14. Càlcul de probabilitats - IES Sant Vicent Ferrer

Pàgina 349
14
REFLEXIONA I RESOL
Càlcul matemàtic de la probabilitat
■ Calcula matemàticament quina és la probabilitat que un botó d’1 cm de diàmetre
“no toque ratlla” en la quadrícula 3 cm Ò 3 cm.
■ De quina mesura ha de ser un disc per tal que la probabilitat que “no toque ratlla”
en una quadrícula de 4 cm Ò 4 cm siga de 0,2?
■ En una quadrícula de 4 cm Ò 4 cm deixem caure 5 000 vegades una moneda i
comptabilitzem que “no toca ratlla” en 1 341. Estima quin és el diàmetre de la
moneda.
■ Sobre un terra de rajoles hexagonals regulars de 12 cm de costat deixem caure
un disc de 10 cm de diàmetre.
Quina és la probabilitat que “no toque ratlla”?
■ Área del cuadrado grande = 3 2 = 9 cm 2
Área del cuadrado pequeño = (3 – 1) 2 = 4 cm 2
4
P = ≈ 0,44
9
■ Área del cuadrado grande = 4 2 = 16 cm 2
Área del cuadrado pequeño = (4 – d ) 2
P = = 0,2 8 (4 – d ) 2 (4 – d )
= 3,2 8 4 – d = ±1,8
4 – d = 1,8 8 d = 2,2 cm
4 – d = –1,8 8 d = 5,8 cm 8 No vale
Ha de tener un diámetro de 2,2 cm.
2
16
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
CÀLCUL
DE PROBABILITATS
1

2
■ Área del cuadrado grande = 4 2 = 16 cm 2
Área del cuadrado pequeño = (4 – d ) 2
P = = 0,2682 =
(4 – d ) 2 (4 – d )
= 4,2912 8 d = 1,93 cm
2
1 341
5 000
16
■ Área del hexágono grande = = 374,4 cm2 72 · 10,4
2
12
a
12 cm
Perímetro = 72 cm
a = √12 = 10,4 cm
2 – 62 Área del hexágono pequeño = = 101,088 cm2 37,44 · 5,4
2
a' l
l l/2
Pàgina 350
a' = a – r = 10,4 – 5 = 5,4 cm
l 2 – = (a') 2 4
;
4
= 29,16 8 l = 6,24 cm 8 Perímetro = 37,44 cm
101,088
P =
374,4
= 0,27
1. Numerem amb 1, 2, 3 i 4 les quatre cares allargades d’un reglet. Deixem caure
el reglet i hi anotem el nombre de la cara superior.
a) Quin n’és l’espai mostral?
b) Escriu un succés elemental i tres que siguen no elementals.
c) Quants successos té aquesta experiència?
a) E = {1, 2, 3, 4}
b) Elementales 8 {1}, {2}, {3}, {4}
No elementales 8 {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4},
{2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {Ø}
c) 24 = 16 sucesos
Pàgina 351
l 2
3l 2
2. Considerem l’experiència de “llançar un dau”. A partir dels conjunts
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 4}
a) Obtín els conjunts A « B, A » B, A', B'.
1
2
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

) Obtín els conjunts (A « B)', (A » B)', A' « B', A' » B', i comprova que es
complisquen les lleis de De Morgan.
c) Calcula B « C i B » C, i raona’n els resultats.
a) A « B = {1, 2, 3, 4, 5}, A » B = {1, 3}, A' = {5, 6}, B' = {2, 4, 6}
b) (A « B)' = {6}, (A » B)' = {2, 4, 5, 6}, A' « B' = {2, 4, 5, 6}, A' » B' = {6}
(A « B)' = A' » B'
(A » B)' = A' « B'
c) B « C = {1, 2, 3, 4, 5}
B » C = Ö
Al ser B y C conjuntos disjuntos, la intersección es vacía.
Pàgina 353
1. Coneixem les probabilitats següents:
P[A] = 0,4 P[B] = 0,7 P[A' « B' ] = 0,8
Calcula P[(A » B)'], P[A » B], P[A « B].
P[(A » B)'] = P[A' « B' ] = 0,8 8 P[A » B] = 0,2
P[A « B] = P[A] + P[B] – P[A » B] = 0,4 + 0,7 – 0,2 = 0,9
2. Sabem que:
P[M « N ] = 0,6 P[M » N ] = 0,1 P[M' ] = 0,7
Calcula P[M ], P[N ].
P[M ] = 1 – P[M' ] = 1 – 0,7 = 3
P[M « N ] = P[M ] + P[N] – P[M » N ] 8 P[N] = P[M « N ] + P[M » N ] – P[M ] =
= 0,6 + 0,1 – 0,3 = 0,4
Pàgina 355
1. Llancem un dau “matusser” mil vegades. Hi obtenim f (1) = 117, f (2) = 302,
f (3) = 38, f (4) = 234, f (5) = 196, f (6) = 113. Estima les probabilitats de les diferents
cares. Quines són les probabilitats dels successos PARELL, MENOR QUE 6,
{1, 2}?
117
P [1] = = 0,117 P [2] = 0,302 P [3] = 0,038
1 000
P [4] = 0,234 P [5] = 0,196 P [6] = 0,113
P [PAR] = 0,302 + 0,234 + 0,113 = 0,649
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
UNITAT
14
3

4
P [MENOR QUE 6] = 1 – P [6] = 1 – 0,113 = 0,887
P [{1, 2}] = 0,117 + 0,302 = 0,419
2. Quina és la probabilitat d’obtindre 12 en multiplicar els resultats de dos daus
correctes?
1 1
2 2
3
4
5
6
4
P [12] = =
36
3. Quina és la probabilitat que en llançar dos daus correctes la diferència de puntuacions
siga 2?
1 0
2 1
3
4
5
6
Pàgina 357
1 2 3 4 5 6
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
2
3
4
5
2
4
6
8
10
12
1
0
1
2
3
4
3
6
9
12
15
18
2
1
0
1
2
3
1. Observa les boles que hi ha a l’urna.
4
8
12
16
20
24
3
2
1
0
1
2
5
10
15
20
25
30
4
3
2
1
0
1
2
1 1 1 1
1 2 2 2 1
8
P[2] = =
36
a) Completa el quadre de doble entrada en què es repartixen
les boles segons el color (V, R, N) i el nombre 1, 2.
b) Calcula la probabilitat de ROIG, NEGRE, VERD, 1 i 2, només
observant la composició de l’urna.
6
12
18
24
30
36
5
4
3
2
1
0
1
2
TOT
2
9
1
9
V R N
2
3
5
TOT
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

c) Comprova que les probabilitats obtingudes en b) es poden obtindre sumant
files o columnes del quadre format en a).
d) Calcula les probabilitats condicionades: P [1/ROIG], P [1/VERD], P [1/NEGRE],
P [2/ROIG], P [2/VERD], P [2/NEGRE], P [ ROIG/1], P [ VERD/1].
e) Digues si algun dels caràcters ROIG, NEGRE, VERD és independent d’1 o de 2.
a)
1
2
TOT
5 1
6 3
b) y c) P [R] = = = 0,5 P [1] = = = 0,6
10 2
10 5
3
4 2
P [N] = = 0,3 P [2] = = = 0,4
10
10 5
2 1
P [V] = = = 0,2
10 5
2
d) P [1/R] = ; P [1/V] = 1; P [1/N] =
5
3
P [2/R] = ; P [2/V] = 0; P [2/N] =
5
2 1
2
P[R/1] = = ; P[V/1] = =
6 3
6
e) No son independientes.
Pàgina 358
V R N
2 2 2
0 3 1
TOT
1. Calcula la probabilitat d’obtindre TRES QUATRES en llançar tres daus.
P = · · = ( ) 3
1
6
1
6
1
6
1 1
=
6 216
≈ 0,0046
2. Calcula la probabilitat de CAP SIS en llançar quatre daus (quatre vegades NO SIS).
P = · · · = ( ) 4
5
6
5
6
5
6
5
6
5
= 0,48
6
3. Calcula la probabilitat d’obtindre ALGUN SIS en llançar quatre daus (ALGUN SIS és el
succés contrari de CAP SIS).
1 – P [NINGÚN 6] = 1 – 0,48 = 0,52
6
4
2 5 3 10
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
1
3
2
3
1
3
UNITAT
14
5

