MÈTODES NUMÈRICS. PRÀCTIQUES AMB MAPLE V.

MÈTODES NUMÈRICS.
PRÀCTIQUES AMB MAPLE V.
Ricard Domínguez M. Albina Puente
Immaculada Gilibets

Índex
1 Introducció 7
1.1 PreliminarsdeCàlcul ...................... 7
1.1.1 Desigualtats. ....................... 7
1.1.2 Valorabsolut ....................... 8
1.1.3 Teoremes notables de continuïtat i derivabilitat . . . . 9
1.2 Errors ............................... 11
1.2.1 Conceptesgenerals.................... 11
1.2.2 Fontsd’error ....................... 13
1.2.3 Errorsenlesdadesinicials................ 13
1.2.4 Errors d’arrodoniment durant el càlcul . . . . . . . . . 15
1.2.5 Errorsdetruncament .................. 16
1.2.6 Estabilitatnumèrica ................... 16
2 Interpolació polinomial 19
2.1 Resumteòriciexemples..................... 19
2.1.1 Introducció ........................ 19
2.1.2 Elpolinomiinterpolador................. 19
2.1.3 Polinomi interpolador de Lagrange . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Polinomi interpolador de Newton . . . . . . . . . . . . 21
2.1.5 Errord’interpolació ................... 23
3

4 ÍNDEX
2.2 Problemesresolts......................... 25
2.3 ProblemesresoltsambMaple .................. 32
2.4 Problemesproposats....................... 36
3 Integració numèrica 41
3.1 Resumteòriciexemples..................... 41
3.1.1 Grau de precisió d’una fórmula de quadratura . . . . . 41
3.1.2 FórmulesdeNewton-Cotes ............... 42
3.1.3 Fórmulescompostes ................... 45
3.2 Problemesresolts......................... 49
3.3 ProblemesresoltsambMaple .................. 55
3.4 Problemesproposats....................... 66
4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre. 71
4.1 Resumteòriciexemples...................... 71
4.1.1 Definicionsbàsiques ................... 71
4.1.2 Resolució numèrica d’equacions diferencials de 1er.
ordre ........................... 73
4.1.3 MètodesdeTaylor..................... 75
4.1.4 MètodesdeRunge-Kutta................. 78
4.2 Problemesresolts. ........................ 80
4.3 ProblemesresoltsambMaple................... 92
4.4 Problemesproposats........................ 98
5 Zeros de funcions 101
5.1 Resumteòriciexemples.....................101
5.1.1 Introducció ........................101
5.1.2 Mètodedelabisecció ..................102
5.1.3 MètodedeNewton-Raphson...............104

ÍNDEX 5
5.1.4 Mètodedelasecant ...................107
5.1.5 Mètode del punt fix ...................107
5.1.6 Equacionspolinòmiques .................111
5.2 Problemesresolts.........................113
5.3 ProblemesresoltsambMaple ..................128
5.4 Problemesproposats.......................137
6 Sistemes d’equacions lineals 141
6.1 Introducció ............................141
6.2 Resoluciódesistemestriangulars ................142
6.3 MètodedeGauss.........................142
6.4 Descomposició LU ........................147
6.5 Mètodesiteratius.........................150
6.5.1 Convergència dels mètodes iteratius . . . . . . . . . . 151
6.5.2 MètodedeJacobi.....................153
6.5.3 MètodedeGauss-Seidel .................155
6.6 Problemesresolts.........................157
6.7 ProblemesresoltsambMaple ..................162
6.8 Problemesproposats.......................173
7 Valors i vectors propis. 177
7.1 Resumteòriciexemples......................177
7.1.1 Definicionsbàsiquesipropietats. ............177
7.1.2 Càlcul numèric de valors i vectors propis. . . . . . . . 180
7.1.3 Mètodedelapotència...................182
7.1.4 Mètodedelapotènciainversa. .............184
7.1.5 Mètode de la potència desplaçada. . . . . . . . . . . . 186
7.2 Problemesresolts. ........................187

6 ÍNDEX
7.3 ProblemesresoltsambMapleV..................196
7.4 Problemesproposats........................208
A Introducció al MapleV. 211
A.1 Qüestionsgenerals.........................211
A.2 Càlculsaritmètics.........................212
A.2.1 Operacionsbàsiques....................212
A.2.2 Càlculsexactesiaproximats. ..............213
A.3 Expressions ............................214
A.4 Funcions. .............................215
A.5 Estructuresdedades.......................221
A.6 Equacions, inequacions i sistemes d’equacions . . . . . . . . . 226
A.7 LlibreriesdeMaple. .......................228
A.8 ExemplesambMapleV .....................235
B Solució dels problemes proposats 247
B.1 Interpolació............................247
B.2 Integraciónumèrica........................248
B.3 Equacionsdiferencialsordinàries.................250
B.4 Zerosdefuncions.........................253
B.5 Sistemesd’equacionslineals...................255
B.6 Valorsivectorspropis.......................257
Bibliografia 258

Capítol 1
Introducció
1.1 Preliminars de Càlcul
1.1.1 Desigualtats.
Definició 1.1 Direm que a ≤ b ⇔ b − a ≥ 0.
Definició 1.2 Direm que a0.
Propietats 1.1 Apartirdeladefinició anterior es dedueixen les següents
propietats:
(a) a

8 Cap. 1 Introducció
Exemple 1.1 f(x) =lnx és una funció creixent en el seu domini D =
(0, +∞). pertant:
(∀x, y ∈ D) (x ≤ y ⇒ ln x ≤ ln y)
Exemple 1.2 f(x) =e −x és una funció decreixent en el seu domini R, per
tant:
(∀x, y ∈ R) ¡ x ≤ y ⇒ e −x ≥ e −y¢
Exemple 1.3 f(x) =x 2 és una funció creixent per a x>0 iésdecreixent
per a x

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 9
¯
(b) ¯
2x
¯
2 ¯
− 3x +1 ¯
2x − 1 ¯ amb 2 ≤ x ≤ 3
a) Aplicant les propietats del valor absolut, obtenim:
¯
¯
¯ ¯
¯
(1 + sin x)n¯
¯
¯
¯ 1+n ¯ = |1+sinx| . ¯
n ¯
¯1+n¯
< |1+sinx| ≤ 1+|sin x| ≤ 2
b) Per a la segona expressió definim f(x) = 2x2 − 3x +1
en I =[2, 3].Calculem
2x − 1
la seva derivada :
A partir d’aquest fet deduïm que:
És a dir:
f 0 (x) =1> 0 ⇒ f(x) és creixent
2 ≤ x ≤ 3 ⇒ f(2) ≤ f(x) ≤ f(3)
2 ≤ x ≤ 3 ⇒ 1 ≤ f(x) ≤ 2
I a partir d’aquí tenim la fita que buscàvem:
2 ≤ x ≤ 3 ⇒ |f(x)| ≤ 2
1.1.3 Teoremes notables de continuïtat i derivabilitat
Teorema 1.1 (de Bolzano)
¾
f :[a, b] → R contínua
⇒∃α ∈ (a, b) | f(α) =0
f(a) · f(b) < 0
Exemple 1.5 Trobeu un interval en el qual es pugui assegurar l’existència
d’una solució de l’equació x − sin x − 1=0.
Si fem una gràfica de la funció tindrem una idea aproximada d’on es troben

10 Cap. 1 Introducció
les arrels:
Comprovem ara les hipòtesis del teorema de Bolzano a l’interval I=[ π
2 , π].
⎫
⎬
f(x) =x − sin x − 1 contínua en I
f( π
2 ) < 0
⎭
f(π) > 0
π ⇒∃α ∈ ( 2 , π) tal que f(α) =0
Per tant, podem assegurar que a l’interval I existeix una solució de l’equació.
Teorema 1.2 (de Weierstrass)
fcontínuaen[a,b]⇒∃ max f(x) i ∃ min
x∈[a,b] x∈[a,b] f(x)
Exemple 1.6 Trobeu els extrems absoluts de la funció f(x) =x 2 − 4 a
l’interval [−1, 1].
La funció f(x) =x 2 −4 és contínua en [−1, 1], llavors existirà màxim i mínim
absolut dins de l’interval.
Començarem per trobar els candidats:
• Punts crítics de l’obert (−1, 1):
— f 0 (x) =0: 2x =0⇒ x =0∈ (−1, 1)

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 11
— @f 0 (x): no hi ha candidats
• Extrems de l’interval: x = −1, x=1
• Avaluació de les imatges: f(0) = −4
f(−1) = −3
f(1) = −3
Per tant, el màxim absolut és -3 i es troba en els punts x = −1 i x =1. El
mínim absolut és -4 i es troba en x =0. Això ho podem observar si fem la
gràfica de la funció i ens restringim a l’interval [−1, 1]:
Teorema 1.3 (de Rolle)
f contínua en [a, b]
f derivable en (a, b)
f(a) =f(b)
⎫
⎬
⎭ ⇒∃α ∈ (a, b) | f 0 (α) =0
Corol.lari 1.1 Sigui f(x) derivable en (a, b) i suposem que f 0 (x) =0té n
solucions en (a,b). Aleshores, f(x) =0en té, com a màxim, n+1.
1.2 Errors
1.2.1 Conceptes generals
Definició 1.6 Sigui x una aproximació del valor exacte x d’una magnitud.
Aleshores, definim l’error absolut comès per x com
ea(x) =|x − x|

12 Cap. 1 Introducció
il’error relatiu comès per x com
er(x) = ea(x)
|x|
si x 6= 0.
L’error relatiu expressa l’error com una fracció de |x|, per això està relacionat
amb l’error percentual. Per exemple, si .er(x) < 0.02, aleshoresea(x) <
0.02 |x|, ésadir,x s’aproxima a x dintre del 2%.
De manera més general, es defineix el percentatge d’error com l’error
relatiu multiplicat per 100: 100er(x)
Si coneixem una aproximació x d’un nombre desconegut x iestéunafita
superior de l’error absolut, és a dir, un nombre ε tal que
ea(x) ≤ ε
aleshores, es té un interval de confiança o interval de precisió per a x,
x ∈ [x − ε , x + ε]
Recíprocament, si es coneix un interval de confiança per a x, x ∈ [a, b],
aleshores x = a+b
2 és la millor aproximació de x que tenim i el seu error
absolut es pot afitar per
ea(x) ≤
b − a
2
Decimals exactes i xifres significatives
Sigui x una aproximació d’un nombre real x.
• Direm que x aproxima x amb t decimals exactes si
|x − x| ≤ 1
× 10−t
2
(1.1)
Això s’expressa, encara que no sigui estrictament cert, dient que x i x
coincideixen en les t primeres xifres decimals.
• Direm que x aproxima x amb t xifres significatives si
|x − x|
|x|
1
≤ × 10−t+1
2
Exemple 1.7 Donats el nombre x = .001234 i l’aproximació x = .001256

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 13
(a) |x − x| = .000022 = .22×10−4 ens diu que tenim una aproximació
amb 4 decimals exactes.
|x − x|
(b)
|x| = .1751592 ...× 10−1 ens assegura que tenim una aproximació
amb dues xifres significatives.
Observem que la condició (1.1) no sempre assegura que x i x coincideixin en
les t primeres xifres decimals, per exemple, siguin a =2.9999 i a =3.0000,
aleshores
|a − a| = .0001 = .1 × 10 −3
Podem afirmar que tenim tres decimals exactes, encara que el nombre i la
seva aproximació no coincideixin en cap dígit.
1.2.2 Fonts d’error
Les fonts d’error en la resolució numèrica d’un problema es poden classificar
en:
(a) Errors en les dades inicials
(b) Errors d’arrodoniment durant el càlcul.
(c) Errors de truncament.
(d) Errors en la construcció del model matemàtic: Són conseqüència
de les simplificacions que es fan quan es descriu matemàticament
un fenomen real.
Des d’un punt de vista numèric, ens interessen principalment els errors del
tipus (a), (b) i (c).
1.2.3 Errors en les dades inicials
Poden ser deguts a mesuraments incorrectes, pel fet que les dades provinents
d’experiments depenen de la precisió dels aparells utilitzats, o bé perquè en
introduir dades inicials correctes es produeix un arrodoniment.
Representació de nombres en punt flotant
Tot nombre real x (x 6= 0)pot representar-se en una base natural b ≥ 2 en
la forma
x = anb n + an−1b n−1 + ···+ a1b + a0 + a−1b −1 + a−2b −2 + ···

14 Cap. 1 Introducció
amb aj ∈ Z , 0 ≤ aj

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 15
1.2.4 Errors d’arrodoniment durant el càlcul
Si bé l’aritmètica de punt flotant és la més eficient per a les necessitats
del càlcul numèric, produeix unes propietats que poden ser diferents de
les propietats amb nombres exactes. Els casos més conflictius de pèrdua de
precisió es donen quan operem amb nombres molt grans i molt petits alhora,
o bé quan calculem diferències de quantitats molt semblants. Vegem-ne
alguns casos:
• Cal tenir en compte que per a sumar dos nombres, primer es redueixen
al mateix exponent, s’operen i després s’arrodoneix.
Per exemple, amb p =4:
i) 0.3467·10 2 +0.4125 · 10 2 =0.7592 · 10 2
ii) 0.3467·10 2 +0.4125·10 −3 =(0.3467 + 0.000004125) · 10 2 =0.3467·10 2
En el segon cas, la suma no canvia malgrat haver sumat un nombre
diferent de zero.
• La suma no és associativa, perquè s’arrodoneix a cada operació. Per
exemple, siguin
a =0.1234567 · 10 0 , b =0.4711325 · 10 4 , c = −0.4711325 · 10 4
i suposem que treballem amb aritmètica de punt flotant amb 4 dígits.
Aleshores,
Per tant
a +(b + c) =a +0=0.1235
(a + b)+c =(0.1235 · 10 0 +0.4711 · 10 4 ) − 0.4711 · 10 4 =0
(a + b)+c 6= a +(b + c)
• El producte exacte de dos nombres amb p dígits requereix 2p dígits,
que són arrodonits a p.
Per exemple, considerem una màquina que treballa amb 4 xifres decimals
i talla o arrodoneix. Hi tenim dues dades:
a =0.2345 · 10 5 , b =0.5432 · 10 −2
Aleshores, ab = 0.1273804 · 103 ,
flT,4(ab) = 0.1273 · 103 (s’ha comès un error de 0.0804) ,
flA,4(ab) = 0.1274 · 103 (s’ha comès un error de 0.0196) .
Observem que l’error en la representació per truncament és més gran
que en la representació per arrodoniment.

16 Cap. 1 Introducció
• La divisió d’un resultat amb punt flotant per un nombre molt petit (o
la multiplicació per un de molt gran) dóna un error absolut molt gran.
Si r és el nombre que ha estat representat per r + e ,ésclarquesi
volem calcular r
igual a e
d
on d és petit obtindrem un error aproximadament
d
r
Si d és prou petit, aquest quocient pot ser més gran que d .
• La resta de nombres molt semblants dóna un error relatiu molt gran.
Per exemple,
Suposem que els dos nombres x1 i x2 s’expressen
fl(x1) =0.d1d2...dpαp+1...αk × 10 q
fl(x2) =0.d1d2...dpβ p+1...β k × 10 q
Aleshores, la resta x1 − x2 es representarà com
fl(fl(x1) − fl(x2)) = 0.σp+1...σk × 10 q−p
i només tindrem k−p xifres significatives i qualsevol càlcul posterior ja
no en podrà donar més. Aquesta pèrdua de xifres correctes es coneix
com a cancel.lació.
1.2.5 Errors de truncament
Molts mètodes numèrics consisteixen en generar successions que tendeixen
a la solució del problema quan el nombre de termes de la successió tendeix
ainfinit. Quan un procés infinit o de pas al límit és tallat després d’un
nombre finit de passos es produeix un error, propi del mètode, anomenat
error de truncament. Per exemple, quan una sèrie infinita és substituïda
per sumes parcials o quan una derivada és aproximada per un quocient de
diferències.
1.2.6 Estabilitat numèrica
Hi ha situacions on un petit error inicial es propaga molt i s’obté un resultat
que difereix del resultat real molt més que la diferència inicial. D’això se’n
diu inestabilitat.
Un cas típic d’inestabilitat són certs sistemes lineals anomenats mal condicionats.
La solució d’un sistema 2 × 2 correspon, geomètricament, a la
intersecció de dues rectes del pla. Si les dues rectes són paral·leles o bé
coincideixen o bé no es tallen mai. En el primer cas hi ha infinites solucions,
mentre que en el segon no hi ha solució. En els dos casos, les dues files de

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 17
la matriu del sistema són linealment dependents i, per tant, la matriu no és
invertible.
Si les dues rectes són ”quasi paral·leles”, aleshores hi haurà solució única,
però movent molt poc una de les rectes, el punt d’intersecció (la solució) es
desplaçarà molt. Per exemple, el sistema,
µ 1 2
0.499 1.001
µ x
y
=
µ 3
1.5
té solució x = y =1. Si canviem lleugerament la matriu, el sistema
µ µ µ
1 2 x 3
=
0.5 1.001 y 1.5
té per solució x =3,y=0que difereix molt més de la solució anterior que
la pertorbació soferta per la matriu.
Així doncs, quan es decideix utilitzar un mètode numèric determinat cal
tenir en compte tots els factors possibles, com són els errors d’arrodoniment
produïts per les operacions que comporta el mètode, el seu error de
truncament (si en té) i la seva estabilitat numèrica.

18 Cap. 1 Introducció

Capítol 2
Interpolació polinomial
2.1 Resum teòric i exemples
2.1.1 Introducció
L’aproximació de funcions constitueix un problema per a ésser estudiat per
sí mateix i és el primer pas per a resoldre’n altres de més complexos. En
aquest capítol ens centrarem en la interpolació polinomial, que és una eina de
primer ordre dins dels Mètodes Numèrics, especialment pel que fa referència
alaintegracióialaderivaciónumèrica,aixícomalaresoluciód’equacions
diferencials.
Veurem com, a partir de la interpolació polinomial, podem aproximar funcions
definides explícitament, funcions tabulades per a certs valors de la
variable independent, o funcions de les quals no es coneix la seva forma
explícita i que no es poden obtenir per mètodes analítics, i amb les quals
haurem de treballar amb una sèrie de valors coneguts.
2.1.2 El polinomi interpolador
Donats els punts (xk,f(xk)), k=0,...,n, xk 6= xj, k6= j, anomenem interpolació
polinomial a la determinació d’un polinomi P (x) de grau ≤ N tal
que: P (xk) =f(xk), k=0,...,n
Davant d’aquest fet ens fem les següents preguntes:
i. Existirà P (x)?. Serà únic?
ii. És P (x) una bona aproximació d’f(x) en els punts on no
coincideix?
19

20 Cap. 2 Interpolació polinomial
Existència i unicitat del polinomi interpolador
Teorema 2.1 Siguin (x0,y0), ...,(xn,yn) amb xk 6= xj,k 6= j. Aleshores
existeix un únic polinomi de grau ≤ n, Pn(x), talquePn(xk) =yk,k =
0,...,n.
Exemple 2.1
1. Trobeu un polinomi de grau 3 en la variable x que passi pels punts
(0, 0), (1, 1), (2, 3), (−1, 0)
2. N’hi ha algun de grau 4?.
a)Donats 4 punts, sabem que existirà un únic polinomi interpolador de grau
≤ 3.
Considerem P3(x) =a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3 . El nostre problema és determinar
els seus coeficients. Si ho fem a partir de la definició de polinomi
interpolador, haurem d’imposar les següents condicions:
• P (0) = 0 ⇒ a0 =0
• P (1) = 1 ⇒ a0 + a1 + a2 + a3 =1
• P (2) = 3 ⇒ a0 +2a1 +4a2 +8a3 =3
• P (−1) = 0 ⇒ a0 − a1 + a2 − a3 =0
Obtenim un sistema lineal de 4 equacions i 4 incògnites, de rang=4 i, per
tant, amb solució única:
a0 =0, a1 = 1
2 , a2 = 1
2 , a3 =0
Així doncs, el polinomi serà: P3(x) = 1 1
x +
2 2 x2 que, en aquest cas, és de
grau 2.
b) Considerem P4(x) =a0+a1x+a2x 2 +a3x 3 +a4x 4 . D’imposar les condicions
obtenim:
• P (0) = 0 ⇒ a0 =0
• P (1) = 1 ⇒ a0 + a1 + a2 + a3 + a4 =1
• P (2) = 3 ⇒ a0 +2a1 +4a2 +8a3 +16a4 =3
• P (−1) = 0 ⇒ a0 − a1 + a2 − a3 + a4 =0

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 21
Obtenim ara un sistema lineal de 4 equacions i 5 incògnites, de rang=4 amb
infinites solucions (un grau de llibertat):
a0 =0, a1 = 1
2 +2a4 ,a2 = 1
2 − a4, a3 = −2a4, a4 = a4
És a dir, existeixen infinits polinomis interpoladors de grau 4 en els punts
indicats.
2.1.3 Polinomi interpolador de Lagrange
Donats (x0,y0), ...,(xn,yn) amb xk 6= xj,k 6= j, el polinomi interpolador de
Lagrange ve donat per:
Pn(x) =
nX
yili(x) on li(x) =
i=0
nQ
j=0,i6=j
nQ
j=0,j6=i
(x − xj)
(xi − xj)
Exemple 2.2 Calculeu el polinomi interpolador de Lagrange en els punts:
(1, 0), (2, 2), (4, 12) i (5, 20).
Tenim 4 punts, per tant, el polinomi interpolador serà de grau ≤ 3.
P3(x) =y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+y3l3(x)
(x − 1)(x − 4)(x − 5)
P3(x) =0l0(x)+2l1(x)+12l2(x)+20l3(x) =0+2
(2 − 1)(2 − 4)(2 − 5) +
(x − 1)(x − 2)(x − 5) − 1)(x − 2)(x − 4)
12 +20(x
(4 − 1)(4 − 2)(4 − 5) (5 − 1)(5 − 2)(5 − 4) = x2 − x
2.1.4 Polinomi interpolador de Newton
Un inconvenient del mètode de Lagrange és que, si afegim un punt més
(xn+1,yn+1), a la llista anterior, per a trobar el nou polinomi interpolador
hauríem de tornar a fer tots els càlculs. Aquest nou mètode permet aprofitar
els càlculs anteriors per a obtenir, amb pocs més, el polinomi interpolador
amb una dada més.
Donats (x0,f(x0)), ...,(xn,f(xn)) amb xk 6= xj,k 6= j, el polinomi interpolador
de Newton ve donat per:
Pn(x) =f[x0]+f[x0,x1](x−x0)+...+f[x0,x1,...,xn](x−x0)...(x−xn−1), on

22 Cap. 2 Interpolació polinomial
f[x0,x1,...,xj] = f[x1,...,xj] − f[x0,...xj−1]
xj − x0
A la pràctica, els coeficients del polinomi són fàcils de calcular a partir de
esquemes com els que mostrem a continuació per a n =3:
x0 f[x0]
&
f[x0,x1]
% &
x1 f[x1] f[x0,x1,x2]
& % &
f[x1,x2] f[x0,x1,x2,x3]
% & %
x2 f[x2] f[x1,x2,x3]
& %
f[x2,x3]
%
x3 f[x3]
Exemple 2.3 Calculeu el polinomi interpolador de Newton en els punts:
(1, 0), (2, 2), (4, 12) i (5, 20).
Construïm la taula de diferències dividides:
1 0
&
f[x0,x1] =2
% &
2 2 f[x0,x1,x2] =1
& % &
f[x1,x2] =5 f[x0,x1,x2,x3] =0
% & %
4 12 f[x1,x2,x3] =1
& %
f[x2,x3] =8
%
5 20
El polinomi interpolador serà:
P3(x) = f[x0]+f[x0,x1](x − x0)+f[x0,x1,x2](x − x0)(x − x1)+
f[x0,x1,x2,x3](x − x0)(x − x1)(x − x2) =
= 1+2(x−1) + (x − 1)(x − 2) + 0(x − 1)(x − 2)(x − 4) = x 2 − x

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 23
Exemple 2.4 Calculeu el polinomi interpolador de Newton en els punts:
(0, 3), (1, 0), (2, 2), (4, 12) i (5, 20).
Podem aprofitar els càlculs anteriors, només cal afegir el nou punt (0, 3) :
1 0
&
2
% &
2 2 1
& % &
5 0
% & % &
4 12 1 3
40
& % & %
8 − 3 40
% & %
5 20 23
20
& %
17
5
%
0 3
El polinomi interpolador serà:
P4(x) = f[x0]+f[x0,x1](x − x0)+f[x0,x1,x2](x − x0)(x − x1)+
f[x0,x1,x2,x3](x − x0)(x − x1)(x − x2)+
f[x0,x1,x2,x3,x4](x − x0)(x − x1)(x − x2)(x − x3) =
= 3
40 x4 − 9
10 x3 + 187
40 x2 − 137
x +3
20
2.1.5 Error d’interpolació
Sigui f ∈ C n+1 ((a, b)) i siguin xi ∈ (a, b), i = 0,...,n, n +1 abscisses
de l’interval. Si Pn(x) és el polinomi interpolador d’f(x) en els punts
(x0,f(x0)), ...,
(xn,f(xn)) i x ∈ (a, b), aleshores:
en(x) =f(x)−Pn(x) = f (n+1) (ξ(x))
(x−x0)...(x−xn), ξ(x) ∈ hx0,...,xn,xi .
(n +1)!
on hx0,...,xn,xi és el mínim interval que conté x, x0,x1,...,xn.

24 Cap. 2 Interpolació polinomial
Aquesta fórmula, en el cas de fer servir el polinomi interpolador de Newton,
és equivalent a:
en(x) =f(x) − Pn(x) =f[x0,x1,...,xn,x](x − x0)...(x − xn)
Exemple 2.5 Sabent que e 0 =1,e 0.1 =1.105171 i e 0.2 =1.2214028
(a) Aproximeu e 0.14
(b) Doneu una fita de l’error comès
a) Calculem en primer lloc el polinomi interpolador de Lagrange de f(x) =
e x en els punts (0, 1), (0.1, 1.105171) i (0.2, 1.2214028).
P2(x) =y0 l0(x)+y1 l1(x)+y2 l2(x).
(x − 0.1)(x − 0.2)
(x − 0)(x − 0.2)
P2(x) =1· +1.105171 ·
+1.2214028 ·
(0 − 0.1)(0 − 0.2) (0.1 − 0)(0.1 − 0.2)
(x − 0)(x − 0.1)
(0.2 − 0)(0.2 − 0.1) =0.55304x2 +0.996406x +1
Avaluem aquest polinomi en x =0.14 i obtindrem l’aproximació d’e 0.14. .
e 0.14 ' P2(0.14) = 1.150336424
Si fem els càlculs amb la calculadora obtenim e 0.14 =1.150273799
Per tant, l’error comès serà :
e2(0.14) = ¯ ¯e 0.14 − P2(0.14) ¯ ¯ =6.27 × 10 −5
b) Si fem servir la fórmula de l’error d’interpolació, en el nostre cas obtenim:
¯
¯f
|f(0.14) − P2(0.14)| = ¯
000
¯
(ξ)
¯
(0.14 − 0)(0.14 − 0.1)(0.14 − 0.2) ¯
3!
¯
on ξ ∈ h0, 0.1, 0.2, 0.14i, f(x) =e x i f 000 (x) =e x
Per tant, tenint en compte que ξ ∈ [0, 0.2] i que la funció e x és creixent, és
adir,e ξ ≤ e 0.2 , deduïm:
e2(0.14) =
¯
e
¯
ξ
¯
(0.14 − 0)(0.14 − 0.1)(0.14 − 0.2) ¯
3! ¯ =5.6 × 10−5e ξ ≤
≤ 5.6 ××10 −5 e 0.2 ' 6.83 × 10 −5

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 25
2.2 Problemes resolts
Problema 2.1 Aproximeu log 4:
(a) Utilitzant interpolació lineal a partir de log 3 = 0.4771212 i
log 5 = 0.69897.
(b) Utilitzant interpolació parabòlica a partir de log 3 = 0.4771212,
log 4.5 =0.6532125 i log 5 = 0.69897.
(c) Calculeu en cada cas una fita de l’error i compareu-la amb el valor
que dóna la calculadora.
a) Hem de trobar el polinomi interpolador de la funció f(x) = logx en
els punts (3, 0.4771212) i(5, 0.69897). Si ho fem a partir del polinomi de
Newton obtenim:
3 f[x0] =0.4771212
5 f[x1] =0.69897
&
%
f[x0,x1] =0.1109244
P1(x) =0.4771212 + 0.1109244(x − 3) = 0.1109244x +0.144348
Si ara l’avaluem en x =4, obtenim l’aproximació que ens demanen:
log 4 ' P1(4) = 0.5880456
b) Hem de trobar el polinomi interpolador de la funció f(x) =logx en els
punts (3, 0.4771212), (4.5, 0.6532125) i (5, 0.69897). Si ho fem a partir del
polinomi de Newton obtenim:
3 f[x0] =0.4771212
&
f[x0,x1] =0.1109244
% &
5 f[x1] =0.69897 f[x0,x1,x2] =−0.0129396
& %
f[x1,x2] =0.091515
%
4.5 f[x2] =0.6532125
P2(x) = 0.4771212 + 0.1109244(x − 3) − 0.0129396(x − 3)(x − 5) =
= −0.0129396x 2 +0.2144412x − 0.049746

26 Cap. 2 Interpolació polinomial
Si ara l’avaluem en x =4, obtenim l’aproximació que ens demanen:
log 4 ' P2(4) = 0.6009852
c) La fórmula de l’error sabem que és:
¯
¯f
en(x) =|f(x) − Pn(x)| = ¯
(n+1) ¯
(ξ(x))
¯
(x − x0)...(x − xn) ¯ , ξ(x) ∈ hx0,...,xn,xi
(n +1)!
¯
En el cas que ens ocupa, f(x) =logx per als dos apartats.
Per a l’apartat a) tenim:
¯
|f(x) − P1(x)| = ¯
f
¯
00 ¯
(ξ)
¯
(x − 3)(x − 5) ¯
2!
¯ , ξ ∈ [3, 5]
¯
|f(4) − P1(4)| = ¯
f
¯
00 ¯
(ξ)
¯
(4 − 3)(4 − 5) ¯
2!
¯ , ξ ∈ [3, 5]
f(x) =logx
f 0 (x) = 1 1
ln 10 x
f”(x) = 1
µ
−
ln 10
1
x2
¯ µ
¯
|f”(x)| = ¯
1
¯ −
ln 10
1
x2 ¯
¯¯¯
= 1 1
ln 10 x2 Tenint en compte que 1
és decreixent podem escriure:
x2 ¯
|f(4) − P1(4)| = ¯
1
¯2!
·
1
ln 10 ·
µ
− 1
ξ 2
¯
(4 − 3)(4 − 5) ¯
1
¯ =
2
1 1
· ' 0.0241274
ln 10 9
· 1
ln 10
1 1
· 2 ≤
ξ 2 ·
Si comparem aquest resultat amb el valor que ens proporciona la calculadora,
tenim que log 4 = 0.602059991 i P1(4) = 0.5880456, per tant l’error serà:
|log 4 − P1(4)| =0.014014391
Per l’apartat b) tenim:
¯
|f(x) − P2(x)| = ¯
f
¯
000 ¯
(ξ)
¯
(x − 3)(x − 5)(x − 4.5) ¯
3!
¯ , ξ ∈ [3, 5]
¯
|f(4) − P2(4)| = ¯
f
¯
000 ¯
(ξ)
¯
(4 − 3)(4 − 5)(4 − 4.5) ¯
3!
¯ , ξ ∈ [3, 5]

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 27
f(x) =logx
|f 000 (x)|= 1 2
· ja que ξ ∈ [3, 5]
ln 10 x3 Tenint en compte que 1
és decreixent podem escriure:
x3 ¯
|f(4) − P2(4)| = ¯
1
¯3!
·
¯
1 2
¯
·
ln 10 3 · (4 − 3)(4 − 5)(4 − 4.5) ¯
ξ
¯
≤ 1
6 ·
1 1 1
· · ' 2.68 × 10−3
ln 10 27 2
1 1
= ·
6 ln 10
2 1
· 3 ·
ξ 2 ≤
Si comparem aquest resultat amb el valor que ens proporciona la calculadora
tenim que log 4 = 0.602059991 i P2(4) = 0.6009852, per tant l’error serà:
|log 4 − P2(4)| =1.07479 × 10 −3
Problema 2.2 Considerem la taula de dades següent:
x −2 −1 0 1 2
y 1 4 11 16 a
(a) Calculeu el polinomi interpolador en els quatre primers punts de
la taula.
(b) Quin valor ha de prendre ”a” per tal que el polinomi que interpola
en els cinc punts coincideixi amb l’anterior?.
a) Si fem servir el polinomi interpolador de Newton obtenim la següent taula:
−2 1
&
3
% &
−1 4 2
& % &
7 −1
% & %
0 11 −1
& %
5
%
1 16
A partir d’aquí, el polinomi interpolador serà:

28 Cap. 2 Interpolació polinomial
P3(x) =f[x0]+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+f[x0,x1,x2,x3]
(x − x0)(x − x1)(x − x2)
P3(x) =1+3(x+2)+2(x+2)(x+1)−1(x+2)(x+1)(x−0) = −x 3 −x 2 +7x+11
b) Perquè el polinomi que interpola en els cinc punts de la taula coincideixi
amb l’anterior s’haurà de verificar, per definició de polinomi interpolador,
que P3(x) passi també pel cinquè punt (2,a), ésadir:
a = P3(2) = −2 3 − 2 2 +7× 2+11=13
Problema 2.3 Considerem els següents punts de la taula:
x 1 2 3 5 6
f(x) 4.75 4 5.25 19.75 36
Calculeu els valors aproximats per f(3.5) utilitzant polinomis de Newton
d’ordre 1, 2, 3 i 4, escollint els punts de forma adequada.
Construïm la següent taula, que ens serà útil per a tots els polinomis.
3 5.25
&
7.25
% &
5 19.75 2
& % &
5.25 0.25
% & % &
2 4 2.75 0
& % & %
8 0.25
% & %
6 36 1.75
& %
6.25
%
1 4.75
• Comencem per determinar el polinomi d’ordre 1 a partir dels punts
(3, 5.25), (5, 19.75)
P1(x) =5.25 + 7.25(x − 3) = 7.25x − 16.5
P1(3.5) ' 8.875

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 29
• Determinem el polinomi d’ordre 2 a partir dels punts (3, 5.25) , (5, 19.75)
i (2, 4)
P2(x) =5.25 + 7.25(x − 3) + 2(x − 3)(x − 5) = 2x2 − 8.75x +13.5
P2(3.5) ' 7.375
• Determinem el polinomi d’ordre 3 a partir dels punts (3, 5.25), (5, 19.75),
(2, 4) i (6, 36)
P3(x) =5.25+7.25(x−3)+2(x−3)(x−5)+0.25(x−3)(x−5)(x−2) =
0.25x 3 − 0.5x 2 − x +6
P3(3.5) ' 7.09375
• Determinem el polinomi d’ordre 4 a partir dels 5 punts
P4(x) =5.25 + 7.25(x − 3) + 2(x − 3)(x − 5) + 0.25(x − 3)(x − 5)(x − 2)
Observem que P4(x) =P3(x)
P4(3.5) ' 7.09375
Problema 2.4 Volem aproximar sin 0.34
(a) Construïu el polinomi interpolador corresponent a sin 0.30 =
0.29552, sin 0.32 = 0.31457 i sin 0.35 = 0.34290. Doneu una
fita de l’error en aquesta aproximació.
(b) Construïu el polinomi interpolador fent servir els valors de l’apartat
anterior i sin 0.33 = 0.32404. Doneuunafita de l’error en
aquesta aproximació.
Construïm la següent taula, que serà vàlida per als dos apartats:
0.3 0.29552
&
0.9525
% &
0.32 0.31454 −0.16333
& % &
0.94433 1.00011
% & %
0.35 0.32404 −0.13333
& %
0.943
%
0.33 0.32404

30 Cap. 2 Interpolació polinomial
a) En aquest primer apartat considerem els punts (0.3, 0.29552), (0.32, 0.31457)
i (0.35, 0.34290).
El polinomi interpolador de Newton que obtenim és:
P2(x) =0.29552 + 0.9525(x − 0.3) − 0.16333(x − 0.3)(x − 0.32)
P2(x) =−0.1633333x 2 +1.053766667x − 0.00591
A partir d’aquí podem trobar una aproximació per a sin 0.34 :
sin 0.34 ' P2(0.34) = 0.3334893334
La fita de l’error en aquest cas vindrà donada a partir de la fórmula:
¯
|f(x) − P2(x)| = ¯
f
¯
000 ¯
(ξ)
¯
(x − 0.3)(x − 0.32)(x − 0.35) ¯
3!
¯ ; ξ ∈ [0.3, 0.35]
En el nostre cas f(x) =sinxifent servir que |cos ξ| ≤ 1 tenim:
¯
|f(0.34) − P2(0.34)| = ¯
f
¯
000 ¯
(ξ)
¯
(0.34 − 0.3)(0.34 − 0.32)(0.34 − 0.35) ¯
3!
¯ =
¯
= ¯
cos ξ
¯ 3! (0.04)(0.02)(−0.01)
¯ ≤ 1.3 × 10−6
b) Construïm ara el polinomi interpolador en els punts (0.3, 0.29552), (0.32, 0.31457),
(0.35, 0.34290) i (0.33, 0.32404).
P3(x) =0.29552 + 0.9525(x − 0.3) − 0.16333(x − 0.3)(x − 0.32)+
+1.00011(x − 0.3)(x − 0.32)(x − 0.35)
A partir d’aquí, podem trobar una aproximació per a sin 0.34 :
sin 0.34 ' P3(0.34) = 0.3334813334
La fita de l’error en aquest cas serà, fent servir que |sin ξ| ≤ 1:
¯
|f(x) − P3(x)| = ¯
f
¯
0v ¯
(ξ)
¯
(x − 0.3)(x − 0.32)(x − 0.35)(x − 0.33) ¯
4!
¯ , ξ ∈ [0.3, 0.35]
|f(0.34) − P3(0.34)| =
=
¯
f
¯
0v ¯
(ξ)
¯
(0.34 − 0.3)(0.34 − 0.32)(0.34 − 0.35)(0.34 − 0.33) ¯
4!
¯
¯
sin ξ
¯ 4! (0.04)(0.02)(−0.01)(0.01)
¯ ≤ 3.33 × 10−9

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 31
Problema 2.5 (Fenomen Runge)
(a) Calculeu el polinomi interpolador de grau 10 de la funció
1
f(x) = prenent punts equiespaiats a l’interval [−1, 1].
1+20x2 (b) Feu una representació gràfica aproximada del polinomi interpoladoridelafuncióal’interval[−1,
1].
a) Els punts d’interpolació, tenint en compte que h =0.2, seran:
xi = −1+ih, i =0,...,10
El polinomi interpolador que obtenim és:
P10(x) =−178.12x 10 +0.5 × 10 −6 x 9 +400.77x 8 − 0.7 × 10 −6 x 7 − 311.58x 6 +
0.38 × 10 −6 x 5 + 102.73x 4 − 0.11 × 10 −6 x 3 − 14.74x 2 +0.5 × 10 −9 x +0.99
Si fem la representació gràfica de la funció i del polinomi interpolador, observem
una gran diferència en els extrems de l’interval.
Aquest comportament és degut a que normalment no hi ha convergència
dels polinomis interpoladors Pn(x) cap a f(x) quan n →∞.
Problema 2.6 (Interpolació inversa)
Trobeu el valor d’x tal que f(x)=5, per a la funció f(x) donada per la següent
taula:
x 0 1 2 3
y 1 2 4 6
Partim del fet que si f(xi) =yi podem considerar una nova funció g(x) tal
que g(yi) =xi.

32 Cap. 2 Interpolació polinomial
A partir d’aquest fet, trobar el valor d’x tal que f(x) =5serà equivalent a
trobar x = g(5).
El que farem és trobar el polinomi interpolador de la funció g(y) donada per
la taula:
y 1 2 4 6
x 0 1 2 3
Així doncs, obtenim P3(y) =(y−1)− 1
1
(y−1)(y−2)+
6 30 (y−1)(y−2)(y−4)
x = g(5) ' P3(5) = 12
5 =2.4
2.3 Problemes resolts amb Maple
Maple V permet calcular el polinomi interpolador d’una funció, tant si
aquesta ve donada per una taula de valors o per la seva expressió, a partir
de la instrucció:
interp( [llista d’abscisses], [llista de valors], variable)
Problema 2.7 Calculeu el polinomi interpolador per a la següent taula de
valors:
x 0 1 2
y 0 1 −1
Fent servir la instrucció anterior tenim:
> p:=interp([0,1,2],[0,1,-1],x);
p := − 3
2 x2 + 5
2 x
Problema 2.8 Donada la funció f(x) = x
1+x2 i les abscisses x0 =1,
x1 =2,x2 =5,
(a) Determineu el polinomi interpolador amb l’ordre interp.
(b) Determineu els polinomis components del mètode de Lagrange i,
a partir d’ells, el polinomi interpolador.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 33
(c) Representeu gràficament la funció i el polinomi interpolador.
(d) Calculeu el valor del polinomi interpolador en 4.5 i trobeu l’error
comès.
a) Per poder aplicar la instrucció tal com la tenim definida, necessitem
calcular els valors de la funció en cada abscissa. Per a això :
• Definim la funció
> f:=x->x/(1+x ^2);
f := x → x
1+x 2
• Construïm una llista a partir de les abscisses:
> absc:=[1,2,5];
absc := [1, 2, 5]
• Calculem les ordenades aplicant la funció a la llista:
> ord:=map(f,absc);
ord := [ 1 2 5
, ,
2 5 26 ]
• Calculem el polinomi interpolador:
> p:=interp(absc,ord,x);
p := 1
130 x2 − 8 8
x +
65 13
b) El polinomi de Lagrange serà:
P2(x) =l0(x) · y0 + l1(x) · y1 + l2(x) · y2
• Els polinomis components li(x) seran:
> l[0]:=interp(absc,[1,0,0],x);
l0 := 1
4 x2 − 7 5
x +
4 2
>l[1]:=interp(absc,[0,1,0],x);
l1 := − 1
3 x2 +2x− 5
3
>l[2]:=interp(absc,[0,0,1],x);
l2 := 1
12 x2 − 1 1
x +
4 6

34 Cap. 2 Interpolació polinomial
• El polinomi interpolador l’obtenim fent:
> P:=f(1)*l[0]+f(2)*l[1]+f(5)*l[2];
c) >plot({f(x),p},x=1..5);
P := 1
130 x2 − 8 8
x +
65 13
d)En aplicar l’ordre interp hem obtingut l’expressió:
p := 1
130 x2 − 8 8
x +
65 13
No podem calcular directament p(4.5), jaquep no és una funció. Per a
resoldre aquest problema tenim 2 opcions:
• Substituir a l’expressió x per 4.5:
> a:=subs(x=4.5,p);
a := .2173076922
• Transformar l’expressió en funció i avaluar-la en 4.5:
> g:=unapply(p,x);
> a:=g(4.5);
L’error comès serà doncs:
g := x → 1
130 x2 − 8 8
x +
65 13
a := .2173076922

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 35
> error:=abs(a-f(4.5));
error := .0055429863
1
Problema 2.9 Donada la funció f(x) = i l’interval [−2, 2], cal-
1+20x4 culeu el polinomi interpolador prenent n +1punts igualment espaiats a l’interval,
per a valors d’n 5 i 10. Representeu el polinomi obtingut juntament
amb la funció en cada cas.
Fem el procés per a n =5:
• Definim la funció, l’interval, n i h:
>f:=x->1/(1+20*x ^4);
>a:=-2;
>b:=2;
>n:=5;
>h:=evalf((b-a)/n);
f := x →
a := −2
b := 2
n := 5
h := 0.8
1
1+20x 4
• Construïm una llista a partir de les abscisses:
>abcs:=[seq(a+i*h,i=0..n)];
absc := [−2, −1.2, −0.4, 0.4, 1.2, 2]
• Calculem les ordenades a partir de les abscisses anteriors:
>ord:=map(f,abcs);
ord : = [ 1
, 0.02354492371, 0.6613756614, 0.6613756614,
321
0.02354492371, 0.003115264798]
• Calculem el polinomi interpolador i el representem juntament amb la
funció:

36 Cap. 2 Interpolació polinomial
>p:=interp(abcs,ord,x);
p : = −.1993815104 × 10 −9 x 5 + .1276887833x 4 + .10 × 10 −8 x 3 −
−.7026073168x 2 − .10 × 10 −8 x + .7705239988
>plot({f(x),p},x=-2..2);
• Si repetim el procés per a n =10obtenim:
2.4 Problemes proposats
1. Trobeu els polinomis de grau 2 que per a 1 i -1 donin 1.
2. Calculeu els polinomis interpoladors per a les taules següents:
x 0 1 2
y 1 −2 −3
Quina relació hi ha entre ells?
x 0 1 2 −1
y 1 −2 −3 6

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 37
3. Donada la taula de valors:
x −1 1 2 3
y 2 0 2 6
calculeu el polinomi que interpola f (x) en els punts de la taula.
4. D’una certa funció f (x) coneixem les dades donades per la taula següent:
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
y 1 2.119 2.910 3.945 5.20 8.695
Calculeu els valors aproximats de f (1.6) amb els polinomis de graus 1, 2 i
3, escollint la seqüència de punts adequada en cada cas.
5. Considereu la taula de valors següent:
x 1 2 4 5 6
y 0 2 12 21 32
(a) Calculeu f (3) de forma aproximada, utilitzant polinomis interpoladors
de grau 2 i escollint els punts de forma convenient. Doneu
almenys dos polinomis diferents.
(b) Calculeu f (3) aproximadament mitjançant un polinomi interpolador
de grau màxim.
6.Donada f(x) =3xe x − 2e x ,aproximeuf(1.03) a partir del polinomi interpolador
en els punts d’abscissa x0 =1, x1 =1.05 i x2 =1.07. Doneu una
fita de l’error comès.
7. Doneu una aproximació de ln 2 a partir de les dades: ln 1 = 0, ln 1.5 =
0.40546 i ln 2.2 =0.78845. Doneu una fita de l’error comès.
8. D’una certa funció f (x) coneixem les dades donades per la taula següent
i volem calcular una aproximació de f(2.5)
x 0 1 1.5 2 2.3 3
y 1 0.149 1.010 2.321 5.20 8.12
(a) Calculeu, amb la instrucció interp els polinomis interpoladors de
graus 1, 2 i 3, escollint la seqüència de punts adequada en cada
cas.

