ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA
METROPOLITANA
UNIDAD IZTAPALAPA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE PROCESOS E HIDRÁULICA
LICENCIATURA EN INGENIERÍA EN ENERGÍA
SEMINARIO DE PROYECTOS I Y II
ECUACIÓN DE CALOR DE ORDEN FRACCIONAL EN
ESTADO TRANSITORIO
PRESENTADO POR:
RICARDO GÓMEZ ARRIETA
Vo. Bo. Asesor Vo. Bo. Coordinador
Dr. Gilberto Espinosa Paredes M.C. Eugenio Fabián Torijano Cabrera
México D.F. Diciembre de 2008
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA - IZTAPALAPA

A dios, por su infinita bondad.
A mis padres, a quienes les debo todo lo que soy.
A mi mamá, por ser una mujer excepcional y apoyarme en cada momento de mi vida.
A mi papá, por ser un hombre ejemplar y apoyarme en cada momento de mi vida.
A mis hermanos, por compartir una infancia feliz y por todos los bellos momentos
que hemos pasado juntos.
A mis abuelitas, por todo el cariño y admiración que les tengo.
A mi familia, con gratitud infinita por su gran corazón.
A mis amigos, con quien he compartido momentos inolvidables.
A mis profesores, por brindarme su conocimiento.
A ti, por haber coincidido en este maravilloso mundo.
Y a ti Don Pollito…
Mil Gracias.
“Por que solo tenemos una oportunidad, y se llama Vida…”
RGA

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
CONTENIDO
RESUMEN v
LISTA DE FIGURAS vii
CAPITULO I: INTRODUCCIÓN 1
CAPITULO II: TRANSFERENCIA DE CALOR
II.1 Introducción 4
II.2 Transferencia de calor por conducción 6
II.2.1 Conductividad Térmica 11
II.3 Transferencia de calor por convección 13
II.4 Transferencia de calor por radiación 14
CAPITULO III: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO FRACCIONARIO
III.1 Introducción 16
III.2 Derivada fraccionaria de la función exponencial 18
III.3 Funciones trigonométricas: seno y coseno. 19
III.4 Derivadas de x α 20
III.5 Integrales iteradas 23
Ingeniería en energía ii

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III.6 Derivada fraccionaria según Grünwald-Letnikov 28
III.7 Derivada fraccionaria según Caputo 29
III.8 Media derivada de una función simple 29
III.9 Derivada fraccionaria de una constante 31
III.10 Transformada de Laplace de la derivada fraccionaria 32
III.11 Transformada fraccionaria de Fourier 35
III.12 Convolución 36
III.13 Fórmula Integral de Cauchy 37
CAPITULO IV: ECUACIÓN DE CALOR DE ORDEN FRACCIONAL EN
ESTADO TRANSITORIO
IV.1 Introducción 39
IV.2 Ecuación de calor de orden fraccional 40
IV.3 Sub-difusión y Súper-difusión 41
IV.4 Sistemas coordenados 42
CAPITULO V: SIMULACIÓN NUMÉRICA
V.1 Introducción 43
Ricardo Gómez Arrieta iii

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
V.2 Algoritmos Numéricos 45
V.3 Formas discretas de derivados fraccionarios 46
V.4 Método de diferencias finitas 48
V.5 Validación en coordenadas cartesianas 50
V.6 Simulación numérica 53
CAPITULO V: TRANSFERENCIA DE CALOR EN UN ELEMENTO
COMBUSTIBLE DE UN REACTOR NUCLEAR (PBMR)
VI.1 Introducción 56
VI.2 Descripción del sistema 56
VI.3 Modelo de orden fraccional 60
VI.4 Solución numérica 61
VI.5 Validación en coordenadas esféricas 65
VI.6 Simulación de transferencia térmica en un
elemento combustible (PBMR) 68
CONCLUSIONES 75
NOMENCLATURA 77
BIBLIOGRAFÍA 78
Ingeniería en energía iv

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RESUMEN
La complejidad de los procesos térmicos en sistemas asociados con interacciones
complejas, tales como medios heterogéneos implica fenómenos de difusión térmica
no ideales que no pueden ser descritas apropiadamente por teorías clásicas basadas
en la ley de Fourier de la conductividad térmica. Por lo genera la necesidad de
desarrollar nuevas teorías que reflejen un comportamiento más apegado a la realidad,
las cuales pueden estar basadas en modelos de orden fraccional, para el tratamiento
de procesos de difusión anómala.
En este trabajo se presenta la ecuación de difusión térmica de orden fraccional
en el operador diferencial temporal, asociada a procesos de difusión térmica anómala
en estado transitorio para representar procesos sub-difusivos y súper-difusivos
asociada a las complejidades anteriormente señaladas. El modelo fraccional se obtiene
aplicando una ley constitutiva que no es del tipo Fourier y fue desarrollada para
describir procesos de transferencia de calor en coordenadas cartesianas, cilíndricas y
esféricas.
Se presenta el desarrollo de un modelo numérico de difusión térmica de orden
fraccional, basado en los operadores de Riemann-Liouville, Caputo y Grünwald-
Letnikov. El modelo numérico fue validado con la comparación de los resultados
obtenidos entre la solución analítica y la aproximación numérica cuando el exponente
de difusión anómala tiende a uno. Después de dicha validación, se presentan
resultados de simulación de procesos de difusión anómala tanto sub-difusivos como
súper-difusivo, para explorar la potencialidad del modelo fraccional.
Ricardo Gómez Arrieta v

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
El desarrollo y validación de la solución numérica fraccional se aplicó para
modelar la transferencia de calor en un elemento combustible en un reactor nuclear
de IV generación (PBMR). La característica de este tipo de combustibles es su
composición altamente heterogénea donde la hipótesis de trabajo para este tipo de
sistema fue que los procesos de transferencia de calor presentan difusión anómala de
tipo sub-difusivo, donde la ley clásica de Fourier de la conductividad térmica falla.
La simulación del modelo fraccional permitió entender los fenómenos de
transferencia de calor en dicho sistema permitiendo el análisis de procesos de
difusión térmica anómala de tipo sub-difusivos y súper-difusivos, con relación a las
interacciones moleculares características de cada uno de ellos y en particular el
entendimiento en un elemento de combustible PBMR.
Ricardo Gómez Arrieta
Asesor: Dr. Gilberto Espinosa Paredes
Diciembre 2008
Ingeniería en energía vi

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LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Volumen elemental para el análisis de la conducción de calor
unidimensional
Figura 2. Región de integración para integrales iteradas
Figura 3. Solución analítica al problema de difusión térmica, (Zill 1997)
Figura 4. Solución numérica del modelo fraccional
Figura 5. Difusión anómala para α =0.75
Figura 6. Difusión anómala para α =1.25
Figura 7. Difusión anómala para α =1.5
Figura 8. Difusión anómala para α =1.75
Figura 9. Sección vertical del núcleo del PBMR (Venter y Mitchell, 2007).
Figure 10. Sección horizontal del núcleo del PBMR (Venter y Mitchell, 2007).
Figura 11. Esquema del elemento esférico y micro-esférico de combustible
Figura 12. Validación entre la solución analítica y la aproximación numérica 1
Figura 13. Error relativo entre la solución analítica y la aproximación numérica 1
Figure 14. Procesos de difusión anómala para 3 seg. de simulación en un elemento de
combustible.
Figure 15. Procesos de difusión anómala para r = 3.0 cm en un elemento combustible
Figure 16. Proceso sub-difusivo ( 0.8) para diferentes coeficientes de difusión
anómala
Ricardo Gómez Arrieta vii

CAPITULO I
Introducción
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Algunos aspectos de gran importancia relacionados con la ingeniería y
particularmente con los procesos que interfieren en esta disciplina, destacan los
procesos de transferencia de calor y como tal, la metodología para calcular la
velocidad con que éstos se producen, para así diseñar los componentes y sistemas
necesarios en los que tienen lugar dichos procesos.
Los sistemas energéticos que están siendo desarrollados actualmente, requieren
un conocimiento extenso de los procesos de diseño y control. La complejidad
asociada a estos sistemas requieren el uso de una gran variedad de herramientas
teóricas, técnicas, numéricas y de simulación para un entendimiento pleno. Estos
modelos se han basado y presentado como análisis simples de teorías clásicas, no
capturando de manera adecuada todos los fenómenos físicos significativos referentes
a estos procesos.
Por lo que los diseños térmicos requieren un conocimiento extenso de las
características de la transferencia de calor en una amplia gama de fenómenos
involucrados con este hecho. Como consecuencia directa dentro de los procesos
térmicos, se requieren las evaluaciones de los perfiles de temperatura, así como las
tasas del transporte de energía térmica, esenciales para un buen diseño, control y
funcionamiento propios de cada uno de ellos.
Como se menciono anteriormente la complejidad asociada al proceso de
transporte de energía térmica en estos sistemas, está asociado a interacciones
Ricardo Gómez Arrieta 1

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
complejas y medios parcial o totalmente heterogéneos, implicando en este caso
procesos de difusión térmica no idealizados. Muchos investigadores han propuesto
modelos basados en formas lineales y no lineales de ecuaciones diferenciales (Morse y
Feshbach, 1953; Vernotte, 1958, 1961; Cattaneo, 1958). Tales modelos pueden simular
la difusión no idealizada sin embargo no reflejan su comportamiento verdadero. Por
lo que para modelar este tipo de difusión se han desarrollado nuevas teorías basadas
en modelos fraccionales.
En cálculo elemental aprendimos cómo encontrar la derivada Df(x) de una
función, también estudiamos cómo calcular su segunda derivada D 2 f(x), su tercera
derivada D 3 f(x) y así sucesivamente. Más tarde también aprendimos cómo calcular
integrales (o derivadas de orden negativo), D −1 f(x) y D −2 f(x). ¿Pero qué pasa si el
orden de la derivada (o integral) no es un entero sino una fracción, tal como D 1/2 f(x),
o incluso un número real? Aquí es donde nace la idea de la idea conocida como
cálculo fraccional.
El cálculo fraccional ha tenido una larga historia, datando desde 1695 cuando
Leibniz discutió el significado de D 1/2 f(x) en una carta a L’Hopital. Leibniz escribió
que su resultado era:”una aparente paradoja de la cual algún día se obtendrán
consecuencias útiles.” Muchos de los matemáticos distinguidos de generaciones
posteriores han contribuido a esta la teoría
El cálculo fraccional ha existido por más de tres siglos, fue estudiado
principalmente para propósitos teóricos, pero durante las últimas décadas han
aparecido muchas aplicaciones de esta rama de las matemáticas. Por ejemplo, se ha
demostrado que los modelos de orden fraccional son más apropiados que los de
orden entero para describir el estudio y la simulación en ciertos fenómenos como:
Ingeniería en energía 2

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trasporte de contaminantes Guanhua y otros (2005), Flujos neutrónicos Espinosa-
Paredes (2008), la propagación en materiales porosos Fellah y Fellah (2008), la
difusividad dinámica de las moléculas Wu y Berland (2008), algoritmos genéticos,
diseños y modelos termales, entre otros. El concepto de una derivada fraccional
provee una herramienta útil para la descripción de varios procesos.
En el presente trabajo se presentan los conceptos básicos de transferencia de
calor y algunas notas introductorias del cálculo fraccional, con el objetivo de
introducir un modelo fraccional de difusión térmica anómala para el análisis de
dinámicas complejas y medios parcial o totalmente heterogéneos. Aplicando dichas
teorías a sistemas de un interés significativo para el desarrollo de nuevas tecnologías.
Ricardo Gómez Arrieta 3

