exercicis teorema del residu

i e s p a u c a s e s n o v e s
i n c a
Exercicis:
Teorema del residu
MATEMÀTIQUES 4t d'ESO OPCIÓ B
Teorema del residu
MD020305 r0
Sigui P(x) un polinomi qualsevol. El valor numèric del polinomi P(x) per x = a, és a dir, P(a),
coincideix amb el residu de la divisió P(x):(x – a).
(A més, recorda que aquest tipus de divisions es poden fer per Ruffini)
1. Considera el polinomi P(x) = 5x 3 – 2x 2 + 3x – 1. Calcula, mitjançant el teorema del residu el
valor numèric per a:
a) x = 2
b) x = – 3
2. Considera el polinomi P(x) = – x 4 – 3x 3 – x. Calcula, mitjançant el teorema del residu el valor
numèric per a:
a) x = – 2
b) x = ½
Solucions:
1.- a) Efectuam la divisió P(x): (x – 2) per Ruffini:
5 – 2 3 – 1
2 10 16 38
5 8 19 37 Llavors, P( 2) = 37
b) Efectuam la divisió P(x): (x + 3) per Ruffini:
5 – 2 3 – 1
– 3 – 15 51 – 162
5 – 17 54 - 163 Llavors, P( – 3) = – 163
2.- a) Efectuam la divisió P(x): (x + 2) per Ruffini:
– 1 – 3 0 – 1 0
– 2 2 2 – 4 10
– 1 – 1 2 – 5 10 Llavors, P( – 2) = 10
b) Efectuam la divisió P(x): (x – ½ ) per Ruffini:
– 1 – 3 0 – 1 0
½ – ½ – 7/4 – 7/8 – 15/16
– 1 – 7/2 – 7/4 – 15/8 – 15/16 Llavors, P( – ½) = – 29/8

3. Comprova que es verifica el teorema del residu per a P(x) = x 3 – 4x 2 – x + 1 si:
a) x = 5
b) x = – ¾
a) Es tracta de comprovar que ens dóna el mateix quan ho feim per substitució del valor de la x
(com normalment es troba el valor numèric) que si obtenim el residu de la divisió de P(x):(x – 5)
utilitzant Ruffini.
Per substitució:
P(5) = 5 3 – 4·5 2 – 5 + 1= 125 – 4·25 – 5 + 1 = 125 – 100 – 5 + 1 = 21
Fent la divisió per Ruffini:
1 – 4 – 1 1
5 5 5 20
1 1 4 21 Llavors, P(5) = 21
b)
Per substitució:
P( – ¾) = (– ¾) 3 – 4·(– ¾) 2 – (– ¾) + 1= – 27/64 – 4·9/16 + ¾ + 1
= – 27/64 – 36/16 + ¾ + 1 = −27−1444864
=
64
−59
64
Fent la divisió per Ruffini:
1 – 4 – 1 1
– ¾ – ¾ 57/16 – 123/64
1 – 19/4 41/16 – 59/64 Llavors, P(– ¾) = – 59/64
4. Quant val el valor de a al polinomi P(x) = – 2x 3 + x 2 – ax + 1 si sabem que el valor numèric per
x = – 2 és 27?
Es tracta d'anar calculant el valor numèric (per un dels dos mètodes: substituint o utilitzant
Ruffini) i deixar en funció de a. Després, igualar el que obtenim al valor que ens diu:
Calculam el valor numèric:
Subtituint...
P( – 2) = – 2(– 2) 3 +(– 2) 2 – a·(– 2)+ 1= – 2· (– 8) + 4 + 2a + 1 = 16 + 4 + 2a + 1 = 2a + 21.
O per Ruffini:
– 2 1 – a 1
– 2 4 – 10 2a + 20
– 2 5 – a – 10 2a + 21
Ara, igualam: 2a + 21 = 27. Resolem:
2a = 27 – 21
2a = 6
a = 3
Dóna el mateix!
Dóna el mateix!

5. Sense fer les divisions, calcula quin serà el residu en cada cas:
a) ( 2x 4 – x 2 + 3x +1) : (x – 3)
b) ( – x 6 + x 4 + 3x 3 – 2x 2 – 3x + 6): (x + 1)
c) ( x 5 – 3x 4 + x 3 + 2x 2 – x + 8): (x + 2)
d) ( 3x 3 – 5x – 4): (x – 5)
a) Anomenam P(x) al polinomi del divident. És a dir, P(x) = 2x 4 – x 2 + 3x +1. Es tracta
d'utilitzar el teorema del residu, que diu, en aquest cas, que aquesta divisió tindrà residu P(3). Llavors,
només cal trobar P(3) = 2·3 4 –3 2 + 3·3 +1= 2·81 – 9 + 9 + 1 =163. El residu serà doncs, 163.
b) P(x) = – x 6 + x 4 + 3x 3 – 2x 2 – 3x + 6. Calculam llavors P( - 1):
P(– 1) = – (– 1) 6 + (– 1) 4 + 3·(– 1) 3 – 2·(– 1) 2 – 3·(– 1) + 6 = – 1 + 1 + 3·(– 1) – 2·1 + 3 + 6 = 4.
c) P(x) = x 5 – 3x 4 + x 3 + 2x 2 – x + 8. Calculam P(– 2):
P(– 2)= (– 2) 5 – 3·(– 2) 4 + (– 2) 3 + 2·(– 2) 2 – (– 2) + 8 = – 32 – 3·16 – 8 +2·4 + 2 + 8 = - 70.
d) P(x) = 3x 3 – 5x – 4. Calculam P(5)
P(5) = 3·5 3 – 5·5 – 4 = 3·125 – 25 – 4 = 346.
Ara, pots fer del llibre els exercicis 11, 12, 13 de la pàgina 59 i els exercicis 49, 51 i 52 de la
pàgina 69. Es fan igual. Podràs després comprovar les solucions.
11.- Es fa igual que l'exercici 1 i el 2. Els resultats són: a) P(1) = - 12; b) P(5) = - 52; c) P( - 1) = - 16; d) P(7) = 0;
e) P(3) = - 40; f) P( - 5) = -312.
12.- Es fa igual que l'exercici 3 i pels dos mètodes donen el mateix a cada apartat: a) P(2)= 12; b) P(-1)=6.
13.- Es fa igual que l'exercici 4 i dóna a = 6.
49.- Es fa igual que l'exercici 1 i el 2. Els resultats són: a) P(1) = – 4; b) P(– 2) = 31; c) P(– 1) = – 1; d) P(3) = 65.
51.- Es fa igual que l'exercici 5. Els resultats són: a) Residu = 36; b) Residu = - 1; c) Residu = 57; d) Residu = 34.
52.- Es fa igual que l'exercici 5. El resultat és Residu = 2.