MATEMÁTICA ACTUARIAL VIDA

MATEMÁTICA ACTUARIAL VIDA
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ÍNDICE
Previo
1. Introducción a los modelos de matemática actuarial; valoración financiera y actuarial.
Rentas:
2. Análisis estocástico de las operaciones sobre una vida y rentas de supervivencia discretas.
2.1 rentas de pago anual y sin variación. (Simplemente rentas de supervivencia)
2.2 rentas de pago intranual y sin variación.
2.3 rentas de pago anual y con variación anual
2.3 rentas de pago intranual y con variación intranual. Fraccionarias y fraccionadas.
3. Rentas discretas y continuas, y aproximación de rentas unitarias fraccionadas.
3.1 Diferencia entre rentas prepagables y pospagables.
Seguros:
4. Valoración financiera y actuarial de seguros.
5. Relación entre rentas y seguros.
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PREVIO
Como introducción
a) se define cómo se pueden medir las variaciones de una variable, en campo continuo, discreto o general.
b) y cómo se puede calcular esta variación dentro de un intervalo temporal.
c) se define qué es la valoración financiera, en base al equilibrio financiero de que las prestaciones en origen
tienen que tener el mismo valor que las contraprestaciones futuras.
d) se incorpora la estadística actuarial vida; probabilidades de supervivencia y fallecimiento.
El objetivo inicial es encontrar el valor en origen de una renta o de un seguro.
a) La renta, entendida como una serie de pagos a realizar durante un intervalo temporal, está condicionada a
que el individuo esté vivo en cada uno de los periodos de pago. Su valor en origen supone un cálculo de
valoración financiera, y al mismo tiempo actuarial: el valor en origen de 1 euro en un año futuro junto con la
probabilidad de que se esté vivo en ese mismo año.
b) El seguro se entiende como un pago a realizar por la muerte del individuo. Se tiene que dar el
fallecimiento para realizar el pago, con lo que el valor en origen también es un cálculo de valoración
financiera, y al mismo tiempo actuarial: el valor en origen de 1 euro al final de un año futuro junto con la
probabilidad de fallecer en ese año.
A veces se simplifica valorando 1 euro, pero es más realista proponer importes no unitarios. Por ejemplo
rentas de 5.000 euros anuales, o un seguro de fallecimiento de 5000 euros,… Y aún es mucho más realista
suponer que
a) la renta se paga en mensualidades o cualquier otra fracción de año
b) el seguro se paga también al final de una fracción de año (p.ej. al final del mes de fallecimiento).
Más aún: las cuantías a pagar pueden variar con el tiempo, normalmente crecer. Y así se crean las
variaciones anuales o en fracciones de año, de las cuantías. Así, la cuantía puede ser
a) constante en el tiempo
b) creciente de una forma constante; variación lineal o aritmética
c) creciente de una forma exponencial; variación geométrica.
Finalmente las rentas se podrán clasificar en
a) fraccionadas: cuando la frecuencia de pago y la variación de la cuantía no coinciden; dentro de cada
variación hay k-ésimos pagos.
b) fraccionarias: cuando frecuencia y variación sí coinciden; por cada variación sólo hay un pago.
Las rentas se diferencian en prepagables o pospagables, según si el pago se hace efectivo de forma anticipada
al inicio del periodo o si es vencida; efectiva al final del periodo. Se podrá calcular la diferencia de valoración
que haya entre ambas.
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TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA ACTUARIAL VIDA
1.1 La matemática actuarial vida; proceso estocástico de valoración financiera y actuarial
1. Evolución en el tiempo de una función: cálculo en diferencias y cálculo diferencial
Primero hay que definir cómo se pueden medir las variaciones de una variable:
1.
En el campo discreto el operador ∆ busca la diferencia entre un valor inicial y su siguiente. Se define al
“siguiente” como θ , de esta forma;
Por ejemplo tengo el valor inicial como la probabilidad anual de fallecer con 30 años. ¿En cuánto se
incrementa la probabilidad de fallecer si nos vamos “al siguiente” = ?
El incremento de la probabilidad será =
Propiedades:
a) Si se trata de una función constante, no hay diferencia entre un valor inicial y su siguiente:
b) Si es una función polinomio de grado n, entonces su incremento será un polinomio de grado n-1, se
puede generalizar como:
Como ejemplo de lo anterior: si la función es una recta, el incremento será constante
c) El incremento del producto,
y si se reordena,
Que esto último es moverse escalonadamente en un gráfico de dos dimensiones: de la posición inicial Y/Z,
mantienes constante Z y saltas al siguiente Y, y luego desde esta posición saltas al siguiente de Z.
d) el incremento de un cociente,
y desarrollando,
2.
