Seminaris de Geometria Diferencial i Càlcul Vectorial

Índex
Geometria diferencial — Seminaris
Curs 2008/2009
E. Gallego, D. Marín, E. Miranda
1 Gal . leries. Primers càlculs amb maple 5
1.1 Exploratorium digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 El programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Documentació del programa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Galeries de corbes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Galeria de superfícies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 El lloc web ‘Famous Curves Index’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Càlcul del centre i radi de curvatura com a límit de circumferències secants. . 7
1.8 Mètode alternatiu utilitzant la teoria del contacte. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9 Representació gràfica dels cercles osculadors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.10 Identifiqueu la corba plana parametritzada per . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.11 Cicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Teoria global de corbes planes I 9
2.1 Curvatura total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Rotació de les tangents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Teorema dels quatre vèrtexs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Funció de suport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Notes finals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Teoria global de corbes planes II 12
3.1 Paradoxa de Bertrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Primera solució: fixant els extrems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Segona solució: fixant el punt mitjà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Tercera solució: fixant la distància a l’origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5 Què passa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.6 Espai de rectes al pla. Mesura de conjunts de rectes. . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.7 Formula de Cauchy-Crofton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.8 Mesura cinemàtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.9 Funció suport (de nou). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.10 Suma de Minkowski.
Àrea mixta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.11 Mesura dels moviments que fan que dos convexos es tallin. . . . . . . . . . . . 17
3.12 Fórmules de Poincaré i de Blaschke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.13 Desigualtat isoperimètrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.14 Referències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1

4 Corbes a l’espai amb maple 20
4.1 Càlcul de la curvatura, torsió i triedre de Frenet d’una corba. . . . . . . . . . . 20
4.2 Visualització del triedre de Frenet d’una corba a l’espai. . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Teorema fonamental de la teoria local de corbes planes. . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Teorema fonamental de la teoria local de corbes a l’espai. . . . . . . . . . . . . 21
4.5 Esferes osculadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.6 Representació gràfica de les esferes osculatrius d’una corba. . . . . . . . . . . . 23
4.7 Corbes esfèriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.8 Teorema de Fary-Milnor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Sessió de problemes de corbes a l’espai 25
5.1 Esferes osculadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Corbes esfèriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 Hèlixs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.4 Corbes de Bertrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 Tubs. Teoremes de Fenchel i de Fary-Milnor. 29
6.1 Corbes paral . leles en el pla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2 Area d’un convex paral . lel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.3 Superfície paral . lela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4 Superfície tubular d’una corba a l’espai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.5 Volum d’un tub a l’espai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.6 Teorema de Fenchel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.7 Teorema de Fary-Milnor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 Geodèsiques i altres corbes especials sobre superfícies 33
7.1 Equacions d’Euler-Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2 Equacions d’Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.3 Geodèsiques i línies assimptòtiques sobre superfícies de revolució. . . . . . . . 34
7.4 Estudi de l’el . lipsoide de tres eixos amb maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.5 Línies de curvatura i geodèsiques sobre l’el . lipsoide de tres eixos. . . . . . . . . 37
8 Sessió de problemes sobre superfícies 39
8.1 Superfícies de revolució. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.2 Isometries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.3 Geodèsiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.4 El pla hiperbòlic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.5 Derivada covariant i transport paral . lel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9 Els teoremes de Gauss i Stokes i les equacions de Maxwell 42
9.1 Circul . lació i flux d’un camp vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9.2 El flux sortint a través de dues superfícies tancades amb una regió comuna. . . 43
9.3 El flux sortint d’un cub petit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.4 El teorema de Gauss o de la divergència. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.5 La circul . lació al llarg de dues corbes tancades que comparteixen un arc comú. 43
9.6 La circul . lació d’un camp vectorial al llarg d’un quadrat petit. . . . . . . . . . 44
9.7 El teorema de Stokes o del rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.8 Força exercida sobre una càrrega elèctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.9 Les lleis de l’electromagnetisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2

9.10 Una aplicació dels teoremes de Gauss i Stokes a la física: Les equacions de
Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.11 Interpretació física de les lleis de l’electromagnetisme. . . . . . . . . . . . . . . 46
9.12 Altres aplicacions de Stokes i Gauss a la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9.13 Referències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10 Càlcul vectorial amb maple 48
10.1 Definició de camps vectorials i càlcul de la divergència i del rotacional. . . . . 48
10.2 Integrals de línia i superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
10.3 Il . lustració dels teoremes de Green, Gauss i Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . 48
10.4 Interpretació geomètrica de la divergència i del rotacional. . . . . . . . . . . . 49
10.5 El camp de Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10.6 Camp de Lorenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.7 Annex: codi maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
11 Espai de Minkowski 54
11.1 Invariància de Galileu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
11.2 Transformacions de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
11.3 Adició de velocitats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11.4 Longitud i temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11.5 Simultaneïtat i causalitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11.6 Interval d’espai temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.7 Transformacions de Lorentz. Forma vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.8 Espai (vectorial) de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.9 Direcció de temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.10Grup de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
12 Formulació relativista de les equacions de Maxwell 60
12.1 Quadri-vectors de l’espai de Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12.2 Quadri-vectors energia-moment i treball-força. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12.3 Quadri-vectors càrrega-corrent i potencial electromagnètic. . . . . . . . . . . . 61
12.4 Quadri-vector gradient i operador dalambertià. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
12.5 La 2-forma electromagnètica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
12.6 Operador ∗ de Hodge i formulació intrínseca de les equacions de Maxwell. . . . 63
13 De Stokes a De Rham passant per Poincaré 64
13.1 Relació entre les integrals de línia, de superfície i sobre cadenes. . . . . . . . . 64
13.2 Relació entre gradient, rotacional, divergència i derivada exterior. . . . . . . . 65
13.3 Relació entre els teoremes clàssics i el teorema de Stokes generalitzat. . . . . . 65
13.4 Relació entre formes tancades i formes exactes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
13.5 Relació entre formes tancades i topologia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
13.6 Relació entre formes tancades i anàlisi complexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
13.7 Relació entre formes tancades i enllaços. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
13.8 Referències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
14 Teoremes de Gauss-Bonnet i Poincaré-Hopf 68
14.1 Generalització del umlaufsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
14.2 Teorema de Gauss-Bonnet local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
14.3 Teorema de Gauss-Bonnet global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Índex d’un camp vectorial sobre una superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
69
3

14.5 El teorema de Poincaré-Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4

1 Gal . leries. Primers càlculs amb maple
§1.1 Exploratorium digital. En molts departaments de matemàtiques d’arreu del món es
poden trobar vitrines plenes de ‘monstres’ matemàtics: superfícies, corbes, etc. Aquestes exposicions
s’anomenen exploratorium. A la foto podeu veure un exploratorium de la Universitat
d’Stuttgart (Alemanya).
Figura 1.1: Exploratorium a Stuttgart
§1.2 El programa. El matemàtic Richard Palais, molt conegut pel seus treballs en grups
de Lie, geometria diferencial, i altres racons de les matemàtiques, va decidir construir un nou
exploratòrium, un que pogués incloure una galeria realment gran i que tothom pogués afegir
el seu coneixement. D’aquesta manera l’any 1987 va sorgir 3D-XplorMath.
Presenta una galeria d’objectes matemàtics interessants, des de corbes al pla i l’espai fins a
políedres i superfícies i passant per equacions diferencials i fractals.
Molts d’aquests gràfics els podríem fer amb altres eines com Mathematica o Maple. La importància
de 3D-XplorMath és que ja ha fet la tria d’objectes i els paràmetres de visualització
més adequats. No obstant, els paràmetres es poden canviar i podem afegir nous objectes a la
galeria. 3D-XplorMath és un laboratori experimental de matemàtiques.
Tots els elements de la exhibició tenen la seva pròpia documentació (en anglès) amb suggeriments
per fer més exploracions. 3D-XplorMath és un programa útil per a tothom: pel
curiós, pels professors, per l’investigador i pels estudiants.
Podeu trobar informació a la plana web del programa:
http://3d-xplormath.org/
Hi ha tres versions del programa. Una en ‘java’ que pot funcionar amb qualsevol sistema
operatiu i és la que farem servir en aquesta pràctica. Una en línia, que es pot utilitzar amb
un navegador. Una per Mac OSX, aquesta és la versió més completa ja que és en aquesta
plataforma on es van desenvolupar inicialment el programa.
§1.3 Documentació del programa. El programa té varies galeries:
5

i per cada galeria hi ha documentació. Com que existeix més documentació en anglès que en
altres llengües és preferible que al menú Documentación, a l’apartat Documentation Prefs,
poseu l’adreça http://3d-xplormath.org/j/docs/en que és la corresponent a la documentació
en anglès.
§1.4 Galeries de corbes. Trieu la galeria de corbes planes i feu una ullada a la llista de corbes.
Es troba al menú Curvas planas. Seleccioneu la lemniscata. Fent clic amb el ratolí podeu
aturar l’animació, seleccionant Crear tornareu a veure l’animació i amb la barra d’espai podeu
la podeu aturar. Al menú Acciones veureu altres accions diferents que es poden realitzar sobre
una corba.
Exercici 1.4.1. Doneu una definició sintètica de la lemniscata (de Bernoulli).
Trieu veure els cercles oscul . ladors d’aquesta corba. Això només és primer exemple. Fem-ne
més.
Exercici 1.4.2. Veieu com es forma la tractriu (Tractrix). Podeu donar una definició? Dibuixeu
les seves corbes paral . leles.
Exercici 1.4.3. Feu el dibuix d’una corba γ(t) amb curvatura t, un altre amb curvatura t 2 i
un altre amb curvatura | sin t| (la funció valor absolut s’escriu abs, feu variar el paràmetre t
allà on calgui). Dibuixeu els cercles oscul . ladors, l’evoluta i les corbes paral . leles.
També tenim galeria de corbes a l’espai. Canvieu la galeria i mireu la llista de possibles corbes
de l’espai.
Exercici 1.4.4. Un cop a la galeria de corbes de l’espai, trieu la famosa volta de Viviani.
Moveu-la una mica per veure com és. Veiu-la en forma de tub (menú Acciones). Mostreu el
seu triedre de Frenet (Marco ortonormal).
§1.5 Galeria de superfícies. Trieu ara la Galeria de Superfícies, trobareu diferents famílies.
Seleccioneu les superfícies mínimes. Dibuixeu la de López-Ros. Es tracta d’una superfície que
localment minimitza l’àrea (ja ho veurem al llarg del curs). Trieu els colors en funció de la
curvatura de Gauss.
§1.6 El lloc web ‘Famous Curves Index’. Aquesta és una galeria molt útil sobre corbes
planes. Es troba a
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html
Obriu el vostre navegador preferit i aneu-hi.
Exercici 1.6.1. Trobeu la definició d’evoluta.
Exercici 1.6.2. Trobeu la definició en forma implícita del Folium de Descartes. Es tracta d’una
corba quadràtica? potser és cúbica? Dibuixeu la seva evoluta.
6

§1.7 Càlcul del centre i radi de curvatura com a límit de circumferències secants. Considerem
una parametrització regular x(t) = (x(t), y(t)) d’una corba plana. Cerquem la circumfèrencia
que millor aproxima a la corba en el punt x(0). Per això considerem el desenvolupament
de Taylor en t = 0 de x(t) i y(t)
x(t) =
3
i=0
t
xi
i
i! + O(t4 ) i y(t) =
3
i=0
t
yi
i
i! + O(t4 ),
on xi = dix(t) dti
i yi = t=0 diy(t) dti
. Considerem la circumferència que passa pels punts x(−ε),
t=0
x(0) i x(ε). El seu centre c(ε) = (cx(ε), cy(ε)) és la intersecció de les mediatrius dels dos
segments que uneixen els punts x(−ε) i x(0) d’una part i els punts x(0) i x(ε) d’una altra. El
seu radi és r(ε) = c(ε) − x(0). El centre i el radi de curvatura vénen donats pels límits de
c(ε) i r(ε) quan ε tendeix a zero. Calculeu aquests límits en funció de xi, yi. El cercle límit
s’anomena el cercle osculador de la corba x(t) al punt x(0).
§1.8 Mètode alternatiu utilitzant la teoria del contacte. Considerem la família de totes
les circumferències del pla donades per les equacions fabr(x, y) = (x − a) 2 + (y − b) 2 − r 2 .
L’objectiu és trobar els paràmetres a, b, r de manera que fabr(x(t)) sigui el més petit possible
quan t és proper a zero. De manera més precisa, el que demanem és que la funció d’una
variable g(t) = fabr(x(t)) tingui el màxim nombre de derivades nul . les quan s’avaluen a t = 0.
Observeu que com tenim tres paràmetres lliures és natural imposar tres condicions g(0) = 0,
g ′ (0) = 0 i g ′′ (0) = 0. Escriviu el sistema d’equacions corresponent i resoleu-lo. Comproveu
que el cercle que determina coincideix amb el de l’apartat anterior.
§1.9 Representació gràfica dels cercles osculadors. Una espiral logarítmica és una corba que
admet per equació ρ = exp(cθ) en coordenades polars, on c és una constant.
(a) Trobeu una parametrització d’una espiral logarítmica i representeu gràficament la corba
per θ ∈ [0, 10π].
corresponent al valor c = 1
50
(b) Considereu una partició de l’interval de definició de la parametrització anterior i calculeu
els centres i els radis dels cercles osculadors de C en els punts corresponents.
(c) Feu-ne una representació gràfica.
Observeu que cada punt del pla es troba sobre una única circumferència osculadora a l’espiral
logarítmica. La funció que a cada punt (x, y) del pla li fa correspondre el radi de la
circumferència osculadora que passa per aquest punt no és diferenciable. Per què?
§1.10 Identifiqueu la corba plana parametritzada per
3t(4 −
t ↦→
3√ 4t4 )
2(4 + t6 ,
)
3t2 (t2 + 3√ 4)
4 + t6
.
§1.11 Cicloide. A Moby Dick de Herman Melville (1851) trobem la següent cita:
Quan no s’utilitzen, aquestes calderes es conserven considerablement netes. A vegades les
poleixen amb sabó de sastre i sorra fins que brillen per dins com ponxeres de plata. Durant les
guàrdies nocturnes, alguns vells mariners cínics s’hi entaforen, s’hi ajoquen i fan una becadeta.
Quan els mariners es dediquen a polir-les -un home a cada caldera, tocar a tocar- es passen
moltes comunicacions confidencials per damunt els llavis de ferro. També és un lloc adient per
7

Figura 1.2: Cercles osculadors d’una espiral logarítmica.
a profundes meditacions matemàtiques. Fou dins la caldera de mà esquerra del Pequod, amb
el sabó de sastre que m’envoltava per totes bandes, que per primera vegada em va impressionar
el fet remarcable que, en geometria, tots els cossos que llisquen al llarg de la corba cicloide, el
meu sabó de sastre per exemple, baixen en el mateix espai de temps des de qualsevol punt.
(La destil.leria, Moby Dick)
Verifiquem aquesta propietat de la cicloide, més precisament, en una cicloide invertida el
temps que triga un cos que cau lliscant per la corba per efecte de la gravetat sense fregament
en arribar al punt més baix és independent del punt de partida.
(i) Doneu una parametrització γ(λ) = (x(λ), y(λ)) de la cicloide invertida.
(ii) Sigui θ el paràmetre del punt d’arribada. Calculeu la velocitat v(θ) amb que arriba un
cos que surt d’un punt γ(α) fixat al punt γ(θ).
(Indicació: Recordeu la llei de conservació de l’energia i les expressions de l’energia
potencial i cinètica, Ep = mgh i Ec = mv 2 /2 respectivament).
(iii) Calculeu la distància recorreguda entre γ(α) i γ(θ).
(iv) Sigui t(θ) la reparametrització corresponent al moviment físic d’un cos que llisca sense
fregament per la cicloide amb t(α) = 0. Calculeu t(π) (i.e. el temps d’arribada al punt
més baix) i comproveu que no depèn de α.
Indicació: Utilitzeu l’equació diferencial
d’on es dedueix
t(π)
t(π) =
0
ds(θ(t))
dt
= ds(θ)
dθ θ′ (t) = v(θ)
−1 ds(θ)
v(θ)
dθ θ′ π
−1 ds(θ)
(t)dt = v(θ)
α dθ dθ
La cicloide també verifica que és la braquistocrona, és a dir, la corba al llarg de la qual una
partícula llisca sota l’acció de la gravetat i sense fregament en un temps mínim d’un punt A
a un punt B situats en verticals diferents.
8

2 Teoria global de corbes planes I
§2.1 Curvatura total.
Exercici 2.1.1. Sigui x : [a, b] → R 2 una parametrització per l’arc d’una corba plana C. Proveu
que existeix una funció diferenciable θ : [a, b] → R tal que t(s) = x ′ (s) = (cos θ(s), sin θ(s)).
Recordeu que θ ′ (s) és la curvatura amb signe de C en el punt x(s). Indicació: Per provar
l’existència de θ(s) considereu la integral t
0 (u(s)v′ (s) − v(s)u ′ (s)) ds on t(s) = (u(s), v(s)).
Definició. La curvatura total d’una corba plana C és la integral de la seva curvatura
b
a k(s) ds = θ(b) − θ(a) i mesura la rotació del vector tangent al llarg de C.
Definició. Una corba parametritzada regular x : [a, b] → R 2 es diu tancada si existeix una
extensió diferenciable ¯x : R → R 2 de x que sigui (b − a)-periòdica. Observeu que la curvatura
total d’una corba tancada és de la forma 2πk amb k ∈ Z. Aquest enter s’anomena el nombre
de rotació de x.
Exercici 2.1.2. Construïu una corba plana tancada amb un nombre de rotació k ∈ Z donat.
§2.2 Rotació de les tangents.
Definició. Una corba parametritzada regular x : [a, b] → R 2 es diu simple si no té autointerseccions,
i.e. x(s) = x(s ′ ) si s = s ′ . Una corba es diu tancada simple si és tancada i
x(s) = x(s ′ ) si i només si s = s ′ o {s, s ′ } = {a, b}.
Teorema 2.1 (Umlaufsatz). El nombre de rotació d’una corba tancada simple és ±1.
Exercici 2.2.1. Demostreu el umlaufsatz. Per això cerqueu referències bibliogràfiques i porteules
a classe, per exemple la pàgina web http://www.mathematik.com/Hopf/index.html conté
una bona il . lustració d’una demostració. També us recomanen el llibre de Do Carmo.
Exercici 2.2.2. Sigui x(s) una corba tancada simple de longitud L parametritzada per l’arc amb
funció de curvatura k(s) > 0. Sigui r < min{1/k(s)} i xr(s) := x(s) + rn(s), on n(s) = it(s)
és el vector normal de x(s). Expresseu la longitud de xr en funció de L i r.
Definició. Una corba tancada simple x : [a, b] → R 2 es diu convexa si per tot punt P = x(s)
la corba està continguda en un dels dos semiplans determinats per la recta tangent en P .
Teorema 2.2. Una corba tancada simple és convexa si i només si la seva curvatura no canvia
de signe.
Exercici 2.2.3. Proveu el teorema 2.2. Per això cerqueu referències bibliogràfiques i porteu-les
a classe per analitzar-les.
§2.3 Teorema dels quatre vèrtexs.
Definició. Un punt x(s) d’una corba regular plana s’anomena vèrtex si k ′ (s) = 0.
Exercici 2.3.1. Proveu que els vèrtexs d’una corba regular x(s) parametritzada per l’arc es
corresponen amb els punts singulars (i.e. y ′ (s) = 0) de la parametrització y(s) = x(s) +
1
k(s) n(s) de la seva evoluta (i.e. el lloc geomètric dels seus centres de curvatura). De fet, és
cert que els vèrtexs són punts singulars de qualsevol parametrització de l’evoluta però això no
ho demostrarem.
9
C
k :=

Exercici 2.3.2. Trobeu una parametrització de la lemniscata de Bernoulli C = {P ∈ R 2 :
4d(A, P )d(B, P ) = d(A, B) 2 }, on A = B són dos punts donats del pla. Feu una representació
gràfica aproximada de la corba C, proveu que té exactament dos vèrtexs i determineu el seu
nombre de rotació.
Teorema 2.3 (Teorema dels quatre vèrtexs). Una corba tancada simple i convexa té almenys
quatre vèrtexs.
Observació: De fet, podem ser més precisos i afirmar que els quatre vèrtexs són extrems
relatius de la curvatura. El nombre de vèrtexs pot ser exactament quatre, com en el cas d’una
el . lipse.
Figura 2.1: Evoluta de l’el . lipse
Exercici 2.3.3. La funció k(s) = 1 + 1
2 sin(s) es 2π-periòdica i positiva. Considerem una corba
plana x(s), s ∈ [0, 2π], parametritzada per l’arc amb curvatura k(s). La curvatura total de
x(s) és doncs 2π. Si x(s) fos tancada aleshores seria tancada simple i convexa, i pel teorema
anterior hauria de tenir quatre vèrtexs, la qual cosa no és certa perquè k(s) només té dos punts
crítics a l’interval [0, 2π]. Utilitzant maple o 3D-XplorMath feu una representació gràfica de
x(s) i porteu-la a classe.
10