CAPITULO II
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Transferencia de Calor
II.1.- Introducción
La Ingeniería Térmica trata de los procesos de transferencia de calor y la
metodología para calcular la velocidad con que éstos se producen para así diseñar los
componentes y sistemas en los que tiene lugar una transferencia de calor.
Un caso de particular interés, es aquel en el que participan un conjunto de
procesos con el objetivo de generación de algún tipo de energía A título de ejemplo,
ciertos casos de diseño requieren disminuir las cantidades de calor transferido
mediante un aislante térmico; otros implican procesos de transferencia de calor de un
fluido a otro mediante intercambiadores de calor; o la transferencia de calor generada
por un combustible a un fluido de trabajo, o a veces el problema de diseño es
controlar térmicamente un proceso manteniendo las temperaturas de funcionamiento
de los componentes sensibles al calor dentro de unos márgenes predeterminados, etc.
De todo esto se desprende que la transferencia de calor abarca una amplia gama
de fenómenos físicos que hay que comprender antes de proceder a desarrollar la
metodología que conduzca al diseño térmico de los sistemas correspondientes.
Siempre que existe una diferencia de temperatura, la energía se transfiere de la región
de mayor temperatura a la de temperatura más baja; de acuerdo con los conceptos
termodinámicos la energía que se transfiere como resultado de una diferencia de
Ingeniería en energía 4

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temperatura, es el calor. Sin embargo, aunque las leyes de la termodinámica tratan de
la transferencia de energía, sólo se aplican a sistemas que están en equilibrio; pueden
utilizarse para predecir la cantidad de energía requerida para cambiar un sistema de
un estado de equilibrio a otro, pero no sirven para predecir la rapidez (tiempo) con
que puedan producirse estos cambios. La fenomenología que estudia la transmisión
del calor complementa los Principios Primero y Segundo de la Termodinámica
clásica, proporcionando métodos de análisis que permiten predecir esta velocidad de
transferencia térmica.
Para ilustrar los diferentes tipos de información que se pueden obtener desde
ambos puntos de vista, (termodinámico y transferencia de calor) consideraremos, a
título de ejemplo, el calentamiento de una barra de acero inmersa en agua caliente.
Los principios termodinámicos se pueden utilizar para predecir las temperaturas
finales una vez los dos sistemas hayan alcanzado el equilibrio y la cantidad de
energía transferida entre los estados de equilibrio inicial y final, pero nada nos dicen
respecto a la velocidad de la transferencia térmica, o la temperatura de la barra al
cabo de un cierto tiempo, o del tiempo que hay que esperar para obtener una
temperatura determinada en una cierta posición de la barra. Por otra parte, un
análisis de la transmisión del calor permite predecir la velocidad de la transferencia
térmica del agua a la barra y de esta información se puede calcular la temperatura de
la barra, así como la temperatura del agua en función del tiempo.
Para proceder a realizar un análisis completo de la transferencia del calor es
necesario considerar los aspectos básicos relacionados al tema y en particular los tres
mecanismos de transferencia de calor, conducción, convección y radiación. El diseño
y proyecto de los sistemas de intercambio de calor y conversión energética requieren
de cierta familiaridad con cada uno de estos mecanismos, así como de sus
Ricardo Gómez Arrieta 5

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
interacciones; consideraremos, en esta parte solo los principios básicos de la
transmisión del calor, que pueden ser de utilidad en capítulos posteriores tomando
como base literatura clásica del tema (Bird, Stewart y Lightfoot, 2007; Çengel 2003;
Welty y otros 2000).
II.2.- Transmisión de calor por conducción
La conducción es el mecanismo de transmisión de calor posible en los medios
sólidos; cuando en estos cuerpos existe un gradiente de temperatura, el calor se
transmite de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura, siendo el
flujo de calor por unidad de área transmitida por conducción () q , proporcional al
gradiente normal de temperatura dT / dx , es decir:
q T
A x
en donde T es la temperatura y x la dirección del flujo de calor.
El flujo real de calor depende de la conductividad térmica k , que es una
propiedad física del cuerpo, por lo que la ecuación anterior se puede expresar en la
forma:
T
q kA
x
Ingeniería en energía 6
(II.1)
En la que el signo (-) es consecuencia del Segundo Principio de la
Termodinámica, según el cual, el calor debe fluir hacia la zona de temperatura más

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baja. El gradiente de temperaturas, será negativo si la temperatura disminuye para
valores crecientes de x; si se considera que el calor transferido en la dirección positiva
debe ser una magnitud positiva, en el segundo miembro de la ecuación anterior hay
que introducir un signo negativo.
La Ec. (II.1) se llama ley de Fourier de la conducción de calor en honor al físico-
matemático francés Joseph Fourier, quien hizo contribuciones muy importantes al
tratamiento analítico de la transferencia de calor por conducción. Es importante
señalar que la Ec. (II.1) es la ecuación que define la conductividad térmica
Se plantea ahora el problema de determinar la ecuación básica que gobierna la
transferencia de calor en un sólido, haciendo uso de la Ec. (II.1) como punto de
partida. Si el sistema está en régimen estacionario, esto es, si la temperatura no varía
con el tiempo, entonces el problema es simple, y sólo es necesario integrar la Ec. (II.1)
y sustituir los valores apropiados para obtener la magnitud deseada. Sin embargo, si
la temperatura del sólido varía con el tiempo, o si en el interior del sólido hay fuentes
o sumideros de calor, el problema es más complejo.
Se considera el caso más general en el que la temperatura puede variar con el
tiempo y en el que pueden existir fuentes de calor en el interior del cuerpo. Con estas
condiciones, el balance de energía para un elemento de espesor dx resulta
Energía que entra
por conducción a
través de la cara
izquierda
+
Calor generado en
el interior del
elemento
Ricardo Gómez Arrieta 7
=
Variación de la
energía interna
+
Energía que sale
por conducción
a través de la
cara derecha

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Figura 1: Volumen elemental para el análisis de la conducción de calor
unidimensional
Estas cantidades de energía vienen dadas por:
qx
dx
qx+dx
T
Energía que entra por la cara izquierda: qx kA
x
Energía generada en el interior del elemento: q Adx
T
Variación de la energía interna: Cp
A dx
t
T
Energía que sale de la cara derecha: qxdx kA
x
xdx T T
Ak kdx x x x
Ingeniería en energía 8
=

donde
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q = energía generada por unidad de volumen y por unidad de tiempo, W/m3
Cp = calor específico del material J/kgªC
ρ = densidad, kg/m3
la combinación de las relaciones anteriores proporciona:
dT dT T T
kA qAdx C dx A k k dx
dx dt
x x x
p
dT T
C
p kq dt x x
Ricardo Gómez Arrieta 9
(II.2)
Ésta es la ecuación de la conducción de calor unidimensional. Para tratar el flujo
de calor no unidimensional, sólo se precisa considerar el calor introducido y extraído
por conducción por unidad de volumen en las direcciones de las tres coordenadas. El
balance de energía proporciona:
dE
qx qy qz qgen qxdx qydy qzdz
dt
de modo que la ecuación general de la conducción de calor tridimensional es:
T T T T
Cp
k kk q
t x x y y z z
(II.3)

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Y sii la conductividad térmica es constante, la Ec. (II.3) se escribe:
2 2 2
2 2 2
x y z p
T T T T q
t C
Ingeniería en energía 10
(II.3a)
k
donde se denomina difusividad térmica del material. Cuanto mayor sea a,
C
p
más rápidamente se difundirá el calor por el material.
Esto puede verse examinando las propiedades físicas que forman . Un valor
grande de α resulta o por un valor alto de la conductividad térmica, lo que indicaría
una transferencia rápida del calor, o por un valor bajo de la capacidad térmica C p . Un
valor bajo en la capacidad térmica podría significar que se absorbe menos cantidad de
energía de la que se mueve por el material y se usa para elevar la temperatura del
material; así se dispondrá de más energía para transferir. La difusividad térmica
tiene unidades de metros cuadrados por segundo.
En las ecuaciones anteriores, la expresión de la derivada en x + dx se ha escrito
en la forma de desarrollo de Taylor habiendo retenido sólo los dos primeros términos
de este desarrollo.
La Ec. (II.3a) puede transformarse a coordenadas cilíndricas o esféricas mediante
técnicas normales del cálculo. Los resultados son los siguientes:

Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas:
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2 2 2
1 1
2 2 2 2
r r z
p
T T T T T q
t r r
C
2 2
1 1 1
2 rT
sen
2 2 2 2
r r sen r sen
p
T T T q
t r C
II.2.1 Conductividad térmica
Ricardo Gómez Arrieta 11
(II.3b)
(II.3c)
La Ec. (II.1) es la que define la conductividad térmica. Basándose en esta
definición pueden realizarse medidas experimentales para determinar la
conductividad térmica de diferentes materiales. Para gases, a temperaturas
moderadamente bajas, pueden utilizarse los tratamientos analíticos de la teoría
cinética de gases para predecir con precisión los valores observados
experimentalmente. En algunos casos, se dispone de teorías para la predicción de las
conductividades térmicas de líquidos y sólidos, pero, por lo general, cuando se trata
de líquidos y sólidos es preciso clarificar algunas cuestiones y conceptos estudiados.
El mecanismo de la conducción térmica en gases es muy simple. Se identifica la
energía cinética de una molécula con su temperatura; así, en una región de alta
temperatura, las moléculas poseen velocidades más altas que en una región de baja
temperatura. Las moléculas están en continuo movimiento aleatorio, chocando unas
con otras e intercambiando energía y cantidad de movimiento. Las moléculas tienen

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
ese movimiento aleatorio exista o no un gradiente de temperatura en el gas. Si una
molécula se mueve desde una región de alta temperatura a otra de menor
temperatura, transporta energía cinética hacia la zona del sistema de baja
temperatura y cede esta energía mediante los choques con las moléculas de menor
energía.
El mecanismo físico de la conducción de la energía térmica en líquidos es
cualitativamente el mismo que en gases; no obstante, la situación es
considerablemente más compleja, ya que las moléculas están más próximas y el
campo de fuerzas moleculares ejerce una gran influencia en el intercambio de energía
en el proceso de colisionar.
La energía térmica en los sólidos puede transferirse por conducción mediante
dos mecanismos: por vibración de la red y por transporte de electrones libres. En
buenos conductores eléctricos se mueve un número bastante grande de electrones
libres en la estructura reticular. Así como esos electrones pueden transportar carga
eléctrica, también pueden transportar energía térmica desde una región de alta
temperatura a otra de baja temperatura como en el caso de los gases. De hecho, se
hace referencia a estos electrones como gas de electrones.
La energía puede también transmitirse como energía de vibración en la
estructura reticular del material. Sin embargo, este último modo de transferir energía
no es, por lo general, tan efectivo como el de transporte de electrones, y por esta
razón, los buenos conductores eléctricos son casi siempre buenos conductores del
calor, como el cobre, el aluminio y la plata, y los aislantes eléctricos son
corrientemente buenos aislantes térmicos.
Ingeniería en energía 12

