 74,86 + 19,581 PUB
amb alta bondat d’adherència i capacitat explicativa, com mostren els seus coeficients:
Coef. de determinació: 0,978
Això fa que resultin molt fiables les estimacions dels anys 1992 i 1996, havent de substituir
només en l’equació de regressió la variable PUB pels valors d’aquells anys
6. Les correlacions són:
7. Suposant un canvi del tipus: 1 dòlar = 135 pessetes, la covariància s’hauria multiplicat per
135 2 i cada desviació estàndard per 135. Per tant, el coeficient de correlació no s’hauria alterat
ja que és insensible a qualsevol canvi d’escala en les variables.
8.
a)
any vendes esperades
1997 1694,53
1998 1927,02
1999 2159,50
2000 2391,99
predictor coef. desv. est. estadístic-t
constant 74,86 19,26 3,89
PUB 19,581 2,069 9,47
any VEN estimada
1992 258,92
1996 286,34
Pare 0,440
Filla 0,698 0,134
Fill 0,176 0,713 0,330
variable mitjana desv. estàndard
100 m.ll. 13,817 0,626
200 m.ll. 30,525 1,433
Mare Pare Filla
b) Si per a cada variable hi restem la mitjana i ho
dividim per la desviació estàndard, haurem creat
noves variables sense escala ni origen, obtenint:
valors estandarditzats
nen 100 m.ll. 200 m.ll.
1 –0,02661 0,05232
2 –0,34587 –0,43601
3 –1,46330 –1,62196
4 1,09082 0,81970
5 0,61193 0,40113
6 1,25046 0,81970
7 –1,30367 –1,27315
8 –1,46330 –1,34292
9 –0,02661 –0,15696
10 –0,02661 1,02899
11 1,25046 1,44756
12 0,45229 0,26161

© Universitat Oberta de Catalunya • W1/00702.06. 46
Estadística
Podríem comprovar que la nova mitjana és 0 i la desviació estàndard és 1 en cada cas.
c) Un coeficient de correlació no és més que una covariància entre variables tipificades.
Per tant:
Cov ( X – X
sx
Y – Y ) = rxy
sv
En el nostre exemple dóna 0,929 tant en un cas com en un altre.
,
9. Correlacions entre el cost de producció i les variables seleccionades com a explicatives:
q 0,996
q 2 1,000
log q 0,984
q 2 és la variable que presenta major correlació amb C (correlació perfecta). L’equació funcional
que millor explicaria els costos de producció seria la paràbola incompleta de segon grau.
C