M`etodes de C`alcul Num`eric

Mètodes de Càlcul Numèric
Curs 1999-2000
Tema 1: Errors.
1. Considereu el sistema d’equacions
x − y = 1,
x − λ y = 0,
per λ = 1.0±0.00001. Resoleu-lo exactament i feu la interpretació gràfica. Quines
conclusions en podeu treure?
2. Determineu la cota de l’error absolut i la del error relatiu si calculem
(a) r = 3x + y − z, (b) r = x y
y
, (c) r = x sin
z 40 ,
arrodonint (per decimals) x, y i z per 2.00, 3.00 i 4.00 respectivament.
3. Determineu la cota de l’error absolut si calculem
y = x1 x2 2
√ ,
x3
on x1 = 2.0±0.1, x2 = 3.0±0.2 i x3 = 1.0±0.1. Quina de les variables contribueix
més en l’error de y?
4. Calculeu la cota de l’error absolut propagat al fer l’operació
E = 7√ 2 − π √ 3
π 2 + √ 3
si arrodonim (per decimals) π, √ 2 i √ 3 per 3.1, 1.4 i 1.7 respectivament.
5. Considereu 3x + ay = 10,
5x + by = 20,
on a = 2.100 ± 5 × 10 −4 i b = 3.300 ± 5 × 10 −4 . Amb quina exactitud pot ser
determinat x + y?
6. Considereu x + ay = 5,
bx + 2y = d,
on a = 1.00 ± 5 × 10 −3 i b = 1/a, i d = b − a. Amb quina exactitud pot ser
determinat xy?
1

7. Volem calcular ln (x − √ x 2 − 1) per x = 30. Si l’arrel s’obté d’una taula amb 6
decimals correctes, com serà l’error absolut del resultat? Doneu una expressió que
sigui matemàticament equivalent a l’expressió anterior però millor numèricament,
i calculeu-ne l’error.
8. Resoldre
a x
= 0.2 −
x 100 a,
amb a = 1.0 ± 0.01 i estudieu els efectes de la incertesa d’a sobre les solucions
de l’equació.
9. Treballant amb 5 xifres decimals, calculeu
(a) Directament.
k√ 2.15283 − k √ 2.15263 per k = 2, 3, 4.
(b) Usant fórmules equivalents, millors des del punt de vista numèric.
Indicació : Feu la divisió dels polinomis (a k − b k )/(a − b).
(c) Compareu els resultats i comenteu-los.
10. Un ordinador comet error relatius fitats per ε, ε, 2 ε, 4 ε i 5 ε en l’emmagatzematge
de dades, operacions aritmètiques, arrel quadrada, logaritme i exponencial respectivament.
Per a quins valor d’a i b l’error relatiu en el càlcul de a b utilitzant
e b ln a és menor que 12 ε? Aplicar-ho al cas 7√ x.
11. Trobeu una expressió de la fita aproximada de l’error absolut en avaluar la funció
f(x) = 3 + ln 2 (x).
Suposeu que els errors relatius en la representació de nombres, operacions aritmètiques,
arrels quadrades i logaritmes són, en valor absolut, menors que ε, 2ε,
3ε i 5ε, respectivament. Suposeu a més que es comet un error relatiu menor, en
valor absolut, que 4ε a l’hora de mesurar x.
12. Suposeu que els errors relatius en la representació de nombres, operacions aritmètiques,
arrels quadrades i càlcul de l’arcsin són, en valor absolut, menors que
ε, 2ε, 3ε i 5ε, respectivament. Per a quins valors de x es pot garantir que el valor
absolut de l’error relatiu d’arctan(x) és menor que 20ε, si el calculem mitjançant
la fórmula
arctan = arcsin
2
x
√ 1 + x 2 .