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II.3 Transferencia de calor por convección
Cuando un fluido a una temperatura T f se pone en contacto con un sólido cuya
superficie de contacto está a una temperatura distinta T p , el proceso de intercambio
de energía térmica se denomina transmisión de calor por convección.
Existen dos tipos de convección:
a) Convección libre o natural
b) Convección forzada
En la convección libre, la fuerza motriz procede de la variación de densidad en
el fluido como consecuencia del contacto con una superficie a diferente temperatura,
lo que da lugar a unas fuerzas ascensionales; ejemplos típicos de tal convección libre
son la transmisión de calor entre la pared o el tejado de una casa en un día sin viento,
la convección en un tanque que contiene un líquido en el que se encuentra sumergida
una bobina de calefacción, o el calor transferido desde la superficie de un colector
solar en un día en calma, etc.
La convección forzada tiene lugar cuando una fuerza motriz exterior mueve un
fluido con una velocidad uf sobre una superficie que se encuentra a una temperatura
T p , mayor o menor que la del fluido T f . Como la velocidad del fluido en la
convección forzada uf es mayor que en la convección libre, se transfiere, por lo tanto,
una mayor cantidad de calor para una determinada temperatura.
Ricardo Gómez Arrieta 13

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Independientemente de que la convección sea libre o forzada, la cantidad de
calor transmitida q, se puede escribir por la Ley de Enfriamiento de Newton:
donde:
q Ah( T T )
(II.4)
p f
h : es el coeficiente de transmisión del calor por convección en la interfase líquido-
sólido
A : es el área superficial en contacto con el fluido
T p : es la temperatura de la superficie
T f : es la temperatura del fluido
La ecuación anterior sólo sirve como definición del coeficiente de convección; su
valor numérico se tiene que determinar analítica o experimentalmente.
II.5 Transferencia de calor por radiación
Mientras que la conducción y la convección térmicas tienen lugar sólo a través
de un medio material, la radiación térmica puede transportar el calor a través de un
fluido o del vacío, en forma de ondas electromagnéticas que se propagan a la
velocidad de la luz. Existen muchos fenómenos diferentes de radiación
electromagnética pero en Ingeniería Térmica sólo consideraremos la radiación
térmica, es decir, aquella que transporta energía en forma de calor.
La cantidad de energía que abandona una superficie en forma de calor radiante
depende de la temperatura absoluta a que se encuentre y de la naturaleza de la
superficie.
Ingeniería en energía 14

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Un cuerpo negro emite una cantidad de energía radiante de su superficie q,
dada por la ecuación:
4
q AT AE
(II.5)
en la que Eb es el poder emisivo del cuerpo negro, y σ es la constante dimensional de
Stefan-Boltzman en unidades SI:
5.67x10 Ricardo Gómez Arrieta 15
b
8
W
2 4
mK
La ecuación anterior dice que toda superficie negra irradia calor
proporcionalmente a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. Aunque la
emisión es independiente de las condiciones de los alrededores, la evaluación de una
transferencia neta de energía radiante requiere una diferencia en la temperatura
superficial de dos o más cuerpos entre los cuales tiene lugar el intercambio

CAPITULO III
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Introducción al Cálculo Fraccionario
III.1 Introducción
Estamos familiarizados con la idea de las derivadas. La notación usual
df ( x)
dx
o Df () x ,
Ingeniería en energía 16
2
d f ( x)
2
dx
o
2
D f ( x )
se comprende fácilmente. Estamos también familiarizados con propiedades tales
como:
D f ( x) f ( y) Df ( x) Df ( y)
1/ 2
d f ( x)
Pero, ¿cuál sería el significado de o
1/ 2
dx
1/ 2
D f ( x ) ?
En 1695 L’Hôpital le preguntó a Leibnitz: - ¿Qué ocurre si el orden es 1/ 2 ?
Leibnitz responde -“De esta paradoja se extraerán, algún día, consecuencias muy
útiles”
Lacroix, en 1819, menciona, por primera vez la derivada de orden arbitrario.
Más tarde Euler y Fourier trataron el tema, pero sin aplicaciones. En 1823, Abel lo
aplicó a la ecuación integral relacionada con el problema de las isócronas. Esto

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motivó a Liouville (1832) al primer gran intento de una definición formal y
consistente de la derivada fraccionaria. En 1847 Riemann escribió un artículo
modificando la definición de Liouville del operador fraccionario que se conoce hoy
como la Integral de Riemann – Liouville.
order”.
En A. V. Letnikov escribió el artículo “Theory of differentiation of fractional
Desde 1695 – 1974 muchos científicos han contribuido: Lagrange, Laplace, de
Morgan, Heaveside, Riesz, Weyl. En 1974 aparece el primer texto dedicado al cálculo
fraccionario Oldham y Spanier (1974).
Hasta la fecha existe una vasta literatura sobre el tema llamado Cálculo
Fraccionario, Cálculo Fraccional o Cálculo Generalizado (Oldham y Spanier, 1974;
Podlubny , 1999; Ayala y Tuesta, 2007) entre otros y una gran variedad de artículos
científicos aparecen día a día en el mundo (Meerschaert y otros, 2006; Tadjeran y
otros, 2006). Mostrando las más variadas aplicaciones, entre estas aplicaciones
actualmente se encuentran en la Reología, Biología Cuántica, Electroquímica, Teoría
de la Dispersión, Difusión, Teoría del Transporte, Probabilidad y Estadística, Teoría
del Potencial, Elasticidad, Viscosidad y Teoría de Control Automático.
Antes de usar algunas definiciones formales o teoremas exploraremos la idea de
la derivada fraccionaria echando una ojeada a algunos ejemplos de derivadas bien
n ax n ax
conocidas, de orden n, tales como D e a e y cambiaremos el número natural n
por otros números, por ejemplo, ½. En este sentido, como detectives, trataremos de
ver qué estructura matemática se esconde en esta idea. Evitaremos una definición
Ricardo Gómez Arrieta 17

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
formal de la derivada fraccionaria mientras no exploremos las posibilidades de varias
aproximaciones a esta noción.
III.2 Derivada fraccionaria de la función exponencial
Comencemos examinando las derivadas de la función exponencial ax
e debido a
su simplicidad.
donde n es un entero.
1 ax ax 2 ax 2 ax n ax n ax
D e ae , D e a e ,..., D e a e
Podríamos remplazar n por ½ y escribir
1/ 2 ax 1/ 2 ax
D e a e , ¿Por qué no?, ¿Por qué
no podemos ir más allá y hacer n un número irracional como, por ejemplo, 2 o un
número complejo tal como ( i 1) ?
Escribiendo
ax ax
D e a e
(III.1)
para cualquier valor de α, entero, irracional o complejo. Es interesante considerar el
significado de (III.1) si α fuera un entero negativo. No hay dudas que si α fuera un
entero negativo –n, se trataría de la n-ésima integral iterada. De manera que si es
un número real positivo se trata de la derivada y de la integral si es un número
real negativo.
Ingeniería en energía 18

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Notemos que aún no hemos dado una definición para la derivada fraccionaria
de una función general. Pero, si esta definición se encuentra, querríamos comprobarla
en la función exponencial. Es bueno comentar que Liouville comenzó por ahí.
III.3 Funciones trigonométricas: seno y coseno.
También estamos familiarizados con las derivadas de la función seno:
0
D sen( x) sen( x)
,
1
D sen( x) cos( x)
,
Ricardo Gómez Arrieta 19
2
D sen( x) sen( x)
Esta función no presenta un patrón claro para encontrar, por
1/ 2
ejemplo: D sen( x ) . Sin embargo, trazando la gráfica de esta función se descubre un
patrón. Cada vez que derivamos resulta un gráfico del sen() x desplazado a la
2
izquierda. De manera que derivando sen() x , n veces, se desplaza la gráfica
izquierda, es decir,
n
D sen( x) sen x n
2
n
D cos( x) cos x n
2
n
2
a la
reemplacemos el entero positivo n por un número α arbitrario. Así, obtendremos una
expresión de la derivada general de la función seno y, de manera similar, podríamos
tratar el coseno.
D sen( x) senx 2
D cos( x) cosx 2 (III.2)

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
después de ver esto, es natural preguntarnos si lo que hemos hecho es consistente con
el resultado que obtuvimos para la exponencial.
Para esto consultaremos Euler,
y usando (III.1) podemos calcular
que corrobora (III.2).
III.4 Derivadas de x α
entero).
ix
e cos( x) isen( x)
i
i x
ix ix 2 ix
2
cos
D e i e e e e
x isenx 2 2
Veamos ahora las derivadas de las potencias de x. Comencemos con
0 p p
D x x ,
1 p p 1 2 p p 2
D x px , D x p( p 1) x
, …
Ingeniería en energía 20
p
x (p
n p p n
D x p( p 1)( p 2)...( p n 1) x
(III.3)
multiplicando numerador y denominador de (III.3) por (p-n)! se obtiene
0 p p( p 1)( p 2)...( p n 1)( p n)( p n 1)
x
Dx
( p n)( p n 1)...1
pn

esta es la expresión general de
Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
p!
D x x
( pn)! n p
D x
n p pn Ricardo Gómez Arrieta 21
(III.4)
Para reemplazar el entero positivo n por un número arbitrario α usamos la
función Gamma. Ésta nos da un significado para p! y para p n!
en (III.4), cuando
p y n
no sean números naturales.
La función Gamma fue introducida por Euler en el siglo XVIII para generalizar
la noción de z! para valores no enteros de Z. Su definición es
y tiene la propiedad de que
podemos ahora arreglar (III.4)
z1 z!
.
t z1
( z) e t dt
0
pn n p ( p1) x
Dx
( pn1) que tiene sentido si n no es entero, de manera que podríamos escribir
para cualquier .
p
p ( p1) x
D x
( p 1)
(III.5)

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Con (III.5) podemos extender la idea de la derivada fraccionaria de un gran
número de funciones.
Dada cualquier función que pueda ser expandida en serie de Taylor en
potencias de
f ( x) anx Ingeniería en energía 22
n0
si asumimos que podemos derivar término a término, obtendremos
n ( n 1)
n
( ) n n
n0 n0
( n 1)
D f x a D x a x
n
(III.6)
esta expresión obtenida es una candidata a constituir una definición de la derivada
fraccionaria de una amplia variedad de funciones, aquéllas que pueden ser
expandidas en serie de Taylor en potencias de x.
x
escribamos la derivada fraccionaria de e según
x x
D e e
(III.7)
Comparemos ahora (III.7) con (III.6) para ver si armonizan. De la serie de Taylor
se sabe que
1
e x
n!
x
n 0
n

aplicando (6) se obtiene
Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
x
De
x
n 1)
(
n 0
n
(III.8)
pero (III.7) y (III.8) no pueden armonizar a menos que α sea un número entero. Si α es
x
un número entero la parte derecha de (III.8) será la serie de e , con diferente
indexado. Sin embargo, si α no es un número entero tenemos dos funciones
completamente diferentes. Hemos descubierto una contradicción que históricamente
causó grandes problemas. Tal parece que nuestra expresión (III.1) para la derivada
fraccionaria de la exponencial es inconsistente con nuestra fórmula (III.6) para la
derivada fraccionaria de una potencia.
III.5 Integrales iteradas
Hemos estado tratando con derivadas repetidas. Las integrales también pueden
repetirse. Pudiéramos escribir
1
D f ( x) f ( x) dx
pero la integral no tiene límites. En lugar de eso, escribiremos
x
1
D f ( x) f ( t) dt
0
,
Ricardo Gómez Arrieta 23
x t2
2
D f ( x) f ( t ) dt dt
00
1 1 2
La región de integración es el triángulo de la figura 2. Si intercambiamos el
orden de integración, la parte derecha de la figura 2 muestra que
xx
2
D f ( x)
f ( t ) dt dt
0 t1
1 2 1

que
o también
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Figura 2: Región de integración para integrales iteradas
Puesto que f(t1) no es función de t2, puede ser extraída de la integral, de manera
x x x
2
D f ( x) f ( t ) dt dtf(
t )( x t
) dt
1 2 1 1 1 1
0 t1
0
2
D f ( x) f ( t)( x t)
dt
usando el mismo procedimiento podemos demostrar que
y, en general,
x
3
1
2
D f ( x) f ( t)( x t)
dt
2
0
Ingeniería en energía 24
x
0
x
n 1
n1
D f ( x) f ( t)( x t)
dt
( n 1)!
0
x
4
1
3
D f ( x) f ( t)( x t)
dt
23
0