38 Cap. 2 Interpolació polinomial
(b) Trobeu l’aproximació de f(2.5) fent sevir les instruccions subs i
unapply.
9. Donada la la funció f(x) =e 2x :
(a) Calculeu, amb les instruccions interp i map el polinomi interpolador
en els punts d’abscissa 0,1 i 2.
(b) Doneu una aproximació del valor de f(1.5) fent sevir les instruccions
subs i unapply.
(c) Compareu el resultat anterior amb el valor real.
(d) Representeu gràficament, amb la instrucció plot, la funció i el
polinomi interpolador.
(e) Representeu gràficament la funció abs(f(x) − P (x)) i doneu una
fita de l’error comès.
10. Donada la funció f(x) = 1
:
1+x4 (a) Calculeu el polinomi interpolador en 5, 10 i 20 punts equiespaiats
de l’interval [−1, 1], fent servir les instruccions seq, map i interp.
(b) Doneu una aproximació de f(0.9) a partir de les comandes subs
i unapply i compareu-lo amb el valor real.
(c) Representeu gràficament la funció i els polinomis interpoladors
fent servir la comanda plot.
11. Donada la funció f(x) =x 2 ln(x) i els següents valors del logaritme
neperià
x 10 10.5 11
ln(x) 2.302585093 2.351375257 2.397895273
(a) Calculeu el polinomi interpolador de f corresponent als punts
d’abscisses x0 =10, x1 =10.5, x2 =11.
(b) Trobeu l’aproximació de f(10.75) fent servir el polinomi anterior.
Calculeu una fita superior de l’error comès.
12. Sabent que cos 0.3 =0.95534, cos 0.32 = 0.94924 i cos 0.35 = 0.93937
(a) Calculeu el polinomi interpolador en aquests punts i trobeu una
aproximació de cos 0.34.
(b) Doneu una fita de l’error en aquesta aproximació.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 39
(c) El polinomi interpolador anterior ens serveix per trobar una aproximació
de cos 0.75? Justifiqueu la resposta.
13. Donada la funció f(x) =(x +1) 2 ln(x +1)a l’interval [0, 1].
(a) Calculeu el polinomi interpolador de f en els punts d’abscisses
0, 0.3, 1.
(b) Doneu una fita de l’error a l’aproximar f(0.5) per aquest polinomi,
sabent que f 000 (x) = 2
x+1 .
14. Trobeu una aproximació de 3√ e fent servir interpolació polinomial en els
punts (0, 1), (0.2, 1.2214), (0.4, 1.4918). Doneu una fita de l’error comès.

40 Cap. 2 Interpolació polinomial

Capítol 3
Integració numèrica
3.1 Resum teòric i exemples
La integració numèrica consisteix a donar fórmules per trobar el valor aproximat
d’una integral definida, obtenint també afitacions dels errors d’aquestes
aproximacions. Els mètodes que considerarem seran, principalment, de la
forma:
Z b
nX
f(x)dx = Aif(xi)+En(f) (3.1)
a
i=0
La suma P n
i=0 Ai f(xi) se’n diu fórmula de quadratura de n+1 punts; Ai
són els pesos o coeficients de quadratura, xi els nodes o punts de quadratura
i En(f) l’error produït en l’aproximació.
Al llarg d’aquest capítol suposarem que l’interval [a, b] és finit i que f(x) no
té singularitats en [a, b].
3.1.1 Grau de precisió d’una fórmula de quadratura
Donat un interval d’integració [a, b] in+1 nodes x0,x1,...,xn ,diremque
la fórmula P n
i=0 Ai f(xi) té grau de precisió m si i només si:
En(x k )=0 (k =0÷ m)
En(x m+1 ) 6= 0
És a dir, tots els monomis (i, per tant, tots els polinomis) de grau menor o
igual que m són integrats de forma exacta amb la fórmula.
41

42 Cap. 3 Integració numèrica
Exemple 3.1 Trobeu el grau de precisió de la fórmula de quadratura
Z 1
f(x)dx ≈− 2 13 5
f(−1) + f(0) +
9 12 36 f(2)
0
Prenent f(x) =1,x,x 2 ,x 3 successivament, obtenim:
• f(x) =1
R 1
0
dx = − 2
9
• f(x) = x
R 1
0
xdx = − 2
9
• f(x) =x 2
R 1
0 x2 dx = − 2
9
• f(x) =x 3
R 1
0 x3 dx = − 2
9
13 5
2 13 5
f(−1) + 12f(0) + 36f(2) ⇒ 1=− 9 + 12 + 36
Així doncs, el grau de precisió és 2.
13 5
1 2 10
f(−1) + 12f(0) + 36f(2) ⇒ 2 = 9 + 36
13 5
1 −2 20
f(−1) + 12f(0) + 36f(2) ⇒ 3 = 9 + 36
13 5
1 2 40 4
f(−1) + 12f(0) + 36f(2) ⇒ 4 6= 9 + 36 = 3
3.1.2 Fórmules de Newton-Cotes
Sigui [a,b] l’interval d’integració i pn(x) el polinomi interpolador de f en els
n+1 punts x0,x1,...,xn. Si pn(x) és una bona aproximació de f en [a,b],
aleshores, podem esperar que
Z b
a
f(x)dx '
Z b
a
pn(x)dx
Prenent els punts d’interpolació equiespaiats en [a,b] talsque:
(
xj
h
s’arribaalafórmula
=
=
a + jh , (j =0,...,n)
b − a
n
amb
Z b
λj =
a
f(x)dx ' h Xn j=0 λjf(xj) (3.2)
Z n
0
ϕ j(t)dt =
Z n
0
nY
k=0
k6=j
(t − k)
(j − k) dt

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 43
que s’anomena fórmula de Newton-Cotes de n+1 punts.
Els coeficients λj només depenen de n, independentment de la funció f ide
l’interval [a,b].
Error en les fórmules de Newton-Cotes
Sigui πn(t) =t(t − 1) ...(t − n).
• Si n és parell i f (n+2) (x) és contínua en [a,b], aleshores existeix un
punt ξ ∈ (a, b) tal que
E(f) = hn+3 f (n+2) (ξ)
(n +2)!
Z n
0
tπn(t)dt (3.3)
• Si n és senar i f (n+1) (x) és contínua en [a,b], existeix un punt ξ ∈ (a, b)
tal que
E(f) = hn+2 f (n+1) (ξ)
(n +1)!
Z n
0
πn(t)dt (3.4)
Teorema 3.1 Les fórmules de Newton-Cotes tenen grau de precisió
Principals fórmules de Newton-Cotes:
• n =1(Fórmula del trapezi)
x0 = a, x1 = b, h = b − a
Z b
a
f(x)dx = h
h3
(f(a)+f(b)) −
2 12 f (2) (ξ) , (a

44 Cap. 3 Integració numèrica
• n =2(Fórmula de Simpson)
x0 = a, x2 = b, h = b−a
2
Z b
a
f(x)dx = h
3 (f(a)+4f(x1)+f(b)) − h5
90 f (4) (ξ) (a

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 45
Z b
f(x)dx =
a
2h
8h7
(7f(a)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(b))−
45 945 f (6) (ξ)
amb a

46 Cap. 3 Integració numèrica
• El polinomi interpolador en punts equiespaiats no sempre convergeix
a f quan n és gran, (fenomen de Runge, veure problema 5, capítol 1).
• Les fórmules de Newton-Cotes tenen coeficients λj negatius per a n
gran. Això fa que es produeixin cancel.lacions i que l’error final sigui
massa gran.
Per aquests motius, les fórmules d’integració no solen aplicar-se sobre tot
l’interval [a,b] d’integració, sinó que es divideix aquest en subintervals sobre
els quals apliquem les regles anteriors.
Regladelstrapeziscomposta
Dividim [a,b] ennsubintervals iguals definint:
(
b − a
h =
n
xj = a + jh, j =0,...,n
iaproximem R b
a f(x)dx mitjançant l’aplicació de la fórmula del trapezi a
cada subinterval [xj−1,xj]. L’aproximació donada per la regla dels trapezis
composta és
Tn(f) = h
2 [f(a)+2f(x1)+...+2f(xn−1)+f(b)] (3.7)
Si designem per ET (f) l’error que es comet, resulta
Zb
a
f(x)dx = Tn(f)+ET (f) =Tn(f) −
(b − a)3
12n 2 f (2) (ξ)
Podem calcular el nombre d’intervals necessaris per tenir una precisió donada,
sempre que disposem d’una cota per a la segona derivada, tenint en
compte que
¯ ¯
on M2 =sup¯f
(2) (ξ) ¯ .
ξ∈[a,b]
Z 1
Exemple 3.3 Calculeu
la regla dels trapezis.
|ET (f)| ≤
−1
(b − a)3
12n 2 M2 (3.8)
xe x dx amb 3 xifres decimals exactes aplicant

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 47
Primer hem de calcular el nombre n d’intervals que necessitem. Per a això
cal trobar una cota per a f (2) sobre [-1,1]. Derivant dos cops f(x) =xe x
s’obté f (2) (x) =2e x + xe x . Com que f (2) és creixent i positiva, prenem com
a fita el seu valor en x =1:
Aleshores, per (3.8) tenim:
M2 = f (2) (1) = 3e
|ET (f)| ≤ 23 2e
3e =
12n2 n2 Si volem obtenir 3 decimals exactes, llavors:
2e 1
≤
n2 2 10−3 ⇒ n ≥ 104.27 ...
Com que n ha de ser natural, agafem n =105. Aplicant la regla dels trapezis
amb h = 2
105 i xj = −1+jh, (j =0÷ 105), obtenim com a valor aproximat
de la integral:
Z 1
xe x dx ' h
⎡
⎤
X104
⎣f(−1) + 2 f(xj)+f(1) ⎦ =0.73592325
2
−1
j=1
mentre que el valor exacte és:
Z 1
xe x dx = 2
e =0.73575888
−1
Regla de Simpson composta
Dividim ara [a,b] en2nsubintervals iguals definint:
(
b − a
h =
2n
xj = a + jh, j =0,...,2n
iaproximem R b
a f(x)dx mitjançant l’aplicació de la fórmula de Simpson a
cada subinterval [x2j−2,x2j]. La regla de Simpson composta vé donada per
Sn(f) = h
⎡
⎤
nX
n−1 X
⎣f(a)+4 f(x2j−1)+2 f(x2j)+f(b) ⎦ (3.9)
3
j=1
Aleshores, si designem per ES(f) l’error que es comet, resulta
Zb
a
f(x)dx = Sn(f)+ES(f) =Sn(f) −
j=1
(b − a)
180 f (4) (ξ)h 4

48 Cap. 3 Integració numèrica
Anàlogament a la fórmula dels trapezis composta, també podem calcular
el nombre d’intervals necessaris per tenir una precisió donada, sempre que
disposem d’una cota per a la quarta derivada, tenint en compte que
¯
on M4 =sup¯f
ξ∈[a,b]
(4) (ξ) ¯ |ES(f)| ≤
(b − a)5
M4
(3.10)
2880n4 • Observem que el nombre d’intervals sobre els que apliquem la fórmula
de Simpson és n i que el nombre total de subintervals en què dividim
[a,b] és2n.
Z 1
Exemple 3.4 Calculeu
la regla de Simpson.
−1
xe x dx amb 3 xifres decimals exactes aplicant
Anàlogament a l’aplicació de la regla dels trapezis, primer hem de determinar
el nombre n d’intervals que necessitem. Derivant quatre vegades la funció
f(x) =xe x ,obtenimf (4) (x) =4e x +xe x . Com que f (4) és creixent i positiva,
prenem com a fita el seu valor en x =1:
Aleshores, per (3.10) tenim:
Per tal d’obtenir 3 decimals exactes,
M4 = f (4) (1) = 5e
|ES(f)| ≤ 25 e
5e =
2880n4 18n4 e 1
≤
18n4 2 10−3 ⇒ n ≥ 4.1688 ...
Com que n ha de ser natural, agafem n =5. Aplicant la regla de Simpson
amb h = 2
10 =0.2 i xj = −1 +0.2j, (j =0÷ 10), obtenim com a valor
aproximat de la integral:
Z 1
xe x dx ' h
⎡
⎣f(−1) + 4
3
−1
5X
j=1
5−1
f(x2j−1)+2
⎤
X
f(x2j)+f(1) ⎦ =0.7358483676
j=1
mentre que el valor exacte és:
Z 1
xe x dx = 2
' 0.7357588824
e
−1

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 49
3.2 Problemes resolts
Problema 3.1 Calculeu els pesos A, B, C de la fórmula de quadratura
Z h
−h
f(x)dx ' h [Af(0) + B (f(h)+f(−h)) + C (f(2h)+f(−2h))]
i trobeu el seu grau de precisió.
Podem calcular els coeficients A, B, C substituint, successivament, f(x) =
1,x,x 2 ,... i resolent el sistema d’equacions lineals resultant:
2h =
0 =
2
3 h3 =
0 =
2
5 h5 =
0 =
hZ
−h
hZ
−h
hZ
−h
hZ
−h
hZ
−h
hZ
−h
1dx = h [A +2B +2C]
xdx =0
x 2 dx = h £ 2Bh 2 +8Ch 2¤
x 3 dx =0
x 4 dx = h £ 2Bh 4 +32Ch 4¤
x 5 dx =0
Simplificant les equacions obtingudes, el sistema a resoldre és:
A +2B +2C =2
3B +12C =1
5B +80C =1
la solució del qual és A = 19 17 −1
,B = ,C = . La fórmula que obtenim és:
15 45 90
Z h
∙
19 17
1
f(x)dx ' h f(0) + (f(h)+f(−h)) −
15 45 90 (f(2h)+f(−2h))
¸
−h
⎫
⎬
⎭

50 Cap. 3 Integració numèrica
que resulta exacta per a polinomis de grau 4. Donat que
Zh
−h
x n dx =0 (∀n senar)
també tenim exactitud per a polinomis de grau 5, però no per a polinomis
de grau 6 com podem comprovar prenent f(x) =x 6 :
2
7 h7 =
Zh
−h
x 6 ∙
17 ¡ 6 6
dx 6= h h +(−h)
45
¢ − 1 ¡ 6 6
(2h) +(−2h)
90
¢¸
= − 2
3 h7
Així doncs, el grau de precisió de la fórmula és 5.
Problema 3.2 Deduïu la fórmula de Simpson a partir de les fórmules (3.2)
de Newton-Cotes.
La fórmula de Simpson és el cas n = 2 de les fórmules de Newton-Cotes:
Z b
Calculem els coeficients λj:
a
f(x)dx ' h (λ0f(x0)+λ1f(x1)+λ2f(x2))
Z 2 Z 2 (t − 1)(t − 2) 1
λ0 = ϕ0(t)dt =
dt =
0
0 (0 − 1)(0 − 2) 3
Z 2 Z 2 t(t − 2) 4
λ1 = ϕ1(t)dt =
dt =
0
0 1 · (1 − 2) 3
Z 2 Z 2 t(t − 1) 1
λ2 = ϕ2(t)dt =
dt =
2 · (2 − 1) 3
Aleshores: Z b
0
a
0
f(x)dx ' h
3 (f(a)+4f(x1)+f(b))
amb h = b−a
2 . Si designem per ES l’error en la fórmula de Simpson, de (3.3)
resulta:
ES = h2+3 f (2+2) (ξ)
(2 + 2)!
Z 2
0
tπ2(t)dt = h5 f (4) (ξ)
4!
µ
−4
= −
15
h5
90 f (4) (ξ)
amb f ∈ C 4 ([a, b]), (a

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 51
Problema 3.3 Calculeu
Z 1
4
− 1
4
dx
1+x
utilitzant les fórmules de Simpson i de
Newton-Cotes amb n=3. Compareu les aproximacions obtingudes amb el
valor exacte de la integral.
a) Fórmula de Simpson
Aplicant la fórmula de Simpson (3.6) a aquest cas particular, obtenim:
Z 1
4
− 1
4
∙
dx 1 4
'
1+x 12 3 +4+4
¸
=
5
23
45 =0.511111
Per tal de fitarl’errorcomès
¯
|ES| = ¯
h
¯
5
90 f (4) ¯
(ξ) ¯ ≤
µ 5
1 1
4 90 M4
cal trobar una fita de la derivada quarta de la funció:
f (4) (x) =
24
(1 + x) 5
Com que f (4) pren el màxim valor en [− 1
4
podem prendre M4 = 24 8192
5 =
(3/4) 81 Aleshores
Per tant:
|ES| ≤
Z 1
4
− 1
4
µ 5 µ µ
1 1 8192
=0.001097
4 90 81
dx
=0.511111 ± 0.001097
1+x
1 , 4 ] quan x pren el valor −1/4,
Això ens indica que el valor exacte de la integral es troba en l’interval
[0.510014 , 0.512208]. Pot comprovar-se que, efectivament, el valor és:
Z 1
4
− 1
4
dx
=ln5−ln 3 = 0.510826
1+x
b) Fórmula de Newton-Cotes amb n=3
En ser [a, b] =[−1 1
b−a
4 , 4 ] i n =3, tindrem h = n
fórmula de Newton_Cotes és:
Z 1
4
−1
4
dx 3
'
1+x 8
1
1
= 6 . Per a f(x) = 1+x la
µ ∙
1 4
6 3 +312
11 +312
¸
4
+ =
13 5
1096
2145 =0.510956

52 Cap. 3 Integració numèrica
Podem fitar l’error comès utilitzant la mateixa fita M4 de l’apartat anterior:
¯
|E(f)| = ¯
3h
¯
5
80 f (4) ¯ µ
¯
5
(ξ) ¯
3 1 8192 16
¯ ≤ = =4.877305 × 10−4
80 6 81 32805
Aleshores, el valor exacte de la integral es troba en l’interval [0.510623, 0.511599]
i, per tant,
Z 1
4 dx
=0.510956 ± 4.877305 × 10−4
1+x
−1
4
Problema 3.4 Amb quants intervals s’haurien d’aplicar
(a) la regla dels trapezis
(b) la regla de Simpson
per tal d’aproximar R 3
1 ex sin xdx amb un error menor que 10 −4 ?
a)Regla dels trapezis.
La fita de l’error quan apliquem la regla dels trapezis és, segons (3.8)
|ET (f)| ≤
(b − a)3
M2
12n2 Derivant dos cops la funció f(x) = e x sin x, obtenim f 00 (x) = 2e x cos x.
D’altra banda, donat que |2e x cos x| ≤ 2e x i que la funció e x és estrictament
creixent, prenent com a fita superior de f 00 (x) en [1, 3] M2 =2e 3 , serà:
(3 − 1)3
|ET (f)| ≤
12n2 2e3 = 4
3n
Aleshores,
4
3n2 e3 < 10 −4 r
4e3 ⇒ n> = 517.501
3 · 10−4 Així doncs, prenent n ≥ 518 es compleixen les condicions de l’enunciat. El
resultat que obtenim, per a n =518intervals és:
Z 3
e x sin(x)dx ' T518(f) = 1
µ
2
2 518
⎡
⎤
X517
⎣f(1) + 2 f(xj)+f(3) ⎦ =10.95014446
1
mentre que el valor exacte és
Z 3
e x sin(x)dx = 1
2 ex ¯
¯3
(sin(x) − cos(x)) ¯ ' 10.95017032
1
j=1
1
2 e3

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 53
que ens dóna un error menor que 10 −4 .
b)Regla de Simpson
Aplicant la regla de Simpson tindrem, segons (3.10)
|ES(f)| ≤
(3 − 1)5
M4
2880n4 Com que f (4) (x) =−4e x sin x, raonant de manera anàloga al cas anterior,
podem prendre M4 =4e 3 . Llavors, tindrem
|ES(f)| ≤ 25
2880n4 4e3 ≤ 2
e3
45n4 Com que volem que l’error sigui menor que 10 −4 , resulta:
2
45n 4 e3 < 10 −4 ⇒ n 4 >
2e3
= 8926.906 ⇒ n>9.7202
45 · 10−4 i, per tant, hem d’aplicar la regla de Simpson en [a, b] amb, almenys, 10
intervals (és a dir, 20 subintervals). El resultat que s’obté és:
Z 3
e x sin(x)dx ' 1
µ
2
3 20
⎡
⎤
20X
19X
⎣f(1) + 4 f(x2j−1)+2 f(x2j)+f(3) ⎦ =10.95014593
1
j=1
que també ens dóna un error menor que 10 −4 .
Problema 3.5 Lafórmula(bàsica)delstrapeziscorregidaés:
Z b
a
j=1
f(x)dx ' h
h2 ¡ ¢ 0 0
(f(a)+f(b)) + f (a) − f (b) , (h = b − a)
2 12
(a) Quin és el seu grau de precisió?
(b) Sabent que E(f) = h5
720f (4) (t) és l’expressió de l’error, aproximeu
R 1
−1 xexdx i fiteu l’error comès.
(c) Dividint [a, b] en n subintervals de longitud h = b−a
n ,trobeula
fórmula composta corresponent.
(d) Quants subintervals cal prendre per calcular la integral de l’apartat
b) amb 3 decimals exactes?
a) Com que l’expressió de l’error és E(f) = h5
720n 4 f (4) (t), deduïm que l’error
és 0 si f(x) és un polinomi de grau fins a tres, mentre que si f(x) és un

54 Cap. 3 Integració numèrica
polinomi de grau 4, f (4) (t) 6= 0i, per tant, E(f) 6= 0. Així doncs, el grau de
precisió és 3.
b) Integrant f(x) =xex en [−1, 1], aquesta fórmula dóna l’aproximació
Z 1
xe x dx ' 2
2 (−e−1 + e)+ 22
(0 − 2e) =.5382145014
12
−1
L’error comès es pot fitar tenint en compte que la derivada quarta de f és:
f (4) (x) =(x +4)exiestàfitada, per tant, per M4 =5e. Aleshores:
|E(f)| ≤ h5
720 |M4| = 25
5e = .6040 ...

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 55
La solució d’aquesta inequació és n>5.89 . Per tant, n’hi ha suficient a
dividir l’interval en n =6parts iguals.
En efecte, els subintervals vénen definits pels punts
½
xi = −1, − 2
¾
1 2
, −1 , 0, , , 1
3 3 3 3
i la funció en aquests punts pren, respectivament, els valors
f(xi) =
½
−e −1 , − 2
3 e(−2/3) , − 1
3 e(−1/3) , 0, 1
3 e(1/3) , 2
3 e(2/3) ,e
Com que f 0 (−1) = 0 i f 0 (1) = 2e obtenim l’aproximació:
Z 1
xe
−1
x dx ' 2
µ
−e
2
−1 − 2
3 e(−2/3) − 1
3 e(−1/3) + 1
3 e(1/3) + 2
3 e(2/3)
+ e + 22
12 (−2e)
= .7355857299
mentre que el resultat exacte és:
Z 1
xe
−1
x dx =2e −1 = .7357588824
3.3 Problemes resolts amb Maple
MapleV disposa de l’ordre int per resoldre una integral. La seva sintaxi és:
int(funció,x=a..b);
obé
int(funció,x);
segons sigui una integral definida o indefinida. A més, la llibreria student
conté, entre d’altres utilitats, les instruccions trapezoid i simpson, per
aproximar integrals a partir de les fórmules dels trapezis i de Simpson, respectivament:
trapezoid(funció ,x = a..b,n);
simpson( funció,x = a..b,n);
Problema 3.6 Calculeu els pesos de la següent fórmula de quadratura per
tal que tingui grau de precisió el més gran possible:
Z b
f(x)dx = a0f(a)+a1f(b)+c0f
a
(2) (a)+c1f (2) (b)
¾

56 Cap. 3 Integració numèrica
Comencem definint la fórmula que volem trobar:
> formula := int(f(x) ,x=a..b) = a[0]*f(a) + a[1]*f(b) + c[0]*(D@@2)(f)(a)+
c[1]*(D@@2)(f)(b);
Imposant, successivament, que la fórmula sigui exacta per als polinomis 1,
x, x 2 ix 3 obtindrem un sistema de 4 equacions amb les 4 incògnites a[0],
a[1],c[0]ic[1]:
> f:=x->1;
f := 1
> int(f(x) ,x=a..b) = a[0]*f(a) + a[1]*f(b) + c[0]*(D@@2)(f)(a)
+ c[1]*(D@@2)(f)(b);
> eq1:=formula;
> f:=x->x;
b − a = a0 + a1
eq1 :=b − a = a0 + a1
int(f(x) ,x=a..b)=a[0]*f(a) + a[1]*f(b) + c[0]*(D@@2)(f)(a)
+ c[1]*(D@@2)(f)(b);
> eq2:=formula;
> f:=x->x^2;
f : = x → x
1
2 b2 − 1
2 a2 = a0a + a1b
eq2 := 1
2 b2 − 1
2 a2 = a0a + a1b
int(f(x) ,x=a..b)=a[0]*f(a) + a[1]*f(b) + c[0]*(D@@2)(f)(a)
+ c[1]*(D@@2)(f)(b);
> eq3:=formula;
> f:=x->x^3;
f : = x → x
1
3 b3 − 1
3 a3 = a0a 2 + a1b 2 +2c0 +2c1
eq3 := 1
3 b3 − 1
3 a3 = a0a 2 + a1b 2 +2c0 +2c1

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 57
int(f(x) ,x=a..b)=a[0]*f(a) + a[1]*f(b) + c[0]*(D@@2)(f)(a)
+ c[1]*(D@@2)(f)(b);
> eq4:=formula;
f : = x → x 3
1
4 b4 − 1
4 a4 = a0a 3 + a1b 3 +6c0a +6c1b
eq4 := 1
4 b4 − 1
4 a4 = a0a 3 + a1b 3 +6c0a +6c1b
Resolem el sistema d’equacions mitjançant l’ordre solve:
> sistema:={eq1 ,eq2 ,eq3 ,eq4};
sistema := {b − a = a0 + a1, 1
2 b2 − 1
2 a2 = a0a + a1b,
1
4 b4 − 1
4 a4 = a0a 3 + a1b 3 +6c0a +6c1b,
1
3 b3 − 1
3 a3 = a0a 2 + a1b 2 +2c0 +2c1}
>sols:=solve(sistema , {a[0],a[1],c[0],c[1]});
sols : = {a0 = − 1 1
a +
2 2 b, c0 = 1
24 a3 − 1
8 a2b + 1
8 ab2 − 1
24 b3 ,
c1 = 1
24 a3 − 1
8 a2b + 1
8 ab2 − 1
24 b3 ,a1 = − 1 1
a +
2 2 b}
A partir de la funció assign, convertim en assignacions les igualtats que
apareixen en la solució del sistema i simplifiquem les seves expressions:
> assign(sols) ;
a[0];a[1];c[0];c[1];
> c[0] :=factor(c[0]) ;
c[0] := simplify(c[0] , {b-a=h}) ;
− 1 1
a +
2 2 b
− 1 1
a +
2 2 b
1
24 a3 − 1
8 a2b + 1
8 ab2 − 1
24 b
1
24 a3 − 1
8 a2b + 1
8 ab2 − 1
24 b

58 Cap. 3 Integració numèrica
a[0] := simplify(a[0] , {b-a=h}) ;
c[1]:=c[0];a[1]:=a[0];
c0 = − 1
(b − a)3
24
c0 = − 1
24 h3
a0 = 1
2 h
c1 = − 1
24 h3
a1 = 1
2 h
Netegem la funció f i escrivim la fórmula d’integració que hem obtingut:
> f:=’f ’:
> formula ;
Z b
a
f(x)dx = 1
2 hf(a)+1
2
hf(b) − 1
24 h3 (D (2) )(f)(a) − 1
24 h3 (D (2) )(f)(b)
Aleshores, el grau de precisió és, pel cap baix, 3. Comprovem ara si la
fórmula obtinguda té grau de precisió 4:
> f:=x->x^4;
> formula;
f := x → x 4
1
5 b5 − 1
5 a5 = 1
2 ha4 + 1
2 hb4 − 1
2 h3 a 2 − 1
2 h3 b 2
Simplifiquem el costat dret de la darrera igualtat:
> simplify(rhs(”) , {h = b − a});
−2a 2 b 3 +2a 3 b 2 + ab 4 − a 4 b
Com que el resultat obtingut és diferent de 1 5 b5 − 1 5 a5 , lafórmulanoésexacta
per a polinomis de grau 4 i el grau de precisió és, per tant, 3.
Problema 3.7 Calculeu el nombre de subintervals necessaris per aproximar
dx amb 5 decimals exactes utilitzant:
la integral R 1
0 2xex2
(a) La fórmula dels trapezis composta.
(b) La fórmula de Simpson composta.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 59
(c) Utilitzant l’apartat anterior, calculeu el valor del nombre e amb
5 decimals exactes.
Començarem carregant la llibreria student, definint la funció a integrar i
indicant que volem els resultats amb 7 dígits, (per defecte, els càlculs es
realitzen amb 10 dígits).
> with(student):
> f:=x->2*x*exp(x^2); Digits:=7;
Indiquem l’interval d’integració:
>a :=0;b:=1;
f : = x → 2xe (x2 )
Digits : = 7
a) Regla del trapezi composta
a : = 0
b : = 1
Començarem calculant el nombre n de subintervals que necessitarem. Per a
això, cal trobar una fita per a f (2) (x) en l’interval [0, 1]. Utilitzarem l’ordre
plot per dibuixar la gràfica de f (2) (x) en [0, 1] i obtenir fàcilment M2 =sup
x∈[0,1]
¯
¯f (2) (x) ¯ ¯ .
>f2 := (D@@2) (f) ;
>plot(abs(f2(x)) , x=a..b) ;
f2 :=x → 12xe (x2 ) +8x 3 e (x 2 )

60 Cap. 3 Integració numèrica
Com que la funció és estrictament creixent i positiva, prendrem M2 =
f (2) (1) :
>M2 := abs(f2(1)) ;
M2 :=20e
Introduïm el terme de l’error (3.8) en la fórmula del trapezi:
>error_trapezis := (b-a)^3*M2/(12n^2) ;
error trapezis := 5 e
3 n2 Si volem obtenir 5 decimals exactes haurem de resoldre la inequació error trapezis <
1
2 10−5 . Ho fem mitjançant l’ordre solve :
>solve (error-trapezis < 0.5*10^(-5)) ;
Real Range(−∞, Open(−951.8897)), Real Range(Open(951.8897), ∞)
Com que el nombre d’intervals ha de ser exacte, prenem n = 952:
> n := 952 ;
n := 952
Comprovem el resultat obtingut. Calculant la integral per la fórmula dels
trapezis amb 952 subintervals, obtenim:
> resultat_trapezi := evalf( trapezoid( f(x),x=a..b,n);
resultat trapezi := 1.718282

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 61
mentre que el resultat exacte és:
> integral := int(f(x) , x=a..b) ;
integral := e − 1
que, avaluat amb 10 dígits, ens permet comprovar que hem obtingut 5 decimals
exactes amb la fórmula dels trapezis:
> Digits := 10;
integral := evalf(integral) ;
b) Regla de Simpson composta
Digits : = 10
integral : = 1.718281828
Comencem definint la derivada quarta de la funció:
> f4 := (D@@4)(f) ;
f4 :=x → 120xe (x2 ) + 160x 3 e (x 2 ) +32x 5 e (x 2 )
Apartirdelagràfica de f (4) (x) en [0, 1], deduïm fàcilment la fita M4 =sup
x∈[0,1]
¯
¯f (4) (x) ¯ ¯ .
> plot(abs(f4(x)) ,x=a..b) ;
> M4 :=abs(f4(1)) ;

62 Cap. 3 Integració numèrica
M4 := 312e
L’error en la fórmula de Simpson, segons(3.10), és:
> error_simpson :=(b-a)^5*M4/(2880*n^4) ;
error − simpson := 13 e
120 n4 Imposem que l’error sigui menor que 1 2 10−5 i resolem la inequació corresponent:
> Digits := 7 ;
solve(error_Simpson n := 16;
integ_simpson := evalf(simpson(f(x) , x=a..b,2*n)) ;
n := 16
integ simpson := 1.718283
que comparat amb el resultat exacte e − 1 ' 1.718281828 que hem vist a
l’apartat anterior, també té 5 decimals exactes.
c) Aproximació del nombre e
Per trobar una aproximació del nombre e, podem utilitzar el resultat anterior,
segons el qual e − 1 ' 1.718283 amb 5 decimals correctes. Per tant,
e ' 1+1.718283 = 2.718283
Z 1
3
Problema 3.8 Donada la integral 9−x
−1
2 dx =ln2, calculeu, amb 3 decimals
exactes, el valor de l’aproximació que s’obté segons la fórmula composta
dels trapezis corregida (problema 5). i compareu-lo amb el valor exacte.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 63
La fórmula del trapezi corregida és:
> formula := int(f(x) ,x=a..b) = h/2*(f(a)+f(b))+h^2/12*(D(f)(a)-D(f)(b));
Z 1
formula := xe x dx = h
h2
(f(a)+f(b)) + (D(f)(a) − D(f)(b))
2 12
−1
Definim la funció a integrar i els extrems de l’interval:
> f:=x->3/(9-x^2);
> a:=-1 ; b:=1;
f := x → 3
9 − x 2
a : = −1
b : = 1
Calculem una fita, M4, de f (4) (x) i imposem la condició (b−a)5
720n 4 M4 < 1
2 10−3
> f4 := (D@@4)(f);
x
f4 :=x → 1152
4
(9 − x2 x
+ 864
) 5 2
(9 − x2 +
) 4
> plot(abs(f4(x)) ,x=a..b);
> M4:=abs(f4(1));
M4 := 99
256
72
(9 − x 2 ) 3

64 Cap. 3 Integració numèrica
> error:=(b-a)^5*M4/(720*n^4);
> solve(error n:=3;
n := 3
L’aproximació que obtenim, dividint [−1, 1] en 3 subintervals, és:
> h:=(b-a)/n;
h := 2
3
> for i from 0 to n do x[i]:=a+i*h; od:
> suma:=0;
for i from 1 to n-1 do suma:=f(x[i])+suma; od:
trapezi_corregit := h/2*(f(a)+f(b)+2*evalf(suma)) + h^2/12*
(D(f)(a)-D(f)(b));
El resultat exacte és
suma : = 0
trapezi corregit : = .6930555556
> Int(f(x) ,x=a..b) = evalf(int(f(x),x=a..b)) ;
Z 1 3
(9 − x2 dx = .6931471806
)
−1
Per tant, l’error és menor que 1
2 10−3 :
> evalf( abs(”-trapezi_corregit ));
.0000916250
Problema 3.9 Volem trobar una fórmula de quadratura del tipus:
Z 3
f(x)dx ≈ α1f(1) + 2α2f(2) + α3f(3)
1

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 65
(a) Resoleu el sistema que resulta d’exigir-li a aquesta fórmula i a les
següents
Z 2
f(x)dx ≈ α1f(1) + α2f(2)
1
Z 3
f(x)dx ≈ α2f(2) + α3f(3)
2
grau de precisió 1.
(b) La fórmula obtinguda en l’apartat anterior és de Newton-Cotes?
A quin mètode correspon? Per què?
a) Comencem escrivint les fórmules donades:
> restart;
> formula1:=int(f(x), x=1..3)=alpha[1]*f(1) + 2*alpha[2]*f(2) +
alpha[3]*f(3) ;
Z 3
formula1:= f(x)dx = α1f(1) + 2α2f(2) + α3f(3)
1
> formula2:=int(f(x) ,x=1..2)=alpha[1]*f(1)+alpha[2]*f(2);
formula3:=int(f(x) ,x=2..3)=alpha[2]*f(2)+alpha[3]*f(3);
formula2 : = α1f(1) + α2f(2)
formula3 : = α2f(2) + α3f(3)
Imposem la condició que el grau de precisió de les fórmules sigui 1:
> f:=x->1;
> eq1:=formula1;
> eq2:=formula2;
eq3:=formula3;
> f:=x->x;
f := 1
eq1 :=2=α1 +2α2 + α3
eq2 : = 1 = α1 + α2
eq3 : = 1 = α2 + α3
f := x → x

66 Cap. 3 Integració numèrica
> eq4:=formula1;
> eq5:=formula2;
eq6:=formula3;
eq4 :=4=α1 +4α2 +3α3
eq5 : = 3
2 = α1 +2α2
eq6 : = 5
2 =2α2 +3α3
Resolem el sistema format per les equacions trobades:
> sistema:={eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6};
sistema : = {2 =α1 +2α2 + α3, 1=α1 + α2, 1=α2 + α3,
4 = α1 +4α2 +3α3, 3
2 = α1 +2α2, 5
2 =2α2 +3α3}
> solucions:=solve(sistema, {alpha[1],alpha[2],alpha[3]});
> assign(solucions);
solucions := {α3 = 1
2 , α1 = 1
2 , α2 = 1
2 }
”Netegem” la variable f i escrivim la fórmula trobada:
> f:=’f’; f := f
> Int(f(x), x=1..3)=rhs(formula1);
Z 3
f(x)dx = 1
1
f(1) + f(2) +
2 2 f(3)
1
És fàcil veure que aquesta és la regla composta del trapezi, prenent dos
subintervals en [1, 3]
3.4 Problemes proposats
1. Calculeu les constants ω0, ω1,a per tal que la fórmula d’integració
Z 1
g(t)dt ≈ ω0g(a)+ω1g(1)
−1
sigui exacta per a tots els polinomis de grau no superior a dos.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 67
2. Calculeu x1 i x2 de manera que la següent fórmula de quadratura sigui
exacta fins al major ordre possible:
Z 1
−1
f(x)dx = 1
[f(−1) + 2f(x1)+3f(x2)]
3
3. Calculeu els coeficients k1,k2 i k3 en la fórmula d’integració aproximada
Z 1
f(x)dx = k1f(−1) + k2f(1) + k3f(α)
−1
on α és un nombre donat tal que −1 < α < 1. Apliqueu la fórmula amb la
funció f(x) = amb α = −0.1
a
q 5x+13
2
4. Trobeu el grau de precisió de la següent fórmula de quadratura:
Z b
f(x)dx ≈ h
∙
µ ¸
a + b
7f(a)+16f +7f(b) +
15
2
h2
15
£ f 0 (a) − f 0 (b) ¤ ,h= b − a
2
Sabent que h7
4725 f (6) (t) és l’expressió de l’error per a aquesta fórmula, apro-
ximeu R 1
0 eex dx iafiteu l’error comès.
5. Donada la integral R 1
0 xe2x dx
(a) Calculeu el nombre d’intervals necessaris per obtenir una aproximació
amb 3 decimals exactes segons la regla de Simpson.
(b) El mateix utilitzant la regla dels trapezis.
(c) Calculeu el valor de l’aproximació que s’obté segons l’apartat a).
Compareu-lo amb el valor exacte.
6. Determineu els valors de n i h que són necessaris per aproximar la integral
x cos 2xdx amb 5 decimals exactes per
R 1
0
(a) La regla dels trapezis.
(b) La regla de Simpson.
Calculeu aquesta aproximació per qualsevol d’aquests dos mètodes i
compareu-la amb el valor real.
7. Aplicant la regla de Barrow, comproveu que
Z √ 3
1
dx π
=
1+x2 12

68 Cap. 3 Integració numèrica
(a) Quants intervals caldria usar per a aproximar la integral anterior
pel mètode de Simpson compost amb un error menor que 1
2 10−4 ?
(b) Usant els dos apartats anteriors, calculeu els quatre primers decimals
del nombre π.
8. (a) Prenent h = xi+1 − xi−1 i fent servir interpolació només en l’abscissa
mitjana, deduïu la fórmula del rectangle sobre l’interval [xi−1,xi+1]
Z xi+1
xi−1
f(x)dx ' hf(xi)
(b) Dividint l’interval [a, b] en 2n subintervals iguals, trobeu la fórmula composta
del rectangle, (aplicada sobre n intervals).
(c) Sabent que el terme de l’error en la fórmula composta és h3
24n2 f (2) (ξ),
calculeu n per tal d’aproximar R 1
0 x2dx ambunerrormenorque 1
210−4 .
Compareu l’aproximació obtinguda amb el valor real.
9. Volem calcular l’àrea limitada per la funció f(x) =1+arctg(x) ielseixos
de coordenades amb una precisió de 1 2 10−3 .
(a) Quants intervals caldria fer si utilitzéssim el mètode del trapezi
compost?
(b) I si utilitzéssim la regla de Simpson ?
(c) Aproximeu el valor de l’àrea per un qualsevol dels mètodes anteriors.
(d) Calculeu el valor exacte i compareu-lo amb l’aproximació obtinguda
a l’apartat anterior.
10. Volem aproximar amb dos decimals exactes el valor de la integral
I =
Z e
1
x ln(x) dx

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 69
(a) Calculeu el nombre d’intervals necessaris per obtenir aquesta precisió
si apliquem:
i. la regla del trapezi composta
ii. la regla de simpson composta.
(b) Calculeu el valor de l’aproximació que resulta d’aplicar el millor
dels dos mètodes amb el nombre d’intervals obtinguts a l’apartat
(a).
(c) Calculeu el valor de la integral exacte i l’error absolut. Són raonables
aquests resultats?
11. Calculeu en quants subintervals cal dividir l’interval [0, 1] per trobar una
aproximació de la integral
Z 1
I = (x +1) 2 ln(x +1)dx
0
amb quatre decimals exactes pel mètode de Simpson compost. Trobeu
aquesta aproximació.
12. Volem aproximar amb un decimal exacte, la integral
Z π
I = x cos(x) dx
0
(a) En quants intervals haurem de dividir l’interval [0, π], si volem
usar trapezi compost?
(b) En quants intervals haurem de dividir l’interval [0, π], si volem
usar simpson compost?
(c) Aproximeu el valor de la integral amb la precisió que es demana
i usant el mètode més adient dels dos anteriors.
(d) Calculeu la integral exacte i compareu-la amb el resultat de l’apartat
anterior.
13. Quin grau de precisió té la següent fórmula de quadratura:
Z 3
f(x) dx ≈ 1
1
f(0) + 2f(1.5) +
2 2 f(3)
0
14. Els resultats d’integrar la recta y = x +1 de0a2id’aplicarlaregla
del trapezi per a aproximar R 2
0 (x2 − x +1)dx són exactament iguals. Per
què? (Ind.: feu una representació gràfica).
15. Donada la integral R 1
0 xe−x dx

70 Cap. 3 Integració numèrica
(a) Calculeu el seu valor exacte.
(b) Calculeu el nombre d’interval necessaris per obtenir una aproximació
amb 3 decimals exactes a partir de la fórmula de Simpson
composta.
(c) Trobeu l’aproximació anterior.
16. Determineu A0, A1, A2perquè la següents fórmula de quadratura tingui
grau de precisió 2.
Z 1
f(x) dx = A0f(0) + A1f(0.5) + A2f(1)
Quina fórmula heu obtingut?
0
17. Calculeu el nombre d’intervals necessaris per a obtenir una aproximació
amb 2 decimals exactes segons el mètode de trapezi compost per la integral
R 1
0 x2 e x dx. Quant val h?
18. Trobeu els valors de a, b, c per tal que la fórmula de quadratura
Z 2
f(x)dx = af(0) + bf(1) + cf(2)
−2
sigui exacta per a polinomis de grau no superior a 2.

