TEMA 5: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

TEMA 5: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán
1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 1
2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO....................................................... 1
3. MEDICIÓN DE ÁNGULOS............................................................................ 3
4. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA ........................................................ 4
1. INTRODUCCIÓN
Este capítulo está orientado a la medición de ángulos y para ello es necesario conocer con
amplitud las herramientas de medición. La fundamental es la circunferencia ya que ésta
proporciona un sistema de medición a través de su arco. Así pues, después de detallar las
características de esta línea cerrada y de las propiedades de elementos que se pueden
considerar en la misma estableceremos como se miden los ángulos centrales y las
relaciones angulares que se producen según sea la posición de éstos respecto de la
circunferencia.
2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO
Una circunferencia es una línea cerrada y plana cuyos puntos equidistan de uno fijo que se
llama centro. La distancia de cualquiera de sus puntos al centro se llama radio.
Definiciones
• La región interior a la circunferencia se denomina círculo.
• La parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma se denomina
arco.
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• El segmento que determinan dos puntos cualesquiera de la circunferencia se
denomina cuerda.
• La cuerda que contiene al centro de la circunferencia se denomina diámetro.
• La porción de círculo comprendida entre una cuerda y el arco que determina se
denomina segmento circular.
• La porción de círculo comprendida entre dos radios y el arco comprendido se
denomina sector circular.
• Las posiciones de una recta
Propiedades:
sobre una circunferencia son:
exterior (no tienen ningún punto
interior), secante (tienen dos
puntos en común) y tangente
(tienen un único punto en común).
• Cada diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas
semicircunferencias (Ídem con el círculo).
• La mediatriz de cualquier cuerda contiene al centro de la circunferencia.
• La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio determinado por el
centro y el punto de tangencia.
• Tres puntos determinan una única circunferencia.
Tarea 1: Sitúa tres puntos y dibuja con precisión la circunferencia que pasa por ellos.
Posiciones de dos circunferencias
• Exteriores: Cada circunferencia está formada por puntos
exteriores de la otra.
• Interiores: Una circunferencia es
interior a otra cuando aquella está
formada por puntos del círculo de ésta. El radio de la interior
debe ser menor que el de la exterior.
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• Concéntricas: cuando ambas tienen el mismo centro. A la
región del plano que delimitan se le denomina corona circular.
• Secantes: Tienen dos puntos en común.
• Tangentes interiores: Sólo tienen un punto en común y el
resto de los puntos de una de ellas son puntos del círculo
de la otra. El radio de la
tangente interior debe ser menor que el de la
tangente exterior. Los centros de ambas son
interiores a una de ellas y ambos están alineados con
el punto de tangencia.
• Tangentes exteriores: Sólo tienen un punto en
común y el resto de los puntos de una de ellas son
puntos del exterior de la otra. El centro de una es
exterior a la otra y ambos están alineados con el
punto de tangencia.
Tarea 2: Estudia la relación entre los radios de las circunferencias y la distancia entre los
centros en cada una de las posiciones.
3. MEDICIÓN DE ÁNGULOS
La forma más sencilla de medir ángulos es trazar una circunferencia centrada en el vértice
y comparar la longitud del arco comprendido entre los dos lados del ángulo con la longitud
de la circunferencia que, como es sabido, es 2πr, siendo r la longitud del radio.
Se considera como unidad de medida el radián, que es la amplitud de un ángulo cuyo arco
es igual a la longitud del radio de la circunferencia centrada en el vértice del ángulo que
contiene a dicho arco. Con esta unidad de medida la circunferencia completa tiene 2π
radianes, el ángulo llano π radianes, el ángulo recto π/2 radianes,… etc.
Otra unidad de medida es el grado sexagesimal, que es la amplitud de un ángulo cuyo arco
es 2πr/360. Es decir, se divide a la circunferencia de centro el vértice del ángulo en 360
partes, que se denominan grados, y un ángulo que mida un grado tiene como arco una de
estas divisiones. En el sistema sexagesimal, heredado de los babilónicos, cada grado se
divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.
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El instrumento que se utiliza para medir un ángulo en grados se llama transportador. Se
coloca el transportador sobre el ángulo de
manera que el vértice coincida con el centro
de la circunferencia que constituye el borde
del transportador, A, y que uno de los lados
del ángulo este en el radio AC. El ángulo de la
figura mide 39 grados.