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
ahora, como hemos hecho antes, cambiemos n
la función gamma. Obtenemos
1 ( )
D f ( x) dt
( )
( )
por una arbitraria y el factorial por
x
f t
(III.9)
1
0 x t
a esta integral llegó Liouville, motivo por el cual recibe su nombre.
Esta es una expresión general (usando una integral) para derivadas fraccionarias
que se puede usar como definición. Pero hay un problema. Si 1 la integral es
impropia. Esto ocurre debido a que cuando t x,
xt 0 . La integral diverge para
toda 0.
Cuando 1 0,
la integral impropia converge, de manera que si es
negativa no hay problemas. Puesto que (III.9) converge sólo para negativa, se trata
entonces de una verdadera integral fraccionaria.
Riemann, siendo estudiante, modifica o generaliza la Integral de Liouville
cambiando el límite 0 por b , dando paso a la Integral de Riemann – Liouville
1 ( )
D f ( x) dt
( )
( )
x
f t
Para 0
1
b x t
(III.10)
Pero, esta expresión sólo permite calcular integrales fraccionarias, no derivadas.
Riemann plantea primero aplicar la Integral fraccionaria y luego derivar de forma
entera, es decir,
n n
b x b x
D f ( x) D D f ( x)
n R
( )
1
Ricardo Gómez Arrieta 25

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Que significa encontrar la derivada de orden α con los límites de b a x. Ésta
constituye la primera expresión para la derivada fraccionaria de orden real.
Ejemplo.- Se quiere encontrar la derivada de orden α = 6.2
n = [R(6.2)] + 1 = [6.2] + 1 = 7
Por tanto, primero se deriva con orden:
α – n = 6.2 – 7 = -0.8
y luego se deriva con orden entero e igual a 7.
Poco tiempo después Riemann - Liouville cambiaron α por -α y aparece una
nueva definición de la derivada fraccionaria con orden fraccionario positivo
x
11 b x b x
( )
b
D f ( x) J f ( x) ( x t) f ( t) dt
α > 0, t > 0
¡La derivada fraccionaria tiene límites, pues resulta de una integral!
Pensamos en la derivada como una propiedad de la función. La derivada
fraccionaria, simbolizada por D incorpora ambas: derivadas ( positiva) e
integrales ( negativa). Las integrales tienen límites. Esto quiere decir que la
derivada fraccionaria tiene también límites.
Ingeniería en energía 26

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
Cuáles son los límites que trabajarán para la exponencial en (III.1).
ax ax 1 ax
D e e dx e
(III.11)
a
1
b x
x
b
¿Qué valor de b nos permitirá obtener esa respuesta? Dado que la integral
(III.11) es realmente una integral
x
ax 1 ax 1 ab
b
e dx e e
a a
obtendríamos la respuesta que queremos cuando 1
e
a
Esto es así cuando ab . De manera que si a es positivo entonces b . Este
tipo de integral, con el límite inferior de , es denominada derivada fraccionaria de
Weyl. En la notación (III.10) podemos escribir (III.1) como
ax ax
Dx e a e
Ricardo Gómez Arrieta 27
ab
0
p
ahora, qué límites servirán para la derivada de x en (III.5). Tenemos
otra vez queremos
p1
b
0
p 1
1
b x
x p1 p1
p p x b
D x x dx
p1 p1
b

más clara
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Esto es el caso en que b = 0. Concluimos que (III.5) se debe escribir de una forma
0
x
D x
De manera que la expresión (III.5) para
p
( p1) x
( p 1)
incorporado. Sin embargo, la expresión (III.1) para
inferior.
Ingeniería en energía 28
p
III.6 Derivada fraccionaria según Grünwald-Letnikov
p
Dx tiene el límite inferior cero
ax
De tiene como límite
En 1868, Grünwald-Letnikov dieron otra definición de Derivada Fraccionaria
partiendo de la definición formal de derivada entera.
se conoce que
generalizando
donde
1 f ( x h) f ( x)
D f ( x)
lim
h0
h
n m0
D f ( x)
lim
h0
n
m n ( 1) f ( x mh)
m n
h
n n!
m m!( n m)!

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
sustituyendo n por α y sabiendo que ( z1) z!
xa h
m ( 1)
D f ( x) lim h ( 1) f ( x mh)
para 0
h0
m! ( m1)
a x
m0
existe otra definición para 0.
por suerte se puede probar que los resultados de Riemann Liouville y Grunwald-
Letnikov son equivalentes.
III.7 Derivada fraccionaria según Caputo (1967).
Caputo invierte el orden de la derivación en el resultado de Riemann – Liouville
y aparece otra alternativa para la derivada fraccionaria
x ( n)
n
n 1 f ( t) dt
bDx f ( t) D D f ( x)
( n ) n1 b ( xt) III.8 Media derivada de una función simple
Como hemos visto, se pudiera calcular la derivada de
n1 n;
n N
f ( x)
x
Ricardo Gómez Arrieta 29
n

según
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
d ( n1)
x x
dx ( n 1)
n n
1
Calculemos ahora la derivada de orden de f () x x , es decir, n 1.
2
de manera que
1/ 2 1
1
1/ 2
(1 1)
2 (2)
1/ 2 2
x x x
1/ 2
d x
dx 1
(1 1) 2
3
2
1/ 2
d 2 x
x
1/ 2
dx
obtengamos la primera derivada repitiendo este proceso
era el resultado esperado, es decir,
3 1/ 2
d 2 x 2
2 1
1/ 2
dx
(1)
1/ 2 1/ 2
d d
1/ 2 1/ 2
dx dx
( x)
1
Ingeniería en energía 30

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
III.9 Derivada fraccionaria de una constante
Pudiéramos encontrar, por ejemplo, la derivada fraccionaria de f(x) = 1.
ya conocemos que
d ( n1)
x x
dx ( n 1)
n
supondremos f ( x) x con n 0 .
sería
n n
0 (0 1)
0
d d x
( x ) (1) x
dx dx (0 1) (1 )
Si se quisiera encontrar, por ejemplo, la derivada de orden
Derivada de una constante C
ahora la derivada de orden 1
2
1/ 2 1/ 2 1/
2
1/
2
(1) x
1/ 2
d (1) x x 1
dx 1 1
(1 ) (
) x
2 2
de C sería
1/ 2 1/ 2
0
Cx C
1/ 2 1/ 2
d d C
( ) (1)
d dx x
1
de f( x) 1,
2
Ricardo Gómez Arrieta 31

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
III.10 Transformada de Laplace de la derivada fraccionaria de una función
Las transformadas de Fourier y Laplace, que permiten transformar del dominio
tiempo al dominio frecuencia, pueden ser usadas para obtener generalizaciones de la
derivada válida para funciones que siguen tales transformaciones.
La Transformada de Laplace se define según
La Transformada Inversa
st
L f ( t) F( s) f ( t) e dt
1
1
st
L F ( s) f ( t) F( s) e ds
2
j
Ingeniería en energía 32
0
j j
Una importante propiedad de la Transformada de Laplace se refiere a la n –
ésima derivada de la función f(t).
n1
n n n 1 i ( i)
L D f ( t) s L f ( t) s f (0)
Si las condiciones iniciales son nulas (los términos de la sumatoria son cero) se
obtiene una expresión simple
generalizando
i0
n n n
L Df( t) sLf( t) sF(
s)
L
D f ( t)
s F( s)

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
De manera que la derivada generalizada se puede ahora expresar como
1
D f ( t) L s L ( f ( t)
un resultado muy interesante, pues aparece una nueva expresión para la derivada
fraccionaria de una función f(t).
Teniendo en cuenta el resultado de la derivada fraccionaria de la exponencial
at at
D e a e
se puede comprobar la generalización de la derivada anterior.
por tanto
Se sabe que
Ricardo Gómez Arrieta 33
1
f ( t) L s L ( f ( t)
j
1
1
st st
D f ( t) D L s L( f ( t)
D e e dtds
2j
j 0
j j
1 st st1 st st
D e e f ( t) dtds s e e f ( t) dtds
2 j
2
j
j0 j0
1
D f ( t)
L s L ( f ( t)

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Transformada de Laplace de la derivada fraccionaria de una función con
condiciones iniciales no nulas
habíamos escrito
n1
n n n 1 i ( i)
L D f ( t) s L f ( t) s f (0)
Ingeniería en energía 34
i0
Generalizando este resultado para cualquier orden
número natural mayor o igual a α.
finalmente
0 . Sea m el menor
m1
m m m m mi1 i ( m
)
L D f ( t) L D ( D f ( t)) s ( D f ( t)) s D D f ( t)
i1 t0
m 1 m 1
m
( m ) mi1 i( m ) mi1 i( m
)
s sF( s) sDf(0) s F( s) s D f (0)
i1
i1
m1
mi1 i( m
)
L Df( t) sF( s) s D f (0)
Con este resultado se pueden generalizar los teoremas del valor inicial y final
i1
1
f (0) lim s F( s)
s
1 f (0) lim s F( s)
s0
Re( s) 0
Re( s)
0

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
III.11 Transformada fraccionaria de Fourier
Se conoce que la transformada entera de Fourier tiene la forma
y la Transformada inversa
jt F f ( t) F( )
e f ( t) dt
Ricardo Gómez Arrieta 35
1
jt F F( ) e F( ) d
esta transformada tiene una propiedad análoga para la n – ésima derivada
n n
F Df( t) (
j) F f ( t)
Y la derivada puede generalizarse, de manera que esta propiedad se mantiene
para un cierto orden no entero
m . Entonces
F
D f ( t) (
j) F f ( t)
por tanto aparece una nueva definición de derivada fraccionaria
1
D f ( t) F ( j ) F f ( t)
Se pudiera demostrar esta nueva definición de la Derivada Fraccionaria de la
misma forma que con la transformada de Laplace.

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
En estas dos generalizaciones se pueden determinar los límites de la derivada.
En el caso de la Transformada de Laplace se trata de una derivada generalizada de
Riemann – Liouville con el límite inferior 0. Mientras en el caso de la transformada de
Fourier se trata de una derivada fraccionaria de Weyl.
III.12 Convolución
Lo visto hasta ahora sugiere que la derivada fraccionaria sea formulada en
términos de convolución. El siguiente desarrollo muestra cómo, después de todo, la
derivada fraccionaria de una función es su convolución con cierta función
Ingeniería en energía 36
1
x
( x)
(
)
La convolución de Laplace de esta función con f(x) nos resulta la derivada de
Liouville de orden α.
x x 1
( xt)
( x) f ( x) ( x t) f ( t) dt f ( t) dt D f ( x)
( )
0 0
Esto permite encontrar resultados de forma muy simple. Por ejemplo, si se
quiere encontrar
Lt ( )
( 1)
()
1
s
1
t
L t L s
(
)

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
y, como la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones es el
producto de las transformadas de Laplace de estas dos funciones, en el caso de que
f(x) cumple los requerimientos conocidos, pudiéramos encontrar, de otra forma, la
expresión de la derivada fraccionaria de una función f(x).
x x 1
( xt)
( x) f ( x) ( x t) f ( t) dt f ( t) dt D f ( x)
( )
0 0
entonces la transformada de la función ( x)
Lx ( )
( 1)
( )
1
III.13 Fórmula Integral de Cauchy
t
1
x
L x L t
(
)
A través de la Fórmula Integral de Cauchy también se puede arribar a la
Derivada Fraccionaria, pues ésta permite realizar integraciones sucesivas.
t
1
n1
Fan , ( t) ( t )
f ( ) d
( n 1)!
a
Ricardo Gómez Arrieta 37
t a; n
1
La Fórmula de Cauchy es una integral de Convolución donde el núcleo de la
convolución es
n1
t
n() t
( n 1)!