§2.4 Funció de suport.
Definició. Fixem com origen de coordenades un punt O a l’interior d’una corba C tancada,
simple i convexa. Per cada ϕ ∈ [0, 2π) existeix un únic pO(ϕ) de manera que la recta cos ϕ ·
x + sin ϕ · y = pO(ϕ) és tangent a C (és la recta de suport en direcció ϕ). La funció pO :
[0, 2π] → (0, +∞) s’anomena funció de suport de C.
Exercici 2.4.1. Proveu que si O ′ = O + (a, b) aleshores pO ′(ϕ) = pO(ϕ) − a cos ϕ − b sin ϕ.
Quines són les funcions de suport de les circumferències?
Exercici 2.4.2. Proveu que podem parametritzar C a partir de pO(ϕ) mitjançant
xO(ϕ) = O + (pO(ϕ) cos ϕ − p ′ O(ϕ) sin ϕ, pO(ϕ) sin ϕ + p ′ O(ϕ) cos ϕ).
Proveu que el radi de curvatura i el centre de curvatura de C en el punt xO(ϕ) són pO(ϕ) +
(ϕ) sin ϕ) respectivament. Observeu
p ′′ O (ϕ) i O + (−p′ O (ϕ) sin ϕ − p′′ O (ϕ) cos ϕ, p′ O (ϕ) cos ϕ − p′′ O
que la funció de suport de l’evolvent de C és p ′ π
O (ϕ + 2 ).
Exercici 2.4.3. Si C és una corba plana tancada simple i convexa amb funció de suport p(ϕ)
aleshores
L(C) =
2π
0
(p(ϕ) + p ′′ (ϕ)) dϕ i A(C) = 1
2π
p(ϕ)(p(ϕ) + p
2 0
′′ (ϕ)) dϕ.
Exercici 2.4.4. Proveu que si p(ϕ) és una funció diferenciable 2π-periòdica aleshores l’equació
p ′ (ϕ) + p ′′′ (ϕ) té al menys quatre solucions diferents a l’interval [0, 2π]. Indicació: si q(ϕ) és
una altre funció diferenciable 2π-periòdica aleshores 2π
0 (p′ + p ′′′ )q = − 2π
0 (q′ + q ′′′ )p.
Existeixen moltes proves diferents del teorema dels quatre vèrtexs, veure per exemple el llibre
del Do Carmo i la Lecture 10 del llibre Mathematical Omnibus que podeu consultar on-line:
http://books.google.com/
books?id=bomkJMq2H9sC&printsec=frontcover&dq=mathematical+omnibus&hl=es
Exercici 2.4.5. Doneu una prova del teorema dels quatre vèrtexs.
§2.5 Notes finals. Per acabar, recollim algunes possibles ampliacions pels alumnes que
puguin estar interessats en aquest tema:
- El teorema també és vàlid per corbes no convexes, cf. S.S. Chern, Curves and surfaces in
Euclidean space, Studies in global Geometry and Analysis, 1967.
- El recíproc del teorema dels quatre vèrtexs també és vàlid quan la curvatura és estrictament
positiva (H. Gluck, L’Enseignement Mathématique, 1971) i quan el valor de dos dels mínims
locals és més petit que el valor de dos màxims locals (B.E.J. Dahlberg, Proceedings of the
American Mathemetical Society, 2005).
- Existeix una generalització del teorema dels 4 vèrtexs a corbes contingudes en superfícies de
curvatura constant (S.B. Jackson, American Journal of Mathematics, 1945). En el cas de
superfícies de curvatura no constant, petits cercles centrats en punts regulars de la curvatura
de Gauss tenen només dos vèrtexs geodèsics.
11

3 Teoria global de corbes planes II
En aquest seminari veurem dos dels teoremes principals de l’anomenada ‘geometria integral’,
la formula de Cauchy-Crofton i la formula cinemàtica de Blaschke. Com a conseqüència
deduirem la desigualtat isoperimètrica en el pla.
Si trobeu el seminari massa llarg podeu parar un cop fet l’apartat 3.9.
§3.1 Paradoxa de Bertrand.
Considerem un cercle de radi r en el pla sobre el qual llancem rectes a l’atzar. Volem calcular
la probabilitat de que la longitud de la corda obtinguda sigui més gran que la longitud del
triangle equilàter inscrit en el cercle.
Exercici 3.1.1. Proveu que la longitud del costat del triangle equilàter inscrit en una circumferència
de radi r és √ 3r.
Estudiarem aquest problema des de tres punts de vista diferents.
§3.2 Primera solució: fixant els extrems. Per donar una corda fixem els punts θ1 i θ2 de la
circumferència per on passa la corda. Suposem que les cordes són orientades, en aquest cas
la corda (θ1, θ2) és diferent de la corda (θ2, θ1); en el moment de calcular probabilitats tant
els casos possibles com els favorables quedaran afectats per un factor 2 i això no afectarà al
càlcul la probabilitat.
Exercici 3.2.1. Proveu que la probabilitat de que una corda tingui longitud més gran que √ 3r
és igual a 1/3 (figura 3.1)).
θ1
C D
Figura 3.1: Coordenades (θ1, θ2), p = 1/3.
§3.3 Segona solució: fixant el punt mitjà. Un altra manera de determinar una corda és
fixant el seu punt mitjà (x, y).
Exercici 3.3.1. Veieu que una corda te longitud superior a √ 3r si i només si x 2 + y 2 < r/2.
Proveu que la probabilitat de que una corda tingui longitud més gran que √ 3r és igual a 1/4
(figura 3.2)).
§3.4 Tercera solució: fixant la distància a l’origen. Podem determinar una recta del pla
donant la seva distància p a l’origen i donant l’angle que forma el vector normal a la recta
que s’allunya de l’origen. Per cada p > 0 i cada θ ∈ [0, 2π) el parell (p, θ) respresenta la recta
d’equació x cos θ + y sin θ = p.
12
θ2

2
(x, y)
Figura 3.2: Coordenades (x, y), p = 1/4.
Nota: Quan p = 0 els angles θ i θ + π mod 2π determinen la mateixa recta per l’origen.
Exercici 3.4.1. Proveu que per una direcció θ fixada les cordes de longitud més gran que √ 3r
són aquelles per les quals p < r/2. Deduïu que la probabilitat de que una corda tingui longitud
més gran que √ 3r és igual a 1/2.
p
θ
Figura 3.3: Coordenades (p, θ), p = 1/2.
§3.5 Què passa? Hem resolt el problema de tres formes diferents. Quina és la solució bona?
Fem la prova (teòrica) de llençar 1000 rectes a l’atzar que tallin un cercle. Ho fem triant els
paràmetres (θ1, θ2) de manera uniforme en el seu domini i el mateix quan triem (x, y) i quan
triem (p, θ). Podeu veure el resultat a la figura 3.4.
Exercici 3.5.1. Quina simulació fa que les cordes estiguin distribuïdes més uniformement?
Aparentment quan fem servir (p, θ) per parametritzar les rectes la distribució és més uniforme.
Observem que el que s’ha fet per calcular les probabilitats ha estat calcular
Casos favorables p =
dL
Casos possibles dL
(3.1)
on dL és dθ1 dθ2, dx dy y dp dθ en cada un dels casos.
La resposta que sembla més adequada és la que ens dona dp dθ perquè aquesta ‘mesura’ és
invariant per moviments rígids. Veiem això a l’apartat següent.
13

Figura 3.4: Cordes a l’atzar segons (θ1, θ2), segons (x, y) i segons (p, θ).
§3.6 Espai de rectes al pla. Mesura de conjunts de rectes. Tota recta del pla que no passi
per l’origen queda determinada de manera única donant p > 0 i θ ∈ [0, 2π). La seva equació
és x cos θ + y sin θ = p.
Exercici 3.6.1. Proveu que el conjunt de totes les rectes del pla L2 es pot posar en correspondència
bijectiva amb el pla projectiu RP 2 menys un punt.
El subconjunt A ⊂ L2 de rectes que no passen per l’origen o bé que no són paral . leles a y = 0
està en correspondència bijectiva amb {(p, θ) : p > 0, θ ∈ (0, 2π)} ∼ = R + × (0, 2π). Definim la
mesura d’un U ⊂ L2 com
m(U) = dpdθ
(si
és que la integral existeix). Per tal de no carregar la notació posarem simplement m(U) =
dL on dL = dp dθ.
U
Exercici 3.6.2. Considereu un moviment rígid directe g(x) = Gα(x) + t del pla (gir d’angle
α i trasl . lació t). La tranformació g porta rectes a rectes, feu servir el teorema de canvi de
variables per provar que m(U) = m(gU). Diem que dL és una mesura invariant per moviments
rígids del pla.
Exercici 3.6.3. Veieu que les ‘mesures’ dx dy i dθ1dθ2 restringides a les rectes que tallen el
cercle no són invariants respecte els moviments rígids.
A partir d’ara la mesura de rectes serà sempre dL = dp dθ. Ens podem planejar problemes
de l’estil: donades dues regions compactes K ⊂ L, quina és la probabilitat que una recta
que talli a L també talli a K. Per resoldre aquest problema veurem primer la fórmula de
Cauchy-Crofton. De moment, per escalfar, podeu fer l’exercici següent:
Exercici 3.6.4. Calculeu la mesura de rectes que tallen un segment de longitud l (exercici clau
del seminari).
§3.7 Formula de Cauchy-Crofton. Anem a calcular la mesura les rectes del pla que tallen
una corba Γ de longitud l. Suposem tenim una parametrització regular x : [0, l] → R 2 de Γ.
Per cada s ∈ [0, L] considerem la recta que forma una angle ϕ amb la tangent x ′ (s) (en sentit
antihorari).
U∩A
Exercici 3.7.1. Demostreu que (localment) dp dθ = | cos(ϕ)|ds dϕ.
14

Exercici 3.7.2. Donada L ∈ L2 denotem per n(L ∩ Γ) el nombre de punts d’intersecció de L
amb la corba Γ. Proveu la formula de Cauchy-Crofton.
n(L ∩ Γ)dL = 2l.
L2
Exercici 3.7.3. Proveu que si K ⊂ K ′ són regions convexes del pla amb fronteres formades per
corbes regulars tancades de longituds lK i lK ′ llavors lK ≤ lK ′ (per continuïtat això és cert
també per corbes convexes qualsevol).
Exercici 3.7.4. Quina és la probabilitat que una recta que talli a K ′ també talli a K?
§3.8 Mesura cinemàtica. Ja sabem mesurar els objectes més elementals del pla: punts i
rectes (ho fem integrant dP = dx dy i dL = dp dθ respectivament). Ara anem a mesurar
moviments rígids. Per exemple, ens agradaria mesurar els moviments rígids g que fan que un
convex gK ′ talli a un altre K. Posem a K ′ un origen O ′ i en ell uns eixos coordenats x ′ , y ′
definits per una base ortonormal directa {v1, v2}. Donar un moviment rígid g equival a donar
{O ′ ; v1, v2} i per tant equival a donar gK ′ .
Si O ′ = (x, y) i v1 = (cos ϕ, sin ϕ), la mesura d’un conjunt U de moviments vindrà donada per
m(U) = f(ϕ, x, y) dϕ dx dy.
U
Exercici 3.8.1. Proveu que si m(gU) = m(U) per qualsevol moviment rígid g (directe) llavors
f ha de ser constant.
Triem com a element de mesura invariant de moviments dg = dϕ dx dy, és l’anomenada mesura
cinemàtica.
Exercici 3.8.2. Proveu que m({g : K ∩ gK ′ = ∅}) = m({g : gK ∩ K ′ = ∅}). Dit en paraules:
és el mateix moure K que moure K ′ .
Exercici 3.8.3. Proveu que si h és un moviment rígid fixat llavors m({g : K ∩ ghK ′ = ∅}) =
m({g : hK ∩ gK ′ = ∅}). És a dir, no importen les posicions inicials de K o K′ .
Exercici 3.8.4. Demostreu que m({g : g(p) ∈ K}) = 2πA on p és un punt, K és un convex i A
és l’àrea de A. És a dir, la mesura de moviments que fan que un punt caigui en un convex K
és 2π per l’àrea del convex (de fet la convexitat no és necessària).
§3.9 Funció suport (de nou). Al seminari 2 es va definir la funció suport p(θ) d’una corba
tancada convexa. Si K és una regió convexa (compacta) de R 2 i x ∈ R 2 definim
h(x) = max〈x,
y〉.
y∈K
Exercici 3.9.1. Proveu que h restringida a S 1 és la funció suport p(θ) de la corba frontera.
Exercici 3.9.2. Doneu la funció suport d’un triangle equilater (trieu l’origen que vulgueu).
Ja sabem que si la funció suport p(θ) és diferenciable tenim la parametrització
x = p cos θ − p ′ sin θ
y = p sin θ + p ′ cos θ
15
.

y
P
p ′
H
p
θ
O x
Figura 3.5: Funció suport p
Exercici 3.9.3. Demostreu que l’element d’arc ds de la corba amb funció suport p és igual a
|p + p ′′ |dθ. Proveu que K és convex si només si p + p ′′ no canvia de signe (p + p ′′ és el radi de
curvatura en el punt de paràmetre θ).
Exercici 3.9.4. Proveu que el perímetre de K és L =
S1 pdθ i que l’àrea és A = 1
L
2 0 pds =
1 L
2 0 p(p + p′′ )dθ (cas convex).
Si K és convex compacte, el conjunt paral . lel Kr a distància r és el conjunt de punts a distància
menor o igual que r de K.
Exercici 3.9.5. Proveu que la funció suport de Kr és p(θ) + r. Deduïu que l’àrea Ar de Kr és
Ar = A + Lr + πr 2 .
Observació: si K és unió finita de convexos (policonvex) aleshores per r prou petit es te
Ar = A + Lr + χ(K)πr 2
on χ(K) és la característica d’Euler -Poincaré de K.
§3.10 Suma de Minkowski. Àrea mixta. Donats dos convexos compactes K, K′ la suma de
Minkowski és el conjunt
K + K ′ = {x + y : x ∈ K, y ∈ K ′ }.
Per exemple, si Br és el disc de radi r aleshores K + Br = Kr el convex parl . lel a distància r.
Exercici 3.10.1. Proveu que la suma de Minkowski de convexos és un convex.
Exercici 3.10.2. Siguin K1 i K2 convexos (a partir d’ara sempre compactes) amb funcions de
suport p1, p2 respecte un mateix punt. Proveu que la funció de suport de K1 + K2 és p1 + p2.
De vegades és convenient pensar en K1 i K2 amb funcions suport p1, p2 respecte punts O1, O2
diferents i considerar la funció de suport p = p1 + p2 respecte qualsevol punt. Aquesta funció
p defineix un convex K (que te a veure K amb el convex K1 + K2?). Definim l’àrea mixta
A12 de Minkowski de K1 i K2 a partir de la relació
A = A1 + A2 + 2A12.
16

Exercici 3.10.3. Proveu que
A12 = 1
2
2π
on dsi són els elements d’arc dels contorns.
0
(p1p2 − p ′ 1p ′ 2)dθ = 1
p1ds2 =
2 ∂K2
1
p2ds1
2 ∂K1
Exercici 3.10.4. L’àrea mixta no depén del origens O1, O2.
Exercici 3.10.5. L’àrea mixta és invariant respecte traslacions del convexos K1, K2.
L’àrea mixta sí que depèn de les rotacions dels convexos. Si girem K1 un angle α al voltant
de O1 tenim que la nova funció suport és p1(θ − α).
Exercici 3.10.6. Proveu aquesta darrera afirmació i veieu que si A12(α) = 1
2 ∂K2 p1(θ − α)ds2.
llavors 2π
A12(α)dα = 1
2 L1L2.
0
§3.11 Mesura dels moviments que fan que dos convexos es tallin. Considerem dos convexos
K0 i K1. Volem calcular
K0∩gK1=∅ dg, la mesura de moviments rígids g tals que K0 ∩gK1 = ∅.
Posem en un punt P1 de K1 uns eixos (veieu la figura 3.6) que es mouen solidàriament amb el
convex. Moure K1 equival a traslladar P1 i fer girar els eixos. Per una angle φ fixat dels eixos
movem P1 a una posició de tangència amb la frontera de K0. Sigui p0 la funció de suport de
K0 respecte P0 i p1 la funció de suport de K1 girat en un angle φ i respecte P2.
Exercici 3.11.1. Les translacions que fan que K1 talli a K0 són les que porten P2 al convex
que te funció de suport p0(θ) + p1(θ + π) (veieu dibuix). Aleshores proveu que
K0∩gK1=∅
dg =
2π
0
P1∈K
dP1 dφ =
2π
0
A dφ.
Exercici 3.11.2. Proveu, fent servir la integral de l’àrea mixta vista en un exercici anterior,
que
2π
dg = 2π(A0 + A1) + 2A01dφ = 2π(A0 + A1) + L0L1.
K0∩gK1=∅
0
Hem demostrat que la mesura de moviments que fan que dos convexos es tallin és igual a
2π(A0 + A1) + L0L1.
§3.12 Fórmules de Poincaré i de Blaschke. Aquesta darrera formula es pot generalitzar.
Diem que K és un conjunt policonvex si és unió finita de convexos (compactes). Per exemple
una línia trencada és un policonvex. Tenim la formula cinemàtica de Blaschke:
χ(D0 ∩ gD1)dg = 2π(χ0F1 + χ1F0) + L0L1.
G
on Di són policonvexos del pla (de fet dominis), χ representa la característica d’Euler-Poincaré
i G és el grup de moviments rígids directes. Podeu trobar una demostració d’aquest teorema
als llibres de Santaló que es donen a la bibliografia.
Exercici 3.12.1. Siguin convexos K ⊂ K ′ , quina és la probabilitat que un convex aleatori que
talli a K ′ també talli a K.
17

K0
y
P0
p0(θ)
θ
y ′
x
P1
p1(θ + π)
Figura 3.6: dg = dP1 dφ
Exercici 3.12.2. Siguin Γ i Γ ′ corbes del pla. Les ‘inflem’ una mica considerant els conjunts
paral . lels a distancia r (r molt petit). Denotem per Dr i D ′ r els dominis així obtinguts.
Apliqueu la fórmula de Blaschke a Dr i D ′ r, feu tendir r a zero i proveu la formula de Poincaré
on l i l ′ són les longituds de les corbes.
Γ∩gΓ ′ n(Γ ∩ gΓ
=∅
′ )dg = 4ll ′
Observació: Les formules de Crofton i de Blaschke són el punt de partida del que s’anomena
Geometria Integral. En aquesta branca de la geometria s’estudien mesures invariants d’objectes
geomètrics i es fan servir per descriure la geometria de l’espai que els envolta. També te
nombroses aplicacions en l’estudi i tractament d’imatges, el que s’anomena estereologia. Per
exemple la formula de Crofton es pot utilitzar per estimar longituds simplement comptant
punts d’intersecció d’una xarxa amb una corba.
§3.13 Desigualtat isoperimètrica. Un problema geomètric clàssic és el de determinar la regió
que té àrea més gran per un perímetre fixat (vegeu la bibliografia). L’intuició ens proposa el
cercle com solució d’aquest problema. Per un cercle tenim que
L 2 = 4πA.
Demostrarem que L 2 − 4πA ≥ 0 per qualsevol regió del pla.
Considerem dos convexos compactes K0 i K1 tals que K1 = hK0 on h és un moviment rígid
(diem que K0 i K1 són congruents). Suposem-los d’àrea A i perímetre L. Denotem per mi la
mesura dels moviments rígids que fan que les fronteres es tallin en i punts. Excepte per un
conjunt de mesura nul . la el nombre i sempre serà parell.
18
K1
x ′
φ

Exercici 3.13.1. Proveu a partir de la formula de Blaschke que
4πA + L 2 = m2 + m4 + m6 + · · ·
Exercici 3.13.2. Proveu a partir de la formula de Poincaré que
4L 2 = 2m2 + 4m4 + 6m6 + · · ·
Exercici 3.13.3. Deduïu dels dos exercicis anteriors la desigualtat isoperimètrica
L 2 − 4πA ≥ 0.
Per tenir igualtat cal que el nombre de punts de ∂K0 ∩ gK1 sigui 0 o 2 (excepte en un conjunt
de moviments de mesura nul . la).
Exercici 3.13.4. Proveu que si m2i = 0 per tot i > 1 aleshores la corba frontera és una
circumferència.
Exercici 3.13.5. (problema obert) enunciar i donar una demostració de la desigualtat isoperimètrica
a l’espai de tres dimensions fent servir mètodes de la geometria integral.
Exercici 3.13.6. Trobeu en algun llibre la desigualtat isoperimètrica per regions de R n .
§3.14 Referències.
– http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_paradox_(probability)
– Bl˚asjö. The Isoperimetric Problem. The American Mathematical Monthly (2005) vol.
112 (6)
– Osserman. The isoperimetric inequality. Bull. Amer. Math. Soc. (1978) vol. 84 (6)
pp. 1182-1238
– Rey Pastor et al. Geometría integral. Espasa Calpe (1951) pp. 281
– Santaló. Integral geometry and geometric probability. Lecture Notes in Math. (2004)
pp. xx+404
19