En el campo continuo, el operador d busca el valor siguiente a por cada unidad infinitesimal de aumento.
De esta forma, el incremento infinitesimal o diferencial será , y será igual al valor de la derivada
por la unidad de incremento … [base x altura].
Como ejemplo; el incremento infinitesimal de la probabilidad de fallecer a los 30 años.
Propiedades:
a) Si la función es constante, el incremento será cero
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) si la función es un polinomio de grado n, el diferencial será un polinomio de grado n-1
c) el diferencial de una suma es = la suma de diferenciales
d) el diferencial de un producto;
e) el diferencial de un cociente;
3.
El operador general δ es una simplificación del operador diferencia ∆ y diferencial d. Sólo dependerá de si el
incremento es discreto o continuo que δ se transformará en ∆ ó d.
Las propiedades que tiene serán,
a)
b)
c)
d)
e) y por último el cociente;
Una vez definido cómo varía una variable, hay que definir cómo podemos calcular esta variación en un
intervalo.
1.
En el caso continuo se tiene el operador integral,
Para el intervalo (a,b), se puede aplicar Barrow, de tal manera que se tiene una integral definida,
Y si la integral no es inmediata, se puede intentar aplicar la integración por partes,
2.
En el caso discreto se utiliza el operador suma,
La última posición corresponde al rectángulo con base de y altura . Es decir, que en el
caso de la suma se llega hasta la penúltima posición (ojo con despistarse!).
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También existe la suma por partes,
3.
Se define también el método de las partes con el operador general δ,
2. La valoración financiera, el tanto de interés de capitalización y de descuento.
Se trata de la primera base técnica. Nuestro objetivo será encontrar el equilibrio: el valor actual de un capital
futuro que se iguala al valor de un capital en un momento inicial. Para simplificarlo trabajaremos con un
interés compuesto constante.
, es el interés efectivo anual: un índice que mide la rentabilidad de una unidad monetaria durante un año.
, es el descuento efectivo anual: mide el descuento aplicado sobre una unidad monetaria por adelantarla
un año.
La relación entre interés y descuento es,
Para aquellos casos en donde trabajamos con flujos de interés, se define el tanto instantáneo de interés,
ρ, donde
El factor financiero es la expresión que da la rentabilidad por unidad monetaria;
El factor de actualización nos da el valor actual de una unidad monetaria
Y si buscamos el factor de actualización de un flujo financiero,
Y generalizando con el operador general δ,
Donde d(∆t) es el tanto nominal de descuento, que en el caso continuo coincide con el tanto instantáneo de
interés.
3. Estadística actuarial vida
Es la segunda base técnica. Una vez tenemos el método de valoración actual de un capital, hay que
incorporar la probabilidad de que se tenga que desembolsar este capital. Se condiciona este reembolso a la
supervivencia, fallecimiento, invalidez, incapacidad o dependencia del individuo en un periodo t.
De momento lo simplificamos a supervivencia y fallecimiento. Se define una variable aleatoria que
condiciona el pago o no pago de la prestación. La variable nos proporciona el instante en el que fallece
una persona; el momento en que sucede el siniestro. ∝ son los parámetros de la persona dentro de un
colectivo. El intervalo de edades donde puede suceder el siniestro es [0, [ donde es el infinito actuarial
o periodo al que nadie sobrevive.
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Funciones,
es la función de distribución actuarial
es la función de distribución de la siniestralidad
es la función de siniestralidad
es la función de intensidad relativa
1.
Función de distribución actuarial que recoge la probabilidad de que el siniestro NO ocurra antes de t.
Es la probabilidad de que un individuo de edad x sobreviva hasta x+t.
Propiedades,
a) En el momento t= 0 , la probabilidad de sobrevivir es = 1. Porque el 100% de los sucesos posibles de
supervivencia se acumulan a la derecha de la función.
F(∝, 1) sería la probabilidad de llegar vivo a 1 año de vida.
b) en el momento t = w, la probabilidad de no fallecer es = 0, todos los sucesos de fallecimiento ya han
sucedido y no es posible sobrevivir el infinito actuarial.
c) es una función no creciente
d) es continua por la derecha
e) es escindible; se supone que la mortalidad es estacionaria.
2.
Función de distribución de siniestralidad , recoge la probabilidad acumulada de muerte en un
intervalo.
Propiedades,
a) en el momento t= 0, la probabilidad de fallecer es = 0. Todavía no ha sucedido ninguna muerte; todavía
no se ha acumulado ninguna probabilidad.
b) en el momento t= w, la probabilidad de fallecer es = 1. Todos los posibles casos de fallecimiento ya han
sucedido.
c) es una función creciente o como mínimo constante.
d) es continua por la derecha
3.
