Transformadas de la imagen
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<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong><br />
Digital Image Processing, Gonzalez, Woods, Addison Wesley, ch 3<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 1
Transformada <strong>de</strong> Fourier en el<br />
caso continuo<br />
Transformada <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> una funcion continua<br />
La transformada inversa recupera <strong>la</strong> función a partir <strong>de</strong><br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 2
La transformada <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong> una función real es compleja<br />
En forma exponencial:<br />
Don<strong>de</strong>, el espectro <strong>de</strong> Fourier es<br />
El ángulo <strong>de</strong> fase es<br />
El espectro <strong>de</strong> potencia es<br />
La variable u es <strong>la</strong> variable frecuencia <strong>de</strong>bido a <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> Euler<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 3
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 4
Continua e integrable<br />
Integrable<br />
Esta <strong>de</strong>finido el par <strong>de</strong> transformadas directa e inversa<br />
Espectro y fase<br />
Ejemplo:<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 5
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 6
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 7
Transformada discreta <strong>de</strong> Fourier<br />
Discretización <strong>de</strong> <strong>la</strong> función continua, tomando N muestras<br />
Adoptando <strong>la</strong> notación<br />
Denota una muestra uniformemente<br />
espaciada <strong>de</strong> una función continua<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 8
El par <strong>de</strong> transformadas discretas <strong>de</strong> Fourier se <strong>de</strong>fine como:<br />
Teniendo en cuenta que representa<br />
Las frecuencias <strong>de</strong> muestreo en los p<strong>la</strong>nos<br />
espacial y transformado se re<strong>la</strong>cionan como:<br />
Caso <strong>de</strong> dos variables<br />
La transformada en el caso discreto siempre existe<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 9
El problema <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
visualización <strong>de</strong>l<br />
espectro:<br />
Es necesario esca<strong>la</strong>r el<br />
rango <strong>de</strong> valores para<br />
po<strong>de</strong>r visualizarlo como<br />
una <strong>imagen</strong> en niveles<br />
<strong>de</strong> gris.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 10
Separabilidad: se pue<strong>de</strong> calcu<strong>la</strong>r <strong>la</strong> transformada<br />
multidimensional como iteraciones <strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada<br />
unidimensional en cada dimensión<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 11
Tras<strong>la</strong>ción: <strong>la</strong> tras<strong>la</strong>ción en un dominio se correspon<strong>de</strong> con <strong>la</strong><br />
multiplicación por un término exponencial.<br />
El espectro <strong>de</strong> potencia es<br />
invariante a tras<strong>la</strong>ción en el<br />
p<strong>la</strong>no espacial.<br />
Para cambiar el origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
al centro <strong>de</strong>l cuadrado <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
frecuencias, para visualización<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 12
La transformada discreta es periódica <strong>de</strong> periodo N<br />
También posee<br />
simetría conjugada<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 13
Usualmente se <strong>de</strong>sp<strong>la</strong>za el origen al centro <strong>de</strong>l cuadrado NxN para<br />
visualizar mejor el espectro <strong>de</strong> <strong>la</strong> función<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 14
Rotación: <strong>la</strong> rotación en el p<strong>la</strong>no espacial se correspon<strong>de</strong> con<br />
<strong>la</strong> rotación en el p<strong>la</strong>no transformado<br />
Coor<strong>de</strong>nadas po<strong>la</strong>res<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 15
La transformada es distributiva respecto <strong>de</strong> <strong>la</strong> suma pero no <strong>de</strong>l<br />
producto<br />
El esca<strong>la</strong>do <strong>de</strong> <strong>la</strong> función y <strong>de</strong><br />
su dominio se transforman<br />
correspondientemente:<br />
El valor medio correspon<strong>de</strong> con <strong>la</strong> transformada en el origen<br />
Transformada <strong>de</strong>l Lap<strong>la</strong>ciano <strong>de</strong> <strong>la</strong> función<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 16
Convolución <strong>de</strong> dos funciones continuas 1D<br />
La convolución con <strong>la</strong> función impulso correspon<strong>de</strong> a extraer<br />
el valor <strong>de</strong> <strong>la</strong> función en <strong>la</strong> posición <strong>de</strong>l impulso<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convolución: <strong>la</strong> convolución y el producto son<br />
duales bajo <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> Fourier<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 17
Ejemplo <strong>de</strong> convolución<br />
con un tren <strong>de</strong> impulsos.<br />
La función se repite en<br />
cada posición <strong>de</strong>l<br />
impulso.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 18
Ejemplo <strong>de</strong> convolución<br />
<strong>de</strong> dos funciones<br />
continuas <strong>de</strong>tal<strong>la</strong>ndo los<br />
pasos computacionales<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 19
La convolución en el caso discreto exige tener en cuenta <strong>la</strong><br />
periodicidad <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones discretas. Si <strong>la</strong>s funciones son <strong>de</strong><br />
periodo M, <strong>la</strong> convolución será también discreta y <strong>de</strong>l mismo<br />
periodo. El problema es <strong>de</strong>terminar M.<br />
Garantiza que no se produce so<strong>la</strong>pamiento<br />
Los periodos serán adyacentes<br />
Los periodos estan separados<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 20
Secuencias extendidas para garantizar el tamaño <strong>de</strong>l periodo<br />
Expresión para <strong>la</strong> convolución discreta<br />
Esta expresión garantiza <strong>la</strong> consistencia con <strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>finición <strong>de</strong> <strong>la</strong> convolución en el caso continuo.<br />
El teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> convolución también es valido en el<br />
caso discreto.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 21
Comparación entre <strong>la</strong> convolución en el caso continuo y en el<br />
caso discreto. La convolución discreta es una función<br />
periódica <strong>de</strong> periodo M.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 22
