IFT-UAM/CSIC-08 Enrique Álvarez Abstract: - Instituto de Física ...

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TCC 2
Enrique Álvarez
Instituto de Física Teórica UAM/CSIC and Departamento de Física Teórica
Universidad Autónoma de Madrid, E-28049–Madrid, Spain
E-mail: enrique.alvarez@uam.es
Abstract:

Contents
1. La integral funcional en mecánica cuántica 2
1.1 Discretización de la acción 3
1.2 La versión hamiltoniana 4
1.3 Valores esperados entre estados arbitrarios 6
1.4 Valores esperados 6
1.5 Matriz S 7
1.6 La fórmula de Trotter. 8
1.7 El camino aleatorio. 9
1.8 La prescripción del punto medio y la ordenación de Weyl. 11
1.9 El modelo sigma no lineal. 13
1.10 Definición a través de la función zeta 15
2. Propagators in flat space 18
3. La teoría de perturbaciones en términos de integrales gaussianas 23
3.1 Número finito de grados de libertad bosónicos 23
3.2 La integral de Berezin para un número finito de grados de libertad 29
4. El límite de infinitos grados de libertad 31
4.1 Las reglas de Feynman 31
4.2 La matriz S 38
4.3 La matriz S en términos de correladores de vacío. 40
5. Renormalización de teorías de campos escalares en autointeracción. 41
5.1 Regularización dimensional 41
5.2 Renormalización de la masa en φ 3 4 44
5.3 Contaje de potencias 48
5.4 φ 3 6 a un lazo. 49
5.5 El grupo de renormalización 53
6. Estructura de la teoría gauge abeliana (QED) a un lazo. 55
6.1 Regularización dimensional 56
6.2 Autoenergía del electrón 56
6.3 Polarización del vacío 57
6.4 El vértice renormalizado 59
6.5 Renormalización física versus renormalización independiente de la masa 59
– 1 –

7. Teorías gauge 60
7.1 Introducción 60
7.2 La acción de Yang-Mills 63
7.3 La eliminación de la libertad gauge y los fantasmas. 63
8. Diagramas a un lazo 66
8.1 Autoenergía del fermión 66
8.2 Polarización del vacío 67
8.3 El vértice fermión-gauge 68
8.4 El vértice de tres gluones 69
8.5 El lagrangiano renormalizado en QED 70
8.6 Autoenergía del gluón 70
8.7 El vértice fermión-gluón 71
8.8 El grupo de renormalización 72
8.9 Identidades de Ward 73
9. Invariancia BRST 75
9.1 Identidades de Slavnov-Taylor 77
9.2 El subespacio físico 78
9.3 Positividad 81
10. Renormalización de teorías gauge puras 86
11. Simetrías globales espontáneamente rotas 90
12. Simetrías gauge espontáneamente rotas 93
13. Realizaciones no lineales: El caso Global 97
13.1 Local 102
13.2 El contratérmino de Wess-Zumino 105
1. La integral funcional en mecánica cuántica
Vamos a llamar en este parágrafo a la variable din’amica de un sistema con un número
finito de grados de libertad q(t). No introducimos índices de momento para no
embarrar la notación. Feynman [12] ha demostrado que la amplitud mecanocuántica
para pasar de la configuración i ≡ (qi, ti) a la configuración f = (qf, tf) viene dada
por una integral funcional sobre todas las trayectorias posibles que conducen de la
– 2 –

congiguración i a la configuración f, pesada cada una con una fase, que es justo la
exponencial de i/ veces la acción clásica correspondiente al camino considerado.
K(f, i) =
f
i
Dq(t)e i
S(f,i)
(1.1)
En el l’imite cásico (equivalente a → 0) se puede calcular la integral por el método
de la fase estacionaria, y está dominada por la configuración que minimiza la acción;
esto es, la configuración clásica solución de las ecuaciones de movimiento.
Aunque comenzaremos usando un lenguaje adecuado para sistemas con un n’umero
finito de grados de libertad, un campo arbitrario, digamos φ(x, t) se puede interpretar
como el l’imite cuando N → ∞ de qi(t), i = 1 . . . N, donde el índice i recorre los
∞ 3 valores x ∈ R 3 .
1.1 Discretización de la acción
La definición que da de la integral es la siguiente: dividimos el intervalo T ≡ tf − ti
en N intervalos iguales de longitud
ɛ = ti+1 − ti, siendo t0 ≡ ti . . . tN ≡ tf (q0 = qi, qN = qf):
y definimos
2πiɛ
m
∞
1
K(f, i) ≡ limN→∞
A
Nɛ = T (1.2)
−∞
dq1
A
dqN−1 i
. . . e
A S(f,i)
(1.3)
donde A = es una función de N que viene determinada por la condición de
que exista el l’imite para la part’icula libre.
EJERCICIO
Como ejercicio, se puede comprobar que, al menos formalmente,
K(f, i) = K(f, n)dqnK(n, i)
Las dos variables de integraci’on ser’an q y ˜q, tales que
q0 = qi, qN = qf
Schematically, the different integrations are
1 dq1 dqN−1 1 d˜q1 d˜qN−1
. . . dqn . . . A A A A A A
which is precisely what the doctor ordered for the direct computation of K(f, i) in 2N steps.
Efectivamente, en este caso
S = m
2
N
(qi − qi−1) 2
i=1
de forma que la primera integral a realizar reza
K1 =
dq1e im
2ɛ [(q2−q1) 2 +(q1−q0) 2 ]
– 3 –
(1.4)
(1.5)

y si definimos la integral mediante continuación analítica de
∞
dqe −λq2
π
=
λ
(con λ ∈ R + ), de la cual se deduce mediante una traslación que
entonces
que se combina en:
∞
−∞
−∞
dqe −λq2 +bq = e b 2
4λ
π
λ
K1 = 1 m
ei 2ɛ
A2 [q2 2 +q2 0 ]
iπɛ im
(q2+q0) 2
e− 4ɛ
m
K1 =
La siguiente integral a realizar sería
K2 = 1
A
m
im
(q2−q0) 2
e− 2(2ɛ)
2πi(2ɛ)
dq2K1e im
(q3−q2) 2
2ɛ
lo cual conduce después de N − 1 integrales al resultado
K(f, i) =
m im
e 2T
2πiNɛ (qf −qi) 2
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
que es independiente de N.
Es fácil de comprobar que este propagador satisface la ecuación de Schrödinger
1.2 La versión hamiltoniana
∂K(f, i)
i = −
∂tf
2 ∂
2m
2
K(f, i) (1.12)
Existe un punto de vista ligeramente distinto, que proporciona una deducción de
la fórmula anterior, incluyendo el valor de la constante A. Utilizaremos notación
vectorial implícita, i.e. q ≡ (q1 . . . qn).
Los operadores ˆq y ˆp en la representación de Heisenberg son:
y
∂q 2 f
ˆq(t) = e i ˆ Ht ˆqe −i ˆ Ht
ˆp(t) = e i ˆ Ht ˆpe −i ˆ Ht
Los correspondientes autoestados serán:
(1.13)
(1.14)
ˆq(t)|q; t〉 = q|q; t〉 (1.15)
– 4 –

ˆp(t)|p; t〉 = p|p; t〉 (1.16)
Estos estados de Heisenberg no evolucionan, y naturalmente no coinciden con
la evolución en el tiempo de los autoestados de Schroedinger en el instante t =
0, digamos |q〉S. Por el contrario, el autoestado del operador de Heisenberg en el
instante de tiempo t obedece:
|q; t〉 = e i ˆ Ht |q〉 (1.17)
Nótese el signo de la exponencial; en la representación de Schrödinger tendríamos
|q〉S(t) = e −i ˆ Ht |q〉S
(1.18)
Comenzamos por utilizar repetidamente la relación de cierre, es decir, la completitud
de los estados en cualquier instante de tiempo, para representar:
K(f, i) ≡ 〈qftf|qiti〉 =
〈qftf|qNtN〉dqN〈qNtN| . . . |q1t1〉dq1〈q1t1|qiti〉 (1.19)
Recordemos que no escribimos los índices correspondientes a los diferentes grados de
libertad del sistema. Implítamente
q0 ≡ qi
qN+1 ≡ qf
Todos los espaciados temporales son idénticos, esto es,
tf − ti
N + 1 ≡ ɛ = ti+1 − ti
Ahora bien, entre dos instantes consecutivos,
En general, es un hecho que
(1.20)
(1.21)
〈qi; ti|qi−1; ti−1〉 = 〈qi; ti−1|e −i ˆ Hɛ |qi−1; ti−1〉 (1.22)
ˆH(ˆp, ˆq) = ˆ H(ˆp(t), ˆq(t)) (1.23)
Si adoptamos la regla (Weinberg) de que todos los operadores posición se escriban
a la izquierda de los operadores momento,entonces podemos sacar los autovalores
posición por el bra, y desarrollar el ket en autoestados del momento, usando:
〈qi+1; ti+1|qi; ti〉 =
〈q; t|p; t〉 = 1
√ 2π e iq.p
dp〈qi+1; ti|e −i ˆ Hɛ |pi; ti〉〈pi; ti|qi; ti〉 =
– 5 –
(1.24)
dpi
2π e−iH(qi+1,pi)ɛ e i(qi+1−qi)pi
(1.25)

Efectuando esta operación en cada intervalo, se obtiene
〈qf; tf|qi; ti〉 =
N
N
dpl
dqk
e
2π
i PN+1 j=1 ((qj−qj−1)pk−1−H(qk,pk−1)ɛ)
con
k=1
l=0
q0 = qi
qN+1 = qf
(1.26)
(1.27)
Obsérvese que hay N integrales dql, en tanto que hay N +1 integrales sobre momentos
dpl.
Definamos ahora unas funciones del tiempo tales que
q(ti) = qi
p(ti) = pi
En el límite N → ∞, el sumatorio se reduce a una integral:
〈qf; tf|qi; ti〉 =
q(tf )=tf
q(ti)=qi
dq(t)
t
t
dp(t)
2π ei R t f
t i dt(p ˙q−H(q,p))
(1.28)
(1.29)
Esta expresión se puede fácilmente convertir en la de Feynman, usando la integral
dpi
1.3 Valores esperados entre estados arbitrarios
=
2π ei[pi(φi−φi−1)− p2 i
2m (ti−ti−1)]
m
2πiɛ ei (qi−qi−1 )2
2(ti−ti−1 ) (1.30)
Naturalmente siempre podemos escribir
〈χ|ψ〉 = dqidqf〈χ|qftf〉〈qftf|qiti〉〈qiti|ψ〉 =
dqidqfχ ∗
(qf)ψ(qi) DpDqe i R tf t (p ˙q−H)
i
(1.31)
Esto quiere decir que cualquier amplitud de transición se puede calcular a partir del
núcleo de Feynman sin más que multiplicar por las funciones de onda de los estados
inicial y final, e integrando sobre todo el espacio de configuración inicial y final.
1.4 Valores esperados
Veamos qué ocurre cuanto hay una inserción de un operador:
〈qftf|O (ˆq(t), ˆp(t)) |qiti〉 =
– 6 –
DqDp O(q, p)e i R dτ[p ˙q−H]
(1.32)

La clave está en el intervalo tal que ti ≤ t ≤ ti + ɛ. Se tiene:
〈qi+1ti+1|O|qiti〉 = dp〈qi+1ti+1|e −iHɛ |p, ti〉〈p, ti|O|qiti〉 (1.33)
de forma que, en caso de ambigüedad, definimos el operador con las q a la derecha
(justo lo contrario de lo que hicimos con el hamiltoniano). Se sigue sin dificultad la
fórmula
Una consecuencia elemental es que si ta > tb,
〈qftf|O1 (ˆq(ta), ˆp(ta)) O2 (ˆqb(tb), ˆp(tb)) |qiti〉 = DqDp O1O2 e i R dτ[p ˙q−H]
(1.34)
En el caso general, lo que se obtiene es el producto temporalmente ordenado:
DqDp O(ta)O(tb)e i R dτ[p ˙q−H] = 〈qftf|T O(ta)O(tb)|qiti〉 (1.35)
Para calcular funciones de Green con infinitos grados de libertad,
〈qf(x)|T O1(q1, p1) . . . On(qn, pn)|qi(x)〉 =
1.5 Matriz S
q(tf ,x)=qf (x)
q(ti,x)=qi(x)
DqDp O1 . . . On e i R t f
t i d 3 x( ˙qp−H)dt
(1.36)
Para calcular elementos de matriz S, tenemos que multiplicar el elemento de matriz
anterior por la función de onda
y
ψ+(x) ≡ 〈out|q+(x)〉 (1.37)
ψ+(x) ≡ 〈q−(x)|in〉 (1.38)
(Tomando los tiempos ti = −∞ y tf = +∞). Habría adem’as que integrar sobre
todas las posibles funciones de onda, ψ+(x) y ψ−(x)).
Y veremos en su momento que esto equivale a efectuar la integral funcional sin
condiciones de contorno:
〈out|T O1(q1, p1) . . . Qn(qn, pn)|in〉 =
DqDp O1 . . . On e i R ∞
−∞ d3 x( ˙qp−H)dt 〈q−(x)|in〉〈out|q+(x)〉
(1.39)
Las funciones de onda inciales y finales pueden interpretarse (Weinberg) como el
origen de la prescripción iɛ de Feynman para definir los propagadores, que desde el
punto de vista formal no son más que los inversos del operador que define la energía
cinética.
– 7 –

1.6 La fórmula de Trotter.
Si escribimos
entonces la fórmula de Trotter asegura que
limN→∞
Definiremos el operador
e −λ ˆ T + ˆ
V N
N
ˆH = ˆ T + ˆ V (1.40)
= limN→∞
Û(t) ≡ θ(t) e −i ˆ Ht
e −λ ˆ T
N e −λ ˆ V
N + O(N −2 N )
que propaga kets formalmente en la imagen de Schrödinger
|ψ〉t = Û(t)|ψ〉t=0
(1.41)
(1.42)
(1.43)
La función de Green de la ecuación de Schrödinger, id est, la función tal que
ψ(x, t) = dy G(x, y; t, t0) ψ(y, t0) (1.44)
será
G(x, y; t, t0) = 〈x|e −it ˆ H
N . . . e −it ˆ
H
N |y〉 = limN→∞〈x| e −it ˆ T
N e −it ˆ
V N
N |y〉 =
limN→∞
Escribimos
Y por otra parte
dx1 . . . dxN〈x|e −it ˆ T
N e −it ˆ V
N |xN〉〈xN|e −it ˆ T
N e −it ˆ V
N |xN〉 . . . 〈x1|e −it ˆ T
N e −it ˆ V
N |y〉
t
−i
〈x|e N ˆ T ′
|x 〉 =
1
2π
Finalmente, definiendo ɛ ≡ t/N,
G(x, y; t) = limN→∞
t
−i
e N ˆ t
V −i
|xj〉 = e N V (xj)
|xj〉 (1.45)
p2
−it
dpe 2mN e ip(x−x′ )
=
dx1 . . . dxN
t
−i
dp〈x|e N ˆ T ′
|p〉〈p|x 〉 =
mN
2πit e−mN (x−x′ ) 2
2it (1.46)
m
N e
2πiɛ
iɛ PN j=0
– 8 –
„ “ ” «
m xj+1−x 2
j
−V (xj)
2 ɛ
(1.47)

1.7 El camino aleatorio.
Si tuviéramos un acoplo electromagnético, del tipo
LI = e Av
hay que discretizarlo tomando la prescipción del punto medio (MPP):
SI = eɛ xj+1 − xj
ɛ
A(xj+1) + A(xj)
Para verificar que esto es correcto (cf. Schulman [19]) hay que calcular la propagación
en tiempo infinitesimal:
ψ(xj+1, t + ɛ) = d 3 xjK(xj+1, xj; ɛ)ψ(xj, t)
si definimos la variable relativa
entonces
ξ ≡ xj − xj+1
LI = −e 1
2
ξ A(xj+1 + ξ) +
A(xj+1) = −ie ξ
2
A(xj+1) + 1
2 ξ. ∇
A(xj+1) + . . .
lo cual satisface la ecuación de Schroedinger después de integrar sobe d3 ξ.
Si hubiésemos discretizado
LI = ie (xj+1 − xj) A(xj) = −ie
ξ A(xj) + ξ. ∇
A(xj+1)
Este factor 1/2 de diferencia es incorrecto. Este tipo de sutilezas tienen que ver con la
integral de Ito característica de trayectorias continuas pero no diferenciables, como
las que son de interés en el movimiento brownniano. Intuitivamente, si queremos
que la energía cinética esté bien definida en una escala de tiempos ɛ, si la escala de
variación en la posición es δ, es necesario que
ɛ δ2
∼ 1
ɛ2 Una realización concreta de estas ideas se encuentra en el problema del camino
aleatorio. Claramente, si la probabilidad de ir a la derecha es p, y la de ir a la
izquierda es 1-p, al cabo de N pasos la abscisa del caminante estará determinada por
la distribución binomial
P (n+, n−) = N!
n+!n−! pn+ (1 − p) n− (1.48)
– 9 –

En el limite en el que la binomial está bien aproximada por la gaussiana, representando
por
n ≡ n+ − n−
a ≡ 2N(p − 1/2) (1.49)
2 (n−a)2
P ∼ e− 2N
πN
(1.50)
Si la longitud de cada paso es δ, y la unidad de tiempo es ɛ, la densidad de pasos
será
ρ ∼ P
El límite continuo será
δ
(1.51)
de tal forma que
u ∼
The quantity aδ in the exponent is
x ≡ nδ
t ≡ ɛN (1.52)
2ɛ
πδ2 ɛ(x−aδ)2
e− 2tδ
t 2 (1.53)
sδ = Nδ(2p − 1) = t
δ(2p − 1) (1.54)
ɛ
It is clearly seen that no continuous limit exist unless p ∼ q in such a way that
2p − 1 ∼ δ, so that
ɛ/δ 2 ≡ 2D
δ
(2p − 1) ∼ c (1.55)
ɛ
where we have introduced the difussion coefficient, D and the drift velocity, c. Then
ρ(x, t) =
1 (x−ct)2
e− 4Dt (1.56)
4πDt
Es decir, que las escalas características del movimiento brownniano satisfacen
ɛ ∼ δ 2
– 10 –
(1.57)

1.8 La prescripción del punto medio y la ordenación de Weyl.
Supongamos que queremos calcular el valor esperado de Ô (ˆq, ˆp) Es un hecho que
〈z| Ô|y〉 =
〈z| Ô|p〉dp〈p|y〉 (1.58)
Si este operador está ordenado Weyl se tiene el teorema siguiente:
〈z| ÔW
|y〉 =
dp〈z|p〉OW
z + y
2
, p 〈p|y〉 (1.59)
La versión simetrizada de un operador, ÔS, es aquella en la que todos los operadores
ˆq y ˆp aparecen en todos los posibles ordenamientos con pesos iguales. Ordenar
Weyl quiere decir simplemente escribir
Por ejemplo,
Podemos escribir en general
Ô = ÔS + extra (1.60)
ˆqˆp = 1
1
(ˆqˆp + ˆpˆq) +
2 2 (ˆqˆp − ˆpˆq) = (ˆqˆp) S
(ˆq m ˆp r ) S = 1
1
2 m
r
k=0
2 m
m
l=0
r!
k!(r − k)! ˆpr−k ˆq m ˆp k
m!
l!(m − l)! ˆqm−l ˆp r ˆq l =
i
+ (1.61)
2
(1.62)
donde en la primera línea se han agrupado los momentos, y en la segunda se han
agrupado las posiciones.
De ahí se sigue que
〈z| (ˆq m ˆp r ) S |y〉 =
1
2 m
m
l=0
m!
l!(m − l)! 〈z|ˆqm−l ˆp r |p〉d n p〈p|ˆq l |y〉 =
1
2m m m!
l!(m − l)!
l=0
〈z|p〉zm−lp r d n py l 〈p|y〉 =
〈z|p〉p r
m z + y
d
2
n p〈p|y〉. (1.63)
Esto se aplica en particular al operador hamiltoniano:
〈z| ˆ
HW |y〉 =
d n p〈z|p〉HW
– 11 –
z + y
2
, p 〈p|y〉 (1.64)

En [3] se demuestra explícitamente que el operador laplaciano invariante bajo
difeomorfismos que vamos a utilizar dentro de un momento admite una ordenación
Weyl
siendo
ˆH ≡ 1
2 g−1/4 ˆpag 1/2 g ab ˆpbg −1/4 = 1
ˆpag
2
ab 2 ab c
ˆpb + −R + g Γ S 8
adΓ d
bc
ˆpag ab
ˆpb S = ˆpaˆpbg ab + 2ˆpag ab ˆpb + g ab ˆpaˆpb
– 12 –
(1.65)
(1.66)

1.9 El modelo sigma no lineal.
El punto de partida es el operador
ˆH ≡ 1
2 g−1/4 ˆpag ab g 1/2 ˆpbg −1/4
(1.67)
Si normalizamos los autoestados de forma que
|g|d n x|x〉〈x| = 1 (1.68)
lo cual implica que
y los autoestados de momento
〈x|y〉 = 1
|g| δ n (x − y) (1.69)
d n p|p〉〈p| = 1 (1.70)
Podemos visualizar los autoestados de posición en términos de los correspondientes
al espacio plano como
|x〉 = g −1/4 |x〉M
(1.71)
Esto indica que el operador momento va a estar dado por
de forma que
ˆpa = −ig −1/4 ∂ag 1/4
(1.72)
[ˆpa, ˆx b ] |x〉 = ˆpax b g −1/4 |x〉M − ˆx b ˆpag −1/4 |x〉M = −ig −1/4 δ b a|x〉M = −iδ b a|x〉 (1.73)
Si substituimos esta expresión en la definición de hamiltoniano, obtenemos:
ˆH ≡ 1
2 g−1/4 −ig −1/4 ∂ag 1/4 g ab g 1/2 −ig −1/4 ∂bg 1/4 g −1/4 = − 1
2
que es una expresión invariante bajo difeomorfismos.
Análogamente,
〈x|p〉 =
1
(2π) n/2 eipx
g1/4 1
∂a
|g|
|g|g ab ∂b
(1.74)
(1.75)
Siguiendo a Bastianelli y van Nieuwenhuizen [3], vamos a considerar la amplitud de
transición euclídea
T (x, y, β) ≡ 〈x|e −β ˆ H |y〉 (1.76)
Podemos escribir, en notación obvia, y reproduciendo los pasos dados en el espacio
plano:
T (x, y, β) = 〈x|
e −ɛ ˆ N H
|y〉 = 〈x|e −ɛ ˆ H
|pN〉dpN〈pN|qN−1〉 |g(qN−1)|dqN−1〈qN−1| . . .
〈q1|e −ɛ ˆ H |p1〉dp1〈p1|y〉 (1.77)
– 13 –

Denotaremos
qN = x
q0 = y (1.78)
– 14 –

1.10 Definición a través de la función zeta
En el caso general, en el que la partícula no está libre, la medida Dq(t) de puede
definir de la siguiente manera: primero obtenemos un conjunto completo {qn(t)}
de funciones que satisfacen las condiciones de contorno correctas. Normalmente se
escogerán como autovalores de un operador autoadjunto:
Oqn = λnqn
(1.79)
entonces toda configuración con las condiciones de contorno correctas se podrá escribir
como
q(t) =
cnqn(t) (1.80)
y definiremos formalmente
n
Dq ∼
dcn
n
(1.81)
El problema más sencillo posible es el del oscilador armónico, para el cual
S = dt m
2 ( ˙q2 − ω 2 q 2 ) (1.82)
Si representamos por T ≡ tb − ta, la acción para las trayectorias clásicas con las
condiciones de frontera especificadas será:
Sclas(f, i) = mω
2 sin ωT [(q2 f + q 2 i ) cos ωT − 2qiqf] (1.83)
Ahora bien, siempre podremos escribir
de forma que y(ta) = y(tb) = 0
Una base completa es yn ≡ sin nπt
T
de O ≡ − d2
dt2 :
q(t) = qclas(t) + y(t) (1.84)
− d2
dt 2 yn =
(n ∈ N). Resuelven el problema de autovalores
nπ
2 yn
T
(1.85)
Para que casen las dimensiones ([yn] = 0, pero [y] = −1) con coeficientes adimensionales,
podemos escribir
y = cn
µ yn
(1.86)
donde µ es una escala, arbitraria a priori.
Utilizando las integrales elementales:
T
0
dt sin nπt
T
sin mπt
T
– 15 –
= T
2 δnm
(1.87)

y
la acción se escribe como
obteniendo sin dificultad
siendo
T
0
dt cos nπt
T
S = Sclas + mT
4
F (ti, tf) ≡
cos mπt
T
∞
nπ n=1
T
= T
2 δnm
2
− ω 2
c 2 n
(1.88)
(1.89)
K = e i
Scl(f,i) F (ti, tf) (1.90)
∞
4π
nπ
µ
imT T
n=1
2
− ω 2
−1/2 (1.91)
Existe una técnica analítica muy general, sistematizada en [8] ,[15] para el cálculo de
expresiones adimensionales del tipo
P ≡ λn
que consiste en introducir una función ζ generalizada
ζ(s) ≡
y
de forma que
n
λ −s
n
(1.92)
(1.93)
ζ ′ (s) = − log λne −s log λn (1.94)
P = e −ζ′ (0)
Todo esto se hace por analogía con la función ζ de Riemann
ζR(s) ≡
Por ejemplo, calculemos el producto
Claramente
de forma que
logP = log c = log c
P ≡
∞
n=1
∞
n −s
n=1
(1.95)
(1.96)
∞
c (1.97)
n=1
P = c −1/2
– 16 –
1 ≡ log c ζR(0) = − 1
log c (1.98)
2
(1.99)

