Autosimilitud i Fractals - Departament de matemàtiques
Autosimilitud i Fractals - Departament de matemàtiques
Autosimilitud i Fractals - Departament de matemàtiques
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong><br />
Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques<br />
UAB-Secundària<br />
Joan Torregrosa (UAB)<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.1/36
Conjunts <strong>Fractals</strong> i Autosimilars<br />
Man<strong>de</strong>lbrot<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.2/36
Conjunts <strong>Fractals</strong> i Autosimilars<br />
Man<strong>de</strong>lbrot Triangle <strong>de</strong> Serpinskii<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.2/36
Què és un fractal?<br />
Són “boniques” figures geomètriques i prou?<br />
Quines propietats especials els caracteritzen?<br />
Perquè la paraula FRACTAL?<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.3/36
Quant temps fa que es coneixen?<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.4/36
Quant temps fa que es coneixen?<br />
Catedral <strong>de</strong> Anagni (Italia), construida l’any 1104.<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.4/36
Henri Poincaré (1854-1912)<br />
Mo<strong>de</strong>l <strong>de</strong> Poincaré<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.5/36
<strong>Fractals</strong> en la natura<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.6/36
<strong>Fractals</strong> en la natura<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.7/36
<strong>Fractals</strong> en la natura<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.8/36
<strong>Fractals</strong> en la natura<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.9/36
<strong>Fractals</strong> en el cos humà.<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.10/36
Figures fractals<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.11/36
Figures fractals<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.12/36
Mo<strong>de</strong>ls Reals (Antenes <strong>Fractals</strong>)<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.13/36
Mo<strong>de</strong>ls Reals (Cortex Cerebral)<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.14/36
Conjunts autosimilars<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.15/36
Similitud<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.16/36
Similitud<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.16/36
Corba Drac<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.17/36
Corba Drac<br />
Parc Jurassic, Capítol primer<br />
"En els primers dibuixos <strong>de</strong> la corba fractal hi haurà pocs indi-<br />
cis que permetin coneixer l’estructura matemàtica subjacent"<br />
IAN MALCOLM<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.18/36
Corba Drac<br />
Com construir-la?<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.19/36
Corba Drac<br />
Com construir-la?<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.19/36
Corba Drac<br />
Com construir-la?<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.19/36
Corba Drac<br />
Com construir-la?<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.19/36
Corba Drac<br />
Com construir-la?<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.19/36
Corba Drac<br />
Com construir-la?<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.19/36
Corba Drac<br />
Com construir-la?<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.19/36
Corba Drac (15 doblecs)<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.20/36
Corba <strong>de</strong> Koch<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.21/36
El floc <strong>de</strong> neu <strong>de</strong> Koch<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.22/36
El floc <strong>de</strong> neu <strong>de</strong> Koch<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.22/36
El floc <strong>de</strong> neu <strong>de</strong> Koch<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.22/36
El floc <strong>de</strong> neu <strong>de</strong> Koch<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.22/36
El floc <strong>de</strong> neu <strong>de</strong> Koch<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.22/36
El floc <strong>de</strong> neu <strong>de</strong> Koch<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.22/36
El floc <strong>de</strong> neu <strong>de</strong> Koch<br />
Té Perímetre infinit.<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.22/36
El floc <strong>de</strong> neu <strong>de</strong> Koch<br />
L’àrea és finita.<br />
It. Àrea d’un triangle No. <strong>de</strong> triang. Àrea afegida Àrea<br />
1 9 3 27 108<br />
2 1 12 12 120<br />
3 1/9 48 5.33 125.33<br />
4 1/81 192 2.37 127.7<br />
5 1/729 768 1.05 128.75<br />
6 1/6561 3072 .4682 129.21<br />
7 1/59049 12288 .2081 129.43<br />
8 1/531441 49152 .0924 129.522<br />