Con el transportador también se pueden
trasladar ángulos para ser sumados, pero conviene tener en cuenta, que por estar sujetas a
una escala, sus mediciones son siempre
aproximadas, mientras que con el compás,
teóricamente, se tomaría la amplitud exacta.
Cuando el ángulo sea mayor que uno llano
(cóncavo) se mide el exceso del llano y se suma a
180º o se mide el ángulo convexo correspondiente y
se resta a 360º dicha medida.
Tarea 3: Trazar varios arcos de circunferencia de distinto radio, todos con centro en el
origen de una semirrecta. Cortar unos cables finos de longitud igual a cada radio. Poner
sobre la circunferencia el cable de longitud su radio a partir de la intersección de la
circunferencia con la semirrecta. Comprobar que los extremos del cable determinan el
mismo ángulo. Este ángulo mide un radián.
4. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Según la posición de un ángulo respecto de una circunferencia los ángulos se pueden
clasificar en:
• Central: El vértice del ángulo es el centro de la circunferencia.
• Inscrito: El vértice del ángulo está en la
circunferencia y los lados contienen a
sendas cuerdas.
• Semiinscrito: El vértice del ángulo está
en la circunferencia, uno de los lados
contiene a una cuerda y el otro está en la tangente a la
circunferencia en dicho punto.
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• Interior: El vértice del ángulo está en el interior de la
circunferencia, es decir, es un punto del círculo.
• Exterior: El vértice del ángulo
está en el exterior de la
circunferencia.
Teorema del ángulo inscrito: La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad del ángulo
central correspondiente.
Demostración: La figura adjunta muestra las tres posibles posiciones del centro de la
circunferencia respecto a un ángulo inscrito. Por tanto, hay que demostrar el teorema para
cada una de las tres. Sólo lo haremos en la primera ya que las otras dos se obtienen
aplicando la primera a la suma α1+α2 y a la resta ϕ1−ϕ2.
En el primer caso: α=α' por ser los ángulos iguales de un triángulo isósceles (dos lados son
dos radios). Por otra parte, β=α+α’ ya que β+δ=α+α'+δ y, por tanto α=β/2.
Este teorema es un ejemplo muy claro de los que significa el aprendizaje significativo, ya
que para que el alumno pueda entender el teorema es absolutamente necesario que
conozcan la significación de todos los términos matemáticos que interviene en el
enunciado: amplitud, ángulo, inscrito, mitad, central y correspondiente. Además tiene que
ver cómo están relacionados estos términos en la figura y ver que sólo hay tres casos.
Consecuencia: Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco tienen la misma
medida.
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Otras relaciones angulares
El teorema anterior permite establecer relaciones de los ángulos anteriores con los
centrales correspondientes.
1. La amplitud del ángulo semiinscrito, α, es la mitad del ángulo central correspondiente.
Demostración:
La bisectriz del ángulo β (ángulo central del arco que
subtiende α) es mediatriz del segmento VD y por tanto ϕ es
recto, lo que implica que δ+β/2=π/2=90º. Análogamente
α+δ=π/2=90º y, en consecuencia, δ+β/2=α+δ y, finalmente,
α=β/2.
2. La amplitud del ángulo interior, α, es la semisuma de
los arcos que subtienden α y el ángulo opuesto por el
vértice,β, que se obtiene al prolongar los lados de α.
Demostración esquemática:
α=β=δ+ε=ϕ/2+θ/2= (ϕ+θ)/2
3. La amplitud del ángulo exterior, α, es la semidiferencia de arcos, β y δ, que subtiende.
Demostración esquemática:
ϕ =α+θ=α+δ/2
Como, por otra parte, ϕ=β/2, entonces,
α=β/2−δ/2=(β−δ)/2
El teorema del ángulo inscrito permite establecer uno de los teoremas básicos de la
geometría.
Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es de 180º
(π π radianes o, lo que es lo mismo, un ángulo llano).
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Demostración: Es trivial, ya que, considerando la
circunferencia que pasa por sus vértices, los ángulos del
triángulo α, β y δ son inscritos a esta circunferencia y los
arcos de sus centrales correspondientes α1, β1 y δ1 son toda
la circunferencia. Por tanto:
α+β+δ= α1/2+β1/2+δ1/2= (α1+β1+δ1)/2=180º=π radianes
Arco capaz
Es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve a un segmento dado,
AB, con un mismo ángulo, α. Es el arco formado por el lugar geométrico de los puntos tales
que su ángulo inscrito mide α.
