continuo de estados extendidos en el espectro de un potencial ...

CONTINUO DE ESTADOS EXTENDIDOS EN EL
ESPECTRO DE UN POTENCIAL ALEATORIO
UNIDIMENSIONAL
Alberto Rodríguez y José María Cerveró
Área de Física Teórica. Universidad de Salamanca. E-37008, Salamanca.
ESPAÑA
RESUMEN
En esta charla describimos la construcción de cadenas unidimensionales
desordenadas con un modelo de potencial continuo, el potencial de Pschl-Teller.
En particular elaboramos cadenas resonantes desordenadas de potenciales, que
presentan un continuo de estados extendidos que es independiente del carácter
correlacionado o no correlacionado del desorden e independiente también de la
longitud del sistema. La delocalización de los estados electrónicos ocurre en todo el
espectro positivo, en el que el sistema muestra una transmisión perfecta para
cualquier energía.
3

1.INTRODUCCIÓN
En física del estado sólido, generalmente se entiende que un sistema ordenado es
aquel en el que los constituyentes atómicos de la materia se disponen de manera
periódica, generando un sistema invariante por traslaciones. A grandes rasgos diremos
que un sistema atómico desordenado es aquel que no es periódico y que no puede
reproducirse siguiendo un conjunto de reglas deterministas bien definidas. En un sólido
podemos hablar de dos grandes tipos de desorden:
i. Desorden estructural o topológico,
cuando la posición de los átomos se desvía de la red
periódica regular, como se muestra en la figura 1(a).
ii. Desorden composicional o sustitucional,
cuando los átomos ocupan las posiciones de
una red regular, pero el sistema está compuesto de distintas especies atómicas,
dispuestas aleatoriamente, como se observa en la figura 1(b).
Además de desorden estructural y composicional, podemos clasificar las estructuras
desordenadas como correlacionadas o no-correlacionadas. Si el proceso que genera el
sistema desordenado es completamente aleatorio, es decir los eventos que deciden los
parámetros del sistema en cada posición son estadísticamente independientes unos de
otros, diremos que la estructura es desordenada no-correlacionada. Por el contrario si
existen correlaciones estadísticas en el proceso de generación, es decir el valor que tomen
los parámetros del sistema en una determinada posición depende de los configuración de
las otras posiciones, entonces diremos que la estructura es desordenada correlacionada.
En función del rango de esta dependencia podemos hablar de correlaciones a largo
alcance o correlaciones a corto alcance. En esta charla consideraremos únicamente
sistemas de potenciales en una dimensión, de modo que hablaremos de secuencias
desordenadas.
Figura 1. Distintos tipos de desorden: (a) desorden topológico o estructural, (b)
desorden composicional o sustitucional.
1.1. Efectos del desorden
En un sistema periódico todos los estados electrónicos tienen la misma
probabilidad de encontrarse en cualquier celda primitiva del cristal, como se deduce del
teorema de Bloch [1]. Estos estados están completamente extendidos en el sistema. ¿Qué
4