Función de densidad , relaciona la probabilidad de fallecimiento con un intervalo.
Y cumple que,
a)
b)
4.
Función de intensidad relativa , o tanto instantáneo de mortalidad, es la función de densidad anterior
pero condicionado a la supervivencia en un momento inicial = t. Es decir, la función de densidad toma como
origen el t=0, y el tanto instantáneo de fallecimiento toma como origen un momento t (normalmente la edad
del individuo), esto supone tener que condicionar a que se llega vivo hasta t.
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Desarrollando se puede obtener también la relación,
Y también que
4. Funciones de valoración basadas en la esperanza matemática.
Ya se puede relacionar la valoración de una o varias prestaciones futuras con la probabilidad de ocurrencia.
La probabilidad de ocurrencia contempla; existencia o no de la prestación, su cuantía y el vencimiento.
1.
Caso cierto. Es el más simple, donde simplemente se valora un capital unitario que de forma cierta se hará
efectiva en t. Cumple la ley de estacionalidad si la valoración es con interés compuesto.
Ya que
2.
Caso de no siniestralidad, o supervivencia. Se define como el valor actual actuarial de una unidad
monetaria que se hará efectiva en t si el asegurado α sobrevive hasta ese momento.
Se crea un cuadro con la distribución de probabilidad (para simplificarlo, se hace la anual),
Indemnización en t Valoración financiera en Probabilidad de sobrevivir
En el momento inicial = 0 0
En el momento final = 1
Lo que significa que la probabilidad de que el individuo fallezca y no haya que pagar nada es
. Como no hay que pagar nada, no hay valoración financiera de nada en t=0.
Y en cambio, la probabilidad de que el individuo sobreviva y haya que pagar 1 euro en t=1 será F(α,t) , lo
que implica un valor actual = 1*
El valor actual actuarial tiene en cuenta ambas situaciones, y de ahí su expresión
Propiedades,
a) El valor actual actuarial en el momento cero es = 1
b) El valor actual actuarial si la valoración se hace desde el infinito actuarial, es = 0
c) Es estrictamente decreciente, porque
F(α,t) es no creciente.
es decreciente , porque el valor actual siempre decrece cuanto más crece t.
d) es continua por la derecha, al igual que F(α,t)
e) es escindible, suponiendo que la siniestralidad es estacionaria.
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3.
Caso de siniestralidad, o fallecimiento. Se define como la intensidad de cuantía del valor actual
correspondiente a la indemnización unitaria a realizar en el instante t, si en ese instante se produce el
fallecimiento. Es decir; el valor actual de 1 va decreciendo a medida que t crece (suponiendo un tipo de
interés es constante). La función B(α,t) nos da el decremento del valor actual en un instante determinado del
tiempo.
En el campo discreto:
Indemnización en Valoración financiera en Probabilidad de fallecer
En el momento inicial = 0
En el momento final =
Y el valor esperado de la indemnización será
Aunque lo que nos interesa es la intensidad de este valor esperado; cuánto decrece el valor inicial al
incrementar infinitesimalmente el tiempo:
Teniendo en cuenta la expresión de intensidad relativa
Se puede obtener una relación entre B(α,t) y E(α,t),
Que se interpretaría como que la intensidad del valor esperado, o cuánto decrece el valor inicial al
incrementar el tiempo, es la valoración financiera correspondiente al intervalo de tiempo incrementado (de t
a incremento de t), por el valor esperado en el momento t, por la intensidad relativa en el momento t.
En el campo continuo:
Indemnización en t Valoración financiera en Probabilidad de fallecer
En el momento inicial = 0
En el momento final =
Como ahora estamos trabajando bajo la idea de que
Quedará que
Si se hace el mismo desarrollo que en el caso discreto se llega a que
Y se interpreta igual que en el caso discreto, sólo que ahora como estamos en el campo continuo el
incremento de tiempo es despreciable y se elimina el
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Se puede expresar una definición general de la expresión escalar de la intensidad del valor esperado,
Se puede demostrar la escindibilidad de B(α,t) suponiendo estacionalidad en la mortalidad y ley estacionaria
(tipo de interés constante):
Que se interpretaría como que la intensidad del valor esperado en el momento es el valor esperado
en por la intensidad del valor esperado en el momento .
4.
Relación entre el valor esperado y la intensidad del valor esperado:
1) El incremento del valor esperado (en términos generales δ) será
2) y teniendo en cuenta que,
3) y también que,
4) Se puede definir que
5)
6)
Interpretación.