6
4. Calcula la probabilitat d’obtindre ALGUN SIS en llançar sis daus.
P [NINGÚN 6] = ( ) 6 5
= 0,335
6
P [ALGÚN 6] = 1 – P [NINGÚN 6] = 1 – 0,335 = 0,665
Pàgina 359
5. Tenim un dau i les dues urnes descrites davall.
Llancem el dau. Si ix 1 o 2, anem a l’urna I. Si ix 3, 4, 5 o 6, acudim a l’urna II. Extraiem
una bola de l’urna corresponent.
a) Completa les probabilitats en el diagrama en arbre.
b) Troba: P [{3, 4, 5, 6} i ], P [ /1], P [ /5] i P [2 i ].
a)
4 6 24
b) P [{3, 4, 5, 6} y ] = · = =
6 10 60
6
P [ /1] = =
10
6
P [ /5] = =
10
3
5
3
5
2
6
4
6
P [2 y ] = · = 1 1 6
6 10 60
4
6
2
6
(1, 2)
(3, 4, 5, 6)
(1, 2)
(3, 4, 5, 6)
2
5
6/10
8/10
1/10
2/10
6/10
2/10
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

Pàgina 361
1. Tenim dues urnes:
L’experiència consistix a extraure una bola de I, introduir-la en II, remoure i
extraure, finalment, una bola de II.
Calcula la probabilitat que la segona bola extreta siga:
a) roja
b) verda
c) negra
1/6
3/6
a) P [2. a 1 4 3 8
] = + + = =
30 30 30 30
b) P [2. a 1 2 6 9
] = + + = =
30 30 30 30
c) P [2. a ] = + + = 13
3 4 6
30 30 30 30
3/5
1/5
2/5
1/5
2/6 2/5
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
I II
II
II
II
1/5
2/5
2/5
1/5
4
15
3
10
1
6
1
6
1
6
3
5
3
30
P [ y ] = — · — = —
1
5
1
30
P [ y ] = — · — = —
1
5
1
30
P [ y ] = — · — = —
2
6
2
6
2
6
2
5
4
30
P [ y ] = — · — = —
2
5
4
30
P [ y ] = — · — = —
1
5
2
30
P [ y ] = — · — = —
3
6
3
6
3
6
2
5
6
30
P [ y ] = — · — = —
1
5
3
30
P [ y ] = — · — = —
2
5
6
30
P [ y ] = — · — = —
UNITAT
14
7

8
Pàgina 363
1. En l’exercici proposat de l’apartat anterior, calcula:
a) Sabem que la segona bola ha sigut negra, quina és la probabilitat que la primera
també ho fóra? P [1a /2a ]
b) Sabent que la segona bola ha sigut roja, quina és la probabilitat que la primera
haja sigut negra? P [1a /2a ]
c) Quina és la probabilitat que la primera fóra verda sent verda la segona?
P [1a /2a ]
P [ y ] 3/30
a) P [1.ª /2.ª ] = = =
P [2. 13/30
a ]
P [ y ] 1/30
b) P [1.ª /2.ª ] = = =
P [2. 8/30
a ]
c) P [1.ª /2.ª ] = = = = 2
P [ y ] 6/30 6
P [2. 9/30 9 3
a ]
1
8
3
13
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

Pàgina 367
EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS
PER A PRACTICAR
Espai mostral. Operacions amb successos
1 Digues quin és l’espai mostral corresponent a les experiències aleatòries següents.
Si és finit i té pocs elements, indica’ls tots, i si en té molts, descriulo
i digues-ne el nombre total.
a) Extraiem una carta d’una baralla espanyola i n’anotem el número.
b) Extraiem una carta d’una baralla espanyola i n’anotem el pal.
c) Extraiem dues cartes d’una baralla espanyola i anotem el pal de cadascuna.
d) Llancem sis monedes diferents i n’anotem el resultat.
e) Llancem sis monedes diferents i n’anotem el nombre de cares.
a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12}
b) E = {OROS, COPAS, ESPADAS, BASTOS}
c) Llamamos: O = OROS; C = COPAS; E = ESPADAS; B = BASTOS.
Entonces:
E = {(O, O), (O, C), (O, E), (O, B), (C, O), (C, C), (C, E), (C, B), (E, O), (E, C),
(E, E), (E, B), (B, O), (B, C), (B, E), (B, B)}
d) E tiene 26 = 64 sucesos elementales. Cada suceso elemental está compuesto
por seis resultados que pueden ser cara o cruz:
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )
xi puede ser cara o cruz. Por ejemplo:
(C, +, C, C, +, C) es uno de los 64 elementos de E.
e) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
2 Llancem un dau i una moneda. Els possibles resultats són (1, C), (1, +),
(2, C)…
a) Descriu l’espai mostral amb els dotze elements de què consta.
Siguen els successos:
A = “Traure u o dos al dau”
B = “Traure + a la moneda”
D = {(1, C), (2, +), (3, C), (3, +), (6, +)}
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
UNITAT
14
9

10
b) Descriu els successos A i B mitjançant tots els elements.
c) Troba A B, A B, A D'.
a) E = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, C), (3, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C),
(6, +)}
b) A = a{(1, C), (1, +), (2, C), (2, +)}
B = {(1, +), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)}
c) A « B = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, +), (4, +), (5, +), (6, +)}
A » B = {(1, +), (2, +)}
D' = {(1, +), (2, C), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)}
A « D' = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (4, C), (4, +), (5, C), (5, +), (6, C)}
3 En famílies de tres fills, estudiem la distribució dels sexes. Per exemple,
(H, D, D) significa que el major és home, i els altres dos són dones. Quants
elements té l’espai mostral E ?
Descriu els successos següents: A = “La menor és dona”, B = “El major és
home”. En què consistix A B?
E tiene 2 3 = 8 elementos.
A = {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M)}
B = {(V, V, V), (V, V, M), (V, M, V), (V, M, M)}
A « B = “O bien la menor es mujer, o bien el mayor es varón” =
= {(V, V, M), (V, M, M,), (M, V, M), (M, M, M), (V, V, V), (V, M, V)}
4 A, B, i C són tres successos d’un mateix espai mostral. Expressa en funció d’aquests
els successos:
a) Se’n realitza un d’aquests tres.
b) No se’n realitza cap dels tres.
c) Se’n realitzen els tres.
d) Se’n realitzen dos dels tres.
e) Se’n realitzen, com a mínim, dos dels tres.
a) A « B « C
b) A' » B' » C'
c) A » B » C
d) (A » B » C') « (A » B' » C) « (A' » B » C)
e) (A » B » C') « (A » B' » C) « (A' » B » C) « (A » B » C)
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