ocurrirá en presencia de desorden?. En el año 1958, P. W. Anderson describió una de las
consecuencias física más importantes del desorden: la localización electrónica [2].
Anderson estudió la difusión electrónica en un modelo tridimensional de enlace fuerte en
el que las energías de sitio se escogían aleatoriamente a partir de una distribución de
probabilidad continua. Demostró que por encima de una anchura crítica de la distribución
de energías, es decir por encima de un grado crítico de desorden, la difusión en el sistema
era suprimida debido a la localización espacial de todos los estados electrónicos. La
localización de los estados implica que su densidad de probabilidad es distinta de cero
únicamente en una región limitada del espacio, cuya extensión se caracteriza a través de la
longitud de localización (figura 2). La localización está estrechamente ligada al transporte
electrónico y es un concepto fundamental para entender la existencia de materiales
metálicos y aislantes.
Figura 2. Ejemplo de estado extendido (a) correspondiente a un sistema periódico y
estado localizado (b) en un sistema desordenado.
Un poco de historia
Después del trabajo de Anderson, surgió la teoría de Escala de la Localización [3][4], que
vino a concluir que en una y dos dimensiones, todos los estados electrónicos tendrían que
estar localizados para cualquier grado de desorden. En 1961 N. F. Mott y W. D. Twose
demostraron para un modelo particular de potencial unidimensional, concretamente una
sucesión de barreras cuadradas de igual altura colocadas a distancias arbitrarias unas de
otras, que todos los estados electrónicos estaban exponencialmente localizados [5][6].
Ellos conjeturaron que quizás podría ocurrir lo mismo en otros modelos de potencial
unidimensional. Posteriormente han aparecido varios modelos desordenados de potencial
en una dimensión para los que existe algún estado extendido [7][8]. Sólo para modelos
particulares de potencial y para ciertos tipos de desorden se ha demostrado
analíticamente que todos los autoestados están exponencialmente localizados en una
dimensión. Durante mucho tiempo se pensó por tanto que los sistemas desordenados
unidimensionales no podrían presentar buenas propiedades de transporte ni los
comportamientos complejos que se observaban en los sistemas tridimensionales, como
por ejemplo las transiciones metal-aislante. Sin embargo a principios de los noventa los
trabajos de Flores [9] y Dunlap y colaboradores [10], introdujeron diferentes modelos
unidimensionales en los que el desorden presentaba correlaciones a corto alcance; el más
conocido es el modelo random-dimer que ha sido estudiado exhaustivamente
[11][12][13][14][15][16], aunque también se han considerado diferentes modelos con
5

desorden correlacionado a corto alcance como el modelo diluido de Anderson
[17][18][19][20], impurezas simétricas en cadenas puras [21][22], sistemas con análogos
clásicos [23][24] y otros [25][26][27][28][29][30][31]. En todos los modelos
considerados el efecto de la correlaciones a corto alcance es el mismo: incluir estados
extendidos aislados en el espectro del sistema. En 1999 la primera evidencia experimental
de que las correlaciones a corto alcance en el desorden pueden delocalizar los estados
electrónicos y por tanto mejorar las propiedades de transporte del sistema fue observada
en superredes semiconductoras [32].
Los efectos de las correlaciones a largo alcance en el desorden también han sido
estudiados [33][34]. Las correlaciones a largo alcance son capaces de introducir bordes de
movilidad en el espectro para los portadores, separando fases de estados localizados y
fases de estados aparentemente extendidos, dando lugar de este modo a una transición
metal-aislante cualitativa [35]. Los efectos teóricos predichos para las correlaciones a
largo alcance han sido confirmados experimentalmente en guías unidimensionales de
microondas [36][37].
Actualmente la importancia de la aparición de continuos de estados extendidos en
sistemas desordenados en una dimensión sigue aumentando y fenómenos interesantes
dinámicos como las oscilaciones de Bloch ya han sido descritos teóricamente en sistemas
con desorden [38][39]. Medio siglo después del trabajo de Anderson, el problema de la
localización aún puede entenderse de diferentes maneras y el correspondiente campo de
investigación sigue creciendo.
2. MODELO DE POTENCIAL
Hasta ahora en la literatura se han considerado principalmente dos tipos de
potencial para construir cables desordenados unidimensionales: el potencial Delta de
Dirac y los pozos/barreras cuadradas, debido a que sus matrices de transmisión son bien
conocidas y fáciles de manipular. En esta charla vamos a construir un cable desordenado
utilizando un tipo de potencial continuo diferente. Consideremos el potencial Pöschl-
Teller definido por
V x= ℏ2 2
2m
V
cosh 2 , (1)
x
que se muestra en la figura 3. Su perfil recuerda a un pozo o barrera atómica en función
del signo de su amplitud adimensional V. El parámetro , con unidades de inverso de
longitud, controla la anchura del potencial, de hecho su anchura mitad responde a
d 1/ 2 =2 −1 arcosh2. Cuanto mayor es más estrecho y alto (o profundo) es el
potencial. La ecuación de Schrödinger para este potencia es analíticamente soluble y sus
soluciones son bien conocidas [40]. A partir de las expresiones asintóticas de las
soluciones se puede obtener la matriz de transmisión asintótica del potencial, que
relaciona las amplitudes de las ondas planas viajeras asintóticas del proceso de scattering
en una dimensión. Dicha matriz puede escribirse de la siguiente manera [41]:
6