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
generalizando, si 0se puede definir
1
n1
Fa, n( t) a, n(
t) f ( t) ( t
) f ( ) d
( n 1)!
t
1
1
D f ( t) ( t )
f ( ) d
( )
Ingeniería en energía 38
0
t
a

CAPITULO IV
Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
Ecuación de Calor de Orden Fraccional
IV.1.- Introducción
La complejidad asociada a los procesos de transferencia de calor en una gran
variedad de sistemas, se asocia a interacciones complejas y medios parcial o
totalmente heterogéneos, lo que implica un proceso de difusión térmica no ideal
asociada a procesos de difusión anómala.
Actualmente el fenómeno de difusión anómala es observado en baños caóticos
del calor, la difusión a través de los materiales porosos, los semiconductores amorfos,
la dinámica de la partícula dentro de una red polimérica, entre muchas otras
disciplinas. Investigadores han propuesto modelos basados en formas lineales y no
lineales de ecuaciones diferenciales. Tales modelos pueden simular la difusión
anómala pero no reflejan su comportamiento verdadero.
El objetivo en el presente trabajo es obtener una expresión de la ecuación de
difusión de calor de orden fraccional con el propósito de modelar y simular procesos
de difusión anómala y de esta forma cubrir el espectro completo del comportamiento
del transporte térmico, es decir, efectos relacionados con modelos basados en
ecuaciones clásicas como Fourier y no-Fourier (Espinosa-Paredes G., Espinosa-
Martínez, E.-G., 2009).
Ricardo Gómez Arrieta 39

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
El tratamiento del transporte de energía térmica como producto de un proceso
de difusión calor basado en ecuaciones clásicas solamente es validado para limitados
procesos que comprenden comportamientos simples, o en su caso idealizados, por lo
que para predecir las distribuciones de perfiles de temperatura para procesos en los
que los sistemas son complejos, fallan.
IV.2 Ecuación de calor fraccional
Se pretenden identificar algunos fenómenos anómalos de la difusión debido a la
configuración altamente heterogénea en algunos sistemas, planteando un modelo
fraccionario de difusión de calor. El modelo fraccionario de la difusión desarrollado
en este trabajo puede ser aplicado para diferentes configuraciones donde los sistemas
no cumplan con el comportamiento del uso de las ecuaciones clásicas de la difusión.
En el capítulo II hemos analizado la ecuación de difusión clásica basada en la ley
de Fourier (Ec. II.1), sin embargo, estas ideas pueden ser extendidas aplicando
herramientas del cálculo fraccionario.
Tomando las consideraciones antes mencionadas con respectos a los sistemas
heterogéneos, se presenta la ecuación parcial de difusión térmica de orden fraccional
en el operador diferencial temporal en estado transitorio unidimensional
C
q
u( x, t) K u( x, t)
,
2
t x
C
2
Ingeniería en energía 40
p
t 0, x R
(IV.1)

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
donde u(x,t) es la variable del campo (la densidad de la probabilidad de dislocaciones
difusivas x en un tiempo t),
C
t
es el derivado fraccionario temporal, es el
operador de orden fraccional, K es un coeficiente de difusión (anómala)
generalizada [m 2 /s α ].
Con respecto Ec. (IV.1) podemos observar que obtenemos la ecuación de tipo
parabólica de difusión clásica para 1,
por otra parte en el caso en que 2 se
reproduce la ecuación de onda.
IV.3 Sub-difusión y súper-difusión
En un proceso de transferencia de energía térmica como en tantos otros, los
fenómenos físicos tanto a nivel microscópico como macroscópico son de gran
relevancia para el entendimiento pleno del fenómeno, sin embargo la complejidad
asociada a fenómenos moleculares hasta cierto punto no son totalmente
comprendidos, por lo que en este caso asumimos las variaciones del parámetro a en el
intervalo 0 2.
De tal modo podemos analizar el comportamiento del parámetro a en Ec. (IV.1),
notando un proceso de la relajación cuando 0 1,
en este caso podemos hablar de
que el proceso es considerado sub-difusivo. Para cuando se encuentra dentro del
intervalo 1 2 se observa un proceso de la oscilación y relajación considerado en
este caso un proceso súper-difusivo.
Ricardo Gómez Arrieta 41

IV.4 Sistemas coordenados
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Hemos presentado la ecuación de difusión de calor de orden fraccional en
estado transitorio en la Ec. (IV.1), sin embargo, esta idea se puede extender de manera
análoga a los sistemas coordenados cilíndricos y esféricos de la ecuación de difusión
Ecs. (II.3b, II.3c), con objeto de presentar para estos sistemas coordenados la ecuación
de orden fraccional correspondiente y de esta forma tener un panorama más amplio
en cuanto a los sistemas de estudio.
Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas:
2 2 2
u u 1 u 1 u u q
K
2 r r 2 2 2
t
r r z C
p
2 2
1 1 1
2
r 2
2 2 2
Cp
u u u q
K ru sen
t r r sen r sen
(IV.1b)
Ingeniería en energía 42
(IV.1c)
De la misma forma que con la ecuación (IV.1), la variable de campo es (u) como
función del las variables espaciales y el tiempo,
C
t
es el derivado fraccionario
temporal, es el operador de orden fraccional, K es un coeficiente de difusión
(anómala) generalizado m/ s
.

CAPITULO V
Análisis Numérico
V.1.- Introducción
Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
En esta sección consideramos la ecuación diferencial parcial fraccionaria en la
forma siguiente
C
T ( x, t) K T ( x, t),
2
t x
Ricardo Gómez Arrieta 43
2
t 0, x R
(V.1)
Con respecto Ec. (V.1) obtenemos la ecuación clásica de la difusión para 1,
la
ecuación del traspaso térmico. Por otra parte si 2 , se reproduce la ecuación de
onda. Por lo tanto asumimos las variaciones del parámetro en el intervalo 0 2.
Analizamos el comportamiento del parámetro en Ec. (V.1) notando un
proceso de sub-difusión cuando 0 1.
Si 1 2 notamos un proceso súper-
difusión.
El cálculo fraccionario implica diversas definiciones del operador fraccionario
como el derivado fraccionario de Riemann-Liouville, el derivado de Caputo, el
derivado de Grünwald-Letnikov, el derivado de Riesz y también el derivado de
Weyl-Marchaud (Podlubny, 1999).

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
C
Introducimos la definición del operador 0 D (1967) y para N tenemos
C
0
como el derivado de Caputo
Ingeniería en energía 44
m1
( )
D d(V.2)
C
m1
1
( ) ( )
( m 1 )
m
0 ( )
donde m ,
y denota la parte entera de .
y donde el operador 0 D
Liouville como
define en derivado fraccionario en el sentido de Riemann-
m1
1 ( )
0 ( ) ( )
( m 1 )
m1m 0 (
)
D d(V.3)
El modelo matemático basado en la difusión anómala conduce a las ecuaciones
diferenciales de orden fraccionario y a la necesidad de la formulación de condiciones
iníciales a estas ecuaciones. Para la ecuación estándar de la difusión ( 1),
que es la
ecuación en la forma parabólica, una función inicial es suficiente, mientras que para la
ecuación de onda ( 2 ) se agrega una más, que es la ecuación en la forma
hiperbólica, el derivado en función del tiempo. En el fraccionario intermedio
(1 2),
necesitamos dos funciones iníciales como en el caso de 2 .
El problema de condiciones iníciales se soluciona matemáticamente, pero estas
soluciones son inútiles prácticamente en el sentido del derivado de Riemann-
Liouville. Caputo que propuso la definición (V.2) permite las condiciones iníciales de
la misma forma que para las ecuaciones diferenciales de orden entero. Según el

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
cálculo fraccionario (Podlubny, 1999) entre el derivado de Caputo y los derivados de
Riemann-Liouville se expresa de la siguiente forma
( ) ( )
(0
)
(V.4)
( k 1) k
C
0D 0D
m
k0
kk Aquí consideramos Ec. (V.1) en el dominio 1D :0 x L con condiciones de
valores en la frontera de primera clase (condiciones de Dirichlet) como
y condiciones iníciales
x
0:
xL:
T(0, t) g ( t)
Ricardo Gómez Arrieta 45
0
T( L, t) g ( t)
T ( x, t) p
0 0(
x)
t
T ( x, t) p1( x)
t
t0
L
t 0
(V.5)
, para 1 2 (V.6)
Para condiciones de valores en la frontera de otras clases (Von Neumann) se
permite que se trate la ecuación parcial fraccionaria de la manera similar como para
las ecuaciones clásicas que implican el segundo derivado espacial.
IV.2 Algoritmos Numéricos
En esta sección nos concentramos en la descripción de los métodos numéricos
usados para la solución de Ec. (V.1). En un problema de valores iníciales en los que
definimos dos clases de rejillas: espacial y temporal.

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
dividimos el dominio espacial 0, L
en el acoplamiento uniforme con N 1
nodos,
donde
igual a
L
h
N
xi ih
para i 0,..., N
El intervalo de tiempo 0, T se divide en F sub-intervalos donde cada uno es
y los nodos de tiempo
T
t=
F
tf = ft para f = 0,…,F.
V.3 Formas discretas de derivados fraccionarios
En esta sección consideramos la definición del derivado fraccionario en el
sentido de Grünwald-Letnikov (Spanier y Oldham, 1974) introducido en la sección
III, considerando la notación de este apartado
t
GL
j
0
t 0
j0
D ( ) lim ( t) ( 1) (
jt) (V.7)
j
La definición del operador en el sentido de Grünwald-Letnikov (V.7) es
equivalente a la definición del operador en el sentido de Riemann-Liouville. Sin
embargo el operador de Grünwald-Letnikov es más flexible y directo en cálculos
numéricos.
Ingeniería en energía 46

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
Se aproximan al operador de Grünwald-Letnikov (V.7) dentro del intervalo [0,
τ] con un sub-intervalo t como:
GL
0
t
j0
( )
j
(V.8)
D ( ) C ( jt) ( ) donde C j
son los coeficientes de Grünwald-Letnikov definidos como
( )
usando la relación C0 ( t)
( )
( ) ( 1) j
j
C t
j
1
C t C
j
( )
( )
j ( ) 1 j1
para j=0,1,…. (V.9)
para j=1,2… (V.10)
se pueden de esta forma calcular de una manera simple dichos coeficientes. Para j = 1
tenemos que
( )
C1 ( t)
Debe ser observado que el derivado fraccionario es representado por la suma
cargada sobre la serie.
Ricardo Gómez Arrieta 47