Qué estamos haciendo realmente?
Qué queremos decir exactamente cuando decimos que
∞
S ≡ n = − 1
? (1.100)
12
Supongamos que definimos (Polyakov)
n=1
S ≡ limɛ→0S(ɛ) (1.101)
siendo
∞
S(ɛ) ≡ ne
n=1
−ɛλn = − 1
∞ ∂
e
ɛ ∂λ
n=1
−ɛλn = − 1
∂ 1
− 1 = −
ɛ ∂λ 1 − e−ɛλ 1 ∂ 1
ɛ ∂λ eɛλ − 1 =
eɛλ (eɛλ
2 = 1 + ɛλ +
− 1) 1
2 ɛ2λ 2
1
ɛ2λ2 1
ɛλ 1 + 2 + ɛ2λ2
2 = 1 + ɛλ +
6
1
2 ɛ2λ 2
1
ɛ2λ2
1 + ɛλ + 1
2 ɛ2λ 2
1
ɛ2λ2
1 − ɛλ + 5ɛ2λ2
=
12
1
ɛ2 1
−
λ2 12
Resulta fácil calcular por este procedimiento
∞
ζP+ ≡ ( n
+ v) (1.103)
u
resultando en
n=1
P+ = u s ζ(s, uv) − v −s
donde la función de Riemann generalizada (Hurwitz) satisface:
∞ 1
ζ(s, a) ≡
(n + a) s
n=0
(nótese que el sumatorio empieza en n=0).
Recordemos algunos hechos de la vida.
Dado que
(a + n) −s ∞
Γ(s) =
se deduce que
Γ(s)ζ(s, a) = limN→∞
∞
∞
n=0
0
x s−1 e −(a+n)x dx =
0
(1.104)
(1.105)
x s−1 e −(n+a)x dx (1.106)
∞
0
x s−1 e −ax
1
dx (1.107)
1 − e−x Esta fórmula es el equivalente de la de Euler para la función Γ(z). Si consideramos
(cortando el plano complejo en el eje real negativo) la integral en el contorno de
Hankel
(0+)
∞
(−z) s−1 e −ax
1 − e −x
= e πi(s−1) − e −πi(s−1) ∞
x s−1 e −ax
– 17 –
0
1
dx (1.108)
1 − e−x 1
1 + ɛλ + 7ɛ2 λ 2
12
=
(1.102)

Ergo
(0+)
Γ(1 − s) (−z)
ζ(s, a) = −
2πi ∞
s−1e−ax 1 − e−x (1.109)
De donde se sigue que la función ζ(s, a) tiene un polo simple con residuo unidad en
s = 1. Como función analítica está extendida a todo el plano complejo.
Se puede demostrar que ζ(0, q) = 1
2 − q y que ζ′ (0, q) = log Γ(q) − 1 log 2π. Es,
2
por otra parte, obvio que
∞
( n2
− A) =
B
n=1
∞
( n
√ −
B √ A)( n
√ +
B √ A) = 2
√ sin π
A √ AB (1.110)
n=1
(usando la conocida propiedad de las funciones Γ de que Γ(z)Γ(−z) = − π
z sin πz ).
En nuestro caso B = 4µ2T mπ2 y A = ω2mT 4µ 2 de forma que
∞
n=1
De esta forma se obtiene:
8µ
F (ti, tf) =
ω √ mT
λn = 8µ
ω √ sin ω T (1.111)
mT
−1/2 sin ω T
(1.112)
Como vemos, la normalización es incorrecta. Podemos fijarla de forma que se satisfaga
la condición de contorno
lo cual fija la constante N:
ωm
i
Ne 2ωɛ (qf −qi) 2
K(qf, qi; T = ɛ → 0) = δ(qi − qf) (1.113)
−1/2 8µ
√mɛɛ 2. Propagators in flat space
Let us start from the definition
G(x, y) ≡
where the integral is over all paths such that
and
S(X) ≡
1
0
1
∼ limη→0
η √ π e− (qf −qi )2
η2 (1.114)
DX(s)e −imS(X)
X(0) = x
(2.1)
X(1) = y (2.2)
dτ ηµνdX µ dX ν (2.3)
– 18 –

It is well-known that this definition recovers the Klein-Gordon propagator in flat
space [?][?]. Let us quickly review this. To begin with, we are going to use the action
˙X 2
S ≡ dτ + e(τ)m2
(2.4)
2e(τ) 2
where e(τ) is the einbein, and its equation of motion enforces that on shell this action
us equivalent to the usual one for a massive particle (while enjoying a finite limit in
the massless case)
S = m ˙X 2dτ = m
ds (2.5)
Besides, the action including the einbein is reparametrization invariant provided
At the linearized level, δτ = ξ(τ),
The quantity
e ′ (τ ′ )dτ ′ = e(τ)dτ (2.6)
δe = dξ de
e − ξ
dτ dτ
l ≡
(2.7)
e(τ)dτ (2.8)
is gauge invariant with periodic boundary conditions id est, with the topology of
the circle; so that if we go to the gauge e = 1, the parameter must have the range
0 ≤ τ ≤ l.
It is also possible to keep 0 ≤ τ ≤ 1 while defining the gauge condition as e = l,
and this is what we shall do.
Now, it is a fact of life that
Z(l) ≡
where
DXe − R dτ
“ ˙X 2
2l
”
m2
+l 2 = 1
N
N ≡
If we now perform the integral over DX:
Z(l) =
DXDp e R dτ(ip. ˙ X− l
2(p(τ) 2 +m 2 )) =
l
−
Dp δ( ˙p)e 2(p(τ) 2 +m2 ) =
DXDp e R dτ(ip. ˙ X− l
2(p(τ) 2 +m 2 )) (2.9)
l
−
Dp e 2 p(τ)2
(2.10)
DXDp e R dτ( d
l
(ip.X)−iX. ˙p− dτ 2(p(τ) 2 +m2 )) =
d n l
−
p e 2(p2 +m2 ) (2.11)
where periodic boundary conditions have been used: X(1) = X(0).
– 19 –

Were we to use open boundary conditions X(0) = x ; X(1) = y the result would
have been
Z(l) = d n p e ip(y−x) l
−
e 2(p2 +m2 ) (2.12)
so that the scalar propagator is given by
∞
dl Z(l) = 2
0
1
d n p e ip(y−x)
p2 + m2 (2.13)
This representation makes moreover manifest that the propagator enjoys a composition
law:
dzG(x, z)G(z, y) = dzDX(s)e −imS(X) −imS(Y )
DY (s)e (2.14)
where X(s) goes from x o z and Y (s) from z to y. Then
dzG(x, z)G(z, y) = DX(s)e −imS(X) S(X) (2.15)
where now X(s) goes from x to y, and the extra factor takes into account the
possibility that the intermediate point z lieds in the path itself.
In a recent paper Polyakov [?] claims that unitarity in quantum field theory is
equivalent to this path composition.
Asymptotically (for large separation between the points) the propagator should
behave as
G(x, y) = e −ims(x,y)
(2.16)
where s(x, y) is the geodesic distance between the points x and y. This would imply
in turn that
dzG(x, z)G(z, y) =
dze −im(s(x,z)+s(z,y)) ∼ s(x, y)G(x, y = i ∂
G(x, y) (2.17)
∂m
The integral is done in some saddle point approximation, corresponding to m → ∞;
otherwise the result does not hold.
In flat space this identity is true in any dimension for true propagators (id est,
solutions of the inhomogeneous equation) because using the Fourier representation
and
d n
zG(x, z)G(z, y) =
G(x, y) =
d n z dn p
(2π) n
d n k
(2π) n
Direct verification is more laborious.
dnp (2π) n
eip(x−y) p2 + m2 – 20 –
e ip(x−z)
p 2 + m 2
(2.18)
eik(z−y) k2 ∂
= − G(x, y) (2.19)
+ m2 ∂m2

• In two-dimensions, it is not difficult to obtain the massive propagator in terms
of a modified Bessel function. We just use the proper-time representation, id
est,
G(x, y) = d 2 ke ikx
∞
dτ e −τ(k2 +m2 ) (2.20)
and copmplete the square. The result is:
2 d k
G(y) =
(2π) 2
eiky −k2 + m2 − iɛ =
dp e−ipmxe−im|t| √
p2 +1
= i
4π
p2 + 1
= i
4π
∞
For timelike arguments, using K0(z) =
G(y) = i
2π K0(m −y 2 )
The result holds also in the spacelike case.
n-dimensional case:
G(x) =
n d k
(2π) n
eikx −k2 + m2 − iɛ =
When x is timelike, with x 2 = t 2 :
G(x) =
= imn−2 Ωn−2
2(2π) n−1
idp
(2π) n−1
∞
1
e −iω p|t|
2ωp
0
0
= imn−2
2(2π) n−1
dp
2π e−ipx i
e
2ωp
−iωp|t| =
−im(x sinh s+|t| cosh s)
ds e
e −z cosh t dt (8.432 Gr&Ry):
dp
(2π) n−1 e−ipx i
k n−2 dk dΩn−2
dω (ω 2 −1) n−3
2 e −iωm|t| = imn−2 Ωn−2
= im n
2 −1
(2π) n
2
where we have used Kν(z) =
and Ωn−1 =
n
n π 2
Γ( n
2
+ 1)
z
2
1
i|t|
ν 1 Γ( 2 )
∞
Γ(ν + 1
2 )
2(2π) n−1
n
2 −1
K n
2 −1(im|t|)
1
Γ( n 1 − 2 2 )
√
π
e
2ωp
−iωp|t| e −im|t|√ k 2 +1
√ k 2 + 1 =
im|t|
2
1− n
2
dt e −zt (t 2 1
ν−
− 1) 2 (8.432 Gr&Ry)
• Everybody knows that the fundamental solution of Laplace’s equation in twodimensions
is the logarithmic potential. The combination that gets a finite
limit in the massless case is:
limm→0
2
m2
m
G − log = log |x| (2.21)
π2 2
– 21 –
K n
2 −1(im|t|) =

• In order to perform the path composition one could think of using the asymptotic
expansion, whose dominant term is universal for all modified Bessel func-
tions:
Kν(z) =
π
2z e−z
This gives to lowest order
I ≡ d 2
π π
z
2|x − z| 2|z − y| e−m|x−z|−m|z−y|
(2.22)
(2.23)
The saddle point lies anywhere in the line that joins the points x and y. Choosing
this line as the OX axis,
I =
y
x
−m|x−y| π 1
−m|x−y| π2
dze = e
2 (x − z)(z − y) 2
Presumably the subdominant term will be recovered to the next order?
– 22 –
(2.24)

3. La teoría de perturbaciones en términos de integrales gaussianas
Partimos de la integral básica (la madre de todas las integrales)
∞
I ≡ dφe −λφ2
π
=
λ
Efectivamente, desde nuestra m’as tierna infancia sabemos que
I 2 ∞
= dφ1e −λφ2 ∞
1 dφ2e −λφ2 2 =
−∞
∞
= d|φ||φ|
0
−∞
2π
0
−∞
dθe −λ|φ|2
= 2π 1
2λ
= π
λ
A partir de esta integral, hagamos un poco de gimnasia r’itmica (la m’as f’acil)
3.1 Número finito de grados de libertad bosónicos
Si φ = (φ1 . . . φn), entonces
Z0(J) ≡
dφe −φT .M.φ−J.φ = π n/2 (det M) −1/2 e 1
4 J T .M −1 .J
A partir de aqu’i, se pueden calcular muchas expresiones; por ejemplo:
dφφiφje −φT .M.φ ∂ ∂
= Z(J)|J=0
∂Ji ∂Jj
o bien:
π n/2 −1/2 1
(det M)
2 (M −1 )ij
dφφiφjφkφle −φT .M.φ = ∂
∂ ∂ ∂
Z(J)|J=0
∂Ji ∂Jj ∂Jk ∂Jl
1
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
π n/2 (det M) −1/2 [ 1
2 (M −1 )ij
2 (M −1 )lk +
1
2 (M −1 1
)jl
2 (M −1 )ik + 1
2 (M −1 1
)jk
2 (M −1 )il] (3.5)
Es conveniente pararse un momento a reflexionar sobre este resultado. (denotando
por ∆ ≡ 1
2M −1 ). Lo que hemos demostrado es que la integral multidimensional de
1
− un monomio arbitrario φi1φi2 . . . φim con la medida dφe 2 φT .(2M).φ viene dada por el
determinante π n/2 (det M) −1/2 (que es común para todos los monomios) veces una
expresión que encierra toda la combinatoria de la serie perturbativa que conduce a
los diagramas de el en espacio de posición en TCC, y que es el la suma sobre todas
las maneras de aparear los m ’indices diferentes del monomio, donde cada sumando
– 23 –

es un producto de tantos propagadores ∆ como pares hay, con los índices de cada
propagador correspondientes su par asociado. Esta regla se aplica incluso cuando
haya índices repetidos.
De manera un poco formal:
p∈Cn 2 ia∈p
∆iai p(a)
(3.6)
Por ejemplo, en el caso considerado en (3.5) hay C 4 2 = 3 maneras diferentes de
aparear, y cada uno de los sumandos corresponde a un producto de dos propagadores.
Dado un polinomio arbitrario, V (φ), podemos calcular la integral multidimensional
(que llamaremos, por abuso del lenguaje, función de Green:
< T φi1 . . . φin >≡
δ
−V (
e δJ )
dφe −φT .M.φ−J.φ |J=0
dφφi1 . . . φine −φT .M.φ−V (φ) = e −V ( δ
δJ ) Z(J)|J=0 ≡
(3.7)
• Comencemos por la interacci’on c’ubica (f’isicamente encontraremos interacciones
similares cuando consideremos acoplos de Yukawa o incluso gauge):
Claramente,
Z(J) =
1 + g
3!
En notacion evidente
∂j → ∆Jj
∂ 2 j → ∆jj + ∆J 2 j
∂ 3 j → 3∆jj∆Jj + ∆J 3 j
i
(−∂i) 3 + 1
2
V (φ) = g
3!
g
3!
i
φ 3 i
2
(−∂i)
i
3
(−∂ 3 j )
j
e 1
2 J∆J
∂i → 3∆jj∆Jj∆Ji + 3∆jj∆ji + 3∆J 2 j ∆ji + ∆J 3 j ∆Ji
∂ 2 i → 6∆jj∆ji∆Ji + 3∆jj∆Ji∆ii + 3∆jj∆Jj∆J 2 i + 6∆Jj∆ 2 ji + 6∆J 2 j ∆ji∆Ji + ∆J 3 j ∆ii + ∆J 3 j ∆
(3.8)
(3.9)
∂ 3 i → 9∆jj∆ji∆ii + 9∆jj∆ji∆J 2 i + 9∆jj∆Jj∆ii + 3∆jj∆Jj∆J 3 i + 6∆ 3 ji + 18∆Jj∆ 2 ji∆Ji +
9∆J 2 j ∆ji∆ii + 9∆J 2 j ∆ji∆J 2 i + 3∆J 3 j ∆ii∆Ji + ∆J 3 i ∆J 3 j
– 24 –
(3.

EJERCICIO.
Demostrar que
〈T φkφl〉 = ∆kl + 1 g
2
2
2 18∆ 36 ij (∆ik∆jl + ∆il∆jk) +
+9∆ii∆ij (∆jk∆jl + ∆jl∆jk) + 9∆jj∆ij (∆ik∆il + ∆il∆ik) +
6∆ii∆jj (∆ik∆jl + ∆il∆jk) + 6∆3
ij + 9∆ij∆ii∆jj ∆kl
Las funciones de Green conexas corresponden a diagramas que son conexos, esto
es, que no es posible dividirlos en dos mediante una recta sin que ’esta corte
a alguna l’inea del diagrama. F’isicamente, los diagramas no conexos est’an
constitu’idos por diagramas conexos con una fluctuaci’on del vac’io añadida
Fij’emonos en los diagramas conexos que contribuyen a la funci’on a dos puntos.
A orden cero en la constante de acoplo, la funci’on a dos puntos coincide
con el propagador. A primer orden no hay ninguno. A segundo orden, hay
dos diagramas: un propagador con una creacion y aniquilaci’on virtual, que
corresponde a los dos primeros sumandos, y que va multiplicada por un factor
g2 ; el segundo es un ”tadpole”, que corresponde a toda la segunda l’inea, y
2
que, sum’andolo todo, lleva un factor an’alogo g2
2 .
Estas son las reglas de Feynman en el espacio de posici’on.
• Concentremos ahora nuestra atenci’on en la interacci’on cu’artica (similar a la
autointeracci’on del Higgs):
y definiendo
deducimos sin dificultad
Z(J) ≡
V (φ) = λ
4!
i
φ 4 i
dφe −φT .M.φ−V (φ)−J.φ
Z(J) = [1 + λ
4! [3∆2 ii + 6∆ii(∆iuJu) 2 + (∆iuJu) 4 ]
+ 1 λ
(
2 4! )2 (9∆ 2 ii∆ 2 jj + 72∆ii∆ 2 ij∆jj + 24∆ 4 ij
+(∆jvJv) 2 [18∆ 2 ii∆jj + 72∆ii∆ 2 ij]
+(∆iuJu) 2 [18∆ 2 jj∆ii + 72∆jj∆ 2 ij]
+∆iuJu∆jvJv[96∆ 3 ij + 144∆ii∆ij∆jj]
– 25 –
(3.11)
(3.12)

+3(∆iuJu) 4 ∆ 2 jj + 3(∆jvJv) 4 ∆ 2 ii + 48(∆jvJv) 3 ∆iuJu∆ii∆jj + 48(∆ivJv) 3 ∆juJu∆ii∆jj
+(∆iuJu) 2 (∆jvJv) 2 [36∆ii∆jj + 72∆ 2 ij] + 6(∆iuJu) 2 (∆jvJv) 2 ∆jj + 6(∆juJu) 2 (∆ivJv) 2 ∆ii
+16(∆iuJu) 3 (∆jvJv) 3 ∆ij + (∆iuJu) 4 (∆jvJv) 4 + o(λ 3 )]Z0(J) (3.13)
En esta expresión están contenidos todos los valores esperados de la teoría
bosónica hasta segundo orden en teoría de perturbaciones en λ.
Por ejemplo
〈T φkφl〉 = ∆kl + λ
4! [3∆2ii∆kl + 12∆ii∆ik∆il]
+ 1
2 λ
(9∆
2 4!
2 ii∆ 2 jj + 72∆ii∆ 2 ij∆jj + 24∆ 4 ij)∆kl
+2∆jk∆jl(18∆ 2 ii∆jj + 72∆ii∆ 2 ij) + 2∆ik∆il(18∆ 2 jj∆ii + 72∆jj∆ 2 ij)
+(∆ik∆jl + ∆il∆jk)(96∆ 3 ij + 144∆ii∆ij∆jj)
(3.14)
Éstas son las reglas de Feynman correspondientes a la autointeracción cuártica
en el espacio de posición.
– 26 –

Figure 1: Diagramas disconexos en la función a dos puntos
Es posible también utilizar nuestra fórmula maestra (3.6).Por ejemplo el término
lineal en la constante de acoplo viene dado por:
〈T φkφlφiφiφiφi〉 (3.15)
donde de los C 6 2 = 15 apareamientos posibles,3 corresponden a la combinación
de propagadores
∆kl∆ii
y el resto, es decir, 12, a la otra combinación posible:
∆ik∆il∆ii
Es un hecho de la vida que las funciones conexas se obtienen mediante
〈T φi1 . . . φin〉c ≡ ∂i1 . . . ∂in log Z(J)|J=0
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(es frecuente denotar por W (J) ≡ log Z(J)). Es fácil ver (trabajando, por ejemplo, la
función a dos puntos) que de esta forma desaparecen todos los diagramas disconexos
de la expresión (3.14).
• Ejercicio. Verificar el aserto anterior.
En todo tratamiento perturbativo
Z = Z0 + gZ1 + g 2 Z2 + O(3) (3.19)
– 27 –

de forma que
1/4
1/4
Figure 2: Diagramas conexos en la función a dos puntos
1
Z
= 1
Z0
1/6
− Z1
Z2 g + g
0
2
2 Z1 Z2 0
Normalicemos Z0 = 1. Esto implica que
as’i como
− Z2
Z2
+ O(g
0
3 ) (3.20)
1
Z = 1 − Z1g + g 2 Z 2 3
1 − Z2 + O(g ) (3.21)
1
Z2 = 1 − 2Z1g + g 2 3Z 2 3
1 − 2Z2 + O(g ) (3.22)
lo que implica que
〈φiφj〉c = 〈φiφj〉0 − 〈φi〉0〈φj〉0
[ − Z1〈φiφj〉0 + 〈φiφj〉1 + 2Z1〈φi〉0〈φj〉0 − 〈φi〉0〈φj〉1 − 〈φi〉1〈φj〉0]g +
2 2
[〈φiφj〉2 + 〈φiφj〉0 Z1 − Z2 − 〈φiφj〉1Z1 − 〈φi〉0〈φj〉0 3Z1 − 2Z2 +
2Z1 (〈φi〉0〈φj〉1 + 〈φi〉1〈φj〉0) − 〈φi〉0〈φj〉2 − 〈φi〉1〈φj〉1 − 〈φi〉2〈φj〉0]g 2
– 28 –

Es un ejercicio divertido comprobar que esto es consistente, al menos para los
’ordenes m’as bajos. La demostraci’on general es un poco engorrosa, y est’a
hecha con cuidado en el libro de Sterman.
3.2 La integral de Berezin para un número finito de grados de libertad
El l’imite cásico de los fermiones obliga a considerar c-números que anticonmutan
(lo que los matemáticos llaman álgebras de Grassmann). En el caso de dimensión
finita existe un c¡onjunto de N generadores, que satisfacen.
Todos los elementos son idempotentes
Un elemento arbitrario del álgebra se escribe
(donde los coeficientes c (n)
i1...iN
χ =
{ψi, ψj} = 0 (3.23)
n

La única medida de integración que es invariante traslacional es la de Berezin:
dψ (a + bψ) ≡ b (3.30)
Efectivamente,
dψ (a + b (ψ − ψ0)) =
dψ (a + bψ) ≡ b (3.31)
Es frecuente utilizar variables anticonmutantes independientes ψi y ¯ ψi (que NO est’an
relacionadas mediante conjugaci’0n compleja)
d ¯ ψdψe − ¯ ψλψ =
d ¯ ψdψ(1 − ¯ ψλψ) = λ (3.32)
Veamos otro ejemplo con detalle quiz’as exagerado:
d ¯ ψ1dψ1d ¯ ψ2dψ2e −( ¯ ψ1ψ1M11+ ¯ ψ1ψ2M12+ ¯ ψ2ψ1M21+ ¯ ψ2ψ2M22) =
d ¯ ψ1dψ1d ¯
ψ2dψ2 M11M22 ¯ ψ1ψ1 ¯ ψ2ψ2 + M12M21 ¯ ψ1ψ2 ¯
ψ2ψ1 =
M11M22 − M12M21 = det M (3.33)
Esto nos lleva a definir la integral gaussiana multidimensional como simplemente el
determinante:
d ¯ ψdψe − ¯ ψiM ij ψj = det M (3.34)
Gracias a que la medida de Berezin es invariante traslacional, podemos escribir:
Z0(η, ¯η) ≡ d ¯ ψdψe − ¯ ψiK ijψj−¯ηiψi− ¯ ψlηl ¯ηlK
= det Ke −1
lm ηm (3.35)
La interacción fermiónica más usual es del tipo:
V ≡ g ¯ ψiNijψj
(3.36)
donde f’isicamente Nij representa una matriz con ’indices en distintos espacios (spin,
color, sabor, etc) proporcional a los campos gauge o a los campos (pseudo)escalares,
como el Higgs.
Las funciones de Green que nos interesan son del tipo:
< T ψl ¯
ψm >≡ d ¯ ψdψe − ¯ ψiK ijψj−gψiN il ¯ ψl
ψl ¯ ψm
(3.37)
Representando por S ≡ K −1 , el resultado es:
< T ψp ¯ ψq >≡ Spq + g(SpqNijSji − SjqSpiNij)
+ g2
2 (SpqSlkNijSjiNkl − SpkSlqNijSjiNkl + SpkSjqSliNijNkl − SlkSjqSpiNijNkl
+SlqSjkSpiNijNkl − SjkSliNijNklSpq) (3.38)
– 30 –