Capítol 4
Equacions diferencials
ordinàries de 1er. ordre.
4.1 Resum teòric i exemples.
4.1.1 Definicions bàsiques
Tipus d’equacions diferencials
Una equació diferencial és una equació que conté una funció i les seves
derivades. Si la funció depèn d’una única variable independent x es diu que
és ordinària (edo), en contrast amb les equacions diferencials de funcions de
vàries variables, les quals contenen derivades parcials i s’anomenen equacions
en derivades parcials ( edp). L’ordre d’una equació diferencial ordinària és
el màxim ordre de derivada que intervé en l’equació.
Exemple 4.1 Per a les equacions diferencials següents, identifiqueu el tipus
i l’ordre.
(a) y 00 − 5y 0 +sinx =0 (b) y 0 = x 2
(c) y000 − y00 · sin x + y0 · cos x + y = ex (d) ∂2f ∂f
+
∂x2 ∂y
= xy
Les equacions (a), (b) i (c) són equacions diferencials ordinàries ja que la
funció y depèn només de la variable x. L’ordre de l’equació (a) és 2, de
l’equació (b) és 1 i de la (c) és 3. L’equació (d) és una equació en derivades
parcials, la funció incògnita f depèn de les variables x i y.
71

72 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
Solucions
S’anomena solució o integral d’una edo a qualsevol família de funcions de la
forma y = ϕ(x) que satisfaci l’equació. Normalment aquesta solució depèn
d’una o més constants i es diu solució general de l’equació. Quan fixem
certs valors de la funció solució - condicions inicials - queden determinats
els valors de les constants obtenint una solució particular.
Exemple 4.2 Verifiqueu que l’equació y 0 = −y + x +1 té com a solució
general la funció y(x) =x + Ke −x . Determineu una solució particular que
verifiqui y(1) = 3.
Calculem la derivada de la funció i substituint la funció i la seva derivada a
l’equació, obtenim:
y 0 (x) =1− Ke −x
1 − Ke −x = −x − Ke −x + x +1=1− Ke −x .
Ja que y(x) compleix l’equació, y(x) és solució.
Si fixem que y(1) = 3, resulta la relació
1+Ke −1 =3
d’on s’obté
K =2e
La solució particular que verifica la condició indicada és
Problema de Cauchy
y(x) =x +2e 1−x
El problema de Cauchy o de valors inicials consisteix en determinar una
solució particular y(x) definida sobre l’interval [a, b] a partir de la condició
y(a) =y0. Ésadir:
½ y 0 (x) =f(x, y(x))
y(a) =y0
on x ∈ [a, b], y(x),y0 ∈ R i f :[a, b] × R −→ R és una funció ”prou
regular”per assegurar l’existència i unicitat de la solució.
Exemple 4.3 Determineu la solució del problema de valor inicial definit
per: ½ y 0 = −y + x +1
y(0) = 1

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 73
Hemvistal’Exemple2quelasoluciógeneralésy(x) =x+Ke −x . Imposant
la condició y(0) = 1 i procedint de forma similar a l’exemple anterior s’obté
y(x) =x + e −x
4.1.2 Resolució numèrica d’equacions diferencials de 1er. ordre
En els llibres adequats podem trobar tot un seguit de tècniques per a la
resolució exacta de diferents tipus d’equacions diferencials: equacions lineals,
de variables separables, homogènies, exactes, etc. De forma anàloga a com
passa en el cas del problema d’integració, la resolució exacta pot ser inviable
per diferents motius, i haurem d’intentar determinar una solució numèrica
aproximada. En aquest capítol ens referirem a la resolució numèrica del
problema de Cauchy
½
y0 (x) =f(x, y(x))
a ≤ x ≤ b
y(a) =y0
Inicialment dividim l’interval [a, b] mitjançant N +1 punts equidistants que
anomenarem punts de la xarxa.
b − a
xi = a + ih on h = , i =0, 1,...,N
N
L’objectiu de la resolució numèrica és cercar, aproximadament, els valors de
la funció solució en els punts de la xarxa. Representarem per y(xi) el valor
exacte de la funció solució en el punt xi, iperωiel valor aproximat donat
pelmètodenumèric,ésadir
y(xi) ' ωi
El valor inicial ω0 ve donat per la condició inicial, és a dir, ω0 = y(x0) =
y(a) =y0. Com podrem veure en els apartats següents, els diferents mètodes
numèrics ens permeten calcular de forma recurrent les aproximacions
restants ω1, ω2,...,ωN. La diferència ei = |y(xi) − ωi| s’anomena error de
truncament al pas i-èsim.
Exemple 4.4 Donat el següent problema de valor inicial, sobre l’interval
[0, 1]
½
y0 = −y + x +1
y(0) = 1
determineu la solució aproximada que resulta d’aplicar la relació de recurrència
ωi+1 =0.9 ωi +0.1 xi +0.1
emprant una xarxa d’11 punts. Calculeu els errors de truncament.

74 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
En primer lloc, determinem els punts de la xarxa. Per això, calculem el pas
h sabent que N =10.
1 − 0
h =
10 =0.1
Per tant, els punts de la xarxa seran:
xi =0+ih =0+i0.1 =0.1i
Calculem ara el valor aproximat a partir de la fórmula recurrent:
ω0 = y(x0) =y(0) = 1
ω1 = 0.9ω0 +0.1x0 +0.1 =0.9 · 1+0.1 · 0+0.1 =1
ω2 = 0.9ω1 +0.1x1 +0.1 =0.9 · 1+0.1 · 0.1+0.1 =1.01
ω3 = 0.9ω2 +0.1x2 +0.1 =0.9 · 1.01 + 0.1 · 0.2+0.1 =1.029
...
ω10 = 0.9ω9 +0.1x9 +0.1 =0.9 · 1.2874205 + 0.1 · 0.9+0.1 =1.3486784
Per calcular els errors de truncament en cada pas, hem de calcular el valor
de la funció solució en cada punt de la xarxa i fer-ne la diferència. La funció
solució exacta l’hem calculada en l’Exemple 3 i és
y(x) =x + e −x
En general, aquests resultats s’escriuen en una taula com la següent:
i xi ωi y(xi) ei = |y(xi) − ωi|
0 0 1 1 0
1 0.1 1.0 1.0048374 0.0048374
2 0.2 1.01 1.0187308 0.0087308
3 0.3 1.029 1.0408182 0.0118182
4 0.4 1.0561 1.0703201 0.0142201
5 0.5 1.09049 1.1065307 0.0160407
6 0.6 1.131441 1.1488116 0.0173706
7 0.7 1.1782969 1.1965853 0.0182884
8 0.8 1.2304672 1.2493290 0.0188618
9 0.9 1.2874205 1.3065697 0.0191492
10 1 1.3486785 1.3678794 0.0192009
Amb això, veiem que obtenim uns valors aproximats de la funció solució, en
uns punts determinats, però no tenim la funció solució. Com hem vist en
el capítol d’interpolació, podem trobar el polinomi interpolador d’aquests
N +1punts, que serà la solució aproximada de l’equació. En aquest cas, el
polinomi interpolador és:
p(x) = −0.0014x 10 +0.0065x 9 − 0.0130x 8 +0.0143x 7 − 0.0082x 6
−0.0064x 5 +0.0501x 4 − 0.1947x 3 +0.5550x 2 − 0.0536x +1

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 75
Gràficament, podem observar que l’error que cometem a l’agafar p(x) com
a solució de l’equació diferencial és petit. Dibuixem la funció solució y(x) =
x + e −x i alguns punts del polinomi perquè es vegi millor l’error comès.
1.35
1.3
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0
0.2
4.1.3 Mètodes de Taylor.
0.4
x
Aquests mètodes es basen en aproximar la funció y(x) en l’interval [xi,xi+1]
amb i =0, 1,...,N−1 pel desenvolupament de Taylor fins a ordre k al voltant
d’xi.
Mètode d’Euler.
Es tracta d’aproximar la solució pel desenvolupament de Taylor d’ordre 1.
Geomètricament, correspon a aproximar la solució per la recta tangent.
L’algorisme del mètode d’Euler ve donat per:
ω0 = y(a)
ωi+1 = ωi + hf(xi, ωi), i =0÷ N − 1
Exemple 4.5 Resoleu pel mètode d’Euler amb N=10, el problema de valors
inicials ½
y0 = −y + x +1
y(0) = 1
0 ≤ x ≤ 1
En primer lloc, busquem els punts de la xarxa
0.6
0.8
h =
1 − 0
10 =0.1
xi = 0+ih =0.1i
1

76 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
Després, identifiquem la funció f(x, y) aïllant y 0 :
f(x, y) =−y + x +1
i busquem la relació de recurrència que ha de complir el mètode d’Euler
substituint h i f(x, y) pels seus valors corresponents:
ωi+1 = ωi + h(−ωi + xi +1)=ωi − 0.1ωi +0.1xi +0.1 =0.9ωi +0.1xi +0.1
Per últim, es tracta de calcular el valor aproximat de la funció solució en els
punts de la xarxa com hem fet en l’Exemple 4.
Ens adonem que la fórmula de recurrència que hem trobat és la mateixa que
la que teníem en l’exemple anterior, per tant, la solució aproximada és
xi
Mètode de Taylor d’ordre 2.
ωi
0 1
0.1 1.0
0.2 1.01
0.3 1.029
0.4 1.0561
0.5 1.09049
0.6 1.131441
0.7 1.1782969
0.8 1.2304672
0.9 1.2874205
1 1.3486785
En aquest cas, s’aproxima la solució a partir del desenvolupament fins a ordre
2. Geomètricament, equival a considerar aproximacions per paràboles.
L’algorisme del mètode de Taylor d’ordre 2 ve donat per:
ω0 = y(a)
ωi+1 = ωi + hf(xi, ωi) + h2
i =0÷ N − 1
2
µ
∂f
∂x (xi, ωi)+ ∂f
∂y (xi,
ωi)f(xi, ωi) ,
Per a ordres més grans, el càlcul de les derivades es complica força i no són
recomanables.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 77
Exemple 4.6 Resoleu pel mètode de Taylor d’ordre 2 amb N=10, el problema
de valors inicials
½
y0 = −y + x +1
0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 1
i calculeu els errors de truncament a cada pas.
Com en el cas anterior, determinem els punts de la xarxa i identifiquem la
funció f(x, y) aïllant y 0 .
h =
1 − 0
10 =0.1
xi = ih =0.1i
f(x, y) = −y + x +1
Per buscar la relació de recurrència que es compleix en aquest cas, abans
hem de fer els càlculs de les derivades parcials que apareixen en l’algorisme.
∂f
(x, y) =1
∂x
Substituint a la fórmula s’obté:
ωi+1 = ωi +0.1(−ωi + xi +1)+ (0.1)2
∂f
(x, y) =−1
∂y
(1 − 1(−ωi + xi +1))=
2
= ωi − 0.1ωi +0.1xi +0.1+0.005 + 0.005ωi − 0.005xi − 0.005 =
= 0.905ωi +0.095xi +0.1.
Un cop trobada la fórmula recurrent es tracta de calcular els valors aproximats
de la funció solució. En aquest cas, com que coneixem la solució exacta
buscarem també els errors de truncament a cada pas.
i xi ωi y(xi) ei
0 0 1 1 0
1 0.1 1.005 1.0048374 0.0001626
2 0.2 1.019025 1.0187308 0.0002942
3 0.3 1.0412176 1.0408182 0.0003994
4 0.4 1.0708019 1.0703201 0.0004818
5 0.5 1.1070757 1.1065307 0.0005450
6 0.6 1.1494035 1.1488116 0.0005919
7 0.7 1.1972102 1.1965853 0.0006249
8 0.8 1.2499753 1.249329 0.0006462
9 0.9 1.3072276 1.3065697 0.0006579
10 1 1.3685410 1.3678794 0.0006616
Ens adonem que aquest mètode dóna menys error que el mètode d’Euler.

78 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
4.1.4 Mètodes de Runge-Kutta.
Els mètodes de Runge-Kutta venen definits per algorismes de la forma
⎧
⎪⎨
ω0 = y(a)
kX
⎪⎩ ωi+1 = ωi + h cj · ki j i =0÷ N − 1
j=1
on k ∈ N prefixat, cj constants i k i j
rent ⎧ ⎪⎨
⎪⎩
k i 1 = f (xi, ωi)
k i j = f (xi + ajh, ωi + h
funcions definides per la fórmula recur-
j−1
X
m=1
amb aj, bjm constants a determinar.
En destacarem dos mètodes:
Mètode de Runge-Kutta d’ordre 2 (RK-2).
bjm · k i m) j =2÷ k
En aquest cas, d’algorismes n’hi ha infinits ja que el sistema d’equacions que
s’obté a l’imposar que el mètode tingui ordre 2 és indeterminat.
Per a2 = b21 =1i c1 = c2 =0.5, l’algorisme és:
ω0 = y(a)
ωi+1 = ωi + h 2 (f (xi, ωi)+f (xi + h, ωi + hf (xi, ωi))) i =0÷ N − 1
que coincideix amb el què es coneix com mètode d’Euler modificat.
Exemple 4.7 Resoleu pel mètode de Runge-Kutta d’ordre 2 amb N=10, el
problema de valors inicials
½
y0 = −y + x +1
0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 1
i calculeu els errors de truncament a cada pas.
Com en el cas anterior, determinem els punts de la xarxa i identifiquem la
funció f(x, y) aïllant y 0 .
h =
1 − 0
10 =0.1
xi = ih =0.1i
f(x, y) = −y + x +1

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 79
Per buscar la relació de recurrència que es compleix en aquest cas substituim
a la fórmula cada expressió
ωi+1 = ωi + h
2 (f (xi, ωi)+f (xi + h, ωi + hf (xi, ωi))) =
= ωi + 0.1
2 ((−ωi + xi +1)+f (xi +0.1, ωi +0.1(−ωi + xi +1)))=
= ωi + 0.1
2 ((−ωi + xi +1)− (ωi +0.1(−ωi + xi +1))+(xi +0.1) + 1) =
= ωi + 0.1
2 (−1.9ωi +1.9xi +2)=
= ωi − 0.095ωi +0.095xi +0.1 =
= 0.905ωi +0.095xi +0.1.
Trobada la fórmula recurrent es tracta de calcular els valors aproximats de
la funció solució. Ens adonem que obtenim la mateixa fórmula recurrent que
en l’exemple del mètode de Taylor d’ordre 2 i, per tant, la taula de resultats
coincideix.
Mètode de Runge-Kutta d’ordre 4 (RK-4).
L’algorisme del mètode RK-4 és:
ω0 = y(a)
ωi+1 = ωi + h
on
⎧
⎪⎨
⎪⎩
6
¡
ki 1 +2ki 2 +2ki 3 + ki ¢
4
ki 1 = f (xi, ωi)
ki 2 = f ¡ xi + h
2 , ωi + h
2 ki 1
ki 3 = f ¡ xi + h
2 , ωi + h
2 ki 2
ki 4 = f ¡ xi + h, ωi + hki 3
¢
¢
¢
i =0÷ N − 1
Exemple 4.8 Resoleu pel mètode de Runge-Kutta d’ordre 4 amb N=10, el
problema de valors inicials
½
y0 = −y + x +1
0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 1
i calculeu els errors de truncament a cada pas.
Determinem els punts de la xarxa i la funció f(x, y), que són igual que en els
exemples anteriors. Per calcular la fórmula de recurrència hem de començar
determinant els valors de k i j .
k i 1 = −ωi + xi +1

80 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
k i 2 = f (xi +0.05, ωi +0.05 (−ωi + xi +1))=
= −0.95ωi +0.95xi +1
k i 3 = f (xi +0.05, ωi +0.05 (−0.95ωi +0.95xi +1))=
= −0.9525ωi +0.9525xi +1
k i 4 = f (xi +0.05, ωi +0.05 (−0.9525ωi +0.9525xi +1))=
= −0.90475ωi +0.90475xi +1
Substituim els valors en la recurrència i obtenim:
ωi+1 =0.9048375ωi +0.0951625xi +0.1
Seguint el mateix procediment que en els exemples anteriors, la taula amb
elsvalorsaproximatsdelafunciósolució i amb l’error de truncament a cada
pas és:
i xi ωi y(xi) ei
0 0 1 1 0
1 0.1 1.0048375 1.0048374 0.0000001
2 0.2 1.0187309 1.0187308 0.0000001
3 0.3 1.0408184 1.0408182 0.0000002
4 0.4 1.0703203 1.0703201 0.0000002
5 0.5 1.1065309 1.1065307 0.0000002
6 0.6 1.1488120 1.1488116 0.0000004
7 0.7 1.1965857 1.1965853 0.0000004
8 0.8 1.2493294 1.2493290 0.0000004
9 0.9 1.3065701 1.3065697 0.0000004
10 1 1.3678799 1.3678794 0.0000005
4.2 Problemes resolts.
Problema 4.1 Trobeu l’algorisme del mètode d’Euler a partir d’una aproximació
de l’àrea que queda per sota de la funció f(x, y) en l’interval [a, b],
considerant la suma de les àrees per l’esquerra en cada subinterval.
Considerem el problema de valors inicials
i els punts de la xarxa
y 0 = f(x, y), y(a) =yo amb a ≤ x ≤ b
xi = a + ih on h =
b − a
N

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 81
Aplicant el teorema fonamental del càlcul i la regla de Barrow al primer
membre de la igualtat obtenim:
Z xi+1
xi
f(x, y) dx =
Z xi+1
xi
y 0 (x) dx = y(xi+1) − y(xi)
Considerant l’àrea dels rectangles d’altura la part esquerra de la funció en
l’interval i base h, per cada subinterval obtenim:
(xi+1 − xi) · f (xi,yi) =h · f (xi,yi)
Igualant els dos membres de l’equació tenim:
y(xi+1) − y(xi) = h · f (xi,yi)
y(xi+1) = y(xi)+h · f (xi,yi)
i al considerar les successives aproximacions del valor exacte s’obté la fórmula
del mètode d’Euler
ωi+1 = ωi + h · f (xi, ωi)
Problema 4.2 Useu el mètode d’Euler per aproximar la solució del problema
de valor inicial:
amb h =0.25.
⎧
⎨
⎩
y 0 = −xy + 4x
y
y(0) = 1
0 ≤ x ≤ 1
Calculeu l’error de truncament a cada pas sabent que y 2 (x) =4+Ce −x2
solució general de l’equació.
és

82 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
En primer lloc, busquem els punts de la xarxa (en aquest cas, ja ens donen
el pas).
xi =0+i 0.25 = 0.25 i
Després, identifiquem la funció f (x, y) aïllant y 0 .
f(x, y) =−xy + 4x
y
i busquem la relació de recurrència que ha de complir el mètode.
ωi+1 =
µ
ωi + h −xiωi + 4xi
=
ωi
ω2i − hxiω2 i +4hxi
=
ωi
= ω2i − 0.25 · 0.25 i ω2i +4· 0.25 · 0.25 i
=
= ω2i − 0.0625 i ω2i ωi
= ω2 i
ωi
+0.25 i
=
(1 − 0.0625 i)+0.25 i
ωi
Per últim, calculem els iterats -valors successius- a partir de la fórmula de
recurrència:
ω0 = 1
ω1 = ω2 0
ω2 = ω2 1
ω3 = ω2 2
ω4 = ω2 3
(1 − 0.0625 · 0) + 0.25 · 0
=1
ω0
(1 − 0.0625 · 1) + 0.25 · 1
=1.1875
ω1
(1 − 0.0625 · 2) + 0.25 · 2
=1.4601151
ω2
(1 − 0.0625 · 3) + 0.25 · 3
=1.7000017
ω3
Per trobar la funció solució aproximada podem calcular el polinomi interpolador
que passa per aquests punts.
p(x) =−0.16489281x 4 − 0.84476639x 3 +2.2057154x 2 − 0.4960540x +1
La solució general de l’equació diferencial és:
y 2 (x) =4+e −x2
C1
i imposant la condició inicial obtenim:
1 = 4+C1
C1 = −3

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 83
Per tant, la solució exacta és:
y 2 (x) =4− 3e −x2
.
En el gràfic següent podem observar la diferència entre la solució exacta (la
gràfica superior) i la solució aproximada (gràfica inferior).
A part, construïm la taula de valors per veure quin és l’error de truncament
acadapas.
i xi ωi y(xi) ei
0 0 1 1 0
1 0.25 1 1.0870882 0.0870882
2 0.5 1.1875 1.2898053 0.1023053
3 0.75 1.4601151 1.5134898 0.0533747
4 1 1.7000017 1.7018701 0.0018684
Problema 4.3 Useu el mètode d’Euler per aproximar la solució del problema
de valor inicial:
en 6 punts.
½
y0 + y =0
y(0) = 1
0 ≤ x ≤ 1
Aquesta equació diferencial és lineal homogènia i la seva solució general es
troba seguint els passos següents:
- reescrivim l’equació aïllant y0 :
y 0 = −y
- agrupem les variables a cada banda de la igualtat i integrem:
y0 y
Z
y0 dy
y
=
=
−1
Z
−1 dx
ln y = −x + C

84 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
- aïllem la funció solució i trobem:
y = Ke −x
- la solució particular s’obté imposant la condició inicial i determinant K:
1 = Ke −0 = K
y(x) = e −x .
Apliquem el mètode d’Euler en 6 punts que trobarem per N =5. Per tant,
busquem el pas, h, els punts de la xarxa, xi i la funció f(x, y) aïllant la
derivada de l’equació.
h =
1 − 0
5 =0.2
xi = 0+i · 0.2 =0.2i f(x, y) = −y
Busquem ara la relació de recurrència que s’ha de complir:
ωi+1 = ωi + hf(xi, ωi) =ωi +0.2(−ωi) =0.8ωi
En aquest cas, veiem que no hi intervenen els punts de la xarxa. Ara només
queda calcular els iterats corresponents.
x0 =0 ω0 =1
x1 =0.2 ω1 =0.8ω0 =0.8
x2 =0.4 ω2 =0.8ω1 =0.64
x3 =0.6 ω3 =0.8ω2 =0.512
x4 =0.8 ω4 =0.8ω3 =0.4096
x5 =1 ω5 =0.8ω4 =0.32768
La solució aproximada la trobem calculant el polinomi interpolador en els
punts (xi, ωi) que és:
p(x) =−0.0083x 5 +0.0583x 4 − 0.2283x 3 +0.6217x 2 − 1.1156x +1
Gràficament veiem l’error que cometem: la funció inferior és la solució exacta
i la que queda per sobre és el polinomi interpolador en els punts trobats

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 85
numèricament.
Problema 4.4 Utilitzeu el mètode RK-2 per aproximar la solució del problema
de valor inicial:
½
y0 + y =0
0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 1
en 6 punts i calculeu l’error de truncament a cada pas.
En aquest cas, pel problema anterior tenim els valors de:
h = 0.2
xi = 0.2i f(x, y) = −y
i, per tant, només ens cal buscar la relació de recurrència per aplicar el
mètode RK-2.
ωi+1 = ωi + h
2 (f (xi, ωi)+f (xi + h, ωi + hf(xi, ωi))) =
= ωi + h
2 (−ωi +(−ωi − h(−ωi))) =
= ωi +0.1(−2ωi +0.2ωi) =0.82 ωi
Calculem, doncs, els iterats corresponents i l’error de truncament a cada
pas.
xi ωi y(xi) =e −xi ei
0 1 1 0
0.2 0.82 0.8187307531 0.0012692469
0.4 0.6724 0.6703200460 0.0020799540
0.6 0.551368 0.5488116361 0.0025563639
0.8 0.45212176 0.4493289641 0.0027927959
1 0.3707398432 0.3678794412 0.0028604020

86 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
Problema 4.5 Donat el problema de valor inicial
½ xy 0 =2y + x 3 e x
y(1) = 0
1 ≤ x ≤ 2
(a) Comproveu que la funció y(x) =x 2 (e x +K) és solució de l’equació
diferencial i trobeu la solució particular que compleixi la condició
inicial.
(b) Feu servir el mètode RK-4 amb h =0.2 per aproximar la solució
i compareu-la amb els valors reals de y(x) calculant l’error de
truncament a cada pas.
(c) Useu els valors obtinguts en l’apartat anterior i interpolació lineal
per trobar el valor aproximat de y(1.5) i y(1.95). Compareu-los
amb el valor exacte de la solució.
a) Per comprovar que y(x) =x 2 (e x + K) és solució de l’equació hem de
substituir la funció i la seva derivada en l’equació i veure que es compleix la
igualtat.
Derivem la funció
y 0 =2x (e x + K)+x 2 e x
i substituim a cada membre de la igualtat:
xy 0 = x(2x(e x + K)+x 2 e x )=2x 2 e x +2Kx 2 + x 3 e x
2y + x 3 e x = 2(x 2 (e x + K)) + x 3 e x =2x 2 e x +2x 2 K + x 3 e x
Com podem veure, els dos resultats coincideixen i, per tant, y(x) =x 2 (e x +
K) és solució.
Per trobar la solució particular busquem el valor que ha de prendre K imposant
la condició inicial.
0 = y(1) = 1 2 (e 1 + K) =e + K
K = −e
Per tant, la solució particular és:
y(x) =x 2 (e x − e)
b) Identifiquem els punts de la xarxa i la funció f(x, y).
xi = 1+i · h =1+0.2 i
f(x, y) = 2y
x + x2 e x

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 87
Apliquem el mètode RK-4 i, per tant, hem de calcular en cada pas els valors
de ki j i la fórmula de recurrència.
ωi+1 = ωi + h ¡ i
k1 +2k
6
i 2 +2k i 3 + k i ¢
4 i =0÷ N − 1
ki 1 = f (xi, ωi)
ki 2 = f ¡ xi + h
2 , ωi + h
2 ki ¢
1
ki 3 = f ¡ xi + h
2 , ωi + h
2 ki ¢
2
ki 4 = f ¡ xi + h, ωi + hki ¢
3
Les fórmules de recurrència es compliquen força degut a la forma de la funció
inicial, per això farem els càlculs numèricament per a cada pas aplicant la
definició. Els valors per a cada pas són:
xi k i j ωi y(xi) ei
1 0 0 0
1.2
1.4
1.6
1.8
2
k0 1 =2.718281828
k0 2 =4.129273949
k0 3 =4.385817971
k0 4 =6.242907693
k1 1 =6.224933556
k1 2 =8.491684397
k1 3 =8.840415295
k1 4 =11.71170932
k2 1 =11.69067839
k2 2 =15.13554489
k2 3 =15.59486042
k2 4 =19.85315377
k3 1 =19.82963211
k3 2 =24.88189442
k3 3 =25.47627822
k3 4 =31.61769215
k4 1 =31.59198845
k4 2 =38.82156994
k4 3 =39.58257851
k4 4 =48.2647577
0.8663791122 0.8666425368 0.0002634246
2.619740521 2.620359552 0.000619031
5.719895282 5.720961526 0.001066244
10.7920176 10.79362466 0.00160706
18.68085237 18.68309708 0.00224471
c) Per trobar el valor aproximat de y(1.5) calculem el polinomi interpolador
que passa pels punts (1.4, 2.619740521) i (1.6, 5.719895282) i busquem la
imatge del punt 1.5 per aquest polinomi.
El polinomi interpolador de grau 1 que passa per aquests punts és:
p(x) =15.50077381 x − 19.08134281

88 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
i el valor aproximat de la funció solució en el punt 1.5 és:
p(1.5) = 4.16981791
El valor exacte de la funció solució en aquest punt és:
Per tant, l’error comès serà:
Fem el mateix pel punt 1.95.
y(1.5) = (1.5) 2 (e 1.5 − e) =3.967616295
| y(1.5) − p(1.5) | =0.202151615
El polinomi interpolador de grau 1 que passa pels punts (1.8, 10.7920176)
i (2, 18.68085237) és:
El valor aproximat de la funció és:
mentre que el valor exacte és:
i, per tant, l’error comès és:
q(x) =39.44417385 x − 60.200749533
q(1.95) = 16.70864368
y(1.95) = (1.95) 2 (e 1.95 − e) =16.39031788
| y(1.95) − q(1.95) | =0.31832580
Problema 4.6 Trobeu l’algorisme del mètode d’Euler modificat a partir
d’una aproximació de l’àrea que queda per sota de la funció f(x, y) en l’interval
[a, b], considerant la solució pel mètode del trapezi en cada subinterval.
Considerem el problema de valors inicials
i els punts de la xarxa
y 0 = f(x, y), y(a) =yo amb a ≤ x ≤ b
b − a
xi = a + ih on h =
N
Aplicant el teorema fonamental del càlcul i la regla de Barrow al primer
membre de la igualtat obtenim:
Z xi+1
xi
f(x, y) dx =
Z xi+1
xi
y 0 (x) dx = y(xi+1) − y(xi)

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 89
Aplicant el mètode del trapezi a cada subinterval [xi,xi+1] obtenim:
i tenint en compte que
(xi+1 − xi) ·
f (xi,yi)+f(xi+1,yi+1)
2
xi+1 = xi + h
yi = ωi valor aproximat
yi+1 = ωi + hf(xi, ωi) aproximació trobada pel mètode d’Euler
trobem:
ωi+1 − ωi = xi+1 − xi
2
( f(xi, ωi)+f (xi + h, ωi + hf(xi, ωi))
ωi+1 = ωi + h
2 ( f(xi, ωi)+f (xi + h, ωi + hf(xi, ωi))
Problema 4.7 Donat el problema de valor inicial
½
y0 +2xy = e−x2 0 ≤ x ≤ 2
y(0) = 1
(a) Comproveu que y(x) =e−x2(x + K) és solució de l’equació diferencial
i trobeu la solució particular que compleixi la condició
inicial.
(b) Usant el mètode de Taylor d’ordre 2, trobeu els valors aproximats
de la funció solució en 9 punts i calculeu-ne l’error de truncament
a cada pas.
(c) Feu el mateix pel mètode RK-4.
a) Per comprovar que y(x) =e−x2(x + K) és solució de l’equació hem de
substituir la funció i la seva derivada en l’equació i veure que es compleix la
igualtat.
Derivem la funció
y 0 = −2xe −x2
(x + K)+e −x2
i substituim a cada membre de la igualtat:
y 0 +2xy = −2xe −x2
(x + K)+e −x2
+2xe −x2
(x + K) =e −x2
Com podem veure, la igualtat es compleix i, per tant, y(x) =e −x2
(x + K)
és solució.

90 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
Per trobar la solució particular busquem el valor que ha de prendre K imposant
la condició inicial.
Per tant, la solució particular és:
1 = y(0) = e 0 (0 + K) =K
K = 1
y(x) =e −x2
(x +1)
b) Primerament identifiquem el pas, els punts de la xarxa i la funció f(x, y).
h =
2 − 0
8 =0.25
xi = 0+ ih=0.25 i
f(x, y) = e −x2
− 2xy
Per aplicar el mètode de Taylor d’ordre 2 hem de calcular les derivades
parcials de la funció f
∂f
(x, y) =−2xe−x2 − 2y
∂x
i substituir-les a la fórmula de recurrència
ωi+1 = ωi +0.25( e −x2 i − 2xiωi)+ (0.25)2
2
∂f
(x, y) =−2x
∂y
= ωi +0.25e −x2 i − 0.5xiωi − 0.0625xie −x2 i − 0.0625ωi
−0.0625xie −x2 i +0.125x 2 i ωi
= ωi(0.9375 − 0.5xi +0.125x 2 i )+0.25e −x2 i (1 − 0.5xi)
(−2xie −x2 i − 2ωi − 2xi(e −x2 i − 2xiωi))
Aplicant aquesta fórmula recurrent obtenim els següents valors:
xi ωi y(xi) ei
0 1 1 0
0.25 1.1875 1.174266329 0.013233671
0.5 1.179617702 1.168201175 0.011416527
0.75 0.9938753699 0.9971199432 0.0032445733
1 0.7179653238 0.7357588824 0.0177935586
1.25 0.4498404246 0.4716256212 0.0217851966
1.5 0.2480856581 0.2634980615 0.0154124034
1.75 0.1228776037 0.1286192115 0.0057416078
2 0.05618051484 0.05494691667 0.00123359817
c) Aplicant el mètode de RK-4 obtenim els següents valors per a cada punt:
x0 =0 ω0 =1
y(x0) =1
e0 =0

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 91
x1 =0.25 k 0 1 =1 ω1 =1.174245038
k 0 2 =0.7032464370 y(x1) =1.174266329
k 0 3 =0.7125199858 e1 =0.000021291
k 0 4 =0.3503480642
x2 =0.5 k1 1 =0.3522905438 ω2 =1.168147115
k1 2 = −0.0448959607 y(x2) =1.168201175
k1 3 = −0.0076597259 e2 =0.000054060
k1 4 = −0.3935293239
x3 =0.75 k2 1 = −0.3893463319 ω3 =0.9970229233
k2 2 = −0.7227146838 y(x3) =0.9971199432
k2 3 = −0.6706258788 e3 =0.0000970199
k2 4 = −0.9309531433
x4 =1 k3 1 = −0.9257515603 ω4 =0.7356668011
k3 2 = −1.077238774 y(x4) =0.7357588824
k3 3 = −1.044100946 e4 =0.0000920813
k3 4 = −1.104115933
x5 =1.25 k4 1 = −1.103454161 ω5 =0.4716749832
k4 2 = −1.062840868 y(x5) =0.4716256212
k4 3 = −1.074263356 e5 =0.0000493620
k4 4 = −0.9581410178
x6 =1.5 k5 1 = −0.9695760708 ω6 =0.2638303625
k5 2 = −0.8128370109 y(x6) =0.2634980615
k5 3 = −0.8667160625 e6 =0.0003323010
k5 4 = −0.6595886782
x7 =1.75 k6 1 = −0.6860918630 ω7 =0.1292453866
k6 2 = −0.5074071761 y(x7) =0.1286192115
k6 3 = −0.5799978301 e7 =0.0006261751
k6 4 = −0.3691375452
x8 =2 k7 1 = −0.4055882308 ω8 =0.05571609309
k7 2 = −0.2648215002 y(x8) =0.05494691667
k7 3 = −0.3308059052 e8 =0.00076917642
k7 4 = −0.1678600023

92 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
4.3 Problemes resolts amb Maple.
Resolució exacta d’una equació diferencial.
L’ordre dsolve del Maple V permet resoldre equacions diferencials de manera
exacta. La seva sintaxi és:
dsolve ( {equació, cond. inicial}, variable);
En aquest apartat, veurem les diferents opcions a partir d’exercicis.
Problema 4.8 Resoleu l’equació diferencial
y 0 =
³
y
´ 2
+
x
y
x
Volem resoldre l’equació anterior respecte de la variable y(x). Escrivim la
corresponent ordre de Maple i obtenim la solució.
> dsolve ( diff(y(x),x)=(y/x)ˆ2 + y/x, y(x));
1 1
= (− ln x + C1)
y (x) x
Problema 4.9 Resoleu l’equació diferencial anterior amb la condició inicial
y(1) = 1.
En aquest cas, hem d’afegir la condició inicial a l’equació escrivint
> dsolve ( {diff(y(x),x)=(y/x)ˆ2 + y/x, y(1) = 1}, y(x));
y(x) =
−x
ln(x) − 1
Resolució numèrica d’una equació diferencial amb dsolve.
La mateixa ordre dsolve, afegint unes opcions, ens permet trobar els punts
solució de manera numèrica utilitzant els diferents mètodes que hem vist en
aquest capítol. La sintaxi de l’ordre, en aquest cas, és la següent:
type =
dsolve ({equacions, condició inicial}, variable,
numeric, method = classical [mètodes], opcions);

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 93
En els mètodes podem posar-hi:
(a) el mètode Runge Kutta d’ordre 2 (RK-2) rk2
(b) el mètode Runge Kutta d’ordre 4 (RK-4) rk4
Per defecte, agafa el mètode d’Euler modificat.
En les opcions podem demanar com volem que surtin els resultats, per a
quin valor volem començar o bé quin és el pas del mètode. Aquests opcions
les veurem en els següents exemples.
Problema 4.10 Resoleu l’exercici anterior
y 0 =
³
y
´ 2
+
x
y
, y(1) = 1
x
pel mètode RK-2 amb pas h =0.1 isabentquex ∈ [1, 1.2].
En aquest cas, volem resoldre el problema numèricament i presentarem els
resultats en forma de matriu. L’ordre de Maple serà:
>sol1:= dsolve ( {diff(y(x),x)=(y/x)ˆ2+y/x, y(1) = 1}, y(x), type =
numeric, method = classical[rk2], value = array([1., 1.1, 1.2]));
⎡
⎡
[x,
⎢
sol1 := ⎢ 1.
⎣ ⎣ 1.1
y(x)]
1.
1.215880763
1.2 1.467555754
Problema 4.11 El mateix pel mètode RK-4.
⎤
⎤
⎥
⎦ ⎦
L’ordre és la mateixa i només ens cal especificarelmètodepelqualho
resolem:
>sol:= dsolve ( {diff(y(x),x)=(y/x)ˆ2 + y/x, y(1) = 1}, y(x), type =
numeric, method = classical[rk4], value = array([1., 1.1, 1.2]));
⎡
⎡
[x,
⎢
sol := ⎢ 1.
⎣ ⎣ 1.1
y(x)]
1.
1.215886346
1.2 1.467569567
⎤
⎦
⎤
⎥
⎦

94 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
Resolució numèrica d’una e.d.o. fent un petit programa.
Això mateix ho podem obtenir si fem un petit programa amb Maple, indicant
l’equació i la fórmula de recurrència corresponent per a cada mètode.
Elspassosqueseguiremsón:
1. Definim la funció f(x, y)
> f:= (x,y)->(y/x)^2+(y/x);
f := (x, y) →
³
y
´ 2
+
x
y
x
2. introduïm el pas del mètode, l’interval on es mou la variable independent
ielnúmerod’iterats(N).
> a:=1.; b:=1.2; h:=0.1; N:=2;
3. definim les condicions inicials:
> x[0]:=a; w[0]:=1.;
a : = 1.
b : = 1.2
h : = .1
N : = 2
x0 : = 1.
w0 : = 1.
4. fem un petit programa per a obtenir els punts solució amb cadascun dels
mètodes tractats:
4.1. Pel mètode d’Euler.
> for i from 0 to N-1 do
x[i+1]:= x[i] + h;
w[i+1]:= w[i] + h * f( x[i], w[i] );
od;
x1 : = 1.1
w1 : = 1.2
x2 : = 1.2
w2 : = 1.428099174

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 95
4.2. Pel mètode de Runge-Kutta d’ordre 4 (RK-4).
> for i from 0 to N-1 do
k1[i]:= f( x[i], w[i] );
k2[i]:= f( x[i] + h/2, w[i] + h/2 * k1[i] );
k3[i]:= f( x[i] + h/2, w[i] + h/2 * k2[i] );
k4[i]:= f( x[i] + h, w[i] + h * k3[i] );
w[i+1]:= w[i] + h/6 * (k1[i] + 2 * k2[i] + 2 * k3[i] + k4[i]);
x[i+1]:= x[i] + h;
od;
k10 : = 2.
k20 : = 2.145124717
k30 : = 2.166562739
k40 : = 2.329400322
w1 : = 1.215879587
x1 : = 1.1
k11 : = 2.327132823
k21 : = 2.500510419
k31 : = 2.525570800
k41 : = 2.721132115
w2 : = 1.467553377
x2 : = 1.2
4.3. Pel mètode de Taylor d’ordre 2.
> for i from 0 to N-1 do
w[i+1]:= w[i] + h*f(x[i],w[i]) +h ^2/2∗( D[1](f)(x[i], w[i]) + D[2](f)(x[i],
w[i])*f(x[i], w[i]));
x[i+1]:= x[i] + h;
od;
w1 : = 1.215
x1 : = 1.1
w2 : = 1.465252781
x2 : = 1.2
4.4. Pel mètode de Runge-Kutta d’ordre 2 (RK-2) calculant l’error de truncament
a cada pas.

96 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
> for i from 0 to N-1 do
w[i+1]:= w[i] + h/2 * (f(x[i],w[i]) + f(x[i]+h,w[i]+h*f(x[i],w[i])));
x[i+1]:= x[i] + h;
y[i+1]:= x[i+1] /(1- ln (x[i+1]));
er[i+1]:=abs(w[i+1]-y[i+1]);
od;
w1 : = 1.214049587
x1 : = 1.1
y1 : = 1.215886346
er1 : = .001836759
w2 : = 1.463053085
x2 : = 1.2
y2 : = 1.467569568
er2 : = .004546483
Problema 4.12 Resoleu l’equació diferencial
½ (1 + x)y 0 +(1+2x)y =(1+x) 2
y(1) = 0
, 1 ≤ x ≤ 2
(a) de manera exacta amb l’ordre dsolve del Maple.
(b) Feu un petit programa que aproximi la solució pel mètode RK-2
amb un pas h =0.25.
(c) Comproveu la solució d’aquest programa amb la que ens dóna el
Maple directament.
a) Directament escrivim la comanda dsolve.
> dsolve ({(1+x)*diff(y(x),x)+(1+2*x)*y=(1+x) ^2, y(1)=0}, y(x));
b) El petit programa serà:
y(x) = 1 e−2x+2
−
2 2
> f:=(x,y)->((1+x) ^2-(1+2*x)*y)/(1+x);
x xe−2x+2
+ −
2 2
f := (x, y) → (1 + x)2 − (1 + 2x)y
(1 + x)

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 97
> a:=1.; b:=2.; h:=0.25; N:=(b-a)/h;
> x[0]:=a; y[0]:=0;
for i from 0 to N-1 do
od;
a : = 1.
b : = 2.
h : = .25
N : = 4.000000000
y[i+1]:= y[i] + h/2 * (f(x[i],y[i]) + f(x[i]+h, y[i]+h*f(x[i],y[i])));
x[i+1]:= x[i] + h;
x0 : = 1.
y0 : = 0
y1 : = .4340277778
x1 : = 1.25
y2 : = .7778356482
x2 : = 1.50
y3 : = 1.055215962
x3 : = 1.75
y4 : = 1.284993687
x4 : = 2.00
c) Resolent pel mètode RK-2 el problema anterior amb l’ordre de Maple
corresponent tenim:
> dsolve({(1+x)*diff(y(x),x)+(1+2*x)*y(x)=(1+x) ^2, y(1)=0} ,y(x), type=numeric,
method=classical[rk2], value=array([1.,1.25,1.5,1.75,2.]));
⎡
⎡
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎣
[x, y(x)]
1.
1.25
1.5
1.75
2.
0
.4426503780
.7901469946
1.068192176
1.296993557
⎤
⎤
⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎦
Observem que hi ha un cert error entre els resultats del programa i els que
ens dóna el Maple directament degut a la precisió en els càlculs.

98 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
4.4 Problemes proposats.
1. Resoleu numèricament pel mètode d’Euler i pel mètode RK-4 el problema
de valor inicial
y 0 + y + xy 2 =0, y(0) = 1
per 0 ≤ x ≤ 1 i amb un pas h =0.25.
2. Determineu la fórmula de recurrència que hem d’aplicar per resoldre pel
mètode RK-2 i Taylor d’ordre 2, amb pas h =0.1, el problema de valor
inicial ½ y 0 − 2y tan x =2tanx
y(0) = 1
3. Donat el problema de valor inicial
½ x 2 (y 0 + y 2 )=1− xy
y(1) = −1
amb solució exacta y(x) = −1
x .
1 ≤ x ≤ 2
(a) Useu el mètode de Euler amb h =0.05 per aproximar la solució
i compareu-la amb els valors reals de la solució. Calculeu l’error
de truncament en cada pas.
(b) Feu interpolació lineal per aproximar els valors de y(1.052) i
y(1.978) icompareu-losambelsvalorsreals.
(c) Repetiu els apartats a) i b) fent servir el mètode RK-4 amb h =
0.05.
4. Donat el problema de valor inicial
½ xyy 0 + y 2 =2x
y(0) = 2
0 ≤ x ≤ 2
(a) Useu el mètode d’Euler per aproximar la solució en els punts de
la xarxa donats per h =0.4.
(b) Feu el mateix amb el mètode RK-4.
5. Donat el problema de valor inicial
½ y 0 +2y =1
y(0) = 5 2
0 ≤ x ≤ 1
(a) Useu el mètode d’Euler amb h =0.25 per aproximar la solució
del problema.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 99
(b) Utilitzant els valors obtinguts en l’apartat anterior i interpolació
lineal, doneu el valor aproximat de la solució en el punt 0.6.
6. Feu servir el mètode de Taylor d’ordre 2 amb N =6punts per aproximar
la solució del problema de valor inicial
½ y 0 = x 2
y(0) = 0
0 ≤ x ≤ 2
compareu els resultats amb la solució exacta i calculeu-ne l’error de truncament
en cada pas.
7. Repetiu l’exercici anterior usant el mètode RK-4.
8. Donat el problema de valor inicial
½
y0 + y cos x =sinx · cos x
y(0) = 0
comproveu que la funció
y(x) =Ce − sin x +sinx − 1
0 ≤ x ≤ 1
és solució de l’equació i busqueu la solució particular que compleix la condició
inicial.
9. Resoleu l’equació diferencial
½ y 0 =sinx + e −x
y(0) = 0
, 0 ≤ x ≤ 1
(a) de manera exacta amb l’ordre dsolve del Maple.
(b) Feu un petit programa que aproximi la solució pel mètode RK-2
amb un pas h =0.5.
(c) Comproveu la solució d’aquest programa amb la que ens dóna el
Maple directament.
10. Donada l’equació diferencial
½ xy 0 =3y
y(0) = 0
, 0 ≤ x ≤ 1
(a) Resoleu exactament l’equació anterior amb l’ordre dsolve del
Maple
(b) Feu un petit programa que aproximi la solució pel mètode RK-4
amb un pas h =0.1.