V.4 Método de diferencias finitas
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Considerando la Ec. (V.1), asumimos m = [α], e introduciendo las condiciones
iníciales (V.6), de esta manera podemos determinar directamente los valores de la
función T al inicio del paso del tiempo t = tf para f = 0,…,m para cada nodo xi y para
i = 1,..., N -1
T ( x , t ) p ( ih)
i
0 0
T ( x , t ) p ( ih) t p ( ih)
para m=1 (V.11)
i
1 0 1
Las condiciones límite de primera clase (V.5) se utilizan directamente para los
valores en los nodos límite (al primer y al último nodo) x0 y xN en cada momentos del
tiempo t = tf para f = 0,..., F
T( x , t ) g ( f t)
0 f 0
T( x , t ) g ( f t)
(V.12)
N f L
Usando expresión clásica para la derivada de segundo orden en el espacio,
ocurre que en el lado derecho de la Ec. (V.1) obtenemos
2
u( x, t)
2
i1 i
2
i1
xxi T ( x , t) 2 T ( x , t) T ( x , t)
x
h
Ingeniería en energía 48
(V.13)
Mientras que del lado izquierdo de Ec. (V.1) en cada momentos del tiempo t = tf
para f m 1,..., F , se substituye por el esquema diferencial fraccionario (V.8) que
incluyen las condiciones iníciales (V.6). Entonces tenemos

t
Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
ttf k
f m
( )
t
f
j i f j k i
(V.14)
T( x, t) C T( x , t )
p ( x )
k 1
x x j 0 k 0
i
escribimos ahora la Ec. (V.14) asumiendo un esquema explícito del tiempo t tf1. al sustituir (V.13) y (V.14) en la Ec. (V.1) obtenemos
k
f m t
( )
f T xi1 t f 1 T xi t f 1 Txi1tf1
CjT( xi , t f j ) pk ( xi ) k2
j0 k0k1h
f
i i f y pk, i pk ( xi
)
al denotar T T ( x , t )
( , ) 2 ( , ) ( , )
escribimos la Ec. (V.15) en la forma
Ricardo Gómez Arrieta 49
(V.15)
k
f m
( ) t f j f
k
f 1 f 1 f 1
CjTi pki , Ti1 2Ti
Ti1
(V.16)
j0 k0
2
k 1 h
desintegrando parcialmente en términos la primera suma en la Ec. (V.16) obtenemos
f
k
f m
t
f f 1 ( ) f j k
f 1 f 1 f 1
i i j i
i
j2 k0
t T T C T p T T T
ki , 2
i1 2 i1
k 1 h
realizando algunos pasos algebraicos y reagrupando términos, finalmente tenemos
(V.17)

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
t f
k
f m
f k
f 1 k
f 1 f 1 ( ) f j
i 2
2 i
2 i1 i1
j i
ki ,
h
h
j2 k0k1
T t T T T C T p
t
él coeficiente que del término
esquema explícito y por lo tanto obtenemos
por lo que
fraccional.
Ingeniería en energía 50
(V.18)
f 1
Ti debe ser positivo para asegurar la estabilidad
k
2 0
2
t h
t
2
1
h
t
2k
(V.19)
(V.20)
Hasta aquí el desarrollo del método numérico para la solución del modelo
V.5 Validación en coordenadas cartesianas
En la sección previa se presento la ecuación de difusión de energía térmica de
orden fraccional (V.1), así como la solución numérica para este modelo (V.18), con el
objetivo llevar a cabo una validación de dicho modelo se presenta el problema clásico
unidimensional de transferencia de calor en coordenadas cartesianas de la siguiente
forma
T ( x, t) T ( x, t),
t 2
x
2
t 0, x R
(V.21)

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
Considerando condiciones de frontera e inicial como:
T t en x x0
C.F.1 (0, ) 0
(V.22)
C.F.2 T( L, t) 0
en x xR
(V.23)
C.I. T( x,0) f ( x)
en t 0
(V.24)
Resultando como solución analítica (Zill 1997):
2 2
n
L
t 2
L
2
n n
u x, t f ( x) sen xdx e sen x
(V.25)
L L L
n1
0
Al considerar condiciones de frontera homogéneas y como condición inicial una
función f() x .
En esta sección presentamos la validación del modelo de difusión de orden
fraccional, al realizar la comparación entre la solución analítica del problema clásico y
la solución numérica para el modelo fraccional cuando el coeficiente fraccional 1 y
de esta forma recuperar la solución al problema (V.21).
En el caso particular en que Tx ( ,0) 100 , L , 1 y condiciones a la frontera
homogéneas, se muestra a continuación el grafico resultante de la ecuación de
difusión de calor
Ricardo Gómez Arrieta 51

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Figura 3. Grafica de la solución analítica al problema de difusión térmica V.22,
(Zill 1997).
A continuación presentamos la solución numérica al problema de difusión
térmica de orden fraccional (V.1) considerando en este caso el coeficiente fraccional
1,
considerando de igual forma un caso particular en el que
Tx ( ,0) 100 , L , K 1.
U(x,t)
120
100
80
60
40
20
0
0 1 2 3
Ingeniería en energía 52
x
Figura 4. Solución numérica del modelo fraccional
t= 0.05
t= 0.35
t= 0.6
t= 1.0
t= 1.5

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
Se lleva acabo la comparación entre el grafico 3 y 4 con el objetivo de realizar un
comparativo entre la solución analítica y la solución numérica, y de esta forma
realizar la validación del modelo de orden fracciona
Por lo que al considerar las mismas condiciones iníciales y de frontera, además
de la difusión térmica y anómala iguales, los resultados son reproducidos por la
solución del modelo fraccional cuando el coeficiente fraccional (α) es igual a 1
V.6 Simulación numérica
En base con el algoritmo desarrollado en función del modelo fraccional de
difusión de calor, son presentados algunos ejemplos de simulación de difusión
anómala. Las figuras (6-9) muestran los cálculos hechos para diversos valores del
coeficiente fraccional para el problema (V.1), considerando (α) iguales a 0.75, 1.25,
1.5, 1.75.
Considerando L=10 como dominio espacial, y un tiempo comprendido entre 0 y
2 segundos de simulación, coeficiente de difusión anómala Kα=1, condiciones
iníciales p0(x) = 0, p1(x)= 0 y valores constantes para las condiciones de frontera g0(t) =
40, gL(t) = 20 para cualquier tiempo.
Ricardo Gómez Arrieta 53

u (°C)
u (°C)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
0
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
α = 0.75
0 2 4 6 8 10
x (m)
Figura 5. Difusión anómala para α =0.75
α = 1.25
0 2 4 6 8 10
x (m)
Figura 6. Difusión anómala para α =1.25
t= 0.001
t= 0.01
t= 0.05
Ingeniería en energía 54
t= 0.1
t= 0.2
t= 2
t= 0.01
t= 0.05
t= 0.15
t= 0.25
t= 0.4
t= 2

u (°C)
U ( ªC )
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
60
50
40
30
20
10
0
Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
α = 1.5
0 2 4 6 8 10
x (m)
Figura 7. Difusión anómala para α =1.5
α = 1.75
0 2 4 6 8 10
Distancia radial (cm)
Figura 8. Difusión anómala para α =1.75
t= 0.05
t= 0.15
t= 0.25
Ricardo Gómez Arrieta 55
t= 0.4
t= 0.7
t= 2
t= 0.05
t= 0.15
t= 0.25
t= 0.4
t= 0.7
Aquí presentamos la difusión de calor en función de la posición para diferentes
tiempos en los que esta se lleva a cabo, mostrando un proceso sub-difusivo en el
grafico de la figura No.5, y procesos súper-difusivos para los gráficos mostrados en
las figuras 6, 7, y 8.
t= 2

CAPITULO VI
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Transferencia de Calor en un Elemento Combustible
de un Reactor Nuclear (PBMR)
VI.1 Introducción
En esta sección presentamos la ecuación de difusión de calor de orden
fraccional temporal en el espacio unidimensional en coordenadas esféricas, con el
objetivo de analizar la transferencia de calor entre el combustible y refrigerante en un
elemento de combustible de un reactor PBMR (Pebble Bed Modular Reactor) por sus
siglas en ingles. Como motivación de considerar la transferencia de calor en este
medio como heterogénea y de esta manera extender la teoría clásica de difusión
térmica a un modelo fraccional, Muchos investigadores han propuesto análisis
basados en dinámica de fluidos computacional (Guardoa y otros, 2006; Jung y otros,
2007; Logtenberg y Nijemeisland, 1999) entre otros, obteniendo resultados de
simulación, sin embargo todos basados en teorías de difusión clásicas.
VI.2 Descripción del sistema
El análisis es realizado en un reactor (PBMR) como el que actualmente está
siendo desarrollado en colaboración con Sudáfrica (PBMR Ltd., 2000). El sistema
consiste en un núcleo anular como reflector de grafito que aloja en su interior
elementos esféricos de combustible, cada uno lleno con alrededor de 15 000 partículas
Ingeniería en energía 56

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
recubiertas de uranio que contiene el grafito incrustado en una matriz. El lecho de
esferas es de unos 11m de alto y se extiende radialmente desde 100 a 185cm como se
ilustra en las figuras 9 y 10 (Druska y otros, 2009).
Figura 10. Sección vertical del núcleo del PBMR (Venter y Mitchell, 2007).
Ricardo Gómez Arrieta 57

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
El núcleo de helio se enfría a una presión de casi el 90 bar. Se entra en el núcleo
de la parte superior con una temperatura de alrededor de 500 °C y el núcleo en la
parte inferior después de haber sido calentada hasta aproximadamente 750-950 ◦ C.
Figure 10. Sección horizontal del núcleo del PBMR (Venter y Mitchell, 2007).
La unidad de combustible en la PBMR es una microesfera como se ilustra en la
Figura 11, que tiene en su centro un núcleo formado por alrededor de 1 mg de óxido
de uranio al 8% de U235 enriquecido. El núcleo está rodeado por una capa porosa de
carbono que puede absorber los gases, así como el calor, y una capa de carburo de
silicio, uno de los materiales más duros conocidos, para soportar altas presiones así
como altas temperaturas. La microesfera no es un equipo autónomo de reactor (no
Ingeniería en energía 58

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
hay suficiente uranio, entre otras razones), pero es la intención de ser un equipo
autónomo de estructura para el confinamiento de presión y temperatura y los gases
generados por la fisión
Una esfera del combustible PBMR se compone de entre 15000 y 100000
microesferas contenidas en una esfera de 60mm de diámetro aproximadamente,
ligeramente más pequeño que una pelota de tenis.
Figura 11. Esquema del elemento combustible y microesfera
Nuestro objetivo inmediato es establecer un modelo que represente la
temperatura radial durante el estado transitorio considerando la ecuación de difusión
de calor de orden fraccional y de esta forma validar la aproximación numérica. El
perfil de las temperaturas del elemento combustible se determina en función de la
temperatura del refrigerante y en términos de las condiciones de entrada del mismo,
así como del nivel de la fuente de calor en el interior del elemento.
Ricardo Gómez Arrieta 59