4. El límite de infinitos grados de libertad
Consideraremos la Teoría Cuántica de Campos como el límite de un sistema con un
número finito de grados de libertad. Todo sucede como si las coordenadas fuesen otro
índice (continuo). La aplicación directa de las fórmulas de las secciones anteriores
conduce a
4.1 Las reglas de Feynman
Para un campo escalar con autointeracción el lagrangiano reza:
L = 1
2 (∂µΦ∂ µ Φ − m 2 Φ 2 ) − g
3! Φ3 − λ
4! Φ4
(4.1)
Hagamos un poco de análisis dimensional olvidándonos por el momento de las unidades
naturales. El término de masa ha de entenderse realmente como el inverso (del
cuadrado) de la longitud de onda Compton lc asociada a la part’icula que corre-
sponde al campo en cuestión, a saber, m2c2 2 . Análogamente, en vez de la constante
de acoplo adimensional λ habría que leer λ.
Si hacemos un redefinición
la acción se reescribe
S =
Φ ≡ 1/2 ˜ Φ (4.2)
d 4
1
x
2 (∂µ ˜ Φ∂ µ Φ˜ 1
−
l2 ˜Φ
c
2 ) − g1/2
3! ˜ Φ 3 − λ
4! ˜ Φ 4
(4.3)
Then this quartic coupling is dimensionless, [λ] = 0, and the cubic coupling has got
dimensions of an inverse distance: [g 1/2 ] = L −1 .
Al mismo tiempo, las condiciones de contorno de para el propagador (frecuencias
positivas propagadas hacia el futuro, y frecuencias negativas propagadas hacia el
pasado) son equivalentes a trabajar en el espacio euclí deo,
de tal forma que
iS = −SE = −
x 0 ≡ −ix4
d 4 xE
Al hacer transformada de Fourier, escogeremos
(∂µφ) 2 E + m 2 φ 2
(4.4)
(4.5)
p0 = ip4. (4.6)
Dicho esto, nosotros vamos a deducir las reglas de Feynman en el espacio de
Minkowski. Las integrales que habra que calcular en ciertos casos las haremos a
menudo en el espacio eucl’ideo. Otros autores, como por ejemplo Pierre Ramond
prefieren trabajar en el espacio eucl’ideo desde el principio.
– 31 –

La analogía con el caso discreto, funciona de la siguiente manera: en vez de
índices discretos, i, j, k . . ., habrá coordenadas cuadridimensionales, x, y, z . . .. Así
por ejemplo
ij
−φiMijφj → −
d 4 xd 4 yφ(x)M(x, y)φ(y) (4.7)
Esto nos lleva a la identificación (teniendo en cuenta que lo que se integra en el
exponente de la integral de camino es iSclas.
Asimismo,
M(x, y) = i
2 (✷ + m2 )δ 4 (x − y) (4.8)
−
i
Jiφi → i
d 4 xJ(x)φ(x) (4.9)
El correspondiente propagador bosónico ∆ ≡ 1
2 M −1 vendr’a definido por:
d 4 zM(x, z)∆(z, y) = 2δ 4 (x − y) (4.10)
Esta ecuación se resuelve fácilmente en el espacio de momentos,
∆(x − y) ≡
ya que se reduce a
d4p i 2 2
e−ip.(x−y) −p + m
(2π) 4 2
∆(p) =
d 4 p
(2π) 4 e−ip.(x−y) ∆(p) (4.11)
d4p e−ip.(x−y)
(2π) 4
(4.12)
lo que conduce inmediatamente a (el límite cuando ɛ → 0 + ; este límite lo sobreentenderemos
casi siempre en lo sucesivo) de:
∆(p) =
i
p 2 − m 2 + iɛ
(4.13)
Este propagador es simétrico frente al cambio p → −p, lo que es lo mismo en el
espacio de posiciones, frente al intercambio entre los puntos x e y.
Este propagador resulta ser proporcional a la transformada de Fourier de la
función a dos puntos ordenada temporalmente:
(3.14)
∆xy ≡ ∆(x − y) = 〈0|T φ(x)φ(y)|0〉 (4.14)
〈T φxφy〉 = ∆xy + λ
4! [3∆2zz∆xy + 12∆zz∆zx∆zy]
+ 1
2 λ
(9∆
2 4!
2 zz∆ 2 ww + 72∆zz∆ 2 zw∆ww + 24∆ 4 zw)∆ij
+2∆wx∆wy(18∆ 2 zz∆ww + 72∆zz∆ 2 zw) + 2∆zx∆zy(18∆ 2 ww∆zz + 72∆ww∆ 2 zw)
+(∆zx∆wy + ∆zy∆wx)(96∆ 3 zw + 144∆zz∆zw∆ww)
– 32 –
(4.15)

Para representar esta expresión en el espacio de momentos, necesitaremos la
expresión formal para el volumen de la región espaciotemporal bajo consideración,
Vx ≡ d 4 x (4.16)
y usaremos la notación
De esta forma,
p
≡
d 4 p
(2π) 4
(4.17)
G(p) = ∆(p) + λ
2
3Vx ∆(q) ∆(p) + 12 ∆(q)∆(−p)∆(p)
4!
q
q
+ 1
2
λ
9V
2 4!
2
2 2 2
x ∆(q) ∆(q1) + 72Vx ∆(q) ∆(q1)∆(−q1)+
q
q1
q
q1
24Vx ∆(p1)∆(p2)∆(p3)∆(−p1 − p2 − p3) ∆(p) +
p1p2p3
3
4∆(p)∆(−p) 18
∆(q)
q
2
+ 72 ∆(q)
q
∆(q1)∆(−q1) + 24
q1
∆(q1)∆q2∆(−q1 − q2)
q1q2
+36∆(−p) ∆(q)
(4.18)
q
Un simple vistazo nos indica que hay términos que contienen el volumen Vx que
es de hecho divergente. Veámoslos con cuidado. Comparando con la expresión en
el espacio de posici’on, es fácil darse cuenta de que los diagramas proporcionales
al volumen, so precisamente los disconexos, y que la potencia del volumen coincide
justamente con el número de burbujas de vacío que contenga el diagrama.
La consideración cuidadosa de este ejemplo conduce a las reglas de Feynman en
el espacio de momentos.
Hay de hecho un subsector del modelo standard GSW que contiene un campo
complejo (equivalente a dos reales), (pseudo)escalar (es decir, que cambia de signo
bajo paridad) con una interacci’on cu’artica. Esta interacci’on no es exactamente
como la de este ejemplo, si no que corresponde a un potencial
V (φ) = λ 2 2
|φ| − v
4!
2 (4.19)
Este campo es el llamado campo de Higgs, que se cree es el responsable de las masas
de los fermiones merced a los acoplos de Yukawa. Este es el único campo del modelo
standard que todavía no se ha descubierto, y el acelerador LHC en el CERN se ha
construído con el objetico principal de encontrar la partícula correspondiente.
– 33 –

Las reglas de Feynman consisten en
-2.-Definir que el propagador ∆(x − y) comienza en el punto y y acaba en el punto x.
-1. Definir la matriz de incidencia ησi, que es igual a +1 si la línea i termina en el vértice σ,
e igual a −1 si la línea i comienza en el vértice σ
1. Identificar diagramas conexos distinguibles.
2. Asociar un factor asociado a los vértices cúbico, cuártico o de QED:
−ig(2π) 4δ4 ( kjIja)
iλ(2π) 4δ4 ( kjIja)
−iq(γ µ )dc(2π) 4δ4 ( kjIja)
donde c indica flecha entrante, y d flecha saliente; µ corresponde al fotón.
3. Asociar (2π) 4δ4 (pE − kjIjE) a los vértices externos.
4. Asociar d 4 p
(2π) 4
i
p2−m2 a cada línea interna bosónica.
5. Asociar el propagador d 4 p
(2π) 4
i
p/−m
(con la flecha yendo desde a hacia b, y el momento en la dirección de la flecha)
a las líneas internas fermiónicas.
6. Asociar d4p (2π) 4
i
p2
−ηµν + (1 − 1 pµpν
) α p2
+iɛ
al fotón que conecta los vértices µ y ν.
7. Escribir el factor de simetría del diagrama.
8. Signo negativo relativo entre diagramas que difieran
por el intercambio de líneas externas fermiónicas.
9. Factor -1 para cada lazo fermiónico.
Veamos ahora una teoría que describe un subsector más contrastado del modelo
standard, a saber, las interacciones electromagnéticas de los quarks y los leptones.
El lagrangiano de la electrodinámica (teoría gauge abeliana) será:
L = − 1 µν
FµνF
4
La acci’on correspondiente se puede escribir integrando por partes como
Es decir que
S =
d 4 x − 1
2 Aµ (−✷ηµν + ∂µ∂ν) A ν
ab
(4.20)
(4.21)
Mµν(x, y) = (−✷ηµν + ∂µ∂ν) δ 4 (x − y) (4.22)
Es un hecho de la vida que el operador M es singular, debido precisamente a la
invariancia gauge:
d 4 yMµν(x, y)∂ ν ɛ(y) = 0 (4.23)
– 34 –

la soluci’on a ese problema es conocida. Tenemos que restringirnos a configuraciones
que satisfagan una cierta condici’on de gauge, que nosotros escogeremos
∂αA α = 0 (4.24)
Para imponer esa condici’on, vamos a utilizar un truco. Añadimos al lagrangiano un
t’ermino extra:
Lgf = 1
(4.25)
2α (∂αA α ) 2
En el l’imite α → ∞ est’a claro que s’olo las configuraciones que satisfagan la
condici’on gauge tendr’an acci’on finita y no estar’an suprimidas en la integral funcional.
El nuevo operador M ser’a:
Mµν(x, y) = −✷ηµν + 1 − 1
∂µ∂ν δ
α
4 (x − y) (4.26)
Existen buenas razones para pensar que la integral funcional ha de ser independiente
de α. Por ello Feynman insiste en escoger
α = 1 (4.27)
que llamaremos, por abuso del lenguaje, gauge de Feynman.
El propagador fotónico en este gauge de Feynman es, pues,
∆µν = ηµν
p 2 + iɛ
que es de nuevo proporcional a la transformada de Fourier de
(4.28)
〈0|T Aµ(x)Aν(y)|0〉 (4.29)
El acoplo de los fermiones de Dirac con el campo electromagnético es:
Y el propagador fermiónico:
S(x − y) ≡
in momentum space
Y es un hecho de la vida el que:
L = ¯ ψ(γ µ (i∂µ − qAµ) − m)ψ (4.30)
d 4 p
(2π)
4 e−ip(x−y)
1
1
Sab =
γ µ
pµ − m + iɛ
p/ − m + iɛ
ab
(4.31)
(4.32)
iSab(x − y) = 〈0|T ψa(x) ¯ ψb(y)|0〉 (4.33)
– 35 –

Si recurrimos a la intuición, e imaginamos que S(x − y) representa la amplitud de
propagación de algo desde el punto y hasta el punto x, entonces, recordando que
la estructura de Fock del campo de Dirac es ψ ∼ (b, d + ), lo que se propaga es un
electrón (o la destrucción de un positrón) es, decir, esencialmente carga negativa. La
flecha (que ha de entenderse como que va en la direcci’on desde ¯ ψ hasta ψ) indica
entonces el sentido de propagación de la carga negativa, y no tiene nada que ver con
la propagación del cuadrimomento.
Es decir, que representaremos S(x − y) como una línea continua con una flecha
que va desde el punto y hacia el punto x. El propagador fermiónico no es simétrico;
cambiar el sentido de la flecha es lo mismo que pasar de p a −p.
El vértice de interacción entre un fotón y dos fermiones (el único existente en
electrodinámica cuántica) es
iqγ µ
ab
Figure 3: El vértice de QED
(4.34)
Por otra parte, el acoplo de Yukawa entre un escalar o pesudoescalar y los
– 36 –

fermiones reza:
y el correspondiente vértice en los diagramas de será:
gy ¯ ψφψ (4.35)
igy
(4.36)
Estos acoplos son los responsables de las masas de los fermiones en el modelo standard
GWS.
En un momento veremos que los elementos de matriz S (que están relacionados
de forma directa con los observables más sencillos, que son las secciones eficaces) se
obtienen a partir de las funciones de Green donde las líneas externas corresponden
a partículas físicas ,es decir, que sus cuadrimomentos están en su correspondiente
hiperboloide de masas ( on shell en inglés), y las funciones de Green de vacío están
además amputadas esto es, que se han eliminado los propagadores correspondientes a
las patas externas; y además se ha multiplicado por la función de onda de los estados
asintóticos, que en el caso escalar es trivial, pero para fermiones y vectores incluye
la polarización, etc.
– 37 –

4.2 La matriz S
Necesitamos amplitudes de transición entre estados que asint’oticamente poseen un
número de partículas de un cierto tipo (estados in y out). Lo que tendríamos que
hacer es multiplicar por las funciones de onda
y
〈β out|φ ′ t ′ = +∞〉 (4.37)
〈φ t = −∞|α in〉 (4.38)
y luego integrar sobre los argumentos de las funciones de onda, φ+(x) y φ−(x).
〈β out|α in〉 =
〈β out|t ′ = +∞ φ ′ 〉〈t ′ = +∞ φ ′ |φ t = −∞〉〈φ t = −∞〉α in〉
φ+,φ−
〈β out|t
φ+,φ−
′ = +∞ φ ′ φ(x,+∞)=φ+(x)
〉
DφDπe
φ(x,−∞)=φ−(x)
i R (π ˙ φ−H) 〈φ t = −∞〉α in〉
(4.39)
Esto es equivalente a efectuar la integral funcional sobre DφDπ sin condiciones de
contorno. Examinemos ahora la funci’on de onda en el caso de que los estados
asint’oticos coincidan con el estado vac’io. En este caso las amplitudes de transici’on
se suelen llamar funciones de Green o a veces, correladores, y, como veremos en un
momento, su conocimiento es suficiente para conocer todos los elementos de la matriz
S.
Para un campo escalar (otros spines son similares), el vac’io asint’otico est’a
definido por:
Ahora bien
ain/out(p) = limt→∓∞
eiωt (2π) 3/2
aout(p)|0+〉 = 0
ain(p)|0−〉 = 0 (4.40)
d 3 xe −ipx
ω
2 φ(t, x) + i√
12ωπ(t, x)
(4.41)
de donde se deduce que
d 3 xe −ipx
ω(p)φ(x) + δ
〈φ(x) ∓ ∞|0−/+〉 = 0
δφ(x)
(4.42)
Si hacemos un ansatz gaussiano
R 1
− d3xd3yE(x,y)φ(x)φ(y) 〈φ(x) ∓ ∞|0−/+〉 = Ne 2
– 38 –
(4.43)

la ecuaci’on se satisface con
Podemos escribir, entonces,
E(x, y) =
〈0+|φ(∞); +∞〉〈φ(−∞); −∞|0−〉 =
|N| 2 1
−
e 2
d 3 k
(2π) 3 ei k(x−y) ω( k) (4.44)
R d 3 xd 3 yE(x,y)(φ(x,+∞)φ(y,+∞)+φ(x,−∞)φ(y,−∞))
(4.45)
Y utilizando la representación de Weinberg
limɛ→0 +ɛ
∞
dtf(t)e
−∞
−ɛ|t| ∞
= dt (f(t) + f(−t)) e
0
−ɛt =
−limɛ→0 +
∞
dt (f(t) + f(−t))
0
d
dt e−ɛt =
∞
− dt
0
d −ɛt
(f(t) + f(−t)) e
dt
∞
−ɛt d
+ e (f(t) + f(−t)) =
0 dt
2f(0) + f(+∞) + f(−∞) − 2f(0) = f(+∞) + f(−∞) (4.46)
Todo esto nos lleva a
〈0+|φ(∞); +∞〉〈φ(−∞); −∞|0−〉 =
|N| 2 1
−
e 2 ɛ R d3xd3y R ∞
−∞ dtE(x,y)φ(x,t)φ(y,t)e−ɛ|t|
(4.47)
No es dif’icil comprobar que el ’unico efecto del t’ermino de vac’io es en añadir el
iɛ al propagador (cosa que tambi’en se puede recobrar definiendo la integral funcional
en el espacio eucl’ideo).
– 39 –

4.3 La matriz S en términos de correladores de vacío.
Veamos, finalmente, que las amplitudes de transición entre estados |in〉 y |out〉 arbitrarios
pueden recuperarse a partir de las correspondientes amplitudes entre el estado
vacío, que llamaremos genéricamente funciones de Green.
Consideremos una amplitud de transici’on en tiempo imaginario, es decir tf =
−iτf y ti = iτi, con τ ∈ R
Ergo
limτi+τf →∞〈qf tf|qi ti〉 = ψ0(q)e −iE0t
∼
ψn(qf)ψ ∗ n(qi)e −En(τi+τf ) →
n
ψ0(qf)ψ ∗ (qi)e −E0(τf +τi)
e iE0(tf −ti)
(4.48)
limτi+τf →∞
ψ0(qf)ψ ∗ 0(qi) 〈qf tf|T q(t1) . . . |q(tn)qi ti〉 =
〈0|T q(t1) . . . q(tn)|0〉 (4.49)
Es decir, que si tomamos el origen de energías en el estado fundamental
E0 = 0 (4.50)
lo cual es siempre en principio posible, los elementos de matriz S son simplemente
las funciones de Green multiplicadas por las funciones de onda de los estados inicial
y final.
– 40 –

5. Renormalización de teorías de campos escalares en autointeracción.
Al calcular diagramas a un lazo (en los que hay que efectuar una integración sobre
todos los valores del momento que no están fijados por las deltas en los vértices)
aparecen expresiones divergentes.
El entendimiento que tenemos actualmente de la teoría exige tratar cuidadosamente
estas divergencias y absorberlas en un número finito de parámetros, cuyo valor
numérico se fija de acuerdo con el experimento. Aunque esto implica una cierta
pérdida de poder predictivo, existen efectos experimentalmente accesibles ligados a
la renormalización.
Antes de manipular expresiones divergentes, hau que regularizarlas. Una manera
sencilla de regularizar integrales es eliminando las frecuencias más altas que un cierto
corte (cutoff en inglés). Por ejemplo
4 4 d k d k
→ θ(Λ − |k|) (5.1)
k2 k2 regulariza la integral euclídea, a costa de hacerla depender del corte Λ. Por argumentos
puramente de análisis dimensional, la integral es proporcional a Λ 2 , y decimos
que corresponde a una divergencia cuadrática.
Aunque este tipo de regularización es muy sencilla e intuitiva, tiene la desventaja
de que no respeta la posible simetría gauge que pueda tener la teoría. Por ello vamos
a trabajar desde el principio desde otro punto de vista.
5.1 Regularización dimensional
La idea es utilizar continuación analítica en la propia dimensión del espacio-tiempo;
es decir, que calculamos las integrales en una dimensión suficientemente baja, en las
que son convergentes, y luego extendemos el resultado como función analítica de la
variable compleja n. El resultado es suave, excepto por la presencia de polos para
ciertos valores enteros de n, en particular para n = 4. Por este procedimiento se
regula simultáneamente IR y UV, lo cual a veces es una ventaja, aunque también a
veces es un inconveniente.
Wilson ha demostrado en 1973 que la integral
I(f) ≡ d n pf(p) (5.2)
está definida de manera única por:
• Linealidad
I(af + bg) = aI(f) + bI(g) (5.3)
– 41 –

• Escaleo Definamos (Dλf)(p) ≡ f(λp).
I(Dλf) = λ −n I(f) (5.4)
• Invariancia traslacional. Definimos (Tqf)(p) ≡ f(p + q)
I(Tqf) = I(f) (5.5)
Recordemos algunos hechos sobre la función Gamma de Euler.
definir mediante la integral
∞
La podemos
Γ(z) ≡ dt e −t t z−1
(5.6)
La integral está bien definida para
0
Re z > 0 (5.7)
Efectivamente, en el extremo superior nunca hay problema. Cuando t → 0, |e −t t z−1 | ∼
t z−1 , de donde se deduce que es sumable siempre que Re z − 1 > −1.
En particular,
Es un hecho que
∞
Γ(z + 1) =
de modo que
0
Γ(1) = −e −t | ∞
0
dt e −t t z =
∞
0
= 1 (5.8)
dt zt z−1 e −t − d(e −t t z )
(5.9)
Γ(z + 1) = zΓ(z) (5.10)
Lo cual demuestra que para valores enteros del argumento,
Ahora bien, si
la expresión
Γ(n) = (n − 1)! (5.11)
z = −1, −2, . . . (5.12)
Γ(z + n)
(z + n − 1)(z + n − 2) . . . (z + 1)z
(5.13)
está bien definida siempre que n sea un entero positivo lo suficientemente grande.
Adem’as su valor es independiente de n, dado que,
Γ(z + n + p)
(z + n + p − 1)(z + n + p − 2) . . . (z + 1)z =
– 42 –
Γ(z + n)(z + n + p − 1) . . . (z + n)
(z + n + p − 1)(z + n + p − 2) . . . (z + 1)z
(5.14)

Podemos entonces definir para cualquier z (independientemente de su parte real)
mediante
Γ(z + n + p)
Γ(z) ≡
(z + n + p − 1)(z + n + p − 2) . . . (z + 1)z
(5.15)
Naturalmente es ésta la única extensión analítica posible que coincide con la definición
anterior en el dominio en el que ésta era válida.
Usando coordenadas polares en el espacio de momentos,
d n p = |p| n−1 d|p|dΩn−1
(5.16)
donde dΩn−1 es el elemento de volumen invariante sobre la esfera S n−1 .
Para funciones invariantes bajo rotaciones, es interesante conocer el el volumen
de dicha esfera, que es
V (S n−1 ) =
2π n
2
(5.17)
Γ n
2
Recordemos la representación integral de la función beta de Euler:
B(z, w) = Γ(z)Γ(w)
Γ(z + w) =
∞
x
dx
z−1
(1 + x) z+w
Calculemos la integral euclídea (ko = ik4 y x0 = −ix4)
d n p
p
2a
(p2 + m2 n
2π 2
=
) b Γ
n d|p||p| n−1
E
2
|p| 2a
(|p| 2 + m2 =
) b
π n/2 n+2a−2b Γ(a + n/2)Γ(b − a − n/2)
m
Γ(n/2)Γ(b)
0
(5.18)
(5.19)
lo cual implica, en particular el resultado curioso
d n pp a = 0 (5.20)
Es decir, que las divergencias lineales, cuadráticas, etc, se regularizan a cero. Sólo
las divergencias logarítmicas se regularizan a polos en la dimensión física, is est,
1
n − 4
(5.21)
Otras integrales, cuyo valor se puede encontrar fácilmente utilizando la representaci’on
de tiempo propio de Schwinger
∞
dττ a−1 e −τ(k2 +m2 )
(5.22)
( en la que [τ] = −2) son:
d n p
E
1
(k2 + m2 1
=
) a Γ(a)
1
(p 2 + 2p.k + C) a = πn/2 (−k 2 + C)
0
– 43 –
n/2−a Γ(a − n/2)
Γ(a)
(5.23)

son:
y
E
d n p
pµ
(p2 + 2p.k + C) a = −kµπ n/2 (−k 2 + C)
Γ(a) (−k2 +C) n/2−a
n/2−a Γ(a − n/2)
Γ(a)
(5.24)
d
E
n pµpν
p
(p2 πn/2
= Γ(a − n/2)kµkν + Γ(a − 1 − n/2)
+ 2p.k + C) a −k2 + C
2
(5.25)
Cuando evaluamos esta función analítica de la variable compleja n cerca de la
posición física, n = 4 + ɛ
Γ(
4 − n
) = Γ(−ɛ/2) = −
2
2
+ O(1) (5.26)
ɛ
(usando Γ(1 + z) = zΓ(z)).
Las dimensiones canónicas cambian, y pasan a depender de n:
n − 2
[φ] =
2
[g] = 3 − n
2
= 1 + 4 − n
2
[λ] = 4 − n (5.27)
Una manera de tener esto en cuenta es trabajar todo el tiempo con una g tal que
[g] = 1 (como en dimensión 4) y donde aparecía g, escribir gµ 4−n
2 donde µ es una
masa arbitraria, cuyo único objeto en la vida es hacer que casen las dimensiones.
De la misma manera, escribiremos λµ 4−n en vez de λ.
5.2 Renormalización de la masa en φ 3 4
Nuestro punto de partida es:
L = 1
2
(∂µφ) 2 − m 2 φ 2 − 1 4−n
gµ 2 φ
6 3
(5.28)
Recordemos que llamábamos diagramas irreducibles a una partícula (1PI) a aquellos
que no se pueden separar en dos subdiagramas disjuntos cortando una única
línea. Estos diagramas son suficientes para generar todos los demás mediante series
geométricas, por lo que restringiremos nuestra atención a este tipo de diagramas.
Por convenio, la función 1PI se define como
Γ2 ≡ p 2 − m 2 − iγ2
Γn≥3 ≡ −iγn≥3
(5.29)
donde γn(x1 . . . xn) denota la suma de los diagramas 1PI con n líneas externas
truncadas.
– 44 –
δµν