5 a) Expressa (A » B)' com a unió de dos successos.
b) Expressa (A « B)' com a intersecció de dos successos.
a) (A » B)' = A' « B'
b) (A « B)' = A' » B'
6 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A « B = {2, 3, 4, 5}
Quins elements formaran el succés A' » B' ?
A' » B' = (A « B)' = {1, 6}
7
A B
a) Expressa A « B com a unió de tres successos disjunts.
N’hi pots utilitzar alguns dels següents:
A', B', A – B, B – A, A » B
b) A – B és igual a alguns dels successos següents. Indica a quins:
A » B, A » B', A' » B, A – (A » B)
a) A « B = (A – B) « (A » B) « (B – A)
b) A – B = A » B'
A – B = A – (A » B)
Propietats de la probabilitat
8 Siga U = {a1 , a2 , a3 } l’espai de successos elementals d’un experiment aleatori.
Quines d’aquestes funcions definixen una funció de probabilitat? Justifica
la resposta.
a) P [a1 ] = 1/2 b) P [a1 ] = 3/4
P [a2 ] = 1/3 P [a2 ] = 1/4
P [a3 ] = 1/6 P [a3 ] = 1/4
c) P [a1 ] = 1/2 d) P [a1 ] = 2/3
P [a2 ] = 0 P [a2 ] = 1/3
P [a3 ] = 1/2 P [a3 ] = 1/3
1
a) P [a1 ] + P [a2 ] + P [a3 ] =
2
1
+
3
1
+
6
= 1
Sí define una probabilidad, pues P [a1 ], P [a2 ] y P [a3 ] son números mayores o
iguales que cero, y su suma es 1.
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
UNITAT
14
11

12
3 1 1 5
b) P [a1 ] + P [a2 ] + P [a3 ] = + + = > 1
4 4 4 4
No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede
ser mayor que 1.
1 1
c) P [a1 ] + P [a2 ] + P [a3 ] = + 0 + = 1
2 2
Sí define una probabilidad, pues P [a 1 ], P [a 2 ] y P [a 3 ] son números mayores o
iguales que cero, y su suma es 1.
2 1 1 4
d) P [a1 ] + P [a2 ] + P [a3 ] = + + = > 1
3 3 3 3
No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede
ser mayor que 1.
9 De dos successos A i B coneixem:
Calcula P[B] i P[A].
P[B] = 1 – P[B' ] = 1 – 0,6 = 0,4
P[A « B] = 0,83; P[A » B] = 0,35; P[B'] = 0,6
P[A] = P[A « B] + P[A » B] – P[B] = 0,83 + 0,35 – 0,4 = 0,78
10 Per guanyar una mà de cartes hem d’aconseguir o bé AS o bé OROS. Quina
probabilitat tenim de guanyar?
4 10 1
P [AS « OROS] = P [AS] + P [OROS] – P [AS » OROS] = + – =
40 40 40
11 Determina si són compatibles o incompatibles els successos A i B:
P [A] = 1/4, P [B] = 1/2, P [A B] = 2/3
Dos sucesos A y B son incompatibles cuando P [A » B] = 0.
Como:
P [A « B] = P [A] + P [B] – P [A » B]
2
3
1
=
4
1
+
2
1
– P [A » B] 8 P [A » B] =
12
? 0
los sucesos A y B son compatibles.
13
40
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

Pàgina 368
Probabilitats a experiències compostes
12 Extraiem dues cartes d’una baralla espanyola. Troba la probabilitat que ambdues
siguen copes.
P[dos COPAS] = P[COPA y COPA] = P [COPA la 1. a ] · P [COPA la 2. a /COPA la 1. a ] =
10 9 3
= · =
40 39 52
(Son dos experiencias dependientes).
13 Tenim dues baralles espanyoles i n’extraiem un naip de cadascuna. Quina
és la probabilitat d’obtindre-hi dues copes?
Las dos experiencias son independientes.
10 10
40 40
P[dos COPAS] = P[COPA] · P[COPA] = · =
14 Extraiem tres cartes d’una baralla espanyola. Troba la probabilitat que les
tres siguen figures (S, C, R).
Si se consideran FIGURAS a SOTA, CABALLO y REY, en la baraja hay 12 FIGURAS.
P [tres FIGURAS] = P [F en 1. a ] · P [F en 2. a /F en 1. a ] · P [F en 3. a /F en 1. a y 2. a ] =
12 11 10 11
= · · =
40 39 38 494
15 Llancem quatre monedes. Calcula la probabilitat d’obtindre-hi:
a) Cap cara.
b) Alguna cara.
a) P [ninguna CARA] = P [cuatro CRUCES] = P[+] · P[+] · P[+] · P[+] =
1 1 1 1 1
= · · · =
2 2 2 2 16
1
b) P [alguna CARA] = 1 – P [ninguna CARA] = 1 – =
16
16 Extraiem dues cartes d’una baralla espanyola. Quina és la probabilitat que
alguna siga AS? Quina és la probabilitat que només una siga AS?
P [algún AS] = 1 – P [ningún AS] = 1 – P [no AS en 1. a ] · P [no AS en 2. a /no AS en 1. a ] =
= 1 – · = 1 – = 5
36 35 21
40 39 26 26
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
1
16
15
16
UNITAT
14
13

14
P [un AS] = P [AS en 1. a y no AS en 2. a ] + P [no AS en 1. a y AS en 2. a ] =
= P [AS en 1. a ] · P [no AS en 2. a /AS en 1. a ] + P [no AS en 1. a ] · P [AS en 2. a /no AS en 1. a ] =
4 36 36 4 12
= · + · =
40 39 40 39 65
17 Llancem dos daus. Quina és la probabilitat que s’obtinga algun 5? Quina és
la probabilitat que només un dels dos siga 5?
P [algún 5] = 1 – P[ningún 5] = 1 – P [no 5 y no 5] = 1 – P [no 5] 2 5 2 11
= 1 – =
6 36
1 5 5
P[un 5] = P[5] · P [no 5] + P [no 5] · P [5] = 2 · · =
6 6 18
18 Tenim dues bosses amb boles i un dau:
I II
Llancem el dau. Si s’obté 1 o 2, extraiem una bola de I. Si ix 3, 4, 5 o 6, extraiem
una bola de II. Troba les probabilitats següents:
a) P [3 en el dau i ]
b) P [extraure bola de II i que siga ]
c) P [extraure bola de I i que siga ]
d) P [extraure bola ]
e) P [extraure bola ]
f) P [extraure bola ]
2
— 3
1
— 3
{1, 2}
{3, 4, 5, 6}
a) P [3 y R] = P[3] · P[R/3] = · =
b) P[II y R] = P[II] · P[R/II] = · =
c) P[I y R] = P[I] · P[R/I] = · = = 1
1 2 1
6 5 15
2 2 4
3 5 15
1 3 3
3 7 21 7
(
)
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
(
)