100 Cap. 4 Equacions diferencials ordinàries de 1er. ordre.
(c) Comproveu la solució d’aquest programa amb la que ens dóna el
Maple directament.
11. Resoleu l’equació diferencial
½ y 0 =4· x · y 1/2
y(0) = 1
, 0 ≤ x ≤ 1
(a) de manera exacta amb l’ordre dsolve del Maple.
(b) Feu un petit programa que aproximi la solució pel mètode d’Euler
amb un pas h =0.1.
(c) Feu un petit programa que doni la solució aproximada pel mètode
de Taylor d’ordre 2 amb un pas h =0.25.
12. Resoleu les equacions diferencials següents:
(a) Pel mètode d’Euler amb h =0.5
½
x · ln x · y0 = −(x + y)
y(0) = 1
(b) Pel mètode de Taylor d’ordre 2 amb h =0.2
½ x 2 y 0 = y − xy
y(−1) = −1
, 0 ≤ x ≤ 2
, −1 ≤ x ≤ 0
(c) Pel mètode de Runge-Kutta d’ordre 2 amb h =0.1
⎧
⎨
⎩
y0 y − x
=
y + x
y(0) = 1
, 0 ≤ x ≤ 0.5
(d) Pel mètode de Runge-Kutta d’ordre 4 amb h =0.2
½ (x 2 +4)y 0 =2x − 8 xy
y(0) = −1
, 0 ≤ x ≤ 1

Capítol 5
Zeros de funcions
5.1 Resum teòric i exemples
5.1.1 Introducció
Molt freqüentment, la solució d’un problema científic queda reduït a resoldre
una equació del tipus f(x) =0, que no pot ser resolta per cap mètode
algebraic, és a dir, on és impossible de determinar la solució exacta. En
aquest capítol treballarem una sèrie de mètodes numèrics, basats en processos
iteratius que ens aniran aproximant, sota certes condicions, a la solució.
Definició 5.1 Anomenem arrel o solució d’una equació f(x) =0a un valor
α tal que f(α) =0. Enaquestcasesdiutambéqueα és un zero d 0 f.
En qualsevol procés de càlcul de zeros d’una equació es poden distingir 3
fases:
1. Localització de l’arrel: determinarem un interval que contingui l’arrel
a partir del teorema de Bolzano.
2. Separació de l’arrel: determinarem intervals que continguin una sola
arrel a partir del teorema de Rolle.
3. Aproximació numèrica de l’arrel: construirem una successió de valors
que convergeixin cap a l’arrel buscada.
La idea d’aquest darrer pas consisteix a construir una successió x0,x1,...,xn tal
que lim
n→∞ xn = α.
101

102 Cap. 5 Zeros de funcions
Fixat un error ²>0, aturarem el mètode iteratiu quan es verifiqui una
d’aquestes desigualtats:
(a) |xn − α|

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 103
que té un únic punt de tall amb l’eix OX al’interval[0, π
2 ].
• Localització de l’arrel
Veurem que la funció f(x) =cosx−xté una arrel a l’interval I =[0, π
2 ]
aplicant el teorema de Bolzano.
• Separació de l’arrel
f(x) contínua en I
f(0) = 1 > 0
f( π
2 )=−π < 0
2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
π
⇒∃α ∈ (0, ) | f(α) =0
2
Veurem que f(x) =cosx − x té una única arrel a l’interval (0, π
2 )
aplicant el teorema de Rolle.
f(x) és derivable en R
f 0 (x) =− sin x − 1 6= 0 ∀x ∈ (0, π
) ⇒ f(x) =0té com a màxim
2
una arrel (que a l’apartat anterior ja hem vist que existia).
• Aplicació del mètode de la bisecció
Partim de l’interval I =[0, π
2 ]=[a1 ,b1] i anem calculant iterats
xn = an + bn
2
fins que |xn − xn−1| ≤ 1
× 10−1
2

104 Cap. 5 Zeros de funcions
n an bn xn |xn − xn−1| sig(f(xn))
π 1 0 2
π 2 0 4
π π 3 8 4
3π π 4 16 4
7π π 5 32 4
π
4 =0.785398163 −
π
8 =0.392699081 0.392699082 +
3π
16 =0.589048622 0.196349541 +
7π
32 =0.687223393 0.098174771 +
=0.736310778 0.049087385 +
15π
64
Així doncs, l’aproximació seria x5 =0.736310778 ' α
Per a la segona part del problema volem trobar el número d’iteracions
necessàries, n, per tal d’obtenir una aproximació amb 4 decimals
exactes. Farem servir el fet que:
Imposarem que:
|xn − α| ≤
b − a
2 n
b − a
≤ 0.5 × 10−4
2n En el nostre cas a =0i b = π
, per tant, el nostre problema queda
2
reduit a trobar n en:
Fent operacions arribem a:
π 1
≤
2n+1 2 × 10−4 , n?
2 n ≥ π × 10 4 ⇐⇒ n ln 2 ≥ ln(π × 10 4 ) ⇐⇒ n ≥ ln(π × 104 )
ln 2
Per tant, tindrem la precisió desitjada amb n ≥ 15.
5.1.3 Mètode de Newton-Raphson
' 14.9392
Si representem gràficament la funció y = f(x) podem expressar el problema
de buscar α tal que f(α) =0 dient que cerquem el punt d’intersecció de la
corba y = f(x) amb l’eix OX.
La idea intuïtiva d’aquest mètode consisteix a substituir la corba per la recta
tangent en cada punt del procés iteratiu i fer a continuació la intersecció amb

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 105
l’eix OX per obtenir el següent iterat.
Així, la descripció del mètode, a partir d’una aproximació inicial de l’arrel,
x0, serà:
xn+1 = xn − f(xn)
f 0 , n ≥ 0
(xn)
Teorema 5.2 Si es verifiquen les següents condicions:
1. f ∈ C 2 ([a, b])
2. f(a) · f(b) < 0
3. f 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ [a, b]
4. |f 00 (x)| ≤ M

106 Cap. 5 Zeros de funcions
Exemple 5.2 Calculeu aplicant el mètode de Newton-Raphson una aproximació
amb 4 decimals
¤
exactes de la solució de l’equació cos x − x =0a
.
l’interval I = £ 0, π
2
Ja no és necessari fer els processos de localització i separació de l’arrel, ja
que els hem fet a l’exemple anterior. Passem doncs a comprovar les hipòtesis
del teorema i, a continuació, a aplicar el mètode iteratiu.
• Comprovació del teorema
f(x) =cosx − x ∈ C 2 ([0, π
2 ])
f(0) · f( π
) < 0
2
f 0 (x) =− sin x − 1 6= 0 ∀x ∈ [0, π 2 ]
|f 00 (x)| = |− cos x| ≤ 1 < ∞
Per tant podem assegurar que existeix I0 ⊆ I tal que la successió
definida per
⎧
⎨
⎩
x0 ∈ I0
xn+1 = xn − f(xn)
f 0 , n ≥ 0
(xn)
convergirà cap a un zero de la funció.
• Aplicació del mètode de Newton-Raphson
h
I = 0, π
i
,
2
x0 = π
4 , xn+1 = xn − cos xn − xn
−1 − sin xn
Aturarem el procés quan |f(xn)| ≤ 1
2 × 10−4 .
Construïm la següent taula:
n xn |f(xn)|
0 0.785398163 0.07829
1 0.7395361337 0.754 × 10 −3
2 0.7390851781 0.749 × 10 −7
L’aproximació de l’arrel serà α ' 0.7390851781
Observem que amb aquest mètode la convergència és més ràpida que amb
el mètode de bisecció.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 107
5.1.4 Mètode de la secant
És similar al mètode anterior, però en lloc d’aproximar la corba per la recta
tangent ho fem a partir de rectes secants que passen per 2 aproximacions
consecutives de l’arrel.
Així, la descripció del mètode, a partir de dues aproximacions de l’arrel, x0,x1,
serà:
xn − xn−1
xn+1 = xn − f(xn) ·
, n ≥ 1
f(xn) − f(xn−1)
Exemple 5.3 Calculeu, aplicant el mètode de la secant, una aproximació
ambh4 decimals exactes de la solució de l’equació cos x − x =0al’interval
I = 0, π
i
.
2
La localització i la separació de l’arrel ja està feta al primer exemple, per
tant, passem directament a aplicar el mètode iteratiu.
Considerem f(x) =cosx − x
Iniciem el procés amb x0 =0 i x1 = π
2 il’aturemquan:
Construïm la següent taula d’iterats:
xn+1 = xn − (cos xn − xn) ·
|xn − xn−1| ≤ 1
× 10−4
2
xn − xn−1
, n ≥ 1
(cos xn − xn) − (cos xn−1 − xn−1)
n xn |xn − xn−1|
0 0
1 1.57079632 1.57079632
2 0.6110154704 0.9597808566
3 0.7232695414 0.1122540710
4 0.7395671070 0.0162975656
5 0.7390834365 0.0004836705
6 0.7390851330 0.16965 × 10 −5
L’aproximació de l’arrel serà α ' 0.7390851330
5.1.5 Mètode del punt fix
Tots els mètodes exposats fins ara estaven indicats per a resoldre equacions
del tipus f(x) =0, però que poden convertir-se en problemes de la forma

108 Cap. 5 Zeros de funcions
x = g(x). Amb aquest nou plantejament, la interpretació geomètrica queda
reduïda a trobar un punt fixdelanovafuncióg(x). La idea serà, partint d’un
punt inicial x0 ∈ R, calcular successives imatges: x0,g(x0),g 2 (x0),...,g n (x0), obtenint
una successió, el límit de la qual, és el punt fix que busquem. Quan ens restringim
a un interval I, és necessari que g(x) ∈ I, ∀x ∈ I per tal que es
pugui realitzar el procés xn+1 = g(xn).
Sota quines condicions una funció g : I → I tindrà un punt fix?
Quan la successió d’imatges successives convergirà cap aquest punt fix?
Teorema 5.3 (del punt fix)
Sigui g :[a, b] → [a, b] , g ∈ C 1 [a, b] tal que |g 0 (x)| ≤ L

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 109
• g(x) ∈ C 1 ([−1, 1])
• g([−1, 1]) ⊂ [−1, 1]
Per demostrar aquest apartat cerquem els extrems absoluts de g(x) en
I =[−1, 1]:
Apliquem el teorema de Weierstrass:
gcontínuaenI =[−1, 1] ⇒∃max g(x) i ∃ min g(x) ∀x ∈ [−1, 1]
— Punts crítics de l’interval obert:
g0 (x) = 2 3x =0⇒ x =0∈ (−1, 1)
@g0 (x) :no hi ha candidats
— Extrems de l’interval
x = −1
x =1
— Imatges dels candidats
g(0) = − 1
3
g(−1) = 0
g(1) = 0
— Per tant, − 1
≤ g(x) ≤ 0 ∀x ∈ [−1, 1], icomque[−1,
0] ⊂
3 3
[−1, 1], d’aquí deduïm que g([−1, 1]) ⊂ [−1, 1]
•|g0 (x)| ≤ L

110 Cap. 5 Zeros de funcions
1
≤ h(x) ≤ 1 ∀x ∈ [0, 1],
3
∙ ¸
1
per tant, donat que , 1 ⊂ [0, 1], podem deduir que h([0, 1]) ⊂ [0, 1]
3
•|h0 (x)| ≤ L

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 111
Calculem ara el número d’iteracions per obtenir 4 decimals exactes. Per
això farem servir el fet que:
|xn − α| ≤ L n (b−a), on en el nostre cas, L =sin1, a =0i b =1.Imposarem
doncs:
L n (b − a) ≤ 0.5 × 10 −4
(sin 1) n ≤ 0.5 × 10 −4
Si prenem logaritmes neperians obtenim:
n ln(0.8414709) ≤ ln(5 × 10 −5 ) ⇒ n ≥ ln(5 × 10−5 )
' 57.377
ln(0.8414709)
Per tant, podem assegurar la precisió demanada amb 58 iteracions.
b)Calculem ara els cinc primers iterats a partir de:
½ x0 ∈ I
xn+1 = g(xn) n ≥ 0
En el nostre cas la descripció del procés iteratiu vindrà donat per:
½ x0 =0.5
xn+1 =cosxn n ≥ 0
Obtenim els següents resultats:
x1 = cosx0 =0.877582568
x2 = cosx1 =0.639012494
x3 = cosx2 =0.8026851
x4 = cosx3 =0.694778026
x5 = cosx4 =0.768195831
5.1.6 Equacions polinòmiques
Peral’obtenciódelszerosdepolinomisdegrau2,3ó4esconeixenfórmules
generals. En canvi, per a graus superiors, aquestes fórmules no existeixen.
Així, si eliminem els casos en què la factorització del polinomi apareix com a
evident, convindrà utilitzar mètodes numèrics per a determinar-ne els zeros.
Teorema 5.4 ( de Gerschgorin)
Donat P (x) =anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 amb ai ∈ Roai ∈ C i
an 6= 0. Sigui z una arrel de P(x):
1.Si A=max{|a0| , |a1| ,...,|an−1|} , llavors:

112 Cap. 5 Zeros de funcions
|z| < 1+ A
= R
|an|
2.Si B=max{|a1| , |a2| ,...,|an|} , llavors:
|z| >
1
1+ B
|a0|
Aquest teorema ens proporciona una fitació del mòdul de les arrels, és a dir,
si z és una arrel de P(x), llavors r

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 113
Estudiem el número de canvis de signe dels coeficients del polinomi P (x):
3 2 −5 1
& . & . & .
nc c c
Tenim 2 canvis de signe i això ens permet afirmar que P (x) té com a màxim
2 arrels positives, és a dir, pot tenir-ne 2, 1 o cap; però, com que el número
de les arrels ha de tenir la mateixa paritat que el número de canvis, només
queden 2 opcions: o té 2 arrels positives o no en té cap.
Estudiem el número de canvis de signe dels coeficients del polinomi P (−x):
−3 −2 5 1
& . & . & .
nc c nc
Tenim 1 canvi de signe. Aplicant el raonament anterior podem afirmar que
P (x) tindrà, com a màxim, 1 arrel negativa, és a dir, pot tenir-ne una o cap;
però com que el número de les arrels ha de tenir la mateixa paritat que el
número de canvis , tant sols queda una possibilitat, només en té una.
5.2 Problemes resolts
Problema 5.1 Comproveu que l’equació x − e 1
x =0té una única solució.
Aproximeu-la amb un decimal exacte pels mètodes de:
(a) Bisecció. Quants passos caldria per aconseguir 6 decimals exactes?
(b) Newton-Raphson
(c) Secant
Comprovem en primer lloc que, efectivament, l’equació té una única arrel.

114 Cap. 5 Zeros de funcions
Si fem una representació gràfica aproximada observem que es troba a l’interval
[1, 2].
f(x) =x − e 1
x és contínua i derivable en R − {0}.
f 0 (x) =1+e 1
x . 1
x 2 > 0 ∀x 6= 0
Com a conseqüència del teorema de Rolle, si f 0 (x) =0no té cap solució,
llavors f(x) =0comamàximentindrà1.
Localitzem l’arrel aplicant el teorema de Bolzano:
f contínua en I =[1, 2]
f(1) = 1 − e 0
a) Apliquem ara el mètode de bisecció tenint present que cada iterat s’obté
fent el punt mig de l’interval en el qual ens trobem a cada pas:
xn = an + bn
2
on a1 =1 i b1 =2.
Aturarem el procés iteratiu quan:
Construïm la següent taula:
|xn − xn−1| ≤ 0.5 × 10 −1
n an bn xn |xn − xn−1| sig(f(xn))
1 1 2 1.5 −
2 1.5 2 1.75 0.25 −
3 1.75 2 1.875 0.125 +
4 1.75 1.875 1.8125 0.0625 +
5 1.75 1.8125 1.78125 0.03125 −

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 115
L’aproximació amb un decimal exacte serà :
x5 =1.78125 ' α
Calculem ara el nombre de passos que cal fer per obtenir 6 decimals exactes.
Això equival a imposar:
|xn − α| ≤ 0.5 × 10 −6 n?
Sabem que aplicant el mètode de bisecció una fita de l’error ve donada per:
|xn − α| ≤
b − a
2 n
En el nostre cas a =1i b =2i per tant, serà suficient imposar:
b − a
2n ≤ 0.5 × 10−6 n?
Fent operacions obtenim:
1
2n ≤ 5 × 10−7 7ln10− ln 5
⇐⇒ n ≥ ' 20.93
ln 2
Amb n =21iteracions tindrem la precisió desitjada.
b) Apliquem ara el mètode de Newton-Raphson amb x0 =1.5
Aturarem el procés quan:
xn+1 = xn − f(xn)
f 0 , n ≥ 0
(xn)
|f(xn)| ≤ 0.5 × 10 −1
Tenint present que f(x) =x − e 1
x iquef 0 (x) =1+e 1
x · 1
x 2 , obtenim la
següent taula d’iterats:
xn+1 = xn − xn − e 1
xn
1+e 1
xn · 1
x 2 n
,n≥ 0
n xn |f(xn)|
0 1.5 0.4477
1 1.739986998 0.0366
2 1.763077568 0.227 × 10 −3
Donem com a vàlida l’aproximació x1 =1.739986998 ' α
c) Apliquem ara el mètode de la secant a partir de x0 =1i x1 =2
xn − xn−1
xn+1 = xn − f(xn).
, n ≥ 1
f(xn) − f(xn−1)

116 Cap. 5 Zeros de funcions
xn − xn−1
xn+1 = xn − (xn − e 1
xn ).
(xn − e 1
xn ) − (xn−1 − e 1
xn−1 )
Aturarem el procés quan :
Obtenim la següent taula d’iterats:
|xn − xn−1| ≤ 0.5 × 10 −1
n xn |xn − xn−1|
0 1
1 2 1
2 1.830264098 0.169735902
3 1.759564633 0.070699465
4 1.763285646 0.003721013
Donem com a vàlida l’aproximació x4 =1.763285646 ' α
Problema 5.2 Volem calcular 3√ 7 amb cinc decimals exactes:
, n ≥ 1
(a) Quants iterats hauríem de fer si utilitzessim el mètode de bisecció
començant amb un interval de longitud 1?
(b) Calculeu l’aproximació desitjada pel mètode de Newton-Raphson.
(c) Calculeu l’aproximació desitjada pel mètode de la secant.
a) Si la longitud de l’interval [a, b] ha de ser 1, això vol dir que b − a =1. Si
volem una aproximació amb 5 decimals exactes haurem d’imposar:
|xn − α| ≤ 0.5 × 10 −5 n?
Fent servir la fita de l’error d’aquest mètode, tenim:
|xn − α| ≤
b − a
2 n
En el nostre cas, donat que b − a =1, el problema queda reduït a:
1
2n ≤ 0.5 × 10−5 ⇐⇒ 2 −n ≤ 0.5 × 10 −5 ln 2 + 5 ln 10
⇐⇒ n ≥ ' 17.6
ln 2
Amb n =18iteracions tenim la precisió desitjada.
b) Per aplicar Newton-Raphson començarem per localitzar i separar l’arrel.
Calcular 3√ 7 és equivalent a trobar un zero de la funció f(x) =x 3 −7. Sifem
una representació gràfica aproximada veiem que l’arrel es troba a l’interval

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 117
[1, 2].
• Localització de l’arrel (apliquem el teorema de Bolzano):
⎫
f contínua en [1, 2] ⎬
f(1) = −6 < 0 ⇒∃α ∈ (1, 2) | f(α) =0
⎭
f(2) = 1 > 0
• Separació de l’arrel (apliquem el teorema de Rolle):
f 0 (x) =3x 2 6=0 ∀x ∈ (1, 2) ⇒ f(x) =0com a màxim té una arrel a
l’interval [1,2]
• Aplicació del mètode iteratiu a partir de x0 =1.5
Aturarem el procés quan |f(xn)| ≤ 0.5 × 10 −5 .
xn+1 = xn − f(xn)
f 0 , n ≥ 0
(xn)
xn+1 = xn − x3n − 7
3x2 ,n≥ 0
n
n xn |f(xn)|
0 1.5 3.625
1 2.037037037 1.452725
2 1.920338741 0.08163
3 1.912959720 0.31328 × 10 −3
4 1.912931183 0.248 × 10 −8
L’aproximació serà α ' 1.912931183

118 Cap. 5 Zeros de funcions
c) Si apliquem ara el mètode de la secant partint de x0 =1i x1 =2, obtenim
la següent taula:
xn+1 = xn − f(xn) ·
xn − xn−1
, n ≥ 1
f(xn) − f(xn−1)
xn+1 = xn − (x 3 xn − xn−1
n − 7) ·
(x3 n − 7) − (x3 n−1
L’aproximació serà α ' 1.912931183
n xn |xn − xn−1|
0 1
1 2 1
2 1.857142857 0.142857143
3 1.910420475 0.053277618
4 1.913005916 0.002585441
5 1.912931085 0.000074831
6 1.912931183 0.98 × 10 −7
− 7), n ≥ 1
Problema 5.3 Volem resoldre l’equació x +lnx =0pel mètode del punt
fix. Podem triar les següents fórmules iteratives:
1. xn+1 = − ln xn
2. xn+1 = e −xn
3. xn+1 = xn + e −xn
2
(a) Busqueu un interval en el què es pugui assegurar l’existència
d’una arrel.
(b) Quines de les fórmules anteriors poden ser usades?. Quina és la
millor?.
(c) Quants passos cal fer amb la fórmula més bona per tal d’obtenir
unaprecisióde10−5 ?. Feu-ne un parell.
a) En primer lloc busquem un interval en el qual es pugui assegurar l’existència
d’una arrel.
Considerem la funció f(x) =x+lnx que és contínua i derivable en (0, +∞).
Aplicant el teorema de Bolzano obtenim:
¾
f(1) = 1 > 0
⇒∃α ∈ (0.5, 1) | f(α) =0
f(0.5) = −0.19 < 0
b) Comprovem quines de les tres fórmules són equivalents a resoldre l’equació
inicial i quines verifiquen les condicions del teorema del punt fix.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 119
1. xn+1 = − ln xn
L’equació inicial era x +lnx =0. Si aillem x obtenim x = − ln x i
d’aquí s’obté la fórmula recurrent xn+1 = − ln xn.
Per comprovar les condicions del teorema del punt fix, haurem de
considerar que g(x) =− ln x.
• g(x) ∈ C1 ([0.5, 1])
• g([0.5, 1]) ⊂ [0.5, 1]
g(x) =− ln x
g0 (x) =− 1
< 0 en I =[0.5, 1]. Per tant, g(x) és decreixent en I,
x
és a dir:
0.5 ≤ x ≤ 1 ⇒ g(1) ≤ g(x) ≤ g(0.5)
ipertant,
∀x ∈ [0.5, 1] ⇒ 0 ≤ g(x) ≤−ln 0.5 ' 0.69
Tenimdoncsquelasegonacondiciónoesverifica ja que [0, 0.69] *
[0.5, 1].
•|g0 (x)| ≤ L

120 Cap. 5 Zeros de funcions
•|g 0 (x)| ≤ L

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 121
En el nostre cas a =0.5, b=1i L =0.317
|xn − α| ≤ (0.317) n × 0.5 ≤ 10 −5
Prenent logaritmes neperians obtenim:
n ≥ ln(2 × 10−5 )
' 9.41
ln 0.317
Llavors amb 10 iteracions en tenim suficient.
Calculem ara un parell d’iterats a partir de la fórmula xn+1 = xn + e−xn i
2
de x0 =0.5
x1 = 0.5+e−0.5
2
x2 = x1 + e −x1
2
=0.553265329
=0.56416714
Problema 5.4 Trobeu el mínim de la funció f(x) = tan(x)
x 2 , x>0.
f(x) és contínua en D = R-{0, (2k+1) π
2 }. Nosaltres ens restringirem a x ∈ D
amb x>0.
Per trobar el seu mínim calcularem els seus punts crítics:
• f 0 (x) =0
f 0 (x) =
x − sin 2x
x 3 cos 2 x =0
Hem de resoldre l’equació x − sin 2x =0, x>0. Si fem una gràfica de
f(x) =x − sin 2x, observem que talla l’eix OX en un sol punt (estem
considerant x>0).

122 Cap. 5 Zeros de funcions
— Localitzarem l’arrel aplicant el teorema de Bolzano a la funció
g(x) =x − sin 2x que és contínua i derivable en R.
g( π
) < 0
4
g( π
⎫
⎬
π
⇒∃α ∈ (π , ) |g(α) =0
) > 0 ⎭ 4 3
3
— Separarem l’arrel aplicant el teorema de Rolle
g0 (x) =1− 2cos2x6= 0 ∀x ∈ ( π π
, ) ⇒ g(x) =0té com a
4 3
màxim una arrel en I
— Resoldrem x − sin 2x =0aplicant el mètode de Newton-Raphson
apartirdex0 = π
4 .
xn+1 = xn − xn − sin 2xn
,n≥ 0
1 − 2cos2xn
Obtenim els següents iterats:
x1 =1
x2 =0.9504977971
x3 =0.9477558227
x4 =0.9477471337
x5 =0.9477471336
La solució de l’equació amb 9 decimals exactes serà α =0.9477471336
• @f 0 (x)
Aquest cas només es presenta quan x =0, però estem suposant que
x>0.
Per tant, l’únic candidat a extrem de la funció f(x) = tan(x)
x2 és α =
0.9477471336. Per comprovar que efectivament es tracta d’un mínim veiem
que f 00 (α) > 0 .
f 00 (x) =2 x2 tan(x)+x 2 tan 3 (x) − 2x − 2x tan 2 (x)+3tan(x)
x 4
f 00 (α) =5.651264726 > 0
Problema 5.5 Trobeu el valor de la constant c ∈ R tal que les següents
corbes: y =2sinx i y =lnx − c siguin tangents en un punt pròxim a 8.
Trobeu les coordenades del punt de contacte .
Aquest enunciat queda reduït a imposar les següents condicions:

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 123
1. Les dues corbes s’han de tallar, és a dir:
2sinx =lnx − c
2. Els pendents de les rectes tangents en el punt de tall han de ser els
mateixos:
y 0 1 = y 0 2 ⇔ 2cosx = 1
1
⇔ 2cosx− x x =0
• Començarem per resoldre la condició 2 amb 6 decimals exactes partint
de x0 =8fent servir el mètode de Newton-Raphson. El mètode
iteratiu és:
Ens aturarem quan:
En el nostre cas tenim:
xn+1 = xn − f(xn)
f 0 ,n≥ 0.
(xn)
|xn − xn−1| ≤ 0.5 × 10 −6
f(x) =2cosx − 1
x
f 0 (x) =−2sinx + 1
x 2
Substituint en el procés iteratiu obtenim α =7.7897506 amb 6 decimals
exactes
• Pertrobarelvalordec farem servir la condició 1 en el punt de tall α :
Aillant c, tenim:
2sinα =lnα − c
c =lnα − 2sinα =0.056933
• El punt de contacte entre les dues corbes és
(7.7897506, 1. 9959)
Problema 5.6 Trobeu el valor k ∈ R per tal que la funció
sigui tangent a l ’ eix OX.
y = ke x
10 − ln x

124 Cap. 5 Zeros de funcions
A l’igual que en el problema anterior, aquest enunciat el podem resumir en
dues condicions:
1. Les dues corbes s’han de tallar, és a dir:
ke x
10 − ln x =0⇐⇒ ke x
10 =lnx
2. El pendent de la recta tangent a la corba ha de ser 0:
y 0 =0⇐⇒ k x
e 10 −
10 1
x
=0⇐⇒ ke 10 =
x 10
x
Apartirde(1) i (2) obtenim la següent equació:
ln x = 10
⇐⇒ x ln x − 10 = 0
x
• Localització de l’arrel fent servir el teorema de Bolzano aplicat a la
funció f(x) =x ln x − 10 que és contínua i derivable en (0, +∞).
¾
f(5) = 5 ln 5 − 10 < 0
⇒∃α ∈ (5, 6) | f(α) =0
f(6) = 6 ln 6 − 10 > 0
• Separació de l’arrel fent servir el teorema de Rolle:
f 0 (x) =lnx +16= 0∀x ∈ (5, 6) ⇒ f(x) =0técomamàximunaarrel
en I.
Apliquem el mètode de Newton-Raphson partint de x0 =6.
En el nostre cas tenim:
xn+1 = xn − f(xn)
f 0 , n ≥ 0.
(xn)
f(x) = x ln x − 10
f 0 (x) = lnx +1
Aplicant el procés iteratiu arribem a α =5.7289256.
Per obtenir finalment el valor de k farem servir la condició 1 avaluat en el
punt de tangència α :
ke α
10 =lnα ⇒ k =
ln α
e α
10
=0.9842892
Problema 5.7 Volem trobar un interval de longitud 1 sobre el qual la funció
1
f(t) =
t4 tingui àrea màxima, seguint els següents passos:
− 0.5t +1

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 125
(a) Plantegeu el problema i desenvolupeu-lo fins que es tracti de buscar
un zero d’una funció polinòmica a l’interval [−0.5, 0].
(b) Plantegeu dos mètodes del punt fix per resoldre l’equació anterior.
Podeu assegurar que són convergents?. Feu tres iterats per al
millor.
(c) Resoleu l’equació pel mètode de Newton-Raphson amb tres decimals
exactes.
a)L’interval de longitud 1 que busquem l’escriurem com [a, a +1]. L’àrea
vindrà donada per la integral:
A =
Z a+1
a
1
x 4 − 0.5x +1 dx
La primera condició d’àrea màxima vindrà donada per:
A 0 (a) =
1
(a +1) 4 − 0.5(a +1)+1 −
1
a4 − 0.5a +1 =0
Si fem les operacions obtenim la següent equació polinòmica:
4a 3 +6a 2 +4a +0.5 =0
• Localitzarem una arrel a partir del teorema de Bolzano a partir de
p(a) =4a 3 +6a 2 +4a +0.5
p(−0.5) = −0.5 < 0
p(0) = 0.5 > 0
¾
⇒∃α ∈ (−0.5, 0) |p(α) =0
• Separarem l’arrel a partir del teorema de Rolle:
p 0 (a) =12a 2 +12a +46= 0⇒ p(a) =0té com a màxim una arrel
b)L’equació de partida és: 4x 3 +6x 2 +4x +0.5 =0. Podem considerar els
següents mètodes:
1. x = 1 4 (−0.5 − 6x2 − 4x3 )=− 1 8 − 3 2x2 − x3 i a partir d’aquí el procés
iteratiu seria:
xn+1 = − 1 3
−
8 2 x2n − x 3 n
En aquest cas g(x) =− 1 8 − 3 2 x2 − x 3 . Es verifiquen les condicions del
teorema?
• g(x) ∈ C 1 ([−0.5, 0])

126 Cap. 5 Zeros de funcions
• g([−0.5, 0]) ⊂ [−0.5, 0]
Estudiem els extrems absoluts de g(x) en I =[−0.5, 0].
— Extrems relatius de l’obert (−0.5, 0)
g0 (x) =−3x − 3x2 ½
x =0/∈ (−0.5, 0)
=0⇒
x = −1 /∈ (−0.5, 0)
— Extrems de l’interval, x = −0.5, x=0
— Avaluem les imatges dels candidats
g(−0.5) = − 3
ens proporciona el mínim absolut
8
g(0) = − 1
ens proporciona el màxim absolut
8
Per tant ∀x ∈ [−0.5, 0] g(−0.5) ≤ g(x) ≤ g(0) iescompleixla
segona condició del teorema ja que [g(−0.5),g(0)] ⊂ [−0.5, 0].
•|g 0 (x)| ≤ L

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 127
— Extrems relatius de l’obert (−0.5, 0)
g 0 (x) =−12x 2 − 12x − 3=0⇒ x = −0.5 /∈ (−0.5, 0)
— Extrems de l’interval, x = −0.5, x=0
— Avaluem les imatges dels candidats
g(−0.5) = 0 ens proporciona el màxim absolut
g(0) = −0.5 ens proporciona el mínim absolut
Per tant ∀x ∈ [−0.5, 0] g(0) ≤ g(x) ≤ g(−0.5) iescompleixla
segona condició del teorema ja que [g(0),g(−0.5)] ⊂ [−0.5, 0].
•|g 0 (x)| ≤ L

128 Cap. 5 Zeros de funcions
x1 = 0
x2 = −0.125
x3 = −0.1569767442
x4 = −0.1588302087
x5 = −0.1588360980
5.3 Problemes resolts amb Maple
Maple V permet calcular directament les solucions d’una equació a partir
de la instrucció:
fsolve(equació, variable);
En aquest capítol treballarem amb aquesta comanda, així com amb els mètodes
iteratius descrits en ell, ajudant-nos, a la vegada, de la instrucció
i del bucle for-while.
plot(f(x),x=a..b);
Problema 5.8 Comproveu que l’equació e x =2− x té una única solució i
doneu-ne una aproximació.
• Definim la funció associada a l’equació ex − 2+x =0.
> f:=x->evalf(exp(x)-2+x);
f := x → evalf (e x − 2+x)
• Representem gràficament la funció en un interval prou ampli
> plot(f(x),x=-5..5);

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 129
• Observem que existeix una arrel a l’interval [−2, 2]. Repetimlagràfica
en aquest interval per poder-la localitzar millor.
> plot(f(x),x=-2..2);
• Ara podem dir que l’arrel es troba a l’interval [0, 1] ihocomprovem
verificant les hipòtesi del teorema de Bolzano.
¾
f(x) és contínua en R, enparticularen[0, 1].
⇒∃α ∈ (0, 1) |f(α) =0
f(0) · f(1) < 0
• Comprovem, a partir del teorema de Rolle, que la solució és única. Per
a això estudiem els zeros de f 0 (x).
>f1:=D(f);
f1 :=x → evalf (e x +1)
Observem que f1(x) > 0 ∀x ∈ R, per tant, l’equació inicial tindrà com
a màxim una solució, que ja hem localitzat a l’apartat anterior.
• Trobemaraunaaproximaciódelasolució directament a partir de la
instrucció
fsolve (equació,variable)
>a:=fsolve(exp(x)-2+x=0,x);
a := .4428544010
Problema 5.9 Aproximeu la solució de l’equació e x =2−x amb 3 decimals
exactes pel mètode de Newton-Raphson.
Tenint en compte el problema anterior on ja hem definit la funció i on hem
determinat l’interval que conté la solució, a partir del valor inicial x0 =0

130 Cap. 5 Zeros de funcions
(punt de l’interval[0, 1]) calculem els successius iterats aplicant la fórmula
recurrent del mètode amb un bucle for-while.
> x[0]:=0;
error:=abs(x[0]-a);
x0 : = 0
error : = .4428544010
> for i from 0 to 20 while error>0.5*10ˆ(-3) do
od;
x[i+1]:=x[i]-f(x[i])/D(f)(x[i]);
error:=abs(x[i+1]-a);
x1 : = .5000000000
error : = .057145599
x2 : = .4438516719
error : = .00099727
x3 : = .4428547037
error : = .000000302
La instrucció for-while permet aturar el procés iteratiu quan es deixa de
complir la condició del while o quan s’arriba al màxim nombre d’iterats. En
aquest cas, observem que amb 3 iterats en tenim prou per obtenir l’aproximaciódelasolucióamblaprecisiódesitjada.
Problema 5.10 Aproximeu la solució de l’equació e x − 2+x =0amb 3
decimals exactes aplicant el mètode de la secant.
Construïm un bucle for-while per descriure el mètode iteratiu, partint dels
valors inicials x0 =0i x1 =1.
> x[0]:=0;
x[1]:=1;
error:=infinity;
x0 : = 0
x1 : = 1
error : = ∞

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 131
> for i from 1 to 20 while error>0.5*10ˆ(-3) do
od;
x[i+1]:=x[i]-f(x[i])*(x[i]-x[i-1])/(f(x[i])-f(x[i-1]));
error:=abs(x[i+1]-x[i]);
x2 : = .3678794412
error : = .6321205588
x3 : = .4300563617
error : = .0621769205
x4 : = .4431457542
error : = .0130893925
x5 : = .4428532663
error : = .0002924879
Observem que en aquest cas hem necessitat calcular 5 iterats per obtenir
l’arrel amb la precisió desitjada.
Problema 5.11 Aproximeu la solució de l’equació e x − 2+x =0amb 3
decimals exactes aplicant el mètode de bisecció.
Construïm un bucle for-while per descriure el mètode iteratiu a partir de
l’interval [a, b] =[0, 1].
>f:=x->exp(x)-2+x;
>a[1]:=0;
>b[1]:=1;
>error:=infinity;
>c[0]:=a[1];
f := x → e x − 2+x
a0 := 0
b0 := 1
error := ∞
c−1 := 0
> for i from 1 to 10 while error>0.5*10ˆ(-3) do
c[i]:=evalf((a[i]+b[i])/2);
fc:=evalf(f(c[i]));

132 Cap. 5 Zeros de funcions
fa:=evalf(f(a[i]));
if fc=0 then print(‘arrel exacta‘);break;fi;
if fa*fc

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 133
Aquestacondiciólacomprovaremapartirdelagràfica de g(x) en
[0, 1].
>g:=x->2-exp(x);
g := x → 2 − exp(x)
>plot(g(x),x=0..1);
Veiem que aquesta condició no es verifica.
•|g0 (x)| ≤ Lg1:=D(g);
g1 :=x→−exp(x) >plot({g1(x),-1,1},x=0..1);
Aquesta propietat tampoc es verifica.

134 Cap. 5 Zeros de funcions
Escriurem l’equació inicial d’una altra manera per tal d’obtenir una nova
funció g(x) que compleixi les condicions del teorema.
e x − 2+x =0⇔ e x =2− x ⇔ x =ln(2− x)
Considerem a partir d’ara g(x) =ln(2− x).
• g ∈ C 1 ([0, 1])
• g([0, 1]) ⊂ [0, 1]
Aquestacondiciólacomprovaremapartirdelagràfica de g(x) en
[0, 1].
>g:=x->ln(2-x);
>plot(g(x),x=0..1);
g := x → ln(2 − x)
Observem que sí que es verifica la condició.
•|g 0 (x)| ≤ Lg1:=D(g);
g1 :=x− > − 1
2 − x

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 135
>plot({g1(x),-1,1},x=0..1);
Observem que g1(1) = g 0 (1) = −1, per tant, aquesta condició no es
verifica. Intentem localitzar l’arrel en un interval més petit. Repetim
la gràfica de f(x) (problema 5.8) a l’interval [0, 1].
>plot(f(x),x=0..1);
Prenem com a nou interval [0,0.8].
• g ∈ C 1 ([0, 0.8])
• g([0, 0.8]) ⊂ [0, 0.8]

136 Cap. 5 Zeros de funcions
>plot(g(x),x=0..0.8);
La condició es verifica.
•|g0 (x)| ≤ Lplot({g1(x),-1,1},x=0..0.8);
Ara veiem que, efectivament, es compleix la condició.
Per tant, considerant g(x) =ln(2−x) i I =[0, 0.8] el mètode iteratiu definit
pel mètode del punt fix per
½
x0 ∈ I
xn+1 = g(xn) =ln(2− xn),n≥ 0

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 137
serà convergent cap a la solució de l’equació.
Passem ara a definir el bucle for-while:
> x[0]:=0.5;
error:=infinity;
x0 : = 0
error : = ∞
>for ifrom 0 to 20 while error>0.5*10ˆ(-3)do
od;
x[i+1]:=evalf(g(x[i]));
error:=abs(x[i+1]-x[i]);
x1 : = .4054651081 error := .0945348919
x2 : = .4665820900 error := .0611169819
x3 : = .4274991720 error := .0390829180
x4 : = .4526672361 error := .0251680641
x5 : = .4365326512 error := .0161345849
x6 : = .4469060144 error := .0103733632
x7 : = .4402490613 error := .0066569531
x8 : = .4445261540 error := .0042770927
x9 : = .4417802233 error := .0027459307
x10 : = .4435440010 error := .0017637777
x11 : = .4424114413 error := .0011325597
x12 : = .4431388298 error := .0007273885
x13 : = .4426717238 error := .0004671060
5.4 Problemes proposats
1. Trobeu una aproximació amb 2 decimals exactes de les solucions de les
següents equacions, aplicant el mètode de bisecció a l’interval que s’indica:
(a) ex − 3x =0a I =[0, 1]
(b) x3 − 2sinx =0a I =[0.5, 2]
2. Trobeu amb 2 decimals exactes, a partir del mètode de Newton, una
aproximació de la solució de les següents equacions:

138 Cap. 5 Zeros de funcions
(a) x =2sinx
(b) sin x =1− x
3. Trobeu una aproximació amb 3 decimals exactes de √ 2 fent servir el
mètode de la secant.
4. Raoneu per a cadascuna de les expressions següents si és o no adequada per
a calcular aproximacions de 3√ 2 utilitzant el mètode del punt fix a l’interval
[1, 2].
(a) xn+1 = 2
x 2 n
(b) xn+1 = 2x3n +2
3x2 n
(c) xn+1 = x3n 1
−
60 30x2 n
(d) xn+1 = x3 n + xn − 2
Quants iterats caldria fer amb la més adequada per obtenir 3√ 2 amb tres
decimals exactes?. Calculeu els tres primers.
5. Volem trobar el mínim de la funció y = e −x + x3
3
(a) Feu una representació gràfica aproximada, donant un interval de
longitud 1 que contingui el mínim.
(b) Determineu dues possibles maneres d’aplicar el mètode del punt
fix, indicant si són convergents i quina és la millor.
(c) Feu tres iterats. Quants en caldria fer per aconseguir 5 decimals
correctes?.
6. Considerem la funció y = ex
x
(a) Feu una gràfica aproximada de la funció per a x>0.
(b) En quin interval de longitud 1 l’àrea sota la gràfica és mínima?.
Quant val aproximadament aquesta àrea?.
7. Utilitzeu la regla de Descartes, el teorema de Gersghorin i el mètode que
vulgueu per aproximar les solucions del polinomi 36x 4 −60x 3 −29x 2 +9x+2.
8. Donat el polinomi Q(x) = 3 2 x4 + 11 3 x3 − 3 2 x2 − 2x +3, volem els seus
extrems relatius.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 139
(a) Utilitzant el mètode que vulgueu , trobeu-los tots.
(b) Comproveu quins són màxim i quins són mínim.
9. Donada l’equació 3lnx − x =0:
(a) Trobeu, fent servir la comanda plot, els teoremes de Bolzano i
de Rolle, un interval que contingui una única arrel.
(b) Trobeu una aproximació de la solució a partir de la instrucció
fsolve.
(c) Trobeu una aproximació de la solució amb 6 decimals exactes
a partir del mètode de bisecció emprant un bucle for-while i
if-then-else.
10. Donada l’equació 2 −x − x =0:
(a) Trobeu, fent servir la comanda plot, els teoremes de Bolzano i
de Rolle, un interval que contingui una única arrel.
(b) Trobeu una aproximació de la solució a partir de la instrucció
fsolve.
(c) Trobeu una aproximació de la solució amb 6 decimals exactes
a partir del mètode de Newton-Raphson emprant un bucle forwhile.
11. Donada l’equació e x =2− x 2 :
(a) Trobeu, fent servir la comanda plot, els teoremes de Bolzano i
de Rolle, un interval que contingui una única arrel.
(b) Trobeu una aproximació de la solució a partir de la instrucció
fsolve.
(c) Trobeu una aproximació de la solució amb 6 decimals exactes a
partir del mètode de la secant emprant un bucle for-while.
12. Feu el problema 4 ajudant-vos de les comandes necessàries del Maple
V, tant per a comprovar les hipòtesis del teorema del punt fix, com per a
donar l’aproximació de 3√ 2.
13. Donada l’equació e −3x =ln(x)
(a) Demostreu que té exactament una solució a l’interval [1, 2]
(b) Si apliquessim el mètode de la bisecció, quantes iteracions ens
caldrien per obtenir una aproximació de la solució amb 3 decimals
exactes? Fes les cinc primeres iteracions.

140 Cap. 5 Zeros de funcions
(c) Calculeu els valors de les quatre primeres iteracions corresponents
a l’aplicació del mètode de Newton-Raphson a partir del valor
inicial x0 =1.5.
14. Donada l’equació 3lnx − x =0
(a) Demostreu que aquesta equació té una única solució a l’interval
[1, 2]. Té alguna altra solució?
(b) De les fórmules següents, quina és la millor per resoldre l’equació
aplicant el mètode del punt fix:
(b.1) x = e x
3 (b.2) x = 3ln(x)+2x
3
(b.3) x = √ x +2
(c) Quantes iteracions calen per obtenir 3 decimals exactes amb la
millor de les fórmules anteriors?
15. Volem resoldre l’equació x 3 +4x 2 − 16 = 0
(a) Demostreu que té una única solució a l’interval [1, 2]
4
(b) Demostreu que l’equació inicial és equivalent a x = √ ique
4+x
el mètode del punt fix per a resoldre-la és convergent en aquest
interval.
(c) Quants iterats cal fer per obtenir una aproximació de la solució
amb tres decimals exactes?
16. A partir de la taula següent:
x −2 −1 0 1
y −5 0 1 4
(a) Calculeu el polinomi interpolador.
(b) Quantes arrels té el polinomi anterior? Què pots dir sobre el
nombre d’arrels positives i negatives? Fiteu-les en mòdul. Trobeu
les arrels exactament i comproveu que es compleix el que heu dit.