4 Corbes a l’espai amb maple
§4.1 Càlcul de la curvatura, torsió i triedre de Frenet d’una corba. Comencem carregant
els paquets que necessitem:
restart:with(Student[VectorCalculus]):with(plots):with(plottools):
Definim una corba a l’espai, per exemple l’hèlix cilíndrica
f:=:
i calculem la seva curvatura i torsió
simplify(Curvature(f));simplify(Torsion(f));
Hem de remarcar però que el signe de la torsió que utilitza el maple és l’oposat al que hem
introduït nosaltres a classe.
També podem calcular el triedre de Frenet en cada punt fent
TNBFrame(f);
§4.2 Visualització del triedre de Frenet d’una corba a l’espai. Considerem l’hèlix cilíndrica
anterior i representem el cilindre que la conté fent
cilindre:=plot3d([(cos(u),sin(u),v)],u=0..2*Pi,v=-Pi..2*Pi,
style=patchnogrid,transparency=0.7):
A continuació representem gràficament el cilindre, la corba i el seu triedre de Frenet animat
mitjançant
display(cilindre,TNBFrame(f, output=animation, scaling=constrained,
range=-2*Pi..4*Pi,frames=20, curveoptions=[numpoints=100,color=yellow],
tangentoptions=[color=green],normaloptions=[color=red],binormaloptions=[color=blue]));
Exercici 4.2.1. Feu una representació anàloga pel nus tòric
f:=
Feu també una representació gràfica de les seves funcions curvatura i torsió.
§4.3 Teorema fonamental de la teoria local de corbes planes. Considerem amb el maple es
sistema d’equacions diferencials ordinàries
amb condicions inicials
x ′ (s) = t(s), t ′ (s) = κ(s)n(s), n ′ (s) = −κ(s)t(s)
x(0) = (0, 0), t(0) = (1, 0), n(0) = (0, 1).
20

eq:=seq(diff(x[i](s),s)=t[i](s),i=1..2),
seq(diff(t[i](s),s)=kappa(s)*n[i](s),i=1..2),
seq(diff(n[i](s),s)=-kappa(s)*t[i](s),i=1..2);
ci:=x[1](0)=0,x[2](0)=0,t[1](0)=1,t[2](0)=0,n[1](0)=0,n[2](0)=1;
incong:={seq(x[i](s),i=1..2),seq(t[i](s),i=1..2),seq(n[i](s),i=1..2)};
A partir d’una funció curvatura κ(s) concreta podem integrar numèricament i representar
gràficament el resultat:
kappa:=s->1;
sol:=dsolve({eq,ci},incong,numeric,range=0..2*Pi);
corba:=odeplot(sol,[seq(x[i](s),i=1..2)],s=0..2*Pi,color=yellow,thickness=3,
scaling=constrained):
biedre:=proc(tt)
display(arrow(subs(sol(tt),[seq(x[i](s),i=1..2)]),
vector(subs(sol(tt),[seq(t[i](s),i=1..2)])),0.04,0.15,0.2,color=green),
arrow(subs(sol(tt),[seq(x[i](s),i=1..2)]),
vector(subs(sol(tt),[seq(n[i](s),i=1..2)])),0.04,0.15,0.2,color=red)) end:
animate(biedre, [tt],tt=0..2*Pi,scaling=constrained,background=corba);
Exercici 4.3.1. Repetiu tot el procediment anterior utilitzant ara com a condicions inicials una
base no ortonormal
ci:=x[1](0)=0,x[2](0)=0,t[1](0)=1,t[2](0)=0,n[1](0)=2,n[2](0)=1;
i veieu que no és la mateixa corba (per què?).
§4.4 Teorema fonamental de la teoria local de corbes a l’espai. Procedim de la mateixa
manera que per corbes planes, considerant les equacions de Frenet
x ′ (s) = t(s), t ′ (s) = κ(s)n(s), n ′ (s) = −κ(s)t(s) − τ(s)b(s), b ′ (s) = τ(s)n(s).
Exercici 4.4.1. Definiu una funció triedre anàloga a la funció biedre que hem considerat per
corbes planes. Integreu numèricament i representeu gràficament la corba (i el seu triedre de
Frenet) que té curvatura i torsió iguals a 1 amb condicions inicials
x(0) = (0, 0, 0), t(0) = (1, 0, 0), n(0) = (0, 1, 0), b(0) = (0, 0, 1).
Feu el mateix amb les condicions inicials que no formen base
x(0) = (0, 0, 0), t(0) = (1, 0, 0), n(0) = (0, 1, 0), b(0) = (1, 0, 0).
Exercici 4.4.2. Feu una representació gràfica de les funcions
kappa:=t->1.5+exp(-((t-12)/10)^2)+10*exp(-(t/3)^2)+exp(-((t+3)/10)^2):
tau:=t->5*exp(-(t-10)^2)+10*exp(-t^2)+5*exp(-(t+10)^2):
a l’interval [−15, 8]. Integreu numèricament i representeu gràficament una corba (i el seu
triedre de Frenet) que tingui curvatura kappa i torsió tau per aquest rang de valors.
21

§4.5 Esferes osculadores. Per cada punt x(0) d’una corba a l’espai existeix una esfera
que millor aproxima a la corba i que s’anomena esfera osculadora. Intentarem determinarla
utilitzat la mateixa tècnica que vàrem usar en el cas de corbes planes per determinar la
circumferència osculadora, és a dir, considerant el límit d’esferes secants que passen per tres
punts x(ε1), x(ε2), x(ε3) propers al punt x(0). El seu centre (que depèn de εi, i = 1, 2, 3)
es troba al punt d’intersecció dels tres plans (i = 1, 2, 3) que passen pel punt mig de x(εi)
i x(0) i que són perpendiculars al vector x(εi) − x(0). Finalment, passem al límit quan
(ε1, ε2, ε3) → (0, 0, 0).
restart:
x:=t->x[0]+x[1]*t+x[2]*t^2/2+x[3]*t^3/6:
y:=t->y[0]+y[1]*t+y[2]*t^2/2+y[3]*t^3/6:
z:=t->z[0]+z[1]*t+z[2]*t^2/2+z[3]*t^3/6:
eq:=epsilon->(x(epsilon)-x(0))*(xx-(x(epsilon)+x(0))/2)+
(y(epsilon)-y(0))*(yy-(y(epsilon)+y(0))/2)+
(z(epsilon)-z(0))*(zz-(z(epsilon)+z(0))/2)=0;
sol:=solve({seq(eq(epsilon[i]),i=1..3)},{xx,yy,zz}):
cx:=limit(limit(limit(subs(sol,xx),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);
cy:=limit(limit(limit(subs(sol,yy),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);
cz:=limit(limit(limit(subs(sol,zz),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);
radi:=simplify((cx-x[0])^2+(cy-y[0])^2+(cz-z[0])^2);
Com que el resultat d’aquest primer intent no és satisfactori hem de filar mes prim. La idea és
utilitzar la forma local de x(s) parametritzada per l’arc i en coordenades adaptades al triedre
de Frenet de la corba en el punt corresponent al paràmetre arc s = 0:
x(s) = x(s)t(0) + y(s)n(0) + z(s)b(0).
Per això trobarem l’expressió de x(0), x ′ (0), x ′′ (0) i x ′′′ (0) en funció de t(0), n(0) i b(0):
frenet:=[diff(X(s),s)=T(s),diff(T(s),s)=kappa(s)*N(s),
diff(N(s),s)=-kappa(s)*T(s)-tau(s)*B(s),diff(B(s),s)=tau(s)*N(s)]:
g:=X->applyrule(frenet,expand(X)):
collect((g@@i)(diff(X(s),s$i)),[T(s),N(s),B(s)])$i=0..3;
Així obtenim el mateix resultat que havíem vist a classe de teoria:
x:=s->s-kappa[0]^2*s^3/6:
y:=s->kappa[0]*s^2/2+kappa[1]*s^3/6:
z:=s->-kappa[0]*tau[0]*s^3/6:
on kappa[0], kappa[1] i tau[0] són els valors de la curvatura, la derivada de la curvatura i la
torsió en el punt de paràmetre s = 0. Calculem les coordenades del centre de la esfera que passa
pels punts corresponents als parametres s=0, s=epsilon[1], s=epsilon[2] i s=epsilon[3]
i passem al límit quan εi → 0 per obtenir les coordenades del centre de la esfera osculatriu:
sol:=solve({seq(eq(epsilon[i]),i=1..3)},{xx,yy,zz}):
cx:=limit(limit(limit(subs(sol,xx),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);
cy:=limit(limit(limit(subs(sol,yy),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);
cz:=limit(limit(limit(subs(sol,zz),epsilon[1]=0),epsilon[2]=0),epsilon[3]=0);
radi:=sqrt(cx^2+cy^2+cz^2);
22

També podem considerar una aproximació diferent, utilitzant la teoria del contacte. Més
concretament, es tracta de trobar els valors de les coordenades del centre c=(cx,cy,cz) i
el radi r per que la funció f:=s->(x(s)-cx)^2+(y(s)-cy)^2+(z(s)-cz)^2-r^2 sigui el més
plana possible al voltant de s = 0. Com tenim quatre paràmetres lliures, podem imposar les
quatre condicions f(0) = 0, f ′ (0) = 0, f ′′ (0) = 0 i f ′′′ (0) = 0:
x:=s->s-kappa[0]^2*s^3/6+O(s^4):
y:=s->kappa[0]*s^2/2+kappa[1]*s^3/6+O(s^4):
z:=s->-kappa[0]*tau[0]*s^3/6+O(s^4):
cx:=’cx’:cy:=’cy’:cz:=’cz’:radi:=’radi’:
f:=series((x(s)-cx)^2+(y(s)-cy)^2+(z(s)-cz)^2-radi^2,s=0,4);
sol:=solve([coeffs(convert(f,’polynom’),s)],[cx,cy,cz,radi]);
Exercici 4.5.1. En un punt genèric, travessa la corba la seva esfera osculatriu?
§4.6 Representació gràfica de les esferes osculatrius d’una corba. Tornem a la situació inicial
restart:with(Student[VectorCalculus]):with(plots):with(plottools):
i considerem la corba (nus tòric)
f:=:
a la que calculem les seves funcions curvatura i torsió que representem gràficament per
assegurar-nos que no s’anul.len mai:
kappa:=simplify(Curvature(f)):tau:=-simplify(Torsion(f)):
plot([kappa,tau],t=0..2*Pi,color=[red,blue]);
Considerem també el seu triedre de Frenet i el coeficient λ = κ′
κ2 . Aquí la prima denota
τ
derivada respecte del paràmetre arc. Com que la parametrització de la que disposem no ho és
hem d’aplicar la regla de la cadena: d dt d
ds = ds
d
dt = 1 d
dt .
dt = 1 ds
dt
f ′ (t)
F:=[TNBFrame(f)]:
lambda:=simplify(kappa/sqrt(DotProduct(diff(f,t),diff(f,t)))/(kappa^2*tau)):
A continuació definim el següent procediment per representar gràficament les esferes osculatrius
d’una corba:
esfosc:=(f,F,kappa,tau,lambda)->proc(tt) local c,r:
c:=simplify(subs(t=tt,f+1/kappa*F[2]+lambda*F[3]));
r:=simplify(subs(t=tt,sqrt(1/kappa^2+lambda^2)));display(
plot3d(subs(t=tt,c+),
theta=0..2*Pi,phi=-Pi/2..Pi/2,grid=[15,7],color=gold,scaling=constrained,
style=wireframe),arrow((subs(t=tt,f)),subs(t=tt,F[1]),0.1,0.15,0.2,color=green),
arrow((subs(t=tt,f)),subs(t=tt,F[2]),0.1,0.15,0.2,color=red),
arrow((subs(t=tt,f)),subs(t=tt,F[3]),0.1,0.15,0.2,color=blue)) end:
el qual podem utilitzar de manera “animada” fent:
animate(esfosc(f,F,kappa,tau,lambda),[tt],tt=0..2*Pi,background=
spacecurve(f,t=0..2*Pi,numpoints=200),scaling=constrained,frames=80);
23

§4.7 Corbes esfèriques.
Exercici 4.7.1. Proveu que una corba és esfèrica (i.e. està continguda en una esfera) si i només
si els centre i els radis de les seves esferes osculatrius són constants.
Exercici 4.7.2. Proveu que si els radis de les esferes osculatrius d’una corba són constants automàticament
els seus centre ho són també i per tant es tracta d’una corba esfèrica. Indicació:
kappa:=’kappa’:tau:=’tau’:frenet:=[diff(X(s),s)=T(s),diff(T(s),s)=kappa(s)*N(s),
diff(N(s),s)=-kappa(s)*T(s)-tau(s)*B(s),diff(B(s),s)=tau(s)*N(s)]:
centre:=X(s)+N(s)/kappa(s)+diff(kappa(s),s)*B(s)/(kappa(s)^2*tau(s));
radi_al_quadrat:=1/kappa(s)^2+diff(kappa(s),s)^2/(kappa(s)^4*tau(s)^2);
collect(applyrule(frenet,expand(diff(centre,s))),[T(s),N(s),B(s)]);
Exercici 4.7.3. Sigui x(s) una corba parametritzada per l’arc. Si x(s) està continguda en
l’esfera unitat x 2 + y 2 + z 2 = 1 proveu que les seves funcions curvatura i torsió verifiquen que
κ(s) = 1 + k(s) 2 i τ(s) = ±k′ (s)
, (4.1)
1 + k(s) 2
on k(s) = det(x(s), x ′ (s), x ′′ (s)). Interpreteu físicament la magnitud k(s).
Exercici 4.7.4. Recíprocament, proveu que si la curvatura i la torsió d’una corba x(s) parametritzada
per l’arc a R 3 es poden expressar com (4.1) aleshores x(s) està continguda en una
esfera de radi 1.
Exercici 4.7.5. Descriviu les corbes esfèriques amb curvatura i torsió donades per (4.1) amb
k(s) = 0 i k(s) = 1.
Exercici 4.7.6. Utilitzeu els procediments anteriors per representar gràficament una corba
parametritzada per l’arc amb curvatura i torsió donades per (4.1) amb k(s) = s √ . Trobeu
1−s2 el centre de l’esfera on està continguda i representeu-la gràficament juntament amb la corba.
§4.8 Teorema de Fary-Milnor. En el seminari 2 vàrem veure que la curvatura total d’una
corba tancada simple del pla de longitud ℓ prenia sempre el mateix valor
ℓ
κ(s) ds = 2π.
0
És fàcil trobar exemples en els que això no es compleix a R 3 , on la curvatura κ(s) sempre és
positiva i no hi ha cap cancel . lació possible a l’integral anterior. Existeix però un interessant
teorema (provat independentment per István Fáry i John Milnor en 1949 i 1950 respectivament)
que relaciona la curvatura total d’una corba tancada a l’espai amb el fet de descriure un
nus no trivial i que concreta l’implicació: Topologia complicada =⇒ Geometria complicada.
Teorema 4.1 (Fary-Milnor). Si Γ ⊂ R3 és una corba tancada que descriu un nus no trivial
aleshores la seva curvatura total
κ ds és més gran que 4π.
Γ
Podem il . lustrar aquest teorema amb el càlcul de la curvatura total d’alguns nusos tòrics
f:=(n,m)->:
fent variar el paràmetre t entre 0 i
n
és trivial si i només si = 1 o
m
gcd(m,n)
2π
gcd(m,n)
gcd(m,n)
. Es pot comprovar que un nus tòric de tipus (m, n)
= 1.
Exercici 4.8.1. Calculeu la curvatura total dels nusos tòrics amb n, m ∈ {1, 2, 3, 4} i comproveu
que es compleix el teorema de Fary-Milnor.
24

5 Sessió de problemes de corbes a l’espai
§5.1 Esferes osculadores. Sigui α(s) una corba parametritzada per l’arc tal que la seva
curvatura κ(s) i la torsió τ(s) no s’anul . len en cap punt. S’anomena esfera osculadora de
α en el punt α(s0) al límit d’esferes secants que passen per α(s0) i tres punts pròxims. Al
seminari anterior heu vist (amb ajuda del maple) que el centre de l’esfera osculadora és :
c(s) = α(s) + 1 −→ κ
n (s) +
κ(s)
′ (s)
κ2 −→
b (s) (5.1)
(s)τ(s)
1. Proveu que una corba està continguda en una esfera si i només si totes les seves esferes
osculadores coincideixen.
2. Trobeu el radi de l’esfera osculadora.
3. Siguin R(s) = 1
κ(s)
i T (s) = 1
τ(s) , suposant que R′ = 0 demostreu que α és una corba
esfèrica si i només si R 2 + (T R ′ ) 2 = a 2 , on a és una constant. Indicació: demostreu que
radi constant implica centre constant i per això deriveu les fórmules (5.1) i l’obtinguda
a l’apartat 2.
Figura 5.1: Esfera osculadora d’un nus tòric.
§5.2 Corbes esfèriques. Sigui α(s) una corba parametritzada per l’arc continguda en l’esfera
unitat
x 2 + y 2 + z 2 = 1.
1. Proveu que les seves funcions curvatura i torsió verifiquen
κ(s) = 1 + k(s) 2 i τ(s) = ±k′ (s)
, (5.2)
1 + k(s) 2
on k(s) = det(α(s), α ′ (s), α ′′ (s)). Interpreteu físicament la magnitud k(s).
2. Proveu que els vectors α(s),t(s), it(s) := α(s) × t(s) formen una base ortonormal i
verifiquen el següent sistema d’equacions diferencials
⎧
⎨
⎩
α ′ (s) = t(s)
t ′ (s) = −α(s) + k(s)it(s)
it ′ (s) = −k(s)t(s)
25

3. Recíprocament, proveu que si la curvatura i la torsió de α(s) es poden expressar com
(5.2) aleshores α(s) està continguda en una esfera de radi 1.
4. Descriviu les corbes esfèriques amb curvatura i torsió donades per (5.2) amb k(s) = k0
constant.
Figura 5.2: Hèlix sobre l’esfera.
§5.3 Hèlixs. Una hèlix és una corba tal que les seves tangents formen un angle constant
amb una direcció fixada (aquesta és la direcció de l’eix de l’hèlix).
Figura 5.3: Projecció d’una hèlix cònica sobre una espiral logarítmica.
1. Proveu que α és una hèlix si i només si les seves normals són paral . leles a un pla fixat.
2. Demostreu que si la torsió no s’anul . la, llavors κ
τ igual a constant caracteritza el fet de
ser hèlix.
3. Proveu que tota hèlix α es pot escriure com α(s) = β(s)+s v on β(s) és una corba plana
continguda en un pla perpendicular a l’eix de α.
26

4. Trobeu la corba plana associada a una hèlix sobre un con d’eix el de l’hèlix.
5. Comproveu que la corba α(t) = (a cos t, a sin t, bt) és una hèlix. Trobeu l’eix i la corba
plana associada.
Figura 5.4: La barana d’una escala de cargol és una hèlix cilíndrica. (Sagrada Família de
Barcelona.)
6. Considereu la corba parametritzada α(t) = (cosh t, sinh t, t), t ∈ R. Trobeu-ne la curvatura
i la torsió. Demostreu que α és una hèlix.
7. Caracteritzeu la curvatura i la torsió de totes les hèlixs esfèriques.
Figura 5.5: A la natura trobem exemples d’hèlix com ara l’hèlix cònica.
§5.4 Corbes de Bertrand. En 1848 J. Bertrand va considerar la següent relació entre dues
corbes α, ¯α : I → R 3 . Direm que α i ¯α són una parella de corbes de Bertrand si i només si les
rectes normals a α(t) i ¯α(t) coincideixen per tot t ∈ I. Una corba es diu de Bertrand si admet
una parella de Bertrand diferent d’ella mateixa.
1. Proveu que una hèlix circular α(t) = (a cos t, a sin t, b t) és de Bertrand i admet una
infinitat de parelles de Bertrand.
27

Figura 5.6: El model d’ADN és un exemple de doble hèlix on les dues hèlixs són parelles de
Bertrand. (Museu de les Ciències de Valencia.)
Sigui α : I → R 3 una corba de Bertrand amb curvatura i torsió mai nules.
2. Proveu que la distància entre α(t) i ¯α(t) és una constant a.
3. Proveu que l’angle entre els vectors tangents tα(t) i t¯α(t) també és una constant θ.
4. La curvatura k(t) i la torsió τ(t) de α satisfan la relació
k(t) ± τ(t) cot(θ) = ± 1
a .
5. Recíprocament, si la curvatura i la torsió d’una corba α satisfan la relació
P k(t) + Q τ(t) = R
per certes constants no nules P, Q, R, aleshores α és de Bertrand.
6. Proveu que si una corba de Bertrand α admet més d’una parella aleshores les seves
curvatura i torsió són constants, i per tant, es tracta d’una hèlix circular.
7. Proveu que el producte de les torsions de dos parelles de Bertrand és constant.
8. Sigui u(t) una corba continguda en l’esfera de radi 1 parametritzada per l’arc i a, θ
constants. Proveu que
α(t) = a u(t) dt + a cot(θ) u(t) × u ′ (t) dt
defineix una corba de Bertrand i descriviu la seva parella.
9. Intenteu trobar (maple, llibres, articles, internet,...) una representació gràfica d’una
parella de Bertrand que no sigui la doble hèlix.
28