Podemos escribir
2 1
γ2 = ig
2
Figure 4: La función a dos puntos.
Introduciendo parámetros de Feynman
n d k
(2π) n
1
k2 − m2 1
+ iɛ (p − k) 2 − m2 + iɛ
1
AB =
1
0
1
dx
(xA + (1 − x)B) 2
(5.30)
(5.31)
(cuya validez es evidente haciendo el cambio de variable z = B + (A − B)x 1 ) para
agrupar los denominadores,
Γ2 = p 2 − m 2 + g 2 4−n 1
µ
p 2 − m 2 + g 2
4−n 1
µ
2
2
d n k
1
(2π) n
(2π) n
1
0
1
0
1
dx
(k2 − 2xp.k + xp2 − m2 2 =
+ iɛ)
4−n
n/2 Γ( 2 dx iπ )
Γ(2)
x 2 p 2 + m 2 − xp 2 − iɛ n−4
2
La idea de la renormalización consiste en distinguir entre los parámetros (e incluso
los campos) que aparecen en el lagrangiano clásico, que son inobservables, y las
cantidades observables, como los elementos de matriz S, o por extensión, las funciones
de Green. Si desarrollamos en torno a n = 4,
Γ u 2(p 2 , m 2 , ɛ) = p 2 − m 2 + g2 1
2 (4π) 2
2
4 − n − γE + log 4πµ2
−
m2
1 − 4m2
1 −
log
p2 4m2
p2 ⎞
+ 1
⎠ + O(4 − n) (5.33)
1 − 4m2
p 2 − 1
Escribimos el lagrangiano renormalizado
LR(mR, gµ 4−n
2 , cm) ≡ 1
2
Las reglas de Feynman tienen dos cambios:
(∂µφ) 2 − m 2 Rφ 2 − 1 4−n
gµ 2 φ
6 3 − 1
2 δm2φ 2
1 Como ejercicio, pueden intentar demostrar una generalización:
1
ABC
1
1
= 2 dxdydzδ(x + y + z − 1)
(xA + yB + zC) 3
0
– 45 –
(5.34)
(5.32)

• La masa m se cambia en la masa mR.
• Hay un nuevo vértice con dos líneas externas:
Es evidente que con la elección
−i(2π) 4 δ 4 (p − p ′ )δm 2
Figure 5: El vértice del contratérmino.
δm 2 = g2
2
2
− cm
4 − n
(5.35)
(5.36)
(ya veremos que se trata de una renormalización aditiva) la función de Green es
finita al orden considerado.
Γ R 2 (p 2 , m 2 R, g, µ, cmɛ) = p 2 − m 2 R + g2 1
2 (4π) 2
cm − γE + log 4πµ2
m2 −
R
1 − 4m2
1 −
R
log
p2 4m2 R
p2 ⎞
+ 1
⎠ + O(4 − n, g
− 1
4 ) (5.37)
1 − 4m2 R
p 2
El lagrangiano renormalizado es igual al lagrangiano desnudo Lo que se
quiere decir con esa frase un tanto críptica, es que podemos escribir
siempre que
LR = 1
2
(∂µφ) 2 − m 2 0φ 2 − 1 3
g0φ
6
m 2 0 = m 2 R + δm 2
Obsérvese que [g] = 1, pero [g0] = 4−n.
Es decir, que
2
(5.38)
g0 = gµ 4−n
2 (5.39)
LR(mR, gµ 4−n
2 , cm) = L(m0, g0) (5.40)
Una vez especificado µ y cm, los dos parámetros físicos g y mR definen teorías
físicamente diferentes. La nasa renormalizada la podemos fijer a partir de la nasa
física (el polo a una partícula en la función a dos puntos). Este es un ejempo de
esquema de renormalización físico, o de substracción de momentos, ya que mR se
define explícitamente en tanto que cm se define implícitamente.
– 46 –

Existe otra posibilidad, que es la de definir cm explícitamente, y mR implícitamente.
A esara prescrición se la denota como esquemas con substracción mínima (generalizados).
Formalmente, el esquema de substracción de momentos está definido por:
Γ R 2 (−M 2 , m 2 R, µ 2 , cm) = −M 2 − m 2 R
(5.41)
esto es, que cuando p2 = −M 2 (que es un punto espacial arbitrario), Γ2toma el
mismo valor que tomaría para una partícula libre de masa mR (es decir, que todas
las correcciones se anulan en el punto p2 = −M 2 .
Esto determina
cm = γE − 2 − log 4πµ2
m 2 R
+
1 + 4m2 R
M
2 log
1 − 4m2 R
p2 − 1
1 + 4m2 R
M 2 + 1
1 + 4m2 R
M 2 − 1
(5.42)
Todo esto implica
Γ R 2 = p 2 −m 2 R+ g2 1
2 (4π) 2
⎛
⎝− 1 − 4m2 R
p2
1 −
log
4m2 R
p2
+ 1
+ 1 + 4m2
1 +
R
log
M 2 4m2 R
De manera un poco más formal,
y la condición es:
En cambio en ¯
MS, donde definimos
Γ R 2 = p 2 − m 2 R + g2
2
M 2
+ 1
1 + 4m2 R
M 2 − 1
(5.43)
Γ R 2 ≡ p 2 − m 2 R − Σ(p 2 , m 2 R, µ 2 , g) (5.44)
m 2 fis − m 2 R − Σ(m 2 fis, m 2 R, µ 2 , g) = 0 (5.45)
cm = γE − log(4π) (5.46)
1
(4π) 2
⎛
⎝2 + log µ2
m2 R
− 1 − 4m2 R
p2
1 −
log
4m2 R
p2 ⎞
+ 1
⎠
− 1
(5.47)
El diagrama de la figura toma el valor
1 − 4m2 R
p 2
iτ(mR, gR, µ.ɛ) = − 1 4−n
igµ 2 (4π)
2 −n/2 Γ(1 − n/2)m n/2−1
R
Este diagrama se puede anular con un contratérmino
(5.48)
Lt ≡ −τφ(x) (5.49)
La ausencia de tadpoles es equivalente a las ecuaciones clásicas de movimiento.
– 47 –
⎞
⎠

5.3 Contaje de potencias
Figure 6: El renacuajo.
Consideremos ahora un lagrangiano arbitrario, con una serie de vértices, rotulados
por Vi, con N f vipatas fermiónicas y N b vi patas fermiónicas. Toda línea interna junta
dos vértices, mientras que las líneas externas sólo se acoplan a un vértice. El número
total de líneas fermiónicas será:
f
N (5.50)
i Vi = N f f
E + 2NI Y el de líneas bosónicas: N b i Vi = N b E + 2N b I (5.51)
Es decir que
y
N f
I =
N f
i Vi − N f
E
2
N b i Vi − N b E
(5.52)
N b I =
2
(5.53)
El número de lazos (loops) es el número de integrales no saturadas por deltas de
Dirac:
L = N b I + N f
I − (V − 1) (5.54)
Definiremos el grado superficial de divergencia de un diagrama en dimensión D como
la dimension ingenua :
ω = LD − 2N b I − N f
I = D( N b I + N f
I − (V − 1)) − 2N b I − N f
b NviVi − N b f
E
NviVi − N f
E
(D − 2)
i
Vi
2
D − 2
2 N b i +
+ (D − 1)
D − 1 f
Ni − D
2
2
+ D −
I =
− D( Vi − 1) =
D − 2
2 N b E −
D − 1 f
NE 2
(5.55)
Dada una teoría, lo que caracteriza al diagrama son las líneas externas:
La condición de que el grado superficial de divergencia no aumente con el número
de vértices es muy restrictiva:
D ≥
D − 2
2 N b i +
– 48 –
D − 1 f
Ni 2
(5.56)

Veamos el análisis en diferentes dimensiones del espacio tiempo:
N f
• d=2 2 ≥ . Vértices bosónicos arbitrarios, pero fermiónicos sólo a cuatro
2
fermiones. Representaremos esta situación mediante (N b , 4).
• d=4 4 ≥ N b + 3
2 N f . Esto permite (3,0), (4,0) y (1,2).
• d=6 6 ≥ 2N b + 5
2 N f - Esto permite (3,0).
En D = 4, la teoría φ 3 4 tiene
ω = 4 − V − E (5.57)
Sólo divergen los diagramas que ya hemos considerado: E = V = 1 (el tadpole, con
ω = 2), y la autoenergía, con E = V = 2, con ω = 0. Se dice que esta teoría es
superrenormalizable, porque sólo hay un número finito de diagramas divergentes.
En φ4 4, ω = 4 − NE. Existe un número infinito de diagramas divergentes, pero
se pueden hacer finitos orden a orden en teoría de perturbaciones usando un número
finito de contratérminos. Cada uno de estos contratérminos está definido mediante
un desarrollo en serie de la constante de acoplo.
En φ3 6, ω = 6 − 2NE.
En QED, o en una teoría gauge arbitraria, ω = 4 − Nγ − 3
2Nf Todas las teorías en las que ω crece con V necesitan u número infinito de contratérminos
para cancelar divergencias. Se dice que estas teorías son no renormalizables.
5.4 φ 3 6 a un lazo.
Escribimos
Lclas(mR, gRµ 6−n
2 ) ≡ 1
(∂µφR)
2
2 − m 2 Rφ 2 R
1 6−n
− gRµ 2 φ
6 3 R (5.58)
donde [gR] = 0 y ya veremos por qué hay que renormalizar el campo.
Vamos a renormalizar:
LR(mR, gRµ 6−n
2 , ci) = Lclas(mR, gRµ 6−n
2 )+Lcont = Lclas(m0, g0) ≡ 1
(∂µφ0)
2
2 − m 2 0φ 2 1
0 −
6 g0φ 3 0
(5.59)
El primer diagrama ya lo hemos calculado. Simplemente, ahora lo desarrollamos
en torno a n = 6.
γ U 2 (p 2 m 2 R, ɛ) = g2 R
2 µ6−n (4π) −n/2 Γ(2 − n/2) dx
0
m 2 R − x(1 − x)p 2 − iɛ n/2−2 =
− g2 R 1
2 (4π) 3
2
4πµ2
+ 1 + log
6 − n m2
− γE m
R
2 R − p2
−
6
m 2 1
R dx 1 − x(1 − x)
0
p2
m2
log 1 − x(1 − x)
R
p2
m2
(5.60)
R
– 49 –
1

Figure 7: Diagramas divergentes a un lazo.
El residuo del polo es proporcional a
m 2 R − p2
6
(5.61)
El primer término se puede cancelar con una renormalización de la masa, pero el
segundo necesita de un contratérmino proporcional a (∂µφ) 2 :
L ′ (mR, gRµ ɛ ) = 1
(∂µφR)
2
2 − m 2 Rφ 2 1
R −
6 gRµ ɛ φ 3 R+ 1
2 (∂µφR) 2 (Z (1)
φ −1)−1
2 m2Rφ 2 R(ZφZm−1) (1)
(5.62)
A las diferentes Z se las llama constantes de renormalización. Es claro que
Por consistencia, tendremos,
[Zφ − 1] (1) = g 2 1
R
(4π) 3
− 1
2
+ cφ,1
12 6 − n
[ZφZm − 1] (1) = [Zφ − 1] (1) + [Zm − 1] (1) = g 2 1
R
(4π) 3
δm 2 = m 2 R(ZφZm − 1) (5.63)
− 1
2
+ cφ,1 −
12 6 − n 5
2
+ cm,1
12 6 − n
lo cual conduce a
γ R 2 = − 1
2 g2 1
R
(4π) 3
2 p
6 cφ, 1 − m 2
5
R
6 cm,1 + 1
6 cφ,1
+
m 2 R − p2
1 + log
6
4πµ2
m2
− γE − m
R
2 1
R dx 1 − x(1 − x)
0
p2
m2
log 1 − x(1 − x)
R
p2
m2
R
Definimos las renormalización del campo y de la masa mediante renormalización
multiplicativa (a diferencia de lo que ocurría en φ 3 4):
Podemos entonces escribir:
φ0 = Z 1/2
φ φR
Lclas(m0, g0) = 1
(∂µφR)
2
2 − m 2 Rφ 2 1
R −
6 g0φ 3 R
m0 = Z 1/2
m mR (5.64)
– 50 –
Z (1)
φ
3/2
+ 1
2 (∂µφR) 2 [Z (1)
φ −1]−1
2 m2Rφ 2 R[Z (1)
(5.65)
φ Z(1)
m −1]

Sólo nos falta renormalizar la constante de acoplo (no vamos ni a hablar del
tadpole, que se trata de manera análoga a la de φ3 4). El triángulo vendrá dado por:
γ u 3 (p1, p2, p3) = −i (−igR) 3 µ 3
2 (6−n)
(2π) n
d n i
k
k2 − m2 R + iɛ
i
(p1 + k) 2 − m2 i
R + iɛ (p2 + k) 2 − m2 (5.66)
R + iɛ
Figure 8: Las flechas indican la direccion del momento.
Introduciendo parámetros de Feynman:
γ u 3 = − g3 6−n
R µ 2 (4πµ 2 ) 6−n
2
(4π) 3
1
6 − n
Γ
dxdy
2
con
y desarrollando,
0
θ(1 − x − y)
[M 2 (pi, x, y, mR) − iɛ] 6−n
2
M 2 (pi, x, y, mR) ≡ m 2 R + 2xyp1.p2 − x(1 − x)p 2 1 − y(1 − y)p 2 2
γ u 3 =
2
1
El contratérmino será:
con
Y si hacemos el rescaleo
0
g 2 R
2
1
(4π) 3
2
−gRµ 6−n
2
6 − n − γE + log 4πµ2
m2 −
R
dxdyθ(1 − x − y)log M 2 − iɛ
m2
R
δg (1)
R =
Lc = −δg (1) 1
R
6 φ3R −gRµ 6−n
2
g 2 R
2
1
(4π) 3
2
6 − n
(5.67)
(5.68)
(5.69)
(5.70)
g0 = ZggRµ 6−n
2 (5.71)
– 51 –

entonces
con
δg (1)
R
6−n
= gRµ 2
Z (1)
φ
3/2 Z (1)
g − 1
Z (1)
g = − g2 R
(4π) 3
3 2
+ cg,1
8 6 − n
Recapitulando, la teoría de perturbaciones definida por
(5.72)
(5.73)
Lclas(m0, g0) = 1
(∂µφR)
2
2 − m 2 Rφ 2 1 6−n
R − gRµ 2 φ
6 3 R − 1 6−n
gRµ 2 φ
6 3 R[Z (1)
g Z (1)
3/2 φ − 1]
+ 1
2 (∂µφR) 2 [Z (1) 1
φ − 1] −
2 m2Rφ 2 R[Z (1)
φ Z(1) m − 1] (5.74)
es finita a un lazo, cuando n → 6. Para extender la finitud a más órdenes, hay
que desarrollar
n
= 1 + zi,kg 2k
(5.75)
Z (n)
i
También en esta teoría es posible utilizar un esquema de renormalización tipo substracción
de momentos. Por ejemplo,
k=1
Γ2(p 2 )
p2 =−M 2 = −M 2 − m 2 R
= 1
∂Γ(p 2 )
∂p 2
p 2 =−M 2
Γ3(p1, p2, p3)| symm = −gR
donde el punto simétrico está definido por:
(5.76)
pi.pj = −M 2 (δij − 1/3) (5.77)
Esto determina complivadas expresiones para cm,1, cφ,1, cg.
El resultado en MS es:
γ2(p 2 , m 2 R, gR, µ) = p 2 − m 2 R − g2 R 1
2 (4π) 3
m 2 R − p2
−
6
1
dx m 2 R − x(1 − x)p 2 log (m2R − x(1 − x)p2 )
µ 2
0
(5.78)
Para terminar, sólo falta determinar la masa y el acoplo renormalizados en
términos de cantidades observables.
La función 1PI a dos puntos se ha de anular para la masa física, ergo
– 52 –

γ2(p 2 = m 2 P , m 2 R, gR, µ) = 0 = m 2 P − m 2 R − g2 R 1
2 (4π) 3
1
dx m 2 R − x(1 − x)m 2 (m
P log 2 R − x(1 − x)m2P )
µ 2
0
m 2 R − m2 P
6
−
(5.79)
Podemos además fijar un elemento de matriz S reducido (quitando la unidad y
las deltas) (calculado al orden al que estemos trabajando en teoría de perturbaciones
con estas dos ecuaciones se determina
5.5 El grupo de renormalización
g 2 RS (2) (pi, gR, mR, µ) = SP
gR = gR(SP , mP , µ)
(5.80)
mR = mR(SP , mP , µ) (5.81)
Claramente, dada una cantidad física (observable)
µ d
dµ S(pi,
g0, m0)
= 0 = µ
g0,m0
d
dµ S(pi,
gR, mR)
µ ∂
+ β(gR, mR)
∂µ
∂
∂
− γmmR
∂gR
∂mR
gR,mR
gR,mR
g0,m0
=
gR,mR
S(pi, gR, mR)(5.82)
La última de las igualdades se denomina ecuación del grupo de renormalización,
donde hemos denotado
β(gR, mR) ≡= µ ∂
∂µ gR(µ)
= g0µ
g0,m0
∂
∂µ (µɛZg) −1
g0,m0
γm(gR, mR) ≡ − 1
2m2 µ
R
∂
∂µ m2
R(µ) = m20 2m2 µ
R
∂
∂µ Z−1
m (5.83)
g0,m0
g0,m0
Veamos una manera práctica de determinar estas funciones en MS.
0 = µ ∂
∂µ g0 = µ ∂
∂µ (gRZgµ ɛ ) = µ ∂
∞ an(gR)
gR +
∂µ
ɛn
µ ɛ
La ecuación es
ɛµ ɛ
gR +
n=1
an
ɛ n
Por consistencia, es necesario suponer que
y el resultado es
+
1 +
n=1
n=1
(5.84)
a ′
ɛn
βµ ɛ = 0 (5.85)
β = β0 + β1ɛ (5.86)
d
β = − 1 − gR
dgR
– 53 –
a1
(5.87)

• EJERCICIO
Verificar que en φ 3 6
en tanto que en φ 3 4
La ecuación
β = − 1
(4π) 3
3
4 g3
β = 1
3g3
(4π) 2
β(g) ≡ bg 3
se puede integrar sin dificultad; el resultado es
g 2 (µ) =
¯g 2
1 − 2 b ¯g log µ
¯µ
donde escogemos la condición inicial de forma que
Hay dos casos esencialmente distintos:
• b ≥ 0. En este caso, cuando
(5.88)
(5.89)
(5.90)
(5.91)
|¯g| ≤ 1 (5.92)
µ
¯µ
= e 1
2 b ¯g 2 (5.93)
la constante de acoplo diverge (polo de Landau). Como µ
¯µ
es una energía muy
grande, la constante de acoplo decrece conforme nos acercamos al infrarrojo.
Se dice qua la teoría es libre en el infrarrojo. Las teorías gauge abelianas
pertenecen a esta clase.
• b ≤ 0. El polo de Landau ocurre ahora en el IR:
µ
¯µ
= e− 1
2 |b| ¯g 2 (5.94)
y la constante de acoplo decrece conforme nos acercamos al UV. La teoría es
asintóticamente libre. Los únicos ejemplos conocidos en cuatro dimensiones
son las teorías gauge no abelianas.
– 54 –

6. Estructura de la teoría gauge abeliana (QED) a un lazo.
El lagrangiano de partida se escribe:
L = − 1
4 Fµν(A0) 2 − 1
Las reglas de Feynman son:
2α0
(∂µA µ
0) 2 + ¯ ψ0 (i∂/ + e0A/ 0 − m0) ψ0
• Línea fermiónica con flecha (y momento) yendo de a a b.
• L’inea fotónica
d 4 k
(2π) 4
i
k2
+ iɛ
• vértice (donde entra c y sale d)
• Signos - para lazos fermiónicos, etc.
d4k (2π) 4
i
k/ − m ba
−ηµν + (1 − 1 kµkν
)
α k2 + iɛ
ba
(6.1)
(6.2)
(6.3)
−ieγ µ
dc (2π)4 δ n ( p) (6.4)
Y la relación entre las cantidades desnudas y las cantidades renormalizadas es
A µ
0 = Z 1/2
3 A µ
ψ0 = Z 1/2
2 ψ
e0 = Z1Z −1
2 Z −1/2
3 µ 4−n
2 e
α0 = Z3α (6.5)
el lagrangiano renormalizado se escribe con contratérminos:
L = − 1
4 F 2 µν − 1
2α (∂µA µ ) 2 + ¯
ψ i∂/ + eµ 4−n
2 A/ − m ψ −
(Z3 − 1) 1
4 F 2 µν + (Z2 − 1) ¯ ψi∂/ψ − (Z1 − 1) ¯ ψeµ 4−n
2 A/ψ − (Z2m0 − m) ¯ ψψ (6.6)
La invariancia gauge, por medio de las identidades de Ward, que estudiaremos
en su momento, implica que Z1 = Z2, es decir, que la renormalización de la carga es
la misma que la de la funci’on de onda del electr’on.
– 55 –

6.1 Regularización dimensional
Al usar regularización dimensional, las matrices de Dirac satisfacen:
También escogeremos
lo cual es consistente, e implica
{γµ, γν} = 2gµν = −2δµν
γµγ µ = n
tr γµγν = 4gµν
γµp/γ µ = (2 − n)p/
(6.7)
tr 1 = 4 (6.8)
γµp/q/γ µ = (n − 4)p/q/ + 4p.q
Las dimensiones canónicas cambian:
6.2 Autoenergía del electrón
Calculemos el diagrama 1PI:
γµp/q/k/γ µ = −(n − 4)p/q/k/ − 2k/q/p/p/ (6.9)
n d k
Σ(p) = i
(2π) n
−ieµ ɛ/2 γν
−ig µν
k 2 + iɛ
Introduciendo par’ametros de Feynman
Σ = −ie 2 µ ɛ
α
4π
4πµ 2
p 2
1
AB =
1
0
n − 2
[Aµ] =
2
n − 1
[ψ] =
2
4 − n
[e0] =
2
ɛ/2 i(p/ − k/ + m)
−ieµ γµ
1
dx
(xA + (1 − x)B) 2
(p − k) 2 − m 2 + iɛ
(6.10)
(6.11)
(6.12)
1 n d k
dx
0 (2π) n
(2 − n)(p/ − k/) + nm
k2 − 2xk.p + x(p2 − m2 ) + iɛ =
ɛ/2
Γ(ɛ/2) dx ((2 − n)(1 − x)p/ + nm) −x(1 − x) + xm 2 /p 2 − iɛ −ɛ/2 (6.13)
– 56 –

Y aislando el polo:
Σ = − α
2
2π 4 − n + log 4πµ2 /p 2
p/ − 4m p/ − 2m
− γE −
2 2 +
dx (p/(1 − x) − 2m) log −x(1 − x) + xm 2 /p 2 − iɛ
La parte divergente se puede cancelar con un contrat’ermino
Z2 − 1 = α
2
+ C2
4π 4 − n
La renormalizaci’on de la masa es multiplicativa, con
6.3 Polarización del vacío
La 1PI viene dada por:
−iΠαβ = i
Zm − 1 = − 3α
4π
2
+ Cm
4 − n
n d k
(2π) n tr −ieµ ɛ/2
ɛ/2
γα (k/ + m) −ieµ γβ (−q/ + k/ + m)
i
k2 − m2 i
+ iɛ (q − k) 2 − m2 + iɛ = ie2 µ ɛ/2
1
(k2 − 2xk.q + xq2 − m2 + iɛ) 2
n d k
Nαβ(p.k)
(2π) n
donde el traceo conduce a
2 2
Nαβ = 8kαkβ − 4 (kαqβ + qβkα) + 4gαβ k.q − k + m
y finalmente
−iΠαβ = − q 2 2α 2
gαβ − qαqβ 4πµ
π
ɛ/2 Γ(ɛ/2)
x(1 − x)
dx
(m2 − x(1 − x)q2 = ɛ/2
− iɛ)
− q 2 gαβ − qαqβ
2α
π
2
4 − n
(6.14)
(6.15)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
+ finito (6.19)
La renormalización de la función de onda del fot’on es, pues,
Z3 − 1 = − α
2
+ C3
3π 4 − n
(6.20)
Si sumamos la serie geom’etrica de las contribuciones de la polarizaci’on al propagador
del fot’on Gµν
Gµν = Dµν + DµαΠαβDβν + DµαΠαβDβγΠγδDδν + . . . = Dµα (δαβ + Παβ) Gβν (6.21)
– 57 –

