Tema 8.pdf - Dipòsit Digital de la UB - Universitat de Barcelona

1
BLOC II. INTERCANVI
Tema 8. Intercanvi pur
Montse Vilalta
Microeconomia II
Universitat de Barcelona

2
Introducció
Fins ara hem fet anàlisi d’equilibri parcial. No hem estudiat
com es determinen els preus. Tampoc hem tingut en compte
com canvis en el mercat d’un bé afecta el mercat d’altres
béns.
En l’estudi d’una economia d’intercanvi veurem l’anàlisi
d’equilibri general. Veurem com es determinen els preus, i
com canvis en el mercat d’un bé afecta al mercat d’altres
béns.

3
La caixa d’Edgeworth
Estudiarem un món on només hi ha 2 béns: cervesa i
hamburgueses. En aquest món hi viuen l’Albert (A) i la Berta
(B).
En aquest món només hi ha 6 cerveses i 5 hamburgueses que
s’hauran de repartir els nostres amics A i B. Cada possible
repartiment l’anomenarem assignació.
Evidentment els dos consumidors tenen preferències sobre
els dos béns i són individus racionals.
Suposeu que inicialment l’Albert té 2 cerveses i 4
hamburgueses, mentre que la Berta té la resta. Direm que la
dotació inicial de l’Albert és w A =(2,4) i la dotació inicial de
la Berta és w B =(4,1).

4
En el món descrit el conjunt de cistelles que poden consumir
està limitat per la quantitat total disponible (6 i 5).
Hamburgueses
5
4
w A
Hamburgueses
Albert 2 6 Cerveses Berta 4 6 Cerveses
A més, si el que tingui un no pot tenir l’altre. Per exemple si
l’Albert té la cistella (6,5), la Berta té la (0,0), i al revés, si la
Berta ho té tot, l’Albert no té res.
Podem representar aquests dos gràfics en un sol gràfic que
s’anomena la Caixa d’Edgeworth.
1
5
w B

5
Primer girem el gràfic de la Berta i després el sobreposem amb
el gràfic de l’Albert. Així obtenim la Caixa d’Edgeworth.
Hamburgueses
5
Albert
6
Albert
Cerveses
Cerveses
6
Berta
Nº de cerveses totals
Berta
Nº d’hamburgueses
totals
Hamburgueses
5

6
La caixa d’Edgeworth
Bé 2
A
x2
A
Albert x1
Bé 1
B
x1
Berta
Cada punt dins de la Caixa d’Edgeworth representa una assignació possible perquè es
A B
x x
A B A B
w w i x x
A B
w w
.
compleix que 1 1 1 1 2 2 2 2
B
x2

7
Podem dibuixar les preferències dels individus a la caixa
d’Edgeworth. Suposem que tenen preferències estrictament
convexes. Fixeu-vos que la utilitat de la Berta augmenta en
sentit sud-oest i per l’Albert la utilitat augmenta en sentit
nord-est.
Bé 2
A
x2
A
Albert x1
Bé 1
B
x1
Berta
B
x2

8
Intercanvi amb preferències
estrictament convexes
Ara ja tenim tots els elements necessaris per analitzar què
faran els nostres amics. Donada la dotació inicial w, voldran
intercanviar entre ells?
Bé 2
4
Albert
4
2
w
Bé 1
Berta
1
Si dibuixem les CI de cada
individu que passen per w,
podem observar que la zona
ombrejada és preferida per
tots dos, per tant, estaran
disposats a intercanviar.
Anomenarem aquesta àrea
ombrejada zona de millora.
L’intercanvi és mútuament
beneficiós en aquest cas.

9
Quan deixaran d’intercanviar? Quan arribin a una assignació
com l’assignació E. Què passa a l’assignació E? Doncs que les
dues CI són tangents (es toquen però no es tallen), i per tant,
no hi ha una zona de millora. Direm que l’assignació E és
eficient en el sentit de Pareto.
Bé 2
Albert
Bé 1
E
Berta

10
Eficiència en el sentit de Pareto
Una assignació és eficient en el sentit de Pareto quan:
No és possible millorar el benestar de tots els consumidors a la
vegada.
No és possible millorar el benestar d’un consumidor sense
empitjorar l’altre.
S’han esgotat tots els guanys derivats de l’intercanvi.
No és possible realitzar cap intercanvi avantatjós.
Quan tenim preferències estrictament convexes, en una
assignació eficient en el sentit de Pareto es satisfà que les
corbes d’indiferència dels dos individus són tangents, és a dir,
que les relacions marginals de substitució dels dos individus
són iguals. RMS A=RMS B.