6 Tubs. Teoremes de Fenchel i de Fary-Milnor.
§6.1 Corbes paral . leles en el pla. Donada una corba γ al pla, regular, unitària i de longitud
L es considera la corba γɛ(t) = γ(t) + ɛn(t).
Exercici 6.1.1. Per quins valors de ɛ podem assegurar que γɛ és regular?
Exercici 6.1.2. Doneu una expressió per la longitud de γɛ (fet en un altre pràctica).
Exercici 6.1.3. Suposeu que γ és la frontera d’un conjunt convex K. Considerem la corba
paral . lela exterior a distància r. Calculeu la longitud de γr.
Figura 6.1: Corbes paral . leles
§6.2 Area d’un convex paral . lel. Sigui K un convex compacte del pla i Kr el conjunt de
punts a distància menor o igual que K.
Exercici 6.2.1. Suposant que la frontera de K és una corba regular, trobeu una expressió Ar
per l’àrea de Kr.
Exercici 6.2.2. Compareu aquest resultat amb l’àrea del convex paral . lel a distància r d’un
polígon. Com són els coeficients del polinomi obtingut?
Figura 6.2: Convex paral . lel a un polígon
§6.3 Superfície paral . lela Sigui S una superfície regular parametritzada amb normal unitari
n. Per un cert ɛ considerem la superfície Sɛ formada pels punts x + ɛn(x) on x ∈ S.
Exercici 6.3.1. Proveu que per ɛ prou petit Sɛ és superfície regular.
29

Exercici 6.3.2. Doneu el valors de les curvatures normals de Sɛ en el punt x + ɛn(x) en funció
de les curvatures normals a x ∈ S.
Exercici 6.3.3. Quina relació hi ha entre les curvatures de Gauss de S i Sɛ?
Suposem ara que S és la frontera d’un conjunt convex K.
Exercici 6.3.4. Calculeu l’àrea de Sɛ si el normal que es considera és el normal exterior.
Exercici 6.3.5. Si Kr és el lloc geomètric dels punts a distància menor o igual a r de K, proveu
la formula de Steiner pel volum Vr de Kr:
Vr = V + Ar + H r 2 + 4π
3 r3
on H és la curvatura mitjana de S.
Exercici 6.3.6. Si K és un poliedr convex (per exemple un paral . lel . lepíped), trobeu el volum
de Kr i compareu els coeficients amb els obtinguts a la formula de Steiner. Que podeu dir del
coeficient que acompanya a r 2 ?
Nota: Hi ha un article molt bonic amb títol What is the length of a potato? An introduction
to geometric measure theory de Stephen H Schanuel (Lecture Notes in Math. (1986) vol. 1174
pp. 118-126) en el qual es justifica que el coeficient de r 2 s’anomeni longitud del convex (de la
patata). De fet, es pot demostrar que aquest coeficient és proporcional a l’amplada mitjana
del convex, és a dir, el promig de les longituds de les projeccions de K sobre totes les rectes
que passen per l’origen.
§6.4 Superfície tubular d’una corba a l’espai. Si γ és una corba unitària i regular a R 3 es
considera la superfície Tr donada per la parametrització
És la superfície tubular a distància r de γ.
ϕr(u, v) = γ(u) + r cos(v)n(u) + r sin(v)b(u).
Nota: En general pot ser que r sigui una funció de u però en aquest seminari la considerem
constant. Amb maple podeu utilitzar la comanda tubeplot per dibuixar tubs.
S
Figura 6.3: Tub
Exercici 6.4.1. Doneu l’expressió de la primera forma fonamental i de l’element d’àrea de Tr.
30

Exercici 6.4.2. Si r és prou petit i γ és tancada, trobeu l’àrea de la superfície tubular.
Exercici 6.4.3. Doneu una expressió per la segona forma fonamental de Tr.
Exercici 6.4.4. Trobeu la curvatura de Gauss i la curvatura mitjana.
§6.5 Volum d’un tub a l’espai. Si γ és corba regular tancada a R 3 i r és prou petit, trobeu
el volum del lloc geomètric dels punts a distància menor o igual a r de γ. Observeu que Tr és
la frontera d’aquest conjunt.
Exercici 6.5.1. Trobeu el volum d’un tor fent el càlcul directe i comparant després amb la
fórmula pel volum dels tubs.
§6.6 Teorema de Fenchel. Sabem d’un seminari anterior que per tota corba γ regular plana
i simple es te que
k = 2π. Suposem ara que γ és una corba a l’espai. Si γ és plana tenim
γ
la curvatura kR2 com a corba plana i la curvatura kR3 com a corba de l’espai. La primera té
signe i la segona és sempre positiva (o potser nul . la).
Exercici 6.6.1. Proveu que si γ és una corba de l’espai, continguda en un pla i simple, llavors
k R3
≥ 2π
i que la igualtat es dona si i només si γ és convexa.
γ
En un apartat anterior heu vist que si Tɛ és el tub de γ amb radi ɛ, es te que l’element d’àrea
i la curvatura de Gauss són
k(u) cos(v)
dAɛ = ɛ|1 − ɛk(u) cos(v)|du dv, K = −
ɛ(1 − ɛk(u) cos(v))
respectivament. A més, si ɛ és prou petit (com?) podem considerar |1 − ɛk(u) cos(v)| =
1 − ɛk(u) cos(v). Sigui R la regió del tub Tɛ en la qual K ≥ 0.
Exercici 6.6.2. Proveu que
R K = 2 γ k.
Exercici 6.6.3. Sigui S superfície regular, compacta orientada i de classe C2 . Proveu que per
cada v ∈ S2 (vector unitari) existeix al menys un punt p ∈ S amb curvatura de Gauss no
negativa tal que v = n. Deduïu d’aquí que
k ≥ 2π.
Això és la primera part del teorema de Fenchel. Veiem ara quan es dona la igualtat.
γ
Per cada u sigui Γu la imatge per l’aplicació de Gauss del meridià v → γɛ(u, v). Denotem per
Γ + u la part de Γu provinent dels punts on la curvatura de Gauss és no negativa.
Exercici 6.6.4. Proveu que Γ + u és un semicercle màxim i que els seus extrems són la imatge
per l’aplicació de Gauss de la intersecció de la recta binormal en γ(u) amb Tɛ.
Exercici 6.6.5. Proveu que si γ és plana i convexa tots els Γ + u passen per punts fixats p i q de
l’esfera S 2 . Qui són aquests punts?
Exercici 6.6.6. Suposem que
γ k = 2π. Imagineu que els semicercles Γ+ u no passen tots per
punts fixats p i q. Deduïu que han d’existir com a mínim dos punt a Tɛ amb mateixa imatge
per l’aplicació de Gauss. Proveu en aquest cas que la integral de curvatura és més gran que
2π.
Això contradiu la hipòtesi
γ k = 2π. Llavors en aquest cas ha de passar que tots els Γ+ u tenen
per extrems dos punts fixats i antipodals p i q de l’esfera.
31

Exercici 6.6.7. Proveu que si
γ k = 2π la corba ha de ser plana. Proveu a més que la corba
ha de ser convexa.
Finalment hem demostrat el famós
Teorema. (Fenchel) La curvatura total d’una corba tancada i simple és més gran o igual que
2π. La igualtat es dona si i només si la corba és plana i convexa.
§6.7 Teorema de Fary-Milnor. Donem en aquest apartat indicacions per provar el teorema
de Fary-Milnor. Queda com treball optatiu la entrega d’aquest apartat.
Definició. Diem que una corba γ tancada i simple de R 3 no forma un nus (no nuada) si
existeix una aplicació contínua H : S 1 × [0, 1] → R 3 tal que:
• H(S 1 × {0}) = S 1 (aquí S 1 cercle al pla z = 0 per exemple),
• H(S 1 × {1}) = γ,
• H(S 1 × {t}) = γt ⊂ R 3 és homeomorfa a S 1 per tot t.
Teorema. (Fary-Milnor) La curvatura total d’una corba, tancada, simple i nuada és més gran
que 4π.
Per tant: més topologia implica més curvatura!
Podeu trobar una demostració d’aquest teorema al llibre de do Carmo o l’article de Chern:
Curves and surfaces in Euclidean space. Studies in Global Geometry and Analysis (1967)
Figura 6.4: Tota direcció te algun pla tangent perpendicular
32

7 Geodèsiques i altres corbes especials sobre superfícies
§7.1 Equacions d’Euler-Lagrange. La formulació lagrangiana de la mecànica clàssica s’obté
a partir de l’acció A(α) = b
a L(α, α′ ) dt, on L = T −V és la funció de Lagrange (energia cinètica
T (α ′ ) = 1
2mα′ 2 menys energia potencial V (α)). La trajectòria real α(t) d’una partícula
verifica que A(α) és mínima: és el conegut principi de mínima acció. De manera equivalent,
hem d’imposar que per tota variació δα de α que s’anul . li als extrems (δα = δα t=a = 0) t=b
la variació infinitesimal δA = A(α + δα) − A(α) de A ha de ser zero:
b
0 = δA =
a
∂L
∂α
utilitzant que d
∂L
dt ∂α ′ δα = d
dt
∂L d
−
∂α dt
b
∂L
∂L
δα + δα′ dt =
∂α ′
a
∂α ′
t=b ∂L
δα dt + δα ,
∂α ′
t=a
∂L
∂α ′
∂L δα+ ∂α ′ δα ′ resulten doncs les equacions d’Euler-Lagrange:
∂L
−
∂αi
d
∂L
= 0. (7.1)
dt
Exercici 7.1.1. Comproveu que si la força exterior prové d’un potencial V , i.e. F = −∇V =
−( ∂V ∂V ∂V , , ), aleshores la segona llei de Newton F = ma és equivalent a les equacions
∂x1 ∂x2 ∂x3
(7.1).
§7.2 Equacions d’Hamilton. La formulació hamiltoniana de la mecànica clàssica s’obté a
partir de la funció hamiltoniana H(q, p) = T (p)+V (q), on qi = xi són les posicions i pi = m dxi
dt
són les components del moment lineal, mitjançant les equacions de Hamilton:
d qi
dt
∂H
= ,
∂pi
∂α ′ i
d pi
dt
= −∂H . (7.2)
∂qi
Exercici 7.2.1. Comproveu que les equacions (7.2) són equivalents a les equacions (7.1). Utilitzant
aquestes comproveu que l’energia total del sistema H = T + V es manté constant al
llarg de les trajectòries.
Exercici 7.2.2. Considerem una partícula de massa unitat que es mou sobre una superfície
regular S ⊂ R 3 parametritzada localment per x(u, v). Si descrivim la seva trajectòria α(t) en
coordenades locals mitjançant t ↦→ (u(t), v(t)) escriviu quina és la seva energia cinètica.
Si no hi ha cap força exterior aleshores l’energia potencial és zero i la funció de Lagrange
associada és justament l’energia cinètica
L(u, v, u ′ , v ′ ) = E(u, v) (u′ ) 2
2 + F (u, v)u′ v ′ + G(u, v) (v′ ) 2
2 .
Exercici 7.2.3. Escriviu les equacions d’Euler-Lagrange del moviment
∂L d
−
∂u dt
∂L
= 0,
∂u ′
∂L
∂v
d ∂L
− = 0 (7.3)
dt ∂v ′
i comproveu que són equivalents a imposar que α ′′ no té component tangent a S. Per això
considereu l’expressió de l’acceleració utilitzant els símbols de Christoffel Γk ij de S associats a
la parametrització x:
α ′′ = (u ′′ + Γ 1 11(u ′ ) 2 + 2Γ 1 12u ′ v ′ + Γ 1 22(v ′ ) 2 )xu + (v ′′ + Γ 2 11(u ′ ) 2 + 2Γ 2 12u ′ v ′ + Γ 2 22(v ′ ) 2 )xv
33
+ (e(u ′ ) 2 + 2fu ′ v ′ + g(v ′ ) 2 )N

i comproveu que el sistema d’equacions 〈α ′′ , xu〉 = 0, 〈α ′′ , xv〉 = 0 equival a les equacions (7.3)
utilitzant les expressions dels símbols de Christoffel en funció de E, F, G i les seves derivades:
EΓ1 11 + F Γ2 Eu
11 = 2
F Γ1 11 + GΓ211 = Fu − Ev
2
EΓ1 12 + F Γ212 F Γ1 12 + GΓ212 Ev
= 2
Gu
= 2
EΓ1 22 + F Γ222 = Fv − Gu
2
F Γ1 22 + GΓ222 = Gv
2
Així doncs les trajectòries d’una partícula que es mou lliurement sobre la superfície S són
aquelles sobre les quals l’acceleració tangent a S és zero, i.e. les geodèsiques de S.
Exercici 7.2.4. Comproveu que la conservació de l’energia en aquest cas es tradueix en el fet
de que la velocitat escalar és constant al llarg de les geodèsiques.
Exercici 7.2.5. Vegeu que les geodèsiques també són extremals del funcional longitud L(α) =
α ′ (t) dt. Considereu una corba α0(t) parametritzada per l’arc t ∈ [0, ℓ] i una variació
s ∈ (−ε, ε) ↦→ αs(t) amb extrems fixes, αs(0) = α0(0) i αs(ℓ) = α0(ℓ) per tot s ∈ (−ε, ε), i
comproveu, integrant per parts, que la variació de L satisfà la següent relació:
∂
L(αs) =
∂s s=0 1
ℓ ∂
2 ∂s
0
s=0 〈α ′ s(t), α ′ s(t)〉 dt = −
ℓ
〈 ∂
∂s
0
s=0 αs, ∂2
∂t 2 α0〉 dt.
Exercici 7.2.6. Escriviu les equacions de les geodèsiques sobre una superfície de revolució
parametritzada per x(u, v) = (ρ(u) cos v, ρ(u) sin v, ζ(u)).
Exercici 7.2.7. Comproveu que una de les dues equacions expressa la conservació d’una certa
quantitat al llarg de les geodèsiques. Interpreteu geomètrica i físicament aquesta quantitat
(teorema de Clairaut).
§7.3 Geodèsiques i línies assimptòtiques sobre superfícies de revolució. A continuació, considerarem
les següents superfícies de revolució:
(i) l’hiperboloide d’un full S = {x 2 + y 2 − z 2 = 1};
(ii) el catenoide S = {x 2 + y 2 = cosh 2 z};
(iii) el tor S = {( x 2 + y 2 − a) 2 + z 2 = r 2 }.
Exercici 7.3.1. Parametritzeu cadascuna d’elles i trobeu els coeficients e(u, v), f(u, v) i g(u, v)
de la seva segona forma fonamental.
Exercici 7.3.2. Plantejeu l’equació diferencial II(α ′ (t)) = 0 que satisfan les línies asimptòtiques
escrivint α ′ = xu u ′ + xv v ′ .
Exercici 7.3.3. Busqueu les solucions de la forma v = h(u) + c, c ∈ R i obtingueu expressions
adients per les funcions h : R → R en cada cas.
Exercici 7.3.4. Representeu gràficament el resultat amb les comandes següents de maple:
with(plots):phi:=(u,v)->[?*cos(v),?*sin(v),?]:h:=v->int(?,u=?..v):
dib0:=plot3d(phi(u,v),u=?..?,v=0..2*Pi,transparency=0.5,style=PATCHNOGRID):
dib1:=seq(spacecurve(phi(v,h(v)+2*Pi/10*i),v=?..?,thickness=3,color=red,
numpoints=100),i=1..10):dib2:=seq(spacecurve(phi(v,-h(v)+2*Pi/10*i),v=?..?,
thickness=3,color=blue,numpoints=100),i=1..10):
display([dib0,dib1,dib2],scaling=constrained);
34

Figura 7.1: Línies asimptòtiques del tor de revolució.
Exercici 7.3.5. A partir de l’expressió obtinguda a l’exercici 7.7, resoleu numèricament i
representeu gràficament algunes geodèsiques sobre el tor de revolució a partir de condicions
inicials concretes:
eq:=diff(u(t),t$2)+...=0,diff(v(t),t$2)+...=0:T:=50;theta:=0.3;
ci:=u(0)=0.5,v(0)=0,D(u)(0)=cos(theta),D(v)(0)=sin(theta);
sol:=dsolve({op(subs([R=2,r=1],eqns)),ci},range=0..T,numeric):
with(plots):sup:=plot3d([x(u,v),y(u,v),z(u,v)],u=...,v=...,style=
patchnogrid,transparency=0.5,scaling=constrained,axes=none):
geo:=odeplot(sol, [x(u(t),v(t)),y(u(t),v(t)),z(u(t),v(t)),color=
blue,thickness=2],0..T,frames=5*T):display([sup,geo],view=[...]);
Figura 7.2: Geodèsica del tor de revolució.
§7.4 Estudi de l’el . lipsoide de tres eixos amb maple. Finalment, anem a estudiar les línies
de curvatura d’una de les superfícies més senzilles que no sigui de revolució: l’el . lipsoide de
tres eixos
x2 y2 z2
+ + = 1, 0 < a < b < c.
a2 b2 c2 Carreguem els packages que necessitem i introduïm la parametrització usual:
with(VectorCalculus):with(linalg):with(plots):
x:=:
35

A continuació calculem els vectors tangents xu, xv i els coeficients E, F, G de la primera forma
fonamental:
xu:=simplify(diff(x,u),trig);xv:=simplify(diff(x,v),trig);
E:=simplify(DotProduct(xu,xu),trig);F:=simplify(DotProduct(xu,xv),trig);
G:=simplify(DotProduct(xv,xv),trig);
Després calculem el vector normal unitari N, les derivades segones xuu, xuv, xvv de la parametrització
x i els coeficients e, f, g de la segona forma fonamental:
N:=simplify(CrossProduct(xu,xv)/sqrt(E*G-F^2),trig);
xuu:=simplify(diff(x,u,u),trig);xuv:=simplify(diff(x,u,v),trig);
xvv:=simplify(diff(x,v,v),trig);
e:=simplify(DotProduct(xuu,N),trig);f:=simplify(DotProduct(xuv,N),trig);
g:=simplify(DotProduct(xvv,N),trig);
Finalment, utilitzem l’expressió
dv 2 −du dv du 2
E F G
e f g
de l’equació diferencial per les línies de curvatura:
= 0
eq1:=simplify(numer(det([[dv^2,-du*dv,du^2],[E,F,G],[e,f,g]])),trig);
eq:=simplify(eq1/cos(u)^2/a/b/c,trig);sol:=[solve(subs(dv=1,eq),du)];
Figura 7.3: Algunes línies de curvatura de l’el . lipsoide d’eixos 1, 2, 3 calculades numèricament
amb maple.
Substituïm els valors concrets a = 1, b = 2, c = 3 resolem numèricament l’equació diferencial
(un cop aïllada u en funció de v) numèricament i representem gràficament el resultat:
eq2:=simplify(subs([u=u(v),a=1,b=2,c=3],sol[1]),trig);
dsol:=dsolve({eq2=diff(u(v),v),u(0.01)=0.7},numeric,range=0.01..1.57);
corba:=odeplot(dsol,convert(subs([a=1,b=2,c=3,u=u(v)],x),’list’),0.01..1.57,
36

thickness=3,color=red):
sup:=plot3d(convert(subs([a=1,b=2,c=3],x),’list’),u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi,
scaling=constrained,style=patchnogrid):
display(corba,sup);
Podem iterar aquest procés amb diferents condicions inicials i també aïllant v en funció de u.
El resultat s’aprecia a la Figura 3.
§7.5 Línies de curvatura i geodèsiques sobre l’el . lipsoide de tres eixos. Finalment, anem a
estudiar amb més detall les línies de curvatura i les geodèsiques de l’el . lipsoide de tres eixos
x2 1
E0 :=
= 1 , amb 0 < a1 < a2 < a3.
a1
+ x22 +
a2
x23 a3
Per fer això, considerem la família de quàdriques
x2 1
Eλ :=
a1 − λ + x22 a2 − λ + x2
3
= 1
a3 − λ
parametritzades per λ ∈ R \ {a1, a2, a3}. Com que el que ve a continuació és una mica llarg
queda com treball optatiu l’entrega d’aquest apartat.
Exercici 7.5.1. Descriviu quins tipus de quàdrica és Eλ en funció del paràmetre λ.
Figura 7.4: Tres quàdriques diferents de la família Eλ.
Exercici 7.5.2. Comproveu que tot punt (x1, x2, x3) de R 3 amb x1x2x3 = 0 pertany a exactament
tres quàdriques (de tipus diferent). Proveu que els vectors normals a cadascuna d’elles
són dos a dos ortogonals. Això és el que es coneix amb el nom de sistema triplement ortogonal
de superfícies.
Exercici 7.5.3. Doneu altres exemples de sistemes triplement ortogonals.
Exercici 7.5.4. Proveu el teorema de Dupin: les superfícies d’un sistema triplement ortogonal
es tallen seguint les seves línies de curvatura.
37

Figura 7.5: Les línies de curvatura de l’el . lipsoide E0 són les corbes interseccions amb les altres
quàdriques de la família Eλ.
Figura 7.6: Tota recta tangent a dues quàdriques de la família és ortogonal a les dues.
Exercici 7.5.5. Proveu que si una recta de R3 és tangent a dues quàdriques Eλ i Eλ ′ diferents
aleshores els plans tangents en els punts de contacte són ortogonals.
Exercici 7.5.6. Proveu que per tot x ∈ E0 i v ∈ TxE0 amb v = 1, existeixen λ(x, v) ∈ [a1, a3]
i µ(x, v) ∈ R tals que la recta x + 〈v〉 és tangent a E λ(x,v) en el punt x + µ(x, v)v.
Exercici 7.5.7. Proveu el teorema de Chasles: Sigui α(t) una corba parametritzada per l’arc
continguda en E0. Aleshores α(t) és una geodèsica si i només si λ(α(t), α ′ (t)) no depèn de t.
38