81<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.23/36
Com medim la costa d’una illa?<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.24/36
Com medim la costa d’una illa?<br />
B. Man<strong>de</strong>lbrot. “How Long is the Coastline of Great Britain” Nature, 1967.<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.24/36
Dimensió<br />
Longitud<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.25/36
Dimensió<br />
Longitud<br />
Longitud, Amplada<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.25/36
Dimensió<br />
Longitud<br />
Longitud, Amplada<br />
Longitud, Amplada, Alçada<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.25/36
Dimensió<br />
La recta, el pla i l’espai son autosimilars.<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.26/36
Dimensió<br />
La recta, el pla i l’espai son autosimilars.<br />
Si trenquem un segment<br />
augmentar cada una en un factor<br />
¡ peces<br />
autosimilars, necesitem<br />
per obtenir el segment original.<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.26/36
Dimensió<br />
La recta, el pla i l’espai son autosimilars.<br />
Si trenquem un segment<br />
augmentar cada una en un factor<br />
¡ peces<br />
Si trenquem un quadrat<br />
augmentar cada una en un factor<br />
¢ peces<br />
autosimilars, necesitem<br />
per obtenir el segment original.<br />
autosimilars, necesitem<br />
per obtenir el segment original.<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.26/36
Dimensió<br />
La recta, el pla i l’espai son autosimilars.<br />
Si trenquem un segment<br />
augmentar cada una en un factor<br />
¡ peces<br />
Si trenquem un quadrat<br />
augmentar cada una en un factor<br />
Si trenquem un cub<br />
cada una en un factor<br />
£ peces<br />
¢ peces<br />
autosimilars, necesitem<br />
per obtenir el segment original.<br />
autosimilars, necesitem<br />
per obtenir el segment original.<br />
autosimilars, necesitem augmentar<br />
per obtenir el segment original.<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.26/36
Dimensió ¤<br />
Dimensió<br />
log (Número <strong>de</strong> peces autosimilars)<br />
log(Factor d’augment)<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.27/36
Dimensió ¤<br />
Dimensió<br />
log (Número <strong>de</strong> peces autosimilars)<br />
log(Factor d’augment)<br />
¥<br />
<br />
<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
¦¨§<br />
©<br />
¦¨§<br />
©<br />
¦¨§<br />
©<br />
¦¨§<br />
©<br />
¦¨§<br />
©<br />
¦¨§<br />
©<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.27/36
Triangle <strong>de</strong> Sierpinski<br />
El Triangle <strong>de</strong> Sierpinski, té 3 peces autosimilars i cada<br />
una cal augmentar-la en un factor <strong>de</strong> 2.<br />
dim<br />
<br />
,<br />
¤<br />
¦¨§<br />
©<br />
¦¨§<br />
©<br />
<br />
<br />
<br />
¤<br />
¥<br />
<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.28/36
Aplicacions a la medicina<br />
La dimensió fractal d’un os sa està entre 1.7 i 1.8<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.29/36
Ín<strong>de</strong>x Fractal<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.30/36
Box Counting<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.31/36
Ín<strong>de</strong>x fractal<br />
L’in<strong>de</strong>x fractal és: 1 - (-.84) = 1.84<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.32/36
Iteració<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.33/36
Iteració<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.33/36
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
Iteració<br />
"sierpinski100" using 1:2<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.34/36
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
Iteració<br />
"sierpinski200" using 1:2<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.34/36
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
Iteració<br />
"sierpinski500" using 1:2<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.34/36
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
Iteració<br />
"sierpinski1000" using 1:2<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.34/36
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
Iteració<br />
"sierpinski10000" using 1:2<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.34/36
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
Iteració<br />
"sierpinski50000" using 1:2<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.34/36
1.8<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
Iteració<br />
"sierpinski100000" using 1:2<br />
0<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.34/36
Realitat<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.35/36
Realitat o Ficció?<br />
<strong>Autosimilitud</strong> i <strong>Fractals</strong> Troba<strong>de</strong>s Matemàtiques UAB-Secundària – p.36/36
Change language