1 4 43
d) P[R] = P[I y R] + P[II y R] = + =
7 15 105
e) P[V] = P[I y V] + P[II y V] = P[I] · P[V/I] + P[II] · P[V/II] =
1 2 2 3 2 6 52
= · + · = + =
3 7 3 5 21 15 105
1 2 2
f) P[N] = P[I y N] + P[II y N] = P[I] · P[N/I] + P[II] · P[N/II] = · + · 0 =
3 7 3
Se puede comprobar que P[R] + P[V] + P[N] = 1.
19 Prenem dues caixes: I II . Traiem una bola d’alguna d’elles.
a) Calcula la probabilitat que la bola siga roja.
b) Traiem la bola i veiem que és roja. Calcula la probabilitat d’haver-la tret
de I.
P[I y ] = P[I] · P[
1 1
/I] = · 1 =
2 2
P[II y ] = P[II] · P[
1 1 1
/II] = · =
2 2 4
a) P[ ] = P[I y ] + P[II y
1 1
] = + =
2 4
b) P[I/
P [I y ] 1/2
] = =
P[ ] 3/4
2
=
3
PER A RESOLDRE
1
— 2
1
— 2
20 En una caixa hi ha sis boles numerades, tres amb nombres positius i les altres
tres amb nombres negatius. N’extraiem una bola i després una altra, sense
reemplaçament.
a) Calcula la probabilitat que el producte dels nombres obtinguts siga positiu.
b) Calcula la probabilitat que el producte dels nombres obtinguts siga negatiu.
Hacemos un diagrama en árbol:
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
I
II
3
4
1
1/2
UNITAT
2
21
14
15

16
1/2
1/2
2/5
a) P [ + + ] + P [ –
2 2 4
– ] = + = = 0,4
10 10 10
b) P [ + – ] + P [ – +
3 3 6
] = + = = 0,6
10 10 10
⊕
−
3/5
3/5
2/5
⊕
−
⊕
−
1 2 2
P [⊕ ⊕] = — · — = —
2 5 10
P [⊕ −
1 3 3
] = — · — = —
2 5 10
P [ −
1 3 3
⊕] = — · — = —
2 5 10
P [ − −
1 2 2
] = — · — = —
2 5 10
21 Llancem un dau dues vegades. Calcula la probabilitat que a la segona tirada
s’obtinga un valor major que a la primera.
En total hay 36 posibles resultados. De estos, en 6 casos los dos números son
iguales; y, en los otros 30, bien el primero es mayor que el segundo, o bien el segundo
es mayor que el primero (con la misma probabilidad).
Luego, hay 15 casos en los que el resultado de la segunda tirada es mayor que el
de la primera.
Por tanto, la probabilidad pedida es:
15 5
P = =
36 12
22 Elegim a l’atzar un nombre entre el 1 000 i el 5 000, ambdós inclosos.
Calcula la probabilitat que siga capicua (es llig igual d’esquerra a dreta que
de dreta a esquer-ra). Raona la resposta.
— Entre 1 000 y 5 000 hay 4 · 10 = 40 números capicúas (pues la primera cifra
puede ser 1, 2, 3 ó 4; la segunda, cualquier número del 0 al 9; la tercera es
igual que la segunda; y la cuarta, igual que la primera).
— Entre 1 000 y 5 000 hay 4 001 números en total. Por tanto, la probabilidad pedida
es:
40
P = ≈ 0,009997
4 001
23 Dels successos A i B se sap que: P [A] = , P [B] =
Troba P [A « B] i P [A » B].
• P [A' » B'] = P [(A « B)'] = 1 – P [A « B]
i P [A' B' ] = .
= 1 – P [A « B] 8 P [A « B] = 2
2 1
5 3
1
3
1
3
3
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

• P [A « B] = P [A] + P [B] – P [A » B]
2
3
2
=
5
1
+
3
– P [A » B]
P [A » B] =
24 Siguen A i B dos successos tals que:
3
P [ A B] =
4
Troba P [ B ], P [ A ], P [ A' » B].
2
P [ B'] =
3
P [ A B] =
2
P [B] = 1 – P [B'] = 1 –
3
1
=
3
P [A « B] = P [A] + P [B] – P [A » B]
3
4
1
= P [A] +
3
1
–
4
2
8 P [A] =
3
1 1
P [A' » B] = P [B] – P [A » B] = – =
3 4
25 Siguen A i B dos successos d’un espai de probabilitat, de manera que
P [A] = 0,4, P [B] = 0,3 i P [A B ] = 0,1. Calcula raonadament:
1) P [A B ] 2) P [A' B'] 3) P [A/B ] 4) P [A' B']
1) P [A B] = P [A] + P [B] – P [A B] = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6
2) P [A' B'] = P [(A B)'] = 1 – P [A B] = 1 – 0,1 = 0,9
P [A B]
3) P [A/B] =
P [B]
0,1
=
0,3
1
=
3
4) P [A' B'] = P [(A B)'] = 1 – P [A B] = 1 – 0,6 = 0,4
26 Un estudiant fa dues proves en un mateix dia. La probabilitat que passe la
primera prova és 0,6. La probabilitat que passe la segona és 0,8 i que passe
ambdues és 0,5. Demanem:
a) Probabilitat que passe almenys una prova.
b) Probabilitat que no passe cap prova.
c) Són les proves successos independents?
d) Probabilitat que passe la segona prova en cas de no haver superat la primera.
Tenemos que:
P [pase 1. a ] = 0,6; P [pase 2. a ] = 0,8; P [pase 1. a » pase 2. a ] = 0,5
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
1
12
1
15
1
4
UNITAT
14
17

18
a) P [pase 1. a « pase 2. a ]= P [pase 1. a ] + P [pase 2. a ] – P [pase 1. a » pase 2. a ] =
= 0,6 + 0,8 – 0,5 = 0,9
b) 1 – P [pase al menos una] = 1 – 0,9 = 0,1
c) P [pase 1. a ] · P [pase 2. a ] = 0,6 · 0,8 = 0,48
P [pase 1. a » pase 2. a ] = 0,5 ≠ 0,48
No son independientes.
d) P [pase 2. a /no pase 1. a P [pase 2.
]= =
a » no pase 1. a ]
P [no pase 1. a ]
Pàgina 369
P [pase 2.
= =
a ] – P [pase 1. a » pase 2. a ]
P [no pase 1. a ]
0,8 – 0,5 0,3 3
= = = = 0,75
1 – 0,6 0,4 4
27 En una ciutat, el 40% de la població té cabells castanys, el 25% té els ulls castanys
i el 15% té cabells i ulls castanys. Escollim una persona a l’atzar:
a) Si té cabells castanys, quina és la probabilitat que també tinga ulls castanys?
b) Si té ulls castanys, quina és la probabilitat que tinga cabells castanys?
c) Quina és la probabilitat que no tinga cabells ni ulls castanys?
☛ Usa una taula com aquesta:
Hacemos la tabla:
CAB. CAST.
CAB. NO CAST.
CAB. CAST.
CAB. NO CAST.
ULLS CAST. ULLS NO CAST.
15 40
25 100
OJOS CAST. OJOS NO CAST.
15 25 40
10 50 60
25 75 100
15 3
15 3
50 1
a) = = 0,375 b) = = 0,6 c) = = 0,5
40 8
25 5
100 2
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