11
Corba de contracte
El conjunt de totes les assignacions eficients en el sentit de
Pareto situades dins de la caixa d’Edgeworth s’anomena
corba de contracte.
Dins d’una caixa d’Edgeworth hi ha moltes assignacions
eficients. De fet, donada qualsevol corba d’indiferència de la
Berta, podem trobar una assignació eficient desplaçant-nos al
llarg d’aquesta CI fins a trobar l’assignació que sigui millor
per a l’Albert.
Bé
2
Albert
Bé 1
Berta

12
Corba de contracte
Matemàticament, com podem trobar la corba de contracte
quan les preferències dels dos individus són estrictament
convexes?
A A
max u ( 1, 2 )
A A A x x
x1 , x2
B B
s. a. uB( x1, x2 ) u B
A B
x1 x1 x
1
A B
x2 x2 x2
on x i x són les quantitats
1 2
totals disponibles de cada bé.
Maximitzant la utilitat de
l’Albert, mantenint constant el
nivell d’utilitat de la Berta i
mantenint-nos dins de la caixa
d’Edgeworth.

13
Solució al problema matemàtic:
A A A
L uA( x1 , x2 )
uB( x1 x1 , x2 A
x2 ) u B
L
x u
x u
x
0
A B
A A B
1 1 1
L
u u
x x x
A B
A A B
2 2 2
0
A partir de les dues condicions de primer ordre, podem arribar
a la condició RMS RMS , que s'ha de complir en la
corba
de contracte.
A B

14
Bé 2
Equilibri
Donada una dotació inicial, quina serà l’assignació
d’equilibri? Dibuixem les dues CI que passen per la dotació
inicial per determinar quina és la zona de millora. Sabem que
4
Berta fins que no arribin a una
4
w
B
1
assignació eficient en el
sentit de Pareto seguiran
intercanviant.
A
L’assignació d’equilibri
serà una assignació
2
eficient dins de l’àrea de
Bé 1
millora. Quina? Només
podem dir que estarà sobre el nucli. El nucli és la part de la
corba de contracte que està dins la zona de millora (segment
AB).
Albert

15
Equilibri competitiu
Fins ara teníem una economia d’intercanvi sense diners. Els
consumidors es trobaven a un lloc i intercanviaven els
productes com volien.
Ara introduïm un mercat per a cada bé. Un subhastador fixa
els preus p 1, p 2. Els individus poden comprar i vendre els
béns a aquests preus. No cal que es trobin per intercanviar.
Donats els preus i la dotació inicial, cada consumidor per
separat decideix quina és la seva cistella òptima. Cada
consumidor maximitza la seva utilitat donada la restricció
pressupostària.

16
Hamburgueses
5
4
w A
X A
Albert 2 6 Cerveses Berta 4 6 Cerveses
Demanda bruta:
Demanda neta:
Hamburgueses
x , x , x , x .
A B A B
1 1 2 2
x w
A A
1 1
x w
A A
2 2
x w
B B
1 1
x
w
B B
2 2
1
5
X B
w B

17
Els preus són d’equilibri si fan que l’oferta sigui igual a la
demanda en cada bé. Ho podem escriure de dues maneres:
Demanda bruta agregada=Oferta bruta agregada
x x w w
A B A B
1 1 1 1
x x w w
A B A B
2 2 2 2
Demanda neta= Oferta neta
x w w x
A A B B
1 1 1 1
x w w
x
B B A A
2 2 2 2

18
Equilibri competitiu a la caixa d’Edgeworth
Bé 2
4
Albert
w
4
2
Bé 1
x A
x B
Berta
Donats els preus indicats al gràfic, ens trobem en equilibri?
Si no és així, quin dels dos béns s’hauria d’encarir?
1
p1
Pendent
p
2

19
Bé 2
4
Albert
w
4
2
Bé 1
Donats els preus indicats al gràfic, ens trobem en equilibri?
Quines condicions compleix l’equilibri competitiu?
E
Berta
1
p1
Pendent
p
2

20
Equilibri competitiu
També s’anomena equilibri de mercat o equilibri Walrasià.
L’equilibri competitiu és aquell on cada individu maximitza
la seva utilitat i a més els mercats es buiden
(oferta=demanda).
En el cas de preferències estrictament convexes, l’assignació
d’equilibri compleix:
1. RMS A=-P 1/P 2 i RMS B=-P 1/P 2 .
2.
x x w w
A B A B
1 1 1 1
x x w
w
A B A B
2 2 2 2
Fixa’t que en equilibri necessàriament es compleix que
RMS A=RMS B. Això implica que l’equilibri competitiu és
eficient en el sentit de Pareto.

21
FORMALMENT:
L'equilibri és el parell de preus (p , p ) que satisfà:
x (p , p ) x (p , p ) w w
A * * B * * A B
1 1 2 1 1 2 1 1
x (p , p ) x (p , p ) w w
A * * B * * A B
2 1 2 2 1 2 2 2
* *
1 2
Podem reescriure les equacions anteriors:
A * * A B * * B
x 1 (p 1, p2 ) w 1
x 1 (p 1, p2 ) w 1 0
A * * A B * * B
x 2 (p 1, p2 ) w 2
x 2 (p 1, p2 ) w 2 0
És a dir, la suma de demandes netes ha de ser igual a zero.
A A B B
Definim z i ( p1, p2 )
x i (p 1, p2 ) w i
x i (p 1, p2 ) w i .
Anomenem z ( p, p ) l'excés de demanda
agregada del bé i.
i
1 2
Sabem que en equilibri es compleix que z ( p , p ) 0 per i=1,2.
i
* *
1 2

22
La llei de Walras
El valor de l’excés de demanda agregada és idènticament
igual a zero per a qualsevol parell de preus p 1, p 2.
p z ( p , p ) pz( p , p ) 0
1 1 1 2 2 2 1 2
Demostració: Sabem que donats uns preus la cistella òptima compleix la
recta pressupostària de cada individu.
RP : p x ( p , p ) p x ( p , p ) p w p w
A
A A A A
1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2
RP : p x ( p , p ) p x ( p , p ) p w p w
B
B B B B
1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2
Que també podem escriure així:
A A A A
RPA : p 1 x1 ( p1, p2) w 1 p 2 x2 ( p1, p2) w 2 0
B B B B
RPB : p 1 x1 ( p1, p2) w 1 p 2 x2 ( p1, p2) w 2 0
Si sumem aquestes dues equacions i reordenem obtenim la llei de Walras:
A A B B A A B B
p 1 x1 ( p1, p2) w1 x1 ( p1, p2) w 1 p 2 x2 ( p1, p2) w 2 x2 ( p1, p2) w 2
0

23
Implicació de la llei de Walras
Si tenim N béns, i l’excés de demanda agregada és zero per a
N-1 mercats, necessàriament el mercat restant també té
l’excés de demanda agregada igual a zero.
En altres paraules, si N-1 mercats estan en equilibri, llavors
el mercat restant necessàriament també estarà en equilibri.
En el cas de dos béns:
Si sabem que el mercat del bé 1 està en equilibri:
z ( p , p ) 0.
* *
1 1 2
Llei de Walras si preus p , p :
* * * * * *
1 1 1 2 2 2 1 2
* *
1 2
p z ( p , p ) pz( p , p ) 0.
Llavors, si p 0, necessàriament z ( p , p ) 0.
* * *
2 2 1 2

24
Exemple d’equilibri competitiu
Dades del problema:
Busquem els preus que fan que les decisions òptimes dels
individus porten a que els mercats es buidin.
En realitat ens preocupa només el preu relatiu p 1/p 2 que és el
que indica el pendent de la RP. Per tant, podem fixar p 2=1 i
p 1=p. Llavors, p= p 1/p 2.
Dos passos:
u ( x ) ( x ) i u (
x ) ( x )
A A 2/3 A 1/3 B B 1/3 B 2/3
1 2 1 2
x 1000 i x 1000
1 2
w w w w
500
A B A B
1 1 2 2
1. Calculem les funcions de demanda ordinàries dels dos
individus donats els preus p 2=1 i p 1=p.
2. Busquem el preu p que fa que el mercat d’un bé es buidi. Per
la llei de Walras sabem que el mercat de l’altre bé també està
en equilibri. Per tant, p serà el preu d’equilibri!

25
SOLUCIÓ:
Funcions de demanda:
A* 1000 1000 A*
500p 500
x1 i x2
3 3p 3 3
B* 1000 1000 B*
1000p 1000
x1 i x1
6 6p 3 3
Preu d’equilibri:
x ( p ) w x ( p ) w 0
A* * A B* * B
2 2 2 2
* *
500p 500 1000p 1000
*
500 500 0 p 1
3 3 3 3
Quantitats d'equilibri:
A* 2000 A* 1000 B* 1000 B*
2000
x1 ; x2 ; x1 ; x2
.
3 3 3 3

26
Conceptes de justícia i equitat
Assignació equitativa: quan cap agent prefereix la cistella de
l’altre a la seva pròpia. (concepte de Rawls)
Assignació justa: és una assignació equitativa i eficient en el
sentit de Pareto. (concepte de Nozic)
Si l’agent A prefereix la cistella de l’agent B, diem que A
enveja a B.
En un equilibri competitiu on la dotació inicial és una divisió
igualitària dels béns, l’equilibri serà necessàriament just.

27
Teoremes del benestar
Supòsits: preferències convexes, consumidors racionals i
preu-acceptants.
PRIMER TEOREMA DEL BENESTAR:
Tots els equilibris del mercat són eficients en el sentit de
Pareto.
SEGON TEOREMA DEL BENESTAR:
Si tots els consumidors tenen preferències convexes, sempre
existeix un conjunt de preus als que cada assignació eficient
en el sentit de Pareto és un equilibri de mercat per a una
dotació inicial apropiada.

28
Observacions
L’equilibri de mercat és bo perquè sempre arriba a una
situació eficient en el sentit de Pareto (no podem millorar a
algú sense empitjorar a l’altre).
Si no ens agrada l’equilibri al que hem arribat perquè el
trobem injust o no equitatiu, sempre podem variar la dotació
inicial i arribarem a un altre equilibri.
Si la dotació inicial és el repartiment igualitari dels dos béns,
llavors podem assegurar que l’equilibri final serà just (és a
dir, una assignació equitativa i eficient en el sentit de Pareto).
Saps per què?

29
Tens algún dubte?
El Varian dedica tot un tema a Intercanvi.
Practica en els exercicis penjats al Campus
com aplicar la teoria de l’intercanvi quan les
preferències no són estrictament convexes.