Capítol 6
Sistemes d’equacions lineals
6.1 Introducció
Considerem el sistema d’equacions lineals
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + ...+ annxn = bn
que, en notació matricial escriurem, AX = b, on:
⎛
⎜
A = ⎝
a11 ··· a1n
.
. ..
an1 ··· ann
.
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ , X = ⎝
x1
.
xn
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ , b = ⎝
b1
.
bn
⎞
⎟
⎠
Distingirem dos tipus de mètodes numèrics per resoldre equacions lineals:
(6.1)
• Mètodes directes: Permeten obtenir la solució del sistema després
d’un nombre finit de passos. Aquests mètodes solen reduir la resolució
del sistema a la d’un sistema triangular. Els més representatius són el
mètode de Gauss i la regla de Cramer.
• Mètodes iteratius: Es construeix una successió de vectors X 0 ,X 1 ,X 2 ,...
que convergeix cap a la solució X del sistema. Aquests mètodes s’apliquen
sovint quan la matriu del sistema és escassa, (amb molts elements
que són zero).
141

142 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
6.2 Resolució de sistemes triangulars
Considerem el sistema UX = b, enquèU és triangular superior:
u11x1 + u12x2 + ...+ u1nxn = b1
u22x2 + ...+ u1nxn = b2
............................
unnxn = bn
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(6.2)
Un sistema d’aquesta forma es resol començant per l’última equació i substituint
els resultats a les anteriors:
És a dir,
xn = bn
unn
xn−1 = bn−1 − un−1nxn
un−1n−1
.
x1 = b1 − u1nxn − u1n−1xn−1 − ...− u12x2
u11
xn = bn
unn
xi = bi − P n
j=i+1 uijxj
uii
(i = n − 1 ÷ 1)
Aquest procés s’anomena de substitució cap al darrera.
6.3 Mètode de Gauss
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(6.3)
Considerem el sistema (6.1) i suposem que det A 6= 0de manera que el
sistema té una única solució. El mètode de Gauss consta de dues fases:
• Fase 1: eliminació gaussiana: consisteix en transformar el sistema
inicial en un altre equivalent de manera que la matriu dels coeficients
sigui triangular superior. Això s’aconsegueix fent transformacions elementals
sobre la matriu ampliada del sistema.
• Fase 2: substitució cap enrera: es resol el sistema triangular superior
que hem obtingut, mitjançant les fórmules (6.3).

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 143
Recordem que les transformacions elementals per filessónlessegüents:
• Fij :Permutarlesfiles i,j
• Fi + αFj : Sumar a la fila i-èsima la fila j multiplicada per α
• αFi : Multiplicar la fila i-èsima per l’escalar α
A més, si convé, podem permutar l’ordre de les n primeres columnes, que
equival a permutar l’ordre de les incògnites. D’aquesta manera, el sistema
resultant té les mateixes solucions que l’original, llevat potser de l’ordre de
les incògnites.
Exemple 6.1 Resoleu pel mètode de Gauss el següent sistema d’equacions:
⎧
⎨
⎩
2x1 + x2 +4x3 = 12
8x1 − 3x2 +2x3 = 20
4x1 +11x2 − x3 = 33
Les transformacions elementals necessàries i les matrius obtingudes fins a
tenir la matriu triangulada són:
⎛
¯ ⎞ ⎛
¯ ⎞
2 1 4 ¯ 12
2 1 4 ¯ 12
⎝ 8 −3 2 ¯ 20 ⎠ → ⎝ 0 −7 −14 ¯ −28 ⎠ →
4 11 −1 ¯ 33
0 9 −9 ¯ 9
⎛
→ ⎝
2 1 4
0 −7 −14
0 0 −27
F2−4F1
F3−2F1
¯
12
−28
−27
⎞
⎠ ⇔
2x1 + x2 +4x3 =12
−7x2 − 14x3 = −28
−27x3 = −27
F3+ 9
7 F2
Aquest darrer sistema és triangular superior i el podem resoldre per substitució
cap enrera. La solució que s’obté és, segons (6.3), x3 =1,x2 =2,
x1 =3.
En cada pas, les matrius dels sistemes equivalents obtinguts són:
A (1) ⎛
2 1
⎞
4
= ⎝ 8 −3 2 ⎠ b
4 11 −1
(1) ⎛ ⎞
12
= ⎝ 20 ⎠
33
A (2) ⎛
2 1
⎞
4
= ⎝ 0 −7 −14 ⎠ b
0 9 −9
(2) ⎛ ⎞
12
= ⎝ −28 ⎠
9
A (3) ⎛
2 1
⎞
4
= ⎝ 0 −7 −14 ⎠ b
0 0 −27
(3) ⎛ ⎞
12
= ⎝ −28 ⎠
−27
⎫
⎬
⎭

144 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
Podem interpretar el mètode d’eliminació de Gauss com una successió de
n − 1 etapes que donen com a resultat les successions de matrius:
on A (k) ³
=
a (k)
ij
A = A (1) → A (2) → ···→ A (n)
b = b (1) → b (2) → ···→ b (n)
´
, b (k) ³ ´
= (k =2,...,n) ,deformaqueA (n) resulta ser
b (k)
i
triangular superior. En el pas k-èsim, A (k) X = b (k) és el sistema equivalent
en el qual hem eliminat les variables x1,x2,...,xk−1 per sota la diagonal de
les k-1 primeres columnes:
⎛
A (k) ⎜
= ⎜
⎝
a (k)
12 ··· a (k)
1k ··· a (k)
0 a
1n
(k)
22 ··· a (k)
2k ··· a (k)
. .. .
a
···
2n
.
(k)
kk ··· a (k)
. ···
kn
.
a (k)
nk ··· a (k)
⎞
⎟ ;
⎟
⎠
b
nn
(k) ⎛
⎜
= ⎜
⎝
a (k)
11
Per a k =2,...,n, resulta:
a (k)
ij
b (k)
i
=
=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
b (1)
1
b (2)
2.
b (k)
k.
b (k)
n
a (k−1)
ij si i ≤ k − 1
0 si i ≥ k, j≤ k − 1
ij − a(k−1)
i,k−1
a (k−1)
a (k−1)
k−1,k−1
a (k−1)
k−1,j si i ≥ k, j≥ k
b (k−1)
i si i ≤ k − 1
i − a(k−1)
ik−1
b (k−1)
a (k−1)
k−1,k−1
b (k−1)
k−1 si i ≥ k
Aquestes fórmules representen el resultat de multiplicar la (k-1)-ena equació
en A (k−1) X = b (k−1) per a(k−1)
i,k−1
a (k−1)
k−1,k−1
És a dir,
⎞
⎟
⎠
i restar a la i-èsima equació, ∀i ≥ k.
Fi → Fi − a(k−1)
i,k−1
a (k−1)
Fk−1
k−1,k−1
on Fi és l’equació (o fila) i-èsima. D’aquesta manera, la variable xk−1 s’elimina
de les n-(k-1) darreres equacions. Al final del procés el sistema és
triangular superior i es resol pel mètode de substitució cap al darrera.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 145
• Els elements a (1)
11 ,a(2) 22 ,...,a(n) nn que apareixen en la fase d’eliminació
gaussiana se’n diuen pivots.
Observacions:
1. El nombre total d’operacions que es realitzen per resoldre un sistema
pelmètodedeGaussés n3 +3n2−n 3 . Per Cramer serien ¡ n2 − 1 ¢ · n!
operacions. Com a exemple, podem comparar el nombre d’operacions
en els següents casos:
Gauss Cramer
n=2 ⇒ 6 6
n=3 ⇒ 17 48
2. Si, en la fase d’eliminació gaussiana, algun pivot a (k)
k,k
= 0, llavors
existirà algun element a (k)
rk 6=0de la columna k-èsima (ja que det A 6=
0). En aquest cas, només cal permutar l’equació k-èsima amb la i-èsima
i continuar el procés.
Per exemple, sigui el sistema
x1 +3x2 + x3 =
⎫
−3 ⎬
3x1 +9x2 +4x3
2x1 − x2 + x3
=
=
−7
⎭
6
En el primer pas ens queda:
⎛
1
⎝ 3
2
3
9
−1
¯
1 ¯
4 ¯
1 ¯
⎞
−3
−7 ⎠
6
⎛
1
→ ⎝ 0
0
3
0
−7
¯
1 ¯
1 ¯
−1 ¯
⎞
−3
2 ⎠
12
F2−3F1
F3−2F1
i, per tant, a (2)
22 =0. Aleshores, canviem les dues darreres equacions
d’ordre i com que, en aquest cas, el sistema ja estarà triangularitzat
podem resoldre’l per substitució cap al darrera.
3. El mètode de Gauss, sense permutacions de files, pot aplicar-se directament
si i només si els determinants principals
¯
¯A (k)¯¯ (1)
¯ = a 11 ···a(k) kk
són diferents de zero, ∀k.
4. Si el pivot és no nul, però molt petit, el mètode és inestable numèricament
en el sentit que les solucions obtingudes poden diferir notablement
de la solució real, degut a la propagació dels errors d’arrodoniment.
Per exemple, considerem el següent sistema:
10−11 ¾
x +2y = 2
x − 2y = −1

146 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
Avaluant els coeficients del sistema en notació decimal, i treballant
amb 10 dígits amb punt flotant, la fase d’eliminació gaussiana ens
dóna les matrius:
³
A (1) | b (1)´
µ ¯
.1000000000 × 10−10 2. ¯
=
¯ 2.
1. −2. ¯ −1.
³
A (2) | b (2)´
µ
.1000 ...× 10−10 2.
=
0 −.2000 ...× 1012 ¯
2.
−.2000 ...× 10 12
i, resolent el sistema triangular corresponent, obtenim les solucions
x =0i y =1que són clarament incorrectes, (no es compleix la segona
equació).
5. En canvi, si canviem les equacions d’ordre:
x − 2y = −1
10 −11 x +2y = 2
aleshores, s’obté x = y =1. , que és una bona aproximació. Així
doncs, per tal de prevenir possibles errors, triarem el pivot en el pas
k-èsim entre les següents opcions:
• Pivotatge parcial (o maximal per columnes): Es pren com a nou pivot
a (k)
kk l’element de màxim valor absolut dels elements a(k)
ik , (i = k,...,n),
i intercanviem les files i-èsima i k-èsima.
• Pivotatge complet: El nou pivot passa a ser l’element de màxim valor
absolut dels elements a (k)
ij , (i, j = k ÷ n). Llavors, intercanviem les files
i, k i les columnes k, j.
En general, el pivotatge parcial resulta prou eficienti,comquerequereix
menys temps de càlcul, és el més usual. És convenient utilitzar-lo en cas que
els coeficients de la matriu del sistema siguin de magnituds molt diferents.
Observació: En els següents casos, l’algorisme de Gauss és numèricament
estable i no cal fer intercanvis de files ni de columnes:
• Si A és estrictament dominant diagonalment, és a dir:
nX
|aii| > |aij| (i =1÷ n)
j=1
j6=i
• Si A és simètrica i definida positiva:
A = A T
i x T Ax > 0,
¾
³
x 6= −→ ´
0

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 147
Càlcul de determinants
En fer el procés d’eliminació gaussiana a una matriu quadrada A, comque
les transformacions que realitzem són combinacions lineals de files, el seu
determinant no varia llevat, potser, del signe. Aleshores, donat que el determinant
de la matriu triangular resultant és el producte dels elements de
la seva diagonal (que és el producte dels pivots), resulta:
|A| =(−1) s ¯ ¯ ¯A (n) ¯ ¯ ¯ =(−1) s a (1)
11
· ...· a(n)
nn
on s és el nombre d’intercanvis de files que s’hagin fet.
Observem que si en el k-èsim pas a (k)
ik
=0 (k ≤ i ≤ n), llavors det(A) =0.
Exemple 6.2 Calculeu el determinant de la matriu del sistema resolt al
primer exemple.
Com que la matriu triangular és
A (3) ⎛
2 1 4
= ⎝ 0 −7 −14
0 0 −27
resulta
|A| =
6.4 Descomposició LU
⎞
⎠
¯
¯A (3)¯ ¯ ¯ =2· (−7) · (−27) = 378
El mètode de Gauss, aplicat al sistema AX = b sense intercanvis de files
ni d’incògnites, proporciona una factorització de la matriu A en la forma
A = LU, on U = A (n) és triangular superior i L =(lik) és triangular inferior
amb
lik =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0 (ik)
Aleshores, la solució del sistema AX = b es troba resolent successivament
elssistemestriangularsLy = b i Ux = y.
Exemple 6.3 Resoleu el sistema
2x1 + x2 +4x3 =12
8x1 − 3x2 +2x3 =20
4x1 +11x2 − x3 =33
⎫
⎬
⎭

148 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
de l’exemple 6.1 aplicant la descomposició LU:
Recordant les transformacions que haviem aplicat a aquest sistema resulta:
F2 − 4F1 ⇒ l21 =4
F3 − 2F1 ⇒ l31 =2
F3 + 9
7 F2 ⇒ l32 = − 9
7
A la pràctica, podem portar a terme el procés substituint els elements que
es van convertint en 0 pels corresponents
lik = a(k)
ik
a (k)
kk
2 - 9
7
(i = k +1÷ n ; k =1÷ n)
Reescrivint altre cop l’exemple 1, trobem
A (1) ⎛
2 1
⎞
4
= ⎝ 8 −3 2 ⎠ → A
4 11 −1 F2−4F1
F3−2F1
(2) ⎛
= ⎝
→ A (3) ⎛
2 1 4
⎜
= ⎝ 4 −7 −14
−27
⎞
⎟
⎠
Aleshores,
⎛
L = ⎝
1 0 0
4 1 0
2 − 9
7 1
⎞
⎛
⎠ ,U= ⎝
2 1 4
4 −7 −14
2 9 −9
2 1 4
0 −7 −14
0 0 −27
⎞
⎠
⎞
⎠
F3+ 9
7 F2
Per resoldre el sistema inicial, plantegem primer el sistema triangular inferior
⎧
⎨ y1
=12
Ly = b ⇔ 4y1 + y2
⎩
que es resol per substitució cap endavant:
=20
2y1 − 9 7 y2 + y3 =33
— Primera equació: y1 =12
— Segona equació: 4y1 + y2 =20⇒ 48 + y2 =20⇒ y2 = −28
— Tercera equació: 24 + 36 + y3 =33⇒ y3 = −27
A continuació, resolem el sistema triangular superior
⎧
⎨ 2x1 + x2 +4x3 =12
Ux = y ⇔ −7x2 − 14x3 = −28
⎩
−27x3 = −27
la solució del qual ja sabem que és
(x1,x2,x3) T =(3, 2, 1) T
→

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 149
Descomposició LU amb pivotatge
Si en la descomposició de la matriu A fem intercanvis de files (pivotatge
parcial), obtenim la matriu A 0 (la matriu A amb les files canviades).
Exemple 6.4 Resolem el sistema anterior pel mètode LU amb pivotatge
parcial.
L’element pivot per a la primera transformació serà el màxim, en valor
absolut, dels coeficients de la x en la primera columna:
max{2, 8, 4} =8
Per tant, intercanviem la primera i la segona fila de la matriu A:
⎛
A (1) = ⎝
8 −3 2
2 1 4
4 11 −1
⎞
⎠
F2− 1
4 F1
F3− 1
2 F1
→ A (2) =
⎛
⎜
⎝
1
4
1
2
8 −3 2
Com que el màxim, en valor absolut, dels elements de la segona columna per
damunt i per sota la diagonal és max{ 7 4 , 25 25
2 } = 2 , intercanviem la segona i
tercera files:
⎛
8 −3 2
⎜ 1 25
→ ⎜
⎝ 2 2 −2
⎞
⎟
⎠ → A (3) ⎛
8 −3 2
⎜ 1 25
= ⎜
⎝ 2 2 −2
⎞
⎟
⎠
Per tant
1
4
7
4
1
4
7
2
7
50 1
F3− 7
50 F2
1
4
0 0 189
50
7
50
⎛
1 0
⎞
0
⎛
8 −3 2
L = ⎝ 1
2 1 0 ⎠ ; U = ⎝ 0 25
2 −2
⎞
⎠
Els mateixos intercanvis de files que hem fet en les matrius A (k) els hem
de fer en b =(12, 20, 33) T . Així doncs, hem de resoldre, successivament, els
sistemes:
⎛
1 0
⎞ ⎛
0
⎝
⎛
1
2
1
4
1
7
50
0 ⎠ ⎝
1
⎞ ⎛
⎝
8 −3 2
0 25 2 −2
0 0 189
50
⎠ ⎝
y1
y2
y3
x1
x2
x3
⎞
⎠ =
⎞
⎠ =
⎛
⎝
⎛
⎝
20
33
12
y1
y2
y3
⎞
⎠
⎞
⎠
7
4
25
2
7
2
−2
189
50
⎞
⎟
⎠

150 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
les solucions dels quals són:
Observacions:
(y1,y2,y3) T =
µ
20, 23, 189
50
(x1,x2,x3) T = (3, 2, 1) T
• Una matriu de permutació P es aquella que té un 1 a cada fila i
columna i zeros a la resta. És, per tant, una reordenació per files (o
columnes) de la matriu unitat. Per exemple,
⎛
P = ⎝
0 0 1
1 0 0
0 1 0
• La inversa d’una matriu de permutació és la seva transposada, és a dir
P −1 = P T
• Multiplicar per l’esquerra una matriu de permutació P per una matriu
A 0 ,PA 0 , equival a fer intercanvis de files en la matriu A 0 . Per tant,
com que en la descomposició LU amb pivotatge obtenim A 0 = LU, es
pot trobar una matriu de permutació P tal que A = PA 0 = PLU.
Aleshores, la resolució del sistema AX = b equival a la resolució successiva
dels sistemes triangulars PLY = b , UX = Y. Aprofitant que
P −1 = P T , la solució del sistema AX = b es troba resolent, successivament
els sistemes ½ LY = P T b
UX = Y
Perexemple,enelcasanterior,tenim:
⎛
= ⎝
0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎞
⎛
1 0 0
1
1
4
7
50 1
⎞
⎛
⎠ · ⎝
2 1 0 ⎠ · ⎝
⎞
⎠
T
8 −3 2
0 25 2 −2
0 0 189
50
(6.4)
⎞ ⎛
A = PLU =
⎞
2 1 4
⎠ = ⎝ 8 −3 2 ⎠
4 11 −1
La matriu P la trobarem, amb MapleV, a partir de l’ordre LUdecomp.
6.5 Mètodes iteratius
Sigui AX = b un sistema lineal de n equacions i n incògnites i suposem
det A 6= 0. Els mètodes iteratius obtenen la solució mitjançant aproximacions

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 151
successives, és a dir, partint d’un vector inicial X (0) ∈ R n ,es construeix una
successió X (1) ,X (2) ,...,X (k) ,...que convergeixi cap a la solució X = A −1 b
Sigui A = N − P una descomposició de la matriu A, ambN invertible.
Aleshores, el sistema AX = b pot escriure’s (N − P )X = b i, com que N és
invertible, resulta
X = N −1 PX + N −1 b
Partint de X (0) arbitrari, definim per recursió una successió de vectors
{X (k) }:
X (k) = N −1 PX (k−1) + N −1 b (6.5)
La matriu M = N −1P se’n diu matriu d’iteració. El mètode iteratiu vé
donat, doncs, per
X (k) = MX (k−1) + N −1 b k =1, 2,... (6.6)
Variant l’elecció de N i P tindrem diferents mètodes iteratius. Els més
habituals són el mètode de Jacobi ieldeGauss-Seidel.
6.5.1 Convergència dels mètodes iteratius
La convergència d’un mètode iteratiu es pot estudiar a partir del radi espectral
de la matriu d’iteració o bé de la seva norma:
• Definim el radi espectral d’una matriu com el màxim, en valor absolut,
dels valors propis de la matriu. Així doncs:
ρ(M) =max|λi|
i
on λi són els valors propis de la matriu M.
• Les normes matricials més habituals són:
kAk 1 = max
x6=0
kAk ∞ = max
x6=0
on A és una matriu n × n.
kAXk 1
kXk 1
kAXk ∞
kXk ∞
= max
1≤j≤n
= max
nX
i=1
nX
|aij|
|aij|
1≤i≤n
j=1
Exemple 6.5 Calculeu kAk1 i kAk∞ per a la següent matriu:
⎛
⎞
1 1.1 1.2
A = ⎝ 1.3 −2 −1.4 ⎠
−1 1.4 1.5

152 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
A partir de les fórmules anteriors, trobem
kAk1 = max{3.3, 4.5, 4.1} =4.5
kAk∞ = max{3.3, 4.7, 3.9} =4.7
Aleshores, tenim els següents resultats sobre la convergència d’un mètode
iteratiu:
• El mètode iteratiu X (k) = MX (k−1) + N −1 b és convergent si i noméssielradiespectraldelamatriud’iteracióρ(M)
és menor que 1,
independentment de l’elecció de X (0) .
• En particular, si kMk < 1 per a alguna norma matricial, el mètode és
convergent per a qualsevol X (0) .
Criteris d’aturada de les iteracions. Fita de l’error
• Suposant kMk < 1, aleshores,tenim una fita per a l’error absolut:
°
°X (k) °
− X°
≤ kMk
°
°X
1 − kMk
(k) − X (k−1)
°
Aquesta desigualtat es pot fer servir com a test per aturar les iteracions:
si la fita d’error prefixada és ε, caldrà comprovar a cada iteració
si
kMk ° X (k) − X (k−1)
1 − kMk
° ≤ ε (6.7)
kMk
Si kMk és molt propera a 1, 1−kMk és molt gran i la fita de l’error no
és operativa. En aquests casos podem utilitzar:
° X (k) − X (k−1) ° ° ≤ ε (6.8)
• De vegades, pot ser millor obtenir una estimació de l’error relatiu:
° X (k) − X (k−1) ° ° X (k) ° ≤ ε (6.9)
• Suposant kMk < 1, la següent desigualtat pot utilitzar-se per a obtenir
una fita, sovint excessiva, del nombre d’iteracions necessàries per
trobar la solució amb una precisió donada
° °
° X (k) − X °
kMk
≤ k ° X (1) − X (0)
1 − kMk
° (6.10)

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 153
6.5.2 Mètode de Jacobi
Donat el sistema AX = b ,suposemaii 6= 0, (i =1÷ n)
Definim
⎛
⎜
N = ⎝
a11
Aleshores,
⎛
0
⎜
P = N − A = ⎜
⎝
. ..
−aij
. ..
−aij
. ..
⎞
⎟
⎠
0
El mètode de Jacobi pot aplicar-se si det N 6= 0,ésadir,siaii 6= 0, (i =
1 ÷ n). En components, l’algorisme d’iteració (6.6) és:
x (k)
⎛
1 ⎜
i = ⎜
aii
⎝bi nX
− aijx (k−1)
⎞
⎟
j ⎠ (i =1÷ n) (6.11)
Observacions:
j=1
j6=i
. ..
ann
⎞
⎟
⎠
1. Si en el sistema AX = b aïllem la variable xi en l’equació i-èsima,
obtenim
ai1x1 + ai2x2 + ...+ ainxn = bi
xi = 1
⎡
⎢
⎣bi nX
−
aii
j=1
j6=i
aijxj
⎤
⎥
⎦
d’on el mètode iteratiu és el descrit en (6.11)
(i =1÷ n)
2. El nombre d’operacions a cada iteració (de X (k−1) a X (k) )ésn 2 .
3. La condició kMk < 1 per a les normes kk1 i kk∞ és, en aquest cas,
nX
¯ ¯
¯aij
¯
kMk1 = max ¯ ¯
j ¯ ¯ < 1 (6.12)
kMk ∞ = max
i
i=1
i6=j
nX
¯
j=1
j6=i
aii
aij
aii
¯ < 1 (6.13)

154 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
Exemple 6.6 Resoleu, pel mètode de Jacobi, el sistema:
⎛
0 2
⎞
1
⎛ ⎞
x
⎛ ⎞
1
⎝ 4 1 1 ⎠ · ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠ (6.14)
1 1 4 z −3
amb un error menor que 10 −3 .
És fàcil comprovar que la solució exacta és x =0,y=1,z= −1.
Com que la matriu diagonal N no és invertible, hem de reordenar les equacions
i resoldre el sistema:
⎛
4 1
⎞
1
⎛ ⎞
x
⎛ ⎞
0
⎝ 0 2 1 ⎠ · ⎝ y ⎠ = ⎝ 1 ⎠
1 1 4 z −3
Observem que el mètode de Jacobi serà convergent per a qualsevol valor
inicial perquè, segons(6.13), tenim:
nX
¯ ¯
¯aij
¯
kMk∞ =max ¯ ¯
i ¯ ¯ =max
½ ¾
1 1 1 1 1
+ , , + =0.5
4 4 2 4 4
⎛
Així doncs, N = ⎝
j=1
j6=i
4 0 0
0 2 0
0 0 4
aii
⎞
P = N − A = ⎝
⎠ i, per tant,
⎛
⎛
M = N −1 P = ⎝
0 −1 −1
0 0 −1
−1 −1 0
C = N −1 b =(0, 0.5, −0.75) T
⎞
⎠
0 −.25000 −.25000
0 0 −.50000
−.25000 −.25000 0
Partint de X (0) = C i utilitzant (6.7) amb la norma kk ∞ peraturarles
iteracions, el mètode de Jacobi dóna les següents aproximacions:
X (1) = MX (0) + C =(.06250,.87500, −.87500) T
X (2) = MX (1) + C =(0,.93750, −.98438) T
X (3) = MX (2) + C =(.01172,.99219, −.98438) T
X (4) = MX (3) + C =(−.00195,.99219, −1.0010) T
X (5) = MX (4) + C =(.00220, 1.0005, −.99756) T
X (6) = MX (5) + C =(−.00074,.99878, −1.0007) T
X (7) = MX (6) + C =(.00048, 1.0004, −.99952) T
X (8) = MX (7) + C =(−.00022,.99976, −1.0002) T
⎞
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 155
Donat que ° °X (8) − X (7)° ° ∞ = k(−.00070, −.00064, −.00068)k ∞ =0.00070,
la solució X (8) obtinguda és tal que:
°
°X (8) °
− X°
≤
∞
6.5.3 Mètode de Gauss-Seidel
kMk
°
∞ °
°X
1 − kMk∞ (8) − X (7)
° =
∞
0.5
· 0.00070 = 0.00070 < 10−3
1 − 0.5
El mètode de Gauss-Seidel es basa en la mateixa fórmula (6.11), amb la
diferència que utilitzem a cada iteració els x (k)
i acabats de calcular, és a dir,
x (k)
⎡
1 Xi−1
i = ⎣bi − aijx
aii
(k)
j −
nX
aijx (k−1)
⎤
⎦
j (i =1÷ n) (6.15)
j=1
j=i+1
Donat que aquest mètode utilitza en el càlcul de x (k)
i valors més aproximats
que el mètode de Jacobi, és d’esperar, en principi, una convergència més
ràpida.
La descomposició d’A que dóna lloc a aquest esquema iteratiu s’obté prenent
⎛
a11
⎜
N = ⎜ a21
⎜
⎝ .
0
a22
···
. ..
. ..
0
.
0
⎞
⎟
⎠
an1 ··· ··· ann
Observacions:
1. La condició kMk < 1 per a la norma kk∞ és la mateixa que per al
mètode de Jacobi:
nX
¯ ¯
¯aij
¯
kMk∞ =max ¯ ¯
i ¯ ¯ < 1
j=1
j6=i
2. Si A és estrictament dominant diagonalment, els mètodes de Jacobi i
de Gauss-Seidel convergeixen.
3. Si A és simètrica amb elements positius a la diagonal, el mètode de
Gauss-Seidel convergeix si i només si A és definida positiva.
aii

156 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
Exemple 6.7 Resoleu el sistema (6.14) pel mètode de Gauss-Seidel.
Igual que quan hem aplicat el mètode de Jacobi, hem de reordenar les equacions
per tal que la matriu N sigui invertible:
⎛
4 1
⎞
1
⎛ ⎞
x
⎛ ⎞
0
⎝ 0 2 1 ⎠ · ⎝ y ⎠ = ⎝ 1 ⎠
1 1 4 z −3
Com que la matriu A és estrictament dominant diagonalment, el mètode de
Gauss-Seidel convergeix per a qualsevol valor inicial. Tenint en compte que
⎛
4 0
⎞
0
N = ⎝ 0 2 0 ⎠
1 1 4
resulta:
⎛
P = N − A = ⎝
⎛
M = N −1 P = ⎝
⎛
C = N −1 b = ⎝
0 −1 −1
0 0 −1
0 0 0
⎞
⎠
0 −.25000 −.25000
0 0 −.50000
0 .062500 .18750
0
.50000
−.87500
Aleshores, utilitzant (6.7) amb la norma kk ∞ per aturar les iteracions i
partint de X (0) = C, obtenim les següents aproximacions:
X (0) = (0, 0.50000, −0.87500)
X (1) = MX (0) + C =(.09375,.93750, −1.0078) T
X (2) = MX (1) + C =(0.01757, 1.0039, −1.0054) T
X (3) = MX (2) + C =(.00037, 1.0027, −1.0008) T
X (4) = MX (3) + C =(−.00048, 1.0004, −.99998) T
X (5) = MX (4) + C =(−.00010,.99999, −.99998) T
Com que ° X (5) − X (4) ° = k(.00038, −.00041, 0)k ∞ ∞ =0.00041, l’estimació
de l’error comès per a la solució X (5) obtinguda és:
°
°X (5) °
− X°
∞
≤
kMk
°
∞ °
°X
1 − kMk∞ (5) − X (4)
° =
∞
0.5
· 0.00041 = 0.00041 < 10−3
1 − 0.5
⎞
⎠
⎞
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 157
6.6 Problemes resolts
Problema 6.1 Resoleu, aplicant el mètode de Gauss, el sistema
⎧
⎨
⎩
2x1 − x2 + x3 = −1
3x1 +3x2 +9x3 = 0
3x1 +3x2 +5x3 = 4
Els passos de la fase d’eliminació gaussiana són:
⎛ ¯ ⎞
2 −1 1 ¯ −1
⎝ 3 3 9 ¯ 0 ⎠
3 3 5 ¯ 4
F2 − 3 2F1 F3 − 3
2F1 ⎛
¯ ⎞
2 −1 1 ¯ −1
→ ⎝ 9 15 0 ¯ 32 ⎠
2 2 ¯
9 7 0 ¯ 112
2 2
F3−F2 →
⎛
¯ ⎞
2 −1 1 ¯ −1 2x1 − x2 + x3 = −1
⎝ 9 15 0 ¯ 3 ⎠ 9
2 2 ¯ 2 ⇔ 2
0 0 −4 ¯ 4
x2 + 15
2 x3 = 3
⎫
⎬
2 ⎭
−4x3 =4
Finalment, resolem el sistema triangular superior:
— Tercera equació: −4x3 =4⇒ x3 = −1
— Segona equació: 9 2 x2 + 15 2 x3 = 3 2 ⇒ 9 2 x2 − 15 2 = 3 2 ⇒ x2 =2
(6.16)
— Primera equació: 2x1−x2+x3 = −1 ⇒ 2x1−2−1 =−1 ⇒ x1 =1
Problema 6.2 Resoleu el sistema (6.16) anterior utilitzant el mètode LU
Sigui A la matriu del sistema. Aprofitarem els càlculs realitzats al problema
anterior per trobar la factorització A = LU
La matriu U és la matriu triangular superior que hem obtingut en l’eliminació
gaussiana. Per tant, tenim
⎛
2 −1
⎞
1
U = ⎝ 0
0
9
2
0
15 ⎠
2
−4
D’altra banda, tenint en compte les transformacions que hem realitzat sobre
les files trobem els elements de la matriu L:
F2 − 3
2 F1 ⇒ l21 = 3
2
F3 − 3
2 F1 ⇒ l31 = 3
2
F3 − F1 ⇒ l32 =1

158 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
Així doncs, la factorització LU de la matriu A és:
⎛ ⎞ ⎛
2 −1 1
⎞
A = LU = ⎝ ⎠ ⎝ 0
0
9
2
0
15 ⎠
2
−4
1 0 0
3
2 1 0
3
2 1 1
Aleshores, hem de resoldre successivament els sistemes
LY = b
UX = y
Plantegem primer el sistema triangular inferior
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
quetépersolució
⎝
1 0 0
3
2 1 0
3
2 1 1
⎠ ⎝
y1
y2
y3
⎠ = ⎝
Y T µ
= −1, 3
T
, 4
2
i, després, el sistema triangular superior
⎛
2 −1 1
⎞ ⎛
⎝ 0
0
9
2
0
15 ⎠ ⎝
2
−4
la solució del qual és
x1
x2
x3
⎞
X T =(1, 2, −1) T
⎛
⎠ = ⎝
Problema 6.3 Fent servir aritmètica de punt flotant amb quatre dígits,
resoleu el sistema
a)
⎧
⎨
⎩
−1
0
4
−1
3
2
4
x1 + 1
2x2 + 1
5x3 = 3
−4x1 +2x2 +3x3 = −1
5
3x1 − x2 − x3 = 2
(a) pel mètode de Gauss, sense pivotatge
(b) pel mètode de Gauss amb pivotatge parcial
⎛
⎝
1 .5000 .2000
−4 2 3
1.667 −1 −1
¯
⎞
⎠
3
−1
2
⎞
⎠
⎞
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 159
Aleshores
b)
F2+4F1
F3−1.667F1
→
F3−0.4585F2 →
⇔
⎛
⎝
⎛
⎝
1 .5000 .2000
0 4 3.800
0 −1.834 −1.333
1 .5000 .2000
0 4 3.800
0 0 .4090
¯
¯
3
11
2.043
3
11
−3.001
⎞
⎠
⎞
⎠
x1 +0.5000x2 +0.2000x3 = 3
4x2 +3.800x3 = 11
0.4090x3 = 2.043
x3 = 2.043
0.4090 =4.995
x2 =
11 − 3.800 · 4.995
= −1.995
4
x1 = 3−0.5 · (−1.995) − 0.2 · 4.995 = 2.999
Com que el màxim valor absolut dels elements de la primera columna és 4,
intercanviem la primera i segona files
⎛
¯ ⎞
−4 2 3 ¯ −1
F12 → ⎝ 1 .5000 .2000 ¯ 3 ⎠
1.667 −1 −1 ¯ 2
⎛
¯ ⎞
−4 2 3 ¯ −1
F2+0.25F1 → ⎝ 0 1 .9500 ¯ 2.750 ⎠
F3+0.4168F1 0 −.1664 .2500 ¯ 2.041
Com que max{|1| , |−0.1664|} =1, no cal intercanviar la segona i tercera
files. Aleshores:
⎛
¯ ⎞
−4 2 3 ¯ −1
F3 +0.1664F2 → ⎝ 0 1 .9500 ¯ 2.750 ⎠
0 0 .4081 ¯ 2.041
El sistema triangular superior que hem de resoldre és
quetépersolució:
−4x1 +2x2 +3x3 = −1
x2 +0.9500x3 = 2.750
0.4081x3 = 2.041
⎫
⎬
⎭
(x1,x2,x3) T =(3.000, −2.001, 5.001) T
⎫
⎬
⎭

160 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
Problema 6.4 Utilitzant el mètode de Jacobi, trobeu el nombre d’iteracions
necessàries per resoldre el sistema
⎛
⎝
6 2 0
2 3 0
1 0 3
amb un error menor que 10 −3 .
⎞ ⎛
⎠ ⎝
x
y
z
⎞
⎛
⎠ = ⎝
El mètode és convergent perquè la matriu A del sistema és estrictament
dominant diagonalment
Prenent
⎛
N = ⎝
trobem les matrius P, M i C = N −1 b :
P =
M =
C =
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎝
6 0 0
0 3 0
0 0 3
0 −2 0
−2 0 0
−1 0 0
⎞
⎠
⎞
⎠
4
3
3
⎞
⎠
0 −.33333 0
−.66667 0 0
−.33333 0 0
.66667
1
1
Aplicant la desigualtat (6.10), volem trobar k tal que
kMk k °
1 − kMk
⎞
⎠
°X (1) − X (0)
° ≤ 10 −3
Partint de X (0) = C, trobemX (1) = MX (0) +C =(.33334,.55555,.77778) T .
Utilitzant kk ∞ itenintencomptequekMk ∞ = .66667 ique ° °X (1) − X (0)° ° ∞ =
0.44445, hem de trobar k tal que
d’on
0.66667k · 0.44445 ≤ 10−3
1 − 0.66667
³ ´
10−3 (1−0.66667)
ln 0.44445
k ≥
=17.747
ln 0.66667
⎞
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 161
Per tant, amb 18 iteracions podrem assegurar que l’error comès en la solució
aproximada és menor que 10 −3 . A la pràctica, però, aquesta precisió s’obté
amb 9 iteracions:
X (1) = (.33334,.55555,.77778)
error : = .22222
X (2)
: = (.48149,.77777,.88889)
error : = .11111
X (8)
.
: = (.42916,.71497,.85749)
error : = .0012150
X (9)
: = (.42835,.71389,.85695)
error : = .00053999 < 10 −3
Problema 6.5 Resoleu el sistema anterior pel mètode de Gauss-Seidel,
amb un error menor que 10 −3 .
Hem d’aplicar la fórmula (6.6) amb
N =
⎛
⎝
6 0 0
2 3 0
1 0 3
⎛
M = N −1 P = ⎝
⎞
⎛
⎠ ; P = ⎝
0 −.33333 0
0 .22222 0
0 .11111 0
0 −2 0
0 0 0
0 0 0
⎞
⎞
⎠
⎛
⎠ ; C = N −1 b = ⎝
.66667
.55556
.77778
Partint de X (0) = C i utilitzant (6.7) per aturar les iteracions amb ε =0.001,
obtenim:
X (1) = MX (0) + C =(.48149,.67902,.83951)
error = .092588
X (2) = MX (1) + C =(.44033,.70645,.85323)
error = .020580
X (3) = MX (2) + C =(.43119,.71255,.85627)
error = .0045699
X (4) = MX (3) + C =(.42916,.71390,.85695)
error = .0010150
X (5) = MX (4) + C =(.42871,.71420,.85710)
error = .00022500 < 0.001
⎞
⎠

162 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
6.7 Problemes resolts amb Maple
La llibreria linalg ens permet realitzar operacions pròpies de l’àlgebra lineal.
Per resoldre sistemes d’equacions utilitzarem, entre d’altres, les següents
instruccions:
• linsolve(A, b, ’rang’ );
— Permet resoldre el sistema d’equacions AX = b, on b pot ser un
vector o una matriu.
— Si s’especifica un tercer argument, aquest serà el nom que s’assignarà
al rang d’A.
• swaprow(A, i, j);
— Intercanvia les files i-èsima i j-èsima en la matriu A. Anàlogament,
swapcol(A, i ,j) intercanvia les columnes especificades.
• gausselim(A, ’var1’, ’var2’ );
— Aplica el mètode de Gauss a la matriu A per tal d’obtenir una
matriu triangular superior. Si els elements de la matriu s’escriuen
en notació decimal, es porta a terme l’eliminació gaussiana amb
pivotatge parcial.
— Si s’especifica el paràmetre var1, aquestcorrespondràalrangde
la matriu. El paràmetre var2 s’assigna al determinant de la submatriu
formada per les n primeres files i columnes, que coincideix
amb el determinant d’A si aquesta és quadrada.
— Si només especifiquem un segon paràmetre i és un enter, l’eliminació
gaussiana s’acaba en aquesta posició de columna.
• pivot(A, i, j, r..s);
— Transforma la matriu A en una altra d’equivalent, de manera que
la j-èsima columna tindrà tots els elements iguals a 0, llevat de
l’element aij. El paràmetre r..s s’indica quan volem que aquestes
transformacions siguin només de la fila r a la s.
• augment(A,B,...);
— Ajunta horitzontalment en una sola matriu dues o més matrius o
vectors. Els vectors són afegits en columna.
• backsub(U, b);

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 163
— Obté el vector solució del sistema triangular superior UX = b.
Si s’omet el paràmetre b, la darrera columna de la matriu U
s’utilitza en comptes de b.
• forwardsub(L,b);
— És anàloga a la instrucció backsub, peròperasistemestriangulars
inferiors.
• LUdecomp(A,P=’p’,L=’l’,U=’u’,rank=’rang’,det=’d’);
— CalculaladescomposicióLU d’una matriu A i dóna com a resultat
la matriu U.
— Si els elements de la matriu A estan en notació decimal, s’utilitza
pivotatge parcial. Aleshores, es té A=PLU, onP és la matriu de
permutació.
— El paràmetre rank és el rang de la matriu A. Si aquesta té rang
màxim, det correspon al seu determinant.
Problema 6.6 La matriu de Hilbert d’ordre 4 és:
⎛
⎜
H4 = ⎜
⎝
1
1
2
1
3
1
1
2
1
3
1
4
1
1
3
1
4
1
5
1
1
4
1
5
1
6
1
⎞
⎟
⎠
4 5 6 7
Resoleu el sistema H4X = b, amb b T = ¡ 4, 163
60
, 21
10
¢
241 , 140
(a) pel mètode de Gauss
(b) pel mètode de Gauss amb pivotatge parcial.
Comencem carregant la llibreria linalg:
> restart; with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace

164 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
a)
Maple disposa d’una ordre específica per a crear una matriu de Hilbert
d’ordre n:
> h:=hilbert(4);
⎡
⎢
h := ⎢
⎣
> b:= vector( [4,163/60,21/10,241/140] );
∙
b := 4, 163
¸
21 241
, ,
60 10 140
La solució exacta del sistema és:
> linsolve(h,b);
1
1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
4
1
5
1
3
1
4
1
5
1
6
[1, 2, 3, 4]
Comencem formant la matriu ampliada sobre la que efectuar l’eliminació
gaussiana:
>amp:=augment(h,b);
⎡
1
⎢
1
⎢ 2
amp := ⎢ 1
⎢ 3
⎢
⎣
1
4
1
2
1
3
1
4
1
5
1
3
1
4
1
5
1
6
1
4
1
5
1
6
1
7
1
4
1
5
1
6
1
7
⎤
⎥
⎦
4
163
60
21
10
241
140
Escrivim els elements de la matriu en notació decimal utilitzant, per exemple,
vuit dígits:
> Digits:=8;
Digits := 8
⎤
⎥
⎦

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 165
>gauss[1]:=map(evalf,amp);
gauss1 :=
⎡
⎢
⎣
1. .50000000 .33333333 .25000000 4.
.50000000 .33333333 .25000000 .20000000 2.7166667
.33333333 .25000000 .20000000 .16666667 2.1000000
.25000000 .20000000 .16666667 .14285714 1.7214286
Les diferents matrius que s’obtenen en la fase d’eliminació gaussiana són:
> n:=4;
for i from 1 to n-1 do gauss[i+1]:= pivot(gauss[i],i,i,i..n);od ;
gauss2 :=
gauss3 =
gauss4 =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
n := 4
1. .50000000 .33333333 .25000000 4.
0 .083333330 .083333330 .075000000 .71666670
0 .083333330 .088888890 .083333337 .76666670
0 .075000000 .083333337 .080357140 .72142860
1 .50000000 .33333333 .25000000 4.
0 .083333330 .083333330 .075000000 .71666670
0 0 .0055555600 .0083333370 .050000000
0 0 .0083333370 .012857137 .076428540
1 .50000000 .33333333 .25000000 4.
0 .083333330 .083333330 .075000000 .71666670
0 0 .0055555600 .0083333370 .050000000
0 0 −.20000000 · 10 −9 .00035713600 .0014285650
Resolem el sistema triangular que representa la darrera matriu:
> A:= submatrix(gauss[4],1..4,1..4);
bg:=col(gauss[n],5);
A : =
⎡
⎢
⎣
1 .50000000 .33333333 .25000000
0 .083333330 .083333330 .075000000
0 0 .0055555600 .0083333370
0 0 −.20000000 · 10 −9 .00035713600
bg : = [.25000000,.075000000,.0083333370,.00035713600]
>solucio1:= linsolve(A, bg);
b)
solucio1 :=[.9999959, 2.0000418, 2.9999043, 4.0000605]
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦

166 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
Resolem ara el sistema utilitzant pivotatge parcial. Si la matriu associada al
sistema té els seus elements en notació decimal, ho podem fer directament
amb la instrucció gausselim:
> U:= gausselim(gauss[1]) ;
⎡
1. .50000000 .33333333 .25000000 4.
⎤
⎢
U := ⎢
⎣
0
0
.08333333
0
.08333333
.008333337
.07500000
.012857137
.7166667
.07642854
⎥
⎦
0 0 0 −.0002380908 −.000952379
Resolent el sistema triangular que representa aquesta matriu, obtenim la
solució del sistema:
> solucio2:=backsub(U) ;
solucio2 :=[.99999550, 2.0000456, 2.9998952, 4.0000664]
Si volem fer nosaltres mateixos el pivotatge parcial, aprofitant l’apartat anterior
veiem que en la matriu gauss3 hem d’intercanviar la tercera i quarta
files. Ho farem amb l’ordre swaprow:
> a3:= swaprow(gauss[3],3,4);
⎡
1 .50000000 .33333333 .25000000 4.
⎤
⎢
a3 := ⎢ 0
⎣ 0
.083333330
0
.083333330
.0083333370
.075000000
.012857137
.71666670 ⎥
.076428540 ⎦
0 0 .0055555600 .0083333370 .050000000
> a4:= pivot(a3,3,3,3..4);
⎡
1. .50000000 .33333333 .25000000 4.
⎤
⎢
a4 := ⎢
⎣
0
0
.08333333
0
.083333330
.0083333370
.07500000
.012857137
.71666670
.076428540
⎥
⎦
0 0 0 −.00023809080 −.00095237900
Com que aquesta matriu correspon a un sistema triangular superior, trobem
la solució mitjançant l’ordre backsub:
> sol:= backsub(a4);
sol := [.99999550, 2.0000456, 2.9998952, 4.0000664]
Problema 6.7 Resoleu el sistema
⎧
⎨
⎩
4x + y +5z = 10
3x + y +2z = 6
x − y +2z = 4