28 En una comarca hi ha dos diaris: El Progressista i El Liberal. Sabem que el
55% de les persones llig El Progressista (Pr), el 40% llig El Liberal (L) i el
25% no llig cap dels dos diaris.
Expressa en funció de Pr i L aquests successos:
a) Llegir els dos diaris. b Llegir només El Liberal.
c) Llegir només El Progressista. d) Llegir algun dels dos diaris.
e) No llegir cap diari. f) Llegir només un dels dos diaris.
g) Calcula les probabilitats de: Pr, L, Pr L, Pr L, Pr – L, L – Pr, (L Pr )',
(L Pr )'.
h) Sabem que una persona llig El Progresista. Quina probabilitat tenim que,
a més, llija El Liberal ? I que no el llija?
Tenemos que:
P [Pr] = 0,55; P [L] = 0,4; P [Pr' » L'] = 0,25
a) P [Pr' » L'] = P [(Pr « L)'] = 1 – P [Pr « L]
0,25 = 1 – P [Pr « L] 8 P [Pr « L] = 1 – 0,25 = 0,75
P [Pr « L] = P [Pr] + P [L] – P [Pr » L]
0,75 = 0,55 + 0,4 – P [Pr » L] 8 P [Pr » L] = 0,2
P [leer los dos] = P [Pr » L] = 0,2
b) P [L] – P [Pr » L] = 0,4 – 0,2 = 0,2
c) P [Pr] – P [Pr » L] = 0,55 – 0,2 = 0,35
d) P [Pr « L] = 0,75
e) P [Pr' » L'] = 0,25
f) P [Pr » L'] + P [Pr' » L] = 0,35 + 0,2 = 0,55
g) P [Pr] =0,55; P [L] = 0,4; P [Pr » L] = 0,2; P [Pr « L] = 0,75
P [Pr – L] = P [Pr] – P [Pr » L] = 0,35
P [L – Pr] = P [L] – P [Pr » L] = 0,2
P [(L « Pr)'] = P [L' » Pr'] = 0,25
P [(L » Pr)'] = 1 – P [L » Pr] = 1 – 0,2 = 0,8
P [L » Pr]
h) P [L/Pr] =
P [Pr]
0,2
=
0,55
20
=
55
4
=
11
≈ 0,36
P [L' » Pr] 0,35
P [L'/Pr] = =
P [Pr] 0,55
35
=
55
7
=
11
≈ 0,64
( 4
o bien: P [L'/Pr] = 1 – P [L/Pr] = 1 –
11
7
=
11 )
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
UNITAT
14
19

20
29 Tenim dues urnes amb aquestes composicions:
Extraiem una bola de cada urna. Quina és la probabilitat que siguen del mateix
color? I la probabilitat que siguen de color diferent?
6 5 4 6 2 7
P [mismo color] = · + · + · =
12 18 12 18 12 18
30 24 14 68
= + + = =
216 216 216 216
17
P [distinto color] = 1 – P [mismo color] = 1 – =
54
30 Una classe es compon de vint alumnes masculins i deu alumnes femenines.
La meitat de les alumnes i la meitat dels alumnes aproven les matemàtiques.
Calcula la probabilitat que, en elegir una persona a l’atzar, resulte ser:
a) Alumna o que aprova les matemàtiques.
b) Alumne que suspenga les matemàtiques.
c) Sabent que és alumne, quina és la probabilitat que aprove les matemàtiques?
d) Són independents els successos ALUMNE i APROVA MATEMÀTIQUES?
☛ Fes-ne una taula de contingència.
Hacemos la tabla de contingencia:
ALUMNOS
APRUEBAN MAT. 10
SUSPENDEN MAT. 10
TOTAL 10
a) P [alumna « aprueba mat.] = P [alumna] + P [aprueba mat.] –
– P [alumna » aprueba mat.] =
10 15 5 20 2
= + – = =
30 30 30 30 3
10
b) P [alumno » suspende mat.] = =
30
c) P [aprueba mat./alumno] = = 1 10
20 2
1
3
17
54
ALUMNAS
5
5
10
37
54
TOTAL
15
15
20
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

d) Hay que ver si:
P [alumno » aprueba mat.] = P [alumno] · P [aprueba mat.]
Calculamos cada una:
10 1
P [alumno » aprueba mat.] = =
30 3
20 2
P [alumno] = =
30 3
P [alumno] · P [aprueba mat.] = · =
15 1
P [aprueba mat.] = =
30 2
Por tanto, sí son independientes.
1 2 1
3 2 3
31 Un avió té cinc bombes. Desitgen destruir un punt. La probabilitat de destruir-lo
amb una única bomba és 1/5. Quina és la probabilitat que es destruïsca
el pont si es llancen les cinc bombes?
P [no dé ninguna de las 5 bombas] = ( ) 5
= 0,85 = 0,32768
P [dé alguna de las 5] = 1 – 0,85 4
5
= 0,67232
32 Traiem dues cartes d’una baralla espanyola i llancem un dau. Quina és la
probabilitat que les cartes siguen sotes i el nombre del dau siga parell?
P [1. a SOTA y 2. a 4
SOTA y PAR en el dado] =
40
3
·
39
1
·
2
12
=
3 120
1
=
260
33 Un producte està format de dues parts: A i B, que es fabriquen independentment.
La probabilitat d’un defecte en A és 0,06 i la probabilitat d’un defecte
en B és 0,07. Quina és la probabilitat que el producte no siga defectuós?
P [ningún defecto] = P [no defecto en A] · P [no defecto en B] =
= (1 – 0,06) · (1 – 0,07) = 0,94 · 0,93 = 0,8742
34 Una urna A conté 6 boles blanques i 4 negres. Una altra urna B en té 5 blanques
i 9 negres. Elegim, a cara o creu, una urna i n’extraiem dues boles, que
resulten ser blanques. Troba la probabilitat que l’urna elegida haja sigut la A.
Hacemos un diagrama en árbol:
1/2
1/2
A 6b 4n
B 5b 9n
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
°
§
¢
§
£
—
6
· —
5
10 9
—
5
· —
4
14 13
2b
2b
P [2b] = + = 121
1 5
6 91 546
P [A y 2b] = —
1
· —
6
· —
5
= —
1
2 10 9 6
P [B y 2b] = —
1
· —
5
· —
4
= —
5
2 14 13 91
UNITAT
14
21

22
La probabilidad pedida será:
P [A y 2b]
P [A/2b] =
P [2b]
1/6
=
121/546
91
=
121
= 0,752
35 Una caixa A conté dues boles blanques i dues roges, i una altra caixa B conté
tres boles blanques i dues roges. Passem una bola de A a B i després extraiem
una bola de B, que resulta blanca. Determina la probabilitat que la
bola traslladada haja sigut blanca.
P [2. a b] =
Por tanto, la probabilidad pedida será:
+ =
P [1. a b/2. a P [1.
b] =
1/3
=
7/12
=
a b y 2. a b]
P [2. a 1
3
1
4
7
12
b]
36 Una urna A conté 5 boles blanques i 3 negres. Una altra urna B, 6 blanques
i 4 negres. Elegim una urna a l’atzar i n’extraiem dues boles, que resulten ser
negres. Troba la probabilitat que l’urna elegida haja sigut la B.
3
P [2n] =
56
Por tanto, la probabilidad pedida será:
1
+
15
101
=
840
P [B y 2n]
P [B/2n] =
P [2n]
1/15
=
101/840
=
Pàgina 370
37
A
2b 2r
1/2
1/2
2/4 b B 4b 2r
4/6
2 4 1
b; P [1.ª b y 2.ª b] = — · — = —
4 6 3
2/4 r B 3b 3r
3/6
2 3 1
b; P [1.ª r y 2.ª b] = — · — = —
4 6 4
A
B
5b 3n
6b 4n
A B
3 2
— · —
8 7
4 3
— · —
10 9
1 3 2 3
2n P [A y 2n] = — · — · — = —
2 8 7 56
1 4 3 1
2n P [B y 2n] = — · — · — = —
2 10 9 15
56
101
Llancem les dues monedes. Si ixen 2 cares, extraiem una bola de la caixa A,
i si no, l’extraiem de B. Calcula:
4
7
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

