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Leonardo Garrido
TRIÁNGULO
Polígono de tres lados. Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en
equiláteros, si sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escálenos, si
los tres lados son distintos.
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente,
agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son
agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene una ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el
mayor de sus ángulos es obtuso.
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus
lados.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el
tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los
dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de los catetos:
a 2 = b 2 + c 2
Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el
cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es
decir,
c 2 = a · m, b 2 = a · n
ALTURAS DE UN TRIÁNGULO
Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un
vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres
bases a, b, c, y las tres alturas correspondientes, h a , h b y h c .
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de
los dos segmentos en que la divide:
h 2 = m · n

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Esta relación se conoce como teorema de la altura.
Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado
ortocentro. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo.
En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El
ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el
ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo.
MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO
Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que unen un vértice con el
punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se
llama baricentro.
El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno de ellos la mitad del otro:
ÁREA DE UN TRIÁNGULO El área de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes
h a , h b y h c es:
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A = (1/2)a · h a = (1/2)b · h b = (1/2)c · h c
Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el área se puede calcular mediante la
siguiente fórmula, llamada fórmula de Herón:
en donde p = (a + b + c)/2 es el semiperímetro del triángulo.

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CIRCUNFERENCIA
En geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo,
llamado centro de la circunferencia. No se debe confundir con el círculo (superficie), aunque
ambos conceptos están estrechamente relacionados. La circunferencia pertenece a la clase de
curvas conocidas como cónicas, pues una circunferencia se puede definir como la intersección
de una superficie cónica con un plano perpendicular a su eje.
1. Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos
están en la circunferencia se denomina diámetro.
2. Un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia.
3. Una cuerda es un segmento rectilíneo cuyos extremos son dos puntos de
la circunferencia.
4. Un arco de circunferencia es la parte de ésta que está delimitada por
dos puntos.
5. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados
son dos radios.
6. El centro de la circunferencia es centro de simetría, y cualquier
diámetro es eje de simetría.
La proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una constante,
representada por el símbolo ð, o pi. Es una de las constantes matemáticas más importantes y
desempeña un papel fundamental en muchos cálculos y demostraciones en matemáticas, física y
otras ciencias, así como en ingeniería. Pi es aproximadamente 3,141592, aunque considerar
3,1416, o incluso 3,14, es suficiente para la mayoría de los cálculos.
El matemático griego Arquímedes encontró que el valor de ð estaba
entre 3 + ‡ y 3 + .
Arquímedes realizó grandes contribuciones a la matemática teórica. Además, es famoso por aplicar
la ciencia a la vida diaria. Por ejemplo, descubrió el principio que lleva su nombre mientras se bañaba.
También desarrolló máquinas sencillas como la palanca o el tornillo, y las aplicó a usos militares y de
irrigación.
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
Una recta y una circunferencia pueden ser:
1. Exteriores, si no se cortan (no tienen ningún punto en
común)
2. Tangentes, si sólo se tocan en un punto (punto de
tangencia)
3. Secantes si tienen dos puntos comunes.
Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el centro con el
punto de tangencia.

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POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dos circunferencias también pueden no tocarse, ser tangentes o ser secantes según tengan
ninguno, uno o dos puntos comunes, respectivamente. Sin embargo, se pueden precisar más las
posiciones relativas de dos circunferencias según la distancia entre sus centros, d, y las
longitudes de sus radios, r 1 y r 2 :
Exteriores: si no tienen puntos comunes y la distancia entre sus
centros es mayor que la suma de sus radios.
Tangentes exteriores: si tienen un punto común y la distancia entre
sus centros es igual a la suma de sus radios.
Secantes: si tienen dos puntos comunes.
Tangentes interiores: si tienen un punto común y la distancia entre
sus centros es igual a la diferencia de sus radios.
Interior una a la otra: si no tienen ningún punto común y la distancia
entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios.
Concéntricas: si tienen el mismo centro.