VI.3 Modelo de orden fraccional
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
La formulación de la transferencia de calor se basa en las siguientes
suposiciones fundamentales:
Las variaciones de transferencia de calor se realizan únicamente en la dirección
radial de manera simétrica.
La tasa de generación de calor volumétrico en el combustible es constante.
Considerando un elemento esférico de combustible de radio R y bajo las
suposiciones anteriormente mencionadas se considera la ecuación (IV.1c) únicamente
en la dirección radial, la cual expresa de esta manera la difusión transitoria térmica de
orden fraccional en el combustible, no considerando la fuente de generación de calor
dentro del elemento esférico como primera aproximación.
considerando condiciones de frontera:
e iniciales
C.F.1
2
T T 2K
T
q
K
2
t r
r r
C
p
T (0, t) T
en r r
r
0
0
Ingeniería en energía 60
(VI.1)
(VI.2)
C.F.2 T ( R, t) T
en r rR
(VI.3)
C.I.1 1
rR
T ( r,0) T ( r)
en t 0
(VI.4)

y para el caso en que 1 2
la ecuación de onda.
Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
es necesaria otra condición inicial como par el caso de
C.I.2 2
dT
( r,0) T ( r)
en t 0
(VI.5)
dr
donde, r es la coordenada esférica radial, r0 es el punto central del combustible, y rR es
el radio hasta el encamisado del combustible.
De esta manera se establece un primer modelo fraccional para la distribución de
temperaturas en estado transitorio para un elemento combustible de un reactor
PBMR, como consecuencia de considerar al sistema altamente heterogéneo y una
fenomenología de proceso aun más compleja.
VI.4 Solución numérica
En esta sección consideraremos el problema planteado en las ecuaciones (V.1-
V.5), donde análogamente a lo realizado en el capitulo V se realiza el análisis
numérico para la ecuación de calor de orden fraccional, considerando en esta sección
coordenadas esféricas.
nodos,
Dividimos el dominio espacial Ω= [0,R] en el acoplamiento uniforme con N+1
donde h = R/N.
ri = ih para i = 0,…,N
Ricardo Gómez Arrieta 61

igual a
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
El intervalo de tiempo [0, T] se divide en F sub-intervalos donde cada uno es
y los nodos de tiempo tf = ft para f = 0,…,F.
t = T/F
De la misma forma consideramos la definición del derivado fraccionario en el
sentido de Grünwald-Letnikov introducido en la sección III
t
GL
j
0
t 0
j0
D ( ) lim ( t) ( 1) (
jt) (VI.6)
j
Se aproximan al operador de Grünwald-Letnikov (VI.6) dentro del intervalo [0,
τ] con un sub-intervalo t como:
GL
0
t
j0
( )
j
(VI.7)
D ( ) C ( jt) ( ) donde C j
son los coeficientes de Grünwald-Letnikov definidos como
usando la relación
( )
( ) ( 1) j
j
C t
j
( )
C0 ( t)
1
C t C
j
( )
( )
j ( ) 1 j1
para j=0,1,…. (VI.8)
para j=1,2… (VI.9)
Ingeniería en energía 62

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
se pueden de esta forma calcular de una manera simple dichos coeficientes. Para j = 1
tenemos que
( )
C1 ( t)
Asumiendo m = [α], e introduciendo las condiciones iníciales, podemos
determinar directamente los valores de la función T al inicio del paso del tiempo t = tf
para f = 0,…,m para cada nodo ri y para i = 1,…, N -1
T ( r , t ) T ( ih)
i
0 0
T ( r , t ) T ( ih) t T ( ih)
para m=1 (VI.10)
i
1 0 1
Las condiciones límite se utilizan directamente para los valores en los nodos
límite (al primer y al último nodo) r0 y rR en cada momentos del tiempo t = tf para f =
0,...,F
T ( r , t ) T ( f t)
0 f 0
T( r , t ) T ( f t)
(VI.11)
N f L
Usando expresión clásica para la derivada de primer y segundo orden en el
espacio, ocurre que en el lado derecho de la Ec. (VI.1) obtenemos
2K 2 K T( ri1, t) T
( ri, t)
T( r, t)
r r r
h
rri i
2
i1 i i1
( , )
2
2
r h
rri Ricardo Gómez Arrieta 63
(VI.12)
T( r , t) 2 T( r , t) T ( r , t)
K T r t K
(VI.13)

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Mientras que del lado izquierdo de Ec. (V.1) en cada momentos del tiempo t = tf
para f = m+1,...,F se substituye por el esquema diferencial fraccionario (VI.7) que
incluyen las condiciones iníciales. Entonces tenemos
t
ttf k
f m
( )
t
f
j i f j k i
(VI.14)
T( x, t) C T( x , t )
T ( x )
k 1
x x j 0 k 0
i
rescribiendo la Ec. (VI.1) como
K
t f
k
f m
( )
CjTritfj Tk ri
j0 k0k1
( , ) ( )
T( r , t ) 2 T( r , t ) T ( r , t ) 2K
T( r , t ) T
( r , t ) q
i1 f i f i1 f i1 f i f
2
h
ri h Cp
i
Ingeniería en energía 64
(VI.15)
asumiendo un esquema explícito del tiempo t tf1, y denotando Ti T ( ri, t f ) y
p p ( r ) escribimos la Ec. (V.15) en la forma
k, i k i
f
( )
j
m
f j
i
j0 k0
t f
k
C T Tk( ri)
k 1
T T T T T
K
f 1 i1 2
f 1 i
f 1 i1 2K
f 1 i1
f 1
i q
2
h
ri h Cp
i
f
(VI.16)

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
Desintegrando parcialmente en términos la primera suma en la Ec. (V.16)
obtenemos
tenemos
f
i
f 1 i
f
( )
j
f j
i
m
j2 k0
t f
t T T C T
Tk( ri)
k 1
Ricardo Gómez Arrieta 65
k
T T T T T
K
f 1 i1 2
f 1 i
f 1 i1 2K
f 1 i1
f 1
i q
2
h
ri h Cp
i
(VI.17)
Realizando algunos pasos algebraicos y reagrupando términos, finalmente
f f 1 2K K f 1 2K 2K 2K
f 1
K Ti t Ti1 T
2 i T
2 i 1
r 2
ihhrih
h t h
VI.5 Validación en coordenadas esféricas
k
f m
( )
t
f j
f
q
C j Ti Tk( ri)
(VI.18)
1
k C
j2 k0 p
i
En esta sección se presenta la validación modelo de transferencia de calor de
orden fraccional en coordenadas esféricas, geometría característica del elemento
combustible que se analiza.
La validación de dicho modelo se realiza haciendo la comparación entre la
solución analítica de la ecuación de la difusión en coordenadas esféricas y los
aproximación numérica desarrollada anteriormente.

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
donde la solución analítica al problema (VI.1) está dada por (Carslaw y Jaeger 2003):
2 2
n
n1
t 2 R ( 1) n 2
R
R
0
R
r
n1
n R
T r, t T T T
sen r e
(VI.18)
no considerando en este caso una fuente de calor q 0 .
En la aproximación numérica Ec. (VI.18) se considera el coeficiente fraccional
1,
lo que implica la solución al problema clásico de difusión térmica. En la Figura
No. 12 se muestra la solución analítica y la aproximación numérica con 1,
considerando en ambos casos el coeficiente de difusión y el coeficiente de difusión
anómala como la unidad, en ambos casos las condiciones de frontera fueron
constantes T(0, t) 1000 C , T( R, t) 500,
y a la condición inicial Tr ( ,0) 0.
Temperatura (°C)
1200
1000
800
600
400
200
0
Solucón Analítica Aproximación numérica
0 1 2 3 4 5
Distancia Radial(cm)
Figura 12. Validación entre la solución analítica y la aproximación numérica 1.
Ingeniería en energía 66

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
La aproximación numérica en relación a la solución analítica muestra una
pequeña desviación, la simulación para la validación se realiza tomando en cuenta
otro paso en el espacio temporal h R / N . Y los resultados son presentados a
continuación
Error relativo
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
-0.12
0 1 2 3 4 5
Distancia radial(cm)
h=0.3
h=0.1
Figura 13. Error relativo entre la solución analítica y la aproximación numérica 1.
La tendencia de la solución para el modelo fraccional mostrada en la Fig.12
tiende a la solución analítica, sin embargo como se menciono con anterioridad hay
una cierta variación entre ambas, la Fig. 13 muestra que hay un menor margen de
error para un paso temporal de h 0.1,
en este caso menor a un 11% como desviación
máxima.
Ricardo Gómez Arrieta 67

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
VI.6 Simulación de transferencia térmica en un el elemento combustible
En esta sección se presenta la simulación y el análisis de la difusión térmica en
un elemento combustible considerando el modelo fraccional desarrollado en la
sección VI.4, basados en la descripción del sistema además de considerar nuevos
parámetros necesarios para dicha simulación.
Los parámetros del núcleo del reactor y de los elementos esféricos de
combustible son dados en la tabla No. 1, donde la región en el interior de elemento
combustible es considerada como la composición de una mezcla de dos medios. El
medio que es representado por el combustible caracterizado por su densidad f y
calor especifico Cp f . De manera similar el medio que representa a la matiz de grafito
caracterizado por g y Cp g , considerados en este caso como constantes.
Parámetros PBMR
Potencia térmica 400 MW
Numero de esferas 451000
Diámetro de la esfera 0.06 m
Diámetro de la
microesfera
1 mm
Cp
f
3050656 J/m3K Cp
g
2957500 J/m3K Tabla 1. Parámetros del reactor y la esfera de combustible (Jung y otros, 2007).
Ingeniería en energía 68

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
En este caso la generación de calor por unidad de volumen es modelada en el
interior de la matriz, donde las partículas de combustible son mezcladas con el
grafito, por lo que puede ser avaluado de la siguiente manera.
q Potencia térmica del reactor/ Volumen total de combustible
En base al algoritmo generado por la aproximación numérica la simulación del
elemento combustible es presentada en esta sección, considerando al sistema como
altamente heterogéneo, lo que implica un proceso de difusión anómala.
LA figura No. 14 muestra diferentes procesos de difusión anómala en función
de la distancia radial, procesos representados por la variación del parámetro para
(0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8).
En este caso se asume un dominio especial de R =6 cm distancia característica
del elemento esférico combustible, un coeficiente de difusión anómala K 1
2
m / s ,
dT
condiciones iníciales Tr ( ,0) 0,
0 constantes en el espacio y condiciones de
dt
frontera T(0, t) 1500 C , T( R, t) 500.
Ricardo Gómez Arrieta 69

Te mperratura ( °C)
Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 1 2 3 4 5 6
Dis tanc ia radial (c m)
σ = 0.4
σ = 0.6
σ = 0.8
σ = 1.0
σ = 1.2
σ = 1.4
σ = 1.6
σ = 1.8
Figure 14. Procesos de difusión anómala para 3 seg. de simulación en un
elemento de combustible.
El grafico presentado en la figura 14, muestra los procesos de difusión de calor
en el interior del elemento combustible, la simulación se realizo para procesos de
sub-difusión y súper- difusión haciendo variar el coeficiente fraccional para cada uno
de los procesos, el proceso de difusión clásica basada en la ley de Fourier se
representa en el modelo de orden fraccional en el momento en que 1,el
cual es
tomado como base para el análisis de los procesos de difusión anómala.
En este caso los procesos sub-difusivos ( 1) muestran la misma tendencia
que el proceso de difusión clásica, sin embargo se puede observar en dicho
comportamiento un proceso de relajación para un tiempo dado, en función de la
distancia radial de transferencia de calor.
Ingeniería en energía 70

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Al identificar los procesos súper-difusivos ( 1)
en el grafico mostrado, el
comportamiento también es muy similar, exceptuando aquel que se encuentra al
limite de ( 2) , en este caso ( 1.8) mostrando un proceso de acumulación en los
primeros instantes del proceso de transferencia de energía térmica.
Temperratura (°C)
1200
1000
800
600
400
200
0
0 1 2 3
Tiemp o (s)
α = 0.4
α= 0.6
α= 0.8
α= 1.0
α = 1.2
α = 1.4
α = 1.6
α = 1.8
Figure 15. Procesos de difusión anómala para r = 3.0 cm en un elemento
combustible.
La figura 15 muestra los procesos de difusión anómala en función del tiempo
para una determinada posición (r = 3 cm) en el dominio espacial. En este caso como
base del análisis consideraremos de igual forma el proceso de difusión clásica en el
modelo fraccional ( 1) , mostrando al inicio del proceso una tendencia lineal, al
considerar los procesos sub-difusivos ( 1) , estos muestran al inicio de dicho
proceso un gradiente de temperatura mayor, sin embargo al paso del tiempo se
observa que estos gradientes disminuyen en comparación al mismo.
Ricardo Gómez Arrieta 71