1) el incremento del valor esperado es igual al incremento de la valoración en t por la probabilidad de
sobrevivir en t, + la valoración inicial en t por el incremento de la probabilidad de sobrevivir.
2) El incremento de la valoración en t es = decremento de la valoración en t por el intervalo de tiempo.
3) el valor esperado en t es la valoración en t por la probabilidad de sobrevivir t.
4) el incremento del valor esperado en t es = al decremento que experimenta la valoración en t por el
intervalo de tiempo por la probabilidad de sobrevivir en t, menos la intensidad de la valoración en t por el
intervalo temporal
5) la intensidad de valoración en t por el intervalo temporal es = decremento que experimenta la valoración
por el intervalo de tiempo por la probabilidad de sobrevivir t, menos el incremento que experimenta el valor
esperado
6) la intensidad del valor esperado en t por el incremento temporal es = menos la valoración en t por el
incremento temporal en t menos el incremento de valoración.
Si de aquí vamos a los casos discreto/continuo,
a) qué sucede cuando en el campo discreto el incremento de t es Δt = 1
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) y cuando
4.
Se puede crear una función elemental general, para valorar cualquier tipo de capital financiero; renta o
seguro, o sea, contingente a supervivencia o fallecimiento,
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1.2 Análisis estocástico de las operaciones sobre una vida y rentas de supervivencia discretas
1. análisis estocástico de las operaciones sobre una vida
Se analizan desde el punto de vista estocástico prestaciones relacionadas con la supervivencia o
fallecimiento de una persona. Primero, y para simplificar las variables aleatorias que sirven para calcular el
valor actual financiero, se verán rentas anuales de variación anual, y seguros de variación anual que se pagan
al final del año en que se produzca el fallecimiento.
1.
Un capital diferido t años es una operación actuarial sobre una persona de edad x, consistente en el pago de 1
unidad monetaria (1 euro) si llega viva a x+t. ¿Qué valor tendrá ese euro en el inicio?
?
0
edad x
Así que tenemos una variable aleatoria (?) que es el valor actual financiero de 1 euro; , dicotómica
(sobrevive a x+t, no sobrevive a x+t), con unos valores y probabilidades,
Valor Probabilidad
0
Es decir, con una probabilidad de no habrá que pagar ese euro (pagar 0) porque el individuo habrá
fallecido. Y con una probabilidad de sí habrá que pagar ese euro porque el individuo habrá sobrevivido.
La variable sirve para definir “pago vinculado a la supervivencia del individuo”.
La esperanza del valor actual financiero será
La varianza del valor actual financiero será
2.
Un capital al final del año del fallecimiento, consiste en el pago de 1 euro al final del año en que un individuo
fallezca. Si el fallecimiento se produce entre t y t+1, y el pago se produce en t+1.
?
0
edad x
Así que tenemos una variable aleatoria (?) que es el valor actual financiero de ese euro , dicotómica
(fallece entre x+t y x+t+1, no fallece), con unos valores y probabilidades,
t
x+t
Valor Probabilidad
0
fallece
1
t
x+t
1
t+1
x+t+1
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Es decir, con una probabilidad de no habrá que pagar ese euro (pagar 0) porque el individuo habrá
sobrevivido. Y con una probabilidad de sí habrá que pagar ese euro porque el individuo habrá
sobrevivido hasta x+t y habrá fallecido ese año. La variable sirve para definir “pago vinculado al
fallecimiento del individuo”. Como “hay que esperar” hasta que el individuo fallezca para pagarle, el pago
siempre es al final del periodo, y la máxima simplificación es pagarlo al final del año del fallecimiento. De ahí
que el valor actual de 1 euro esté calculado desde “-(t+1)”
La esperanza del valor actual financiero será
La varianza del valor actual financiero será
3.
Una renta de supervivencia, consiste en el pago de una serie de capitales financieros condicionados a la
supervivencia del individuo en cada momento en que se hacen efectivos. Puede darse un diferimiento m, y
una temporalidad n. Y también ser un pago anticipado; al principio del periodo, o vencido; al final del
periodo. Si la renta es inmediata no existe diferimiento; m=0. Si la renta es vitalicia, la temporalidad dura
hasta que se llega al infinito actuarial; n=w-(x+m) la duración de la renta vitalicia será la edad infinito
menos la edad desde la que empieza la renta (la actual x + el diferimiento m).
La función de intensidad de cuantía “u(t)” nos da el valor (en euros) de cada pago (t,
anuales); €/año. MUY IMPORTANTE el concepto de que es “anual”!
Si se da el caso de que existe un diferimiento “m”, y la variable “t” es el intervalo temporal
que incluye m+n, la función intensidad de cuantía se escribe “u(t-m)”, de forma que el
primer pago será
u(m-m) = u(0) €/año
u(m+1-m)=u(1) €/año
u(m+2-m)=u(2) €/año
…
u(m+n-1-m)=u(n-1) €/año
dejando un total de “n” pagos, que va de “0” a “n-1”.
Empezaremos simplificando la función de intensidad de cuantía = 1 euro/año.
Volviendo a las rentas, se define “t” como
Así, la función de intensidad de cuantía, en el caso de una renta diferida y prepagable queda,
u(0) u(1) u(2) u(3) u(4) u(n-1)
0 m m+1 m+2 m+3 m+4 m+n-1 m+n
edad x x+n x+m+n-1 x+m+n
Existen “n” pagos, que comprenden desde el primero en el momento cero; u(0) hasta el n-ésimo pago, en el
momento n-1; u(n-1).
Si se tratara de una renta pospagable, se paga al final del periodo, quedaría
u(0) u(1) u(2) u(3) u(n-2) -1
u(n-1)
0 m m+1 m+2 m+3 m+4 m+n-1 m+n
edad x x+n x+m+n-1 x+m+n
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Donde igualmente hay n pagos, sólo que ahora se inician al final de cada periodo. La cuantía u(0)
correspondiente al periodo inicial m, se hace efectiva en m+1. La n-ésima cuantía u(n-1) se corresponde con
el periodo m+n-1 pero se hace efectiva al final del mismo; m+n.
Si la renta es prepagable, diferida m y temporal n, para un individuo de edad x, se simboliza con
Si la renta es pospagable, diferida m y temporal n, para un individuo de edad x, se simboliza con
Si la renta es prepagable, inmediata, temporal n, etc…
Si es diferida y vitalicia, etc,
De esta forma la renta consiste en n pagos sujetos a la supervivencia del individuo. El valor actual es la
variable , ó, , que representa la suma acumulada de capitales a desembolsar.
Una renta diferida m años y temporal n, con los pagos anticipados, queda:
teniendo en cuenta que y que Δt=1 y también que u(t-m)=1
Valor en cero Probabilidad
Si m>0 0
Y en el caso de la misma renta pero con pagos vencidos (sólo cambia que la valoración se hace a un periodo
más);
y que Δt=1 y también que u(t-m)=1
Valor en cero Probabilidad
Si m>0 0
De esta forma, la renta es un conjunto de capitales diferidos. El capital diferido calcula el valor de un euro
actual sujeto a una probabilidad de sobrevivencia, y la renta calcula el valor de un conjunto de euros sujetos
a sus respectivas probabilidades de sobrevivencia.
Si el individuo fallece antes de que dé inicio la renta, no habrá pago, igual que cuando el capital diferido daba
un valor = cero. Si el individuo sobrevive hasta el primer año de la renta cobrará el primer pago, y si fallece
en ese momento ya no cobrará nada más, y el valor de la renta habrá sido este único pago.
Si el individuo sobrevive k años, cobrará k capitales diferidos con un valor = la suma de estos capitales
diferidos.
Finalmente, si el individuo sobrevive todo el periodo de la renta habrá cobrado todo el conjunto de capitales
diferidos; habrá cobrado toda la renta en su conjunto.
La probabilidad total es = 1. Ya que se contempla la probabilidad de que sobreviva o fallezca en todo el
periodo; 1= =
Hasta ahora se simplifica el importe a pagar u(t-m)… y podemos decir que es 1 euro o cualquier otro importe
constante. Más adelante se trabajará con importes crecientes o decrecientes en el tiempo.
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4.
Un seguro de fallecimiento, es un importe a pagar al final del año en que fallezca el individuo. Igual que la
renta es un conjunto de capitales diferidos, el seguro de fallecimiento es un conjunto de capitales a pagar al
final del año de fallecimiento.
Ahora el seguro se expresa con “A”,
teniendo en cuenta que
Valor en cero Probabilidad
Si m>0 0
Para ∀ t / m ≤ t ≤ m+n
Si m+n+x < w 0
5.
Un poquito más sobre la función de intensidad de cuantía. La forma general de expresarla será u(t-m), que
permitirá deducir 3 casos básicos:
Renta constante: independientemente del año en que nos encontremos (t), el valor de la
renta siempre será igual.
Renta variable aritméticamente, o lineal:
Renta variable geométricamente:
En el caso de estar valorando un seguro, se hablará de “función de cuantía” y se tratará de un valor (€).
En el caso de estar valorando una renta, se habla de “función de intensidad de cuantía”, (€/año).