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CIRCUNFERENCIAS Y POLÍGONOS
La circunferencia inscrita en un polígono regular es la que
tiene su centro en el del polígono y es tangente a todos sus
lados. Su radio es igual a la apotema del polígono.
La circunferencia circunscrita a un polígono regular es la
que pasa por todos sus vértices.
Los triángulos, aunque no sean regulares, tienen siempre
circunferencia inscrita (tangente a sus tres lados) y
circunscrita (que pasa por sus tres vértices).
Se llama circunferencia exinscrita a un triángulo, a la que
es tangente a uno de sus lados y a las prolongaciones de los
otros dos.
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Como ya se ha dicho anteriormente, un ángulo central de una
circunferencia es el que tiene su vértice en el centro de
ésta. La medida de un ángulo central es igual a la del arco que
abarca.
Un ángulo inscrito en una circunferencia es aquel cuyo
vértice está sobre ella y cuyos lados la cortan en respectivos
puntos. La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la del
arco que abarca.
Un ángulo semi-inscrito en una circunferencia es aquel cuyo
vértice, V, está sobre ella, uno de sus lados la corta y el otro
es tangente en V. La medida de un ángulo semi-inscrito es la
mitad de la del arco que abarca.
En una circunferencia, un ángulo interior es el que tiene su
vértice en el interior de la misma. Su medida es la mitad de
la suma de la medida del arco que abarcan sus lados con el
arco que abarcan sus prolongaciones.

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Un ángulo exterior a una circunferencia es el que tiene su
vértice en el exterior de la misma. Su medida es la
semidiferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre
la circunferencia.
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PARÁBOLA
Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una
superficie cónica de eje e y ángulo á mediante un plano Ð que no pasa por el vértice y que
corta a e bajo el mismo ángulo á.
La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:
Eje, e.
Vértice, V.
Distancia de F a d, p.

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La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir, todas las parábolas
tienen excentricidad 1.
Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y,
viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje.
Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los
automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje)
y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión,
concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de
cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.
EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA PARÁBOLA Si se hace coincidir el eje X con el eje de la
parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es:
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y 2 = 2px
Las curvas de ecuación y = ax 2 + bx + c también son parábolas. Su eje es paralelo al eje Y, y
su vértice se encuentra en el punto de abscisa -b/2a.
ELIPSE
Una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie
cónica de eje e y ángulo á mediante un plano, Ð, que no pasa por el vértice y que corta a e bajo
un ángulo â mayor que á, pero menor de 90º (á < â < 90º).
Si á es próximo a cero se obtiene una elipse poco excéntrica. Si á es próximo a uno se obtiene
una elipse muy excéntrica. Véase Excentricidad.
La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F
y F’, llamados focos, y un número fijo k, , la elipse es el lugar geométrico de los puntos,
P, del plano cuya suma de distancias a F y F’ es igual a k:

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; d 1 + d 2 = k.
Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero”:
se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea
igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
Centro, O.
Eje mayor, AA´.
Eje menor, BB´.
Distancia focal, OF.
Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las letras siguientes:
. El eje mayor mide 2a.
.
. El eje menor mide 2b.
. La distancia entre focos es 2c.
Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación:
a 2 = b 2 + c 2
La excentricidad de una elipse se obtiene así:
e = c/a

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Puesto que c < a se verifica que 0 < e < 1, es decir, la excentricidad de una elipse es un número
comprendido entre 0 y 1.
Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las más excéntricas
son la de Plutón, e = 0,25 , y la Mercurio, e = 0,21. Los restantes planetas tienen órbitas con
excentricidades inferiores a 0,1 , es decir, casi circulares.
PROPIEDADES DE LA ELIPSE
Si desde un punto P de la elipse se trazan los segmentos PF y PF’, la bisectriz exterior del
ángulo que forman estos segmentos es tangente a la elipse.
Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de los
focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por el otro foco.
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE
Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje X coincidiendo con el eje mayor de la
elipse y el eje Y coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma
siguiente:
que se llama ecuación reducida de la elipse.
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