donde,
=ei M
1w 2
−i w
i w e −i 2 , (2)
1w
w= sinb 1
, b=
sinh k / 2 1
−V ,
4
(3)
=
k
k
k
2funcarg i 2 −arg{ bi 1−bi } ,
(4)
siendo k=2mE/ ℏ y (z) la función Gamma de Euler compleja. w es una cantidad real
como se puede ver en su definición alternativa w=coshV −1/ 4/sinhk / . La
amplitud adimensional en términos de b se escribe V =−bb−1 , que es la forma usual
que se encuentra en la literatura. A partir de la matriz de transmisión, se obtiene que la
probabilidad de transmisión asintótica es T=1w 2 −1 . Una propiedad característica
del potencial considerado es que la transmisión asintótica es máxima para cualquier
energía siempre que b es un número real entero, ya que en este caso w se hace cero. De
modo que los pozos de potencial con V =−2,−6,−12,−20,−30,... tienen una
transmisión resonante para todas las energías independientemente del valor de .
3. COMPOSICIÓN DE POTENCIALES
Figura 3. Potencial Pöschl-Teller definido en la
equación (1).
Una vez que conocemos el modelo de potencial, podemos pensar en construir
cadenas lineales de los mismos. Sin embargo para tal tarea, hemos de hacer la
aproximación de que cada potencial individual tiene un alcance finito, es decir que sólo se
extiende en una región finita del espacio, ya que no es posible componer potenciales que
tienen una extensión infinita. De modo que vamos a suponer que nuestro potencial
Pöschl-Teller solo es apreciable en un intervalo [−d L , d R ] , donde el cero coincide con el
centro del potencial, como se observa en la figura 3. Fuera de este intervalo suponemos
que el potencial es cero y que por tanto la función de onda puede escribirse como
superposición de estados de partícula libre. ¿Cuál es la forma de la matriz de transmisión
en esta nueva configuración?. Suponiendo que a la distancias a las que colocamos los
7

cortes del potencial podemos usar la expresión asintótica de sus soluciones se puede
demostrar que la matriz de transmisión del potencial cortado se relaciona fácilmente con
su matriz asintótica, de la siguiente forma:
M cut =
e i[ k d R d L ]
1w 2
i w e −i k dR −d L
−iw e i k dR−d L
e −i[ k d R d L 2 ]
1w
. (5)
La matriz de transmisión para el potencial cortado, asumiendo las aproximaciones
descritas, es la misma que la matriz asintótica más una fase extra en los elementos de la
diagonal que da cuenta de la distancia total d L d R durante la cual la partícula siente
el efecto del potencial, y también una fase extra en los elementos fuera de la diagonal que
mide la asimetría del corte del potencial d R −d L . Estas fases son los elementos clave
para las composiciones, ya que son las responsables de los fenómenos de interferencia que
dan lugar a los patrones de transmisión. Dado que este procedimiento es una
aproximación, su bondad dependerá del decaimiento del potencial y los valores que
tomemos para las distancias de corte. En nuestro caso debido al rápido decaimiento del
potencial Pöschl-Teller, las distancias admiten valores muy razonables. De hecho hemos
comprobado que para un conjunto amplio de valores para los parámetros y V, se puede
tomar como valor mínimo de distancia para los cortes d 0 =2d 1/ 2 ≃3.5/ . Tomando
d L , R d 0 el proceso de conexión de los potenciales funciona francamente bien, como
hemos chequeado en todos los casos comparando la composición analítica con una
integración numérica de la ecuación de Schrödinger para el potencial global. Sin más que
multiplicar las matrices de la forma (5), podemos evaluar las transmisiones de diferentes
perfiles de potencial compuestos, como los que pueden observarse en la figura 4, y obtener
expresiones analíticas para las amplitudes de scattering de las composiciones.
Si consideramos por ejemplo la composición de dos pozos de potencial con cortes
simétricos d L =d R =d y caracterizados por los parámetros 1 ,V 1 ,d 1 y 2 , V 2 ,d 2 ,
encontramos para la probabilidad de transmisión, en términos de las cantidades w y
definidas anteriormente,
T=
2 2 2
w1 w 21w
11w2
1
2 2
2w1w 21w 1
2
1w 2cos[1
22kd 1d 2] .
En esta última expresión se aprecia claramente el efecto de interferencia dependiendo de
la distancia d 1 d 2 que separa los centros de los pozos. Un ejemplo de transmisión
puede observarse en la figura 4(a). Una característica importante de las fórmulas que se
obtienen para los potenciales compuestos es que dan cuenta analíticamente del
comportamiento totalmente resonante de la composición cuando los potenciales
individualmente son resonantes, como puede comprobarse fácilmente en la ecuación (6).
8
(6)