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Al considerar procesos de súper-difusión ( 1) se puede observar que los
gradientes al inicio del proceso son pequeños en comparación con el proceso clásico,
mientras que al paso del tiempo estos gradientes se incrementan de manera
considerable al incrementarse el orden fraccional del proceso ( ) , es decir a medida
que el proceso se vuelve mas súper-difusivo.
Considerando los principios básicos y los mecanismos por los cuales se lleva
acabo la transferencia de energía térmica, podemos hacer mención de algunas
hipótesis que surgen hasta este momento como consecuencia de los resultados y
análisis obtenidos de la simulación al sistema de estudio. Al considerar los
mecanismos físicos de conducción de energía térmica en este sistema, la situación es
considerablemente mas compleja, ya que las moléculas están más próximas y el
campo de fuerzas moleculares ejerce una gran influencia en el intercambio de energía
en el proceso de colisionar y de esta forma trasferir energía mediante vibración de
red y transporte de electrones libres para cada una de las características propias del
sistema en función del espacio y tiempo.
El modelo fraccional de difusión de energía térmica esta basado en el operador
diferencial temporal, de esta forma al considerar los mecanismos de transferencia de
calor podemos decir que a nivel molecular los procesos son propios del sistema en
un instante dado. Por lo que se perciben dos comportamientos de acuerdo al tipo de
proceso de difusión.
En lo que respecta a los procesos sub-difusivos se plantea la hipótesis de un
término de relajación al considerar un reacomodo molecular, característica física
propia del sistema en cuestión, considerado en este caso como un reacomodo
molecular lento por lo que la transferencia de calor se lleva acabo de forma
Ingeniería en energía 72

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discontinua reflejo de un gradiente de temperatura menor. Sin embargo al considerar
un proceso de transferencia de calor súper-difusivo se considera un reacomodo
molecular de una manera más rápida observando gradientes de temperatura mayores
y como consecuencia directa de esto una rapidez de propagación de energía térmica
mayor mostrando términos de acumulación.
Como se menciono anteriormente la hipótesis fundamental para esta
implementación del modelo fraccional fue considerar al sistema de estudio, en este
caso el elemento combustible como un sistema altamente heterogéneo, en donde se
presentan procesos de transferencia de calor sub-difusivos. A continuación se
presentan los resultados de simulación para un proceso sub-difusivo ( 0.8) , con el
fin de realizar un análisis en función de las propiedades del sistema.
Temperatura (°C)
2000
1500
1000
500
0
0 1 2 3 4 5 6
Distancia radial (cm)
Kα = 0.0005
Kα = 0.005
Kα = 0.1
Kα = 0.2
Kα = 0.4
Kα = 0.6
Kα= 0.8
Kα = 1.0
Figure 16. Proceso sub-difusivo ( 0.8) para diferentes coeficientes de difusión
anómala.
Ricardo Gómez Arrieta 73

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
La figura 16 muestra un proceso sub-difusivo ( 0.8) en función de la
distancia radial para diferentes coeficientes de difusión anómala con fin de mostrar
aquella relación entre el proceso difusivo, en este caso sub-difusivo y las propiedades
del sistema en el que este ocurre, donde para Kα < 0.005 el proceso obedece el mismo
comportamiento.
Ingeniería en energía 74

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CONCLUSIONES
En este trabajo se presentó la ecuación de difusión térmica de orden fraccional
para describir los procesos de difusión térmica anómala en estado transitorio, la cual
representa los procesos sub-difusivos y súper-difusivos relacionados a complejidades
del sistemas con interacciones complejas, tales como medios heterogéneos que
implican procesos de difusión de energía térmica no ideales que no pueden ser
descritas apropiadamente por teorías clásicas.
Se presentó las bases fundamentales del cálculo fraccional y se aplicaron estos
principios para proponer una solución numérica unidimensional y dependiente del
tiempo en cordeadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
Se desarrolló un modelo numérico para estudiar problemas de difusión de
orden fraccional, basado en los operadores de Riemann-Liouville, Caputo y
Grünwald-Letnikov. La validación del modelo numérico de difusión fraccional nos
indica que el modelo puede aplicarse con un error hasta del 10% cuando el exponente
de difusión anómala tiene a uno. Se exploró el alcance del modelo numérico
fraccional simulando procesos de difusión anómala tanto sub-difusivos como súper-
difusivo.
Se desarrolló y validó el modelo numérico fraccional para describir la
transferencia de calor en un elemento combustible en un reactor nuclear de IV
generación (PBMR), el cual representa un sistema altamente heterogéneo. La
simulación en dicho sistema permitió el análisis de procesos de difusión térmica
anómala de tipo sub-difusivos. En los procesos de difusión anómala del tipo sub-
difusivos, las interacciones moleculares son “lentas” dando lugar a que el fenómeno
Ricardo Gómez Arrieta 75

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
de difusión térmica sea “discontinuo” debido al “reacomodo” de las moléculas
caracterizándose este reacomodo por un tiempo de retraso (a este tiempo también se
le conoce como tiempo de relajación). También se presentó el comportamiento del
combustible PBMR con un exponente de difusión anómala mayor que uno, es decir,
súper-difusivo con la idea de mostrar la diferencia respecto al comportamiento sub-
difusivo.
Los sistemas energéticos actualmente desarrollados requieren un conocimiento real y
extenso de los procesos para su diseño y control. La complejidad asociada a estos
sistemas requiere el uso de una gran variedad de herramientas teóricas, técnicas,
numéricas y de simulación para un entendimiento pleno, consideradas en este
trabajo.
Ingeniería en energía 76

Nomenclatura
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A Área
Cp Calor especifico
h Coeficiente de trasferencia de calor
k Conductividad térmica
Constante de Stefan Boltzman
x Coordenada espacial cartesiana
r Coordenada espacial radial
Densidad
K Difusividad anómala
Difusividad térmica
q Fuente de calor
L Longitud
E Poder emisivo
b
R Radio
T Temperatura
t Tiempo
Subíndices y superíndices
Funciones
C Caputo
f Combustible
g Grafito
GL Grünwald-Letnikov
Orden fraccional
p Pared
Convolución
F Fourier
Gamma
L Laplace
Ricardo Gómez Arrieta 77

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
BIBLIOGRAFÍA
Bird, R.B., Stewart, W.E. and Lightfoot, E.N. (2007). Transport Phenomena. Second
Edition. John Wiley & Sons
Caputo M., 1967. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency
independent, II. Geophys. J. Royal. Astronom. Soc. 13, pp. 529539.
Carslaw H.S., Jaeger J.C., 2003. Conduction of Heat in Solids. second ed., Clarendon
University Press. Oxford, UK.
Cattaneo, C.,1958. A form of heat conduction equation which eliminates the paradox
of instantaneous propagation,.Compes Rendus 247, 431-433.
Çengel Yunus A.,2003. Heat Transfer: A Practical Approach. 2da. Ed. McGraw-Hill
Higher Education.
Druska C., Kasselmann St., Lauer A., 2009. Investigations of space-dependent safety-
related parameters of a PBMR-like HTR in transient operating conditions applying a
multi-group diffusion code. Nuclear Engineering and Design 239, 508–520
Espinosa-Paredes G., Espinosa-Martínez, E.-G., 2009. Fuel road model based on Non-
Fouriere Heat Conduction Equation. Annals of Nuclear Energy, vol. 36, 680-693. IF:
0.690 (2006); ISSN: 0306-4549.
Ingeniería en energía 78

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
Espinosa-Paredes G., Morales-Sandoval J., Vázquez-Rodríguez R., Espinosa-
Martínez, E.-G., 2008. Constitutive laws for the neutron density current. Annals of
Nuclear Energy, vol. 35, 1963-1967. Citas: 0; IF: 0.690 (2006); ISSN: 0306-4549.
Fellah M., Fellah Z., 2008. Generalized hyperbolic fractional equation for transient-
wave propagation in layered rigid-frame porous materials. Physical Review. E 77,
016601,1-5.
Guanhua, H., Quanzhong, H., Hongbin Z., Jing C., Yunnwn X., Shaoyuan F., 2005.
Modeling contaminant transport in homogeneous porous media with fractional
advection-dispersion equation. Science in China Ser: D Earth Sciences 48, 295-302.
Guardoa A.,, Coussiratb M., Recasensa F., Larrayoza M.A., Escalerb X., 2006. CFD
study on particle-to-fluid heat transfer in fixed bed reactors: Convective heat transfer
at lowand high pressure. Chemical Engineering Science 61, 4341 – 4353
Haberman Richard, 2004. Applied partial differential equations: with Fourier series
and boundary value problems. Prentice Hall. 4 th Ed.
Jung J. L., Goon C. P., Kwang Y. K., Won J. L., 2007. Numerical treatment of pebble
contact in the flow and heat transfer analysis of a pebble bed reactor core. Nuclear
Engineering and Design 237, 2183–2196
Logtenberg S.A., Nijemeisland M., Dixon A.G., 1999. Computational fuid dynamics
simulations of fluid flow and heat transfer at the wall particle contact points in a
fixed-bed reactor. Chemical Engineering Science 54, 2433-2439.
Ricardo Gómez Arrieta 79

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Meerschaert Mark M., Scheffler Hans P., Tadjeran Charles, 2006. Finite difference
methods for two-dimensional fractional dispersion equation. Journal of
Computational Physics 211 (2006) 249–261
Meerschaert Mark M., Tadjeran Charles, 2006. Finite difference approximations for
two-sided space-fractional partial differential equations. Applied. Numerical
Mathematics 56,80–90
Morse, P.M., Feshbach, H.,1953. Methods of theoretical Physics, Vol. I. McGraw-Hill,
New York.
Oldham K. B. and Spanier J., 1974. The Fractional Calculus, Academic Press
PBMR Ltd., 2000, Reactor Safety Analysis Report of the South-African Pebble-Bed
Modular Reactor (PBMR), Rev. E, Centurion, South-Africa.
Podlubny I., 1999. Fractional differential equations. An introduction to fractional
derivatives. Academic Press, San Diego.
Roberto Ayala, Alfredo Tuesta, 2007. Introduction to the Concepts and Applications
of Fractional and Variable Order Differential Calculus. Mihir Sen.
Spanier J. and Oldham K. B., 1974. The fractional calculus: Integrations and
differentiations of arbitrary order. New York: Academic Press.
Ingeniería en energía 80

Universidad Autónoma Metropolitana - IZTAPALAPA
Tadjeran Charles, Meerschaert Mark M., Scheffler Hans P.,2006. A second-order
accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation. Journal of
Computational Physics 213 (2006) 205–213
Venter P. J., Mitchell M. N., 2007. Integrated design approach of the pebble BeD
modular reactor using models. Nuclear Engineering and Design 237, 1341–1353
Vernotte, P., 1958. Les paradoxes de la théorie continue de l´équation de la
chaleur,Comptes Rendus 246, 3154-3155.
Vernotte, P., 1961. Some posible complications in the phenomena of thermal
conduction, comptes Rendus252, 2190-2191.
Welty James, Wicks Charles E., Wilson Robert E., Rorrer Gregory L., 2000.
Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer, 4th Edition. Wiley.
Wu, J. Berland, K. M.., 2008. Propagators and time-dependent diffusion coefficients
for anomalous diffusion. Biophysical Journal 95, 2049–2052.
Zill Dennis G. 1997 Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 6th ed.
International Thomson Editores
Ricardo Gómez Arrieta 81

Ecuación de calor de orden fraccional en estado transitorio
Ingeniería en energía 82