Si por ejemplo tenemos el caso de una renta de 30.000 euros anuales constantes -cada año se paga la misma
cantidad- la función de intensidad de cuantía del primer pago será = 30.000 €/año, el segundo pago será
también de 30.000 €/año, y así hasta su fin.
Si se da el caso de que tenemos una renta de igualmente 30.000 euros pero repartidos en pagos anuales, nos
salen 12 pagos de 2500 €. La función de intensidad de cuantía es una expresión con dimensión “euros/año”
por lo que la forma correcta de expresar el primer pago sería = 2500€/mes*12 = 30.000€/año.
2. Rentas de supervivencia discretas
Ya se ha definido una renta de supervivencia como , ó, , es decir, como un conjunto de probables
capitales diferidos. Ahora se añade un grado más de complejidad: la cantidad y/o la frecuencia de pago es
variable. Puede suceder que varíe anualmente o intranualmente, y que se pague anualmente o
intranualmente. En todo caso, hay que tener en cuenta que la función de intensidad de cuantía es euros/año,
con lo que habrá que “arreglar” la valoración para evitar sumas equivocadas. Si la variación es anual y la
frecuencia de pago también, no existe problema y estamos en realidad en la renta de supervivencia del
apartado anterior. Pero si la variación o la frecuencia son inferiores al año, entonces sí se complica.
Poco a poco: Se añade “V” como la expresión de la función de intensidad de cuantía dentro de la renta,
indicando también el importe inicial de la renta (el primer importe), es tan sencillo como cambiar lo que
antes era 1 euro (unidad monetaria) por un importe cualquiera (más real):
donde h es el número de veces que varía la renta dentro del año, y k el número de veces que se paga dentro
de cada variación. Por ejemplo, una renta diferida 25 años, temporal 20, de un individuo de 30 años, con
pagos anuales que no varían (son constantes), y de un importe inicial de 1000 se escribe:
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Así que para rentas constantes y anuales la h y la k sobran.
Si la variación de la cuantía y su frecuencia de pago no coinciden, son rentas fraccionadas. Si la variación y la
frecuencia de pago sí coinciden, son rentas fraccionarias.
1.
Rentas sin variación, pero con frecuencia de pago inferior al año; en k-ésimos de año.
Supongamos una renta prepagable unitaria, para simplificar y verlo más claro. Lo que está sucediendo es que
tenemos una renta de supervivencia donde el euro que se paga anualmente se divide en k términos. Por
ejemplo, si se pagan 1200 euros anuales en 4 pagos trimestrales; 1200/4 = 300 euros trimestrales. Pero
volviendo a la unitaria;
Y la pospagable igual, con la única diferencia de que se valora un término más adelante.
Y también se puede expresar aquella renta continua,
2.
Rentas de variación anual y pago anual. De cuantía constante, variable lineal y variable geométricamente.
La variación anual significa h=1, y el pago anual significa k=1. Como la variación de la renta varía
anualmente, la base temporal que tomamos es la anual: el Δt=1 año. La función de intensidad de cuantía no
necesita ninguna corrección, porque ya estamos en euro/año, y los incrementos de la renta (anuales)
coinciden también con esta base temporal. Lo único que sucede es que tenemos una renta de supervivencia
donde la función de intensidad de cuantía es diferente cada año. Por ejemplo; una renta inmediata de 3.000€
anuales crecientes en 300 año a año:
Si se trata de una renta prepagable, se escribe:
Donde el subíndice “t” se refiere a que los incrementos en la suma van de “t en t”.
Y si fuera una renta pospagable,
La relación entre una y otra,
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Ejemplo de variación aritmética: calcular el valor actual actuarial de una renta pagadera mientras viva el
asegurado (de 40 años de edad), anual, prepagable, inmediata y temporal 10 años. Con una cuantía inicial de
6.000 € que incrementan en 300€ anuales. Un tipo de interés técnico del 3% anual.
Este ejemplo anterior es una renta de variación lineal o aritmética, pero se podría plantear una renta de
variación geométrica, donde de un año a otro la cuantía crece en un tanto por ciento:
Ejemplo de variación geométrica: calcular el valor actual actuarial de una renta pagadera mientras viva el
asegurado (de 35 años de edad), diferida 15 años, vitalicia y pospagable. El primer importe es de 1200€ y
crecen en un 5% anual. Tipo de interés técnico 3% anual.
Y se podría escribir como una renta prepagable si…
3.
Rentas con variación intranual y con frecuencia de pago intranual.
3.1 Fraccionarias: la frecuencia de la variación y la frecuencia del pago coinciden.
Si se trata de una renta prepagable,
Si se trata de una renta pospagable
Donde “ent” se refiere a la parte entera del valor “t” (en el siguiente párrafo se explica). La renta varía cada
h-ésimo de año y sólo hay un pago por variación. Por ejemplo; la renta varía semestralmente y los pagos
también son semestrales. Entonces la frecuencia de variación h sería = 2 veces por año, y k sería = 1. k es el
número de veces que hay un pago por cada vez que la renta varía. Si hay un pago por variación, significa que
la renta varía cada semestre y hay un único pago por semestre. Si k=1 no hace falta indicarlo [ .
Ejemplo; Un hombre de 25 años contrata una renta prepagable semestral inmediata (sin diferimiento),
temporal 15 años, de cuantía 3000 el primer término y creciente en 100 euros semestrales.
Lo que se ha hecho es;
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a) Ya que la función de intensidad de cuantía es una expresión euros/año, hay que convertir los datos
semestrales en anuales. 3000 euros semestrales son 3000*2=6000 euros anuales, y el crecimiento de 100
euros semestrales son 100*2=200 euros anuales. Esto se corresponde con
b) como la renta avanza por semestres, hay que corregir la función de intensidad de cuantía añadiendo la
coletilla … asumiendo un incremento de t de ½ en ½,
c) finalmente hay que corregir la expresión anual y convertirla en semestral. Es la parte … ½ …
Muy fácil si se ve el resultado cuantía a cuantía, asumiendo que
función de intensidad de cuantía periodo importe
u(0)= 0 =3000
u(1)= 1 =3100
u(2)= 2 =3200
u(3)= 3 =3300
u(4)= 4 =3400
etc.
3.2 Fraccionadas: variación y frecuencia no coinciden.
Si se trata de una renta prepagable:
Si se trata de una renta pospagable:
Ahora lo que sucede es que dentro de cada periodo de variación existen una serie de pagos del mismo
importe. Por ejemplo, la renta anterior que varía semestralmente (h=2) ahora se divide en pagos mensuales;
dentro de cada semestre la renta es de 6 pagos iguales (k=6), [ . Si la renta fuera de variación anual con
pagos trimestrales, la notación sería [ , y una renta de variación trimestral y pagos mensuales; [ . De
nuevo: h es el número de variaciones de la renta dentro del año.
Ahora la función de intensidad de cuantía, que es una expresión anual, debe corregirse para llegar a expresar
cómo avanza la renta dentro del año. Así, se divide por el número de variaciones intranuales, y también por
el producto del número de variaciones y de número de pagos iguales.
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Ejemplo; Un hombre de 25 años contrata una renta prepagable mensual inmediata (sin diferimiento),
temporal 15 años, de cuantía 500 el primer término y creciente en 100 euros semestrales.
Lo que se ha hecho es;
a) Ya que la función de intensidad de cuantía es una expresión euros/año, hay que convertir los datos
semestrales y mensuales en anuales. 500 euros mensuales son 500*12=6000 euros anuales, y el crecimiento
de 100 euros semestrales son 100*2=200 euros anuales. Esto se corresponde con
b) como la renta varía por semestres, hay que corregir la función de intensidad de cuantía añadiendo la
coletilla …
c) asumiendo un incremento de t de 1/12 en 1/12, finalmente hay que corregir la expresión anual y
convertirla en mensual. Es la parte … …
Muy fácil si se ve el resultado cuantía a cuantía, si
función de intensidad de cuantía periodo importe
u(0/12)= 0 =500
u(1/12)= 1 =500
u(6/12)= 6 =516,66
u(7/12)= 7 =516,66
u(1+3/12)= 15 =533,33
etc.
Se puede comprobar que 6*500 + 6*516,66 son los 6000 euros de base más 100 semestrales.
4.
Ejemplos de cómo expresar variaciones intranuales de la función de cuantía:
a) Función de intensidad de cuantía de una renta prepagable, diferida 10 años, de 1000 euros trimestrales:
Como la cuantía no varía: cuantía constante y punto. Es la más sencilla.
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) función de intensidad de cuantía de una renta prepagable, inmediata, mensual, de 200€ al mes durante el
primer año, y crecientes en 25 euros mensuales de año en año:
Como la variación es anual y la frecuencia de pago es mensual, se trata de una renta fraccionada
Como la variación es anual pero la frecuencia de pago es mensual, es necesario “arreglar” la función de
intensidad de cuantía incorporando la expresión “ent(t)” que significa que los 25*12 euros mensuales
aparecerán sólo cuando el incremento de t sea un número entero, es decir, cuando pasemos de un año a otro.
En el momento del primer mes, “t” toma un valor = , no entero, la parte no entera no se incorpora a la
función. Por ejemplo, en el cuarto año y segundo mes la función de intensidad de cuantía sería
c) Función de intensidad de una renta prepagable, inmediata, semestral de 1000 euros el primer semestre y
con un incremento semestral del 1% acumulativo:
Como la variación coincide con la frecuencia de pagos, se trata de una renta fraccionaria.
d) Función de cuantía de un seguro inmediato, pagadero al final del mes de fallecimiento y cuya cuantía es de
100.000 euros mensuales y se incrementa en 1000 año a año:
e) Función de cuantía de un seguro continuo, pagadero en el instante de fallecimiento, diferido 3 años y de
200.000 € variables a una tasa de interés instantánea de 0,5% anual.
5.
Relación entre rentas prepagables y pospagables.
La renta prepagable, diferida m, temporal n, para un individuo de edad x se escribe:
Y la renta pospagable, diferida m, temporal n, para una edad x se escribe:
Se usa la letra ρ para referirse a las rentas en general (unitarias o del importe que sea), que, para recordarlo,
de forma genérica se escribe:
Donde el “θt” se refiere al “siguiente t”, y para ambas rentas se tiene en cuenta su fraccionamiento al añadir
el “Δt”.
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Si una renta es prepagable es porque se hace efectiva -se paga- al inicio del periodo, y una renta es
pospagable porque se hace efectiva al final del periodo, se puede concluir que son la misma renta sólo que
una -la prepagable- se ha anticipado un periodo, lo que afecta a su valor actual de forma que:
¿Por qué? Porque si hay que pagar en un momento “r” 1 euro, su valor financiero será mayor que el valor
financiero de 1 euro que se tiene que pagar en “r+1”, ya que cuánto más nos alejamos en el tiempo más
pueden rendir los intereses. Llevado al extremo: el valor hoy de un euro que se tuviera que pagar mañana es
prácticamente el mismo euro, y si se tuviera que pagar dentro de 10 años sería de 0,7 … por suponer algo.
El efecto actuarial también influye en el mismo sentido: Es más probable tener que pagar 1 euro mañana que
dentro de 10 años (donde evidentemente es un plazo donde es más probable que suceda el fallecimiento).
De esta forma se llega a esa conclusión de que el valor actual actuarial es mayor para una renta prepagable
que para una pospagable.
A partir de las expresiones anteriores se puede encontrar la diferencia que existe entre ambas:
Es un primer paso: Lo que se ha hecho es sustituir por las expresiones generales, y luego cambiar de signo la
expresión para poder ordenar los E(x,…) en la forma que nos da el incremento de una variable; “el siguiente”
menos “el inicial” es igual “al incremento”. Y luego, aplicando la suma por partes donde la suma de una
función u(x), por el incremento de otra función , queda como,
y ahora se puede realizar el segundo paso:
y la parte de la suma no es sino la definición de la renta pospagable:
Aunque con la particularidad de que es una renta pospagable con función de cuantía =
ä ä
ä a
ä-a
ä
1 1 1 1 1 … 1
1 1 1 1 1 … 1 1
1 0 0 0 0 0 … 0 -1
periodo m m+1 m+2 m+3 m+4 m+5 m+r m+n-1 m+n
Δt es una constante! P.ej.
Ejemplo: Si tenemos una renta unitaria, anual y constante, la diferencia entre la renta prepagable y la
pospagable será:
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Aplicando la expresión anterior, calcula la relación entre rentas prepagables y pospagables para los
siguientes casos:
a) Renta variable lineal anual
b) Renta variable lineal fraccionaria
c) Renta variable lineal fraccionada de la anual
d) Renta variable lineal por h-ésimos y fraccionada en k partes.
e) Renta variable geométrica anual
f) Renta variable geométrica fraccionaria
g) Renta variable geométrica fraccionada de la anual
h) Renta variable geométrica variable por h-ésimos y pagadera en k partes.
3. Seguros
Ejemplo de cómo expresar la función de cuantía de un seguro y su valor actual actuarial:
Seguro pagadero al final del mes del fallecimiento, de un individuo de edad x, si el seguro es diferido 5 años,
vida entera, de 30.000€ crecientes en 1000 € semestralmente:
La función de cuantía, que YA NO ES UNA EXPRESIÓN ANUAL, sólo representa €, quedará
Hay que fijarse en el detalle de que durante los primeros cinco meses del año, t no es entero… por ejemplo,
en el 4º año y 2 meses:
y el 4º año y 6 meses:
Una vez se tiene la función de cuantía, ya se puede escribir el valor actual actuarial:
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