8 Sessió de problemes sobre superfícies
§8.1 Superfícies de revolució. El conjunt de punts descrit per una corba plana regular
C ⊂ Π al girar sobre un eix contingut en el pla Π i que no talla a la corba C és una superfície
regular anomenada superfície de revolució generada per la corba C.
Exercici 8.1.1. Proveu que si C = {(x, 0, z) ∈ Π = {y = 0} ⊂ R 3 , f(x, z) = 0} i es
pren com a eix de gir Oz aleshores la superfície de revolució generada per C ve donada per
S = {(x, y, z) ∈ R 3 , f( x 2 + y 2 , z) = 0}. Trobeu una equació de la superfície de revolució
generada per una circumferència que no contingui en el seu interior l’origen de coordenades.
Exercici 8.1.2. Demostreu que si α(u) = (a(u), 0, b(u)) és una parametrització regular de C
aleshores
x(u, v) = (a(u) cos v, a(u) sin v, b(u))
és una parametrització regular de S. Les corbes coordenades d’aquesta parametrització s’anomenen
paral.lels si u = u0 i meridians si v = v0. Trobeu una parametrització regular del
tor en funció dels seus dos radis.
A partir d’ara suposarem que a(u) > 0 i que α(u), u ∈ [0, ℓ], està parametritzada per l’arc.
Exercici 8.1.3. Trobeu la primera forma fonamental d’una superfície de revolució utilitzant la
parametrització x anterior.
Exercici 8.1.4. Comproveu el teorema de Pappus: l’àrea de S ve donada per 2π ℓ
0 a(u)du.
Trobeu l’àrea del tor en funció dels seus dos radis.
Exercici 8.1.5. Calculeu el símbols de Christoffel i les equacions de les geodèsiques de S.
Exercici 8.1.6. Comproveu que els meridians d’una superfície de revolució són geodèsiques.
Exercici 8.1.7. Proveu que un paral.lel és una geodèsica si i només si la recta tangent al
meridià que passa per cada un dels seus punts és paral.lela a l’eix de rotació de la superfície.
Apliqueu-ho al cas de l’esfera i del tor.
Exercici 8.1.8. Demostreu el teorema de Clairaut: si α(s) és una geodèsica (parametritzada)
de S i θ(s) és l’angle que forma α amb el paral.lel per α(s), aleshores el producte de la distància
de α(s) a l’eix de gir pel cosinus de θ(s) és constant al llarg de la corba α.
Exercici 8.1.9. Trobeu la curvatura geodèsica i la curvatura normal dels paral.lels (u = u0) en
funció de a(u).
§8.2 Isometries. Una aplicació diferenciable f : S → ¯ S entre dues superfícies regulars és
una isometria si te inversa diferenciable i per tot punt p ∈ S la diferencial dfp : TpS → T f(p) ¯ S
preserva la primera forma fonamental, i.e.
Ip(w1, w2) = 〈w1, w2〉 = 〈dfp(w1), dfp(w2)〉 = I f(p)(dfp(w1), dfp(w2)).
Una isometria local és una aplicació diferenciable f : S → ¯ S entre superfícies regulars tal
que la restricció de f a un entorn prou petit de cada punt de S és una isometria amb la seva
imatge.
Exercici 8.2.1. Siguin x : U ⊂ R 2 → S i ¯x : Ū ⊂ R2 → ¯ S parametritzacions regulars injectives
de dues superfícies S i ¯ S i (g1, g2) = ¯x −1 ◦f ◦x : U ⊂ R 2 → Ū ⊂ R2 l’expressió en coordenades
locals d’una aplicació diferenciable f : S → ¯ S. Aleshores f és una isometria local si i només si
∂g1
∂u
∂g2
∂u
∂g1
∂v
∂g2
∂v
t Ē ¯ F
¯F ¯ G
∂g1
39
∂u
∂g2
∂u
∂g1
∂v
∂g2
∂v
=
E F
F G
.

Exercici 8.2.2. Dues superfícies S i ¯ S són localment isomètriques si i només si existeixen
parametritzacions regulars injectives x : U ⊂ R 2 → S i ¯x : U ⊂ R 2 → ¯ S tals que els coeficients
de les seves primeres formes fonamentals coincideixen: E(u, v) = Ē(u, v), F (u, v) = ¯ F (u, v),
G(u, v) = ¯ G(u, v). Deduïu que en aquest cas les curvatures de Gauss de S i ¯ S coincideixen en
els punts corresponents.
Exercici 8.2.3. Comproveu que el con i el cilindre són localment isomètrics al pla. (Indicació:
fer-los rodar.)
Exercici 8.2.4. Sigui C ⊂ R 2 una corba regular plana. Proveu que SC = {(x, y, z) ∈
R 3 , (x, y) ∈ C} és una superfície regular localment isomètrica al pla i calculeu les seves
curvatures principals en funció de la curvatura de C.
Exercici 8.2.5. Sigui α : I ⊂ R → R 3 una corba parametritzada per l’arc tal que α(t) = 1
per tot t ∈ I. Calculeu la primera forma fonamental de la superfície parametritzada per
x(u, v) = vα(u), u ∈ I, v > 0, i comproveu que és localment isomètrica al pla.
Exercici 8.2.6. Justifiqueu per què les següents superfícies no són dues a dues localment
isomètriques: l’esfera, el pla, el paraboloide z = x 2 + y 2 i la sella z = x 2 − y 2 .
§8.3 Geodèsiques. Sigui S una superfície regular i α : I ⊂ R → S ⊂ R 3 una corba
parametritzada continguda en S. Recordeu que α(t) és geodèsica si i només si no té acceleració
tangent a S. Recordeu també que si x : U ⊂ R 2 → S és una parametrització regular de S i
α(t) = x(u(t), v(t)) aleshores α(t) és geodèsica si i només si u(t) i v(t) verifiquen el sistema
d’equacions diferencials: u ′′ + Γ 1 11 u ′2 + 2Γ 1 12 u′ v ′ + Γ 1 22 v′2 = 0
v ′′ + Γ 2 11 u′2 + 2Γ 2 12 u′ v ′ + Γ 2 22 v′2 = 0
Una corba C ⊂ S (no parametritzada) s’anomena geodèsica si admet una parametrització per
la qual ho és.
Exercici 8.3.1. Proveu que una corba C ⊂ S és geodèsica si i només si n = ±N, on n és el
vector normal de C com a corba de R 3 i N és el vector normal de S.
Exercici 8.3.2. Determineu quines són totes les geodèsiques del pla, del cilindre i de l’esfera.
Exercici 8.3.3. Si dues superfícies són tangents al llarg d’una corba C, aleshores C és geodèsica
a una d’elles si i només si ho és a l’altra.
Exercici 8.3.4. Demostreu que tota corba α : I ⊂ R → R 3 parametritzada per l’arc és
geodèsica d’alguna superfície. Indicació considereu la superfície reglada parametritzada per
x(u, v) = α(u) + vb(u). Descriviu un mètode per determinar manualment les geodèsiques
d’una superfície física mitjançant una cinta adhesiva.
§8.4 El pla hiperbòlic. Considereu una superfície S (semiplà de Poincaré) parametritzada
per l’obert H = {(u, v) ∈ R 2 | v > 0} de R 2 amb primera forma fonamental donada per
E(u, v) = G(u, v) = 1
v 2 i F (u, v) = 0.
Exercici 8.4.1. Trobeu-ne les equacions de les geodèsiques, els símbols de Christoffel i la
curvatura de Gauss.
Exercici 8.4.2. Trobeu la curvatura geodèsica de les corbes que en coordenades locals venen
donades per γa(t) = (at, t), t > 0.
Exercici 8.4.3. Proveu que les aplicacions z = u + iv ↦→ 1 1
¯z = u−iv i z ↦→ az + b, a, b ∈ R de
H ↩→ C són isometries. Deduïu que totes les geodèsiques de H són les semirectes verticals i els
semicercles ortogonals a v = 0 (i.e. amb centre sobre v = 0).
40

§8.5 Derivada covariant i transport paral . lel. Un camp vectorial (diferenciable) tangent X
a una superfície S és per definició una combinació lineal X = axu + bxv de la base de camps
tangents xu i xv amb coeficients a(u, v), b(u, v) funcions diferenciables. A partir dels símbols
de Christoffel Γk ij es pot definir una manera de derivar camps tangents seguint les següents
regles:
• ∇axu+bxv X = a∇xuX + b∇xvX;
• ∇xu(aX) = ∂a
∂u X + a∇xuX i ∇xv(aX) = ∂a
∂v
X + a∇xvX;
• ∇xuxu = Γ 1 11 xu + Γ 2 11 xv, ∇xuxv = ∇xvxu = Γ 1 11 xu + Γ 2 11 xv i ∇xvxv = Γ 1 22 xu + Γ 2 22 xv.
L’operador ∇ que obtenim s’anomena derivada covariant intrínseca de S.
Exercici 8.5.1. Siguin X1, X2, Y1, Y2 camps tangents a S i α(t) una corba tal que α(0) = p,
α ′ (0) = X1(p) = X2(p). Proveu que si Y1(α(t)) = Y2(α(t)) aleshores els camps tangents
∇X1 Y1 i ∇X2 Y2 coincideixen en el punt p.
Així doncs, per obtenir el valor de la derivada covariant d’un camp tangent Y respecte d’un
altre X en un punt p només cal conèixer X(p) i Y sobre una corba tangent a X(p) en p.
Si α(t) = x(u(t), v(t)) és una corba de S aleshores podem considerar el camp tangent α ′ =
u ′ xu + v ′ xv definit al llarg de α(t).
Siguin X, Y = (Y1, Y2, Y3) camps de R 3 , definim la derivada covariant a R 3 mitjançant ¯ ∇XY =
(DXY1, DXY2, DXY3), on DX denota la derivada direccional en la direcció X.
Exercici 8.5.2. Proveu que per camps X, Y tangents a una superfície S ⊂ R 3 es te que
∇XY = π( ¯ ∇XY ), on π : R 3 → T S és la projecció ortogonal.
Un camp tangent X definit al llarg d’una corba α(t) es diu paral . lel si ∇α ′X = 0.
Exercici 8.5.3. Comproveu que una corba α(t) = x(u(t), v(t)) és geodèsica si i només si el
camp X = α ′ = u ′ xu + v ′ xv és paral . lel, és a dir, verifica que ∇XX = 0.
Exercici 8.5.4. Comproveu que per tot vector tangent v ∈ Tα(0)S existeix un camp tangent
X definit al llarg de α(t) que és paral . lel i tal que X(α(0)) = v. Aquest X(α(t)) camp
s’anomena el transport paral . lel de v al llarg de la corba α(t). (Indicació: escriure X(α(t)) =
a(t)xu+b(t)xv amb funcions a(t), b(t) incògnites i imposar l’equació ∇α ′X = 0 amb condicions
inicials a(t0) = a0 i b(t0) = b0, on v = a0xu + b0xv.)
Els càlculs que venen a continuació s’han d’efectuar sobre el semiplà de Poincaré H introduït
anteriorment.
Exercici 8.5.5. Calculeu ∇XY on X = uxu i Y = uxv − vxu.
Exercici 8.5.6. Trobeu el transport paral . lel del vector xu en el punt γa(t0) al llarg de la corba
γa(t) = (at, t).
41

9 Els teoremes de Gauss i Stokes i les equacions de Maxwell
L’objectiu principal d’aquest seminari és doble: Per una banda, volem donar demostracions
intuitives dels teoremes de Gauss i Stokes i, per altra banda, volem comprendre física i
matemàticament les equacions que han de verificar els camps elèctric E i el camp magnètic
B.
La referència bàsica són els tres primers capítols del volum II (electromagnetisme i matèria)
del llibre de Feynman.
Primer introduirem les nocions de circul . lació i flux d’un camp vectorial.
§9.1 Circul . lació i flux d’un camp vectorial. En aquesta secció treballem la circul . lació i
el flux d’un camp vectorial. De fet la circul . lació i el flux son integrals de línea i superfície
respectivament que s’han vist a classe de teoria pero en el cas de corbes i superfícies tancades.
Sigui C una corba tancada orientada i X un camp vectorial.
• La circul . lació
C X · dL := C 〈X, t〉dL de X al llarg de C és la integral de la component
tangent (amb signe) de X sobre C.
Per definició, la component tangencial mitjana de X al llarg de C és la circul . lació dividida
per la longitud de C.
Exercici 9.1.1. Calculeu la circul . lació del camp vectorial
F = y 2 i − z 2 j + x 2 k
al llarg de la trajectòria que va seguint les arestes del cub, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 i 0 ≤ z ≤ 1
sortint de l’origen i després a (0, 0, 1) a (0, 1, 1) a (1, 1, 1) i que finalment torna a l’origen per
la diagonal des de (1, 1, 1).
Feu el mateix amb el camp
G(x, y, z) = (x 3 − 3xy 2 )i + (y 3 − 3x 2 y)j + zk.
Si no us heu equivocat als càlculs aquesta segona integral us ha de donar zero.
Podríeu deduïr-ho sense fer la integral? Calculeu el rotacional de G i deduï-ne que existeix
una funció f tal que G = ∇(f). Expliciteu-la.
Sigui S una superfície tancada (que orientem amb el vector normal unitari exterior N) i X un
camp vectorial.
• El flux
S X · dS := S 〈X, N〉dA de X a través de S és la integral de la component
normal (amb signe) de X sobre S.
Per definició, la component normal mitjana de X a través de S és el flux dividit per l’àrea de
S.
Exercici 9.1.2. Trobeu el flux del camp radial
a través de la superfície tancada donada per:
X = xi + yj + zk
S = {(x, y, z), z = x 2 + y 2 − 1, −1 ≤ z ≤ 0}.
Amb aquestes dues nocions de circul . lació i flux es poden descriure les lleis de l’electricitat i
el magnetisme : llei de Gauss (elèctrica i magnètica), Faraday i llei d’Ampère. Aquestes lleis
donen lloc a les equacions de Maxwell utilitzant el teorema de Stokes i Gauss. Això ho veurem
després, primer demostrem el teorema de Gauss i el teorema de Stokes.
42

§9.2 El flux sortint a través de dues superfícies tancades amb una regió comuna. Sigui D un
domini de R 3 amb vora S = ∂D una superfície regular a trossos. Sigui Σ ⊂ D una superfície
que separa D en dues regions disjuntes D1 i D2.
Exercici 9.2.1. Proveu que el flux sortint d’un camp vectorial a través de S és la suma dels
fluxos sortint a través de ∂D1 i ∂D2.
§9.3 El flux sortint d’un cub petit. Sigui F = (F1, F2, F3) un camp vectorial diferenciable
definit en un obert que contingui el cub C de vèrtexs (x, y, z), (x + δx, y, z), (x, y + δy, z),
(x, y, z + δz), (x + δx, y + δy, z), (x + δx, y, z + δz), (x, y + δy, z + δz) i (x + δx, y + δy, z + δz).
Anem a calcular el flux de F a través de la superfície del cub. Per això calcularem el flux a
través de cadascuna de les sis cares.
Exercici 9.3.1. Proveu que el flux de F a través de la cara de vèrtexs
• (x, y, z), (x, y, z + δz), (x, y + δy, z + δz), (x, y + δy, z) és igual a − F1(x, y, z) dy dz;
• (x + δx, y, z), (x + δx, y, z + δz), (x + δx, y + δy, z + δz), (x + δx, y + δy, z) és igual a
F1(x + δx, y, z) dy dz
∂F1
F1(x, y, z) dy dz + δx (x, y, z) dy dz,
∂x
on l’aproximació anterior és de l’ordre de (δx) 2 .
Exercici 9.3.2. Proveu que podem aproximar la suma dels fluxos a través d’aquestes dues cares
per ∂F1
∂x (x, y, z)δx δy δz si menyspreem els termes (δx)i (δy) j (δz) k amb i + j + k > 3.
Exercici 9.3.3. Concloure que sota les mateixes hipòtesis que abans el flux de F a través de
tota la superfície del cub es pot aproximar per
∂F1
∂F2 ∂F3
(x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) δx δy δz.
∂x ∂y ∂z
∇·F=divergència de F
§9.4 El teorema de Gauss o de la divergència.
Exercici 9.4.1. Combineu els resultats anteriors per obtenir una prova heurística del Teorema
de Gauss: si F és una camp vectorial diferenciable i D és una regió de R3 amb vora una
superfície regular a trossos aleshores
F · dS = ∇ · F dV.
∂D
Exercici 9.4.2. Sigui F el camp F = 2xi + y 2 j + z 2 k, i sigui S l’esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 calculeu
el flux del camp F a traves de la superfície S utilitzant el teorema de Gauss.
Exercici 9.4.3. Apliqueu el teorema de Gauss per calcular el flux del camp F = xy 2 i+x 2 yj+yk,
a traves de la superfície tancada afitada pel cilindre x 2 + y 2 = 1 i els plans z = 1 i z = −1.
§9.5 La circul . lació al llarg de dues corbes tancades que comparteixen un arc comú. Sigui
C ⊂ R 3 una corba tancada (regular a trossos) i fixem dos punts diferents p, q ∈ C. Com que
C ∼ = S1 tenim que C \ {p, q} està format per dos arcs disjunts C ′ 1 i C′ 2 . Sigui Σ ⊂ R3 un arc de
corba que uneix p amb q i C ′ 1 i definim les corbes tancades (regulars a trossos) Ci = C ′ i ∪ Σ,
i = 1, 2.
Exercici 9.5.1. Proveu que la circul . lació d’un camp vectorial al llarg de C és la suma de les
circulacions al llarg de C1 i de C2.
43
D

§9.6 La circul . lació d’un camp vectorial al llarg d’un quadrat petit. Podem escollir unes
coordenades ortonormals de manera que els seus vèrtexs siguin (x, y, 0), (x, y + δy, 0), (x +
δx, y + δy, 0), (x + δx, y, 0).
Exercici 9.6.1. Proveu que la circul . lació de F = (F1, F2, F3) al llarg del costat que uneix
• (x, y, 0) i (x + δx, y, 0) és x+δx
x F1(t, y, 0) dt;
• (x, y + δy, 0) i (x + δx, y + δy, 0) és
x+δx
x+δx
− F1(t, y + δy, 0) dt −
x
x
x+δx
F1(t, y, 0) dt − δy
x
∂F1
(t, y, 0) dt.
∂y
Exercici 9.6.2. Proveu que la circul . lació de F al llarg de tots quatre costats del quadrat es
pot aproximar per ∂F2
∂x
∂F1
(x, y, 0) − (x, y, 0) δx δy
∂y
si no considerem els termes (δx) i (δy) j amb i + j > 2.
Observem que ∂F2
∂F1
∂x (x, y, 0) − ∂y (x, y, 0) és la tercera component del rotacional ∇ × F la qual
coincideix amb el producte escalar (∇ × F) · (0, 0, 1) = (∇ × F) · N.
§9.7 El teorema de Stokes o del rotacional.
Exercici 9.7.1. Combineu els resultats anteriors per obtenir una prova heurística del teorema
de Stokes: si F és un camp vectorial diferenciable i S és una superfície de R3 amb vora C = ∂S
una corba regular a trossos aleshores
F · dL = (∇ × F) · dS.
Exercici 9.7.2. Sigui
C
S
F = ye z i + xe z j + xye z k,
Demostreu que la circul . lació de F al llarg d’una corba tancada qualsevol que es vora d’una
superfície tancada és zero.
Exercici 9.7.3. Sigui C una corba tancada que es la vora d’una superfície S i sigui v un camp
constant. Proveu la igualtat següent,
v · ds = 0.
C
Ara tornem a la física. Revisem les lleis fonamentals dels camps elèctrics i magnètics.
§9.8 Força exercida sobre una càrrega elèctrica. Considerem una partícula amb una càrrega
elèctrica q ∈ R (positiva o negativa) que és mou amb una velocitat v sota l’influència d’un
camp elèctric E i un camp magnètic B (creat per d’altres càrregues i corrents). Aleshores la
força que s’exerceix sobre la càrrega ve donada per la fórmula de Lorentz:
F = q(E + v × B).
44