Es un hecho que
lo cual implica que
o lo que es lo mismo
es decir,
DΠG = G − D (6.22)
(1 − DΠ) G = D (6.23)
G −1 = D −1 (1 − DΠ) = i k 2 gµν + k 2 2
ηµν − kµkν π(k )
iGµν =
1
k4 (1 + π(k2 2
k gµν + π(k
))
2
)kµkν
Es importante destacar que la única solución de la ecuación
sigue siendo
es decir que la masa del fotón no se renormaliza.
En el l’imite estático
(6.24)
(6.25)
k 2 1 + π(k 2 ) = 0 (6.26)
k 2 = 0 (6.27)
k0 = 0 (6.28)
el efecto de la polarizaci’on del vacío ( y la razón de su nombre) es simplemente la
substitución de la carga del electrón, e 2 por la cantidad
e 2
1 + π(− k 2 )
(6.29)
Esto es exactamente lo que ocurre en los materiales dieléctricos. La carga efectiva
viene definida en función de la constante diel’ectrica ɛ( k) mediante
e 2
ɛ( k)
En el marco de la teoría de perturbaciones,
e2 1 + π(−k 2
e2
∼ 1 +
) k 2
α 2 k
15π m2
(6.30)
(6.31)
En el espacio de posición esta interacción corresponde al llamado potencial de
Uehling
V = e2 αe2
+
4πr 15πm2 δ(3) (x) (6.32)
– 58 –

6.4 El vértice renormalizado
La función vértice es:
n d k
Γµ = −i
ɛ/2
−ieµ γβ
(2π) n
1
(p + k) 2 − m2 1
+ iɛ (q + k) 2 − m2 1
+ iɛ k2 βα
−ig
+ iɛ
ɛ/2 ɛ/2
i (q/ + k/ + m) −ieµ γµ i (p/ + k/ + m) −ieµ γα (6.33)
Trabajando un poco la expresi’on, con la ayuda de la identidad
se llega a
1
ABC
= 2
Γ ∞ µ = −4ie 3
1
1
0
1
dxdydzδ(x + y + z − 1)
(xA + yB + zC) 3
1−x
(6.34)
0
dx
0
dy dkk (2π) n
k/γµk/
(k2 + 2k.(xp + yq) + xp2 + yq2 − (x + y)m2 α 2
3 = −eγµ
+ iɛ) 4π 4 − n (6.35)
El contratérmino ser’a entonces
Z1 − 1 = − α
4π
Tal y como hab’iamos anunciado,
Z1 = Z2
2
+ C1
4 − n
(6.36)
(6.37)
6.5 Renormalización física versus renormalización independiente de la
masa
MS es un ejemplo de esquema independiente de la masa. Tradicionalmente QED se
renormalizaba con un esquema físico:
• La masa física del electrón es igual a m.
• El residuo del propagador fermi’onico es la unidad
• El residuo del propagador fot’onico es la unidad
• La carga del electr’on es e.
Σ(p/ = m) = 0 (6.38)
d
dp/ Σ(p/)p/=m = 0 (6.39)
Π(q 2 = 0) = 0 (6.40)
−ieΓµ(q − p = 0) = −ieγµ
– 59 –
(6.41)

7. Teorías gauge
7.1 Introducción
Consideremos un campo de spin arbitrario φ que se transforma frente a un grupo
simple G 2 según una cierta representación,
siendo la acción del grupo
Un ejemplo sencillo es el lagrangiano de fermiones libres
que es invariante frente a cambios de fase h ∈ G = U(1)
h ∈ G → DR(h) (7.1)
φ → φ ′ ≡ DR(h)φ (7.2)
L = ¯ ψ(i∂/ − m)ψ (7.3)
ψ → D(h)ψ ≡ e iα ψ (7.4)
Normalmente la invariancia no es local; esto es, que no se pueden escoger los parámetros
del grupo de forma independiente en cada punto del espacio-tiempo. La razón es que
las derivadas que aparecen en la energí a cinética no son invariantes:
Por ejemplo, en el caso del electromagnetismo,
(∂µφ) ′ = ∂µD(h)φ + D(h)∂µφ (7.5)
(∂µψ) ′ = e iα (i∂µα + ∂µ)ψ (7.6)
La existencia de un campo gauge garantiza la conexi’on entre las derivadas entre
diferentes puntos. Para ello definimos una derivada covariante, ∇µ ≡ ∂µ + Wµ y
postulamos que la derivada covariante se transforma como el campo sin derivar, esto
es:
(∇µφ) ′ = D(h)∇µφ (7.7)
Esto determina la transformación del campo gauge:
W ′ µ ≡ W (g)
µ = DhWµD −1
−1
h − ∂µDhDh (7.8)
El campo gauge es un elemento del álgebra del grupo G, y como tal se puede escribir
en términos de una base matricial del álgebra en una cierta representación R, T a ,
a = 1 . . . dG como
Wµ ≡ W a µ T a
(7.9)
2 En rigor el grupo puede ser semisimple, que es localmente equivalente a un producto de grupos
simples y factores abelianos U(1)
– 60 –

Las constantes de estructura (que son puramente imaginarias si los generadores son
hermí ticos) se denotan por
(7.10)
[Ta, Tb] = c c abTc
(siempre podremos escoger una base tal que las constantes de estructura son totalmente
antisimétricas) y los elementos del grupo se obtienen por exponenciación:
h = e iωa Ta (7.11)
con los parámetros reales, ω a ∈ R. En el caso de que G = SU(N), es claro que los
generadores son autoadjuntos, Ta = T + a . Es frecuente entre los matemáticos definir
generadores antihermí ticos; se tiene entonces h = e ωa Ta .
Para una transformación próxima a la identidad
la transformación gauge es
h ∼ 1 + iω a Ta
δW a µ = −ic a bcW b µω c − i∂µω a
El tensor campo ( la curvatura de la conexi’on) se define mediante
(7.12)
(7.13)
Fµν ≡ ∂µWν − ∂νWµ + [Wµ, Wν] (7.14)
Es fácil comprobar que frente a una transformación gauge
En una base,
F ′ µν = DhFµνD −1
h
F a µν = ∂µW a ν − ∂νW a µ + c a bcW b µW c ν
Al estudiar fluctuaciones en torno a un campo de fondo,
Wµ = Āµ + Aµ
las transformaciones (7.13) se pueden generar a partir de:
δA a µ = −ic a bcA b µω c − i∂µω a
δ Āa µ = −ic a bc Āb µω c
Como los parámetros gauge se transforman en la adjunta, con generadores
podemos escribir
(T a )bc ≡ cbac
∇µω a = ∂µω a + cacbA c µω b
– 61 –
(7.15)
(7.16)
(7.17)
(7.18)
(7.19)
(7.20)

de forma que la transformación gauge infinitesimal (7.13) reza:
δW a µ = −i∇µω a
(7.21)
Por otra parte, el tensor campo está relacionado con el conmutador de dos derivadas
covariantes: por ejemplo, actuando sobre la adjunta,
[∇µ, ∇ν]abω b = cabcF b µνω c
(7.22)
Finalmente, resumiremos aquí los convenios utilizados para describir el álgebra de
Lie (una referencia particularmente útil es el libro [13]).
Un famoso teorema matemático asegura que en un grupo simple compacto todas
las definiciones de métrica en el álgebra (que forman la base de su extensión a la
variedad que define el propio grupo) son proporcionales a una dada, que se suele
llamar métrica de Killing. Nosotros escogeremos nuestra métrica como la la unidad
en el espacio del grupo (es decir, que la dimensión es la del álgebra de Lie, dada por
el número de generadores independientes)
gab ≡ δab
(7.23)
Este signo es, en todo caso positivo para todo grupo compacto (no sólo para SU(N)
) con el convenio de que los generadores son hermí ticos.
En esas condiciones, el í ndice de Dynkin de una representación, R, viene dado
por:
trRTaTb ≡ IRδab
(7.24)
El segundo operador de Casimir, que es proporcional a la unidad en cualquier representación
irreducible R de dimensión dR, es:
Tomando trazas, se tiene
C2(R) ≡ δ ab TaTb
C2(R)dR = IRdG
(7.25)
(7.26)
de forma que para la representación adjunta, en la que dR = dG, el operador de
Casimir coincide con el í ndice de Dynkin:
C2(G) ≡ Iad
(7.27)
Por ejemplo, para G = SU(2), con Ta(F ) ≡ σa
2 , entonces IF = 1/2, C2(F ) = 3/2 y
C2(G) = 2.
– 62 –

7.2 La acción de Yang-Mills
La transformación (7.15) indica claramente que una acción invariante gauge viene
dada por:
SY M ≡ − 1
tr
4IRg2 d 4 φFµν(W )F µν (W ) (7.28)
de forma que
SY M = − 1
tr
4g2 d 4 φδ ab Faµν(W )F µν
b (W ) (7.29)
7.3 La eliminación de la libertad gauge y los fantasmas.
Uno de los problemas al sumar sobre todos los campos gauge es que la suma es
redundante, ya que el campo W y el transformado gauge W g representan el mismo
estado fí sico. Es bien conocido de la electrodinámica cásica que una manera de elegir
un representante de cada órbita gauge es escoger una condición gauge, transversa a
las órbitas (es decir que en cada órbita exista una y sólo una configuración que
satisfaga la condición gauge) 3 . Si embargo no está claro a priori cómo implementar
esta técnica en la integral funcional. Este problema fue brillantemente resuelto por
Faddeev y Popov, que demostraron el siguiente teorema: al integrar un funcional
invariante gauge, f(W ) = f(W g ), se tiene
DW f(W ) = dg DW det| δF
D
δWµ
µ |δ(F )f(A) (7.30)
La demostración formal es sencilla: partimos de la definición de M(W ) a partir de:
M(W ) dgδ(F (W g )) = 1 (7.31)
La integración sobre un grupo compacto (medida invariante) está definida por una
cierta función de los parámetros, h(ω), en la forma: dg ≡ h(ω) dωa.
Ahora bien, a primer orden en el parámetro gauge
Esto quiere decir que
Por consiguiente,
F (W g ) = F (W ) + δF
δ(F ) =
δWµ
D µ ω + o(ω 2 ) (7.32)
1
det| δF
δWµ Dµ δ(ω − ¯ω) (7.33)
|
M(W ) = det| δF
δWµ
D µ |ω=¯ω
(7.34)
3 Genéricamente no es posible garantizar la unicidad de dicha transformación; en esto consiste el
llamado problema de Gribov. La transformación que se obtiene perturbativamente, sin embargo, sí
que es única, lo cual es suficiente para muchas aplicaciones.
– 63 –

Como es desagradable trabajar con determinantes, se introducen unos campos gaussianos
fermiónicos ad hoc, con el único objeto de representar el determinante. Estos
campos c a y ¯c a viven en la adjunta, de modo que
det| δF
D
δWµ
µ | =
DcD¯ce −i R d 4 x¯c a ( δF
δWµ Dµ )abc b
(7.35)
Para casi todas las aplicaciones se revela ’util el considerar estos campos en pie
de igualdad con los dem’as; excepto, naturalmente, que no pueden aparecer en las
l’ineas externas de las funciones de Green.
Finalmente, la condici’on gauge se generaliza a
de forma que en la integral funcional aparezca el t’ermino
F (W ) = a(x) (7.36)
∇(F − a) (7.37)
Como el resultado ha de ser independiente de la cantidad a, podemos integrar sobre
a con un factor
i
−
e 4α tr R a(x) 2dx (7.38)
lo que se traduce en una modificaci’on en la acci’on
Sgf = −i
d
4α
4 xF 2 a
(7.39)
Demostremos ahora en general que la integral
I ≡ DW f(W )B(F (W ))M(W ) (7.40)
es independiente del gauge fixing. Efectivamente, debido a la invariancia de la funcion
f(A),podemos escribir:
I = DW f(W )B(F (W Ω ))M(W Ω ) (7.41)
Multiplicamos ahora ambos miembros por una constante
C ≡ DΩρ(Ω) (7.42)
de forma que
DΩρ(Ω)I =
DW
DΩρ(Ω)f(W )B(F (W Ω ))M(W Ω ) (7.43)
Ahora bien, a la hora de calcular M(W Ω ) hay que pasar por ∇F (W Ωω )
; pero
∇ω
debido a la propiedad de grupo, se puede escribir W Ωω = W Θ(Ω,ω) , de forma que
– 64 –

∇F (W Ωω )
∇ω
= dz ∇F (W Θ ) ∇Θ(z)
∇Θ(z) ∇ω |ω=¯ω. Este es el momento de efectuar una elecci’on
astuta de funci’on peso, a saber, ρ = 1
IC =
DW
det ∇Θ
∇ω
DΩf(W )B(F (W Ω )) det ∇F
δΩ =
Recapitulemos ahora en el gauge
El lagrangiano completo es:
Fa ≡ ∂µW µ a
, con lo que resulta
DW f(W )
DF B(F ) = C ′
(7.44)
(7.45)
L = − 1
4 (∂µW a ν − ∂νW a ν + gfabcW b µW c ν ) 2 − 1
4α (∂µW µ a ) 2 + b a
∂µ ∂µ + fabcW b c
µ c (7.46)
las reglas de Feynman de la teor’ia:
• El propagador del glu’on se deduce de la parte cuadr’atica del lagrangiano:
Lcuad = 1
2 W a µ
✷η µν − (1 − 1
2α )∂µ ∂ ν
En el espacio de momentos reza:
ηµν
−i∇ab
k2 1
− (1 −
+ iɛ 2α )
kµkν
(k2 + iɛ) 2
• El propagador del fantasma es dimplemente diagonal:
i∇ab
k 2 + iɛ
• El v’ertice a tres gluones proviene del t’ermino trilineal:
L3 = − g
2 fabc∂µW a ν W µ
b W ν c
Este v’ertice lo tenemos que escribir como
W a ν
(7.47)
(7.48)
(7.49)
(7.50)
1 abc
V
3!
µνρ(p, q, k)W µ a W ν b W ρ c = f abc Vµνρ(p, q, k)W µ a W ν b W ρ c (7.51)
Antisimetrizando en los ’indices de color:
L3 = − g
2 fabc
1
∂µW
6
a ν W µ
Expl’icitamente:
b W ν c + ∂µW c ν W µ a W ν b + ∂µW b ν W µ c W ν a −
∂µW a ν W µ c W ν b − ∂µW c ν W µ
b W ν a − ∂µW b ν W µ a W ν c
(7.52)
(−i)(−i)gfabc (ηµν(q − p)ρ + ηνρ(k − q)µ + ηρµ(p − k)ν) (7.53)
– 65 –
DW f(W )

• El v’ertice a cuatro gluones proviene del acoplo cu’artico:
L4 = g 2 fabcW b µW c ν fauvW µ u W ν v
(7.54)
Este v’ertice es el m’as complicado. Hay que simetrizar completamente en
todas las parejas de ’indices (µa),(νb),(ρc) y (σd) hasta dejarlo en la forma
El resultado es:
1 µνρσ
V abcd
4! W a µ W b ν W c ρW c σ (7.55)
−ig 2 (feabfecd(ηµρηνσ − ηµσηνρ)+
fecafedb(ηµνηρσ − ηµσηρν) + feadfecb(ηµρησν − ηµνηρσ)) (7.56)
• El v’ertice glu’on fantasma fantasma es consecuencia de la derivada covariante:
esto es:
Lgff = b a ∂ µ fabdW b µc d
gfabcpµ
(7.57)
(7.58)
• Y, finalmente, el v’ertice de interacci’on glu’on fermi’on fermi’on es tambi’en
debido ’integramente a la derivada covariante
8. Diagramas a un lazo
Partiremos de
Lint = ¯ ψAiW a µ γ µ (T a )ABψB
Leff ≡ ¯
ψR (i∂/ − gRµ ɛ W/ R .TF − mR) ψR − 1
gRfabc∂µW µ
R c ) cb R
8.1 Autoenergía del fermión
Denotaremos por ɛ ≡ 4−n,
y 2
donde,
Σ (a)
2 = i
d n k
(2π) n
−igµ ɛ γµT b F
ig(γ) µ
αβ T a AB
4 F 2 µν(WR, gRµ ɛ ) − 1
(7.59)
(7.60)
2 λR(∂WR) 2 − ¯c a R (∂µ∂ µ δac−
Γ2 ≡ p/ − m − Σ (8.2)
i(p/ − k/ + m
(p − k) 2 − m2 ɛ
−igµ γνT
+ iɛ
F b
– 66 –
−iη µν
k 2 + iɛ
(8.3)
(8.1)

Manipulaciones standard conducen a:
1
Σ (a)
2 = −iC2(F )g 2 µ 2ɛ
dx
0
dnk (2π) n
(2 − n)(p/ − k/) + nm
(k2 − 2xk − p + x(p2 − m2 2 =
) + iɛ)
− α
4π C2(F
2 4πµ
)
p2 ɛ 1
Γ(ɛ) dx ((2 − n)(1 − x)p/ + nm) −x(1 − x) + x
0
m2
−ɛ − 1ɛ =
p2 − α
4π C2(F
2 4πµ2 p/
) + log − γE − 2m −
4 − n p2 2 p/
+ m+
2
1
dx (p/(1 − x) − 2m) log(−x(1 − x) + xm 2 /p 2
− iɛ)
con
y
0
donde
Estas divergencias se pueden cancelar con dos contrat’erminos:
¯ψRi∂/ψR
1
Zψ − 1
8.2 Polarización del vacío
−iΠ 2b
n d k
αβ,ab ≡ i
Z 1 ψ = 1 − α
4π C2(F
2
)
4 − n + c1
ψ
−mR ¯ 1
ψRψR ZψZ 1 m − 1
Z 1 m = 1 − 3α
4π C2(F
2
)
4 − n + c1
m
ɛ F ɛ F 2
−igµ Ta γα (k/ + m) −igµ Tb γβ (−q/ + k/ + m) i
(8.4)
(8.5)
(8.6)
(8.7)
tr
(2π) n (k2 − m2 + iɛ) ((q − k) 2 − m2 =
+ iɛ)
iδabT (F )g 2 µ 2ɛ
1 n d k
dx
0 (2π) n
8kαkβ − 4 (kαqβ + kβqα) + 4ηαβ (k.q − k2 + m2 )
(k2 − 2xk.q + xq2 − m2 + iɛ) 2 =
− q 2
ηαβ − qαqβ δabT (F ) 2α
π (4πµ2 ) ɛ 1
Γ(ɛ) dxx(1 − x)
0
m 2 − x(1 − x)q 2 − iɛ −ɛ =
− q 2
ηαβ − qαqβ δabT (F ) α 2
(8.8)
3π 4 − n
Para cancelarla, introducimos un contrat’ermino,
− 1
∂αA
4
aR
β − ∂βA aR2
¯Z 1
α A − 1
(8.9)
con
¯Z 1 A = 1 − a 2
T (F ) + finito
3π 4 − n
(8.10)
En QED es ’este el ’unico diagrama de autoenerg’ia del fot’on, de forma que
¯Z 1 A = Z 1 A
– 67 –
(8.11)

y el contrat’ermino es puramente transverso, incluso fuera de la capa de masas
Los rescaleos que hemos hecho implican que tenemos que renormalizar el gauge
fixing,
(8.12)
de forma que
λ0 = ZλλR
λ0(∂.A0) 2 = λR(∂.AR) 2 = λR(∂.AR) 2 + λR(∂.AR) 2 (ZAZλ − 1) (8.13)
que s’olo es posible si
8.3 El vértice fermión-gauge
Zλ = Z −1
A
’Este es el diagrama an’alogo al de QED.
Γ 1 n d k
µ,a = −i
(2π) n
1
(p + k) 2 − m2 1
+ iɛ (p ′ + k) 2 − m2 1
+ iɛ k2 + iɛ
(8.14)
(−iηβα)(−igµ ɛ T F b γβ)i(p ′ / + k/ + m)(−igµ ɛ T F a γµi(p/ + k/ + m)(−igµ ɛ T F b γα)(8.15)
Identificando la parte divergente (el t’ermino cuadr’atico),
Γ 2c,div
µ,a
= −4ig 3 (C2(F ) − N
2 )T F a
1
dx
1−x
(k 2 + 2k(xp + yp ′ ) + xp 2 + y(p ′ ) 2 − (x + y)m 2 + iɛ)
−gγµT F a
α
4π (C2(F ) − N
2 )
2
4 − n
which is to be cancelled by a counterterm
0
n d k
dy (k/γµk/)
(2π) n
3 =
(8.16)
−gRµ ɛ ¯ ψRARµ,aγ µ T F a ψR( ¯ Z 1 1 − 1) (8.17)
donde
¯Z 1 1 = 1 − α
4π (C2(F ) − N
2 )
2
+ finito
4 − n
(8.18)
Esto determina la renormalizaci’on de la carga en QED.
y si escribimos
donde
Z 1 1 = ¯ Z 1 1 = 1 − α
4π
e0 = eRZe
2
+ C1,1
4 − n
(8.19)
(8.20)
Z1 = Z 1/2
A ZψZe (8.21)
– 68 –

de forma que si Cψ,1 = C1,1,
o lo que es equivalente,
Ze = Z 1/2
A
Z1 = Zψ
α 2
= 1 + + CA,1
6π 4 − n
una manifestaci’on m’as de la identidad de Ward.
8.4 El vértice de tres gluones
(8.22)
(8.23)
La contribuci’on de los dos diagramas (distinguibles) que tienen un lazo fermi’onico
es:
n d k
Γµνλ,mnl = ig 3 µ 3ɛ
(2π) n
Utilizando la matriz conjugaci’on de carga,
podemos escribir el numerador como
tr T F n T F mT F
l tr (γν(p/ + k/ + m)γµ(k/ + m)γλ(p ′ / + k/ + m))
((p + k) 2 − m2 + iɛ) ((p ′ + k) 2 − m2 + iɛ) (k2 − m2 + iɛ)
+ tr T F n T F
l T F mtr (γν(−p ′ / − k/ + m)γλ(−k/ + m)γµ(−p/ − k/ + m))
((p + k) 2 − m2 + iɛ) ((p ′ + k) 2 − m2 + iɛ) (k2 − m2 (8.24)
+ iɛ)
γ T µ = −CγµC −1
(8.25)
tr T F n T F mT F
l tr (γν(p/ + k/ + m)γµ(k/ + m)γλ(p ′ / + k/ + m)) +
tr T F n T F
l T F mtr (γν(−p ′ / − k/ + m)γλ(−k/ + m)γµ(−p/ − k/ + m)) =
T F n T F mT F
l tr (γν(p/ + k/ + m)γµ(k/ + m)γλ(p ′ / + k/ + m)) −
tr T F n T F
l T F mtr ((p/ + k/ + m)γµ(k/ + m)γλ(p ′ / + k/ + m)γν) =
tr T F n [T F m, T F
l ]tr ((p/ + k/ + m)γµ(k/ + m)γλ(p ′ / + k/ + m)γν) (8.26)
que evidentemente se anula en QED. Esto es una caso particular del Teorema de
Furry, que afirma que todas las funciones de Green con un n’umero impar de fotones
se anulan.
En otro caso,
Γ div
µνλ,mnl = −fmnlT (F )g 3 2
d n k
1
0
dx
1−x
(2π) n tr (γνk/γµk/γλk/ + γνp/γµk/γλk/ + γνk/γµk/γλp ′ /)
1
k2 + 2k.(xp + yp ′ ) + xp2 + y (p ′ 2
3
) − m2 + iɛ =
igfmln ((p + p ′ )νηµλ + (−2p ′ + p)µηνλ + (p ′ − 2p)ληµν) α
3π
0
– 69 –
dy
2
T (F )
4 − n (8.27)

