5. SERIES DE FOURIER 5.1. Funciones ortogonales

5.1. Funciones ortogonales
5. SERIES DE FOURIER

5.2. Conjuntos ortogonales y conjuntos ortonormales.

5.3. Definición de serie de Fourier

5.4. Convergencia de una serie de Fourier
5.5. Series de Fourier de una función de periodo arbitrario

5.6. Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal
o senoidal)

5.7. Serie de Fourier en medio intervalo

5.8. Forma compleja de la serie de Fourier
Antes de entrar al estudio de la serie de Fourier compleja de una función periódica,
hagamos un breve repaso de algunos conceptos básicos y propiedades de los números
complejos C, que usaremos continuamente en estas secciones.
Los números complejos se definen como:
donde
La forma polar de un número complejo es:
donde:
Si usamos la identidad de Euler,
entonces la forma polar se abrevia simplemente como .
Tenemos algunas identidades importantes, ya que:
Y por lo tanto obtenemos que,
y
Como no pretendemos adentrarnos de lleno en el estudio de los números complejos, con
esto es suficiente, y en todo caso si algo se necesita mas adelante, lo mencionaremos de
manera explícita.

Sea periódica con período fundamental p , y sea
; por lo tanto la serie de Fourier de es:
Usando las identidades anteriores, tenemos que equivale a:
Si definimos:
Entonces la serie de Fourier se puede escribir como:
Ahora bien, sabemos que:
y

Análogamente se ve que:
Así pues, la serie de Fourier queda como sigue:
O lo que es lo mismo:

En resumen, hemos podido escribir a la serie de Fourier de f(x) como sigue:
Definición. (Serie de Fourier Compleja).
Sea con período p sea . Definimos la
serie de Fourier compleja de como sigue:
donde:
También se tiene el criterio de convergencia correspondiente.
Definició. (Espectro de Frecuencias).
El espectro de frecuencias de una función periodica es una gráfica de los puntos
…
para
Ejemplo 1.
Calcular la serie de Fourier compleja de la siguiente función, y tambien dibujar el
espectro de frecuencias.
Solución.
-8 0 8
6
Tenemos que y para
. De aquí que:

Como
Por lo tanto, la serie de Fourier Compleja de f(x) es:
La cual converge converge a:
, entonces:
Y por ser f(x) periódica, tiene el mismo comportamiento en los intervalos
,…
El espectro de frecuencias se ve como sigue:
Ejemplo 2.
Calcular la serie de Fourier compleja de
Solución:
constantes.
,…
con E ,
En este caso, tenemos que (por qué?) y de aquí que
Por lo tanto, los coeficientes quedan como sigue:

Pero sabemos que:

Por lo tanto,
Por lo tanto, la serie de Fourier compleja de f(x) es:
y esto, válido