§9.9 Les lleis de l’electromagnetisme. Sigui E el camp elèctric i B el camp magnètic.
• El flux del camp elèctric a través d’una superfície tancada S és proporcional a la càrrega
elèctrica neta Q que hi ha a l’interior de S. La constant de proporcionalitat s’acostuma
a escriure com 1
ε0 :
E · dS = Q
(Llei de Gauss). (9.1)
S
ε0
Exercici 9.9.1. Proveu que el camp elèctric (de Coulomb) en un punt P creat per una
única càrrega puntual situada en un punt O és inversament proporcional al quadrat de
la distància entre O i P . Per això podeu suposar que aquest camp elèctric té simetria
esfèrica respecte de O, és a dir, que la direcció del camp en el punt P ve donada pel
vector OP .
• La circul . lació del camp elèctric al llarg d’una corba tancada C coincideix amb la variació
temporal del flux del camp magnètic a través d’una superfície S sostinguda per C = ∂S
(orientada adequadament):
C
E · dL = d
dt
S
B · dS (Llei de Faraday). (9.2)
Exercici 9.9.2. Proveu que la circul . lació d’un camp de Coulomb al llarg de tota corba
tancada C és cero. Indicació: expresseu la parametrització de C en coordenades
esfèriques.
• El flux del camp magnètic a través de qualsevol superfície tancada S és zero:
B · dS = 0 (absència de càrregues magnètiques). (9.3)
S
• Si S és una superfície amb vora C = ∂S una corba tancada aleshores la circul . lació
del camp magnètic al llarg de C multiplicat pel quadrat de la velocitat de la llum c és
igual al flux del vector densitat de corrent j a través de S dividit per ε0 més la variació
temporal del flux del camp elèctric a través de S:
c 2
C
B · dL = 1
ε0
S
j · dS + d
dt
S
E · dS, (Llei d’Ampère modificada per Maxwell).
(9.4)
§9.10 Una aplicació dels teoremes de Gauss i Stokes a la física: Les equacions de Maxwell.
Ara anem a veure com deduir les equacions de Maxwell utilitzant les lleis anteriors.
Exercici 9.10.1. Utilitzant els teoremes de Gauss i Stokes proveu que les lleis de l’electromagnetisme
expressades en les equacions (9.1), (9.3), (9.3) i (9.4) són equivalents a les equacions
diferencials de Maxwell:
• ∇ · E = ρ
ε0
• ∇ × E = − ∂B
∂t ;
• ∇ · B = 0;
• c2∇ × B = j ∂E + ε0 ∂t
on ρ és la densitat de càrrega;
on j és el vector densitat de corrent.
45

The Feynman Complete Lectures on Physics Vol 2--536 Pages....
Views: 3185
§9.11 Interpretació física de les lleis de l’electromagnetisme.
Exercici 9.11.1. Tenim un filferro sostingut per dos pals sota el qual situem un imant. Quan
el connectem a un corrent elèctric experimenta una força lateral, per què?
Figura 9.1: Un imant produeix un camp magnètic sobre el filferro quan hi ha una corrent
elèctrica que el travessa.
Exercici 9.11.2. Com a reacció, el imant deu experimentar una força en sentit contrari, com
s’explica això en termes de les equacions anteriors?
Rate:
Download Add to Favorites Add to Quicklist
Get Widgets Share File Flag as
Feynman Complete Lectures on Physics Vol 2--536 Pages
Added to physics;condense... folder on May. 21 2007
Size: 33.2MB
1 ratings
Uploaded by: laplacian From Saudi Arabia
Joined on Apr. 14 2007
"great people discuss ideas"
From physics;condense...
folder
Figura 9.2: El camp magnètic del filferro exerceix una força sobre l’imant.
Inappropriate
Exercici 9.11.3. Considerem ara dos filferros suspesos paral . lelament i connectats a un corrent
elèctric. Què succeeix en aquesta situació i per què?
Linear Accelerator Parts
Over 3000 line items in stock, incl
Magnetrons, Thyratrons, Klystrons
www.RadParts.com
Einstein's Method
A Fresh Approach to Relativity & Q.M. - A
scholarly inquiry...
www.einsteinsmethod.com
Figura 9.3: Dos filferros que condueixen corrent elèctrica exerceixen forces mútues l’un sobre
l’altre.
Com que tot camp elèctric genera un camp magnètic, podem substituir l’imant anterior per
una bobina que porti un corrent elèctric.
46
Related More from
Preparation Gu... A
quantum dots.d... S
SYNOPSIS AHMER... th
Go to laplacian's physi
matter research folde
Advertise on this site
complete_kbc.f... L
goong complete... A
Faust complete... C

El segon terme del segon membre de l’equació (9.4) va ser descobert de manera teòrica per
Maxwell i és de gran importància. Diu que els camps elèctrics variables produeixen efectes
magnètics. Això es posa de relleu en la següent situació:
Exercici 9.11.4. Un condensador està composat per dues plaques conductores paral . leles. Carreguem
una d’elles mitjançant un corrent que flueix cap a ella al llarg d’un filferro. Considerem
la circul . lació del camp magnètic B generat pel corrent al llarg d’una corba C al voltant del
filferro. Analitzeu l’equació (9.4) per les dues superfícies S1 i S2 de la figura 9 sostingudes
sobre C = ∂S1 = ∂S2 i deduïu que ha d’existir un camp elèctric E variable en el temps entre
les plaques del condensador.
Figura 9.4: La circul . lació de B al llarg de la corba C ve donada pel corrent que travessa la
superfície S1 o per la variació del flux de E a través de la superfície S2
La combinació de les equacions (9.2) i (9.4) té una conseqüència remarcable: l’explicació de la
radiació electromagnètica a grans distàncies. Grosso modo la raó és la següent: suposem que
en un cert indret el camp magnètic està creixent, per exemple per que s’ha produït un corrent
sobtat en un filferro. Per l’equació (9.2) deu haver una circul . lació del camp elèctric. Aquest
camp elèctric que acaba de crear-se produeix un camp magnètic d’acord a l’equació (9.4) ja
que tenim una circul . lació de B no nul . la. Però a la seva vegada aquesta nova creació de camp
magnètic ha de produir un nou camp elèctric i així successivament. D’aquesta manera és com
els camps elèctric i magnètic avancen per l’espai buit sense recórrer a cap càrrega o corrent
llevat de la font inicial. La llum visible no són més que ones electromagnètiques d’una certa
longitud d’ona. I vet aquí que gràcies a les equacions de Maxwell podem veure’ns els uns als
altres!
§9.12 Altres aplicacions de Stokes i Gauss a la física Altres aplications de Stokes i Gauss
a la física són l’equació de la calor.
Això ho veureu aviat a classe. Podreu esperar?
Si no es així doneu un cop d’ull a aquest link: http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation
§9.13 Referències
• Richard P. Feynman , Robert B. Leighton and Matthew Sands, The Feynman Lectures
on Physics, Volume 2, 1964.
• Jerry Marsden and Antony Tromba, Cálculo vectorial, Addison-Wesley, 3a edición, 1991.
47

10 Càlcul vectorial amb maple
Comencem carregant el package de càlcul vectorial
restart:with(plots):with(Student[VectorCalculus]);
§10.1 Definició de camps vectorials i càlcul de la divergència i del rotacional. Per definir un
camp vectorial utilitzem la comanda VectorField, per calcular la divergència Divergence i
per calcular el rotacional Curl. Per representar gràficament línies integrals d’un camp utilitzem
la comanda FlowLine. Per calcular el gradient d’una funció utilitzem la comanda Gradient:
F:=VectorField();Gradient((x^3+y^3+z^3)/3);Divergence(F);Curl(F);
FlowLine(F,);
Exercici 10.1.1. Comproveu amb maple les identitats
div (fF) = grad f · F + fdiv F
rot (fF) = grad f × F + frot F.
§10.2 Integrals de línia i superfície. Per calcular l’integral de línia d’un camp al llarg d’una
corba podem utilitzar directament la comanda LineInt:
F:=VectorField();LineInt(F,Circle(,1),output=plot,scaling=constrained);
LineInt(F,Circle(,1));
Exercici 10.2.1. Feu una representació gràfica del camp F(x, y) = (y, 0) i calculeu la circulació
de F al llarg de la circumferència de centre (0, 2) i radi 1 orientada positivament.
Per calcular el flux d’un camp a través d’una superfície podem utilitzar la comanda Flux:
F:=VectorField();Flux(F,Sphere(,1),output=plot,scaling=constrained);
Flux(F,Sphere(,1));
1
Exercici 10.2.2. Feu una representació gràfica del camp F(x, y, z) = √ (x, y, z) i
x2 +y2 +z2 calculeu el flux de F a través de l’esfera de centre (1, 1, 1) i radi 1 orientada pel vector normal
exterior.
§10.3 Il . lustració dels teoremes de Green, Gauss i Stokes. Recordeu que el teorema de Green
afirma que
∂D (P, Q) · dL = D (∂xQ − ∂yP ) dA.
Exercici 10.3.1. Calculeu l’àrea d’un dels quatre pètals P de la corba donada per r = 3 sin(2θ)
en coordenades polars. Utilitzeu el teorema de Green aplicat al camp F(x, y) = (−y, x) per
calcular d’una manera alternativa l’àrea de P .
Recordeu que el teorema de Gauss afirma que
∂D
F · dS =
D
div F dV .
Exercici 10.3.2. Sigui F(x, y, z) = (x+1, y−1, 1−2z) i S = {x2 +y2
= 1, 0 ≤ z ≤ 1} orientada
1
pel vector normal N(x, y, z) = √ (x, y, 0). Calculeu
x2 +y2 S F·dS primer directament i després
triant adequadament dues superfícies Si, i = 0, 1, tals que S ∪S0 ∪S1 sigui la vora d’un domini
D ⊂ R 3 , per tal d’aplicar-hi el teorema de Gauss.
48

Exercici 10.3.3. (a) Sigui F(x, y, z) = (x, y, z) el camp radial i D ⊂ R3 una regió sòlida amb
vora S superfície regular a trossos. Proveu que el volum de D és igual a V (D) = 1
3 S F · dS.
Quina relació hi trobeu amb el volum d’una piràmide?
(b) Trobeu un camp vectorial adequat amb divergència constant no nul . la i apliqueu-li el
teorema de Gauss per trobar el volum de la regió delimitada per la superfície S parametritzada
per x(u, v) = (2 cos u + cos3 u cos v, cos2 u sin v, 2 sin u + cos2 sin u cos v) amb u ∈
−π π
2 , 2 i
v ∈ [0, 2π].
Figura 10.1: Quin és el volum d’aquest “all”?
Recordeu que el teorema de Stokes afirma que
amb vora ∂S orientada coherentment amb S.
Exercici 10.3.4. Calculeu la circulació del camp
∂S
F · dL =
S
rot F · dS on S és una superfície
F(x, y, z) = (3 x 2 y 2 + 4 z 3 x 3 y + 3 x 2 yz, 2 x 3 y + z 3 x 4 + x 3 z, 3 z 2 x 4 y + x 3 y)
al llarg de l’el . lipse parametritzada per c(t) = (2 sin t, 2 cos t, − sin t − cos t) directament i
aplicant el teorema de Stokes. Feu el mateix amb el camp
F(x, y, z) = (3 x 2 y 2 + 4 z 3 x 3 y + 3 x 2 yz − y, 2 x 3 y + z 3 x 4 + x 3 z + x, 3 z 2 x 4 y + x 3 y + y − x).
§10.4 Interpretació geomètrica de la divergència i del rotacional. Els teoremes de Stokes
i Gauss ens permeten donar una interpretació geomètrica del rotacional i la divergència d’un
camp vectorial. En una primera aproximació (no del tot correcta) podríem dir que el rotacional
controla com roten o giren les línies integrals del camp mentre que la divergència controla com
divergeixen o convergeixen les línies integrals del camp.
Exercici 10.4.1. Comproveu les següents afirmacions:
(i) El camp H0(x, y, z) = (1, 0, 0) té rotacional zero i les seves corbes integrals no giren.
(ii) El camp F0(x, y, z) = (−y, x, 0) té rotacional (0, 0, 2) i les seves corbes integrals son
circumferències horitzontals que giren en sentit positiu respecte del vector (0, 0, 1).
(iii) El camp radial G0(x, y, z) = (x, y, z) té divergència 3 > 0 i les seves corbes integrals són
semirectes que s’allunyen de l’origen i per tant divergeixen.
La situació però és més subtil tal i com s’il . lustra a la plana web:
49

http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/curlsubtle/
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/divsubtle/
Exercici 10.4.2. Considereu els següents camps vectorials en funció del paràmetre ε:
Hε(x, y, z) = (y ε , 0, 0), Fε(x, y, z) = (x 2 + y 2 ) ε (−y, x, 0) i Gε(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) ε (x, y, z).
(i) Comproveu que rot Hε(x, y, z) = (0, 0, −εy ε−1 ) i calculeu la circulació de Hε al llarg de
la circumferència c(t) = (a + r cos t, b + r sin t, 0), t ∈ [0, 2π].
(ii) Comproveu que rot Fε(x, y, z) = (0, 0, 2(ε + 1)(x 2 + y 2 ) ε ) i calculeu la circulació de Fε
al llarg de la circumferència cα(t) = (cos t, cos α sin t, sin α sin t), t ∈ [0, 2π], fent variar el
paràmetre α ∈ [0, π/2].
(iii) Comproveu que div Gε = (3 + 2ε)(x 2 + y 2 + z 2 ) ε i calculeu el flux de Gε a través de
l’esfera {x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } orientada amb el vector normal exterior.
Considereu el camp Fε(x, y) =
resolent el sistema d’equacions diferencials
1
(x 2 +y 2 ) ε (x, y) del pla. Anem a calcular les seves corbes integrals
dx
dt =
dy
dt =
x
(x2 + y2 ) ε
x
(x2 + y2 ) ε
Per això observem que si r2 = x2 + y2 aleshores 2r dr
dt
que r 2ε−1 dr = dt i per tant
r(t) = (r 2ε
0 + 2εt) 1
2ε .
= 2x dx
dt
+ 2y dy
dt = 2r2−2ε , d’on resulta
D’altra banda, es comprova fàcilment que d(y/x)
dt = 0, d’on resulta que θ(t) = θ0. Així doncs,
la corba integral de Fε passant per (x, y) està parametritzada per
t ↦→ φ t
ε(x, y) = x 1 +
2εt
(x2 + y2 ) ε
1
2ε
, y 1 +
Exercici 10.4.3. Comproveu amb maple que d
dt φt ε(x, y) = Fε(φ t ε(x, y)).
2εt
(x2 + y2 ) ε
1
2ε
.
Fem una animació de la imatge del cercle de centre (1, 1) i radi 1 per l’aplicació φ t ε per ε = 1:
F:=VectorField();
phi:=(epsilon,x,y,t)->[x*(1+2*epsilon/(x^2+y^2)^(epsilon)*t)^(1/2/epsilon),
y*(1+2*epsilon/(x^2+y^2)^(epsilon)*t)^(1/2/epsilon)];
dib:=VectorField(subs(epsilon=1,F),output=plot):
animate(plot,[[op(phi(1,1+cos(s),1+sin(s),t)),s=0..2*Pi]],t=0..1,
background=dib,view=[-2..3,-2..3]);
Feu el mateix per ε = 1
2
i digueu quina diferència n’observeu.
Exercici 10.4.4. Sigui Dr el cercle de centre (1, 1) i radi r. Calculeu l’àrea de φt ε(Dr) en funció
de t i r per ε = 1 i ε = 1
2
. Indicació:
utilitzeu la tècnica descrita a l’exercici 10.4. Quina
A(φt ε (Dr))
relació hi trobeu entre lim
r→0 A(Dr) i (div Fε)(1, 1)?
50

Exercici 10.4.5. Trobeu el grup uniparamètric de transformacions φ t ε del camp
Fε(x, y, z) =
1
(x2 + y2 + z2 (x, y, z)
) ε
i feu una animació de φ t ε(Br) per ε = 1, ε = 3
2 i ε = 2, on Br denota la bola de centre (1, 1, 1)
i radi r. Calculeu-ne el volum en funció de t i r i obteniu una relació anàloga a la del cas
anterior.
§10.5 El camp de Hopf. Considereu el camp vectorial
H(x, y, z) = y + xz, −x + yz, 1
2 (1 + z2 − (x 2 + y 2
)) .
Exercici 10.5.1. Calculeu la divergència i el rotacional de H.
Exercici 10.5.2. Proveu que curvatura κ(x, y, z) de la corba integral t ↦→ cxyz(t) de H passant
pel punt (x, y, z) és
2
κ(x, y, z) =
x2 + y2 1 + x2 + y2 .
+ z2 Indicació: calcular κ(x, y, z) = c′ xyz×c ′′
xyz
c ′ xyz3 utilitzant que c ′ xyz = H◦cxyz i la regla de la cadena.
Exercici 10.5.3. Comproveu les superfícies de nivell de la funció κ(x, y, z) són tors de revolució
i comproveu que H n’és sempre tangent. Indicació: Comprovar que H ⊥ ∇κ.
Exercici 10.5.4. Proveu que la torsió de tota corba integral de H és nul . la. Deduïu que totes
les corbes integrals de H, exceptuant l’eix z, són circumferències. Aquestes circumferències
del tor de revolució s’anomenen cercles de Villarceau:
http://en.wikipedia.org/wiki/Villarceau_circles
Podem fer una representació gràfica d’alguns d’aquests cercles:
Figura 10.2: El camp de Hopf i alguns cercles de Villarceau. Nusos tòrics de tipus (1, 1).
51

dib:=[seq(FlowLine(F,),i=1..5)]:
tor:=plot3d([(5/4+3/4*cos(u))*cos(v),(5/4+3/4*cos(u))*sin(v),3/4*sin(u)],
u=0..2*Pi,v=0..2*Pi,scaling=constrained,style=patchnogrid,transparency=0.5):
display([tor,op(dib)]);
Exercici 10.5.5. Comproveu que els nusos tòrics de tipus (1, 1) parametritzats per t ↦→ ((a +
b cos t) cos t, (a + b cos t) sin t, b sin t) no són cercles de Villarceau. Indicació: Calculeu-ne la
curvatura i feu-ne una representació gràfica.
§10.6 Camp de Lorenz. Un altre exemple interessant s’obté al considerar el següent camp
L(x, y, z) = (σ(y − x), x(ρ − z) − y, xy − βz),
on σ, ρ i β són paràmetres. Per alguns valors d’aquests paràmetres, les corbes integrals del
camp L giren i al voltant dels seus punts crítics sense cap pauta regular descrivint una figura
límit de caire fractal anomenada atractor de Lorenz, veure
http://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_attractor
Figura 10.3: L’atractor de Lorenz.
Aquest camp fou introduit pel matemàtic i meteoròleg Edward Lorenz (1917–2008), no confondre
amb l’eminent físic Hendrik Lorentz (1853–1928), en 1963 per donar un model senzill
del moviment de l’aire a l’atmosfera. Paradoxalment, amb aquest model simple es van posar
de manifest per primer cop el comportament determinista caòtic basat en la dependència
sensible de les condicions inicials i conegut popularment com l’efecte papallona.
Podem utilitzar el rotacional del camp L avaluat en els seus punts crítics per trobar els dos
plans que aproximen la forma lemniscàtica de l’atractor de Lorenz.
També podem definir un procediment en maple per representar gràficament unes petites esferes
centrades en els punts crítics de L i animar-les d’un moviment de rotació d’eix rot L i velocitat
angular proporcional a rot L:
§10.7 Annex: codi maple.
with(plots):sigma:=16:rho:=45.6:beta:=4:sol:=(x0,y0,z0)->dsolve({diff(x(t),t)
=sigma*(y(t)-x(t)),diff(y(t),t)=rho*x(t)-y(t)-x(t)*z(t),diff(z(t),t)
=x(t)*y(t)-beta*z(t),x(0)=x0,y(0)=y0,z(0)=z0},{x(t),y(t),z(t)},numeric):
dib[0]:=odeplot(sol(0.1,0.1,0.1),[x(t),y(t),z(t)],t=0..10,axes=boxed,
52

Figura 10.4: L’atractor de Lorenz i dos plans perpendiculars als vectors rotacionals avaluats
en els punts crítics.
scaling=constrained,numpoints=600):dib[1]:=odeplot(sol(50.,50.,-10.),
[x(t),y(t),z(t)],t=0..10,axes=boxed,scaling=constrained,numpoints=600,color=blue):
with(linalg):rot:=convert(curl([sigma*(y-x),rho*x-y-x*z,x*y-beta*z],[x,y,z]),’list’);
a:=[10,50]:b:=[50,10]:pf:=solve([sigma*(y-x)=0,rho*x-y-x*z=0,x*y-beta*z=0],[x,y,z]);
for i from 2 to 3 do: pla[i]:=solve(dotprod(vector(subs(pf[i],rot)),
vector([x-subs(pf[i],x),y-subs(pf[i],y),z-subs(pf[i],z)]),orthogonal)=0,z);dib[i]:=
plot3d(pla[i],x=-a[i-1]..b[i-1],y=-a[i-1]..b[i-1],transparency=0.9,grid=[5,5]) od;
display(seq(dib[i],i=0..3));
odeplot(sol(-.01,-1.0,0.),[x(t),y(t),z(t)],t=0..50,axes=normal,scaling=constrained,
numpoints=600*5,color=blue,frames=20*5);
with(plottools):X0:=[sigma*(y-x),rho*x-y-x*z,x*y-beta*z]:
p0 := [[0,0,0], [13.35664629,13.35664629, 44.60000000],
[-13.35664629, -13.35664629,44.60000000]]:
dib[4]:=display(seq(arrow(p0[i],vector(map(x->1*x,subs([x=p0[i,1],y=p0[i,2],
z=p0[i,3]],convert(curl(X0,[x,y,z]),’list’)))), .2*2, .4*2, .1*2, cylindrical_arrow,
’fringe’=’blue’, color=green),i=1..3)):
F1:=(X,p,r)->proc(t) local n,i,Y,Z,w,phi,theta,dib:n:=nops(p):Y:=convert(curl(X,
[x,y,z]),’list’): for i from 1 to n do Z:=subs([x=p[i,1],y=p[i,2],z=p[i,3]],Y):
w:=(Z[1]^2+Z[2]^2+Z[3]^2)^(1/2):
dib[i]:=plot3d(evalm([[r*cos(u)*cos(v),r*cos(u)*sin(v),r*sin(u)]]&*[[cos(w*t),
-sin(w*t),0],[sin(w*t),cos(w*t),0],[0,0,1]]&*subs([theta=argument(Z[1]+I*Z[2]),
phi=-arccos(Z[3]/w)],[[cos(theta)^2*cos(phi)+1-cos(theta)^2, sin(theta)*cos(theta)*
(cos(phi)-1), cos(theta)*sin(phi)], [sin(theta)*cos(theta)*(cos(phi)-1), cos(phi)cos(theta)^2*cos(phi)+cos(theta)^2,
sin(theta)*sin(phi)], [-cos(theta)*sin(phi),
-sin(theta)*sin(phi), cos(phi)]])+[p[i]]),u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi,grid=[10,10],
color=v,transparency=0.5):od:return(display(seq(dib[i],i=1..n))) end proc:
animate(F1(X0,p0,8),[theta],theta=0..2*Pi,background=display([fieldplot3d(X0,x=-35..
35,y=-35..35,z=-10..55,color=black),dib[0],dib[4]]),scaling=constrained, axes=none);
53