8.5 El lagrangiano renormalizado en QED
LR(eR, mR, λR) = ¯ ψR (i∂/ − eRµ ɛ A/ R − mR) ψR − 1
4 F R µνF µν
R
− 1
2 λR(∂AR) 2 + ¯ ψRi∂/ψR(Zψ − 1) − ¯ ψReRµ ɛ A/ RψR(Z1 − 1)
−mR ¯ ψRψR(ZψZm − 1) − 1
4 F R µνF µν
R (ZA − 1) (8.28)
Las identidades de Ward aseguran que (excepto por el t’ermino de la condici’on
gauge) el lagrangiano renormalizado tiene la misma simetr’ia gauge que el lagrangiano
desnudo.
8.6 Autoenergía del gluón
Hay tres diagramas. La parte divergente del primero, que corresponde a dos acoplos
a tres gluones, es:
−iΠ 1 αβ,ab = 1
2 ig2 µ 2ɛ n d k
facdfdcb
(2π) n
1
k2 1
+ iɛ (q − k) 2 + iɛ
kαkβ(4n − 6) + qαqβ(n − 6) + (qαkβ + kαqβ)(−2n + 3) + (2k 2 − 2qk + 5q 2 )ηαβ
La parte divergente viene dada por:
−iΠ 1,div α 16
αβ,ab = δabN(
8π 9 q2ηαβ − 11
3 qαqβ)
2
4 − n
(8.29)
Observamos consternados que no es transversa.
El segundo diagrama es al correspondiente al v’ertice a cuatro gluones; una
especie de renacuajo:
−iΠ 2 αβ,ab = δabV 4 αβg 2 µ 2ɛ
d n 1
k
k2 = 0 (8.30)
+ iɛ
(donde V 4 es el tensor correspondiente al v’ertice a cuatro gluones) ya que hemos
visto que en DR las integrales que no tienen una escala se regularizan a cero.
Finalmente, el tercer diagrama corresponde a un lazo de fantasmas:
−iΠ 3 αβ,ab = ig 2 n d k
Nδab
(2π) n
1
k2 1
+ iɛ (q − k) 2 + iɛ
(−kαqβ + kαkβ)
Todo esto nos lleva a
−iΠ 3,div α 1
αβ,ab = Nδab(
8π 3 qαqβ + 1
Y combin’andolo todo, observamos aliviados que:
– 70 –
6 q2 ηαβ)
2
4 − n
(8.31)

−iΠ div
αβ,ab = α 5
δab(
3π
4 N − T (F )nf)(−qαqβ + q 2 2
ηαβ)
4 − n
(8.32)
comprobando que la parte divergente es efectivamente transversa. Esto sugiere
a su vez un contrat’ermino
con
− 1
∂αA
4
R β,a − ∂βA R 2 1
α,a (ZA − 1) (8.33)
Z 1 A = 1 + α
3π (5
2
N − T (F )nf)
4 4 − n
(8.34)
Verificamos que el t’ermino que determina el gauge permanece sin renormalizar
a un lazo:
8.7 El vértice fermión-gluón
Zλ = Z −1
A
(8.35)
La correcci’on noabeliana consiste en un v’ertice trilineal y dos v’ertices Yukawa. La
parte divergente es:
Γ 2,pole
µ,a = −gT F 3α 2
a γµ N (8.36)
8π 4 − n
Tanto la parte abeliana como la no abeliana se cancelan con un contrat’ermino
Z1 = 1 − α
4π (N + C2(F
2
)) + C1,1
(8.37)
4 − n
el lagrangiano renormalizado de QCD se escribe entonces,
LR(g, m, λ) = Lef(g, m, λ) + ¯ ψRi∂/ψ(Zψ − 1) − gµ ɛ ψA/a ¯ T F a ψ(Z1 − 1) −
m ¯ ψψ(ZmZψ − 1) − 1
4 (∂αAβ,a − ∂βAα,a) 2 (ZA − 1) +
+ 1
2 gµɛfabcA α b A β c (∂αAβ,a − ∂βAα,a)(Z ′ 1 − 1)
− 1
4 g2 µ 2ɛ febcfevkA α b A β c Aα,vAβ,k(Z4 − 1)
−¯ca∂ 2 ca(Zc − 1) + gµ ɛ fabc¯ca∂µA µ ′′
b cc(Z 1 − 1)
Por analog’ia con las identidades de Ward, parece que podr’iamos definir un esquema
en el que
Z1 = ZψZ 1/2
A Zg
Z ′ 1 = Z 3/2
A Zg
Z ′′
1 = ZcZ 1/2
A Zg
Z4 = Z 2 AZ 2 g
– 71 –

A su vez, esto requiere que
Z1
Zψ
= Z′ 1
ZA
= Z′′
Zc
=
Z4
que es otra manera de escribir las identidades de Slavnov-Taylor.
Usando los resultados obtenidos se puede encontrar
Zg = Z1
Zψ
Z −1/2
A
α
= 1 −
ZA
1
2
4π (11
2 2
N − T (F )nf)
6 3 4 − n
Hay diferentes maneras de verificar este resultado, que se sugieren como ejercicio.
8.8 El grupo de renormalización
Si introducimos, à la Sterman, ζR ≡ 1
λR y
δ(gR, λR) ≡ µ ∂
∂µ ζR
(8.38)
(8.39)
(8.40)
las 1PI deber’an de obedecer:
µ ∂ ∂
∂
+ β(gR) − γm(gR)mR + δ(gR, λR)
∂µ ∂gR
∂mR
∂
− nAγA − nfγψ − ncγc ΓR,n(gR, mR, ζR) = 0
∂ζR
(8.41)
El n’umero de campos externos gauge son denotados por (nA), fermiones externos
(nf) y fantasmas (nc), y sus correspondientes dimensiones an’omalas por γA,γf,γc;
su definici’on gen’erica es
γ ≡ 1 ∂
µ log Z (8.42)
2 ∂µ
y dependen de la condici’on gauge.
Si usamos la identidad
se tiene que
ZλZA = 1 (8.43)
∂log ZA
δ = −ζRµ
∂µ
Es f’acil de demostrar (ejercicio) que para QED
en tanto que para QCD
(libertad asint’otica).
= −2 γA
λR
(8.44)
βQED = α
e (8.45)
3π
11 4nf α
βQCD = − − T (F ) g (8.46)
3 3 4π
– 72 –

8.9 Identidades de Ward
Las identidades de Ward y sus generalizaciones debidas a Takahashi, Slavnov y Taylor,
son casos particulares que aparecen cuando en el lagrangiano existe una simetr’ia
.
De hecho, supongamos que frente a
φ ′ i(x) = φi(x) + ɛ∇φi(x) = φi(x) + ɛti j φj(x) (8.47)
la acci’on es globalmente invariante, lo cual implica que si efectuamos la transformaci’on
local, la variaci’on ser’a proporcional a la derivada del par’ametro: S[φ ′ ] =
S[φ]+ J µ
Noether (x)∂µɛ. Si postulamos que la medida de integraci’on en la integral de
camino es tambi’en invariante, podemos entonces escribir la cadena de igualdades:
Z = Z ′
= Dφ ′ e iS[φ′ ]+i R J iφ ′ i =
=
Dφe iS[φ]+i R J i φi [1 − i
d 4 xɛ(x)∂µJ µ
N. (x) + i
d 4 xɛ(x)J i t j
i φj] (8.48)
Esto implica (diferenciando funcionalmente con respecto a J(x1) . . . J(xn) y evaluando
el resultado a J = 0), que
〈0|T φi1(x1) . . . φin(xn)
lo cual se puede reescribir como:
d 4 xɛ(x)∂µJ µ
k=n
N. (x)|0〉 =
k=1
〈0|T φi1(x1) . . . φin(xn)∂µJ µ
k=n
N. (x)|0〉 =
ɛ(xk)〈0|T φi1(x1) . . . ∇φik (xk) . . . φin(xn)|0〉
(8.49)
∇(x−xk)〈0|T φi1(x1) . . . ∇φik (xk) . . . φin(xn)|0〉
k=1
(8.50)
Consideremos el caso particularmente importante de la invariancia gauge de QED.
∇ψ = ieψ
La correspondiente corriente de Noether se escribe:
Y la identidad de Ward reza
∇ ¯ ψ = −ie ¯ ψ (8.51)
j µ
N (x) = i ¯ ψ(x)γ µ ψ(x) (8.52)
〈0|T ∂µj µ
N (x)ψ(y) ¯ ψ(z)|0〉 = ∇ (4) (x − y)〈0|T ieψ(y) ¯ ψ(z)|0〉 +
∇ (4) (x − z)〈0|T ψ(y)(−ie) ¯ ψ(z)|0〉 (8.53)
– 73 –

Efectuando la transformada de Fourier sobre las variables x1 = x − z y x2 = y − z y
definiendo el propagador
SF (p) ≡ d 4 xe ipx 〈0|T ψ(x) ¯ ψ(0)|0〉 (8.54)
obtenemos (usando invariancia bajo traslaciones):
p µ
1Gµ(p1, p2) ≡
d 4 x1d 4 x2e i(p1x1+p2x2) 〈0|T ∂µj µ
N (x1)ψ(x2) ¯ ψ(0)|0〉 = iSF (p1+p2)−iSF (p2)
Y si ahora definimos la funci’on amputada
la identidad de Ward se reduce a:
(8.55)
Γµ(p1, p2) ≡ S −1
F (p1 + p2)Gµ(p1, p2)S −1
F (p2) (8.56)
p µ
1Γµ(p1, p2) = iS −1
F (p2) − iS −1
F (p1 + p2) (8.57)
Esta es la forma de la identidad usada en los tratamientos antiguos de electrodin’amica
cu’antica.
Naturalmente tambi’en podemos efectuar la transformaci’on global en la integral
funcional: obtenemos entonces
Z = Z ′
= Dφ ′ e iS[φ′ ]+i R J iφ ′ i =
=
lo cual conduce a
Dφe iS[φ]+i R d 4 xJ i φi [1 + iɛ
d 4 xJ i t j
i φj] (8.58)
d 4 x〈0|T J i (x)Tijφ j (x)|0〉J = 0 (8.59)
Por ejemplo, para un campo escalar complejo
d 4 x〈0|T J1φ2 − J2φ1|0〉 = 0 (8.60)
En este caso, no hay ninguna consecuencia ’util sencilla que se deduzca de estas
ecuaciones.
Para QED la estructura de fuentes es
d 4 x(¯ηψ + ¯ ψη) (8.61)
de forma que se obtiene:
d 4 x〈0|T ¯ηψ − ¯ ψη|0〉η,¯η = 0 (8.62)
– 74 –

De manera un poco m’as precisa, con
Lgf ≡ 1
2α (∂µA µ ) 2
(8.63)
al hacer una transformaci’on gauge en la funci’on de partici’on todo es invariante
menos las fuentes y el gauge fixing. Esto implica sobre la energ’ia libre
− 1
2α ✷∂µ
δ δ δ
+ ¯η − η W [J] + ∂µJ
δJµ(x) δ¯η(x) δη(x)
µ = 0 (8.64)
Y haciendo Legendre
δ
∂µ
δAµ(x)
9. Invariancia BRST
δ
+ ψ
δψ(x) − ¯ ψ δ
δ ¯
Γ[A] + ✷∂µA
ψ(x)
µ = 0 (8.65)
Existe una manera particularmente sencilla de decucir este tipo de identidades que es
debida a Becchi, Rouet y Stora, raz’on por la que se conoce como simetr’ia BRS. Con
frecuencia se añade el nombre de Tyutin, quien las descubri’o independientemente.
Resulta conveniente antes de nada parametrizar las condiciones gauge mediante
la introducci’on de unos campos 4 auxiliares:
a
BaB
2
Efectivamente, las ecuaciones de movimiento dictan que
Lgf ≡ B a ∂µA µ a + α
(9.1)
αBa + ∂µA µ a = 0 (9.2)
de forma que
Lgf = (− 1 α 1
+
α 2 α2 )(∂µA µ a) 2 = − 1
2α (∂µA µ a) 2
(9.3)
(α = 0 corresponde en este lenguaje al llamado gauge de Landau). El lagrangiano
de Faddeev-Popov reza entonces:
Lfp ≡ −∂µba(D µ c) a ≡ b a Mabc b
(9.4)
Los campos c a = (c a ) + y b a = (b a ) + son independientes y herm’iticos. Podemos
entonces extender la simetr’ia BRST a todos los campos:
sA a µ = (Dµc) a
sB a = 0
sc a = − g
2 fabcc b c c
sb a = −B a
(9.5)
4 Cuya funci’on principal es la de garantizar nilpotencia de la transformaci’on BRST sobre todos
los campos. Esto es importante para el an’alisis de la cohomolog’ia BRST que esbozaremos en un
momento. No lo es, sin embargo, para consideraciones de identidades de Ward, en cuyo an’alisis se
puede casi siempre substituir el campo B por la soluci’on de sus ecuaciones de movimiento.
– 75 –

La acci’on gauge es invariante, ya que la transformaci’on BRST del campo gauge
no es m’as que una transformaci’on gauge con par’ametro gauge igual al fantasma.
La variaci’on del t’ermino que rompe la invariancia es
y la variaci’on de los fantasmas es:
sLgf = Ba∂ µ (Dµc) a
(9.6)
sLfp = ∂µB a (D µ c)a + ∂µbas[(D µ c) a ] (9.7)
Por otra parte, la variaci’on BRST de la derivada covariante del fantasma se anula:
s[(Dµc) a ] = s(∂µc a + gfauvA u µc v ) =
− g
2 ∂µ(fauvc u c v ) + gfabc(Dµc) b c c + gfabcA b µ(− g
2 )fcuvc u c v
(9.8)
Los t’erminos en derivadas, convenientemente simetrizados, son iguales a
− g
4 fauv(∂µc u c v − ∂µc v c u + c u ∂µc v − c v ∂µc u )
+ g
2 fabc(∂µc b c c − ∂µc c c b ) = − g
4 fabc
(∂µc b c c − ∂µc c c b + c b ∂µc c − c c ∂µc b − 2∂µc b c c + 2∂µc c c b ) = 0 (9.9)
Y los t’erminos sin derivadas son proporcionales a g 2 veces:
fabcfbuvA u µc v c c − 1
2 fabcfcuvA b µc u c v =
1
2 fabcfbuv(A u µc v c c − A v µc u c c ) − 1
2 fabcfcuvA b µc u c v =
1
fadcfduv − fadcfdvu − faudfdvc =
2 Au µc v c c
1
2 Au µc v c c
= 1
2 Au µc v c c
2fadcfduv − faudfdvc
= 1
2 Au µc v c c
facdfdvu + favdfduc + faudfdcv
fadcfduv − fadvfduc − faudfdvc =
= 0 (9.10)
donde primero hemos antisimetrizado en los indices (u, v); despues hemos antisimetrizado
en los indices (c, v), y finalmente hemos utilizado Jacobi.
Todo esto implica que la variaci’on de los fantasmas se cancela con el termino
que fija el gauge. La acci’on efectiva (que ya no es invariante gauge) s’i que es, sin
embargo, invariante BRST.
Esta invariancia es, adem’as, nilpotente:
s 2 BRST = 0 (9.11)
Lo ’unico que todav’ia no hemos verificado es su actuaci’on sobre los fantasmas:
s 2 c a = − g2
fadcfduvc
4
u c v c c + facdc c fduvc u c v
= 0 (9.12)
– 76 –

los dos t’erminos se cancelan entre s’i debido a la antisimetr’ia de las constantes de
estructura.
Es un hecho que el lagrangiano efectivo es la suma del lagrangiano gauge y de
una variaci’on BRS:
9.1 Identidades de Slavnov-Taylor
Lgf + Lfp = sΨ ≡ −s ¯ca∂µA µ a + α
2 baBa
(9.13)
Las identidades de Ward adecuadas a una teor’ia gauge no abeliana se deducen sin
dificultad introduciendo fuentes (que seguiremos representando gen’ericamente por
J) para operadores compuestos de la forma:
L → L(A, b, c)+
d 4
x J a µA µ a + ¯ ξaca+baξa+χaB a +K aµ (Dµc)a− 1
2 Lafabccbcc
(9.14)
y efectuando una transformaci’on BRST de forma que s’olo contribuyen las
fuentes:
d 4 x〈0|T Jaµ(Dµc)a + ¯ ξ(− 1
2 fabccbcc) − Baξa|0〉J = 0 (9.15)
que se puede reescribir de manera ’as elegante,
d 4 ∇
x[Jaµ
∇Kaµ
+ ¯ ξ ∇
∇La
− ξa
∇
]Z(J) = 0 (9.16)
∇χa
De manera an’aloga a como ocurr’ia con las ecuaciones de Schwinger-Dyson, toda una
jerarqu’ia de identidades llamadas tambi’en gen’ericamente de Ward ( descubiertas
por primera vez para teor’ias gauge por Slavnov y Taylor) para funciones de Green
se puede obtener derivando con respecto a las fuentes.
Otra cadena importante de identidades se obtiene a partir de la ecuaci’on de
movimiento del antifantasma, obtenida haciendo una traslaci’on constante del antifantasma
en la integral, b → b + C, o bien de la condicion de que la integral de una
derivada total se anula:
DADbDc ∇
∇b(x) eiS = 0 (9.17)
〈0|T Mabcb + ξa|0〉J = 0 (9.18)
o lo que es lo mismo, expresada en t’erminos de la funci’on de partici’on,
que se puede reescribir, debido a que
[Mab( ∇
i∇J )cb + ξa]Z(J) = 0 (9.19)
Mabcb = Fabµ(Dc) b
(donde con el gauge de referencia Fa = ∂µA µ a, se tiene que
– 77 –
(9.20)

1
∇
i ∂µ
∇Kaµ
(x) + ξa(x) Z(J) = 0 (9.21)
A su debido tiempo se comprobar’a que estas cadenas de identidades son esenciales
a la hora de demostrar sistem’aticamente la renormalizabilidad de las teor’ias
gauge a todo orden.
El lector interesado har’a bien en consultar las insuperables notas de Zinn-Justin
sobre el tema ([24]). Una exposici’on actualizada de las mismas se puede encontrar
en su libro [?].
9.2 El subespacio físico
Estas transformaciones se pueden considerar como generadas por la carga BRST,
que proviene de la correspondiente corriente
a saber
J BRST
µ = FµρD ρ c + ∂µc(−1/2)fabcc b c c − (Dµc) a (−B a ) (9.22)
QBRST =
donde hemos usado las ecuaciones de movimiento:
d 3 x[Ba(D0c) a − ˙ B a c a + ig
2 fabc ˙ b a c b c c ] (9.23)
(DF ) a = ∂B a − igfabc∂bbcc
∂A + αB = 0
∂(Dc) a = 0
(D∂b) a = 0 (9.24)
La carga Noether asociada a la invariancia de Lfp frente a los rescaleos
se llama carga fantasma
Qfant = i
c a → e λ c a
b a → e −λ b a
(9.25)
d 3 x(b a (D0c) a − ˙ b a c a ) (9.26)
quer en t’erminos de los momentos can’onicamente conjugados digamos πa = i˙ ba y
¯π a = −i(D0c) a ), reza:
Qfant = −
Las relaciones can’onicas de anticonmutaci’on son:
d 3 x(b a ¯πa + πac a ) (9.27)
{π a (t, x), cb(t, y)} = −i∇abδ (3) (x − y) (9.28)
– 78 –

y
con lo que
{¯π a (t, x), bb(t, y)} = −i∇abδ (3) (x − y), (9.29)
[iQfant, c a (x)] = c a (x)
[iQfant, b a (x)] = −b a (x) (9.30)
(n’otese que los autovalores de la carga fantasma son imaginarios, (∈ iZ) a pesar de
que la carga ella misma es herm’itica; cf. [?]). Ello es consecuencia de la asignaci’on
de hermiticidad hecha sobre los fantasmas y los antifantasmas, e implica a su vez:
〈in|im〉 = 〈in| Qfant
|im〉 = 〈in|Qfant |im〉 ∼ ∇n+m (9.31)
im −in
(donde la ’ultima igualdad es simplemente una elecci’on de la normalizaci’on), lo cual
conlleva que los autoestados son vectores nulos:
〈in|in〉 = 0 (9.32)
Y a su vez conduce al hecho de que el producto escalar en el espacio de Fock completo
no sea semidefinido positivo; si definimos |λ〉 ≡ |in〉 + λ| − in〉, entonces
que no tiene un signo definido.
Las reglas de conmutaci’on con la carga BRS son:
〈λ|λ〉 = 2Re λ (9.33)
{QBRS, QBRS} = 0
[iQfant, QBRS] = QBRS
(9.34)
Efectivamente, comencemos por notar que la carga BRST es ella misma exacta:
(sencillo). Esto a su vez quiere decir que
QBRST = −isQfant
(9.35)
2Q 2 BRST = {QBRST , QBRST } = sQBRST = s(−isQfant) = 0 (9.36)
Definiremos ahora el subespacio f’isico como aquel que es aniquilado por la carga
BRS. Esta condici’on, debida a Kugo y Ojima, es una generalizaci’on de la condici’on
de Gupta-Bleuler en las antiguas formulaciones de la electrodin’amica cu’antica.
El vac’io es f’isico por hip’otesis:
Hfis ≡ {|Φ〉, QBRS|Φ〉 = 0} (9.37)
QBRS|0〉 = 0 (9.38)
– 79 –

Se puede argumentar que, de hecho, esta condici’on es necesaria para garantizar
independencia de la teor’ia respecto de la condici’on gauge, o, lo que es lo mismo, de
la cantidad Ψ.
∇〈u|v〉 = 〈u|∇S|v〉 = 〈u|s∇Ψ|v〉 ≡ 〈u|[QBRS, ∇Ψ]|v〉 (9.39)
y para que este elemento de matriz se anule para variaciones arbitrarias es efectivamente
necesatio que los estados sean aniquilados por la carga BRS:
QBRS|u〉 = QBRS|v〉 = 0 (9.40)
Veamos en qu’e se traduce esta condici’on en el ejemplo familiar de QED, donde
5 BRS se reduce a
y desarrollando en osciladores
Aµ(x) =
b(x) =
c(x) =
sAµ = ∂c
sb = ∂µA µ
sc = 0 (9.41)
d3p
aµ(p)e
(2π) 32ωp −ipx + a + µ (p)e ipx
d3p
b(p)e
(2π) 32ωp −ipx + b + (p)e ipx
d3p
c(p)e
(2π) 32ωp −ipx + c + (p)e ipx
Dado un estado f’isico arbitrario, es decir, tal que
el estado con un fot’on transverso añadido
es tambi’en f’isico
si
ya que
5 Usamos la forma m’as sencilla, aunque no sea idempotente.
(9.42)
QBRS|χ〉 = 0 (9.43)
|ɛ χ〉 ≡ ɛµa µ+ |χ〉 (9.44)
QBRS|ɛ χ〉 = 0 (9.45)
ɛp = 0 (9.46)
[QBRS, a µ (p)] = −p µ c(p) (9.47)
– 80 –

Por otra parte,
lo cual implica que:
{QBRS, b + (p)} = p µ a + µ (p) (9.48)
QBRSb + |χ〉 = p µ a + µ |χ〉 (9.49)
Esto quiere decir que la polarizaci’on ɛµ es f’isicamente equivalente a la polarizaci’on
ɛµ + λpµ, ya que su diferencia es BRS-exacta.
Adem’as, los antifantasmas no son f’isicos:
QBRSb + |χ〉 = p µ a + µ (p)|χ〉 = 0 (9.50)
Y los fantasmas son BRS exactos, ya que la relaci’on de conmutaci’on:
conlleva:
9.3 Positividad
[Q, a + µ (p)] = pµc + (p) (9.51)
c + (p)|χ〉 = 1
ɛ.p QBRSɛ µ a + µ |χ〉 (9.52)
En todo formalismo covariante de teor’ias gauge, hay tres problemas dif’iciles de
resolver, incluso a nivel formal: Demostrar que el hamiltoniano es autoadjunto:
H = H +
(9.53)
En segundo lugar, demostrar que hay un cierto subespacio del espacio de Fock,
llamado subespacio f’isico, que es invariante bajo el operador evoluci’on:
HHfis ⊂ Hfis
(9.54)
Y en tercer lugar, demostrar que el producto escalar en el subespacio f’isico es
semidefinido positivo:
{|ψ〉 ∈ Hfis} ⇒ 〈ψ|ψ〉 ≥ 0 (9.55)
Realmente la situaci’on en la pr’actica en una teor’ia gauge es ligeramente m’as
sutil, y lo ’unico que vamos a conseguir demostrar es que existen estados que violan
positividad, pero que estos estados aparecen s’olo en combinaciones de norma nula.
Debido al hecho de que la carga BRS es nilpotente, todos los estados que son
BRS-exactos, es decir, que se escriben como
|ψ〉 = QBRS|φ〉 (9.56)
son f’isicos. Si tratamos estos estados como triviales, podemos definir una relaci’on de
equivalencia: dos estados son equivalentes si su diferencia es un estado BRS-exacto.
– 81 –

De hecho, hay buenas razones para tratar a los estados exactos como triviales: todos
ellos son ortogonales a todos los estados f’isicos ya que
y adem’as tienen norma nula:
〈fis|ψ〉 = 〈fis|QBRS|φ〉 = 0 (9.57)
〈ψ|ψ〉 = 〈ψ|QBRS|φ〉 = 0 (9.58)
Por analog’ia con la cohomolog’ia del operador diferencial exterior (cohomolog’ia de
de Rham) podemos definir la cohomolog’ia BRS como
Donde el n’ucleo del operador BRS es
H(Q) ≡ ker QBRS/Im QBRS
(9.59)
ker QBRS ≡ {|ψ〉, QBRS|ψ〉 = 0}, (9.60)
y la imagen del operador es el conjunto de vectores tales que
Im QBRS ≡ {|χ〉 = QBRS|κ〉}. (9.61)
• Al conjunto de elementos en H(Q) les llamaremos estados singletes.
• Los singletes pueden tener n’umero de fantasma nulo, |χ0〉 (estos son los que
corresponden a las part’iculas f’isicas propiamente dichas) o bien n’umero de
fantasma distinto de cero, |χn〉.
• En este ’ultimo caso puede tratarse de un singlete desapareado, en el sentido de
que ninguno de los elementos complementarios en n’umero de fantasma |σ−n〉
, y tales que 〈χn|σ−n〉 = 1, (y que han necesariamente de existir si es que el
producto escalar en el subespacio f’isico no es degenerado) es f’isico. Pero esto
quiere decir que ning’un complementario partenece a H(Q), y que por consiguiente
la restricci’on del producto escalar a H(Q) s’i que es degenerada, ya
que el siglete desapareado es ortogonal a todo H(Q). Esta situaci’on es relativamente
poco dañina, debido precisamente a esta propiedad de ortogonalidad
con todos los estados f’isicos.
• La otra alternativa es que se trate de un par de singletes, con n’umero de
fantasma (NF) igual y de signo opuesto en los dos elementos del par. En este
caso hay estados f’isicos de la forma
|ξ〉 ≡ |χn〉 + ξ|σ−n〉 (9.62)
que son de norma negativa, y no es posible une reducci’on consistente del
espacio de Hilbert.
– 82 –

Afortunadamente, esta situaci’on no se realiza en las teor’ias gauge. La raz’on
(cf. [?]) es que siempre es posible encontrar un representante en una clase de
cohomolog’ia arbitraria, que tenga NF positivo. Efectivamente, dado un estado
f’isico con carga fantasma −k, lo podremos representar como
| − k〉 ≡ ba1 . . . bak t[a1...ak] |g〉 + . . . (9.63)
donde el estado |g〉 no involucra (anti)fantasmas, y por consiguiente tiene NF
nulo. Es decir, que nos concentramos en la componente con el m’inimo n’umero
de antifantasmas. Los puntos suspensivos representan,pues, t’erminos con m’as
antifantasmas (y tambi’en fantasmas para mantener la carga total).
Entonces necesariamente por ser el estado f’isico, la carga BRS lo aniquila. La
parte de esta actuaci’on que tiene NF = −k + 1 ha de anularse por s’i misma:
Recordando que
sba = [iQBRS, ba] = iBa
(9.64)
obtenemos:
0 = QBRSba1 . . . bak t[a1...ak] |g〉 ∼ Ba1 . . . bak t[a1...ak] |g〉 (9.65)
Y la ’unica forma en la que esto puede ocurrir id’enticamente es que:
de donde se deduce:
ba2 . . . bak t[a1...ak] = Ba0ba2 . . . bak u[a0a1...ak]
(9.66)
|−k〉 = ba1Ba0ba2 . . . bak u[a0a1...ak] |g〉 = QBRSba1ba0ba2 . . . bak u[a0a1...ak ]|g〉 (9.67)
Esto demuestra que la componente con m’inimo n’umero de antifantasmas es
exacta. La demostraci’on se puede extender a los otros sectores de forma
inductiva.
• Por otra parte, todos los estados que no son f’isicos digamos |λn〉 dan lugar a un
doblete BRS, {|λn〉, |∇n+1〉 ≡ QBRS|λn〉}, donde el otro elemento del doblete
es BRS exacto (y por consiguiente, nilpotente). Para que el producto escalar
no sea degenerado, ha de existir otro estado que tenga producto escalar no nulo
con ’el. Ese estado necesariamente tiene n’umero de fantasma opuesto:
〈∇n+1|∇−1−n〉 = 1 (9.68)
Finalmente, |λ−n〉 ≡ QBRS|∇−1−n〉 constituye el ’ultimo elemento de este conjunto
de cuatro estados llamado cuarteto, y que tendremos que analizar m’as
en detalle, ya que ’estos s’i que est’an presentes en las teor’ias gauge ordinarias.
– 83 –

Si postulamos completitud asint’otica ( es decir, que todos los estados del subespacio
f’isico Hfis son describibles en t’erminos de campos asint’oticos), entonces es posible
realizar una descripci’on m’as precisa de la situaci’on.
Denotaremos los operadores que crean estos estados a partir del vac’io mediante:
|λn〉 ≡ a + n |0〉
|∇n+1〉 ≡ QBRS|λn〉 = −ic + n+1|0〉
|∇−(n+1)〉 ≡ −b + −n−1|0〉
|λ−n〉 ≡ QBRS|∇−(n+1)〉 = −b + −n|0〉 (9.69)
Podremos suponer sin p’erdida de generalidad que n ∈ 2Z.
Los cuartetos existen; de hecho un cuarteto elemental que siempre aparece en la
teor’ia gauge es el definido asint’oticamente por:
|λn=0〉 ∼ A a µ(x) ∼ ∂µa a (x) + . . .
|∇1〉 ∼ (Dµc) a ∼ ∂µc a (x) + . . .
|∇−1〉 ∼ b a (x) ∼ b a (x) + . . .
|λ(−n=0)〉 ∼ B a (x) ∼ b a (x) + . . . (9.70)
Demostremos ahora que los cuartetos aparecen en Hfis ’unicamente en combinaciones
de norma nula. Esto quiere decir que los cuartetos son indetectables.
• Comencemos demostrando que los estados asint’oticos correspondientes a part’iculas
f’isicas son siempre ortogonales a los cuartetos. De hecho el ’unico elemento
de matriz potencialmente no trivial es:
〈fis|λn〉 (9.71)
y eso exclusivamente cuando n = 0. Pero en ese caso siempre podemos elegir
otro representante de la clase de cohomolog’ia correspondiente a |fis〉 de la
siguiente manera:
|F IS〉 ≡ |fis〉 −
|λ−m〉〈λm|fis〉 = |fis〉 − QBRS |∇−m−1〉〈λm|fis〉
Y claramente
debido a que
m
m
(9.72)
〈λn|F IS〉 = 0. (9.73)
〈λn|λ−m〉 = ∇nm
(9.74)
• Introduzcamos ahora los proyectores en el subespacio de Hfis con N cuartetos:
P 2 N = P +
N
= PN
PNPM = PMPN = ∇NMPN
PN = 1 (9.75)
N
– 84 –

Hay dos propiedades b’asicas de esos proyectores: La primera es su invariancia
BRS:
[QBRS, PN] = 0 (9.76)
Y la segunda es la resoluci’on de la identidad en la forma:
1 − P0 = {iQBRS, R} (9.77)
Est’a claro que el espacio de part’iculas f’isicas genuinas es
H 0 fis ≡ P0Hfis
Estos proyectores fueron construidos expl’icitamente por Kugo y Ojima.
(9.78)
• En estas condiciones, podemos demostrar f’acilmente que todo estado cerrado
BRS |f〉 ∈ PNH con N = 0 es necesariamente exacto. Ello es obvio, ya que
lo cual implica que
Q.E.D.
|f〉 = PN|f〉 ⇒ (1 − P0)|f〉 = |f〉 = {iQBRS, R}|f〉 (9.79)
QBRS|f〉 = 0 ⇒ |f〉 = iQBRSR|f〉 (9.80)
– 85 –

10. Renormalización de teorías gauge puras
La renormalizaci’on de las teor’ias gauge es delicada, y en estas notas s’olo pretendemos
dar una idea de c’omo se procede perturbativamente hasta hacer plausible
el resultado. Aunque el tratamiento expl’icito que presentamos s’olo es aplicable
a condiciones gauge lineales en los campos gauge, es posible generalizarlo al caso
cuadr’atico.
Comenzaremos por considerar la identidad de Ward (9.21) sobre el generador de
las funciones conexas, W ≡ i log Z en en gauge covariante
a saber
∂µ
Fa ≡ ∂µA µ a
Comencemos por definir unos campos cl’asicos
(10.1)
∇W
∇Kaµ(x) = ξa(x) (10.2)
A (cl)
aµ (J) = ∇W
∇Jaµ
c (cl)
a (J) = ∇L W
∇ ¯ ξa
b cl)
a (J) = − ∇L W
∇ξa
(10.3)
Los campos cl’asicos no representan otra cosa que el valor esperado del correspondiente
operador cl’asico en presencia de las fuentes. Efectuando una transformaci’on
de Legendre para definir una acci’on efectiva:
Γ(A, c, b, K, L) ≡ W (J, ξ, ¯
ξ, K, L) − d 4 x(JA + ¯ ξc + bξ) (10.4)
donde hemos denotado los campos cl’asicos por las mismas letras que los campos
ordinarios; ello no deber’ia de se causa de confusi’on ya que en lo que queda de este
tema s’olo hablaremos de los campos cl’asicos, y no introduciremos los campos de
fondo. Se tiene:
ya que
∇Γ
∇A(x) ≡
Aaµ = ∇W
∇Jaµ
Jaµ = − ∇Γ
ca = ∇W
∇¯ ξa
¯ξa = ∇Γ
∇ca
ba = − ∇W
∇ξa
ξa = ∇Γ
∇ba
d 4 y ∇W ∇J(y)
∇J(y) ∇A(x) −
– 86 –
∇Aaµ
d 4 y ∇J(y)
A(y) − J(x)
∇A(x)
(10.5)

∇Γ
∇c ≡
∇Γ
∇b ≡
d 4 y ∇¯ ξ(y) ∇W
∇c(x) ∇¯ ξ(y) −
d 4 y ∇ξ(y) ∇W
∇b(x) ∇ξ(y) −
d 4 ∇ξ(y) ¯
y
∇c(x) c(y) + ¯ ξ(x)
d 4 yb(y) ∇ξ(y)
− ξ(x)
∇b(x)
(10.6)
De la definici’on misma se deduce que, con respecto a todo par’ametro P que no
est’e involucrado en la transformaci’on de Legendre,
∇W
∇P (x)
= ∇Γ
∇P (x)
(10.7)
de forma que las identidades de Ward
d 4 ∇
x[Jaµ
∇Kaµ
+ ¯ ξ ∇
∇La
∇
+ ξa ]Z(J) = 0
∇χa
(10.8)
en t’erminos de la acci’on efectiva rezan:
d 4
x − ∇Γ ∇Γ
+
∇Aaµ ∇Kaµ
∇Γ ∇Γ
−
∇ca ∇La
∇Γ
∂µA
∇ba
µ
a = 0
∇Γ
+ ∂µ
∇ba(x)
∇Γ
= 0 (10.9)
∇Kaµ(x)
(Hemos identificado, por sencillez, Ba con −Fa = −∂µA µ a, lo cual es una consecuencia
directa de su ecuaci’on de movimiento). Estas ecuaciones son simplificables
mediante la introducci’on de una ligera modificaci’on de la acci’on efectiva:
a saber:
˜Γ ∗ ˜
Γ ≡
∂µ
˜Γ ≡ Γ − 1
2
d 4 x
− ∇˜ Γ
∇Aaµ
d 4 x(∂αA α a) 2
∇ ˜ Γ
∇Kaµ
+ ∇˜ Γ
∇ca
∇˜
Γ
= 0
∇La
(10.10)
∇˜ Γ
∇Kaµ(x) + ∇˜ Γ
= 0 (10.11)
∇ba(x)
Efectivamente, la segunda ecuaci’on no cambia con la substituci’on indicada, en tanto
que la primera adquiere un t’ermino extra
(∂αA α a∂µ) ∇Γ
∇Kaµ
(10.12)
siendo el resultado deseado una consecuencia del hecho de que, en virtud de la segunda
ecuaci’on del conjunto (10.11),
∇Γ
∂µ
∇Kaµ
– 87 –
= − ∇Γ
∇ba
(10.13)

Esta forma de las identidades de Ward es debida a Zinn-Justin.
Las divergencias de Γn+1 se pueden cancelar añadi’endole a ˜ Γ un contrat’ermino
que ha de ser tal que la acci’on renormalizada ˜ Γ al orden n+1 satisface las identidades
de Ward. Estas ’ultimas son, pues, estables bajo el proceso de renormalizaci’on.
Podemos, pues, inducir que la acci’on renormalizada, ˜ Γ(ren) es el polinomio local
m’as general de dimensi’on 4 que satisface las identidades de Ward.
Ahora bien, por an’alisis 6 dimensional, y conservaci’on del n’umero de fantasma
inmediatamente deducimos que, una vez eliminados los campos B:
˜Γ(ren) = d 4
x Kaµ(D (ren)
µ (A)c)a − 1 (ren)
f abc
2 Lacbcc + L (ren)
(A, c, b)
donde
(D ren
µ c)k = ∂µck + f ren
kbj A b µc j
viene dada en t’erminos de unas constantes renormalizadas f ren
abc .
Ahora bien, la segunda identidad (10.11) implica que:
∂ µ (D (ren)
µ c)a +
d 4 x ∇L(ren)
∇ba
(10.14)
(10.15)
= 0 (10.16)
lo que fija completamente la dependencia en los antifantasmas, y como consecuencia,
tambi’en en los fantasmas:
˜Γ(ren) = d 4
x Kaµ(D (ren)
µ (A)c)a − 1 (ren)
f abc
2 Lacbcc − ba∂µ(D (ren)
µ c) a + L (ren)
(A)
(10.17)
Utilizando ahora la primera identidad de Ward, (10.11) conduce a :
d 4 x
−(Kaµ
∇D (ren)
abµ
∇Akλ
cb + ∇L(ren) ∇D
− ba∂µ
∇Akλ
(ren)
abµ
c
∇Akλ
b )D (ren)
λkj cj
− 1
(ren)
f kij
cicj KaµD
2 (ren) (ren)
akµ − f akc Lacc + ba∂µD (ren)
akµ
= 0 (10.18)
Esta ecuacion ha de ser v’alida para valores arbitrarios de las fuentes, por lo que
implica varias ecuaciones independientes.
En primer lugar, exigiendo que se anule el coeficiente de las fuentes Kaµ se obtiene
teniendo en cuenta que las fuentes Kaµ son cantidades fermi’onicas:
d 4 x
∇D (ren)
µai
∇Akλ
ciD (ren)
kjλ cj + 1
2 D(ren)
(ren)
akµ f
kij cicj
= 0 (10.19)
6 Recordemos que las dimensiones en unidades de masa de los campos y corrientes son: d(A) =
d(c) = d(ξ) = 1; d(K) = d(L) = d(B) = d(χ) = 2, y d(J) = 3. En cuando al n’umero de fantasma
no trivial gh(K) = −1 y gh(L) = −2.
– 88 –

Explicitando
K ≡ f ren
aki c i (∂µck + f ren
kbj A b µc j + 1 ren
faij ∂µ(c
2
i c j ) + f ren
abk A b µf ren
kij c i c j = 0 (10.20)
Los t’erminos que no contienen campo gauge, se reducen a
f ren
aij c j ∂µc i = − 1
2
f ren
aij (∂µc i c j + c i ∂µc j ) (10.21)
que se anula id’enticamente siempre que las constantes renormalizadas sean antisim’etricas:
f ren
a(ij) = 0 (10.22)
En cuanto a los t’erminos que tienen campo gauge, rezan:
que es equivalente a
siempre que las cantidades
f ren
aki f ren
kbj c i c j + 1
2
ren
fkij c i c j f ren
abk
(10.23)
f ren
aki f ren
kbj − f ren
akj f ren
kbi + f ren
kij f ren
abk = 0 (10.24)
f ren
ijk
satisfagan la identidad de Jacobi.
La anulaci’on del coeficiente de las fuentes L est’a garantizada si:
(10.25)
d 4 x( − f (ren)
lij cif (ren)
alc cjcc) = 0 (10.26)
o lo que es lo mismo, teniendo en cuenta el car’acter impar de los fantasmas, de
nuevo la identidad de Jacobi para las constantes de estructura renormalizadas.
Para terminar, el t’ermino sin fuentes implica:
− ∇L(ren)
D
∇Alλ
(ren)
λlb cb + ∂µ
fakbc b (D ren
µ c)k + 1
2 fkijc i c j D ren
akµ
= − ∇L(ren)
D
∇Alλ
(ren)
λlb cb + ∂µ [Kba] = 0 (10.27)
Y recordando que ya hab’iamos visto que K = 0 la ecuaci’on se reduce a:
(ren) ∇L
∇Alλ
D (ren)
λlb cb = 0 (10.28)
De estas tres ecuaciones se deduce entonces, en primer lugar, que las cantidades
D (ren) satisfacen la misma ecuaci’on que D, y que no es sino una manera muy
sint’etica de representar la invariancia gauge no abeliana.
Adem’as, las constantes f (ren)
abc satisfacen la identidad de Jacobi necesaria para
que se puedan interpretar como constantes de estructura de un grupo.
– 89 –
ba

Y finalmente, la ’ultima ecuaci’on garantiza que el lagrangiano L (ren) (A) es invariante
gauge.
Por otra parte, es obvio por continuidad que tanto el grupo de simetr’ia como las
representaciones involucradas son las mismas que en el lagrangiano desnudo, siempre
que este grupo sea simple. (El caso semisimple es algo m’as sutil, como se puede ver
en las referencias).
11. Simetrías globales espontáneamente rotas
Consideremos un campo escalar cargado invariante frente a transformaciones globales
U(1)
φ ′ ≡ gφ = e iα φ (11.1)
e interaccionando mediante un potencial
V (φ) = λ
4! (|φ|2 − v 2 ) 2
(11.2)
En estas condiciones, el vac’io de la teor’ia no coincide con el vac’io perturbativo,
definido a partir de los osciladores,
ya que en ese vac’io necesariamente
ak|0〉 = 0 (11.3)
〈0|φ|0〉 = 0 (11.4)
en tanto que el estado fundamental de nuestro campo escalar (11.2) est’a caracterizado
por
〈vac(θ)|φ|vac(θ)〉 = ve iθ
(11.5)
Frente a transformaciones del grupo todas estas posibilidades rotan unas en otras:
es decir, que
〈vac(θ)|e iα φ|vac(θ)〉 = ve i(θ+α) = 〈vac(θ + α)|φ|vac(θ + α)〉 (11.6)
g|vac〉 = |vac〉 (11.7)
Este es el fen’omeno caracter’istico de una simetr’ia espont’aneamente rota. Por otra
parte, en un sistema de un n’umero infinito de grados de libertad todos estos vac’ios
son ortogonales
〈vac1|vac2〉 ≡ 〈v1|v2〉 == 0 (11.8)
No s’olo eso, sino que adem’as el Hamiltoniano tiene elementos de matriz nulos entre
diferentes vac’ios. Veamos c’omo demuestra Weinberg este hecho. Naturalmente se
tiene
P |vi〉 = 0 (11.9)
– 90 –

y
〈vi|A(x)B(0)|vj〉 =
〈vi|A(0)|vk〉〈vk|B(0)|vj〉 +
k
d 3 p
〈vi|A(0)|N, p〉〈N, p|B(0)|vj〉e −ipx
N
(11.10)
Suponiendo que como ocurre para funciones de clase L 1 , la integral sobre el momento
se anula cuando |x| → ∞, entonces
as’i como
〈vi|A(x)B(0)|vj〉 →
〈vi|A(0)|vk〉〈vk|B(0)|vj〉 (11.11)
k
〈vi|B(0)A(x)|vj〉 →
〈vi|B(0)|vk〉〈vk|A(0)|vj〉 (11.12)
Ahora bien, causalidad implica que en este l’imite
por lo cual las matrices
y
conmutan, lo cual a su vez implica que
k
[A(x), B(0)] = 0 (11.13)
〈vi|A(0)|vj〉 (11.14)
〈vi|B(0)|vj〉 (11.15)
〈vi|A(0)|vj〉 = ∇ijai
(11.16)
resultado que es directamente aplicable al hamiltoniano.
Si efectuamos un cambio de variables, y utilizamos los campos reales ρ y θ
definidos a partir de:
φ = (ρ + v)e iθ
(11.17)
el lagrangiano se escribe
L = 1
4! (|φ|2 − v 2 ) 2 =
1
2 (∂µρ) 2 + 1
2 (ρ + v)2 (∂µθ) 2 − λ
4! ((ρ + v)2 − v 2 ) 2
2 ∂µφ ∗ ∂ µ φ − λ
(11.18)
lo cual quiere decir que el campo representado por ρ es un campo masivo, con masa
m 2 = λ
3 v2
en tanto que el campo representado por la variable angular θ no tiene masa.
– 91 –
(11.19)

Este es un ejemplo sencillo de un fen’omeno general conocido como teorema de
Goldstone.
Supongamos una acci’on invariante frente a
∇φi = iωa(T a ) j
i φj
(11.20)
(donde las matrices T a constituyen una representaci’on R de un ’algebra de Lie
G. En el ejemplo abeliano que estamos considerando, T = 1). El potencial satisfar’a
iωaT a
donde g ≡ e .
Explicitando esta condici’on:
Si derivamos otra vez:
ij
∂ 2 V
V (gφ) = V (φ) (11.21)
∂V
ij
∂φi∂φk
∂φi
(T a ) j
i φj = 0 (11.22)
(T a ) j
i φj + ∂V
(T
∂φi
a ) k i = 0 (11.23)
que si se eval’ua en los puntos estacionarios vj ≡ 〈φ〉j se reduce a:
siendo
Mik(T a ) j
i vj = 0 (11.24)
Mik ≡ ∂2V
∂φi∂φk
φ=〈φ〉
(11.25)
Ahora bien, de nuestros estudios de la acci’on efectiva sabemos que Mik = ∆ −1
ik (0).
El subgrupo H que deja el vac’io invariante est’a caracterizado por
(H a ) j
i vj = 0 (11.26)
Estos generadores corresponden al autovector trivial cero de la matriz M = δ −1 . (En
el ejemplo sencillo que estamos considerando, H = 0).
A cada uno de los generadores de G que no son generadores de H, digamos K a ,
le corresponde entonces un autovector no trivial con autovalor nulo de la matriz
∆ −1
kl (0) (11.27)
En estas condiciones, la teor’ia contiene dG − dH campos sin masa, llamados
colectivamente bosones de Goldstone .
– 92 –

12. Simetrías gauge espontáneamente rotas
Comencemos por considerar un modelo abeliano sencillo, llamado tambi’en modelo
de Higgs, que no es otra cosa m’as que la extensi’on local del modelo considerado en
el p’arrafo anterior. El lagrangiano es:
L = 1
2 |Dµφ| 2 − 1
4 FµνF µν − λ
4! (|φ|2 − v 2 ) 2
(12.1)
donde Dµφ ≡ ∂µφ + iqAµφ. La simetr’ia gauge es ∇φ = iɛqφ. Desarrollando en las
variables introducidas m’as arriba, y teniendo en cuenta que
se obtiene f’acilmente:
Dµφ = (∂µρ + i(ρ + v)∂µθ + iq(ρ + v)Aµ)e iθ
(12.2)
L = − 1
4 FαβF αβ + 1
2 (∂µρ) 2 + 1
2 (ρ + v)2 (∂µθ + qAµ) 2 − V (ρ + v) (12.3)
Si introducimos ahora un nuevo campo gauge
lo cual corresponde a trabajar en el gauge
el lagrangiano se reduce a:
Wµ ≡ Aµ + 1
q ∂µθ (12.4)
θ = 0 (12.5)
L = − 1
4 Fαβ(W ) 2 + 1
2 (∂µρ) 2 + q2
2 (ρ + a)2 W 2 µ − V (ρ + v) (12.6)
donde podemos constatar la desaparici’on del bos’on de Goldstone y la aparici’on de
un campo gauge de masa
m 2 (W ) = q 2 v 2
(12.7)
En el caso general, y si la simetr’ia de la que estamos hablando es una simetr’i
a gauge, siempre podemos hacer el cambio de variables (usando una base de campos
reales)
˜φi ≡ g j
i (x)φj
donde g j
i (x) est’a escogida de tal forma que:
(12.8)
˜φi(K a ) j
i vj = 0 (12.9)
En el ejemplo anterior, y usando una representaci’on de U(1) ∼ SO(2) basada en los
campos reales
φ ≡ φ1 + iφ2
(12.10)
– 93 –

el ’unico generador del ’algebra ser’a
K =
0 1
−1 0
(12.11)
de forma que en el vac’io en el que s’olo es distinta de cero la parte real del campo
〈φ2〉 = 0, pero 〈φ1〉 = v, de forma que vj ≡ (0, v) y la condici’on es equivalente a
esto es, en la notaci’on anterior, precisamente
˜φ2 = 0 (12.12)
θ = 0 (12.13)
Es un hecho que esto elimina completamente los bosones de Goldstone del sector
escalar. A esta elecci’on particular de gauge se le llama gauge de unitariedad.
Efectivamente, en el caso general consideremos el t’ermino de energ’ia cin’etica
1
2 (Dµ ˜ φi) 2
donde la derivada covariante viene dada por:
Si definimos ahora campos trasladados
Dµ ˜ φi ≡ ∂µ ˜ φi − iA a (T a ) j
i ˜ φj
˜φi ≡ vi + σi
(12.14)
(12.15)
(12.16)
y desarrollamos hasta orden cuadr’atico, el t’ermino de mezcla entre σ y A se anula
debido a la condici’on gauge (12.9), y resulta
1
∂µσi − iA
2
a (T a ) j
i (vj + σj) 2
=
1
(∂µσi)
2
2 − 2i∂µσiA a µ(T a ) j
i (vj + σj) − A a µA b µ(T a ) j
i (vi + σi)(T b ) k i (vk + σk)
(12.17)
cuya parte cuadr’atica es
1
2 (∂µσi) 2 − 1
2 µ2abA a µA bµ
donde la matriz de masa para los campos gauge es
µ 2 ab ≡ (Ka)ijv j (Kb)ilv l
(12.18)
(12.19)
Claramente hay dH bosones gauge sin masa y dG − dH bosones gauge masivos. A
este fen’omeno se le conoce como mecanismo de Higgs.
Aunque hemos obtenido este resultado en un gauge concreto, como la teor’ia es
invariante gauge, el resultado ha de ser general.
– 94 –

El propagador de los campos gauge viene dado por el inverso del t’ermino
cuadr’atico, que reza:
El propagador a este nivel ser’ia
M ab
µν = ∇ ab (ηµν✷ − ∂µ∂ν) − (µ 2 ) ab ηµν
δ = (k 2 + µ 2 ) −1
bc
ηνλ + (µ −2
)bckνkλ
(12.20)
(12.21)
que asint’oticamente tiende a una constante en el ultravioleta, lo cual estropea el
contaje de potencias ingenuo.
Para renormalizar la teor’ia es mejor trabajar en otro gauge, descubierto por ’t
Hooft, en el cual, sin embargo, el contenido f’isico de la teor’ia es obscuro, pero los
propagadores decrecen el el ultravioleta como 1
k 2 .
Veamos la reformulaci’on hecha por Fujikawa, Lee y Sanda de lo que se denomina
el ξ-gauge renormalizable.
El t’ermino de fijaci’on de gauge
se escoge de forma que
Lgf = − 1 a
FaF
2ξ
Fa = ∂µA µ a − iξ(Ta) i jσivj
(12.22)
(12.23)
Este t’ermino est’a escogido de forma que tambi’en se cancele el t’ermino de mezcla
entre los campos gauge y los escalares.
Cuando ξ → ∞ recuperamos el gauge de unitariedad; en cambio cuando ξ = 0
el gauge se reduce al de Landau,
∂µA µ a = 0 (12.24)
Dado que frente a una transformaci’on gauge,
∇Fa = ✷ɛa − ifabc∂µ(ɛbA µ c ) + ξ(Tav)iɛb(Tbφ)i
El t’ermino de los fantasmas se escribir’a:
(12.25)
L(c, b) = ba(✷ca − ifabc∂µ(cbA µ c ) + ξ(Tav)icb(Tbφ)i) (12.26)
La parte cuadr’atica del lagrangiano ser’a, salvo derivadas totales:
L (2) = − 1
(∂µA
4
a
a ν − ∂νA a µ) 2 − 1
µ
2
ab
2 abA a µA µ 1
b − (∂µA
2ξ
a
µ a) 2
1
(∂µσi)
2
i
2 − 1
2 M 2 ijσiσj −
¯ψ(iD/ − m)ψ − ∂ba∂ µ ca − ξ
ab
µ 2 abbacb
– 95 –
(12.27)

siendo
µ 2 ij =
(Tav)i(Tav)j
a
M 2 ij = Vij + ξ
2 µ2 ij
m = m0 +
i
γivi
(12.28)
siendo
Vij ≡ ∂2V
(12.29)
∂φi∂φj v
y γi la matriz de acoplos de Yukawa.
Es decir, que los fantasmas tienen masas que dependen del gauge; esto es, del
par’ametro ξ, y son iguales a √ ξ veces las masas de los bosones vectoriales.
Es interesante razonar sobre los valores de las masas en funci’on del par’ametro
ξ. Como consecuencia de la invariancia gauge, ya hemos visto que
Vij(Tav)j ≡ m 2 ij(Tav)j = 0 (12.30)
Esto quiere decir que si µ 2 ab tiene un autovector |b〉 con autovalor µ2 , entonces |i〉 ≡
b (Tbv)i|b〉 es un autovector de M 2 con autovalor ξµ 2 , ya que
M 2 ij|j〉 = (m 2 ij + ξ
2 µ2ij)|j〉 = (Vij + ξ
2 µ2ij)(T b v)j|b〉 =
1
2 ξ(T a v)i(T a v)j(T b v)j|b〉 = 1
2 ξ(T a v)iµ 2 |a〉 =
ξµ 2 |j〉 (12.31)
Los otros autovectores de M 2 son ortogonales a ’estos, de forma que coinciden con los
de la matriz Vij. Ahora vemos claramente lo que ocurre en el gauge de unitariedad,
ξ → ∞: los bosones de Goldstone se hacen tan pesados que se desacoplan de la
teor’ia, en tanto que las otras masas bos’onicas permanecen finitas.
Los progagadores gauge son ahora
δ ab
µν =
1
k 2 − µ 2
ηµν − (1 − ξ) kµkν
k 2 − ξµ 2
ab
(12.32)
que tiene el buen comportamiento ultravioleta, excepto precisamente cuando ξ → ∞.
En la pr’actica casi siempre compensa trabajar en el gauge de Feynman, ξ = 1. El
propagador escalar es
δij =
1 − ξ
k 2 − m 2 − 1
2 ξµ2
−1 µ 2
(k 2 − m 2 ) −1
(12.33)
Se puede demostrar que los polos no f’isicos dependientes de ξ se cancelan a sumar
las contribuciones gauge y escalar. En cuanto a los fantasmas,
δab =
(12.34)
1
k 2 + ξµ 2
– 96 –
ab

13. Realizaciones no lineales: El caso Global
El estudio de los bosones de Goldstone est’a ’intimamente ligado a la existencia de
realizaciones no lineales de un grupo en una variedad. La referencia cl’asico es el
libro de Helgason, y la realizaci’on f’isica ha sido elaborada en una serie de art’iculos
por Callan, Coleman, Wess y Zumino, y tambi’en por Salam y Strathdee.
Un grupo G act’ua sobre una variedad M si
∀x ∈ M → gx ∈ M (13.1)
Hecho de la vida: Una realizacion se puede linealizar si y solo si hay un punto fijo.
∀g ∈ G gx0 = x0 (13.2)
Cogemos el origen de coordenadas en x0, y desarrollando en serie de Taylor:
Es claro que
y por lo tanto
D(g2g1)x =
∂(g2g1x) µ
∂x n
(gx) µ ≡ D(g) µ νx ν + o(x 2 ) (13.3)
= ∂(g2z) µ
D(g) µ ν =
m ∂(gx)
∂z α |z=g1x
∂x n
∂(g1x) α
|x=0
(13.4)
∂x ν |x=0 = D(g2)D(g1)x (13.5)
ya que g2g1x0 = g1x0 = x0. Ahora se puede introducir un nuevo sistema de coordenadas,
y µ mediante
y µ
(x) ≡ dµ(g)D −1 (g)(gx) (13.6)
Definamos las coordenadas que linealizan la transformaci’on:
(g0y) µ ≡ y µ
(g0x) = dµ(g)D −1
(g)(gg0x) =
dµ(gg0)D(g0)D −1 (gg0)(gg0x) = (D(g0)y) µ
dµ(gg0)D(g0)D −1 (g0)D −1 (g)(gg0x) =
En el caso general, el conjunto de las transformaciones que dejan invariante un punto
dado, x0 forman el subgrupo de estabilidad H de x0. Seg’un lo que acabamos de ver,
’estas son precisamente las transformaciones que se pueden realizar linealmente en
un entorno del citado punto.
Otro concepto interesante es el de la ’orbita del punto x0, esto es el conjunto
Es claro que se trata del coset G/H. Diremos que
(13.7)
gx0, ∀g ∈ G (13.8)
k ≡ g(ξ, 0) = e −iξK ∈ G/H (13.9)
– 97 –

Parametrizaremos g ∈ G usando generadores herm’iticos TA ≡ (Ha, Ki) y para’ametros
reales como
g(ξ, u) = e −iξK e −iuH
(13.10)
En G/H
x = y ⇔ ∃u ∈ H x = yu (13.11)
Esto es equivalente a parametrizar los cosets por ξ. T’ecnicamente, l(ξ) constituye
una secci’on de un fibrado principal G → G/H.
La acci’on por la izquierda de G sobre G/H viene dada por:
g0k(ξ) ≡ g0(ξ0, u0)e −iξK = k(ξ ′ )h(ξ, g0) ≡ e −iξ′ K e −iu ′ H
A la transformaci’on h(ξ, g0) se la llama compensadora por razones obvias.
Linealizando
se tiene
g0 = 1 + ɛ A TA
δξ i = ɛ A l i A
(13.12)
(13.13)
(13.14)
donde los lI A son vectores de Killing en G/H asociados con la acci’on de G por la
izquierda. Podemos entonces escribir
δk(ξ) = ɛ A l i A
El campo compensador se puede escribir como
h(ξ, g0) = 1 + ɛ A Ω a AHa
∂
k(ξ) (13.15)
∂ξi lo que permite escribir la ecuaci’on linealizada
(1 + ɛ A
TA)l(ξ) = k(ξ) + ɛ A l i
∂ 1 A
A k(ξ) + ɛ ΩA
∂ξi esto es
Por otra parte
l i A
∂
∂ξi k(ξ) = TAk(ξ) − k(ξ)ΩA
TA = Ω a AHa + l i AKi
Geom’etricamente, el punto de partida es la uno-forma
k −1
dk ≡ ω a i + e j
i Kj
dξ i
donde ω a i es una conexi’on para el grupo H, y e j
i
(13.16)
(13.17)
(13.18)
(13.19)
(13.20)
es una t’etrada. (Subrayaremos los
’indices planos). Evidentemente de ah’i se sigue que
dk = k ω a i + e j
i Kj
dξ i
(13.21)
– 98 –

Pero
∂
l i A
∂ξi k(ξ) = k(ξ) l −1 TAl(ξ) − ΩA
l i Ak
ω a i + e j
i Kj
de donde se sigue que
Usando el inverso de la t’etrada:
l i Ae j
i
= k(ξ)
= D(k)j
A
l i Aω a i = D i A − Ω i A
se obtiene una expresi’on expl’icita para el Killing
ya que
y
e i j
l i A = D(k) j
A ei j
Ω i A = D i A − l i Aω a i
(Dadj) B
A TBk(ξ) − ΩA
=
(13.22)
(13.23)
(13.24)
(13.25)
Podemos calcular la variaci’on de la uno-forma en la direcci’on de los Killings:
£(lA)k −1 dk = (di(lA) + i(lA)d) k −1 dk = d k −1 l i A∂ik − [k −1 l i A∂ik, k −1 dk] =
k −1 d (TAk − kΩA) − k −1 (TAk − kΩA) k −1 dk =
−δΩA + [k −1 dk, ΩA] (13.26)
d k −1 −1
TAk − ΩA = k d (TAk − kΩA) − k −1 dkk −1 (TAk − kΩA) (13.27)
Descomponiendo en H y G/H podemos escribir, en t’erminos de las uno-formas:
la expresi’on:
ω ≡ ω a i dξ i
e = e i j
jKidξ £(lA)ω a = −dΩ a A − f a bcω b Ω c A = − (dΩA + [ω, ΩA]) a
£(lA)e i = −f i
jb ej Ω b A = [ΩA, e] i
(13.28)
(13.29)
(13.30)
Esto es, que la conexi’on can’onica ω se transforma como una conexi’on correspondiente
al grupo gauge H bajo transformaciones globales de G, en tanto que la t’etrada
se transforma como un campo en la adjunta. Ambos objetos son invariantes bajo G
salvo transformaciones gauge correspondientes al subgrupo H.
– 99 –

En el caso particular de que g0 ≡ h0 ∈ H, se puede escribir una f’ormula m’as
precisa.
h0k = h0kh −1
0 h0 (13.31)
de forma que
esto es
k ′ = h0kh −1
0
h ′ = h0
e −iξ′ K = u0e −iξK u −1
0
que sobre lospar’ametros define la representaci’on adjunta del subgrupo H
(ξ ′ ) i = (Dadj(u0)) i
j ξj
(13.32)
(13.33)
(13.34)
Para la acci’on de los elementos que no pertenecen a H, no existe una f’ormula
general. 7 Veamos ahora c’omo a partir de una representaci’on de H se puede construir
7 Pero existe un caso particular interesante.
La representaci’on simb’olica de las relaciones de conmutaci’on del ’algebra de G es del estilo
Cuando
[H, H] = H
[H, K] = H + K
[K, K] = H + K (13.35)
[H, K] = H (13.36)
se dice que existe una separaci’on reductiva (reductive splitting). Un caso particular es el de los
espacios sim’etricos, en los que adem’as el ’algebra es del tipo
es decir, que admite el automorfismo
[H, H] = H
[H, K] = K
[K, K] = H (13.37)
H → H
Al nivel del grupo de Lie este automorfismo corresponde a
Consideremos la transformaci’on
Tomando inversos
K → −K (13.38)
k → k −1
k → k0k ≡ k ′ h ′
k −1 k −1
0 = (h′ ) −1 (k ′ ) −1
– 100 –
(13.39)
(13.40)
(13.41)

una realizaci’on del grupo G. El punto de partida es una representaci’on de H que
act’ua en un cierto espacio lineal, V
h0 ∈ H → L(h0) (13.45)
(naturalmente esta representaci’on no coincide en general con la obtenida previamente
usando Taylor y promediando, D(g0).)
Esta representaci’on la extendemos a una realizaci’on de G mediante la introducci’on
de los par’ametros ξ en (13.12)
Efectivamente,
ea decir, que
g1e −iξK = e −iξ1K e −iu1H
g2e −iξ1K = e −iξ2K e −iu2H
(g0, ξ) → D(e −iu′ H ) (13.46)
g2g1e −iξK = e −iξ3K e −iu3H = e −iξ2K e −iu2H e −iu1H
e −iu3H = e −iu2H e −iu1H
de donde (ya que L es una representaci’on de H),
(13.47)
(13.48)
L(e −iu3H ) = L(e −iu2H )L(e −iu1H ) (13.49)
es decir, que la f’ormula (13.46) respeta la estructura de grupo.
Veamos ahora que estos resultados son en cierto modo gen’ericos, ya que toda
realizaci’on del grupo G cuya restricci’on a H es lineal se puede reducir a la forma
standard.
Para ello, partimos de una acci’on de G sobre una variedad, M, 8 y escogemos
coordenadas en la variedad x(ξ, χ) que representan la ’orbita del punto x(0, χ) bajo
y aplicando el automorfismo
de donde
o lo que es lo mismo
kk0 = (h ′ ) −1 (k ′ ) (13.42)
(k ′ ) 2 = k0k 2 k0
u ′ = (k ′ ) −1 k0k (13.43)
e −2iξ′ K = k0e −2iξK k0
(13.44)
8 Esto quiere decir que hay una correspondencia entre los puntos de M y los puntos de G, con
una estructira de espacio fibrado:los par’ametros χ caracterizan de qu’e ’orbita (fibra) estamos
hablando, en tanto que los otros par’ametros χ identifican los puntos dentro de cada fibra:
P (ξ, χ) ↔ g(ξ, χ) (13.50)
– 101 –

la acci’on de G. Por hip’otesis, la acci’on de H es lineal, de forma que
Por definici’on,
h0P (ξ, χ) = P (D(h0)ξ, L(h0)χ) (13.51)
P (ξ, χ) = e −iξK P (0, ψ) (13.52)
donde el hecho de que ψ = χ indica que en general la acci’on de G/H no es ortogonal
a las fibras. Vamos precisamente a usar como nuevas coordenadas del punto
P (ξ, ψ) (13.53)
Geom’etricamente lo que se hace es moverse en la direcci’on G/H (transversa, aunque
no ortogonal a las fibras), hasta que se corta a la fibra que pasa por el origen. El punto
de corte define la nueva coordenada ψ, y naturalmente conservamos la coordenada ξ
que nos indica la fibra de la que hab’iamos partido.
Estas nuevas coordenadas constituyen una realizaci’on standard. Ve’amoslo:
13.1 Local
gP (ξ, ψ) = ge −iξK P (0, ψ) = e −iξ′ K −iu
e ′ H
P (0, ψ) =
e −iξ′
K
P 0, L e −iu′
H
ψ = P ξ ′
, L e −iu′
H
ψ
(13.54)
En el contexto en el que nos estamos moviendo, los par’ametros se convierten en
campos f’isicos en el espacio de Minkowski, ξ(x µ ), que representa a los bosones de
Goldstone que aparecen en la ruptura espont’anea de G a H, y los campos ψ(x µ )
que son los otros campos que forman representaciones del subgrupo H.
Una m’etrica natural en el coset que es invariante bajo G viene dada por
donde la m’etrica de Killing es
Es claro que
gij(ξ) = treiej = glme l
iemj glm = tr KlKm
£(lA)gij(ξ) = −filbΩ b A
(13.55)
(13.56)
e l
jei k + el
kei
j = 0 (13.57)
Un t’ermino de energ’ia cin’etica para los bosobes de Goldstone ser’ia entonces:
L = 1
2 fπgij∂µξ i ∂νξ j ηµν
(13.58)
donde la constante fπ, que tiene dimensi’on dos, es necesaria dado que los campos
ξ i no tienen dimensiones.
Lo que acabamos de ver es precisamente que toda representaci’on de H se puede
extender a una realizaci’on de G con la ayuda de los Goldstones.
– 102 –

Veamos c’omo se pueden definir las derivadas covariantes.
relaci’on b’asica
Diferenciando la
g0e −iξ(x)K = e −iξ′ (x)K −iu
e ′ (x)H
(13.59)
se obtiene:
g0∂µe −iξ(x)K = ∂µ
Escogemos ahora, despu’es de haber derivado,
e −iξ′
(x)K
e −iu′ (x)H −iξ
+ e ′
(x)K
∂µ e −iu′
(x)H
g0 = e iξK
con lo cual sabemos que en el punto x µ tanto
Esto conduce a
ξ ′ = 0
e −iξ′
(x)K
e iξ(x)K ∂µe −iξ(x)K = ∂µ
ξ ′ =u ′ + ∂µ
=0
−i∂µ (ξ ′ (x)K) ξ ′ =u ′ =0 − i∂µ (u ′ (x)H) ξ ′ =u ′ =0 ≡
(13.60)
(13.61)
u ′ = 0 (13.62)
e −iu′
(x)H
ξ ′ =u ′ =0
−i∇µξ(x)K − iAµ(x)H (13.63)
Veamos que estos objetos se transforman como campos gauge: Despejando g0,
Y substituyendo,
g0 = e −iξ′ K e −iu ′ H e iξK
e −iξ′ K e −iu ′ H e iξK ∂µe −iξK = ∂µe −iξ′ K e −iu ′ H + e −iξ ′ K ∂µe −iu′ H
o lo que es lo mismo,
que implica
as’i como
e iξK ∂µe −iξK = e iu′ K e iξ ′ K ∂µe −iξ′ K e −iu ′ H + e iu ′ H ∂µe −iu′ H
(∇µξK) ′ = e −iu′ H (∇µξK) e iu′ H
(AµK) ′ = e −iu′ H (AµK) e iu′ H + e −iu ′ H ∂µe iu′ H
=
(13.64)
(13.65)
(13.66)
(13.67)
(13.68)
Para calcular la derivada covariante del resto de los campos, partimos de la
expresi’on
g0ψ(x) = L e −iu′
(x)H
ψ(x) (13.69)
– 103 –

y la diferenciamos:
se tiene
g0∂µψ(x) = ∂µL
Escogiendo de nuevo
y recordando que Aµ = ∂µu ′ ,
e −iu′
(x)H
ψ(x) + L e −iu′
(x)H
∂µψ(x) (13.70)
g0 = e iξK
(13.71)
e iξK ∂µψ(x) = −i (∂µu ′ (x)H) ψ(x) + ∂µψ(x) (13.72)
Dµψ ≡ e iξK ∂µψ(x) = −i (AµH) ψ(x) + ∂µψ(x) (13.73)
Desde el punto de vista geom’etrico, cuando los par’ametros ɛ A (x) son funciones
arbitrarias, las derivadas de Lie adquieren t’erminos extra:
£(ɛ A lA)k −1 dk = −d(ɛ A ΩA) − [k −1 dk, ɛ A ΩA] + k −1 TAkdɛ A
(13.74)
Ahora introducimos un campo gauge A(x) definido en el espacio de Minkowski
tomando valores en el ’algebra de Lie de G, y que se transforma bajo ɛ(x) ≡ ɛ A TA
como
δA = −dɛ − [A, ɛ] (13.75)
o lo que es equivalente, bajo transformaciones finitas
A g−1
= g (A + d) g −1
(13.76)
Este campo gauge modifica la definici’on de la t’etrada y de la conexi’on can’onica
(entendidas como pull-backs al espacio de Minkowski):
Se puede verificar que
A (k) ≡ k −1 (A + d) k = ω a (ξ, A)Ha + e i (ξ, A)Ki
(13.77)
δA (k) = −d(ɛ A ΩA) − [A (k) , ɛ A ΩA] (13.78)
con lo que la coneci’on can’onica y la t’etrada se transforman correctamente bajo
una transformaci’on local de H, con par’ametro ɛ A ΩA.
δω = −d(ɛ A ΩA) − [ω, ɛ A ΩA]
δe = [ɛ A ΩA, e] (13.79)
El llamado normalizador N(H) de H en G es el conjunto de elementos g ∈ G
tales que ∀h ∈ H
ghg −1 ∈ H (13.80)
– 104 –

e incluye al menos todos los elemntos de H, pero puede ser m’as grande, en cuyo
caso existen isometr’ias asociadas con la acci’on de N(H)/H por la derecha sobte
G/H. Esto es obvio, ya que para que la acci’on por la derecha
k(ξ)g = k(ξ ′ )hR(ξ, g) (13.81)
est’e bien definida esto es, sea independiente del representante elegido en el coset, es
preciso que
kh1g = kgh2
(13.82)
lo que solo ocurre para g ∈ N(H), y dentro de ellos, los elementos de H act’uan de
forma trivial sobre los cosets; simplemente redefinen los representantes.
13.2 El contratérmino de Wess-Zumino
Partimos de un lagrangiano LH(φi) que es invariante bajo H, pero no bajo G dado
que δLH = 0.
El contrat’ermino de WZ, LW Z(φ, ξ) est’a constru’ido de forma que cancele dicha
variaci’on, y depende, adem’as de los campos de los que ya depend’ia LH, tambi’en
de los bosones de Goldstone, ξ, que matem’aticamente parametrizan el coset G/H.
Impondremos adem’as que
LW Z(φi, ξ = 0) = 0 (13.83)
Representemos los operadores diferenciales que act’uan sobre los campos,como los
generadores ellos mismos. As’i
Frente a variaciones en el coset,
Claramente,
Adem’as
δHLH ≡ −iu0HLH = 0 (13.84)
δG/HLH ≡ −iv0KLH ≡ −iv0D (13.85)
KiDj − KjDi = (KiKj − KjKi) LH ≡ ifijkKkLH = ifijkDkLH
(donde hemos usado
HaDi = HaKiLH = ifaijKjLH = ifaijDj
Nuestro problema es resolver las ecuaciones:
(13.86)
(13.87)
[H.K] = K). (13.88)
u0HLW Z = 0
v0KLW Z = iv0D (13.89)
– 105 –

con la condici’on de contorno
Es un hecho de la vida que
y exponenciando
e −iv0K LW Z ≡
∞
0
LW Z(φi, ξ = 0) = 0 (13.90)
(−iv0K) n LW Z = (−iv0K) n−1 v0D (13.91)
1
n! (−iv0K) n LW Z = LW Z +
∞
n=1
1
n! (−iv0K) n−1 v0D =
LW Z + e−iv0K − 1
−iv0K v0D (13.92)
Recordando por una parte que D es independiente de los bosones de Goldstone
y por otra, que la elecci’on v0 = −ξ transforma ξ en 0. Esto lleva a
LW Z = eiξK − 1
ξD =
iξK
– 106 –
1
0
dxe ixξK ξD (13.93)

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