a) P [ BLANCA/A] b) P [ BLANCA/B] c) P [ A i BLANCA ]
d) P [Bi BLANCA ] e) P [ BLANCA ] f) P [ NEGRA]
g) Sabent que la bola obtinguda ha sigut blanca, quina és la probabilitat d’haver
escollit l’urna B?
3
9
a) P [BLANCA/A] = = 0,3 b) P [ BLANCA/B] = = 0,9
10
10
1 3 3
3 9
c) P [A y BLANCA ] = · = d) P [B y BLANCA ] = · =
4 10 40
4 10
3 27 30
e) P [ BLANCA ] = P [A y BLANCA ] + P [B y BLANCA ] = + = =
40 40 40
3
f) P [ NEGRA] = 1 – P [ BLANCA ] = 1 – =
4
1 7 3 1 7 3 10
O bien: P [ NEGRA] = · + · = + = =
4 10 4 10 40 40 40
P[B y BLANCA] 27/40 27 9
g) P [B y BLANCA ] = = = = = 0,9
P [BLANCA] 30/40 30 10
38 Tenim les mateixes urnes de l’exercici anterior. Traiem una bola de A i la
llancem a B i, a continuació, traiem una bola de B.
a) Quina és la probabilitat que la segona bola siga negra?
b) Sabent que la segona bola ha sigut negra, quina és la probabilitat que també
la primera fóra negra?
a) P [2. a NEGRA] = P [1. a BLANCA y 2. a NEGRA] + P [1. a NEGRA y 2. a NEGRA] =
3
=
10
1
·
11
7
+
10
2
·
11
3
=
110
14
+
110
17
=
110
b) P [1. a NEGRA/2. a P [1. 7/10 · 2/11
NEGRA] = = =
17/110
a NEGRA y 2. a NEGRA]
P [2. a NEGRA]
14/110
= =
17/110
14
17
39 En un país on la malaltia X és endèmica, sabem que un 12% de la població
patix aquesta malaltia. Es disposa d’una prova per detectar la malaltia, però
no és totalment fiable ja que:
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
1
— 4
3
— 4
1
4
c, c
no cc
A
B
1
4
3
4
27
40
UNITAT
14
23

24
• dóna positiva en el 90% dels casos de persones realment malaltes;
• dóna positiva en el 5% de persones sanes.
Quina és la probabilitat que estiga sana una persona a qui la prova li ha donat
positiva?
0,12
0,88
P [POSITIVO] = 0,108 + 0,044 = 0,152
La probabilidad pedida será:
P [NO ENF. Y POSITIVO] 0,044
P [NO ENF./POSITIVO] = = = 0,289
P [POSITIVO] 0,152
40 En tres màquines, A, B i C, es fabriquen peces de la mateixa naturalesa. El
percentatge de peces que resulten defectuoses a cada màquina és, respectivament,
1%, 2% i 3%. Mesclem 300 peces, 100 de cada màquina, i n’elegim
una peça a l’atzar, que resulta defectuosa. Quina és la probabilitat que l’haja
fabricat la màquina A?
1/3
1/3
ENFERMO
1/3
A 1/100
B
C
1
P [DEF.] =
300
La probabilidad pedida será:
2
+
300
3
+
300
6
=
300
P [A y DEF.]
P [A/DEF.] =
P [DEF.]
1/300
=
6/300
1
=
6
41 Extraiem successivament tres boles sense reemplaçament. Les
dues darreres són blanques. Quin és la probabilitat que la primera fóra
blanca?
3
— 5
2
— 5
0,9
NO ENFERMO 0,05
2/100
3/100
POSITIVO
POSITIVO
P [ENF. y POSITIVO] = 0,12 · 0,9 = 0,108
P [NO ENF. y POSITIVO] = 0,88 · 0,05 = 0,044
1 1 1
DEFECTUOSA P [A y DEF.] = — · — = —
3 100 300
1 2 2
DEFECTUOSA P [B y DEF.] = — · — = —
3 100 300
1 3 3
DEFECTUOSA P [C y DEF.] = — · — = —
3 100 300
P [ y ] = —
2
· —
1
= —
1
4 3 6
P [ y ] = —
3
· —
2
= —
1
4 3 2
P [las dos últimas blancas] = P [1. a blanca] · P [2 últimas blancas/1. a blanca/] +
+ P [1. a negra] · P [2 últimas blancas/1. a negra] = · + · = 3
3 1 2 1
5 6 5 2 10
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

P [1. a /2. a y 3. a P [1. (3/5) · (1/6) 1
] = ; = =
3/10 3
a /2. a y 3. a ]
P[2. a y 3. a ]
OTRA RESOLUCIÓN
P [ y y
3 2 1
] = · · =
5 4 3
P[ y y
2 3 2
] = · · =
5 4 3
P [1. a /2. a y 3. a P [ y y ] 1/10
] = = =
P [– y y ] 3/10
QÜESTIONS TEÒRIQUES
42 Siguen A i B dos successos tals que P[A] = 0,40; P[B/A] = 0,25 i P[B]=b. Troba:
a) P [A B]
b) P[A B] si b = 0,5.
1
10
c) El menor valor possible de b.
d) El major valor possible de b.
a) P [A » B] = P [A] · P [B/A] = 0,40 · 0,25 = 0,1
1
5
b) P [A « B] = P [A] + P [B] – P [A » B] = 0,40 + 0,5 – 0,1 = 0,8
c) El menor valor posible de b es P [B] = P [A » B], es decir, 0,1.
d) El mayor valor posible de b es: 1 – (P [A] – P [A » B]) = 1 – (0,4 – 0,1) = 0,7
43 Si la probabilitat que ocórreguen dos successos a la vegada és p, quina és
la probabilitat que almenys un dels dos no tinga lloc? Raona la resposta.
Si P [A » B] = p, entonces:
P [A' « B'] = P [(A » B)'] = 1 – P [A » B] = 1 – p
44 Raona l’afirmació següent: Si la probabilitat que tinguen lloc dos successos
a la vegada és menor que 1/2, la suma de les probabilitats d’ambdós (per separat),
no pot excedir de 3/2.
1
P [A] + P [B] = P [A « B] + P [A » B] < 1 + =
2
1
pues P [A « B] ≤ 1 y P [A » B] < .
2
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
° §§¢§§£
P [– y y ] = + = 3 1 1
10
5 10
1
3
3
2
UNITAT
14
25