11 Espai de Minkowski
§11.1 Invariància de Galileu. Per determinar un punt a l’espai cal donar les seves coordenades
respecte un sistema de referències {O; x, y, z}. Per determinar ‘quan’ existeix aquest
punt donem el seu temps t. Aleshores tot punt ve determinat, respecte un cert sistema de
coordenades, per la dada (t, x, y, z). Anomenarem aquest punt esdeveniment. Suposarem que
tots els sistemes de referència {O; x, y, z} són ortogonals.
Es consideren els següents axiomes (de Newton):
1. Existeix un espai absolut (sistema de referència absolut) respecte el qual les lleis de
Newton són certes.
Definició. Un sistema de referència és inercial si està en moviment relatiu uniforme
respecte l’espai absolut.
2. Tots els sistemes de referència inercial comparteixen un mateix temps universal.
Aclarim la definició, si {O; x, y, z} és el sistema de referència absolut, {O ′ ; x ′ , y ′ , z ′ } és inercial
si O ′ (t) = O0 + tv amb O0 i v constants (al llarg de la pràctica suposarem, mentre no es digui
el contrari, que O0 = O).
Exercici 11.1.1. Proveu que l’acceleració d’una partícula en moviment és invariant respecte el
sistema inercial en el que es mesuri.
§11.2 Transformacions de Lorentz. Oblidem el temps universal i l’espai absolut. Considerem
sistemes de referència inercials R i R ′ (ara, un respecte de l’altre). Després de fer rotacions
i translacions suposarem que els eixos són els mateixos en el dos sistemes, que O ′ es mou al
llarg de l’eix de les z amb velocitat v i que els esdeveniments (t = 0, z = 0) i (t ′ = 0, z ′ = 0)
coincideixen. És a dir, x = x′ , y = y ′ i O ′ = (0, 0, vt). En aquest cas les coordenades (x, y)
dels esdeveniments coincideixen en els dos sistemes de referències. Ens preocupem només de
les coordenades t i z i volem veure com es relacionen en aquests sistemes de referències.
Admetrem que:
t ′
a) Les transformacions g tals que
z ′
= g
t
formen un grup.
z
b) Les transformacions g porten moviments lineals a moviments lineals (és a dir, rectes a
rectes).
Exercici 11.2.1. Les transformacions de (t, z) a (t ′ , z ′ ) són de la forma
on α, β, γ, δ depenen de la velocitat relativa v
t ′
z ′
γ δ t
=
β α z
Exercici 11.2.2. Com que (t, vt) es transforma en (t ′ , 0), deduïu que β = −vα.
Exercici 11.2.3. Com que (t, 0) es transforma en (t ′ , −vt ′ ) deduïu que β = −vγ. D’aquest
exercici i l’anterior es pot concloure que α = γ. Proveu que
γ δ
g(v) =
.
−vγ γ
54

Admetem que la transformació inversa g(v) −1 ha de ser g(−v) (per què?) i que γ(v) = γ(−v)
(ja que γ(v) dona la possible dilatació temporal que hauria de ser independent del sentit del
moviment).
Exercici 11.2.4. Demostreu a partir d’aquestes afirmacions que γ 2 + vδγ = 1.
Per tenir les transformacions g estructura de grup resulta que g · g ′ ha de ser del mateix tipus.
Llavors els elements diagonals de g · g ′ han de ser idèntics.
Exercici 11.2.5. Deduïu que per valors no nuls de v i v ′ es te la relació
δ(v)
vγ(v) = δ(v′ )
v ′ γ(v ′ ) .
Observem que el denominador mai és zero ja que v = 0 implica que γ(v) = 0 (proveu això!).
Introduïm la constant κ = δ(v)
vγ(v)
que te unitats de velocitat a la menys dos.
Exercici 11.2.6. Veieu que les transformacions són de la forma
Ara hem de decidir el signe de κ.
g =
1
√ 1 + κv 2
1 κv
−v 1
Exercici 11.2.7. Suposem que κ > 0. Es cosideren transformacions g1 i g2 amb velocitats v1, v2
tals que v1v2 > 1/κ (en principi no hi ha límit per les velocitats!). Veieu que pot passar que
un esdeveniment amb temps t > 0 es tranformi en un esdeveniment amb t < 0.
Això es considera físicament impossible, és el canvi de la causalitat. Només tenim dos casos:
1. κ = 0. Tenim les transformacions de Galileu de cinemàtica newtoniana.
2. κ < 0. Posem c = 1/ √ −κ que serà una velocitat invariant (constant universal). En
aquest cas ens trobem davant de les transformacions de Lorentz
1 1 −v/c2 g = . (11.1)
1 − v2 /c2 −v 1
Observem que quan v ≪ c les transformacions de Galileu són una bona aproximació de les
transformacions de Lorentz.
Nota: El famós experiment de Michelson-Morley (1887) va demostrar que la velocitat de la
llum te una mateixa velocitat respecte qualsevol sistema inercial. La constant c que apareix en
les transformacions de Lorentz és aquesta velocitat (299792.458 metres per segon en el buit).
Exercici 11.2.8. Proveu que esdeveniments (t, z1) i (t, z2) que són simultanis en el sistema R
no ho són necessàriament en el sistema R ′ .
§11.3 Adició de velocitats. Tenim el sistemes de referència R i R ′ . Com abans R ′ es mou
a velocitat v en direcció de l’eix z. Suposem que a R ′ hi ha un objecte mòbil (t ′ , z ′ (t ′ )). La
seva velocitat és w = dz′
dt ′ . Volem saber a quina velocitat va vist des del sitema R.
Exercici 11.3.1. Com que
t =
1
1 − v2 /c2 t ′ + v
z′
c2 , z =
55
.
1 ′ ′ vt + z
1 − v2 /c2 ,

deduïu que la velocitat des de R és
v + w
. (11.2)
1 + vw/c2 Aquesta és la fórmula d’adició de velocitats. Quan les velocitats són prou petites tenim
aproximadament la fórmula que s’utilitza a la mecànica newtoniana v + w.
Exercici 11.3.2. Proveu, estudiant la funció F (u, v) = u+v
1+uv/c 2 que sumant velocitats no podem
passar la velocitat de la llum c.
§11.4 Longitud i temps. En mecànica newtoniana, la longitud d’un objecte és la mateixa
respecte qualsevol sistema inercial. Veiem que passa en el món relativista. Suposem una barra
amb inici a (0, z1) i final (0, z1 + L) en el sistema R.
Exercici 11.4.1. Com són aquestes coordenades en R ′ a l’instant t ′ de R ′ ? Proveu aleshores
que la longitud de l’objecte en el sistema R ′ és
L ′ = 1 − v 2 /c 2 L.
Llavors els objectes en moviment els veiem més petits que quan estan en repòs. Això és el que
s’anomena contracció de Fitzgerald-Lorentz.
Considerem ara els esdeveniments (0, 0), (T, 0) al sistema R. L’interval de temps transcorregut
és T en el sistema R.
Exercici 11.4.2. Proveu que l’interval de temps en els sistema R ′ entre aquests dos esdeveniments
és
T ′ 1
=
1 − v2 /c2 T.
Això diu que els rellotges a R ′ van més poc a poc que els rellotges a R (els rellotges mòbils
van més lents).
§11.5 Simultaneïtat i causalitat. En el pla (t, z), d’una referència R, dos esdeveniments A1 i
A2 són simultanis si t(A1) = t(A2). Aleshores sobre la recta t = T es troben els esdeveniments
simultanis a temps T . Volem saber com són, vistos a R, els esdeveniments simultanis d’una
referència R ′ de coordenades (t ′ , z ′ ). Com abans suposem que R ′ es mou al llarg de l’eix z
amb velocitat v respecte R.
Exercici 11.5.1. Els esdeveniments que són simultanis a R ′ en el pla (t ′ , z ′ ) satisfan t ′ = ct.
Veieu que a R aquests esdeveniments estan sobre rectes del tipus z = c 2 t/v + K en el pla
(t, z). Observeu que el pendent d’aquestes rectes és major que c (en el pla (z, t)).
Exercici 11.5.2. Demostreu que esdeveniments A1 que són simultanis a R deixen de ser-ho a
R ′ si v = 0.
Exercici 11.5.3. Siguin A1 i A2 esdeveniments amb coordenades (ti, zi) a la referencia R i
de manera que t1 < t2 (A1 precedeix en el temps a A2). Estudieu els valors de t ′ 1 i t′ 2 a la
referència R ′ . Sota quines condicions es pot donar que t ′ 1 > t′ 2 (inversió de la causalitat)? És
això possible?
56

§11.6 Interval d’espai temps. Per les transformacions de Galileu és evident que la distancia
espaial (|z1 − z2|) entre dos esdeveniments (t1, z1), (t2, z2) es conserva (exercici).
Exercici 11.6.1. Proveu que si A1 i A2 són dos esdeveniments mesurats en R llavors ∆z ′ =
z(g(A1)) − z(g(A2)) no és necessàriament igual a ∆z = z(A1) − z(A2) quan g és de Lorentz.
Volem trobar una magnitud invariant per les transformacions de Lorentz.
Exercici 11.6.2. Proveu que
La quantitat
s’anomena interval d’espai temps.
c 2 ∆t ′2 − ∆z ′2 = c 2 ∆t 2 − ∆z 2 .
c 2 ∆t 2 − ∆z 2
§11.7 Transformacions de Lorentz. Forma vectorial. Les transformacions (11.1) corresponen
a un impuls (boost) en la direcció de les z. I són
t ′ = γ(t − vz/c 2 )
x ′ = x
y ′ = y
z ′ = γ(z − vt)
on γ = (1 − v 2 (c 2 )) −1/2 . Es pot demostrar que per un impuls v arbitrari (veure el llibre de
Girbau p. 238) i sense girar els eixos es te que si r = (x, y, z) aleshores
t ′ = γ(t − r · v/c 2 )
r ′ = r +
γ−1
v2
(r · v) − γt
on v és la norma euclidiana de v i ‘·’ denota el producte escalar.
Les transformacions de Lorentz més generals també contenen la rotació del eixos.
(11.3)
Exercici 11.7.1. Suposem R i R ′ sistemes de referència tals que l’origen de R ′ es mou de
manera que O ′ = O + tv. Si una partícula es mou amb velocitat w respecte R ′ llavors des de
R la velocitat serà:
1
1 + (v · w)/c2
v · w
+ 1 v +
v2 1
w −
γ
v · w
v2
v .
Aquesta és la forma vectorial de la fórmula de composició de velocitats.
§11.8 Espai (vectorial) de Minkowski L’espai de Minkowski R4 1 és un espai vectorial real
de dimensió 4 amb una forma bilineal, simètrica, no degenerada amb signatura (+, −, −, −).
Una base estàndard {e0, e1, e2, e3} és aquella que ei · ej = −δij si i, j = 1, 2, 3 i e0 · e0 = 1 i
e0 · ei = 0. En una base estàndard, la matriu d’aquesta forma és
⎛
+1 0 0
⎞
0
⎜ 0
⎝ 0
−1
0
0
−1
0 ⎟
0 ⎠
0 0 0 −1
.
Nota: En certs contexts es considera la signatura (−, +, +, +).
Classifiquem els vectors de R4 1 segons la seva norma:
57

• Tipus temps si ||v|| 2 > 0
• Tipus espai si ||v|| 2 < 0
• Tipus llum (o nul) si ||v|| = 0.
La categoria (temps, espai o llum) en la qual està un vector s’anomena caràcter causal del
vector.
Exercici 11.8.1. Demostreu que el conjunt de vectors de tipus llum formen un con, anomenat
con de llum.
Exercici 11.8.2. Si z és un vector tipus temps, el subespai ortogonal z ⊥ és tipus espai i
R 4 1 = 〈z〉 + z⊥ .
Un subespai vectorial W ⊂ R4 1 es de tipus espai si el producte escalar induït pel producte de
R4 1 és definit negatiu. És tipus temps si el producte induït és no degenerat d’índex 1. És tipus
llum si és degenerat.
Exercici 11.8.3. Proveu que W ⊂ R 4 1 és de tipus de tipus temps si i només so W ⊥ és de tipus
espai. Proveu que W és de tipus espai si i només si W ⊥ és de tipus temps. Proveu també que
W és tipus llum si i només si W ⊥ és tipus llum.
Veiem un criteri per decidir quan un subespai és de tipus temps
Exercici 11.8.4. Per un subespai W ⊂ R4 1 de dimensió ≥ 2 són equivalents
1. W és de tipus temps (i per tant un espai de Minkowski de dimensió inferior)
2. W conté dos vector nuls linealment independents
3. W conté un vector tipus temps.
Pels subespais de tipus llum tenim
Exercici 11.8.5. Per un subespai W ⊂ R4 1 són equivalents
1. W és de tipus llum (degenerat)
2. W te un vector nul i cap de tipus temps
3. W ∩ Λ = L \ {0} on L és un subespai de dimensió 1 i Λ és el con de llum.
§11.9 Direcció de temps. Sigui T el conjuntt de vector tipus temps de R4 1 . Per u ∈ T
definim C(u) = {v ∈ T : 〈v, u〉 > 0}. És el con de temps que conté u.
Exercici 11.9.1. Proveu que C(−u) = −C(u) i que T = C(u) ∪ C(−u).
Exercici 11.9.2. Proveu que dos vector de tipus temps estan en el mateix con de temps si i
només si 〈u, v〉 > 0.
Posem |v| = |〈v, v〉| 1/2 .
Exercici 11.9.3. Siguin v, w vectors tipus temps. Proveu
1. |〈v, w〉| ≥ |v| · |w|. La igualtat es dona si i només si són proporcionals.
2. Si v i w estan en el mateix con de temps, proveu que existeix un ϕ ≥ 0 tal que
ϕ s’anomena angle hiperbòlic entre v i w.
〈v, w〉 = cosh ϕ|v| |w|.
Exercici 11.9.4. Proveu que si u, v estan en el mateix con de temps, aleshores |u|+|v| ≤ |u+v|.
58

§11.10 Grup de Lorentz. Les transformacions (11.1) relacionaven el temps (t) i l’espai (z)
en dos sistemes inercials. Considerem ara les coordenades (ct, z) i posem τ = ct.
Exercici 11.10.1. Aleshores la transformació es pot escriure com
g =
1
1 − v 2 /c 2
1 −v/c
−v/c 1
. (11.4)
Exercici 11.10.2. Demostreu que les transformacions de Lorentz (11.4) en l’espai (τ, z) es
poden escriure de la forma
cosh φ
± sinh φ
± sinh φ
.
cosh φ
(11.5)
L’‘angle’ φ s’anomena angle hiperbòlic.
Considerem ara el grup de transformacions lineals de l’espai de Minkowski de dimensió 2 M2
que preserven la forma quadràtica x2 − y2
−1 0
. Si J = , llavors una matriu A és d’aquest
0 1
tipus si i només si AtJA = A (per què?).
Exercici 11.10.3. Proveu que les matrius dos per dos d’aquest tipus són totes de la forma
cosh φ
sinh φ
sinh φ cosh φ
,
cosh φ sinh φ
− sinh φ − cosh φ
,
− cosh φ − sinh φ
sinh φ − cosh φ
,
cosh φ − sinh φ
− sinh φ
. (11.6)
− cosh φ
Exercici 11.10.4. Són les matrius de (11.5) d’algun d’aquest tipus, per què?
Nota: Les matrius (11.6) formen un grup que es denota per O(1, 1) i és anàleg al O(2) però
aquest amb la forma quadràtica x 2 + y 2 (euclidiana).
Les matrius de primer i segon tipus en (11.6) preserven la direcció del temps. Més concretament
Exercici 11.10.5. Siguin (τ, z) i (τ ′ , z) esdeveniments i (¯τ, ¯z) i ( ¯ τ ′ , ¯z) els seus transformats per
un element de O(1, 1). Proveu que pels dos primers tipus (τ − τ ′ )(¯τ − ¯ τ ′ ) > 0 i que pels altres
dos (τ − τ ′ )(¯τ − ¯ τ ′ ) < 0.
59

12 Formulació relativista de les equacions de Maxwell
En aquest seminari considerarem l’espai-temps de Minkowski R 4 amb una mètrica de signatura
(+, −, −, −).
§12.1 Quadri-vectors de l’espai de Minkowski. Els quadri-vectors són vectors de R 4 tals
que quan canviem de sistema de coordenades inercial les seves components canvien segons la
transformació de Lorentz corresponent. L’exemple bàsic és xµ := (ct, x, y, z) = (ct, x).
Exercici 12.1.1. Proveu que qµ = (qt, qx, qy, qz) és un quadri-vector si i només si el camp
no depèn del sistema de coordenades inercial.
vectorial qt ∂
∂t
+ qx ∂
∂x
+ qy ∂
∂y
+ qz ∂
∂z
Si x(t) = (x(t), y(t), z(t)) és la trajectòria d’una partícula, definim el seu temps propi com
s(t) = x ′ µ(t) dt, on x ′ µ(t) = c 2 − x ′ (t) 2 − y ′ (t) 2 − z ′ (t) 2 .
Exercici 12.1.2. Proveu que si x(t) = tv es mou de manera rectilínia i uniforme aleshores
ds
dt = c 1 − v 2 /c 2 .
Exercici 12.1.3. Comproveu que la quadri-velocitat
vµ :=
d xµ
ds
c
= (
1 − v2 /c2 ,
v
1 − v2 /c2 )
és un quadri-vector de norma de Minkowski vµ = c.
§12.2 Quadri-vectors energia-moment i treball-força. Sigui p = mv el moment lineal d’una
partícula que es mou amb velocitat constant v respecte d’un sistema inercial que suposem en
repòs i des del qual mesurem la massa m de la partícula.
Exercici 12.2.1. Proveu que si pµ := (π, p) és un quadri-vector aleshores m =
m0 √ , on
1−v2 /c2 m0 és la massa que mesuraríem si la partícula estigués en repòs. Proveu a més que π = mc.
Exercici 12.2.2. A partir de l’expressió anterior, admetent que la força és la derivada del
moment F = d(mv)
dt , i que el treball és la derivada de l’energia F · v = dE
dt , proveu que E − m c2
és constant al llarg de la trajectòria.
Observem que un eventual canvi d’origen en l’energia permet de prendre E = mc2 , la cèlebre
m0c2 fórmula d’Einstein. Desenvolupant en sèrie de Taylor en v l’energia E =
√ 1−v 2 /c 2 = m0c 2 +
1
2 m0v 2 + · · · , veiem que el primer terme no constant és l’energia cinètica clàssica i el següent
terme, de l’ordre de v4
c 2 , és menyspreable per velocitats |v|

§12.3 Quadri-vectors càrrega-corrent i potencial electromagnètic. A partir d’ara suposarem
que hem pres unes unitats de mesura de manera que c = 1. Considerem una distribució de
càrregues de densitat ρ movent-se amb velocitat constant v mesurat des d’un cert sistema
inercial. Recordem que el vector corrent ve definit per j = ρv. Sigui ρ0 la densitat de
càrrega mesurada en un sistema de referència que es mogui solidàriament amb la distribució
de càrregues.
Exercici 12.3.1. Utilitzant la conservació de la càrrega proveu que ρ = ρ0 √
1−v2 Definim el quadri-vector càrrega-corrent jµ := (ρ, j) i observem que jµ = ρ0vµ.
i j = ρ0v
√ 1−v 2 .
Considereu un filferro conductor perfecte no carregat pel que passa un corrent continu constant
que genera un camp magnètic B = 0 però cap camp elèctric E = 0. Sigui S un sistema inercial
en el qual el filferro està en repòs. Sigui q una càrrega positiva que es mou a la mateixa velocitat
v que el corrent del filferro. Sigui S ′ un sistema inercial en el que la càrrega q està en repòs.
Exercici 12.3.2. Utilitzant la fórmula de Lorentz F = q(E + v × B), proveu que el camp
elèctric E ′ mesurat en el sistema de referència S ′ és diferent de zero. Proveu que la força que
experimenta la càrrega q en S ′ és F ′ = F √
1−v2 .
Sigui φ(t, x, y, z) el potencial elèctric i A(t, x, y, z) el potencial magnètic que verifiquen E =
−∇φ− ∂A
+∇·A = 0. Definim el potencial electromagnètic
∂t i B = ∇×A amb la restricció ∂φ
∂t
Aµ := (φ, A).
§12.4 Quadri-vector gradient i operador dalambertià. Definim el quadri-vector gradient
∇µ := ( ∂ ∂ ∂ ∂
∂t , − ∂x , − ∂y , − ∂z ) actuant sobre funcions de la manera obvia i sobre quadri-vectors
bµ = (b0, b1, b2, b3) mitjançant
∇µbµ := ∂b0
∂t
+ ∂b1
∂x
Per què? Veure §25-3 del volum 2 del Feynman.
+ ∂b2
∂y
+ ∂b3
∂z .
Exercici 12.4.1. Comproveu que ∇µAµ = ∂φ
∂t + ∇ · A = 0 i que ∇µjµ = ∂ρ
∂t + ∇ · j = 0.
Definim l’operador dalambertià
2 := ∇µ∇µ = ∂2
∂t
∂x
∂y
.
∂z2 ∂2 ∂2 ∂2
− − − 2 2 2
Exercici 12.4.2. Comproveu que el dalambertià en unes altres coordenades inercials (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ )
s’escriu de la mateixa manera, i.e.
∂ 2
∂t
∂x
∂y
∂z
∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2
− − − = − − − 2 2 2 2 ′2 ′2 ′2
Indicació: Com el laplacià ∇2 = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
espacials, només cal veure la fórmula anterior pel cas en que t ′ = t−ux
z ′ = z.
∂t
∂x
∂y
.
∂z ′2
∂z2 és invariant per rotacions i translacions
√
1−u2 , x′ = x−ut √
1−u2 , y′ = y i
Exercici 12.4.3. Proveu que el quadri-vector potencial electromagnètic verifica l’equació d’ona
Deduïu que Aµ és un quadri-vector.
2 Aµ = jµ/ɛ0.
61

