Raíces cuadradas y radicales

Raíces cuadradas y radicales
Raíz cuadrada - la raíz cuadrada de x, donde x , es igual a c (donde c
si c 2 = x. Se usa la notación para representar la raíz cuadrada principal de x. Al
símbolo √ se le llama radical y x es el radicando. Observa que la raíz cuadrada principal
es siempre positiva.
Ejemplos:
porque 3 2 = 9 y 3 > 0.
porque 5 2 = 25 y 5 > 0.
porque (1/2)2 = 1/4 y 1/2 > 0.
porque 0 2 = 0.
El opuesto de la raíz cuadrada principal de x está dado por , de manera que será
negativo. Por ejemplo,
Cuando tenemos , estamos considerando ambas raíces: la principal(positiva) y la
negativa. Por tanto,
La raíz cuadrada de un número negativo no está definida como número real ya que
ningún número real elevado al cuadrado puede dar por resultado un número negativo.
Por ejemplo, no está definido como número real porque no existe un número que
al cuadrarse nos de -1. De manera que ninguna de las siguientes raíces cuadradas
están definidas: , .
Cuando estudiamos anteriormente el tema de conjuntos, vimos que todo número
racional se puede representar como un decimal que termina o como un decimal que no
termina, pero se repite (decimal periódico). Siempre que el radicando sea un cuadrado
perfecto, el resultado de la raíz cuadrada será un número racional. Si usas tu
calculadora (haciendo uso de la tecla de raíz cuadrada) puedes comprobar que
.
son todos números racionales porque se pueden expresar como decimales
que terminan o que se repiten. Sin embargo, cuando el radicando no es un cuadrado

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A. Vega
perfecto, el resultado es un número irracional porque son decimales que no terminan ni
se repiten. Ejemplos: , .
Raíces de orden mayor
Cuando tenemos la expresión , n representa el índice del radical e indica el tipo de
raíz que estamos buscando. Si n = 2, estamos trabajando con raíz cuadrada y el índice
no se escribe, si n = 3, estamos trabajando con raíz cúbica, si n = 4, estamos
trabajando con la raíz cuarta, etc.
De manera que si x es un número real, la raíz enésima de x se representa con el
símbolo
donde
Ejemplos:
porque 3 3 = 27
porque 2 4 = 16
si .
porque (-2) 3 = -8
porque (-2) 5 = -32
Ejemplo: no está definido porque no existe un número real que al elevarse
a la cuarta potencia nos dé negativo uno. Observa que si el radicando(x) es negativo y
el índice (n) es par,
y el índice es impar,
No es lo mismo
no es un número real. Sin embargo, si el radicando es negativo
que
es un número real negativo.
.
no es un número real porque ningún número
real elevado a la cuarta potencia da por resultado -81. Sin embargo,
opuesto de
Forma exponencial de
que es 3. Por tanto,
es el
Cuando trabajamos con radicales, estamos trabajando con exponentes racionales. Por
definición,
(si x es negativo n debe ser impar).
A menos que se indique lo contrario, supondremos que todas las variables en
el radicando representan números reales no negativos y que el radicando es
un número no negativo. De esta manera no será necesario indicar que la
variable es no negativa siempre que tengamos un radical con un índice par.

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A. Vega
Ejemplo: Escribe cada expresión en forma exponencial (con exponentes
racionales).
a) b)
Respuestas:
a)
b)
c)
c)
De igual forma, las expresiones exponenciales pueden convertirse en expresiones
radicales, si invertimos el procedimiento.
a)
Respuestas:
Ejemplo: Expresa en forma radical (sin exponentes racionales).
b)
a) b)
Simplificación de raíces cuadradas
c)
c)
d)
d)
d)
Un número es un cuadrado perfecto si es el cuadrado de una expresión. Ejemplos de
números que son cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,... ya que se
pueden expresar como 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , 6 2 , etc.
Las variables con exponentes también pueden ser cuadrados perfectos. Ejemplos de
cuadrados perfectos: x 2 , x 4 , x 6 , x 8 ,... ya que se pueden expresar como (x) 2 , (x 2 ) 2 , (x 3 ) 2 ,
(x 4 ) 2 , ...Observa que todos los exponentes de las variables son pares o múltiplos de
dos.
Al simplificar una raíz cuadrada lo que hacemos es remover del radicando todo factor
que sea un cuadrado perfecto.
Ejemplo: Simplifica
En el caso en que el radicando no sea un cuadrado perfecto, hacemos uso de la regla
del producto para raíces cuadradas:
Ejemplo: Simplifica
d)