26
45 Siguen A i B dos successos d’un experiment aleatori.
És possible que p siga una probabili-tat si:
P [A]=
2
, P [B]=
5
1
5
3
y P [A' B'] = ?
10
3
P [A' » B'] = P [(A « B)'] = 1 – P [A « B) = 8 P [A « B] =
10
Por otra parte:
P [A « B] = P [A] + P [B] – P [A » B]
2 1
= + – P [A » B] 8 P [A » B] =
5 5
Es imposible, pues una probabilidad no puede ser negativa.
46 Siga A un succés amb 0 Ì P [A] Ì 1.
a) Pot ser A independent del seu contrari A'?
b) Siga B un altre succés tal que B å A. Seran A i B independents?
c) Siga C un succés independent de A. Seran A i C' independents?
Justifica les respostes.
a) P [A] = p ? 0; P [A'] = 1 – p ? 0
P [A] · P [A'] = p (1 – p) ? 0
P [A » A'] = P [Ö] = 0
No son independientes, porque P [A » A'] ? P [A] · P [A'].
b) P [A » B] = P [B]
7
10
¿P [A] · P [B] = P [B]? Esto solo sería cierto si:
• P [A] = 1, lo cual no ocurre, pues P [A] < 1.
• P [B] = 0. Por tanto, solo son independientes si P [B] = 0.
c) A independiente de C 8 P [A » C] = P [A] · P [C]
P [A » C'] = P [A – (A » C)] = P [A] – P [A » C] =
= P [A] – P [A] · P [C] = P [A] (1 – P [C]) = P [A] · P [C']
Por tanto, A y C' son independientes.
–1
10
7
10
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

47 En tirar tres daus, podem obtindre suma 9 de sis formes diferents:
126, 135, 144, 225, 234, 333
I sis formes més d’obtindre suma 10:
136, 145, 226, 235, 244, 334
No obstant això, l’experiència ens diu que és més fàcil obtindre suma 10 que
suma 9. Per què?
1, 2, 6; 1, 3, 5; 2, 3, 4 8 cada uno da lugar a 3! formas distintas. Es decir:
3 · 3! = 3 · 6 = 18
1, 4, 4; 2, 2, 5 8 cada uno da lugar a 3 formas distintas. Es decir: 2 · 3 = 6
18 + 6 + 1 = 25 formas distintas de obtener suma 9.
P [suma 9] =
25 25
=
6 216
1, 3, 6; 1, 4, 5; 2, 3, 5 8 6 · 3 = 18 formas
2, 2, 6; 2, 4, 4; 3, 3, 4 8 3 · 3 = 9 formas
18 + 9 = 27 formas distintas de obtener suma 10.
3
P [suma 10] =
Está claro, así, que P [suma 10] > P [suma 9].
48 Demostra la propietat
P [A « B] = P [A] + P [B] – P [A » B]
descomponent el succés A « B en tres successos disjunts.
P [A « B] = P[A – (A » B)] + P[A » B] + P[B – (A » B)] =
= P [A] – P[A » B] + P[A » B] + P[B] – P[A » B] =
= P[A] + P[B] – P[A » B]
Pàgina 371
PER A PROFUNDIR-HI
A
27
216
A – (A » B) B – (A » B)
49 Un home té temps per jugar a la ruleta 5 vegades com a molt. Cada aposta
és d’1 euro. L’home comença amb un euro i deixarà de jugar quan perda
l’euro o guanye 3 euros.
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
B
UNITAT
14
27

28
a) Troba l’espai mostra dels resultats possibles.
b) Si la probabilitat de guanyar o perdre és la mateixa per a cada aposta, quina
és la probabilitat que guanye tres euros?
a) Hacemos un esquema:
1
1(2)
–1(0)
–1(1)
El espacio muestral sería:
E = {GGG, GGPGG, GGPGP, GGPPG, GGPPP, GPGGG, GPGGP, GPGPG,
GPGPP, GPP, P}
donde G significa que gana esa partida y P que la pierde.
b) Por el esquema anterior, vemos que gana 3 euros con:
1
GGG 8 probabilidad =
2
1
·
2
1
·
2
1
=
8
GGPGG 8 probabilidad = ( ) 5 1
=
2
1(3) FIN GGG
1(1)
GPGGG 8 probabilidad = ( ) 5 1 1
=
2 32
Por tanto:
1 1 1 3
P [gane 3 euros] = + + = = 0,1875
8 32 32 16
50 En una baralla de 40 cartes, agafem tres cartes diferents. Calcula la probabilitat
que les tres siguen nombres diferents.
1
32
1(3) FIN → GGPGG
–1(1) FIN → GGPGP
1(1) FIN → GGPPG
–1(–1) FIN → GGPPP
P [3 números distintos] = 1 · P [2. a dist. de la 1. a ] · P [3. a dist. de la 1. a y de la 2. a ] =
= 1 · · = 192
36
39
32
38 247
1(2)
–1(0)
1(2)
–1(0)
1(3) FIN → GPGGG
–1(1) FIN → GPGGP
1(1) FIN → GPGPG
–1(–1) FIN → GPGPP
–1(–1) FIN GPP
–1(–1) FIN P
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

51 Escollides cinc persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys dues
d’elles hagen nascut en el mateix dia de la setmana (és a dir, en dilluns, dimarts,
etc.)?
P [ninguna coincidencia] = 1 · P [2. a en distinto día que la 1. a ] · …
… · P [5. a en distinto día que 1. a , 2. a , 3. a y 4. a ] =
6
= 1 ·
7
5
·
7
4
·
7
3
·
7
360
= = 0,15
2 401
P [alguna coincidencia] = 1 – P [ninguna coincidencia] = 1 – 0,15 = 0,85
52 Una moneda es llança repetidament fins que ix dues vegades consecutives el
mateix costat. Calcula la probabilitat dels successos següents:
a) L’experiment consta exactament de 4 llançaments.
b) L’experiment consta exactament de n llançaments, amb 2 Ì n é N.
c) L’experiment consta, com a màxim, de 10 llançaments.
a) Consta de cuatro lanzamientos si ocurre:
C + C C o bien + C + +
Por tanto:
P [cuatro lanzamientos] = ( ) 4 + ( ) 4 = 2 · ( ) 4 = ( ) 3 1 1 1 1
=
2 2 2 2
1 n – 1
b) P [n lanzamientos] = ( 2 )
c) P [10 o menos lanzamientos] = P [2 lanzamientos] + P [3 lanzamientos] +
+ P [4 lanzamientos] + … + P [10 lanzamientos] = ( ) + ( ) 2
+ ( ) 3
+ … + ( ) 9
1 1 1 1
2 2 2 2
Nos queda la suma de 9 términos de una progresión geométrica con:
a1 = y r =
Por tanto:
P [10 o menos lanzamientos] = ( ) + ( ) 2
+ ( ) 3
+ … + ( ) 9
1 1
2 2
1 1 1 1
=
2 2 2 2
= = = 1 – ( ) 9
1/2 [1 – (1/2) 1 1 511
= 1 – = = 0,998
2 512 512
9 1/2 – (1/2) ]
1/2
9 · 1/2
1 – 1/2
53 Tenim dues urnes:
A
A cara o creu n’elegim una. N’extraiem una bola, la mirem i la tornem. N’extraiem
una altra bola. Ambdues extraccions són la bola blanca.
Quina és la probabilitat que, en l’extracció següent, tornem a traure bola
blanca?
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
B
1
8
UNITAT
14
29