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 167
(a) aplicant el mètode de Gauss.
(b) aplicant la factorització LU.
Carreguem la llibreria linalg:
> with(linalg):
a)
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> A:=matrix([[4,1,5],[3,1,2],[1,-1,2]]);
b:=vector([10,6,4]);
⎡
4 1 5
A : = ⎣ 3 1 2
1 −1 2
b : = [10, 6, 4]
Formem la matriu sobre la qual realitzar l’eliminació gaussiana
> A1:=augment(A,b);
⎡
A1 := ⎣
4 1 5 10
3 1 2 6
1 −1 2 4
Aplicant el mètode de Gauss a aquesta matriu s’obté una matriu triangular
superior
> U:=gausselim(A1);
⎡
4 1 5 10
U := ⎣ 0
0
1
4
0
7 − 4
−8 6
Resolem el sistema que representa aquesta matriu amb l’ordre backsub
> sol1:=backsub(A1);
sol1 :=
∙ 7
4
, −3
4
− 3
2
¸
3
,
4
Si expressem els elements de la matriu A1 en notació decimal, l’ordre gausselim
executa el mètode de Gauss amb pivotatge parcial:
⎤
⎦
⎤
⎦
⎤
⎦

168 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
>A1:=map(evalf ,A1);
⎡
A1 := ⎣
4. 1. 5. 10.
3. 1. 2. 6.
1. −1. 2. 4.
>U:= gausselim(A1);
⎡
4. 1. 5. 10.
⎤
U := ⎣ 0 −1.250000000 .750000000 1.500000000 ⎦
0 0 −1.600000000 −1.200000000
Observem que la segona fila d’aquesta matriu no es correspon amb la segona
fila d’abans. La solució del sistema és
> sol2 := backsub(U);
sol2 :=[1.750000000, −.7500000000,.7500000000]
b) Resolem ara el sistema a partir de la factorització LU de la matriu A:
> LUdecomp( A,L=’L’,U=’U’);
⎡
4 1 5
⎤
⎣ 0
0
1
4
0
−7 ⎦
4
−8
La instrucció LUdecomp dóna com a resultat la matriu U. Vegem quina
és la matriu L
> evalm(L);
⎡
1 0
⎤
0
⎣ 3
4 1
−5
0 ⎦
1
1
4
Ara, hem de resoldre el sistema LY=b i després el sistema UX=Y
> Y:=forward(L,b);
X:=backsub(U,Y);
Y :
∙
= 10, −3
¸
, −6
2
X :
∙ ¸
7 −3 3
= , ,
4 4 4
Si els elements de la matriu A estan en notació decimal, aleshores es realitza
la descomposició LU amb pivotatge parcial:
⎤
⎦

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 169
> A:= map( evalf, A);
⎡
A := ⎣
4. 1. 5.
3. 1. 2.
1. −1. 2.
> LUdecomp( A, L=’L’,U=’U’, P=’p’);
⎡
4. 1. 5.
⎤
⎣ 0 −1.250000000000000 .7500000000000000 ⎦
0 0 −1.600000000000000
Vegem quines són les matrius L i P, matrius triangular inferior i de permutació,
respectivament
> evalm(L);
evalm(p);
⎡
⎣
1. 0 0
.2500000000 1. 0
.7500000000 −.2000000000 1.
⎡
⎣
1. 0 0
0 0 1.
0 1. 0
Segons (6.4), per resoldre el sistema AX=b hemderesoldreprimerLY=P T b
i després UX=Y
> Y:=forwardsub(L,transpose(p)&*b);
X:= backsub(U,Y);
Y : = [10.00000000, 1.500000000, −1.200000000]
X : = [1.750000000, −.7500000000,.7500000000]
Comprovem la solució obtinguda:
> evalm(A &* X);
[10.00000000, 6.000000000, 4.000000000]
Problema 6.8 Resoleu el següent sistema pel mètode de Jacobi, amb un
error menor que 10 −3
⎧
⎨
⎩
⎤
⎦
⎤
⎦
3x + y + z = 5
x +3y − z = 3
3x + y − 5z = −1
fent servir aritmètica de punt flotant amb 5 dígits.
⎤
⎦

170 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
> restart; with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> Digits:=5;
Digits := 5
> A:= matrix(3,3, [3,1,1,1,3,-1,3,1,-5]);
b:= vector([5,3,-1]);
⎡
3 1 1
A : = ⎣ 1 3 −1
3 1 −5
b : = [5, 3, −1]
La solució del sistema és
> linsolve(A,b);
[1, 1, 1]
L’esquema iteratiu que hem d’aplicar és X (k) = MX (k−1) + C amb M =
N −1 P i C = N −1 b, on la matriu N és
> N:= diag(3,3,-5);
Calculem P, M i C
> P:= evalm(N-A);
⎡
N := ⎣
3 0 0
0 3 0
0 0 −5
M:= map (evalf , evalm(inverse(N)&*P));
C:= map (evalf , evalm(inverse(N)&*b));
⎡
0 −1
⎤
−1
P : = ⎣ −1 0 1 ⎦
−3 −1 0
⎡
0 −.33333
⎤
−.33333
M : = ⎣ −.33333 0 .33333 ⎦
.60000 .20000 0
C : = [1.6667, 1., .20000]
Observem que la norma infinit de M és menor que 1 i, per tant, el mètode
és convergent
⎤
⎦
⎤
⎦

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 171
> norm(M);
.80000
Apliquem l’esquema iteratiu (6.6) prenent (6.8) amb la norma infinit com a
criteri per aturar les iteracions
> X[0]:= evalm(C);
error:=infinity;
for i from 0 to 10 while error>10^(-3) do
X[i+1]:= map(evalf,evalm(M&*X[i]+C));
error:=norm(X[i+1]-X[i]); od;
X0 : = [1.6667, 1., .20000]
error : = ∞
X1 : = [1.2667,.51111, 1.4000]
error : = 1.2000
X2 : = [1.0297, 1.0444, 1.0622]
error : = .53329
X3 : = [.96451, 1.0108, 1.0267]
error : = .06519
X4 : = [.98754, 1.0207,.98087]
error : = .04583
X5 : = [.99952,.99777,.99666]
error : = .02293
X6 : = [1.0019,.99905,.99926]
error : = .00260
X7 : = [1.0006,.99912, 1.0010]
error : = .00174
X8 : = [1.0000, 1.0001, 1.0002]
error : = .00098
Problema 6.9 Resoleu el problema anterior utilitzant el mètode de Gauss-
Seidel
> restart; with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace

172 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
> Digits := 5;
Digits := 5
Introduïm les matrius A i b
⎡
3 1 1
A : = ⎣ 1 3 −1
3 1 −5
b : = [5, 3, −1]
Per aplicar Gauss-Seidel hem de prendre la següent matriu N
> N:= matrix(3,3,[3,0,0,1,3,0,3,1,-5]);
⎡
N := ⎣
Aleshores, les matrius P, M i C són
> P:= evalm(N-A);
3 0 0
1 3 0
3 1 −5
M:= map (evalf , evalm(inverse(N)&*P));
C:= map (evalf , evalm(inverse(N)&*b));
⎡
P : = ⎣
⎡
0 −1 −1
0 0 1
0 0 0
0 −.33333 −.33333
M : = ⎣ 0 .11111 .44444
0 −.17778 −.11111
C : = [1.6667, .44444, 1.2889]
Com que la norma infinit de M és menor que 1, el mètode és convergent
> norm(M);
.66666
Imposant el mateix criteri (6.8) per aturar les iteracions, obtenim
> X[0]:= evalm(C);
error:=infinity;
for i from 0 to 10 while error>10^(-3) do
X[i+1]:= map(evalf,evalm(M&*X[i]+C));
⎤
⎦
⎤
⎦
⎤
⎦
⎤
⎦

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 173
error:=norm(X[i+1]-X[i]); od;
X0 : = [1.6667,.44444, 1.2889]
error : = ∞
X1 : = [1.0889, 1.0667, 1.0667]
error : = .62226
X2 : = [.95558, 1.0370,.98074]
error : = .13332
X3 : = [.99413,.99554,.99557]
error : = .04146
X4 : = [1.0030,.99752, 1.0013]
error : = .00887
X5 : = [1.0004, 1.0003, 1.0003]
error : = .00278
X6 : = [.99984, 1.0002,.99993]
error : = .00056
6.8 Problemes proposats
1. Resoleu el següent sistema
⎧
⎨
⎩
x1 + x2 + x3 = 1
x1 +1.0001x2 − 2x3 = 2
x1 +2x2 +2x3 = 1
pel mètode de Gauss emprant aritmètica de punt flotant amb 3 dígits.
2. Resoleu el sistema anterior trobant la factorització LU de la matriu A.
3. Resoleu el següent sistema
⎛
−1 1 0 −3
⎜
⎝
1
0
0
1
3
−1
1
−1
3 0 1 2
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
x1
x2
x3
x4
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
(a) pel mètode de Gauss
(b) pel mètode de Gauss amb pivotatge parcial
(c) pel mètode LU
4. Resoleu els següents sistemes fent servir el mètode de Jacobi amb un
error menor que 10 −3 :
4
0
3
1
⎞
⎟
⎠

174 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
(a)
(b)
(c)
⎛
⎜
⎝
⎛
⎝
⎧
⎨
⎩
2x2 +4x3 = 0
x1 − x2 − x3 = 0.375
x1 − x2 +2x3 = 0
10 −1 0
−1 10 −2
0 −2 10
10 −1 2 0
−1 11 −1 3
2 −1 10 0
0 3 −1 8
⎞ ⎛
⎠ ⎝
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
x1
x2
x3
x1
x2
x3
x4
⎞
⎛
⎠ = ⎝
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
9
7
6
⎞
⎠
6
25
−11
−11
5. Repetiu l’exercici anterior aplicant el mètode de Gauss-Seidel
6. Fent servir el mètode de Jacobi resoleu el sistema
⎧
⎨
⎩
amb un error relatiu < 5%.
−5x +2y +2z = −8
3x − 7y +2z = −7
3x +4y − 7z = −11
7. Siguin A i B matrius d’ordre n estrictament dominants diagonalment.
(a) És -A estrictament dominant diagonalment?
(b) És AT estrictament dominant diagonalment?
(c) És A+B estrictament dominant diagonalment?
8. Considerem el següent sistema amb un paràmetre
⎛
4 1
⎞ ⎛ ⎞
a x
⎛ ⎞
1
⎝ 1 4 1 ⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ 2 ⎠
1 1 4 z 3
(a) Per a quins valors d’a el mètode de Jacobi és convergent?
(b) I el de Gauss-Seidel?
(c) Sigui a = −1. Resoleu el sistema per cadascun dels mètodes amb
un error < 10−2 ⎞
⎟
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 175
9. Sigui A =
µ 1 −a
−a 1
Volem resoldre el sistema AX = b iterativament mitjançant la fórmula
µ 1 0
−a 1
X (n+1) =
µ 0 a
0 0
Per a quins valors de a convergeix el mètode?
10. Donat el sistema d’equacions lineals:
x +0.1y +0.1z =1.2
0.2x + y +0.1z =1.3
0.2x +0.2y + z =1.4
X (n) + b
(a) Comproveu si és convergent el mètode de Gauss-Seidel.
(b) Calculeu els tres primers iterats agafant X (0) =(0, 0, 0) T .
(c) Calculeu quants iterats són necessaris per obtenir un error menor
que 10 −4 a partir de l’aproximació inicial anterior.
11. Donat el sistema d’equacions lineals depenent del paràmetre a
6x +2y =4
2x +3y =3
x + ay +3z =3
(a) Formuleu el sistema matricialment i escriviu explícitament el mètode
de Jacobi per a resoldre’l, en funció del paràmetre.
(b) Per a quins valors de a podem assegurar la convergència del mètode?
(c) Posem a =0. Quantes iteracions hauríem de fer, a partir del
vector inicial X (0) =(0, 0, 0) T , per obtenir una precisió de dos
decimals exactes?
12. Donat el sistema d’equacions lineals
És convergent el mètode de Jacobi?
x + y +2z =1
2x + y +2z =1
−2x + y + z =1
13. Donat el sistema d’equacions lineals
3x + y =4
x +3y =7
x − y +3z =2
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭

176 Cap. 6 Sistemes d’equacions lineals
i el vector inicial X (0) =(0, 0, 0) T , trobeu el nombre d’iterats necessaris per
tal d’obtenir una aproximació de la solució pel mètode de Jacobi amb un
error menor que 10 −3 , usant la norma infinit.

Capítol 7
Valors i vectors propis.
7.1 Resum teòric i exemples.
7.1.1 Definicionsbàsiquesipropietats.
Valors i vectors propis.
Sigui A una matriu quadrada d’ordre n.
Direm que −→ v és un vector propi de valor propi λ associat a A si −→ v 6= −→ 0 i
A −→ v = λ −→ v.
Això és equivalent a cadascun dels apartats següents:
(a) A −→ v − λ −→ v = −→ 0
(b) (A − λ Id) −→ v = −→ 0
(c) −→ v ∈ Ker(A − λ Id)
(d) det(A − λ Id)=0
El determinant de A − λ Id és un polinomi de grau n en la variable λ i
s’anomena polinomi característic de la matriu A.
Es diuen valors propis de la matriu A a les arrels del polinomi característic.
El conjunt de tots els valors propis d’una matriu A s’anomena espectre de
la matriu A i es denota per σ(A).
El valor propi de mòdul màxim es coneix com radi espectral de la matriu.
ρ(A) =max{|µ| /µ és un valor propi d’A}
177

178 Cap. 7 Valors i vectors propis.
Exemple 7.1 Trobeu els valors propis de la matriu
⎛
A = ⎝
2 1 −1
1 2 0
−1 1 2
1r. Calculem el polinomi característic, és a dir, el determinant de A − λ Id.
¯ 2 − λ
¯ 1
¯ −1
1
2−λ 1
¯
−1 ¯
0 ¯
2−λ¯ = (2−λ)3−1− (2 − λ) − (2 − λ) =
⎞
⎠
= 8−12λ +6λ 2 − λ 3 − 1 − 2+λ − 2+λ =
= −λ 3 +6λ 2 − 10λ +3
2n. Busquem les arrels del polinomi anterior, és a dir, resolem l’equació:
les solucions de la qual són
−λ 3 +6λ 2 − 10λ +3=0
λ1 =3, λ2 = 3 − √ 5
2
i λ3 = 3+√ 5
2
Per tant, l’espectre de la matriu A és:
(
3 −
σ(A) =
√ 5
,
2
3+√ )
5
, 3
2
El radi espectral de la matriu A, enaquestcas,és:
Càlcul de vectors propis.
ρ(A) =3
Peracadavalorpropiλide la matriu A existeix, com a mínim, un vector
−→
v ,demaneraque
A −→ v = λi −→ v
és a dir, existeix, com a mínim, un vector propi. Per trobar-lo, com hem
vist en les equivalències, calcularem el nucli de l’aplicació (A − λi Id).
Exemple 7.2 Per a la matriu de l’exemple anterior, trobeu els vectors propis
corresponents a cada valor propi.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 179
Per λ =3,calculemKer(A − 3 Id)
⎛
2 − 3 1 −1
⎞ ⎛
⎝ 1 2−3 0 ⎠ ⎝
−1 1 2−3 per això hem de resoldre el sistema:
d’on obtenim la solució
i, per tant, el vector del nucli serà:
x
y
z
−x + y − z = 0
x − y = 0
−x + y − z = 0
z = 0
x = y
⎞
⎛
⎠ = ⎝
⎫
⎬
⎭
(x, y, z) =(y, y, 0) = y(1, 1, 0)
Així, doncs, un vector propi de valor propi 3 és:
−→ v1 =(1, 1, 0) T
Seguint el mateix procés per als altres dos valors propis s’obté que:
Ã
−→ −
v2 =
√ 5 − 1
, 1,
2
−√ ! T
5 − 1
=(−
2
√ 5 − 1, 2, − √ 5 − 1) T
és un vector propi de valor propi 3 − √ 5
,i
2
Ã√ √ ! T
−→ 5 − 1 5 − 1
v3 = , 1,
=(
2 2
√ 5 − 1, 2, √ 5 − 1) T
és un vector propi de valor propi 3+√5 .
2
Matrius semblants.
Dues matrius A i B direm que són semblants si existeix una matriu P no
singular (det(P ) 6= 0)tal que B = P −1 · A · P .
Exemple 7.3 Matrius semblants.
0
0
0
⎞
⎠

180 Cap. 7 Valors i vectors propis.
Les matrius
⎛
A = ⎝
2 1 −1
1 2 0
−1 1 2
⎞ ⎛
3 0 0
⎠ ⎜
i B = ⎝
0
3+ 0 √ 5
2
3− 0 0 √ 5
2
són semblants, ja que existeix una matriu P , formada pels vectors propis,
⎛
1
P = ⎝
√ 5 − 1 − √ 5 − 1
1
0
2 2
√ 5 − 1 − √ ⎞
⎠
5 − 1
que compleix la condició B = P −1 · A · P .
Propietats.
1. A i B són matrius semblants ⇒ σ(A) =σ(B)
2. Si A i B són matrius semblants, aleshores:
(a) −→ v és vector propi d’A ⇒ −→ v 0 = P −1−→ v és vector propi de B.
(b) −→ v 0 és vector propi de B ⇒ −→ v = P −→ v 0 és vector propi d’A
3. A és invertible (det(A) 6= 0)⇐⇒ 0 no és valor propi d’A
4. λ 6= 0és un valor propi d’A de vector propi −→ v ⇒ 1
és valor propi
λ
d’A−1 de vector propi −→ v.
½
tr (A) =λ1 + λ2 + ...+ λn
5. λ1, λ2, ... λn valors propis d’A ⇒
det(A) =λ1 · λ2 · ...· λn
6. Tota matriu simètrica a coeficients reals és diagonalitzable i els seus
valors propis són reals.
7.1.2 Càlcul numèric de valors i vectors propis.
Hem vist, per definició, que per trobar els valors i vectors propis d’una
matriu busquem:
a) el polinomi característic: càlcul d’un determinant.
b) les arrels del polinomi característic: resolució d’una equació polinòmica.
c) per cada valor propi, el nucli de l’aplicació A−λ Id: resolució d’un sistema
d’equacions.
⎞
⎟
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 181
Aquest procés, en teoria, molt senzill; a la pràctica, si l’ordre de la matriu
és superior a 3 ó 4, ens porta força problemes degut:
1. a la complicació dels càlculs en el cas del determinant.
2. a que per equacions de grau superior a 2, no sempre podem trobar una
solució directament i, per tant, hauríem d’aplicar qualssevol dels mètodes
que hem vist en el capítol 5.
3. a que per a la resolució dels sistemes d’equacions, com hem vist en el
capítol 6, a vegades, també necessitem mètodes numèrics per a poder trobar
la solució.
Per a tot això, ens trobem en la necessitat de buscar algun mètode numèric
que ens permeti calcular els valors i vectors propis d’una matriu sense utilitzar
el polinomi característic. Aquí veurem el mètode de la potència que
ens dóna el valor propi de mòdul màxim i un vector propi associat.
Localització de valors propis: teorema de Gersghorin.
Aquest resultat ens permet trobar unes fites pels valors propis.
Teorema 7.1 Sigui A =(aij)1≤i≤n una matriu i
1≤j≤n
Aleshores, es té
Ki =
⎧ ,
⎨
µ ∈ C | µ − aii | ≤
⎩ X
⎫
⎬
| aij |
⎭
σ(A) ⊂ n
∪
i=1 Ki
Com a conseqüència del teorema tenim una fita pel radi espectral.
nX
ρ(A) ≤ max | aij |
i
Exemple 7.4 Trobeu una fita del radi espectral, aplicant el teorema de
Gersghorin, de la matriu
⎛
2 1
⎞
−1
A = ⎝ 1 2 0 ⎠
−1 1 2
j=1
i compareu-la amb els valors propis trobats en l’exemple 1.
j6=i

182 Cap. 7 Valors i vectors propis.
En primer lloc, calcularem els cercles Ki per a cada fila de la matriu A.
K1 = {µ , | µ − 2 | ≤ 2} = {µ, −2 ≤ µ − 2 ≤ 2} = {µ, 0 ≤ µ ≤ 4}
K2 = {µ, | µ − 2 | ≤ 1} = {µ, −1 ≤ µ − 2 ≤ 1} = {µ, 1 ≤ µ ≤ 3}
K3 = {µ, | µ − 2 | ≤ 2} = {µ, −2 ≤ µ − 2 ≤ 2} = {µ, 0 ≤ µ ≤ 4}
Fent la unió dels tres cercles tenim que
σ(A) ⊂ {µ, 0 ≤ µ ≤ 4}
i, per tant, podem afitar el radi espectral així
ρ(A) ≤ 4
En l’exemple 1 veiem que ρ(A) =3, per tant, és certa la fita anterior i a més
els valors propis que hem trobat estan compresos entre 0 i 4.
0 ≤ λ3 = 3 − √ 5
2
7.1.3 Mètode de la potència.
≤ λ2 = 3+√ 5
2
≤ λ1 =3≤ 4
Aquest mètode ens permet determinar el valor propi de mòdul màxim i un
vector propi associat.
Suposarem que la matriu A és diagonalitzable amb valors propis λ1, λ2, ... , λn
i vectors propis associats −→ v1 , −→ v2 ,..., −→ vn i que el valor propi de mòdul màxim
és únic |λ1| > |λ2| ≥ ...≥ |λn|.
L’algorisme del mètode de la potència, donat un vector inicial normalitzat
x (0) 6= −→ 0 , és:
y (k+1) = Ax (k)
x (k+1) = y(k+1)
k y (k+1) k
Aleshores, si el mètode és convergent s’obté:
(a) k y (k) k −→ | λ1 |
k→∞
(b) x (k) −→
k →∞
−→ v1
per a k ≥ 0
Exemple 7.5 Trobeu, aplicant el mètode de la potència, el valor propi de
mòdul màxim de la matriu
⎛
2 1
⎞
−1
A = ⎝ 1 2 0 ⎠
−1 1 2
agafant com a vector inicial x (0) =(0, 0, 1) T .

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 183
Agafem el vector inicial normalitzat en norma infinit.
x (0) =(0, 0, 1) T
i anem calculant iterats segons l’algorisme
y (1) = Ax (0) ⎛
2 1
⎞ ⎛ ⎞
−1 0
⎛ ⎞
−1
= ⎝ 1 2 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 0 ⎠
x
−1 1 2 1 2
(1) =
y (1)
k y (1) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−1 −0.5
1
= ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 0 ⎠
k 2
2
1
y (2) = Ax (1) ⎛
⎞ ⎛ ⎞
2 1 −1 −0.5
⎛ ⎞
−2.0
= ⎝ 1 2 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ = ⎝ −.5 ⎠
x
−1 1 2 1
2.5
(2) =
y (2)
k y (2) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−2.0 −0.8
1
= ⎝ −.5 ⎠ = ⎝ −0.2 ⎠
k 2.5
2.5
1
...
Seguint aquest procés obtenim els següents resultats que escrivim en forma
de taula.
k y (k) k y (k) k x (k)
1 (−1, 0, 2) T 2 (−0.5, 0, 1) T
2 (−2, −0.5, 2.5) T 2.5 (−0.8, −0.2, 1) T
3 (−2.8, −1.2, 2.6) T 2.8 (−0.99999, −0.42857, 0.92856) T
4 (−3.3572, −1.8571, 2.4285) T 3.3572 (−1, −0.553170, 0.72338) T
5 (−3.2766, −2.1063, 1.8936) T 3.2766 (−0.99999, −0.64282, 0.57791) T
... ... ... ...
29 (−3.0062, −2.9799, 0.042578) T 3.0062 (−0.99999, −0.99126, 0.014164) T
30 (−3.0055, −2.9825, 0.037068) T 3.0055 (−0.99999, −0.99234, 0.012333) T
31 (−3.0046, −2.9847, 0.032316) T 3.0046 (−0.99999, −0.99337, 0.010755) T
↓ ↓
|λ| =3 −→ v =(−1, −1, 0) T
Per tant, observem⎛ que el ⎞ mòdul del valor propi dominant és 3 i un vector
−1
propi associat és ⎝ −1 ⎠ .
0
Observacions.
• Com hem vist el mètode de la potència ens dóna el mòdul del valor
propi però no el signe d’aquest. Per determinar el signe compararem

184 Cap. 7 Valors i vectors propis.
dos iterats consecutius: si els dos vectors tenen el mateix signe, el valor
propi és positiu; mentre que si tenen signes contraris, el valor propi és
negatiu.
En efecte, si x (k) tendeix cap al vector propi i λk és una aproximació
del valor propi, tenim:
x (k+1) = Ax(k)
k Ax (k) k =
1
k Ax (k) k λk x (k)
icomquek Ax (k) k > 0, el signe de λk és l’única diferència entre dos
iterats consecutius.
Exemple 7.6 Determineu el signe del valor propi dominant de l’exemple
anterior.
⎛
−0.99999
−0.99234
⎞
⎛
−0.99999
−0.99337
Observem el vector x (30) = ⎝ ⎠ ielvectorx
0.012333
(31) = ⎝ ⎠,
0.010755
com que el signe dels dos vectors coincideix, podem assegurar que el valor
propi dominant és positiu. Per tant, λ =3.
• A l’hora de descriure el mètode hem suposat que el valor propi de mòdul
màxim és únic. En cas de que tingui multiplicitat, el mètode també
funciona, però no ens dóna la multiplicitat del valor propi i el vector
resultant és una combinació lineal dels vectors propis corresponents.
• Per la propietat 6, sabem que tota matriu simètrica a coeficients reals
té tots els valors propis reals. En aquest cas, el mètode funciona
correctament excepte en el supòsit de dos valors propis oposats λ1 =
−λ2.
Malgrat tot, el mètode ens permet trobar els valors propis i els vectors
propis corresponents amb unes petites modificacions. Ara, els successius
iterats tendiran alternativament a dos valors diferents α i β.
Els valors propis s’obtenen aplicant |λ | = ± p |α · β|. Elsvectorsque
surten alternativament no són els vectors propis finals, per obtenir-los
hem de sumar i restar els vectors iterats. Es a dir,
k y (k) k→ |α| ,x (k) → −→ u
k y (k+1) k→ |β | ,x (k+1) → −→ v
7.1.4 Mètode de la potència inversa.
Es basa en el següent resultat:
λ 6= 0 és valor propi d’A de vector propi −→ v
¾
⎞
⇒ λ1 =+ p |α · β|, −→ v1 = −→ u + −→ v
λ2 = − p |α · β|, −→ v2 = −→ u − −→ v

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 185
⇒ µ = 1
λ és valor propi d’A−1 de vector propi −→ v.
Aplicant el mètode de la potència a la matriu A −1 , trobem que µ és el valor
propi de mòdul màxim, i, per tant, λ és el valor propi de mòdul mínim de
la matriu A.
Així, doncs, el mètode de la potència ens dóna el valor propi de mòdul mínim
i un vector propi associat quan l’apliquem a la inversa de la matriu donada.
Exemple 7.7 Trobeu, aplicant el mètode de la potència inversa, el valor
propi de mòdul mínim de la matriu
⎛
A = ⎝
2 1 −1
1 2 0
−1 1 2
agafant com a vector inicial x (0) =(2, 1, 1) T .
Calculem la matriu inversa de la matriu A.
A −1 ⎛
1.3333 −1
⎞
0.66667
= ⎝ −0.66667 1 −0.33333 ⎠
1 −1 1
Agafem el vector inicial normalitzat en norma infinit.
⎞
⎠
x (0) = 1
2 (2, 1, 1)T =(1, 0.5, 0.5) T
i anem calculant iterats
y (1) = A −1 x (0) ⎛
1.3333 −1
⎞ ⎛
0.66667 1
⎞ ⎛
1.1666
⎞
= ⎝ −0.66667 1 −0.33333 ⎠ ⎝ 0.5 ⎠ = ⎝ −0.33334 ⎠
x
1 −1 1 0.5
1.0
(1) =
y (1)
k y (1) k =
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1.1666
1
⎝ −0.33334 ⎠ = ⎝ −0.28574 ⎠
1.1666
1.0
0.85719
y (2) = A −1 x (1) ⎛
⎞ ⎛
1.3333 −1 0.66667 1
⎞ ⎛
2.1905
⎞
= ⎝ −0.66667 1 −0.33333 ⎠ ⎝ −0.28574 ⎠ = ⎝ −1.2381 ⎠
x
1 −1 1 0.85719 2.1429
(2) =
y (2)
k y (2) k =
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2.1905
1
⎝ −1.2381 ⎠ = ⎝ −0.56522 ⎠
2.1905
2.1429 0.97828
...

186 Cap. 7 Valors i vectors propis.
Seguint aquest algorisme obtenim els següents resultats que escrivim en
forma de taula.
k y (k) k y (k) k x (k)
1 (1.1666, −0.33334, 1) T 1.1666 (1, −0.28574, 0.85719) T
2 (2.1905, −1.2381, 2.1429) T 2.1905 (1, −0.56522, 0.97828) T
3 (2.5507, −1.5580, 2.5435) T 2.5507 (1, −0.61081, 0.99718) T
4 (2.6089, −1.6099, 2.6080) T 2.6089 (1, −0.61707, 0.99965) T
5 (2.6168, −1.6169, 2.6168) T 2.6168 (1, −0.61790, 1) T
6 (2.6179, −1.6179, 2.6179) T 2.6179 (1, −0.61802, 1) T
7 (2.6180, −1.6180, 2.6180) T 2.6180 (1, −0.6180, 1) T
8 (2.6180, −1.6180, 2.6180) T 2.6180 (1, −0.6180, 1) T
↓ ↓
|µ| =2.6180 −→ v =(1, −0.6180, 1) T
Per tant, el mòdul del valor propi mínim és |λ| = 1
|µ| =
un vector propi associat és −→ ⎛ ⎞
1
v = ⎝ −0.6180 ⎠
1
1
=0.38197 i
2.6180
Com que dos vectors consecutius tenen el mateix signe, el valor propi més
petit és positiu i val λ =0.38197 ' 3−√ 5
2 .
7.1.5 Mètode de la potència desplaçada.
Aquest mètode l’utilitzarem quan coneguem una aproximació d’un valor
propi de la matriu. Es basa en el resultat
λ és valor propi d’A
p és un polinomi qualsevol
¾
⇒ p(λ) és valor propi de p(A)
En particular, si δ és una aproximació del valor propi es compleix:
λ ≈ δ és valor propi d’A ⇒ µ = λ − δ ≈ 0 és valor propi de A − δ Id
Per trobar el valor de µ aplicarem el mètode de la potència inversa a la
matriu A − δ Id.
Exemple 7.8 La matriu
⎛
B = ⎝
11 5 4
5 6 2
4 2 6
⎞
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 187
té un valor propi prop de 16. Trobeu-lo amb precisió 10−4 agafant com a
vector inicial el vector x (0) ⎛ ⎞
0
= ⎝ 1 ⎠ .
1
Primer busquem la matriu a la que hem d’aplicar el mètode de la potència.
⎛
B − 16 Id = ⎝
−5 5 4
5 −10 2
4 2 −10
Com que volem el valor propi de mòdul mínim, calculem la matriu inversa.
⎛
A =(B − 16 Id) −1 = ⎝
⎞
⎠
9.6 5.8 5
5.8 3.4 3
5 3 2.5
Aplicant el mètode de la potència a la matriu A obtenim els següents resultats:
k y (k) k y (k) k x (k)
0 1 (0, 1, 1) T
1 (10.8, 6.4, 5.5) T 10.8 (1, 0.59260, 0.50926) T
2 (15.583, 9.3426, 8.0510) T 15.583 (0.99999, 0.59953, 0.51665) T
3 (15.660, 9.3883, 8.0902) T 15.660 (1, 0.59951, 0.51662) T
↓
|ξ| =15.660
↓
−→ v =(1, 0.59951, 0.51662) T
El valor propi de mòdul màxim de A és ξ =15.660, amb un error 0.00003 i,
per tant, el valor propi de mòdul mínim de la matriu B − 16 Id és µ = 1
ξ =
0.063857.
El valor propi de la matriu B que busquem és λ = µ +16=16.063857.
7.2 Problemes resolts.
Problema 7.1 Trobeu el valor propi de mòdul màxim, pel mètode de la
potència, de la matriu
⎛
−4 14
⎞
0
A = ⎝ −5 13 0 ⎠
−1 0 2
considerant com a vector inicial x (0) =(1, 1, 1) T iambunaprecisióde10 −3 .
⎞
⎠

188 Cap. 7 Valors i vectors propis.
Per començar el mètode de la potència, considerem el vector inicial normalitzat
en norma infinit:
x (0) =(1, 1, 1) T
El primer iterat serà:
y (1) = Ax (0) =
x (1) =
El segon iterat és:
y (2) = Ax (2) =
x (2) =
⎛
⎝
y (1)
k y (1) 1
=
k 10
⎛
⎝
y (2)
k y (2) 1
=
k 7.2
−4 14 0
−5 13 0
−1 0 2
⎛
⎝
10
8
1
−4 14 0
−5 13 0
−1 0 2
⎛
⎝
7.2
5.4
0.1
⎞
⎞ ⎛
⎠ ⎝
⎛
⎠ = ⎝
Aplicant l’algorisme successivament obtenim:
1
1
1
1
0.8
0.1
⎞
⎛
⎠ = ⎝
⎞
⎠
10
8
1
⎞
⎠
⎞ ⎛
1
⎞ ⎛
7.2
⎠ ⎝ 0.8 ⎠ = ⎝ 5.4
⎞
0.1
⎛
1
−0.8
⎞
⎠ = ⎝ 0.75001
−0.11111
⎠
k y (k) k y (k) k x (k)
3 (6.5, 4.7501, −1.2222) T 6.5 (1, 0.73080, −0.18804) T
4 (6.2310, 4.5004, −1.3761) T 6.2310 (1, 0.72227, −0.22085) T
5 (6.1120, 4.3895, −1.4417) T 6.1120 (1, 0.71817, −0.23588) T
6 (6.0541, 4.3363, −1.4717) T 6.0541 (1, 0.71627, −0.24310) T
7 (6.0280, 4.3115, −1.4862) T 6.0280 (1, 0.71523, −0.24655) T
8 (6.0131, 4.2981, −1.4931) T 6.0131 (1, 0.71477, −0.24830) T
9 (6.0071, 4.2921, −1.4966) T 6.0071 (1, 0.71451, −0.24914) T
10 (6.0030, 4.2886, −1.4983) T 6.0030 (1, 0.71439, −0.24959) T
⎞
⎠
↓ ↓
|λ| =6 −→ v =(1, 0.71439, −0.25) T
El valor propi dominant de la matriu, amb un error 0.00045, ésλ =6, ja
que es conserva el signe en dos iterats consecutius.
Problema 7.2 Trobeu tots els valors propis de la matriu
⎛
1 −1 1
⎞
A = ⎝ −2 4 −2 ⎠
2 −1 1
aplicant el mètode de la potència, amb vector inicial x (0) =(2, 0, 1) T , per a
trobar el de mòdul màxim i el de mòdul mínim.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 189
A) Calculem el valor propi de mòdul màxim, per tant, apliquem el mètode
de la potència a la matriu original.
Per començar, considerem el vector inicial normalitzat en norma infinit:
El primer iterat serà:
y (1) = Ax (0) =
x (1) =
El segon iterat és:
y (2) = Ax (2) =
x (2) =
x (0) = 1
2 (2, 0, 1)T =(1, 0, 0.5) T
⎛
⎝
y (1)
k y (1) 1
=
k 3
⎛
⎝
y (2)
k y (2) k =
1 −1 1
−2 4 −2
2 −1 1
⎛
⎝
1.5
−3
2.5
⎞
1 −1 1
−2 4 −2
2 −1 1
1
6.6667
⎛
⎝
⎠ = ⎝
⎞ ⎛
⎠ ⎝
⎛
⎞ ⎛
⎠ ⎝
2.3333
−6.6667
2.8333
Aplicant l’algorisme successivament obtenim:
1
0
0.5
⎞
0.5
−0.99999
0.83333
0.5
−0.99999
0.83333
⎞
⎛
⎠ = ⎝
⎛
⎠ = ⎝
⎞
0.35
−1
0.425
⎞
⎠
⎛
⎠ = ⎝
⎞
⎠
1.5
−3.0
2.5
⎞
⎠
2.3333
−6.6667
2.8333
k y (k) k y (k) k x (k)
3 (1.7750, −5.55, 2.125) T 5.55 (0.31982, −1, 0.38288) T
4 (1.7027, −5.4054, 2.0225) T 5.4054 (0.315, −1, 0.37416) T
5 (1.6892, −5.3783, 2.0042) T 5.3783 (0.31407, −1, 0.37264) T
6 (1.6867, −5.3734, 2.0007) T 5.3734 (0.31389, −1, 0.37233) T
7 (1.6862, −5.3725, 2.0001) T 5.3725 (0.31385, −1, 0.37228) T
↓ ↓
|λ| =5.3725 −→ v =(0.31385, −1, 0.37228) T
El valor propi dominant de la matriu és λ1 =5.3725, ja que es conserva el
signe en dos iterats consecutius.
B) Busquem, ara, el valor propi de mòdul mínim. Per això, aplicarem el
mètode de la potència a la matriu inversa de la matriu donada que és:
⎛
A −1 = ⎝
1 −1 1
−2 4 −2
2 −1 1
⎞
⎠
−1
⎛
= ⎝
−1 0 1
1 0.5 0
3 0.5 −1
⎞
⎠
⎞
⎠

190 Cap. 7 Valors i vectors propis.
Aplicant la fórmula recurrent del mètode obtenim:
k y (k) k y (k) k x (k)
0 (2, 0, 1) T 2 (1, 0, 0.5) T
1 (−0.5, 1, 2.5) T 2.5 (−0.2, 0.4, 1) T
2 (1.2, 0, −1.4) T 1.4 (0.85715, 0, −1) T
3 (−1.8572, 0.85715, 3.5715) T 3.5715 (−0.52, 0.23999, 0.99998) T
4 (1.52, −0.4, −2.44) T 2.44 (0.62296, −0.16394, −1) T
5 (−1.6230, 0.54099, 2.7869) T 2.7869 (−0.58236, 0.19412, 1) T
6 (1.5824, −0.48530, −2.65) T 2.65 (0.59713, −0.18313, −1) T
7 (−1.5971, 0.50557, 2.6998) T 2.6998 (−0.59157, 0.18726, 1) T
8 (1.5916, −0.49794, −2.6811) T 2.6811 (0.59363, −0.18572 − 1) T
9 (−1.5936, 0.50077, 2.6880) T 2.6880 (−0.59285, 0.18630, 1) T
10 (1.5928, −0.49970, −2.6855) T 2.6855 (0.59311, −0.18607, −1) T
↓ ↓
2.6855 (0.59311, −0.18607, −1) T
El valor propi de mòdul mínim és λ3 = 1
µ = −0.37229, és negatiu ja que dos
vectors consecutius tenen signes oposats.
C) Per a trobar el tercer valor propi usarem el fet que el producte de valors
propis és el determinant de la matriu.
det(A) =λ1 · λ2 · λ3
Aproximats els valors de λ1 ideλ3, trobem λ2 aïllant-ho de la igualtat
anterior. Per tant,
λ2 = det(A)
λ1 · λ3
=
−2
=0.99995 ' 1
5.3725 · (−0.37229)
Problema 7.3 Trobeu el valor propi de mòdul màxim de la matriu
⎛
A = ⎝
5 −4 4
0 3 0
−8 10 −7
⎞
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 191
Aplicarem el mètode de la potència i agafarem com a vector inicial el x (0) =
(1, 1, 1) T . Els resultats obtinguts són els següents:
k y (k) k y (k) k x (k)
0 (1, 1, 1) T 1 (1, 1, 1) T
1 (5, 3, −5) T 5 (1, 0.6, −1) T
2 (−1.4, 1.8, 5) T 5 (−0.28, 0.36, 1) T
3 (1.16, 1.08, −1.16) T 1.16 (1, 0.93104, −1) T
4 (−2.7242, 2.7931, 8.3104) T 8.3104 (−0.32780, 0.33609, 1) T
5 (1.0166, 1.0083, −1.0166) T 1.0166 (1, 0.99183, −1) T
6 (−2.9673, 2.9755, 8.9183) T 8.9183 (−0.33272, 0.33364, 1) T
7 (1.0018, 1.0009, −1.0018) T 1.0018 (1, 0.99910, −1) T
8 (−2.9964, 2.9973, 8.9910) T 8.9910 (−0.33326, 0.33336, 1) T
9 (1.0002, 1.0001, −1.0002) T 1.0002 (1, 0.99990, −1) T
10 (−2.9996, 2.9997, 8.9990) T 8.9990 (−0.33332, 0.33333, 1) T
Veiem que els iterats parells tendeixen a
⎛ ⎞ ⎛
−0.33332
α =8.99898 ' 9
−→
u = ⎝ 0.33333 ⎠ ' ⎝
1
mentre que els iterats senars tendeixen a
⎛
β =1.000203 ' 1
−→
v = ⎝
1
0.99990
−1
⎞
⎛
⎠ ' ⎝
−1/3
1/3
1
Encara que la matriu no sigui simètrica, en aquest cas, tenim dos valors
propis dominants però de signe contrari que són:
de vectors propis respectius:
−→
v1 = −→ u + −→ ⎛
v = ⎝
λ1 = + p αβ =+ √ 9 · 1=+3
λ2 = − p αβ = − √ 9 · 1=−3
⎛
−→
v2 = −→ u − −→ v = ⎝
−1
1
3
−1
1
3
⎞
⎛
⎠ + ⎝
⎞
⎛
⎠ − ⎝
1
1
−1
1
1
−1
⎞
⎛
⎠ = ⎝
⎞
⎠ = ⎝
Problema 7.4 Trobeu el valor propi dominant de la matriu
⎛
−1 −0.5 1
⎞
A = ⎝ 6 3 −2 ⎠
−3 −0.5 3
⎛
1
1
−1
0
2
2
−2
0
4
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠

192 Cap. 7 Valors i vectors propis.
aplicant el mètode de la potència amb vector inicial x (0) =(1, 1, 1) T .
Els resultats obtinguts a l’aplicar l’algorisme
són els de la taula següent:
y (k+1) = Ax (k)
x (k+1) = y(k+1)
k y (k+1) k
per a k ≥ 0
k y (k) k y (k) k x (k)
0 (1, 1, 1) T 1 (1, 1, 1) T
1 (−0.5, 7, −0.5) T 7 (−0.071430, 1, −0.071430) T
2 (−0.5, 2.7143, −0.5) T 2.7143 (−0.18421, 1, −0.18421) T
3 (−0.5, 2.2631, −0.5) T 2.2631 (−0.22094, 1, −0.22094) T
4 (−0.5, 2.1163, −0.5) T 2.1163 (−0.23626, 1, −0.23626) T
5 (−0.5, 2.0549, −0.5) T 2.0549 (−0.24332, 1, −0.24332) T
6 (−0.5, 2.0267, −0.5) T 2.0267 (−0.24671, 1, −0.24671) T
7 (−0.5, 2.0131, −0.5) T 2.0131 (−0.24838, 1, −0.24838) T
8 (−0.5, 2.0065, −0.5) T 2.0065 (−0.24919, 1, −0.24919) T
9 (−0.5, 2.0033, −0.5) T 2.0033 (−0.24959, 1, −0.24959) T
10 (−0.5, 2.0017, −0.5) T 2.0017 (−0.24979, 1, −0.24979) T
11 (−0.5, 2.0009, −0.5) T 2.0009 (−0.24989, 1, −0.24989) T
Com que el signe dels diferents iterats sempre és el mateix, el valor propi
dominant és positiu i tendeix a λ =2,ambvectorpropiassociat −→ v =
(−0.25, 1, −0.25) T .
En aquest cas, l’ordre de la matriu és petit i podem calcular els valors propis
a partir del polinomi característic.
¯
¯
¯ −1 − x −0.5 1 ¯
¯ 6 3−x−2 ¯
¯ −3 −0.5 3−x¯ =4− 8x +5x2 − x 3
Resolent l’equació característica
−x 3 +5x 2 − 8x +4=0
trobem com a solució x =1,x=2,x=2.
Veiem, doncs, que el valor propi dominant té multiplicitat 2. Per aquest
valor propi anem a calcular-ne el vector propi a partir del nucli de l’aplicació
A − 2 Id. ⎛
⎝
−3 −0.5 1
6 1 −2
−3 −0.5 1
⎞ ⎛
⎠ ⎝
x
y
z
⎞
⎛
⎠ = ⎝
0
0
0
⎞
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 193
que és equivalent a resoldre el sistema d’equacions:
la solució del qual és
És a dir, el vector solució serà
−3x − 0.5y + z =0
6x + y − 2z =0
−3x − 0.5y + z =0
⎫
⎬
⎭
y =2z − 6x; x, z qualssevol
(x, y, z) =(x, 2z − 6x, z) =x(1, −6, 0) + z(0, 2, 1)
i els vectors propis de valor propi 2 són:
−→ v1 =(1, −6, 0) T , −→ v2 =(0, 2, 1) T
El vector que ens dóna el mètode de la potència és una combinació lineal
d’aquests dos vectors propis, ja que
−→ 1
−1
v = (−1, 4, −1) =
4 4 (−→ v1 + −→ v2 )
però el mètode no ens indica si el valor propi té o no multiplicitat.
Problema 7.5 Afiteu els valors propis, a partir del teorema de Gersghorin,
de la matriu
⎛
2 −2 3
⎞
A = ⎝ 1 1 1 ⎠
1 3 −1
Apliquem directament el teorema de Gersghorin calculant els cercles Ki per
acadafila de la matriu
K1 = {µ / | µ − 2 |≤ 5} = {µ / −3 ≤ µ ≤ 7}
K2 = {µ / | µ − 1 |≤ 2} = {µ / −1 ≤ µ ≤ 3}
K3 = {µ / | µ +1|≤ 4} = {µ / −5 ≤ µ ≤ 3}
Fent la unió dels tres cercles, obtenim
{µ / −5 ≤ µ ≤ 7}
Per tant, tots els valors propis de la matriu estan compresos entre −5 i 7.
Problema 7.6 Del problema anterior, calculeu el valor propi més proper a
7 i el més allunyat de 7, aplicant el mètode de la potència desplaçada amb
vector inicial x (0) =(1, 1, 0) T amb precisió 10 −4.