§12.5 La 2-forma electromagnètica. Si escrivim Aµ = (At, Ax, Ay, Az) = (φ, A) resulta que
B = ∇ × A = (Bx, By, Bz) verifica
Tenint en compte que ∂
també
∂t
Bx = ∂Az
∂y
By = ∂Ax
∂z
Bz = ∂Ay
∂x
− ∂Ay
∂z
− ∂Az
∂x
− ∂Ax
∂y
=: Fyz
=: Fzx
=: Fxy
apareix amb signe oposat que ∂
∂x en ∇µ, per simetria podríem definir
Ftx = ∂Ax
∂t
Fty = ∂Ay
∂t
Ftz = ∂Az
∂t
+ ∂At
∂x
+ ∂At
∂y
+ ∂At
∂z
= ∂Az
∂t
= ∂Az
∂t
= ∂Az
∂t
+ ∂φ
∂t
+ ∂φ
∂t
+ ∂φ
∂t
= −Ex
= −Ey
= −Ez
ja que E = −∇φ − ∂A
∂t . És immediat veure que les definicions anàlogues per Ftt = Fxx =
Fyy = Fzz = 0 i que Fyx = −Fxy, etc. La definició condensada de Fµν és la següent:
Fµν := ∇µAν − ∇νAµ.
Exercici 12.5.1. Si (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) són les coordenades d’un altre sistema inercial tal que
t ′ = t−ux √
1−u2 , x′ = x−ut √
1−u2 , y′ = y i z ′ = z proveu que
F ′ tx = Ftx
F ′ ty = Fty−uFxy
√ 1−u 2
F ′ tz = Ftz−uFxz
√ 1−u 2
F ′ xy = Fxy−uFty
√ 1−u 2
F ′ yz = Fyz
F ′ zx = Fzx−uFzt
√ 1−u 2
Exercici 12.5.2. Sigui u el vector velocitat del sistema inercial S ′ respecte de S i denotem
per v || i v⊥ les parts paral . lela i perpendicular a u d’un vector qualsevol v. Proveu que els
camps elèctric i magnètic en en els dos sistemes inercials estan relacionades mitjançant les
expressions:
E ′ || = E ||
E ′ ⊥
= (E+u×B)⊥
√ 1−u 2
B ′ || = B ||
B ′ ⊥
= (B−u×E)⊥
√ 1−u 2
No podem “fabricar” cap quadri-vector a partir dels camps elèctric i magnètic ni tampoc a
partir de les expressions Fµν. En canvi podem considerar la 2-forma electromagnètica següent:
F :=
Fµνdµ ∧ dν, amb µ, ν ∈ {t, x, y, z}.
µ,ν
Exercici 12.5.3. Comproveu que F és invariant per les transformacions de Lorentz.
62

§12.6 Operador ∗ de Hodge i formulació intrínseca de les equacions de Maxwell. Sigui
V un R-espai vectorial de dimensió finita amb una forma bilineal simètrica no degenerada
g. Sigui e1, . . . , en una base de V i e 1 , . . . , e n la seva base dual, i.e. e i : V → R amb
e i (ej) = δij. Escrivim gij = g(ei, ej) i g ij l’entrada (i, j) de la matriu inversa de la matriu (gij)
i g := det(gij). Considerem l’espai k V ∗ de k-formes sobre V amb base {e I := e i1 ∧ · · · ∧ e ik},
on I = (i1, . . . , ik) amb 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n. Podem escriure qualsevol ω ∈ k V ∗
com ω =
ωIe
|I|=k
I . Definim ωI =
|J|=k gi1j1 · · · gikjkωI. Definim un operador ∗ : k
V ∗ n−k
→ V ∗
mitjançant
on
∗ω :=
|g|
k!
|J|=n−k
sg(IJ)ω I e I ,
⎧
⎨ 0 si I ∩ J = ∅,
sg(IJ) = 1
⎩
−1
si
si
(IJ) és una permutació parell de {1, . . . , n},
(IJ) és una permutació senar de {1, . . . , n}.
Es pot comprovar que ∗∗ = (−1) k(n−k) sg(g), on sg(g) és el signe del determinant g de la
matriu (gij).
Exercici 12.6.1. Descriviu explícitament l’operador ∗ de Hodge per V = R 3 amb el producte
escalar ordinari, per k = 0, 1.
Exercici 12.6.2. Descriviu explícitament l’operador ∗ per V = R 4 amb el producte de Minkowski
per k = 2 i veieu que és un endomorfisme de quadrat menys identitat.
Exercici 12.6.3. Proveu que les equacions de Maxwell
es tradueixen en
on J és la 3-forma
∇ × E + ∂B
∂t
∇ · B = 0
= 0
J =
α,β,γ,µ
∇ × B − ∂E
∂t
dF = 0 i d ∗ F = J
∇ · E = ρ
= j
j µ sg(µ, α, β, γ)dx α ∧ dx β ∧ dx γ .
63

13 De Stokes a De Rham passant per Poincaré
§13.1 Relació entre les integrals de línia, de superfície i sobre cadenes. Recordeu que si
c : [0, 1] k → Rn és una k-cadena i ω ∈ Ωk (Rn ) és una k-forma es defineix
ω := c ∗ ω.
A partir d’ara treballarem en dimensió n = 3.
c
Exercici 13.1.1. Per k = 1, considerem una 1-cadena c : [0, 1] → R3 , c(t) = (x(t), y(t), z(t)),
amb imatge C := c([0, 1]) una corba orientada per t = c′
c ′ . Sigui η = a(x, y, z)dx +
b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz una 1-forma i F(x, y, z) = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z)) el camp
vectorial associat. Observeu que
η =
1
F · dL = a(x(t), y(t), z(t)) dx
+ b(x(t), y(t), z(t))dy + c(x(t), y(t), z(t))dz dt
dt dt dt
c
C
és la integral de línia de F al llarg de C.
0
Exercici 13.1.2. Proveu que aquesta definició no depèn de la parametrització de C.
Exercici 13.1.3. Sigui η = xydx + y2dy + dz i sigui C la corba amb parametrització c(t) =
(t2 , t3 , 1) amb t ∈ [0, 1]. Comproveu que
C
[0,1] k
η = 13
21 .
Exercici 13.1.4. Per k = 2, considerem una 2-cadena σ : [0, 1] 2 → R 3 ,
σ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
amb imatge S := σ([0, 1] 2 ) una superfície orientada per N = σu×σv
σu×σv . Sigui ω = A(x, y, z)dy ∧
dz+B(x, y, z)dz∧dx+C(x, y, z)dx∧dy una 2-forma i F(x, y, z) = (A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z))
el camp vectorial associat. Observeu que
ω és igual a
S
F · dS =
[0,1] 2
∂(y, z)
A(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
∂(u, v)
σ
x)
+ B(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∂(z,
∂(u, v)
∂(x, y)
+ C(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) du dv
∂(u, v)
la integral de superfície de F a través de S, on ∂(f,g)
∂(u,v) denota el determinant de la matriu
Jacobiana de les funcions f, g respecte u,v.
Exercici 13.1.5. Proveu que la integral de superfície no depèn de la parametrització de la
superfície.
Exercici 13.1.6. Sigui η = z 2 dx ∧ dy comproveu que si S es la semiesfera unitària superior
orientada amb el vector normal interior,
Exercici 13.1.7. Calculeu
S
η = π
2 .
S
x = u + v, y = u2 − v2 , z = uv i (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 1].
xdy ∧ dz + ydx ∧ dy on S ve donada per la parametrització
64

§13.2 Relació entre gradient, rotacional, divergència i derivada exterior. Siguin (x1, x2, x3)
coordenades cartesianes de R 3 . (En classe de teoria fem servir la notació x i en lloc de xi.)
Recordeu que al seminari anterior ja vam provar les (tres primeres) afirmacions següents:
1. Si f és una funció a R 3 comproveu que df = g1dx1 + g2dx2 + g3dx3 amb
2. Si η = f1dx1 + f2dx2 + f3dx3 llavors
amb
(g1, g2, g3) = ∇(f) = grad f.
dη = g1dx2 ∧ dx3 + g2dx3 ∧ dx1 + g3dx1 ∧ dx2
(g1, g2, g3) = ∇ × F = rot F, i F = (f1, f2, f3).
3. Si ω = f1dx2 ∧dx3 +f2dx3 ∧dx1 +f3dx1 ∧dx2 llavors dω = div(f1, f2, f3)dx1 ∧dx2 ∧dx3.
4. Proveu que la diferencial de qualsevol 3-forma a R 3 és zero.
§13.3 Relació entre els teoremes clàssics i el teorema de Stokes generalitzat.
Exercici 13.3.1. Sigui (P (x, y), Q(x, y)) un camp vectorial diferenciable a una regió simple
D ⊂ R2 . Deduïu el teorema de Green
(P, Q) · d L = (∂xQ − ∂yP ) dx dy
∂D
D
a partir del teorema de Stokes generalitzat aplicat a la forma diferencial η = P (x, y)dx +
Q(x, y)dy.
Exercici 13.3.2. Sigui S ⊂ R3 una superfície, imatge de σ : [0, 1] 2 → S, orientada amb vora
∂S una corba tancada simple i F(x, y, z) = (a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z)) un camp vectorial
diferenciable. Deduïu el teorema de Stokes clàssic
∂S F · dL = S F · dS aplicant el teorema
de Stokes generalitzat a la 1-forma η = a(x, y, z)dx + b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz.
Exercici 13.3.3. Sigui R ⊂ R3 una regió elemental imatge de ρ : [0, 1] 3 → R3 i F(x, y, z) =
(A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z)) un camp vectorial diferenciable a R. Deduïu el teorema de
Gauss
∂R F · d S = R div F dV aplicant el teorema de Stokes generalitzat a la 2-forma ω =
A(x, y, z)dy ∧ dz + B(x, y, z)dz ∧ dx + C(x, y, z)dx ∧ dy.
§13.4 Relació entre formes tancades i formes exactes. Recordeu que una k-forma ω es diu
tancada si la seva diferencial exterior s’anul . la, i.e. dω = 0, i es diu exacta si existeix una
(k − 1)-forma η tal que ω = dη.
A partir de la relació d 2 = 0 es dedueix immediatament que tota forma exacta és tancada.
Encara que el recíproc en general no és vàlid sí que ho és si el domini D ⊂ R n de definició de
la forma tancada és estrellat respecte d’algun punt O ∈ D, i.e. per tot P ∈ D el segment OP
està contingut a D. Així ho afirma el lema de Poincaré, que dóna una expressió explícita per
la (k − 1)-forma
η = I(ω) :=
1≤i1

en funció dels coeficients fi1···ik de la k-forma
ω =
fi1···ik (x1, . . . , xn) dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ,
1≤i1

§13.6 Relació entre formes tancades i anàlisi complexa. A partir de dues formes diferencials
ω, η podem definir una forma diferencial a valors complexos (C) fent ω + iη. La diferencial
exterior d’una forma amb valors complexos es defineix de manera C-lineal, i.e. d(ω + iη) =
dω + idη i la integral sobre una cadena c mitjançant
c (ω + iη) = c ω + i c η.
Centrem-nos en R 2 que identifiquem amb C mitjançant (x, y) ↔ z = x + iy. Sigui f : C → C
una funció tal que si escrivim f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), resulta que u, v : R 2 → R 2 són
diferenciables.
Exercici 13.6.1. Proveu que d(f(z) dz) = 0 si i només si f és holomorfa, on dz = dx + i dy.
Indicació: recordeu que f és holomorfa si i només si les seves parts real u i imaginària v
satisfan les equacions de Cauchy-Riemann:
∂u ∂v
=
∂x ∂y
∂u
∂y
= − ∂v
∂x
Exercici 13.6.2. Recordeu com deduíem el teorema integral de Cauchy
c f(z) dz = 0 per a
tota corba tancada que sigui la vora d’una regió continguda al domini de definició de f.
Exercici 13.6.3. Sigui f una funció holomorfa en el disc unitat D = {z ∈ C, |z| < 1} i
cr(t) = (r cos t, r sin t), t ∈ [0, 2π], 0 < r < 1. Proveu que f(z)
cr z dz no depèn de r. Deduïu la
fórmula integral de Cauchy
f(0) = 1
f(z)
2iπ c z dz
passant al límit quan r tendeix a zero.
§13.7 Relació entre formes tancades i enllaços. Aquest apartat és purament d’ampliació i
ens remetem als exercicis 5.31, 5.32 i 5.33 del llibre del Spivak per a més detalls.
Considerem la 2-forma de R 3 \ {(0, 0, 0)} definida per
x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z ∧ dx ∧ dy
ω =
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3
2
Exercici 13.7.1. Proveu que ω és tancada,
S2 ω = 4π i deduïu que ω no és exacta. De fet,
r
ω es pot pensar com l’element d’angle sòlid sobre l’esfera (l’anàleg de la forma dθ sobre la
circumferència), veieu el problema 5.31 del Spivak.
Siguin f, g : [0, 1] → R3 parametritzacions de dues corbes tancades C, D disjuntes (C ∩ D = ∅)
i σf,g : [0, 1] 2 → R3 \ {(0, 0, 0)} la 2-cadena definida per σf,g(u, v) = f(u) − g(v). La imatge
de σ és una superfície S amb vora ∂S = C ∪ D.
Es defineix el nombre d’enllaç de C i D com ℓ(f, g) = −1
4π σf,g ω.
Exercici 13.7.2. Es pot comprovar que ℓ(f, g) només depèn de les orientacions de C i D i no
de les parametritzacions utilitzades per definir σf,g.
Exercici 13.7.3. També es pot comprovar que ℓ(f, g) és un nombre enter que mesura l’enllaç
de les dues circumferències C i D a R 3 .
§13.8 Referències
• Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential Topology, Prentice Hall, 1974.
• Jerry Marsden and Antony Tromba, Calculo vectorial, Addison-Wesley.
• Michael Spivak, Cálculo en variedades, Reverté.
67

14 Teoremes de Gauss-Bonnet i Poincaré-Hopf
Sigui S ⊂ R 3 una superfície regular orientada, parametritzada per x(u, v) i (x(u, v); e(u, v)),
e = (e1, e2, e3) una referència mòbil ortonormal sobre S amb e3 = N. Considerem les 1formes
matricials θ = (θi) i ω = (ωij) tals que dx = eθ i de = eω. Sigui C ⊂ S una corba
parametritzada per l’arc α(s) i denotem per φ(s) l’angle entre el vector tangent t(s) i e1(α(s)).
Ja hem observat que
ω12(t(s)) = φ ′ (s) − kg(s). (14.1)
§14.1 Generalització del umlaufsatz. Exercici 14.1.0. Proveu que si C = n
Ci és una
corba tancada simple de classe C 2 a trossos, positivament orientada i amb angle extern φi a
Ci ∩ Ci+1 aleshores
i
Ci
dφ +
φi = 2π.
§14.2 Teorema de Gauss-Bonnet local Sigui C = n
Ci ⊂ S és una corba tancada simple
de classe C 2 a trossos i ∆ ⊂ C tal que ∂∆ = C.
Exercici 14.2.1. Utilitzant l’apartat anterior, la relació (14.1) i el teorema de Stokes proveu el
teorema de Gauss-Bonnet local:
n
n
kg(s) ds + φi = 2π −
∆
K dA.
i=1
Ci
i=1
Exercici 14.2.2. Particularitzeu-ho al cas d’un triangle geodèsic esfèric amb angles interns
α1, α2, α3.
§14.3 Teorema de Gauss-Bonnet global. Sigui S una superfície regular compacta amb
vora ∂S (que pot ser buida). Considerem una triangulació T = {∆i} C i=1 de S amb C cares, A
aristes i V vèrtexs. Recordem que la característica d’Euler-Poincaré de S és χ(S) = C −A+V .
Orientem les aristes de T de manera coherent, i.e. si ∆i ∩ ∆j = Cij aleshores l’aresta Cij té
orientacions oposades als triangles ∆i i ∆j.
Exercici 14.3.1. Utilitzant l’apartat 14 proveu el teorema de Gauss-Bonnet global:
K dA + kg ds = 2πχ(S).
S
∂S
Sigui S ⊂ R N una superfície compacta sense vora, g un producte escalar arbitrari sobre T S i
e = (e1, e2) és una referència mòbil ortonormal sobre S. Denotem per θ1, θ2 la seva base dual
de 1-formes sobre S. Aleshores g = θ 2 1 + θ2 2 i dA = θ1 ∧ θ2.
Exercici 14.3.2. Proveu que existeix una única 1-forma ω12 sobre S tal que dθ1 = θ2 ∧ ω12 i
dθ2 = −θ1 ∧ ω12.
Per analogia amb el cas en que S ⊂ R 3 i g és la primera forma fonamental associada al
producte escalar ordinari de R 3 , definim la curvatura de Gauss K de S mitjançant la igualtat
dω12 = K θ1 ∧ θ2 = K dA i
i
i=1
χm(S, g) := 1
K dA.
2π S
68
i=1

§14.4 Índex d’un camp vectorial sobre una superfície. Sigui X un camp vectorial definit
a un disc tancat D de R2 amb una singularitat aïllada p a l’interior de D (i.e. X(p) = 0) i
denotem per φ l’angle que forma X amb la direcció horitzontal. Es defineix l’índex de X en
el punt p com
ind(X, p) = 1
dφ.
2π ∂D
Exercici 14.4.1. Proveu que l’índex d’una font i un node X = ±(x + · · · , y + · · · ) és +1 i
l’índex d’un punt de sella X = ±(x + · · · , −y + · · · ) és −1.
Si X és un camp vectorial tangent a S amb un nombre finit de singularitats definim
χv(S, X) :=
ind(X, p).
X(p)=0
Per tota T triangulació de S considerem els nombres C(T ) de cares, A(T ) d’arestes i V (T ) de
vèrtexs i definim
χ∆(S, T ) = C(T ) − A(T ) + V (T ).
§14.5 El teorema de Poincaré-Hopf. A continuació provarem el següent resultat:
Teorema 14.1 (Gauss−Bonnet+Poincaré−Hopf). El valor comú
χm(S, g) = χv(S, X) = χ∆(S, T )
no depèn de g, X ni T i es coneix com la característica d’Euler-Poincaré χ(S) de S.
Exercici 14.5.1. Comproveu que per tota triangulació T de S es pot definir un camp vectorial
XT tangent a S amb exactament les següents singularitats:
• una font sobre el baricentre de cada cara de T ;
• un punt de sella sobre el punt mig de cada aresta de T ;
• un node sobre cada vèrtex de T .
Figura 14.1: Descripció geomètrica del camp vectorial XT .
(Observació: el camp XT és el gradient de l’alçada sobre el nivell del mar d’una configuració
geològica amb un cim sobre cada baricentre i una vall sobre cada vèrtex del planetoide S.)
Comproveu que χ∆(S, T ) = χv(S, XT ).
Exercici 14.5.2. Sigui X un camp vectorial tangent a S amb singularitats {pj} n j=1 . Considerem
un disc Dj(ε) ⊂ S centrat a pj de radi ε > 0 prou petit per què Di(ε) ∩ Dj(ε) = ∅. Sigui
69

ej = (e j
1 , ej2
) una referència mòbil en Dj(ε) i φj l’angle que forma X amb e j
1
S \ n
j=1
Dj(ε). Proveu que
S(ε)
K dA =
n
j=1
∂Dj(ε)
ω j
12 +
i passeu al límit quan ε tendeix a zero per concloure.
n
j=1
∂Dj(ε)
dφ j ,
. Sigui S(ε) =
Exercici 14.5.3. Il . lustreu el teorema de Poincaré-Hopf per l’esfera S = S 2 , i els camps definits
per X = ∂θ i X = ∂φ en coordenades esfèriques. Doneu-ne també exemples sobre el tor
S = S 1 × S 1 .
70