30
Han salido dos bolas blancas. Empecemos por calcular la probabilidad de que la
urna sea A y la probabilidad de que sea B:
1
— 2
1
— 2
Ha salido dos veces bola blanca. ¿Qué probabilidad hay de que estemos en A? ¿Y
en B?:
P[A y y ] 1/2 4
P[A/2 blancas] = = =
P[ y ] 5/8 5
P[B y y ] 1/8
P[B/2 blancas] = = =
P[ y ] 5/8
Ha salido bola blanca dos veces:
4
— 5
1
— 5
A
B
Pàgina 317
La urna es A
La urna es B
AUTOAVALUACIÓ
P [ y ] = 1
P [ y ] = —
1
· —
1
= —
1
2 2 4
P [otra vez ] = 1
P [otra vez ] = —
1
2
1. Després d’una jugada de cartes en queden diverses sobre la taula. En farem
un muntonet en el qual es complisca que:
P[COPES] = 0,3; P[AS] = 0,2; P[ni COPES ni AS] = 0,6
1 1
P [A y y ] = — · 1 = —
2 2
P [B y y ] = — · — = — 1 1 1
2 4 8
4 4
P [A y ] = — · 1 = —
5 5
P [B y ] = — · — = — 1 1 1
5 2 10
P [ ] = —
4
+ —
1
= —
9
5 10 10
a) Es troba l’AS de COPES entre aquestes? En cas afirmatiu, quina n’és la probabilitat?
b) Quantes cartes hi ha al muntonet?
El AS de COPAS es COPAS y AS. Por tanto: AS de COPAS = AS » COPAS
P [AS » COPAS] = P [AS] + P [COPAS] – P [AS « COPAS] = 0,2 + 0,3 + P [AS « COPAS]
Calculemos P [AS « COPAS]:
a) 0,6 = P [ni COPAS ni AS] = P [COPAS' » AS'] = P [(COPAS « AS)'] = 1 – P [COPAS « AS]
P [AS « COPAS] = 1 – 0,6 = 0,4
Por tanto, P [AS » COPAS] = 0,2 + 0,3 – 0,4 = 0,1 > 0
Sí está el AS de COPAS y su probabilidad es 0,1.
1
5
P [ y ] = —
1
+ —
1
= —
5
2 8 8
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

2.
1
b) Si la probabilidad de que salga el AS de COPAS es 0,1 = , entonces es que que-
10
dan solo 10 cartas.
1 1 2 1 1
2 2 2 1 1
Passa a una taula com aquesta el contingut
de l’urna de l’esquerra. Digues el valor de les
propietats següents i explica’n el significat
on calga:
a) P[ ], P[ ], P[ ], P[1], P[2]
b) P[ » 1], P[ /1], P[1/ ]. Significat.
c) P[ /1], P[ /1]
d) El succéss “1” és independent amb
què.
, o . Amb quin d’ells? Explica per
1 3
2 2
TOTAL 5
1
1
2
2
1
3
TOTAL
6
4
10
a) P[
5 1
] = = , P[
10 2
2 1
] = = , P[
10 5
3
] =
10
6 3 4 2
P [1] = = , P [2] = =
10 5 10 5
b) • P[
3
» 1] = . Significa P [bola roja con el número 1].
10
• P[
3 1
/1] = = .
6 2
Sabemos que la bola tiene un 1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?
• P[1/
3
] = .
5
Sabemos que la bola es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un 1?
c) P[
1
/1] = , P[
6
2 1
/1] = =
6 3
d) El suceso 1 es independiente respecto a porque P[ /1] = P[
1
] = .
2
No es independiente respecto a porque P[ /1] ? P[ ], ni es independiente
respecto a porque P[ /1] ? P[ ].
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
1
2
TOTAL
UNITAT
TOTAL
14
31

32
3. P [R] = 0,27; P [S'] = 0,82; P [R « S] = 0,4. Troba P [S], P [R » S], P [(R « S)'] i
P [R' « S'].
P[S] = 1 – P[S'] = 1 – 0,82 = 0,18
P [R » S] = P [R] + P[S] – P [R « S] = 0,27 + 0,18 – 0,4 = 0,05
P [(R « S)'] = 1 – P [R « S] = 1 – 0,4 = 0,6
P [R' « S'] = P [(R » S)'] = 1 – P [R » S] = 1 – 0,05 = 0,95
4. Podem assegurar que P [{1, 2}] < P [{1, 2, 7}]? Raona la resposta.
Podemos asegurar que P [{1, 2}] Ì P [{1, 2, 7}].
Pero podría ser que P [7] = 0, en cuyo caso P [{1, 2}] = P [{1, 2, 7}].
Por tanto, no podemos asegurar que P [{1, 2}] < P [{1, 2, 7}].
5.
Traiem una bola de A i la fiquem en B. Remenem. Traiem una bola de B.
Troba:
a) P [1a i 2a ], P [2a /1a ]
b) P [1a i 2a ], P [2a /1a ], P [2a ]
c) P [2a ], P [1a /2a ]
A
A B
2
— 3
1
— 3
2 2 4
a) P [1.ª y 2.ª ] = · = =
3 4 12
P [2.ª /1.ª ] = = 1 2
4 2
B
B
1
3
2
— 4
2
— 4
1
— 4
3
— 4
2 2
P [1.ª y 2.ª ] = · =
3 4
2 2
P [1.ª y 2.ª ] = · =
3 4
1 1
P [1.ª y 2.ª ] = · =
3 4
1 3
P [1.ª y 2.ª ] = · =
3 4
4
12
4
12
1
12
3
12
Unitat 14. Càlcul de probabilitats

1 1 1
b) P [1.ª y 2.ª ] = · =
3 4 12
P [2.ª /1.ª ] =
4 1
P [2.ª ] = P [1.ª y 2.ª ] + P [1.ª y 2.ª ] = + =
12 12
4 3
c) P [2.ª ] = P [1.ª y 2.ª ] + P [1.ª y 2.ª ] = + =
12 12
P [1. 1/12
P [1.ª /2.ª ] = = =
5/12
a y 2. a ]
P [2. a ]
6. Berta ha anat al cinema, al teatre o al concert amb probabilitats 0,5; 0,2; 0,3,
respectivament. El 60% de les vegades que va al cinema es troba amb amics i
se’n va de marxa amb ells. El mateix passa el 10% de les vegades que va al teatre
i 90% d’aquelles que va al concert.
a) Quina probabilitat hi ha que se’n vaja de marxa amb amics?
b) Després de l’espectacle ha tornat a casa. Quina probabilitat hi ha que haja
anat al teatre?
0,5
0,2
0,3
CINE
1
4
TEATRO
P [CINE y AM] = 0,5 · 0,6 = 0,30
P [CINE y no AM] = 0,5 · 0,4 = 0,20
P [TEATRO y AM] = 0,2 · 0,1 = 0,02
P [TEATRO y no AM] = 0,2 · 0,9 = 0,18
P [CONCIERTO y AM] = 0,3 · 0,9 = 0,27
P [CONCIERTO y no AM] = 0,3 · 0,1 = 0,03
a) P [AM] = P [CINE y AM] + P [TEATRO y AM]+P [CONCIERTO y AM] = 0,30 + 0,02 + 0,27 = 0,59
P [TEATRO y no AM]
b) P [TEATRO/no AM] = . Calculemos:
P [no AM]
P [TEATRO/no AM] = 0,18
P [no AM] = 1 – P [AM] = 1 – 0,59 = 0,41
(También se podría haber calculado sumando P [CINE y no AM] +P [TEATRO y no AM]
+ P [CONCIERTO y no AM].)
0,18
P [TEATRO/no AM] = ≈ 0,44
0,41
Esto significa, dicho de forma ingenua, que de cada 100 veces que vuelva a casa
pronto, en 44 de ellas ha ido al TEATRO.
Unitat 14. Càlcul de probabilitats
0,6
0,4
CONCIERTO
0,1
0,9
AMIGOS
NO AMIGOS
0,9
0,1
AMIGOS
NO AMIGOS
AMIGOS
NO AMIGOS
1
5
5
12
7
12
UNITAT
14
33