Caso bidimensional continuo y discreto<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 23
Ilustración <strong>de</strong> los<br />
procesos<br />
computacionales<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> convolución<br />
continua en dos<br />
dimensiones.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 24
Corre<strong>la</strong>ción: es una medida <strong>de</strong> <strong>la</strong> similitud<br />
Teorema <strong>de</strong> <strong>la</strong> corre<strong>la</strong>ción:<br />
dualidad <strong>de</strong>l producto y <strong>la</strong><br />
corre<strong>la</strong>ción<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 25
Ejemplo <strong>de</strong>tal<strong>la</strong>do <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
realización <strong>de</strong> <strong>la</strong> corre<strong>la</strong>ción<br />
en el caso continuo.<br />
La corre<strong>la</strong>ción es una<br />
transformación <strong>de</strong><br />
localización: nos<br />
indica don<strong>de</strong> se<br />
encuentra <strong>la</strong> función<br />
más parecida al<br />
patrón.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 26
Muestreo<br />
¿Cuantas muestras se <strong>de</strong>ben tomar para que no se<br />
pierda información en el proceso <strong>de</strong> muestreo o<br />
discretización?<br />
Se trata <strong>de</strong> establecer <strong>la</strong>s condiciones en <strong>la</strong>s que una<br />
función continua pue<strong>de</strong> ser recuperada completamente<br />
a partir <strong>de</strong> un conjunto finito <strong>de</strong> valores muestreados.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 27
Efecto <strong>de</strong>l muestreo en el dominio<br />
frecuencial: frecuencias <strong>de</strong><br />
muestreo excesivamente bajas<br />
producen interferencias<br />
frecuenciales y pérdida <strong>de</strong><br />
información.<br />
Si <strong>la</strong> frecuencia <strong>de</strong> muestreo está por encima <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> frecuencia <strong>de</strong> Nyquist, se pue<strong>de</strong> recuperar <strong>la</strong><br />
función original a partir <strong>de</strong>l muestreo,<br />
aplicando una ventana a <strong>la</strong> transformada que<br />
seleccione el periodo en el origen.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 28
Al realizar un muestreo en un intervalo finito estamos multiplicando una<br />
ventana a <strong>la</strong> función muestreada, o convolucionando <strong>la</strong> transformada <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
función discretizada con <strong>la</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> ventana, esta última no es finita, por<br />
tanto <strong>la</strong> función así muestreada no es <strong>de</strong> banda limitada y no será<br />
recuperable.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 29
Transformada discreta <strong>de</strong><br />
Fourier: Al discretizar el<br />
p<strong>la</strong>no transformado<br />
estamos convolucionando<br />
<strong>la</strong> discretización espacial<br />
con un tren <strong>de</strong> impulsos<br />
que convierten <strong>la</strong> función<br />
en periódica.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 30
Muestreo 2D<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 31
Condiciones <strong>de</strong><br />
muestreo para <strong>la</strong><br />
recuperación <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
<strong>imagen</strong> original.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 32
<strong>Transformadas</strong> separables<br />
Transformada directa Transformada inversa<br />
Kernel directo <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
transformada<br />
Kernel separable Kernel simétrico<br />
Caso <strong>de</strong> <strong>la</strong> transformada<br />
<strong>de</strong> Fourier bidimensional<br />
Kernel inverso <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
transformada<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 33
La transformada separable y simetrica pue<strong>de</strong> calcu<strong>la</strong>rse<br />
aplicando dos transformadas unidimensionales<br />
En forma matricial<br />
F es <strong>la</strong> matriz <strong>imagen</strong>, A es <strong>la</strong> matriz kernel <strong>de</strong> transformación<br />
Para obtener <strong>la</strong> transformación inversa se calcu<strong>la</strong>:<br />
Si La inversa es exacta<br />
Sino se obtiene una aproximación<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 34
Transformada <strong>de</strong> Walsh<br />
Separabilidad y<br />
simetría<br />
K-esimo bit en <strong>la</strong><br />
representación binaria <strong>de</strong> z<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 35
Base <strong>de</strong> funciones <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
transformada <strong>de</strong> Walsh<br />
cuando <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> es <strong>de</strong><br />
tamaño 4x4. Los<br />
coeficientes <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
transformada se obtienen<br />
multiplicando <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> por<br />
cada una <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> base.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 36
Transformada <strong>de</strong> Hadamard<br />
Separabilidad y<br />
simetría<br />
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<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 38
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 39
Discrete Cosine Transform (DCT)<br />
La base <strong>de</strong> funciones son funciones coseno y el resultado<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> transformación es siempre real, lo que simplifica los<br />
cálculos.<br />
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 40
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 41
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 42
Transformada en componentes principales:<br />
Hotelling, Karhunen-Loeve<br />
Pob<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> vectores aleatorios <strong>de</strong> media y matriz <strong>de</strong> covarianza<br />
Dadas M muestras <strong>de</strong> <strong>la</strong> pob<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> vectores aleatorios,se pue<strong>de</strong> calcu<strong>la</strong>r<br />
Puesto que <strong>la</strong> matriz <strong>de</strong> covarianza es real y simetrica, se pue<strong>de</strong> diagonalizar y<br />
encontrar el conjunto <strong>de</strong> autovectores ortogonales <strong>de</strong> <strong>la</strong> matriz. Sean estos<br />
autovectores or<strong>de</strong>nados por autovalor dispuestos por columanas en una matriz<br />
A.<br />
Errir <strong>de</strong> reconstrucción <strong>de</strong> los datos originales si<br />
consi<strong>de</strong>ramos solo los K autovectores <strong>de</strong> mayor autovalor<br />
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<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 44
<strong>Transformadas</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>imagen</strong> 45