194 Cap. 7 Valors i vectors propis.
El mètode de la potència desplaçada es basa en el fet:
λ és valor propi d’A ⇒ µ = λ − 7 és valor propi de A − 7Id
Per trobar el valor propi més proper a 7, haurem de buscar el valor µ més
petit, és a dir, haurem d’aplicar el mètode de la potència inversa a la matriu
⎛
A − 7Id = ⎝
−5 −2 3
1 −6 1
1 3 −8
La matriu que hem d’utilitzar en l’algorisme és
(A − 7Id) −1 = −1
⎛
⎝
216
i els resultats que obtenim són:
⎞
⎠
45 −7 16
9 37 8
9 13 32
k y (k) k y (k) k x (k)
0 (1, 1, 0) T 1 (1, 1, 0) T
1 (−0.17592, −0.21297, −0.10185) T 0.21297 (−0.82603, −1, −0.47824) T
2 (0.17511, 0.22343, −0.16545) T 0.22343 (0.78374, 1, 0.74054) T
3 (−0.18572, −0.23139, −0.20255) T 0.23139 (−0.80263, −1, −0.87536) T
4 (0.19964, 0.23716, 0.22331) T 0.23716 (0.84180, 1, 0.94161) T
5 (−0.21271, −0.24125, −0.23476) T 0.24125 (−0.88170, −1, −0.97310) T
6 (0.22335, 0.24408, 0.24108) T 0.24408 (0.91506, 1, 0.98770) T
7 (−0.23138, −0.24601, −0.24464) T 0.24601 (−0.94054, −1, −0.99444) T
8 (0.23719, 0.24732, 0.24670) T 0.24732 (0.95903, 1, 0.99748) T
9 (−0.24127, −0.24820, −0.24792) T 0.24820 (−0.97208, −1, −0.99887) T
10 (0.24409, 0.24880, 0.24867) T 0.24880 (0.98107, 1, 0.99948) T
11 (−0.24602, −0.24920, −0.24913) T 0.24920 (−0.98723, −1, −0.99971) T
... ... ... ...
23 (−0.24992, −0.24998, −0.24998) T 0.24998 (−0.99975, −1, −1) T
24 (0.24994, 0.25, 0.24999) T 0.25 (0.99976, 1, 0.99996) T
Observem que el valor propi dominant és negatiu, degut a l’alternança del
signe en els iterats, i que tendeix a ξ = −0.25; com que apliquem potència
inversa, el valor propi mínim de la matriu A − 7Id és µ = 1
= −4.
ξ
El valor propi de la matriu A més proper a 7 és λ = µ +7=−4+7=3
amb vector propi associat −→ v =(1, 1, 1) T .
Per trobar el valor propi més allunyat de 7, haurem de buscar el valor de µ
màxim i, per tant, aplicar el mètode de la potència a la matriu A − 7Id. Els
⎞
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 195
resultats obtinguts són a la taula següent:
k y (k) k y (k) k x (k)
0 (1, 1, 0) T 1 (1, 1, 0) T
1 (−7, −5, 4) T 7 (−1, −0.71430, 0.57144) T
2 (8.1429, 3.8572, −7.7144) T
8.1429 (1, 0.47370, −0.94741) T
3 (−8.7896, −2.7896, 10) T
10 (−0.87896, −0.27896, 1) T
4 (7.9527, 1.7948, 9.71578) T
9.71578 (0.81852, 0.18472, −1) T
5 (−7.46208, −1.28981, 9.3728) T
9.3728 (−0.79616, −0.13761, 1) T
6 (7.2559, 1.0295, −9.2088) T
9.2088 (0.78792, 0.11179, −1) T
7 (−7.1631, −0.88280, 9.1231) T
9.1231 (−0.78515, −0.096764, 1) T
8 (7.1192, 0.79541, −9.0752) T
9.0752 0.78446, 0.087646, −1) T
... ··· ... ...
20 (7.0715, 0.64389, −9.0003) T
9.0003 (0.78571, 0.07154, −1) T
21 (−7.0717, −0.64355, 9.0003) T
9.0003 (−0.78574, −0.071505, 1) T
El valor propi dominant és µ ' −9, per tant, el valor propi de la matriu A
més allunyat de 7 és λ = µ +7=−9+7=−2 amb un error 0.000038.
Observem que els dos valors propis que hem trobat són dins de les fites
obtingudes en el problema anterior.
El tercer valor propi ha de ser entre −2 i 3. Si el calculem a partir del
determinant trobem que és 1.
Problema 7.7 Trobeu el valor propi de mòdul mínim de la matriu
⎛
B = ⎝
9 10 8
10 5 −1
8 −1 3
aplicant el mètode de la potència amb vector inicial x (0) =(1, 0, 0) T .
Apliquem l’algorisme del mètode a la matriu
B −1 ⎛
−
= ⎝
7
19
327
327
25
327
19
327
37
654
89 −
654
25
327
89 −
654
55
654
⎞
⎠
⎞
⎠ = 1
⎛
⎝
654
−14 38 50
38 37 −89
50 −89 55
⎞
⎠

196 Cap. 7 Valors i vectors propis.
i els resultats són:
k y (k) k y (k) k x (k)
0 (1, 0, 0) T 1 (1, 0, 0) T
1 (−0.021407, 0.058104, 0.076453) T 0.076453 (−0.28, −0.76, 1) T
2 (0.12661, −0.10936, −0.040742) T 0.12661 (1, −0.86376, −0.32179) T
3 (−0.096197, 0.053029, 0.16694) T 0.16694 (−0.57624, 0.31765, 1) T
4 (0.10725, −0.15160, −0.003186) T
0.15160 (0.70745, −1, −0.021016) T
5 (−0.074855, −0.012609, 0.18841) T
0.18841 (−0.39730, −.066924, 1) T
6 (0.081069, −0.16296,.062831) T
0.16296 (0.49748, −1, 0.38556) T
7 (−0.039277, −0.080140, 0.20655) T
0.20655 (−0.19016, −0.38799, 1) T
8 (0.057979, −0.16909, 0.12236) T
0.16909 (0.34289, −1, 0.72364) T
9 (−0.010120, −0.13513, 0.22317) T
0.22317 (−0.045347, −0.60550, 1) T
10 (0.042242, −0.17298, 0.16303) T
0.17298 (0.24420, −1, 0.94248) T
... ... ...
27 (0.024544, −0.17732, 0.20879) T
0.20879 (0.11755, −0.84927, 1) T
28 (0.024591, −0.17731, 0.20867) T
0.20867 (0.11785, −0.84972, 1) T
En aquest cas, si fem només 10 iterats veiem que el signe de dos vectors
consecutius no és el mateix però tampoc és l’oposat. Per decidir el signe del
valor propi ens calen més iterats i observem que el signe es conserva, per
tant, el valor propi dominant és positiu i val µ =0.208687 amb un error
0.00045.
El valor propi de mòdul mínim de la matriu B és λ = 1
µ =
4.791865329.
7.3 Problemes resolts amb MapleV.
Càlculs directes amb MapleV.
1
0.208687 =
Dins de la llibreria LINALG trobem diferents ordres que calculen directament
els elements usats en la diagonalització d’una matriu.
L’ordre charpoly ens dóna el polinomi característic de la matriu amb la
variable que li assignem. La seva sintaxi és:
charpoly (matriu, variable);
Per calcular els valors propis d’una matriu tenim dues opcions:
a) Directament amb l’ordre eigenvals de sintaxi
eigenvals (matriu);

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 197
b) Resolent l’equació característica amb l’ordre fsolve (vista en
el capítol de Zeros de funcions).
Els vectors propis d’una matriu ens els dóna directament l’ordre eigenvects,
que s’escriu
eigenvects (matriu);
i presenta, en forma de llista, el valor propi, la seva multiplicitat i un vector
propi associat o més -depenent de la multiplicitat-.
Exemple 7.9 Calculeu el polinomi característic, els valors propis i uns vec-
tors propis associats de la matriu
⎛
⎝
3 5 7
1 2 4
2 6 8
• Carreguem la llibreria d’Àlgebra Lineal (només ho farem al començament
de la sessió).
> with(linalg);
• Introduïm la matriu (si volem que els valors siguin decimals entrarem
cada element de la matriu amb un punt decimal. El MapleV, per
defecte, opera amb valors exactes).
> a:=matrix(3,3,[3.,5,7,1,2.,4,2,6,8.]);
⎡
a := ⎣
• Calculem el polinomi característic
> p:=charpoly (a,X);
⎞
⎠
3. 5 7
1 2. 4
2 6 8.
⎤
⎦
p := X 3 − 13X 2 +3X +10
• Busquem els valors propis de les formes explicitades anteriorment:
- calculant-ho directament,
> eigenvals (a);
1.05, 12.7, −.75
- calculant les arrels del polinomi característic:
> fsolve (p=0,X);
1.05, 12.7, −0.75

198 Cap. 7 Valors i vectors propis.
• Trobem els vectors propis associats amb l’ordre de Maple
> eigenvects (a);
[[1.05, 1, {[0.971, −0.0585, −0.229]}],
[12.7, 1, {[0.802, 0.388, 0.836]}],
[−0.75, 1, {[−0.072, 0.78, −0.519]}]]
Acadafila hi ha el valor propi, la seva multiplicitat i un vector propi
associat.
També usarem l’ordre :
percalcularlainversad’unamatriu.
inverse (matriu);
Programació del mètode de la potència.
Veurem com podem calcular els successius iterats que tendeixen al valor
propi de mòdul màxim a partir d’un bucle for i com, amb petites variants
en la matriu d’entrada, trobarem les diferents opcions del mètode de la
potència.
(a) Introduïm la matriu i el vector inicial no nul.
> a:=matrix(n,n,[llista d’elements]);
x[0]:=vector(n,[llista d’elements]);
(b) El bucle for corresponent al mètode de la potència és:
> for i from 0 to N do
y[i+1]:=evalm(a&*x[i]);
l[i+1]:=norm(y[i+1], infinity);
x[i+1]:=evalm(1/l[i+1]*y[i+1]);
od;
Si volem buscar el valor amb una determinada precisió afegirem una
condició d’error en el bucle amb un while ielcàlculdel’error. En
aquest cas, buscarem el vector error com a diferència de dos termes
consecutius i en calcularem la seva norma infinit. Quan aquesta norma
sigui menor de la precisió desitjada aturarem el procés.
Això queda palès, en el programa, de la següent manera:
> error:=infinity; p:=precisió; N:=nombre_iterats;

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 199
l[0]:=norm(x[0]); x[-1]:=x[0];
for i from 0 to N while (error>0.5*10^(-p)) do
y[i+1]:=evalm(a&*x[i]);
l[i+1]:=norm(y[i+1], infinity);
x[i+1]:=evalm(1/l[i+1]*y[i+1]);
er[i+1]:=vector(3);
if (l[i+1]-l[i]

200 Cap. 7 Valors i vectors propis.
de mòdul mínim de la matriu:
⎛
amb una precissió de 10 −3.
⎝
3 2 0
2 2 1
0 1 2
• Introduïm la matriu i el vector inicial (si comencessim la sessió de
MapleV hauríem de carregar la llibreria linalg) i programem el bucle
for-while per trobar el valor propi de mòdul màxim amb el mètode
de la potència.
> a:=matrix(3,3,[3.,2.,0,2.,2.,1.,0,1.,2.]);
x[0]:=vector(3,[1.,1.,1.]);
l[0]:=norm(x[0]);
error:=infinity;
x[-1]:=x[0];
⎞
⎠
⎡
3. 2. 0
a : = ⎣ 2. 2. 1.
0 1. 2.
x0 : = [1., 1., 1.]
error : = ∞
x−1 : = x0
> for i from 0 to 15 while (error > 0.5*10^(-3)) do
y[i+1]:=evalm(a&*x[i]);
l[i+1]:=norm(y[i+1], infinity);
x[i+1]:=evalm(1/l[i+1]*y[i+1]);
er[i+1]:=vector(3);
if (l[i+1]-l[i]

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 201
fi;
error:=norm(er[i+1],infinity);
od;
y1 : = [5., 5., 3.]
l1 : = 5.
x1 : = [1.000000000, 1.000000000,.6000000000]
y2 : = [5.000000000, 4.600000000, 2.200000000]
l2 : = 5.000000000
x2 : = [1.000000000,.9200000000,.4400000000]
y3 : = [4.840000000, 4.280000000, 1.800000000]
l3 : = 4.840000000
x3 : = [.9999999998,.8842975205,.3719008264]
y4 : = [4.768595040, 4.140495867, 1.628099173]
l4 : = 4.768595040
x4 : = [1.000000000,.8682842290,.3414211439]
y5 : = [4.736568458, 4.077989602, 1.551126517]
l5 : = 4.736568458
x5 : = [1.000000000,.8609586535,.3274789609]
y6 : = [4.721917307, 4.049396268, 1.515916575]
l6 : = 4.721917307
x6 : = [1.000000000,.8575745836,.3210383572]
y7 : = [4.715149167, 4.036187524, 1.499651298]
l7 : = 4.715149167
x7 : = [.9999999999,.8560042070,.3180495982]
y8 : = [4.712008414, 4.030058012, 1.492103403]
l8 : = 4.712008414
x8 : = [1.000000000,.8552739422,.3166597493
y9 : = [4.710547884, 4.027207633, 1.488593441]
l9 : = 4.710547884
x9 : = [1.000000000,.8549340188,.3160128031]
y10 : = [4.709868038, 4.025880841, 1.486959625]
l10 : = 4.709868038
x10 : = [.9999999999,.8547757195,.3157115259]
Per tant, veiem que el valor propi de mòdul màxim serà 4.709868038 i
un vector propi associat (1, 0.8547787195, 0.3157115259) T , ambunerror
0.0003012772.

202 Cap. 7 Valors i vectors propis.
• Per trobar el valor propi de mòdul mínim aplicarem el mètode de la
potènciaalamatriuinversa.
> b:= inverse(a);
x[0]:=vector(3,[1.,0,1.]);
l[0]:=norm(x[0]);
x[-1]:=x[0];
⎡
3.000000000 −4.000000000 2.000000000
⎤
b : = ⎣ −4.000000000 6.000000000 −3.00000000 ⎦
2.000000000 −3.000000000 2.000000000
x0 : = [1., 0, 1.]
l0 : = 1
x−1 : = x0
> for i from 0 to 15 while (error > 0.5*10^(-3) do
y[i+1]:=evalm(b&*x[i]);
l[i+1]:=norm(y[i+1], infinity);
x[i+1]:=evalm(1/l[i+1]*y[i+1]);
er[i+1]:=vector(3);
if ( l[i+1]- l[i]< 0.1) then
for j from 1 to n do
er[i+1][j]:=abs(abs(x[i+1][j]) - abs(x[i][j]));
od;
else
for j from 1 to n do
er[i+1][j]:=abs(abs(x[i+1][j]) - abs(x[i-1][j]));
od;
fi;
error:=norm(er[i+1],infinity);
od;
y1 : = [5.000000000, −7.000000000, 4.000000000]
l1 : = 7.000000000
x1 : = [.7142857145, −1.000000000,.5714285716]
error : = 1.000000000
y2 : = [7.285714287, −10.57142857, 5.571428572]
l2 : = 10.57142857

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 203
x2 : = [.6891891894, −1.000000000,.5270270272]
error : = 1.000000000
y3 : = [7.121621622, −10.33783784, 5.432432433]
l3 : = 10.33783784
x3 : = [.6888888888, −1.000000000,.5254901960]
error : = .0015368312
y4 : = [7.117647058, −10.33202614, 5.428758170]
l4 : = 10.33202614
x4 : = [.6888917006, −1.000000000,.5254301621]
error : = .0000600339
1
El valor propi de mòdul mínim serà,
10.33202614 =0.09678643728
i un vector propi associat (0.6888917006, −1, 0.5254301621) T amb un
error 0.0000600339.
• Comprovem amb les ordres directes del Maple que hem trobat unes
bones aproximacions.
> eigenvects(a);
[4.709275360, 1, {[0.7392387395, 0.6317812812, 0.2331919784]}],
[0.096788074, 1, {[0.5206573684, −0.7557893405, 0.3971125496]}],
[2.193936564, 1, {[0.4271322871, −0.1721478589, −0.8876503387]}]
Problema 7.9 Donada la matriu
⎛
3 2
⎞
1
⎝ 2 0 1 ⎠
0 1 2
sabem que té un valor propi prop de 4. Trobeu quin és aquest valor propi,
amb una precissió de 10 −4 , usant el mètode de la potència desplaçada.
• Introduïm la matriu i la modifiquem per aplicar el mètode de la potència
desplaçada, és a dir, busquem la matriu a−4Id iquanlatenim,
en calculem la inversa ja que volem trobar el valor propi més proper a
4i,pertant,elvalorpropidemòdulmínimdelamatriua−4Id. > a:=matrix(3,3,[3.,2.,1.,2.,0,1.,0,1.,2.]);
a1:=evalm(a- 4*array(1..3,1..3,identity));
b:=inverse(a1);
⎡
a : = ⎣
3. 2. 1.
2. 0 1.
0 1. 2.
⎤
⎦

204 Cap. 7 Valors i vectors propis.
⎡
a1 : = ⎣
⎡
b : = ⎣
−1. 2. 1.
2. −4. 1.
0 1. −2.
⎤
⎦
2.333333333 1.666666667 2.000000000
1.333333333 .6666666667 1.000000000
.6666666667 .3333333333 0
• Entrem el vector inicial i programem el bucle for-while per trobar
el valor propi amb el mètode de la potència.
> x[0]:=vector(3,[1.,1.,1.]);
l[0]:=norm(x[0]);
x[-1]:=x[0];
error:=infinity;
x0 : = [1., 1., 1.]
l0 : = 1.
x−1 : = x0
error : = ∞
> for i from 0 to 15 while (error > 0.5*10^(-4) do
y[i+1]:=evalm(b&*x[i]);
l[i+1]:=norm(y[i+1], infinity);
x[i+1]:=evalm(1/l[i+1]*y[i+1]);
er[i+1]:=vector(3);
if ( l[i+1]- l[i] < 0.1) then
for j from 1 to n do
er[i+1][j]:=abs(abs(x[i+1][j]) - abs(x[i][j]));
od;
else
for j from 1 to n do
er[i+1][j]:=abs(abs(x[i+1][j]) - abs(x[i-1][j]));
od;
fi;
error:=norm(er[i+1],infinity);
od;
y1 : = [6.000000000, 3.000000000, 1.000000000]
⎤
⎦

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 205
l1 : = 6.000000000
x1 : = [1.000000000,.5000000001,.1666666667]
error : = .8333333333
y2 : = [3.500000000, 1.833333333,.8333333334]
l2 : = 3.500000000
x2 : = [1.000000000,.5238095237,.2380952381]
error : = .0714285714
y3 : = [3.682539682, 1.920634920,.8412698412]
l3 : = 3.682539682
x3 : = [1.000000000,.5215517241,.2284482759]
error : = .0617816092
y4 : = [3.659482759, 1.909482758,.8405172414]
l4 : = 3.659482759
x4 : = [.9999999999,.5217903413,.2296819788]
error : = .0012337029
y5 : = [3.662347860, 1.910875540,.8405967803]
l5 : = 3.662347860
x5 : = [1.000000000,.5217624358,.2295240137]
error : = .0001579651
y6 : = [3.661985420, 1.910698971,.8405874786]
l6 : = 3.661985420
x6 : = [.9999999999,.5217658597,.2295441904]
error : = .0000201767
El valor propi de mòdul mínim de la matriu a − 4Id el trobem:
> mu:=1/l[6];
µ := 0.2730759097
i, per tant, el valor propi més proper a 4 és:
> lambda:=4+mu;
λ := 4.2730759097

206 Cap. 7 Valors i vectors propis.
Problema 7.10 Calculeu els valors i vectors propis, directament amb les
ordres Maple, de les matrius:
⎛
2 2
⎞
−2
⎛
0 −1
⎞
−1
(a) ⎝ 1 3 −2 ⎠ (b) ⎝ −2 1 −1 ⎠
⎛
2 4 −3
5 0 −1
⎞
0
⎛
−2
2 1
2
−2
2
⎞
0
(c)
⎜ 0
⎝ −2
3
0
0
4
0 ⎟
0 ⎠ (d)
⎜ 0
⎝ 0
0
0
1
0
0 ⎟
1 ⎠
1 0 1 6
1 0 0 0
(a) Per començar carreguem la llibreria d’Àlgebra Lineal i entrem la matriu.
> with(linalg);
> a:=matrix(3,3,[2.,2.,-2.,1,3,-2,2,4,-3]);
⎡
2. 2.
⎤
−2.
a := ⎣ 1 3 −2 ⎦
2 4 −3
Calculem els valors i vectors propis usant l’ordre eigenvects:
> eigenvects(a);
[0, 1, {[1.414213563, 1.414213563, 2.828427125]}], [1.000000000, 2,
{[.7071067812,.3535533906,.7071067812], [.087856586, 2.043928293, 2.087856586]}]
En aquest cas, els valors propis són el 0, amb multiplicitat 1, i el 1, amb
multiplicitat 2.
El vector propi de valor propi 0 és [1.414213563, 1.414213563, 2.828427125] i
els vectors propis de valor propi 2 són: [.7071067812,.3535533906,.7071067812],
[.087856586, 2.043928293, 2.087856586]. Com que trobem tants vectors propis
com multiplicitat té l’1, la matriu diagonalitza.
(b) Amb les altres matrius fem exactament el mateix, entrem la matriu i
apliquem l’ordre anterior.
> b:=matrix([0,-1,-1],[-2.,1.,-1.],[-2,2,2]);
⎡
0 −1
⎤
−1
b := ⎣ −2. 1. −1. ⎦
−2 2 2
> eigenvects(b);
[2, 2, {[1, 1, −3]}], [−1, 1, {[1, 1, 0]}]

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 207
És a dir, tenim dos valors propis: el 2 amb multiplicitat 2 i el −1 amb
multiplicitat 1.
El valor propi 2 només té un vector propi que és [1, 1, −3]; comquelaseva
multiplicitat és 2, això vol dir que la matriu no diagonalitza i el que s’obté
és una matriu de Jordan.
El vector propi de valor propi −1 és [1, 1, 0].
(c)
> c:=matrix(4,4,[5.,0,-1.,0,0,3.,0,0,-2.,0,4.,0,1.,0,1.,6.]);
⎡
5. 0 −1.
⎤
0
c :=
⎢ 0
⎣ −2.
3.
0
0
4.
0 ⎥
0 ⎦
1. 0 1. 6.
> eigenvects(c);
[6, 2, {[.7071067812, 0, −.7071067812, 0], [0, 0, 0, 1]}],
[3, 2, {[.4714045208, 0,.9428090416, −.4714045207], [0, 1, 0, 0]}]
La matriu diagonalitza amb dos valors propis de multiplicitat 2 que són el
6 iel3. Amb els vectors especificats en la resposta Maple.
(d)
> d:=matrix(4,4,[2,1,-2,0,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,0]);
⎡
2 1 −2
⎤
0
⎢
d := ⎢ 0
⎣ 0
0
0
1
0
0 ⎥
1 ⎦
1 0 0 0
> eigenvects(d);
[−1, 1, {[−1, 1, −1, 1]}], [1, 3, {[1, 1, 1, 1]}]
La matriu no diagonalitzarà ja que el valor propi 1 té multiplicitat 3 i només
té un vector propi.
En aquest cas, calculem el polinomi característic i el factoritzem per veure
la multiplicitat.
> p:=charpoly(d,x);
> factor(p);
p := x 4 − 2x 3 − 1+2x
(x +1)(x − 1) 3
Per tant, observem que l’1 és una arrel amb multiplicitat 3, com veiem abans.

208 Cap. 7 Valors i vectors propis.
7.4 Problemes proposats.
1. Trobeu el valor propi dominant, aplicant el mètode de la potència, en els
casos següents:
⎛
−4 14
⎞
0
(a) ⎝ −5 13 0 ⎠ amb x
−1 0 2
(0) ⎛ ⎞
1
= ⎝ 1 ⎠
⎛
1 −1 0
⎞
1
(b) ⎝ −2 4 −2 ⎠ amb x
0 −1 1
(0) ⎛ ⎞
1
= ⎝ 0 ⎠
⎛
0 0 4
⎞
−4
0
⎜
(c) ⎜
⎝
0
4
3
0
0
−2
0
0
⎟
⎠
−4 0 0 2
amb x(0) ⎛ ⎞
1
⎜
= ⎜ 0 ⎟
⎝ 0 ⎠
0
2. Donada la matriu
⎛
A = ⎝
1 9 8
9 2 7
8 7 3
(a) trobeu el valor propi dominant, aplicant el mètode de la potència, amb
vector inicial x (0) =(1, 1, 1) T .
(b) trobeu el valor propi de mòdul mínim, aplicant el mètode de la potència
inversa, amb vector inicial x (0) =(1, 1, 1) T .
(c) calculeu el valor propi restant a partir de la traça de la matriu.
3. Calculeu tots els valors propis de la matriu
⎛
1 1 1
⎞
1
⎜
B = ⎜ 1
⎝ 1
2
1
1
3
1 ⎟
1 ⎠
1 1 1 4
aplicant el mètode de la potència amb vector inicial x (0) =(1, 1, 1, 1) T .
4. La matriu següent té un valor propi prop de -5.
⎛
−4.4 2
⎞
−0.4
C = ⎝ 1.8 −1 0.8⎠
1.6 0 −0.4
Trobeu-lo aplicant el mètode de la potència desplaçada amb vector inicial
x (0) =(1, 1, 1) T .
⎞
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 209
5. Trobeu tots els valors propis de:
⎛
1 −0.5 1
⎞
(a) ⎝ 6 3 −2 ⎠ amb vector inicial x
−3 −0.5 3
(0) ⎛ ⎞
1
= ⎝ 1 ⎠
⎛
3 0 0
⎞
0
1
⎜
(b) ⎜ 0.4
⎝ 0.4
2.8
−0.2
−0.8
2.2
0 ⎟
0 ⎠
0.8 −0.4 −1.6 3
amb vector inicial x(0) ⎛ ⎞
1
⎜
= ⎜ 1 ⎟
⎝ 1 ⎠
1
6. Comproveu, sense calcular-los, que el mòdul dels valors propis de la
matriu ⎛
6 2
⎞
1
⎝ 1 −5 0 ⎠
2 1 4
està comprès entre 1 i 9. Trobeu el valor propi més proper a 1 agafant com
a vector inicial
x (0) =(2, 1, 5) T .
7. Calculeu el polinomi característic, els valors propis i els vectors propis de
les matrius següents, usant les ordres directes de Maple:
⎛
2 0
⎞
0
⎛
−1 −1
⎞
1
(a) ⎝ −2 3 0 ⎠ (b) ⎝ 0 2 0 ⎠
−2 −2 4
2 0 0
8. Donada la matriu ⎛
−1 −1
⎞
1
A = ⎝ 0 2 0 ⎠
2 0 0
trobeu el valor propi de mòdul màxim programant pel mètode de la potència
amb vector inicial x0 =(1, 1, 0) T .
Comproveu que es correspon amb la solució obtinguda en l’apartat b) de
l’exercici anterior.
9. Calculeu el valor propi de mòdul màxim amb una precisió de 10−3 ,
programant el mètode de la potència per la matriu
⎛
1 3 −1
⎞
0
⎜
B = ⎜ 0
⎝ 0
4
1
−1
2
0 ⎟
0 ⎠
0 0 0 3
amb vector inicial x0 =(0, 1, 1, 0) T .Compareu la vostra resposta amb la
solució obtinguda al calcular directament els vectors propis.

210 Cap. 7 Valors i vectors propis.

Apèndix A
Introducció al MapleV.
A.1 Qüestions generals.
A l’entrar a l’aplicació Maple ens trobem amb un full de treball en el qual
apareix l’indicador de Maple, >, ielcursor,|.
Aquest indicador ens permet executar instruccions matemàtiques. Si no
apareix ens trobem en mode text, és a dir, podem introduir tot tipus de
comentaris. Per passar de l’un a l’altre hem de prémer el botó T ó >.
Nosaltres ens limitarem a comentar les ordres de tipus matemàtic necessàries
per a resoldre els problemes de Mètodes Numèrics presentats en els capítols
corresponents.
Tota línia d’ordres s’ha d’acabar amb ; obéamb: per executar-la.
> 3+2-7;
> 3+2-7:
−2
Veiem que quan s’acaba amb ; ens retorna el resultat de l’operació, mentre
queenl’altrecasnotornacapresultat.
Per assignar un valor a una variable escriurem := . No l’hem de confondre
amb = , que l’usem per a representar una equació o una igualtat entre
expressions.
> a:=4;
> b:=3-5+2 ^4:
a := 4
211

212 Cap. A Introducció al MapleV.
Per a fer referència al resultat anterior podem fer:
> ”;
obé:
> b;
14
14
Cal tenir en compte que Maple distingeix entre majúscules i minúscules, per
tant, les variables a i A són diferents.
SHIFT-RETURN permet escriure seqüències d’ordres de més d’una línia.
> A:=24;
a;
A := 24
4
variable:=’variable’ neteja la variable
> a:=’a’;
a := a
L’ordre restart reinicialitza el sistema i neteja totes les variables.
A.2 Càlculs aritmètics
A.2.1 Operacions bàsiques.
Els operadors aritmètics disponibles són:
suma +
resta −
producte ∗
divisió /
potenciació ∧ ó **
L’ordre de prioritat d’aquests operadors és l’habitual, encara que pot modificarseusantparèntesis,perònoclaus,{},niclaudàtors,[].
> 32/8+4*2-1+2^3;
19
Per calcular una arrel quadrada podem fer-ho a partir de la funció sqrt o
bé com una potència d’exponent 1/2 .

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 213
> sqrt(3);
3^(1/2);
√ 3
√3
A.2.2 Càlculs exactes i aproximats.
Les operacions es realitzen de forma exacta i simplificada, per exemple, si
calculem
> 1/6+1/4+1/12;
1
2
El nombre π està predefinit i s’escriu Pi.
> Pi;
π
El nombre e, però, no està predefinit. Per a obtenir-lo cal fer:
> exp(1);
e
Per a obtenir el resultat en forma decimal (float), podem escriure algun dels
nombres seguit d’un punt o bé escriure’l en forma decimal.
> 0.5+1/4;
1/2.+1/4;
3^(0.5);
.7500000000
.7500000000
1.732050808
obéferservirl’ordreevalf, la sintaxi de la qual és
> evalf(sqrt(3),20) ;
evalf(expressió, nombre de dígits) ;
1.7320508075688772935
Per defecte, Maple treballa amb 10 dígits. Si ens interessa treballar amb un
altre nombre de dígits podem canviar-lo amb la variable pròpia del programa
anomenada Digits.

214 Cap. A Introducció al MapleV.
> Digits:=5;
> evalf(sqrt(3));
> evalf(sqrt(3)/33);
Digits := 5
1.7321
.052488
Observem que la variable Digits no compta el nombre de zeros a l’esquerra
tot i que són xifres significatives.
Cal escriure Digits amb majúscula. Si escrivim digits ho interpreta com
una variable qualsevol i l’ordre no tindrà efecte.
A.3 Expressions
Fins ara a les variables només els hem assignat nombres, però també es
poden assignar expressions:
> p:=x ^3-2*x ^2-5*x+6;
p := x 3 − 2x 2 − 5x +6
Podem substituir la variable de l’expressió per un valor qualsevol fent servir
la instrucció subs, la sintaxi de la qual és:
> subs(x=-1,p);
subs(x=’valor’,expressió);
8
Per factoritzar una expressió polinòmica usem la comanda factor de la
següent manera:
> factor(p);
factor(expressió);
(x − 1)(x +2)(x − 3)
El procés contrari el podem realitzar a partir de l’ordre expand
expand(expressió);

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 215
> expand( ” ); x 3 − 2x 2 − 5x +6
Observem que en aquest exemple usem ” per fer referència al resultat anterior.
> expand((a+b)^4);
a 4 +4a 3 b +6a 2 b 2 +4ab 3 + b 4
Podem simplificar una expressió algebraica amb la instrucció
> p1:=(x-1) ^2—(x+1) ^2;
> simplify(p1);
simplify(expressió);
p1 :=(x − 1) 2 − (x +1) 2
−4x
> q1:=3*x ^2/(x ^2-1)-2*x ^4/(x ^2-1) ^2;
> simplify(q1);
A.4 Funcions.
q1 :=3 x2
x 2 − 1
Funcions predefinides en Maple.
− 2
x 2 (x 2 − 3)
(x 2 − 1) 2
x 4
(x 2 − 1) 2
Per accedir a totes les funcions que Maple té predefinides fem:
> ?inifcns;
i apareix una finestra de l’ajuda amb una llista de les funcions disponibles i
una breu descripció de cadascuna.

216 Cap. A Introducció al MapleV.
Algunes de les funcions més habituals són les següents:
Definició de funcions.
Sintaxi Funció
abs(x) Valor absolut de x: |x|
exp(x) Funció exponencial: e x
ln(x) ó log(x) Funció logaritme neperià
log[a] (x) Funció logaritme en base a
sin(x) Funció sinus (x en radians)
cos(x) Funció cosinus (x en radians)
tan(x) Funció tangent (x en radians)
arcsin(x) Funció inversa del sinus
arccos(x) Funció inversa del cosinus
arctan(x) Funció inversa de la tangent.
La definició d’una funció es fa de manera semblant a l’assignació de valors
a una variable. La sintaxi és:
nom_funció := variable(s) − > lleioexpressiódelafunció;
Per exemple, per definir la funció f(x) =x sin(x) escriurem:
> f:=x− >x*sin(x);
f := x → x sin(x)
Anàlogament, es poden definir funcions de vàries variables:
> h:=(x,y)− >x^2+y^2;
En canvi, si escrivim
h := (x, y) → x 2 + y 2
> g:=x*sin(x);
g := x sin(x)
el resultat és una expressió, no una funció.
Càlcul d’imatges.
El càlcul d’imatges a partir d’una funció es fa directament.
> f(Pi/2);
π
2

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 217
Si volem el resultat en forma decimal tenim dues opcions:
-definir la funció amb l’ordre evalf:
> f:=x− >evalf(x*sin(x));
> f(Pi/2);
-obé:
> evalf(f (Pi/2));
En canvi, si fem
f : = x− >evalf(xsin(x)) 1.5707963267948966192
1.5707963267948966192
> g(Pi/2);
x( 1
2 π)sin(x)(1
2 π)
no ens avalua g en aquest punt, ja que recordem g és una expressió i, per
tant, hauríem de fer:
> subs(x=Pi/2,g);
π
2 sin(π
2 )
Si volem el resultat final de forma exacta fem:
> simplify(”);
π
2
Una altra possibilitat seria transformar l’expressió g en una funció a partir
de la comanda
> g1:=unapply(g,x);
> g1(Pi/2);
Representacions gràfiques.
unapply (expressió, variable);
g1 :=x → xsin(x)
π
2
Per representar gràficament una o vàries funcions en l’interval [a,b] fem servir
l’ordre:

218 Cap. A Introducció al MapleV.
plot ( {funció 1, funció 2,..., funció n}, x=a..b);
Representem la funció f(x) =x sin x en l’interval [0, π].
> plot(f(x),x=0..Pi);
Representem les funcions f(x) i e x en l’interval [-2,2].
> plot({exp(x), f(x)}, x=-2..2);
Aquesta mateixa ordre es pot aplicar per representar expressions.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 219
> plot(g,x=0..Pi);
Càlcul de derivades.
La derivada d’una funció s’obté a partir de l’operador D. Per exemple, calculemladerivadadelafuncióf(x)
=x sin(x) definida anteriorment:
> f1:=D(f);
f1 :=x → sin(x)+x cos(x)
Observem que el resultat d’aplicar aquest operador és sempre una funció.
La derivada d’una funció o d’una expressió es pot obtenir, també, fent servir
l’ordre diff però, en aquest cas, el resultat sempre és una expressió. La
sintaxi d’aquesta ordre és:
> f2:=diff(f(x),x);
> a:=x ^2+x*exp(x);
> a1:= diff (a,x);
diff (funció o expressió, variable);
f2 :=sin(x)+x cos(x)
a := x 2 + xe x
a1 :=2x + e x + xe x
Les derivades d’ordre superior, en ambdós casos, es troben fent:

220 Cap. A Introducció al MapleV.
> g4:=diff(g,x$4);
> f4:=(D@@4)(f);
diff ( funció o expressió, variable $ ordre derivada);
(D@@ordre derivada)(funció);
g4 :=−4cos(x)+xsin(x)
f4 :=x →−4cos(x)+xsin(x)
Si la funció és de vàries variables llavors:
D[i](funció);
calcula la derivada parcial de f respecte de la variable i-èsima.
D[i,j](funció);
dóna la derivada parcial de segon ordre respecte a les variables i i j.
> h:=(x,y)− >x ^2-x*y;
> hx:=D[1](h);
> h2x:=D[1,1](h);
h := (x, y) → x 2 + xy
hx := (x, y) → 2x + y
h2x := (x, y) → 2
Càlcul de primitives i integral definida
El càlcul de primitives i integrals definides d’una funció es fa a partir de la
instrucció int, els paràmetres de la qual variaran, segons es tracti d’un cas
odel’altre.Lasintaxiés:
int (funció o expressió,x);
int (funció o expressió,x=a..b);

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 221
per a integrals indefinides i integrals definides en l’interval [a,b], respectivament.
> f:=1/x;
> a:=int(f,x);
> g:=x->1/x;
> b:=int(g(x),x);
f := 1
x
a := ln(x)
g := x → 1
x
b := ln(x)
Observem que en els dos casos el resultat és una expressió.
> int(f,x=1..exp(1));
> int(g(x),x=1..exp(1));
> int(x*sin(x),x=0..1);
> evalf(”);
1
1
sin(1) − cos(1)
.3011686789
Si ens interessa en algun moment que aparegui el símbol d’integració, però
no el resultat de la integral, podem escriure
> Int(h(x),x=1..exp(1));
Int( funció, x=a..b);
Z e
1
h(x) dx
A.5 Estructures de dades
En aquesta secció veurem diferents estructures de dades tals com: llistes,
seqüències i matrius.

222 Cap. A Introducció al MapleV.
Llistes
Estan formades per una col.lecció d’elements, separats per comes i entre
claudàtors, cadascun dels quals ocupa la posició en la que s’ha entrat. Podem
fer referència a cadascun d’ells segons la posició que ocupin.
> llista1:=[1,a,4,5,b,c];
> llista1[3];
> llista1[2..4];
Seqüències
llista1:=[1,a,4,5,b,c]
4
[a,4,5]
Són un cas particular de llistes, on tots els elements segueixen la mateixa
fórmula recurrent. Per a generar-les fem servir l’ordre seq.
Per exemple, si volem definir els elements 2 n per a valors enters d’n entre -2
i4,escriurem:
> a:=[seq(2^n,n=-2..4)];
Arrays i matrius
a := [ 1 1
, , 1, 2, 4, 8, 16]
4 2
Les arrays són taules de dades on els índexs poden prendre qualsevol valor
enter.
> A:=array(-2..-1,-3..-1,[[1,b,3],[4,5,6]]);
A := array(−2.. − 1, −3.. − 1, [
(−2, −3) = 1
(−2, −2) = b
(−2, −1) = 3
(−1, −3) = 4
(−1, −2) = 5
(−1, −1) = 6
])
Fem referència a un element a partir dels índexs corresponents a la seva
posició.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 223
> A[-1,-3];
4
Si els índexs prenen valors naturals a partir de l’1, Maple interpreta l’array
com una matriu. La sintaxi és:
> B:=array(1..2,1..3,[[1,3,3],[2,4,6]]);
> B:=array([[1,3,3],[2,4,6]]);
array(1..m,1..n,[[fila 1],...,[fila m]]);
array([[fila 1],...,[fila m]]);
B :=
B :=
∙ 1 3 3
2 4 6
∙ 1 3 3
2 4 6
La matriu identitat està predefinida, per obtenir-la fem:
> id3:=array(identity,1..3,1..3);
L’ordre
id3 :=array(identity, 1..3, 1..3, [])
print(matriu);
permet visualitzar una matriu en qualsevol moment.
> print(id3);
⎡
id3 := ⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Una matriu també pot definir-se de les següents formes:
matrix(1..m,1..n,[[fila 1],...,[fila m]]);
¸
¸
⎤
⎦
matrix(m,n,[fila 1,...,fila m]);
matrix([[fila 1],...,[fila m]]);

224 Cap. A Introducció al MapleV.
> B:=matrix(2,3,[1,3,3,2,4,6]);
B :=
∙ 1 3 3
2 4 6
Els vectors es representen com a arrays unidimensionals i es consideren matrius
columna. També es poden definir mitjançant l’ordre vector.
> b1:=matrix([1,3,5,7]);
> b2:=vector([1,3,5,7]);
Operacions amb matrius
b1 :=[1, 3, 5, 7]
b2 :=[1, 3, 5, 7]
Per operar amb matrius necessitem la instrucció
Les principals operacions són:
> A:=matrix([[6,5,4],[3,2,1]]);
> C:=evalm(2*A-B);
evalm (operació amb matrius);
suma +
resta −
producte per un escalar ∗
producte &∗
potenciació ∧ ó ∗∗
A :=
C :=
∙ 6 5 4
3 2 1
¸
¸
∙ 11 7 5
4 0 −4
> F:=matrix([[6,5,0],[3,2,1],[0,4,0]]);
⎡
6 5
⎤
0
F := ⎣ 3 2 1 ⎦
0 4 0
> E:=evalm(A&*F);
E :=
∙ 51 56 5
24 23 2
¸
¸

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 225
Podem multiplicar una matriu per un vector i el resultat es considera com
a vector.
> b:=vector([1,2,3,4]);
> P:=matrix([[1,0,0,1],[2,2,2,2]]);
> evalm(P&*b);
P :=
> inversa_F:=evalm(F^(-1));
b := [1, 2, 3, 4]
µ 1 0 0 1
2 2 2 2
[5, 20]
⎡
inversa F := ⎣
Funcions sobre estructures de dades
1
6 0 − 5
24
1 0 0 4
− 1 1
2 1 8
Per aplicar una funció a tots els elements d’una de les anteriors estructures
de dades disposem de la instrucció
> f:=x− >x^2+2;
fB:=map(f,B);
> llista:=[1,0,1];
llista2:=map(f, llista);
map(funció,estructura);
f : = x → x 2 +2
∙ ¸
3 11 11
fB : =
6 18 38
llista : = [1, 0, 1]
llista2 : = [3, 2, 3]
⎤
⎦

226 Cap. A Introducció al MapleV.
A.6 Equacions, inequacions i sistemes d’equacions
Resolució d’una equació algebraica.
Per resoldre una equació podem emprar l’ordre
> solve (x^2-3*x+2=0, x);
> solve (sin(x)=x, x);
> solve (cos(x)=x, x);
> solve (x^5+x+1, x);
solve (equació, variable);
1, 2
0
RootOf(Z − cos Z)
− 1 1
+
2 2 I√3, − 1 1
−
2 2 I√3, − 1 2 1
%2− %1+
6 3 3 ,
1 1 1 1
%2+ %1+ +
12 3 3 2 I√ µ
3 − 1 2
%2+
6 3 %1
,
1 1 1 1
%2+ %1+ −
12 3 3 2 I√ µ
3 − 1 2
%2+
6 3 %1
%1 : =
1
¡ √ ¢ 1/3
100 + 12 69
%2 : =
³
100 + 12 √ ´ 1/3
69
Observem que aquesta ordre només dóna solucions que es poden expressar
de manera exacta. Si les solucions tenen expressions complicades que es van
repetint, Maple les etiqueta automàticament amb símbols de la forma % n.
En aquests casos pot ser útil obtenir una aproximació decimal mitjançant
l’ordre fsolve.
> fsolve (cos(x)-x=0, x);
.7390851332
Si l’equació és polinòmica obtenim totes les solucions reals:
> fsolve (x^5+x+1=0, x);
−.7548776662
Si volem obtenir totes les solucions fem servir l’opció complex.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 227
> fsolve (x^5+x+1=0, x, complex );
−.7548776662, −.5000000000 − .8660254038 I,−.5000000000 + .8660254038 I,
.8774388331 − .7448617666 I,.8774388331 + .7448617666 I
Si l’equació és de la forma f(x) =0la sintaxi en ambdós casos pot ser
Resolució d’inequacions.
solve (f(x));
fsolve (f(x));
La funció solve també resol algunes inequacions:
> solve (x^2-x>1,x);
RealRange(−∞,Open( 1
2
> solve (x^2-x solve ({x+y-z=2, 2*x+y-z=1, x-2*y+z=1});
{y = −5, z= −8, x= −1}
> equacions:= {x+y-z=2, 2*x+y-z=1, 3*x+2*y-2*z=3};
solucions:= solve(equacions);
solucions := {x = −1, y=3+z, z = z}
> solve ({x+y-z=2, 2*x+y-z=1, x-y+z=0});
Si un sistema d’equacions no té solució Maple no torna cap resposta.
> fsolve(sin(x)-cos(y)=1/x, x+sin(y)=2);
{x =1.010259285, y=1.714162119}

228 Cap. A Introducció al MapleV.
Resolució d’equacions diferencials.
Maple resol certes equacions diferencials ordinàries mitjançant la instrucció
> dsolve (diff(y(x),x) +y=x, y(x));
dsolve (edo, variable);
dsolve ({edo, c.i}, variable);
y(x) =x − 1+e (−x) C1
> dsolve ({diff(y(x),x) +y=x, y(0)=1}, y(x));
y(x) = ex x − e x +2
e x
> dsolve (diff(y(x),x$2) -3*diff(y(x),x)+2*y=x, y(x));
y(x) = 3 1
+
4 2 x + C1 ex + C2 e (2x)
A.7 Llibreries de Maple.
Maple disposa d’un conjunt de llibreries que contenen una col.lecció de funcions
predefinides. En aquesta secció en veurem dues: la llibreria student
queamplialapartdeCàlculilallibrerialinalg quepermetferdiferents
càlculs d’Àlgebra Lineal.
Per accedir a qualsevol d’aquests paquets fem:
with (nom_llibreria);
i Maple ens mostra la relació completa de les funcions disponibles.
Llibreria STUDENT.
> with (student);
[D, Diff, Doubleint, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, changevar,
combine, completesquare, distance, equate, extrema, integrand, intercept,
intparts, isolate, leftbox, leftsum, makeproc, maximize, middlebox,

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 229
middlesum, midpoint, minimize, powsubs, rightbox, rightsum, showtangent,
simpson, slope, trapezoid, value]
Ens limitarem a comentar les funcions simpson i trapezoid que corresponen,
respectivament, als mètodes de Simpson i del Trapezi vistos en el capítol
d’Integració Numèrica.
La seva sintaxi és:
simpson (funció, x=a..b, n); amb n parell
trapezoid (funció, x=a..b, n);
on n és el nombre d’intervals en què es divideix l’interval d’integració [a,b].
Observem que per a n =2, en el primer cas, tenim Simpson simple i per a
n =1en el segon es té el mètode del trapezi simple.
> trapezoid (x*exp(x), x=0..1,1);
Ã
0X
e i !
i
> evalf(”);
i=1
+ 1
2 e
1.359140914
> evalf(trapezoid (x*exp(x),x=0..1,5));
1.014771074
> evalf(simpson(x*exp(x),x=0..1,2));
1.002620728
> evalf(simpson(x*exp(x),x=0..1,6));
> int(x*exp(x),x=0..1);
Llibreria LINALG.
> with (linalg);
Warning, new definition for norm
1.000033590
1

230 Cap. A Introducció al MapleV.
Warning, new definition for trace
[BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian,
addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, basis, bezout,
blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace, colspan, companion,
concat, cond, copyinto, crossprod, curl, definite, delcols, delrows,
det, diag, diverge, dotprod, eigenvals, eigenvalues, eigenvectors, eigenvects,
entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselim, fibonacci, forwardsub,
frobenius, gausselim, gaussjord, geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite,
hessian, hilbert, htranspose, ihermite, indexfunc, innerprod, intbasis,
inverse, ismith, issimilar, iszero, jacobian, jordan, kernel, laplacian,
leastsqrs, linsolve, matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, mulrow, multiply,
norm, normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot, potential, randmatrix,
randvector, rank, ratform, row, rowdim, rowspace, rowspan, rref,
scalarmul, singularvals, smith, stack, submatrix, subvector, sumbasis, swapcol,
swaprow, sylvester, toeplitz, trace, transpose, vandermonde, vecpotent,
vectdim, vector, wronskian]
Els missatges d’avís (Warning: ...) ens indiquen que les ordres norm i trace
substitueixen a les que estan carregades en memòria amb el mateix nom.
Comentarem només les instruccions relacionades amb la resolució de sistemes
i el càlcul de valors i vectors propis.
Operacions matricials
suma + add(A + B)
resta − add(A − B)
producte per un escalar ∗ ∗
producte &∗ multiply(A,B)
trasposta transpose(A)
matriu inversa Aˆ(−1) inverse(A)
determinant det(A)
traça trace(A)
rang rank(A)
> A:=matrix([[6,5,4],[3,2,1]]);
A :=
∙ 6 5 4
3 2 1
> F:=matrix([[6,5,0],[3,2,1],[0,4,0]]);
⎡
6 5
⎤
0
F := ⎣ 3 2 1 ⎦
0 4 0
¸

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 231
Si volem introduir una matriu diagonal només cal indicar els elements de la
diagonal mitjançant l’ordre diag.
> diagonal:=diag(-1,7,3);
> E:=multiply(A,F);
> det(F);
> inversa_F:=inverse(F);
> rank(F);
Norma d’una matriu
La instrucció
⎡
diagonal := ⎣
E :=
−1 0 0
0 7 0
0 0 3
∙ 51 56 5
24 23 2
−24
⎡
inversa F := ⎣
3
¸
⎤
⎦
1
6 0 − 5
24
1 0 0 4
− 1 1
2 1 8
norm( matriu,tipus de norma);
calcula la norma d’una matriu o vector.
Per defecte, si no s’especifica el tipus de norma, obtenim la norma infinit.
> norm(A);
> norm(A,infinity);
> norm(A, 1);
15
15
9
⎤
⎦

232 Cap. A Introducció al MapleV.
Resolució de sistemes d’equacions
Donada una matriu A, la funció gausselim aplica el mètode de Gauss amb
pivotatge parcial per a obtenir la forma triangular de la matriu A.
> A:=matrix(3,3, [1,2,3,2,0,-4,-1,4,1]);
>A1:= gausselim(A);
⎡
A := ⎣
A1 := ⎣
La funció gausselim admet la sintaxi
⎡
1 2 3
2 0 −4
−1 4 1
1 2 3
0 −4 −10
0 0 −11
⎤
⎦
⎤
⎦
gausselim(A, ’var1’, ’var2’)
• Si el paràmetre var1 és un nom, aquest ens donarà el rang de la matriu.
• El paràmetre var2, s’assignarà al determinant de la submatriu (A, 1..n,
1..n) resultant d’aplicar el mètode de Gauss.
• Si s’especifica només un segon paràmetre, i és un enter, l’eliminació
s’acaba en aquesta posició de columna.
> c:= matrix(4,4,[1.,-1.,2.,1.,3,-1,3,2,4,3,4,5,4,5,6,7]);
c :=
⎡
⎢
⎣
1. −1. 2. 1.
3 −1 3 2
4 3 4 5
4 5 6 7
> gauss1:=gausselim(c, ’rang’, ’deter’);
> rang;
gauss1 :=
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
4. 3. 4. 5.
0 −3.250000000 0 −1.750000000
0 0 2. .923076923
0 0 0 .2307692309
4
⎤
⎥
⎦

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 233
> deter;
> det(c);
−6.000000003
> gausselim(c,2);
⎡
4. 3. 4. 5.
⎤
⎢ 0
⎣ 0
−3.250000000
0
0
1.000000000
−1.750000000 ⎥
.6923076924 ⎦
0 0 2.000000000 .923076923
−6
La instrucció linsolve permet resoldre un sistema lineal donat en forma
matricial Ax = b.
> b:= vector([1,2,2,1]);
> sol:=linsolve(c,b);
linsolve (A,b);
b := [1, 2, 2, 1]
sol := [.1 × 10 −9 , −1.500000000, −1.500000000, 2.500000000]
Valors i vectors propis
Lesordresqueusaremperalcàlculdevalorsivectorspropissón:
Operació Comanda MapleV
Polinomi característic charpoly(matriu, variable);
Valors propis eigenvals(matriu);
Vectors propis eigenvects(matriu);
> a:=matrix(3,3,[-3,-1,-1,0,2,-1,2,-2,1]);
> charpoly(a,x);
> eigenvals(a);
⎡
a := ⎣
3 −1 −1
0 2 −1
2 −2 1
x 3 − 6x 2 +11x − 6
1, 2, 3
⎤
⎦

234 Cap. A Introducció al MapleV.
> eigenvects(a);
[1, 1, {[1, 1, 1]}], [2, 1, {[1, 1, 0]}], [3, 1, {[0, −1, 1]}]
Aquesta ordre presenta, en forma de llista, el valor propi, la seva multiplicitat
i un o més vectors propis associats, depenent de la multiplicitat.
> b:=matrix(3,3,[-3,0,1,-1,-3,2,-1,-1,0]);
⎡
−3 0
⎤
1
b := ⎣ −1 −3 2 ⎦
−1 −1 0
> eigenvects(b);
[−2, 3, {[1, 1, 1]}]

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 235
A.8 Exemples amb Maple V
¥ Problema 1.
Z x
Sigui f(x) = ln(t) dt . Aproximeu la solució de l’equació f(x) = 0
.9
seguint els següents passos:
> restart;
(a) Deduïu que l’equació f(x) =0té una única solució a l’interval
[1, 2].
Z 1.2
(b) Aproximeu ln(t) dt per la fórmula del trapezi compost amb
.9
3intervalsifiteu l’error comès.
(c) Escriviu la fórmula de Newton per aproximar la solució de f(x) =
0 i la fórmula de Simpson simple per aproximar ln(t) dt per
.9
aqualsevolb.
(d) Calculeu una aproximació de la solució de f(x) =0pel mètode
de Newton fins que |xi − xi−1| < 10−4 , prenent com a valor inicial
x0 =1.2.
Definim la funció f(x):
> f:=x->Int(ln(t), t=0.9..x);
f := x− >
Zx
.9
ln(t) dt
En aquest cas ens interessa tenir el símbol de la integral, no el seu valor.
apartat a)
Per deduir que la solució és única en l’interval I=[1,2] aplicarem el teorema
de Bolzano i comprovarem que la funció derivada és estrictament creixent
en [1,2].
> f(1.);
> evalf(f(1));
Z1.
.9
ln(t) dt
−.005175535908
Z b

236 Cap. A Introducció al MapleV.
> f(2.);
> evalf(f(2));
Z2.
.9
ln(t) dt
.3811188252
Com que f(x) és contínua en [1, 2] if(1)·f(2) f1:=D(f);
> plot(f1(x),x=1..2);
f1 :=ln
Observem que la funció derivada és estrictament creixent en [1,2] i, per tant,
la solució és única.
> plot(f(x),x=1..2);
Representant gràficament la funció f(x), observem que en I hi ha una única
arrel. Per veure millor quina és restringim l’interval a [0.9,1.2].

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 237
> plot(f(x),x=0.9..1.2);
apartat b)
Per poder aplicar el mètode del trapezi compost necessitem la llibreria student.
> with(student);
[D, Diff, Doubleint, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, changevar,
combine, completesquare, distance, equate, extrema, integrand, intercept,
intparts, isolate, leftbox, leftsum, makeproc, maximize, middlebox,
middlesum, midpoint, minimize, powsubs, rightbox, rightsum, showtangent,
simpson, slope, trapezoid, value]
> evalf(trapezoid(ln(t),t=0.9..1.2,3));
.01337907003
Pertrobarlafita de l’error, introduim la fórmula de l’error del mètode.
> error:=(b-a)^3*M2/(12*n^2);
> a:=0.9;b:=1.2;n:=3;
> g:=t->ln(t);
> g2:=D(D(g));
error := 1 (b − a)
12
3M2 n2 a : = .9
b : = 1.2
n : = 3
g := ln
g2 :=a− > − 1
a 2

238 Cap. A Introducció al MapleV.
> plot(abs(g2(x)),x=0.9..1.2);
> M2:=abs(g2(0.9));
> error;
apartat c)
M2 :=1.234567901
.0003086419752
La fórmula de Newton- Raphson per resoldref(x) =0ve donada per:
En el nostre cas serà:
> x[i+1]:=x[i]-f(x[i])/f1(x[i]);
xi+1 = xi − f(x i)
D(f(xi))
xi+1 = xi −
R xi
.9
ln tdt
ln(xi)
La fórmula de Simpson simple l’obtenim directament amb la comanda de la
llibreria student.
> x:=’x’:
> evalf(simpson(ln(t),t=0.9..x,2));
apartat d)
.3333333333(.5000000000x − .4500000000)
(−.1053605157 + ln(x)+4.ln(.4500000000 + .5000000000x))
El mètode de Newton anterior, a l’avaluar la integral pel mètode de Simpson
simple, queda de la forma següent:

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 239
> x[i+1]:=x[i]-evalf(simpson(ln(t),t=0.9..x[i],2))/f1(x[i]);
xi+1 : = xi − .3333333333(.5000000000xi − .4500000000)
(−.1053605157 + ln(xi)+4.ln(.4500000000 + .5000000000xi))/ln(xi)
Fem el procés iteratiu calculant l’error a cada pas.
> x[0]:=1.2; error:=infinity;
x0 : = 1.2
error : = ∞
> forifrom0to20while(error> 10^(-4)) do
x[i+1]:=x[i]-evalf(simpson(ln(t),t=0.9..x[i],2))/f1(x[i]);
error:=abs(x[i+1]-x[i]);
od;
x1 : = 1.125373142
error : = .074626858
x2 : = 1.105280587
error : = .020092555
x3 : = 1.103473868
error : = .001806719
x4 : = 1.103458556
error : = .000015312
Comparem aquest resultat amb el que obtindríem amb la instrucció fsolve.
> F:=x->int(ln(t),t=0.9..x);
> fsolve(F(x)=0);
F := x− >
Z x
.9
1.103451152
ln(t) dt

240 Cap. A Introducció al MapleV.
¥ Problema 2.
Donada una funció real de variable real, f, contínua de la qual només coneixem
els seus valors en els punts −1, 0, 1 i 2.
apartat a)
(a) Calculeu una fórmula de quadratura de grau de precisió 3 que ens
aproximi el valor de R 2
−1 f(x) dx
(b) Calculeu el polinomi que interpola f(x) en aquests quatre nodes
i integreu-lo per obtenir una aproximació de la integral anterior.
Si el grau de precisió ha de ser 3 haurem d’imposar que la fórmula de quadratura
sigui exacta per a polinomis de grau més petit o igual que 3.
> restart;
> Int(f(x),x=-1..2)=A*f(-1)+B*f(0)+C*f(1)+D*f(2);
Z 2
f(x) dx = Af(−1) + Bf(0) + Cf(1) + Df(2)
> p0:=x->1;
p1:=x->x;
p2:=x->x^2;
p3:=x->x^3;
−1
p0 : = 1
p1 : = x− >x
p2 : = x− >x 2
p3 : = x− >x 3
> int(p0(x),x=-1..2)=A*p0(-1)+B*p0(0)+C*p0(1)+D*p0(2);
int(p1(x),x=-1..2)=A*p1(-1)+B*p1(0)+C*p1(1)+D*p1(2);
int(p2(x),x=-1..2)=A*p2(-1)+B*p2(0)+C*p2(1)+D*p2(2);
int(p3(x),x=-1..2)=A*p3(-1)+B*p3(0)+C*p3(1)+D*p3(2);
3 = A + B + C + D
3
2
= −A + C +2D
3 = A + C +4D
15
4
= −A + C +8D

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 241
Resolem el sistema amb l’ordre linsolve de la llibreria linalg.
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> a:=matrix(4,4,[1,1,1,1,-1,0,1,2,1,0,1,4,-1,0,1,8]);
b:=vector(4,[3,3/2,3,15/4]);
a : =
⎡
⎢
⎣
1 1 1 1
−1 0 1 2
1 0 1 4
−1 0 1 8
b : = [3, 3 15
, 3,
2 4 ]
> sol:=linsolve(a,b);
sol := [ 3 9 9 3
, , ,
8 8 8 8 ]
La fórmula de quadratura és:
> Int(f(x),x=-1..2)=sol[1]*f(-1)+sol[2]*f(0)+sol[3]*f(1)+sol[4]*f(2);
Z 2
(x)dx = 3 9 9 3
f(−1) + f(0) + f(1) +
8 8 8 8 f(2)
apartat b)
> xs:=[-1,0,1,2];
ys:=map(f,xs);
−1
⎤
⎥
⎦
xs : = [−1, 0, 1, 2]
ys : = [f(−1),f(0),f(1),f(2)]
> p:=interp(xs,ys,t);
p : = 1
6 f(2)t3 − 1 1
f(2)t −
6 2 f(1)t3 + 1
2 f(1)t2 + f(1)t + 1
2 f(0)t3 − f(0)t 2 − 1
2 f(0)t
− 1
6 f(−1)t3 + 1
2 f(−1)t2 − 1
f(−1)t + f(0)
3
> int(p,t=-1..2);
3 9 9 3
f(2) + f(0) + f(1) +
8 8 8 8 f(−1)
Observem que l’aproximació de la integral donada pel polinomi interpolador
en els quatre nodes coincideix amb la fórmula de quadratura obtinguda
anteriorment.

242 Cap. A Introducció al MapleV.
¥ Problema 3.
Donat el problema de valor inicial
y 0 (x) =
2 y
x + x2 e x , y(1) = 0
en I=[1,2] amb solució exacta y(x) =x 2 (e x − e) .
apartat a)
(a) Feu servir el mètode d’Euler amb h =0.2per aproximar la solució
i compareu-la amb la solució exacta.
(b) Feu servir l’apartat anterior i interpolació lineal per aproximar
y(1.55) i compareu-lo amb el valor exacte.
Definim la solució exacta com una funció i calculem els iterats programant
el mètode d’Euler amb l’error a cada pas.
> f_exacta:=x->evalf(x^2*(exp(x)-exp(1)));
> a:=1; b:=2; h:=0.2; N:=(b-a)/h;
> x[0]:= 1.; w[0]:=0;
f exacta := x− >evalf(x 2 (e x − e))
a : = 1
b : = 2
h : = .2
N : = 5.000000000
x0 : = 1.
w0 : = 0
> f:=(x,y)->evalf(2*y/x+x^2*exp(x));
> forifrom0toN-1do
x[i+1]:=x[i]+h;
w[i+1]:=w[i]+h*f(x[i],w[i]);
error:=abs(w[i+1]-f_exacta(x[i+1]));
f := (x, y)− >evalf(2 y
x + x2 e x )

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 243
od;
x1 : = 1.2
w1 : = .5436563656
error : = .3229861714
x2 : = 1.4
w2 : = 1.681068828
error : = .939290724
x3 : = 1.6
w3 : = 3.751012594
error : = 1.969948936
x4 : = 1.8
w4 : = 7.224718344
error : = 3.568906316
x5 : = 2.0
w5 : = 12.75038287
error : = 5.93271422
Calculem el polinomi interpolador en els 6 punts de la xarxa i el representem
gràficament juntament amb la solució exacta.
> xs:=[seq(x[i],i=0..N)];
> ys:=[seq(w[i],i=0..N)];
xs := [1., 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0]
ys := [0.5436563656, 1.681068828, 3.751012594, 7.224718344, 12.75038287]
> p:=interp(xs,ys,x);
p : = 1.159130990x 5 − 4.664555601x 4 +11.60827909x 3 − 14.18748583x 2
+8.090160062x − 2.005528711

244 Cap. A Introducció al MapleV.
> plot({f_exacta(x),p},x=1..2);
apartat b)
La interpolació lineal la farem amb les dues abscisses més properes a 1.55,
que són 1.4 i 1.6.
> q:=interp([x[2],x[3]],[w[2],w[3]],x);
> q0:=subs(x=1.55,q);
> f_exacta(1.55);
> error:=abs(q0-f_exacta(1.55));
q := 10.34971883x − 12.80853753
q0 :=3.23352666
4.788635018
error := 1.555108358

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 245
¥ Problema 4.
Considerem la funció f(x) = ex
x
apartat a)
(a) Representeu-la gràficament per x>0.
(b)Enquinintervaldelongitud1,l’àreasotalagràfica d’aquesta
funció és mínima? Quant val aproximadament aquesta àrea?
> f:=x->exp(x)/x ;
> plot(f(x),x=0..infinity);
apartat b)
f := x− > ex
x
L’àrea sota la gràfica d’aquesta funció en un interval de longitud 1 ve donada
per la integral definida A(a) = R a+1
a
e x
x
dx amb a>0.
La condició necessària per a que sigui mínima és A 0 (a) =0.
> A:=a->Int(exp(x)/x,x=a..a+1);
A := a− >
Z a+1
> A1:=D(A);
A1 :=a− > ea+1
a +1
> sol_minim:=fsolve(A1(a)=0);
a
e x
x dx
− ea
a
sol minim := .5819767069

246 Cap. A Introducció al MapleV.
Verifiquem que aquesta solució és un mínim, és a dir, A”(sol_minim) > 0.
> A2:=D(A1);
> A2(sol_minim);
L’àrea mínima és:
A2 :=a− > ea+1
a +1
e(a+1) ea ea
− − +
(a +1) 2 a a2 3.339934750
> area_minima:=evalf(A(sol_minim));
area minima := 2.834904768

Apèndix B
Solució dels problemes
proposats
B.1 Interpolació
1. P2(x) =a +(1− a)x 2
2. P2(x) =x 2 − 4x +1.P3(x) =x 2 − 4x +1
3. P2(x) =x 2 − x
4. P1(x) =2.51x +0.18. P1(1.6) = 4.196.
P2(x) =0.44x2 − 0.97x +1.5.P2(1.6) = 4.1784.
P3(x) =2.6933x 3 − 11.68x 2 +18.4766x − 6.58.P3(1.6) = 4.11376.
5. a) P (x) =x2 − x. P (3) = 6.Q(x) = 4
3 x2 − 3x + 8 17
.Q(3) =
3 3 .
b) P4(x) =− 1
30 x4 + 29
60 x3 − 73
60 x2 + 83
30 x − 2.P4(3) = 5.7
6. f(1.03) ' 3.053047591. error≤ 0.00011906409888. |f(1.03) − p(1.03)| =
0.000114169
7. ln 2 ' 0.701006904. error≤ 0.033. |ln 2 − p(2)| =0.0078597234
8. P1(x) =4.171428573x − 4.394285718. P1(2.5) = 6.034285712
P2(x) = −5.425238093x2 +32.92519046x − 41.82842856. P2(2.5) =
6.57680951
P3(x) =−9.429047615x 3 +63.40680950x 2 −132.0831428x+88.29242856.
P3(2.5) = 7.04826196
247

248 Cap. B Solució dels problemes proposats
9. a) P (x) =20.41001892x2 − 14.02096282x +1
b) f(1.5) ' 25.89109834 = P (1.5)
c) |f(1.5) − P (1.5)| =5.80556142
10. a) P4(x) =−0.3529411754x 4 − 0.1470588247x 2 − 0.1 × 10 −9 x +1
b)P9(x) =−0.2085×10 −6 x 9 −0.1034x 8 +0.4030×10 −6 x 7 +0.7758x 6 −
0.2419×10 −6 x 5 −1.1861x 4 +0.527×10 −7 x 3 +0.0139x 2 −0.28×10 −8 x+1.
11. a) P2(x) =3.85118633x2 − 20.988094197x +55.02081827
b) f(10.75) ' P2(10.75) = 274.451525913
error≤ 0.0015625
12. a) P (x) =−0.48x 2 − 0.0074x +1.00076
cos(0.34) ' P (0.34) = 0.942756
b) error≤ 0.0000004
c) El polinomi interpolador dóna ”bones” aproximacions de f(x) si el
valor x pertany a l’interval on hem calculat el polinomi. En aquest cas,
seria fiable si x ∈ [0.3, 0.35]. En aquest cas, x =0.75 i l’aproximació
trobada no té perquè ser correcte.
13. a) P (x) =1.8494334x2 +0.9231552x
b) error≤ 0.01b6.
14. f(x) = ex 3 . √ e = f( 1 3 ) ' P ( 1 3 ) = 1.396 on P (x) és el polinomi
interpolador en els punts donats.
error≤ 0.000736
B.2 Integració numèrica
1. ω0 = 3 2 , ω1 = 1 2 ,a= − 1 3
½
2. x1 = 1 1√
− 6 ,x2 =
5 5
1
¾ ½
2 √
+ 6 , x1 =
5 15
1 1√
+ 6 ,x2 =
5 5
1
¾
2 √
− 6
5 15
3α +1
3. k1 =
3(α +1) ,k2
3α − 1
=
3(α − 1) ,k3
4
=
3(α − 1) (α +1)
4. El grau de precisió és n=5. El resultat aproximat és
Z 1
xe x dx ≈ 0.9999820380
0
i l’error comès és menor que 0.00003146159522.

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 249
5. a) Hem d’aplicar la regla de Simpson en 4 subintervals. Per tant, n=8
b) n =100.
c) Aplicant la regla de Simpson s’obté
Z 1
xe 2x dx ≈ 2.097446320
0
mentre que el valor exacte és 1
4e2 + 1
4 ≈ 2.097264025
¯
¯f (2) (x) ¯ <
5. Prenent M =5, obtenim n := 289 i, per tant, h = b−a 1
n = 289 . El
resultat que dóna la regla dels trapezis és 0.1006087768, mentre que el
valor exacte de la integral és 1 4cos(2)+ 1 2sin(2)- 1 4 ≈ 0.1006120043
¯
b) Per a la regla de Simpson, tenim M =sup ¯f x∈[0,1]
(4) (x) ¯ < 34. Prenent
M =34resulta n=7 i, per tant, cal dividir [0, 1] en 14 subintervals
totals. El valor de l’aproximació que s’obté és 0.1006155264
6. a) Dibuixant la gràfica de f (2) (x) veiem que M =sup x∈[0,1]
7. a)
Z √ 3
1
dx
1+x
√
3
= arctg(x)|
2 1
π π
= −
3 4
= π
12
b) 2 subintervals (n =4)
c) el valor aproximat de la integral és 0.2617977348 Aleshores,
π ≈ 12 × 0.2617977348 = 3.141572818
8. b) Dividint [a, b] en 2n subintervals iguals, obtenim:
Z b
a
f(x)dx ≈
b − a
n [f(x1)+f(x3)+···+ f(x2n−1)]
on n és el nombre d’intervals sobre els que apliquem la fórmula del
rectangle. La longitud de cada un és b−a
n
c) n =41intervals sobre els que aplicar la fórmula composta. La
integral aproximada és 0.3332837597, mentre que el valor exacte és
=0.33333 ...
1
3
9. a) n =21
b) n =6(és a dir, apliquem 3 vegades Simpson)
c) Les aproximacions que s’obtenen són 0.6159511037 per a la regla
dels trapezis i 0.6155616728 per a la regla de Simpson.
d) El valor exacte és 0.6156264705

250 Cap. B Solució dels problemes proposats
10. a.1) n =10
a.2) n =2.
b) Per Simpson compost, el valor aproximat de la integral 2.0974083.
c) Valor exacte: 0.5. Error absolut: 1.5974083
11. n=2 intervals, és a dir, 4 subintervals.
L’aproximació és 1.0705935
12. a) n =17(trapezis compost)
b) n =2(simpson compost)
c) El valor aproximat de la integral per Simpson compost és: −1.9856111
d) L’error comès és: 0.0143889
13. El grau de precisió és 3.
14. Per que la recta y = x +1és el polinomi interpolador en els punts 0 i
2 de la funció que s’integra.
15. a) Valor exacte: 0.2642
b) n =2
c) El valor aproximat és 0.2641.
16. A0 = 1 6 ,A1 = 2 3 ,A2 = 1 6 . La fórmula és de Simpson simple.
17. Nombre d’intervals: n =18.ih = 1
18 .
18. a = 20
3
−16 8
,b= 3 ,c= 3 .
B.3 Equacions diferencials ordinàries.
1.
xi ωi (Mètode d’Euler) ωi (Mètode RK-4)
0 1 1
0.25 0.75 0.7587119633
0.5 0.52734375 0.5563838734
0.75 0.3607463836 0.4026265519
1 0.2461589214 0.2910392908
2. La fórmula de recurrència pel mètode RK-2 és:
ωi+1 = ωi(1+0.1tan(xi+0.1))+(ωi+1)(0.1tanxi+0.02 tan xi tan(xi+0.1))
La fórmula de recurrència pel mètode de Taylor d’ordre 2 és:
ωi+1 = ωi +(ωi + 1)(0.2tanxi +0.03 tan 2 xi +0.01)

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 251
3. Taula de valors pel mètode d’Euler:
.
1 -1 -1 0
1.05 -0.95 −0.9523809524 0.0023809524
1.1 -0.9045354309 −0.9090909091 0.0045554782
1.15 -0.8630070873 −0.8695652174 0.0065581301
1.2 -0.8249169183 −0.8333333333 0.0084164150
1.25 -0.7898475539 −0.8 0.0101524461
1.3 -0.7574466097 −0.7692307692 0.0117841595
1.35 -0.7274145173 −0.7407407407 0.0133262234
1.4 -0.6994949907 −0.7142857143 0.0147907236
1.45 -0.6734674848 −0.6896551724 0.0161876876
1.5 -0.6491411779 −0.6666666667 0.0175254888
1.55 -0.6263501299 −0.6451612903 0.0188111604
1.6 -0.6049493567 −0.625 0.0200506433
1.65 -0.5848116255 −0.6060606061 0.0212489806
1.7 -0.5658248200 −0.5882352941 0.0224104741
1.75 -0.54788976615 -1/1.75= −.5714285714 0.0235388053
1.8 -0.5309183972 -1/1.8= −.5555555556 0.0245371584
1.85 -0.5148322824 -1/1.85= −.5405405405 0.0257082581
1.9 -0.4995613065 -1/1.9= −.5263157895 0.0267544830
1.95 -0.4850426158 -1/1.95=-.5128205128 0.0277778970
2 -0.4712196987 -1/2= −.5 0.0787803013
b) Els valors aproximats trobats a partir d’interpolació lineal són:
p(1.052) = −0.948181417
y(1.052) = −.9505703422
error = 0.002388925
p(1.978) = −0.4773017825
y(1.978) = −0.5055611729
error = 0.282593904

252 Cap. B Solució dels problemes proposats
4.
c) Taula de valors pel mètode de Runge- Kutta d’ordre 4 (RK-4).
xi ωi y(xi) ei
1 -1 -1 0
1.05 -0.9523809190 -0.9523809524 0.0000000334
1.1 -0.9090908490 -0.9090909091 0.0000000601
1.15 -0.8695651354 -0.8695652174 0.0000000820
1.2 -0.8333332530 -0.8333333333 0.0000001003
1.25 -0.7999998840 -0.8 0.0000001160
1.3 -0.7692306395 -0.7692307692 0.0000001297
1.35 -0.7407405988 -0.7407407407 0.0000001419
1.4 -0.7142855613 -0.7142857143 0.0000001530
1.45 -0.6896550093 -0.6896551724 0.0000001631
1.5 -0.666666492 -0.6666666667 0.0000001725
1.55 -0.6451611090 -0.6451612903 0.0000001813
1.6 -0.6249998103 -0.625 0.0000001897
1.65 -0.6060604083 -0.6060606061 0.0000001978
1.7 -0.5882350886 -0.5882352941 0.0000002055
1.75 -0.5714283584 -0.5714285714 0.0000002130
1.8 -0.5555553352 -0.5555555556 0.0000002204
1.85 -0.5405403130 -0.5405405405 0.0000002275
1.9 -0.5263155549 -0.5263157895 0.0000002346
1.95 -0.5128202713 -0.5125205128 0.0000002415
2 -0.4999997516 -0.5 0.0000002484
d) Els valors aproximats trobats a partir d’interpolació lineal són:
p(1.052) = −0.9506493162
y(1.052) = −.9505703422
error = 0.0000789740
p(1.978) = −0.5051279599
y(1.978) = −0.5055611729
error = 0.0004332130
xi ωi (Mètode d’Euler) ωi (Mètode RK-4)
1 1 1
1.1 1.2 1.215879587
1.2 1.428199174 1.467553377

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 253
5.
6.
7.
xi
ωi
0 0
0.25 0.25
0.5 0.5065511855
0.75 0.7780402350
1 1.066541563
El valor aproximat de la solució en el punt 0.6 és:
p(0.6) = 0.6151468053
xi ωi y(xi) = x3 i
0 0 0
3
0
0.4 0 0.021333333 0.021333333
0.8 0.128 0.170666666 0.042666666
1.2 0.512 0.576 0.064
1.6 1.28 1.365333333 0.085333333
2 2.56 2.666666666 0.106666666
xi ωi y(xi) = x3 i
0 0 0
3
0
0.4 0.0213333334 0.021333333 0.0000000001
0.8 0.1706666667 0.170666666 0.0000000001
1.2 0.5760000001 0.576 0.0000000001
1.6 1.365333334 1.365333333 0.0000000001
2 2.666666668 2.666666666 0.0000000002
8. La solució particular és:
B.4 Zeros de funcions
1. a) x =0.6191406250.
b) x =1.235351563
ei
y(x) =e − sin x +sinx − 1
ei

254 Cap. B Solució dels problemes proposats
2. a) x =1.895494276 en I =[1, 2]
b) x =0.5109734293 en I =[0, 1]
3. x =1.414211438
4. La més adequada és g(x) = 2x3 +2
3x2 .L=0.66666. x0 =1.5,
x1 =1.296296296, x2 =1.260932225, x3 =1.259921861.
5. a) I =[0, 1]
b) g1(x) =x 2 + x − e −x .g2(x) = √ e −x . La millor és g2(x)
c) x0 =0.5, x1 =0.7788007831, x2 =0.6774629653, x3 =0.7126737887.
n =9
6. Resolt a l’annex de Maple V
7. A = B =60. A partir d’quí deduïm que les arrels positives es troben
a l’interval ( 1 8
1
, ) i les arrels negatives a (−8 , − ). Si estudiem els
31 3 3 31
canvis de signe de P (x) ideP (−x) en ambdós casos són 2, per tant el
nombre d’arrels positives serà 2 o cap, a l’igual que el nombre de les
negatives. Si les localitzem veiem que existeixen 2 de cada.
8. a) x = −2, x= − 1 1
3 ,x= 2
b) x = −2 és mínim, x = − 1
3
9. a) I =[1, 2].( També I =[4, 5] )
b) x =1.857183860
10. a) I =[0, 1]
b) x =0.6411857445
c) x =0.6411857445
11. a) I =[0, 1]
b) x =0.5372744492
c) x =0.5372744493
és màxim i x = 1
2
és mínim
12. b) n =7
c) x0 =1.5, x1 =0.93662903, x2 =1.0373103, x3 =1.0444932, x4 =
1.0445246.
13. b) La millor fórmula és la b.1
c) n =18.
14. c) n =5

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 255
15. a) P (x) =x 3 + x 2 + x +1
b) Pel teorema de Descartes trobem que hi pot haver 3 arrels negatives
ó 1 negativa i 2 complexes.
Les arrels compleixen: −2 ≤ α ≤−1 2 obé 1 2
Les arrels són: α0 = −1, α1 = i, α2 = −i.
B.5 Sistemes d’equacions lineals
1. x1 =1.00 , x2 =0.333 , x3 = −0.333
2.
⎛
1. 0
⎞
0
⎛
L = ⎝ 1. 1. 0 ⎠ ; U = ⎝
1. 0 1.
La matriu de permutació és
⎛
P = ⎝
1. 0 0
0 0 1.
0 1. 0
≤ α ≤ 2.
1. 1. 1.
0 1. 1.
0 0 −3.
Resolent successivament els sistemes LY = P T b i UX = Y, obtenim
la solució X =(1.00, 0.333, −0.333) T
3. a) X =(1, 2, 0, −1) T
b) X = ¡ 1.0000, 2.0000,.37500 · 10−5 , −1.0000 ¢
c)
⎛
1 0 0
⎞
0
⎜
L = ⎜ −1
⎝ 0
1
1
0
1
0 ⎟
0 ⎠
−3 3 2 1
,U=
⎛
−1 1 0
⎞
3
⎜
⎝
0
0
1
0
3
−4
4 ⎟
−5 ⎠
0 0 0 9
Resolent LY = b i UX = Y obtenim X = ¡ 1 6 , 19 6
4. a) El mètode no és convergent
¢ T
s’obté
b) Prenent X (0) = ¡ 9 7 3
10 , 10 , 5
⎞
⎠
, −1
6 , 1 3
X4 =(0.9955500000, 0.9572500000, 0.7911000000) T
L’error compleix kMk °
1−kMk X (i+1) − X (i) °

256 Cap. B Solució dels problemes proposats
5. a) No convergeix
b) Amb X (0) = N −1 b,s’obté
X (3) =(.9957475000,.9578737500,.7915747500) T
kMk °
i °X 1−kMk
(i+1) − X (i)° ° < 0.0002119936709
c) X (0) = N −1b,aleshores X (4) =(1.103770657, 2.996435027, −1.021110629, −2.626301964) T
kMk °
1−kMk X (i+1) − X (i) ° < 0.0004807963943
i l’error és tal que
6. Partint de X (0) =(0, 0, 0) T obtenim
X (9) =(6.585911424, 5.704645819, 7.372140478) T
Observem que la solució exacta és X =(8, 7, 9) T
7. a) Sí. b) No. c) No
8. a) |a| < 3 b) |a| < 3
c) Partint de X (0) = N −1 b, obtenim:
X (4) =(.3330078125,.2675781250,.6005859375) T
d) Amb el mateix vector inicial, resulta:
9. a 2 < 1
X (3) =(.3338937760,.2662913799,.5999537110) T
10. a)ÉsconvergentperquekMk ∞ =0.2 < 1
b) X (0) =(0, 0, 0) T ,X (1) =(1.2, 1.06, 0.948) T ,
X (2) =(0.9992, 1.00536, 0.999088) T ,
X (3) =(0.9995552, 1.0001802, 1.0000529) T
c) n =6
⎛
11. a) X (k+1) = ⎝
0 − 1
3 0
− 2
3 0 0
− 1 3 − a 3 0
⎞
⎛
⎠ X (k) + ⎝
b) És convergent per a tot a jaqueelradiespectraldeM és menor
que 1
c) n =16.
12. És convergent ja que el radi espectral és 0 i, per tant, menor que 1.
13. n =22.
2
3
1
1
⎞
⎠

Ricard Dominguez, Imma Gilibets, M. Albina Puente 257
B.6 Valors i vectors propis.
1. Amb precisió 10 −4 , trobem:
(a) x(11) =(1, 0.7143455206, −0.2497900733) T
λ11 =6.001675040
Per tant, el valor propi dominant és 6 i un vector propi associat
és v =(1, 0.714, −0.25) T , amb un error 0.0002106494.
(b) x(8) =(0.2500032000, −1, 0.2499968000) T
λ11 =5
El valor propi dominant és 5 i un vector propi és v =(0.25, −1, 0.25) T ,
amb un error .0000128000
(c) uparell → (1, 0, −0.25, −0.25) T usenar → (0, 0, 1, −1) T
λparell → 8 λsenar → 4.5
Elsvalorspropisdemòdulmàximsón: ± √ 8 · 4.5 =± √ 36 = ± 6.
Un vector propi associat a λ1 =6serà v1 =(1, 0, 0.75, −1.25) T i
un vector propi associat a λ2 = −6 és v2 =(1, 1, −1.25, 0.75) T .
2. valor propi de mòdul màxim:
x (13) =(0.9999799402, 1, 0.9999946166) T
λ13 =17.99966753
Per tant, el valor propi dominant és λ1 =18i un vector propi associat
és v =(1, 1, 1) T .
valor propi de mòdul mínim:
x (17) =(0.2679111415, 0.7320888586, −1) T
λ15 =0.2343066588
−1
Per tant, el valor propi és λ2 =
= −4.267911143 iun
0.2343066588
vector propi associat és v =(−0.268, −0.732, 1) T .
L’altre valor propi es troba resolent l’equació: λ1+λ2+λ3 = tr(A) =6
iésλ3 = −7.731756390.
3. Els valors propis de la matriu, trobats aplicant el mètode de la potència
amb 4 decimals exactes, són:
λ1 =5.804019778 λ2 =0.2960910036
λ3 =2.507531999 λ4 =1.392357219
4. Aplicant el mètode de la potència inversa a (A +5Id) obtenim µ =
−0.01925175789 i, per tant, el valor propi buscat és λ = −5.019251758.

258 Cap. B Solució dels problemes proposats
5. (a) Aplicant el mètode de la potència s’obté λ1 ' 2, amb el mètode de
la potència inversa obtenim λ2 =1i per la traça de la matriu obtenim
λ3 =2.
(b) Amb el mètode de la potència es té λ1 ' 3, amb potència inversa
obtenim λ2 ' 1 =2i, a partir de la traça i el determinant s’obtenen
0.5
λ3 =3i λ4 =3.
6. Els valors propis de la matriu estan en el conjunt [−6, −4] ∪ [1, 9], pel
teorema de Gersghorin. En mòdul, estan compresos entre 1 i 9.
Aplicant el mètode de la potència inversa a (A − Id) obtenim µ '
2.283165979 i, per tant, el valor propi més proper a 1 és λ ' 3.283165979.
7. Polinomi característic: (x − 2)(x − 3)(x − 4)
Vectors propis: [3., 1, {[0, 1, 2]}], [4., 1, {[0, 0, 1]}], [2., 1, {[1, 2, 3]}]
8. Polinomi característic: x 3 − x 2 − 4x +4
Vectors propis:
[−2, 1, {[−.07071067812, 0,.7071067812]}],
[1, 1, {[−.4714045208, 0, −.942809416]}],
[2, 1, {[−.5, 1, −.5]}]
9. x16 =[.2500114443,.7500114440, −1] i λ16 =2
x17 =[−1,.7500028610,.2500085832] i λ17 =2.000022888
Els valors propis són 2 i −2 amb vectors propis associats (−0.75, 1.5, −0.75)
i (−1.25, 0, 1.25), respectivament.
10. x8 =(.9998475842, 1, 1, 0) i λ8 =3.

Bibliografia
[1] Aubanell, A.; Benseny, A. i Delshams, A.
Eines bàsiques de càlcul numèric.
Manuals de la UAB..Barcelona, 1991
[2] Ayres, F.
Ecuaciones diferenciales.
McGraw-Hill, 1970.
[3] Bonet,C.ialtres.
Càlcul numèric.
Edicions UPC 1994
[4] Bronson, R.
Ecuaciones diferenciales modernas.
McGraw-Hill, 1973
[5] Burden,R.L.iDouglas,J.
Análisis Numérico.
Grupo Editorial Iberoamérica, 1985
[6] Carrillo de Albornoz, A.; Llamas, I.
Maple V: Aplicaciones Matemáticas para PC.
Ra-ma
[7] Char,Bruce,W.ialtres.
First Leaves: A Tutorial Introduction to MapleV (Manual de Maple V).
Springer-Verlag 1992.
[8] Cheney, E.W. i Kincaid, D.
Numerical mathematics and computing.
Brooks/Cole. 2a. edició 1985.
259

260 BIBLIOGRAFIA
[9] Dahlquist,G.iBjörck,A.
Numerical Methods.
Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1974.
[10] Demidowitsch, B.P.; Maron, I.A. i Schuwalowa, E.S.
Métodos numéricos de análisis.
Paraninfo. Madrid, 1980.
[11] Isaacson,E.iKeller,H.B.
Analysis of numerical methods.
Wiley, N.Y., 1966
[12] Kendall E.
An Introduction to numerical analysis.
Wiley. 2a. edició 1989.
[13] Ralston, A.
Introducción al Análisis Numérico.
Ed. Limusa, 1986.
[14] Stoer, J. i Bulirsch, R.
Introduction to numerical analysis.
Springer, Berlín, 1980.
[15] Zill, D. G.
Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones.
Grupo Editorial Iberoamérica, 1988