Figura 4. Probabilidad de transmisión para composiciones de pozos de potencial
Pöschl-Teller con diferentes configuraciones. Los recuadros interiores muestran el
perfil del potencial.
4. CADENAS DESORDENADAS
Una vez descrito el procedimiento para componer los potenciales, consideremos
ahora los efectos del desorden en el modelo de potencial propuesto. En primer lugar
hemos de obtener la ecuación canónica del sistema, es decir la ecuación que relaciona los
valores de la función de onda electrónica en lugares contiguos de la cadena lineal. A partir
de la matriz de transmisión (5) se obtiene la siguiente relación
donde
j1 =
S j S j−1
K j
K j−1 j− K j
j−1 , (7)
K j −1
L R L R 2 L R S j≡ S j j ,V j ,d j , d j =−w jsin [k d j −d j ]1w j cos[k d j d j j ] , (8)
L R L R 2 L R
S j≡S j j ,V j ,d j , d j =w jsin [k d j −d j ]1w j cos[k d j d j j ] , (9)
L R L R 2 L R
K j≡K j j ,V j , d j , d j =w j cos[ kd j−d
j ]1w j sin[ k d j d j j ]. (10)
Las amplitudes j corresponden al valor del estado en los puntos de unión de los
potenciales como se muestra en la figura 5, y en este modelo cada potencial está
L R
determinado por cuatro parámetros: d j , d j , j ,V j .
La ecuación canónica (7) es esencial para calcular las propiedades de la cadena
desordenada, integrada por potenciales con diferentes parámetros, en el límite
termodinámico, es decir cuando la longitud del sistema tiende a infinito. Los cables
aleatorios de potenciales Pöschl-Teller exhiben unas propiedades realmente interesantes,
9