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Observa que expresamos el radicando como producto de factores donde al
menos uno de los factores sea un cuadrado perfecto, si es posible.
Ejemplo: Simplifica
Ejemplo: Simplifica
Observa que en este ejemplo, el factor cuadrado perfecto más cercano a 32 es
16, pero también pudimos haber trabajado el ejercicio de la siguiente manera:
Ejemplo: Simplifica
Los factores de 10 son 1, 2, 5 y 10. Como ninguno de ellos es un cuadrado
perfecto (excepto el 1), no puede simplificarse.
Cuando el radicando contiene una variable, si ésta está elevada a un exponente par ,
entonces es un cuadrado perfecto. Es importante indicar que sólo si x asume
un valor no negativo. Por ejemplo: si x = 3: Sin embargo si x = -3:
Por tanto, podemos concluir que Tal como
indicamos anteriormente, asumiremos que toda variable en el radicando
asume un valor real no negativo y no tendremos la necesidad de trabajar con
valores absolutos.
Ejemplo: Simplifica
Ejemplo: Simplifica
porque (x 2 ) 2 = x 4 .
x 8 porque (x 8 ) 2 = x 16 .
Observa que para hallar la raíz cuadrada de una variable elevada a un exponente par
divides entre dos el exponente original.
Si la variable está elevada a un exponente impar, el factor cuadrado perfecto mayor
tiene un exponente que es uno menos que el exponente original.

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Ejemplo: Simplifica
Ejemplo: Simplifica
Ejemplo: Simplifica
Ejemplo: Simplifica
Suma y resta de raíces cuadradas
.
. Observa que porque (x 3 ) 2 = x 6 .
Sólo los radicales semejantes se pueden sumar o restar. Los radicales semejantes son
aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Para sumar (restar)
radicales semejantes, se suman o restan sus coeficientes numéricos y se multiplica el
resultado por el radical semejante.
Ejemplo: Simplifica
Los radicales son semejantes porque son raíces cuadradas de radicandos
iguales. Por tanto,
Ejemplo: Simplifica
Ejemplo: Simplifica
A veces es posible convertir radicales no semejantes en semejantes simplificando
primero.
Ejemplo: Simplifica
¡Observa que no se suman los radicandos, o sea,

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Ejemplo: Simplifica
Observa que no se restan los radicandos, o sea, .
Ejemplo:
Ejemplo: Simplifica
Multiplicación de raíces cuadradas
Al multiplicar raíces cuadradas se multiplican los radicandos utilizando la regla del
producto que vimos anteriormente y luego se simplifica si es posible.
Regla del producto para raíces cuadradas:
Ejemplo: Multiplica
Ejemplo: Multiplica
Ejemplo: Multiplica
Usamos la propiedad distributiva:

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Ejemplo: Multiplica
Ejemplo: Multiplica
Usaremos la técnica de PIES para multiplicar los binomios:
División de raíces cuadradas
P I E S
Al dividir raíces cuadradas, se usa la regla del cociente para raíces cuadradas:
,
Ejemplos: Simplifica a)
Respuestas:
a)
b)
c)
d)

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A. Vega
b)
c)
d)
Cuando el denominador contiene un raíz cuadrada, es común eliminar el radical por
medio de la racionalización del denominador. Para racionalizar un denominador,
multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por una raíz cuadrada, de
tal manera que el radicando del denominador se convierta en un cuadrado perfecto.
Ejemplos: Simplifica a)
Respuestas:
a)
b)
c)
d)
Otro procedimiento:
Ejemplo: Simplifica
Procedimiento 1:
Procedimiento 2:
b)
c)
d)

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Procedimiento 3: