Funciones de Variable Compleja

Funciones de Variable Compleja
Sea x, y 0, 0 y
z x iy.
La forma trigonométrica de z está dada por:
z rcos isin
donde r z 0, y argz es el argumento de z. Cuando , , se llama argumento
principal de z y se denota por Argz.
No definiremos ningun argumento para el número complejo 0 0 0i.
Theorem de Moivre Sea
z rcos isin
cualquier número complejo dado en forma trigonométrica y sea n cualquier
entero positivo, entonces
zn rncosn isinn.
Del teorema de Moivre se deducen las siguientes propiedades:
Si z1 r1cos1 isin2, z2 r2cos2 isin2 son cualesquiera dos números complejos distintos
de cero, entonces
z1z2 r1r2cos1 2 isin1 2
En particular:
z1
z2
r1
r2 cos1 2 isin1 2
1
z1 1 r1 cos1 isin1.
Conjuntos de números complejos
Definition Sea a un número complejo cualquiera y r un número real positivo, las
desigualdades:
z a r, z a r, z a r,
denotarán, respectivamente el disco abierto de radio r con centro en z a, el
disco cerrado de radio r con centro en z a y la circunferencia de radio r y
centroenz a.
Claim Si z z1 iz2 ya a1 ia2,
|z a| r
|z1 a1 iz2 a2| r
z1 a1 2 z2 a2 2 r2 el cual, es el conjunto de puntos z1,z2 del plano cuya distancia a a1,a2 es
menor que r.
Definition Sea S un conjunto de números complejos. Se dice que S es abierto si cada
punto de S puede ser centro de un disco abierto de radio positivo; en términos
más formales, S es abierto si
z0 S, rz0 0 : z, que cumpla |z z0| rz0, pertenece a S.

Definition Un conjunto S de números complejos es conexo si cada par de puntos de S
se pueden unir por una trayectoria poligonal completamente contenida en S. Y
se dice que S es una región o dominio si S es abierto y conexo.
Definition Una región o dominio S es simplemente conexo cuando toda curva cerrada
en S contiene en su interior solamente puntos de S.
Example Describir el conjunto: |z 1| |z|.
Solución:
|z 1| |z|
|z 1| 2 |z| 2
z 1z 1 z z
z 1 z 1 z z
z z z z 1 z z
1 z z
1 2Rez
½ Rez.
Así, el conjunto es un dominio.
Funciones y transformaciones
Definition Sea D un dominio. Si asignamos a cada punto z D un número complejo
único w fz decimos que la ecuación w fz define una función de valores
complejos en D. Llamamos a D el dominio de la función. Para cada z en D,
denotamos por w fz la imagen de z. El conjunto de todas las imágenes
w : w fz,z D
se llama conjunto imagen de la función.
No se cae en ninguna ambiguedad al usar fz, la ecuación w fz oaúnf para denotar la función
definida en D.
Si el conjunto imagen lo denotamos por E llamaremos también a fz una transformación del dominio D
en el conjunto E.
Example Definimos las transformaciones más simples donde D E :
fz z b, b C fijo
que traslada el plano complejo a una distancia de |b| unidades en la dirección
del argumento de b y la función
fz az, a C fijo, a 0.
que rota el número complejo z por un ángulo igual a arga y lo expande o
contrae por un factor |a| (recordemos la interpretación geométrica de la
multiplicación).

Notation si w fz es una transformación de D en E donde z x iy, w u iv
siendo reales x,y,u,v podemos escribir
fx iy ux,y ivx,y
y pensar en la transformación en términos de un par de funciones de valores
reales uy,y yvx,y definidas de D R2 aR
ux,y Refz , vx,y Imfz.
Definition una función fz definida en el dominio D tiene límite en z0,en D si existe
un número complejo L con la propiedad siguiente:
0, , z0 0, tal que |fz L| , siempre que z D, y 0 |z z0| , z0,
llamamos a L el límite de fz en z0, y escribimos:
lim fz L.
zz0 Claim fz puede puede no estar definida en z0.
Theorem Si D es un dominio, z0 x0 iy0, fz es una función definida en D,

L A iB es un número complejo dado, entonces
lim ux,y A y
lim fz L
zz0 lim vx,y B
x,yx0,y0 x,yx0,y0 Definition Sea fz una funcion definida en un dominio D, fz es continua en z0 si se
satisfacen las condiciones siguientes:
1. fz está definida en z0
2.
3.
lim fz existe, y
zz0 lim fz fz0.
así
zz 0
Definition Se dice que fzes continua en D si la función es continúa en cada punto de
D.
Theorem Si fz es una función definida en un dominio D y z0 x0 iy0 D,
entonces fz es continua en z0 tanto ux,y como vx,y son continuas en
x0,y0.
Example Sea fz zRez
|z| . ¿Puede ser definido f0 de manera que fz sea continua
ahí?
Solucion:
fz zRez
|z|
ux, y
x iyx
x2 y2 x2 x2 i
y2 x2 x2 , vx, y
y2 Intuimos que
lim ux, y 0,
x,y0,0
En efecto, sea 0. Por demostrar 0 tal que
xy
x2 y2 lim vx, y 0
x,y0,0
xy
x2 y2 0 x, y 0, 0 x2 x2 y2
donde x, y x2 y2 pero x2 x2 y2 así
x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 .
Sea entonces
0 x2 y2 x2 x2 y2 x2 y2
Asimismo, sea 0. P.D. 0 tal que
pero
Sea , entonces
xy
x2 y2 0 x, y 0, 0
|x||y|
x2
y2 xy
x2 y2 x 2 y 2 x 2 y 2
x 2 y 2
x 2 y 2

0 x2 y2 xy
|
x2 y2 | x2 y2
así
lim fz 0 i0 0
z0
Como fz tiene límite en z 0, podemos definir
y entonces f es continua en z 0.
f : C C: fz
zRe z
|z|
, si z 0
0, si z 0
Example Sea fz |z|2
z . Decídase en que puntos de C, fz no es continua, no tiene
límite o tiene límite pero no es continua.
Solución: Evidentemente fz no está definida en z 0, por lo tanto no es continua en z 0. Veamos si
tiene límite en z 0:
fz |z|2
z z z z z .
Así
fz z , si z 0
pero
lim fz lim z 0.
z0 z0
Entonces fz tiene límite en z 0.
Así
Example Sea fz |z|
z . Esta función no es continua en z 0. ¿Tiene límite en
z 0?
Solución: Veamos
fz |z|
z
ux, y
|z| z
z z
|z| z
z
|z| 2 |z|
x
x2 , vx, y
y2 x iy
x2 y2 y
x2 y2 Analicemos el límite de ux, y cuando nos aproximamos al origen por los ejes coordenados positivos.
lim ux, y
x,00,0
lim
x,00,0
x
x2 y2 x0 lim x
2 x2 lim ux, y
0,y0,0
lim
0,y0,0
x
x2 y2 y0 lim 0 0
Como los límites son diferentes, no existe el límite.
1

Derivadas y analiticidad
Definition Sea fz una función definida en un dominio D, siendo z0, un punto en D.
Definimos la derivada de fz en z0, como el límite:
lim
h0
fz0 h fz0
h
(Aqui h es un número complejo). Si existe el límite decimos que fz es
diferenciable en z0 y escribimos dicho límite como fz0 o df
. dz zz0 Decimos que fz es diferenciable en D si es diferenciable en cada punto de D.
Al límite le llamamos derivada de fz en z0.
Example Sea fz z 2 . Sea z0, un número complejo cualquiera y h un número
complejo h 0
Example Sea
fz0 lim h0
fz0 h fz0
h
lim h0
z0 2 2z0h h2 2 z0 h
fz
|z| 2
lim h0
z0 h2 2 z0 h
,
z4 z 0
0, si,z 0
entonces f es continua en z 0. Afirmamos que :
lim fz f0 0.
z0
En efecto, sea 0, P.D. 0 tal que
|z 0| |fz fz0|
osea
|z| |z|5
z5
pero
|z| 5
z5 |z|
haciendo , se tiene:
|z| |z|5
z5 |z|
Sin embargo, fz no es diferenciable en z 0. En efecto,
Si h es real positivo
Si h es real negativo
lim
h0
f0 h f0
h
lim h0
|h| 5
h
lim |h|5
1
h5 h0
0 4
h
lim 2z0 h 2z0
h0
lim
h0
|h|5
h5

por lo tanto fz no es diferenciable en z0 0.
lim |h|5
1
h5 h0
Example Obtener la derivada de la función
fz z
1 z .
Solución:
fz
lim
h0
fz h fz
h
lim h0
zh
1zh
lim
h0
z z2 h hz z z2 zh
h1 z h1 z
h
z
1z
lim h0
lim
h0
zh1zz1zh
1zh1z
h
1
h1 z h1 z lim h0
1
1 z 2
Theorem Si fz ygz están definidas en un dominio D y son diferenciables en
z0 D entonces:
1.
2.
3.
Tanto fzcomo gz son continuas en z0.
Si para cualquiera complejos y Fz fz gz entonces Fz es diferenciable en z0 y
Fz0 fz gz
Si Gz fzgz entonces Gz es diferenciable en z0 y
Gz0 fz0gz0 fz0gz0
4. Si Hz fz
gz
ygz0 0, entonces Hz es diferenciable en z0 y
Hz0 fz0gz0 fz0gz0
gz02 5. Si fz c para algún complejo c, entonces fz es diferenciable en z0 yfz0 0.
Theorem Si gz es una función analítica en un dominio D con imagen E y fw es
analítica en un dominio que contiene a E entonces la función composición
Fz fgz
es analitica en D y para cada z0 D
Fz0 fgz0gz0.
Theorem Regla de L’ Hôpital
Si gz0 0yhz0 0, ysigz yhz son diferenciables en z0 con
hz0 0, entonces
lim
zz0 gz
hz 0
0
lim zz0
gz
hz .
Desde el punto de vista de formal, esta regla es idéntica a la que se emplea en el cálculo elemental para
evaluar formas indeterminadas con funciones de variable real.
Example Determine
Solución: Aplicando la regla de L’Hôpital
lim
z2i
z 2i
z 4 16 0 0
lim
z2i
z 2i
z 4 16
lim z2i
1
4z3 1 1
3
42i 32i .
Claim Si gz0 0 hz0 yhz0 0, mientras que gz0 0, no puede
aplicarse la regla de L’Hôpital. De hecho, es posible mostrar que
zz0
existe y que le módulo de este cociente crece sin límite cuando z z0.
lim gz
hz no

Example De una función que es continua en todo el plano complejo pero sólo es
diferenciable en el origen. Sea
fz |z| 2
es decir fx iy x 2 y 2 .
Solución: Evidentemente es continua en todo punto de C.
Si z 0:
f0 h f0
f0 lim h0 h
lim h0
|h|
2
lim h h0
h h h lim h 0
h0
Si z 0
fz h fz
h
|z h|2 |z| 2
h
z hz h z z
h
z hz h z z
h
z h h z h h
h
z h
h
z h
Si h es real
Si h ir con r 0
lim
h0
lim
h0
fz h fz
h
fz h fz
h
z z
z z
pero si z 0 entonces z z z z. Por lo tanto fz no es diferenciable en z 0.
Definition Se dice que una función fz definida en un dominio D que contiene el
punto z0 es analítica en z0 si para algun número r 0 tal que el disco abierto
: z :|z z0| r estácontenidoenD,lafunciónfz es diferenciable en
cada punto de dicho disco.
En el ejemplo anterior fz es diferenciable en z 0, pero no analítica en z 0.
Example La función fz fx iy 3x 4iy no es diferenciable en ningún z C.
Solución: En efecto,
Si h2 0
Si h1 0
lim
h0
fz h fz
h
lim
h0
lim
h0
fz h fz
h
fz h fz
h
lim h0
3h1 4ih2
h1 ih2
Por lo tanto no existe el límite. De hecho no es diferenciable en ningún punto.
Busquemos condiciones que garanticen la existencia de una derivada de fz en cada punto.
Theorem si fz es una función definida y continua en un dominio D que contiene al
punto z0 x0 iy0 yfz es diferenciable en z0, entonces:
1.
2.
Refz ux, y eImfz vx, y poseen derivadas parciales de primer orden x0, y0.
Las derivadas parciales de u y v en x0, y0 satisfacen las condiciones:
uxx, y vyx, y, uyx, y vxx, y #
Proof
3
4

fz0 lim h0
fz0 h fz0
.
h
Suponiendo que h es real y
fz fx iy ux,y ivx,y
ref: i queda
lim
h0
ux0 h,y0 ux0,y0
i
h
vx0 h,y0 vx0,y0
h
lim h0
ux0 h,y0 ux0,y0
h
lim i
h0
vx0 h,y0 vx0,y0
h
entonces cada límite debe existir y fz0 uxx0,y0 ivxx0,y0.
Si tomamos a h ir con r real, una argumentación similar nos llevará a
fz0 vxx0,y0 iuyx0,y0.
Al igualar la parte real y la parte imaginaria en las expresiones obtenidas
para fz0 obtenemos las ecuaciones ref: CauchyRiemann.
Las ecuaciones ref: CauchyRiemann se conocen como ecuaciones de Cauchy- Riemann e indican las
condiciones necesarias para que fz tenga derivada en z0.
Example Sea
fz z 2 .
Claramente, la función es diferenciable en todo el plano complejo.
Descomponiendo la función en su parte real e imaginaria tenemos
fx iy x iy2 x2 y2 2xyi
donde
ux,y x2 y2 y vx,y2xy las derivadas parciales son
uxx,y 2x, uyx,y 2y
vxx,y 2y , vyx,y 2x
claramente se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann
ref: CauchyRiemann.
Example Ahora consideremos la función
fz 3x 4yi
uxx0,y0 vxx0,y0
Aunque intuimos que es una función diferenciable, no lo sabemos con
certeza, así que veamos si se cumplen las Ecuaciones de Cachy-Riemann
uxx,y 3, uyx,y 0
vxx,y 0, vyx,y 4
claramente uxx,y vy x,y para ningún punto x,y C, por lo tanto fz
no es diferenciable en ningún punto de C.
Las condiciones de Cauchy-Riemann no son suficientes para determinar la existencia de la derivada en
z0, es decir, podemos encontrar una función fz, definida en un dominio que contenga al punto z0, donde
Refz eImfz satisfagan las ecuaciones de cauchy-Riemann pero sin derivada en z0.
Example verifíquese que fz fx iy |xy| 1
2 ,satisface las ecuaciones de
Cauchy-Riemann en z 0 pero no posee derivada en z 0.
i

Solución:
Puede observarse que
ux, y |xy| 1
2 , vx, y 0
Por la definición de derivada parcial
ux0, 0 lim k0
uk 0, 0 u0, 0
k
lim k0
k R. Análogamente, se puede ver que
uy0, 0 0, vx0, 0, vy0, 0 0
y se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Sin embargo, si h h1 ih2
si h2 0
si h1 0
si h1 h2
lim
h0
f0 h f0
h
f0 h f0
h
lim
h0
lim
h0
lim
h10
lim
h10
f0 h f0
h
f0 h f0
h
|h1h2| 1
2
h1 ih2
|h1h2| 1
2
,
h1 ih2
h10
|h1|
h11 1i
0
0
lim |h1 2 | 1
2
h1 ih1
0 0
k
lim
h10
1 lim
1 1i h10 |h1|
,
h1
0
|h1|
h1 ih1
pero
lim |h1|
h1
por lo tanto, fz no es diferenciable en z 0.
1, si, h1 0
1, si, h1 0
El siguiente teorema ofrece condiciones suficientes para que fz tenga derivada en cualquier punto
z0 C.
Theorem Sea fz una función definida en el dominio D que contiene el punto
z0 x0 iy0.Si ux,y Refz y vx,y Imfz tienen primeras
derivadas parciales continuas en una vecindad |z z0| r de z0en D y
satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann en x0,y0,entonces fz es
diferenciable en z0 y
fz0 uxx0,y0 ivxx0,y0.
Example Sea fz |z| 2 x 2 y 2
ux 2x, uy 2y
vx 0, vy 0,
entonces
ux0,0 vy0,0,
uy0,0 vx0,0
y las parciales son continuas en una vecindad del punto 0,0, por lo tanto fz
tiene derivada en z0, pero sólo ahí.
Example Sea fz e x cosy ie x siny, z C. Se cumplen las hipótesis del teorema

anterior
fz0 uxx0,yo ivxx0,y0 fz0
y cuando z x 0i, fz fx ex . Esto y el hecho de que fz0 fz0
influirá en la definición de la función ez .
Theorem Si fz es analitica en un dominio D, entonces ux,y Refz y
vx,y Imfz tienen primeras derivadas parciales continuas que satisfacen
las ecuaciones de Cauchy-Riemann en cada punto de D.
Theorem Si fz está definida en un dominio D, ux,y Refz yvx,y Imfz
tienen primeras derivadas parciales continuas en todo punto de D y se
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann
uxx,y vyx,y uyx,y vxx,y,
en cada punto de D, entonces fzes analitica en D.
Example Sea fz z , es decir fx iy x iy. Veamos si se cumplen las
ecuaciones de Cauchy-Riemann:
entonces
ux 1, uy 0,
vx 0, vy 1
ux vy
por lo tanto fz no es diferenciable en ningún punto.
Exercise Encuentre la forma de las ecuaciones de Cauchy-Riemann cuando la
variable independiente z está expresada en forma trigonométrica
z rcos isin.
Solución: Sea fz w donde w ur, ivr, . Sabemos del cálculo en varias variables que
u u
x r
r u
x
x ,
u u
y r
r u
y
y ,
v v
x r
r v
x
x ,
v v
y r
r v
y
y
como r x2 y2 , y tan1 y
x
r
x 1 2 x2 y2 ½2x x
x2 y2 x r
y
r cos,
y r sin,
x 1
1 y
y
.
x 2 x2 y
x2 y
x2 y2 y
r2 1 r y r 1 r sin,
y 1
1 y
x 2 . 1 x x
x2 y2 x
r2 1 r x r 1 r cos
Utilizando las ecuaciones de cauchy-Riemann
0 u
x
0 u
y
v
y ur 1 r v cos 1 r u vr sin,
v
x 1 r u vr cos ur 1 r v sin
estas ecuaciones se deben cumplir para todo (en particular ). Si

tenemos el sistema de dos ecuaciones homogeneo:
l ur 1 r v,
m 1 r u vr
lcos m sin 0
lsin m cos 0
cuyo determinante principal es distinto de cero, por lo tanto el sistema tiene sólo la solución trivial, es decir,
l m 0, o bien
ur 1 r v y vr 1 r u
las cuales son llamadas forma polar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Exercise Encuentre la forma polar de fz.
Solución: Sabemos que
sustituyendo
entonces
fz uxx0, y0 ivxx0, y0
fz ur cos 1 r u sin ivr cos 1 r v sin.
Example Demuestre que fz z n es diferenciable en en todo z C
Solución:
Calculando las parciales
fr, r n cosn isinn
ur, r n cosn, vr, r n sinn
ur nrn1 cosn, u nrn sinn
vr nrn1 sinn , v nrn cosn.
Evidentemente, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar, por lo tanto f es
diferenciable en todo punto de C y
fz nrn1 cosncos 1 r nrn sin n sin
Funciones Elementales
inrn sin ncos 1 r nrn cosnsin
nrn1cosnn 1 isinn 1 nzn1 Se llaman operaciones elementales sobre las funciones fz y gz aquellas que dan uno de los resultados
siguientes:
fz
fz gz , fzgz ,
gz , fza , afz donde aes una constante compleja.
Una función elñemental es una función ó la inversa de una función generada a partir de constantes y la
variable independiente por medio de sucesión finita de de operaciones elementales.
En la siguiente tabla figuran algunas de las funciones más importantes:
Polinomios
Funciones racionales:
n
k0
akz k
n
akz
k0
k
m
bkz
k0
k

La funcion exponencial:
Funciones trigonometricas:
Funciones hiperbólicas
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas inversas:
Funciones hiperbólicas inversas:
La función potencial:
La función exponencial
Queremos definir una función fz tal que:
i) Si z R, fz e z ,
ii) fz fz,
iii) fz1 z2 fz1fz2.
Si u R, sabemos del cálculo real que
por lo tanto
como:
entonces
e z
sinz, cosz, tanz, cscz, secz, cotz
sinhz, coshz, tanhz, sechz, cschz, cothz
logz
sin 1 z, cos 1 z, tan 1 z, csc 1 z, sec 1 z, cotn 1 z
sinh 1 z, cosh 1 z, tanh 1 z, csch 1 z, sech 1 z, coth 1 z
z s , s C
e u k0
u k
k!
eiy
k0
iyk k!
k0
iy2k
k0
i2ky 2k
2k!
k0
i2kiy2k1 2k 1!
2k! k0
iy 2k1
2k 1!
i 0 1, i 2 1, i 4 1, i 6 1, , i 2k 1 k
k0
1 k y 2k
2k!
i k0
1 k y 2k1
2k 1!
cosy isiny
Así deberiamos tener por la igualdad (iii) que
ez exiy exe iy excosy isiny
Que es la función del ejemplo que también cumple (i) y (ii). Así:
Definition La Función exponencial ezse define para todo z x iy como
ez excosy isiny.
Propiedades:
Para p y q enteros , q 0, k 0,1,2...,q 1,
a) e iy cosy isiny