Figura 5. Porción de un cable
desordenado compuesto de
potenciales Pöschl-Teller
que quizás puedan ser descritas en una futura Charla, no obstante en la presente nos
ocuparemos únicamente del problema de construir cadenas desordenadas formadas por
pozos resonantes. Consideraremos pozos para los que el parámetro b es un número entero
mayor que 1. Dado que en este caso w=0, la matriz de transmisión de un pozo resonante
es, dentro de nuestras aproximaciones,
= M cut e i[k d L d R ]
0
0 e −i [ k dL d R ]
, (11)
es decir, la matriz de transmisión de un potencial cero, como esperaríamos. El pozo
resonante se comporta para todas las energías positivas como un potencial cero con una
longitud efectiva Leff k=/ kd L d R , que depende de la energía. Para un pozo
resonante descrito por los parámetros
R L
{d ,d , ,b } se puede probar por inducción
usando las propiedades de la función Gamma que la siguiente expresión es válida
k L eff k ≡ L eff = d L R
d
/
b −1−2 b −1
∑ arctan
j=1
j / , (12)
donde hemos introducido la variable ≡k / y siendo un valor de referencia para los
parámetros { }. Ahora consideremos una cadena desordenada compuesta
enteramente por pozos resonantes con parámetros distintos. Para energía positivas la
ecuación canónica del sistema (7) se reduce a
j1={cos[k L eff k ]cot[ k Leff k ]sin [ k L eff k ]} j−
j
j−1
j
sin [ k L eff k ]
j
sin[ k Leff k]
j−1
j −1.
Se puede comprobar fácilmente que esta última expresión define la ecuación canónica
para un potencial cero en el que la función de onda se muestrea a diferentes distancias que
se corresponden con la longitud efectiva de cada potencial. De modo que parece claro que
los estados electrónicos para cualquier energía permanecen extendidos en el sistema
desordenado. La transmisión de la estructura total es máxima para todas las energías ya
que la cadena globalmente se comporta como un potencial cero. Remarquemos que con
las aproximaciones asumidas la naturaleza resonante del pozo de potencial con b
10
(13)

L R
entero, es independiente de d , d y siempre que se respete el valor mínimo para
las distancias de los cortes del potencial. De hecho la profundidad dimensional real del
pozo viene dada por ℏ 2 2
V /2m , de modo que se puede elegir a voluntad la
profundidad del pozo resonante variando , aunque ese cambio también supone una
alteración en la anchura. Por tanto podemos construir cadenas desordenadas de pozos
resonantes con diferentes anchuras y profundidades que incluso pueden estar colocados a
distancias arbitrarias unos de otros, sin correlación alguna en la secuencia, que puede ser
completamente aleatoria, y el sistema se comportará como un potencial transparente para
todas las energías. Hasta donde alcanza nuestro conocimiento este es el primer modelo
teórico para el que pueden diseñarse cadenas completamente aleatorias que soportan un
continuo de estados extendidos y por tanto un intervalo de total transparencia: todo el
espectro positivo.
Veamos como para este modelo es posible describir analíticamente la densidad de
estados del sistema desordenado en el límite termodinámico. Para un potencial cero de
longitud L, la densidad integrada de estados es N k=L k /. De acuerdo con esto
podemos suponer que un pozo resonante suministra al espectro del sistema k L eff k /
estados accesibles con energía menor que k. Dado que todos los tipos de pozos resonantes
se comportan de modo efectivo como potenciales cero, la densidad de estados integrada
de la cadena desordenada por unidad de longitud −1 en el límite termodinámico es
simplemente la suma de la contribución de las distintas especies teniendo en cuenta sus
concentraciones {c}, n=1over∑
c
/
L R L eff
d d
. (14)
Y la densidad de estados se obtiene derivando con respecto a . Insertando la expresión
(12) llegamos a
g= 1 2
−
∑
c
/
b −1
R L ∑
d d
j=1
j /
j 2 / 2 . 2 (15)
En la figura 6 se muestra la densidad de estados para varias cadena desordenadas de
pozos resonantes. Hemos comprobado que la densidad de estados calculada
numéricamente se ajusta exactamente a la expresión analítica (15). La densidad de
estados de las cadenas resonantes es una función continua suave sin gaps que no se anula
para energía cero, y que registra pequeños cambios cuando se varían las concentraciones o
los parámetros de los pozos. En la figura 7 estudiamos la tolerancia de las propiedades de
una cadena resonante binaria cuando sus parámetros son desviados ligeramente de los
valores resonantes. Como podemos observar un pequeño cambio en los parámetros
significa la pérdida del comportamiento resonante para todas las energía. No obstante
para desviaciones del orden de 1%-5% en las amplitudes adimensionales, la eficiencia de
transmisión es mucho mayor que para cualquier cadena desordenada no-resonante.
Naturalmente, para las cadenas resonantes el exponente de Lyapunov , que es la
11