Para representar el arco capaz se traza la mediatriz de AB y por uno de sus extremos, por
ejemplo A, se traza la perpendicular a
dicho segmento y a partir de esta
perpendicular se transporta el ángulo
dado. El corte del segundo lado de
este ángulo determina con la mediatriz
el centro de la circunferencia cuyo arco
δ es el arco capaz. Todos los ángulos
inscritos del arco capaz subtienden un
arco β.
Tarea 4: Comprueba con el transportador que un ángulo
que tenga su vértice en δ y sus lados pasen por A y B
mide lo mismo que α. Demuestra que el resultado se
cumple sea cual sea el ángulo inscrito con vértice en δ.
Tarea obligatoria: Resolver individualmente los siguientes problemas y poner en común en
el grupo de trabajo los cinco problemas que el profesor asigne al grupo. Habrá una sesión
de corrección en la que cada grupo explique la resolución de un problema en la pizarra (el
profesor elegirá el problema de entre los asignados al grupo y el miembro del grupo que
debe explicarlo).
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1. Calcula el menor de los dos ángulos que forman las agujas del reloj en cada uno de los
casos siguientes: a) 12h 30' b) 2h 15' c) 7h 23' d) 4h 52' e) 9h 45' f) 5h10´
2. El ángulo formado por un cateto y la prolongación de la hipotenusa en un triángulo
rectángulo es de 125º 3' 4”. Halla los ángulos del triángulo.
3. En la figura de la derecha, se sabe el valor de los
siguientes ángulos: AOP=80º, POC=70º, COM=40º y
AOR=45º. Halla la medida de los cuatro ángulos
(interiores) del cuadrilátero ABCD.
4. En una circunferencia se traza una cuerda BD
perpendicular a un diámetro AC y una cuerda DF
paralela a ese mismo diámetro. Se sabe que el arco BC
mide 60º. ¿Qué amplitud tienen los arcos DC, AB, y
FD?
5. Se sabe que, en la figura de la derecha, el ángulo
a mide 90º y el ángulo b, 30º. ¿Cuál es el valor de los
ángulos c y d?
6. Un ángulo de 64º tiene sus lados tangentes a una
circunferencia. ¿Cuánto mide el menor de los arcos en que los puntos de tangencia dividen
a la circunferencia?
7. De la figura de la derecha conocemos que a =80º y b
=44º. Calcula la amplitud del ángulo c. Se trazan las
cuerdas PA, PB, PD y PC. Calcula el valor de los ángulos
APB, BPC y CPD.
8. Se divide una circunferencia en 15 partes iguales y
se numeran los puntos de división consecutivamente. Halla el ángulo que forma la recta 1-7
(recta que pasa por los puntos 1 y 7) con la 1-9. Misma pregunta con las rectas 1-4 y 7-9.
9. En la figura de la derecha, AB es un diámetro y C un
punto cualquiera de la circunferencia. Indica de manera
razonada cuáles de las siguientes igualdades son ciertas:
a) 1 = 2 b) 3 = 4 c) 1 + 2 = 3 + 4
d) 2 + 3 = 90º e) 1 + 4= 2+3.
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10. Sabiendo que el ángulo α de la figura de la derecha
mide 34º 29´ 58", calcular razonadamente el valor de los
ángulos β y γ .
C
12. En el gráfico de la derecha se
conoce que O es el centro de la
circunferencia, BDC=20º y BEC=50º.
Hallar la medida de los tres ángulos del
triángulo ABC.
11. Se divide una circunferencia en 12 partes
iguales y se numeran consecutivamente los
puntos de división. Dibujando las cuatro rectas
(secantes o tangentes) que pasan por algunos de
esos puntos se obtienen los vértices del
cuadrilátero ABCD de la figura. Hallar
razonadamente las medidas de los cuatro ángulos
interiores del cuadrilátero.
13. Encontrar la medida en grados de los ángulos a,
b, c y d de la figura de la izquierda.
14. Sabiendo que BH es una altura del triángulo, que O
es el centro de la circunferencia, y que el ángulo 1
mide 72º 46´, calcula la medida de cada uno de los
demás ángulos numerados que aparecen en la figura
adjunta.
10
9
8
12
11 1
7
B
6
D
5
A
2
4
3
D
A
F
A
E
1
B
2 3
H
O
6
7
B
O
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C
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4
C