inversa de la longitud de localización, calculado numéricamente se anula en el límite
termodinámico para todas las energías.
Figura 6. Densidad de estados (DOS) para cadenas desordenadas compuestas de pozos
resonantes, con distintas configuraciones de parámetros y concentraciones. Las líneas
coloreadas se corresponden con la expresión analítica (15) mientras que las líneas
discontinuas muestran el cálculo númerico. (a), (c) y (d) corresponden a cadenas
binarias , (b) a una ternaria.
Figura 7. Tolerancia de las propiedades de la cadena resonante binaria con sus
parametros. (a) DOS (líneas continuas) y exponente de Lyapunov (líneas discontinuas)
en el límite termodinámico. (b) Patrones de transmisión para cadenas desordenadas
integradas por 1000 potenciales. En todos los casos se toman para ambas especies
iguales valores para , d R =d L =4/. Se han considerado las situaciones en que las
amplitudes adimensionales son desviadas un 1%, 5% y 50% de los valores resonantes
V 1 =−2,V 2 =−6.
No debemos olvidar que la matriz de transmisión propuesta para el potencial con
alcance finito, es una aproximación, dado que asumimos que a las distancias de corte se
puede usar la forma asintótica de las soluciones. Esta aproximación es bastante correcta;
el error que conlleva es irrelevante para un único potencial y es tanto menor cuanto mayor
sean las distancias de corte. Sin embargo podría ocurrir que al aplicar la composición de
potenciales para construir la cadena desordenada, estas pequeñas desviaciones dieran
lugar a un error exponencialmente creciente con la longitud de la cadena. Si esto fuera
cierto, entonces el comportamiento de una composición continua de potenciales (es decir,
12

la suma de todas las contribuciones de los potenciales centrados en diferentes lugares) no
se correspondería con nuestros resultados. En particular sería dramático para las cadenas
resonantes para las cuales el comportamiento resonante y la delocalización de los estados
electrónicos podrían desaparecer en la composición real continua de potenciales. Para
comprobar que efectivamente este error transmitido no es crítico, hemos calculado la
probabilidad de transmisión de varias cadenas resonantes aleatorias con 100, 200 y 400
potenciales, integrando numéricamente la ecuación de Schrödinger, a través de una
discretización espacial del potencial compuesto global, es decir tomando en cuenta en
cada punto del espacio la superposición de todos los potenciales centrados en sus
respectivas posiciones.
En la figura 8 se puede observar como para energía muy bajas (k

la amplitud adimensional del pozo pertenezca a un conjunto infinito discreto de valores
que aseguran el comportamiento resonante, el resto de parámetros pueden elegirse
libremente de modo que la configuración de la cadena es muy versátil. Hemos visto que la
delocalización de los estados electrónicos es independiente del carácter correlacionado o
no-correlacionado del desorden. Por tanto existe al menos un modelo teórico para el que
cadenas aleatorias exhiben un continuo de estados extendidos que es independiente de la
longitud del sistema. En principio es un modelo puramente académico cuyas propiedades
están fuertemente ligadas a la dependencia funcional de los potenciales. Su importancia
depende por tanto, hasta cierto punto en la posibilidad de reproducir experimentalmente
tales estructuras. Las heteroestructuras de semiconductores pueden ser candidatos para
esta tarea. Los avances en los procesos de crecimiento epitaxial han hecho posible
manipular los perfiles de las banda de conducción en la heteroestructura para construir,
por ejemplo, pozos parabólicos de potencial. De modo que si no ahora, quizás en el futuro
sea posible controlar los procesos de crecimiento de las muestras semiconductoras de tal
modo que el perfil espacial de la banda de conducción siga la forma del pozo Pöschl-
Teller, y así tener la oportunidad de comprobar experimentalmente el comportamiento
predicho.
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