) e z e x e iy
c) e z 1
e z
d) e z e z
e) |e z | e Rez
f) e z p e pz
g) e z 1 q e 1 q zi2k
h) e z p q e p q zi2k
i) e z 1z 2 e z 1e z 2
j) de z
dz
ez
k) e z es periódica, cualquier periodo de e z tiene la forma 2ni, n Z.
Pruebas:
a) iy 0 iy,
b) Como z x iy,
e iy e 0iy e 0 cosy isiny cosy isiny.
e z e x cosy isiny e x e iy
c) Como z x iy,
ez excosy isiny ex cosy isiny
1 ex cosy isinycosy isiny
cosy isiny
1 ez d) Como z x iy,
e z excosy isiny ex cosy isiny
ex cosy iex siny ex cosy iex siny
excosy isiny ez e) Si z x iy, ez excosy isiny por lo tanto
|ez | 2 eze z eze z excosy isinye x cosy isiny.
e2xcos2y sin2y e2x ex 2
por lo tanto: |ez | ex . Debe escogerse el signo positivo pues un valor absoluto nunca es negativo.
Entonces se tiene lo deseado |ez | ex eRe z
f) como p es un entero, por el teorema de Moivre.
ez p excosy isinyp epxcospy isinpy epxiyp epz g)
ez 1 q excosy isiny 1 q
e x y 2k
q cos q isin
q e xiy
q
e x y2k
q i
h) Ya que ez p
q epz 1 q , tenemos:
y 2k
q , k 0,1...,q 1.
i 2k
q e zi2k
q .
ez p
q epz 1 q e p
q z2ki , k 0,1...,q 1.
i) Si z1 x1 iy1 y z2 x2 iy2 entonces:

ez1e z2 ex1cosy1 isiny1e x2cosy2 isiny2
ex1e x2cosy1 isiny1cosy2 isiny2
ex1x 2cosy1 y2 isiny1 y2 ez1z 2
j)Yasevioenelejemplo.
k) Una función es periódica si existe w C tal que fz w fz, para todo z C.
Supongamos que
ezw ez , para todo z C,
en particular si z 0:
ew 1
si w s ti,
|ew | es 1
por lo tanto s 0yw ti. Asíeti 1 o sea costisint 1, igualando la parte real e imaginaria:
cost 1, sint 0
así t 2n para algún n Z. En conclusión w 2ni.
Observación:
si z x iy se expresa en forma polar como z rcos isin ,parar0, podemos escribir :
z rei y en consecuencia:
Si z1 r1e i 1, z2 r2e i 2 y r2 0
y
z re i
z2z1 r1r2e i 1 2
z1
z2 r1e i1 2
r2
Gráfica de la función exponencial
e x y y
e z e x e iy e i
Funciones trigonométricas e hiperbólicas
para y R, resolvamos el par de ecuaciones siguientes :
para el coseno y seno de y :
Por esto definimos
Definition Para cada número complejo z
eiy cosy isiny
eiy cosy isiny.
cosy 1 2 eiy e iy , siny 1 2i eiy e iy

sinz 1 2i eiz e iz ; cosz 1 2 eiz e iz .
Siempre que los denominadores sean distintos de cero, definimos también:
tanz sinz
cos z cotz 1
tanz
secz 1
cos z cscz 1
sinz
siempre que los denominadores en cuestión sean diferentes de cero.
Lo importante de estas definiciones es que producen las funciones trigonométricas de valores reales
cuando z es real y muestran cuan importante es saber exactamente en que puntos sinz 0ycosz 0.
Por ejemplo, sinz 0 cuando z n n Z. Pero tal vez haya otros números en C donde z 0
(Veremos mas adelante que esto no sucede).
Además, cuando las seis funciones estan definidas son analiticas y :
sinz cosz, cosz sinz tanz sec2z cotz csc2z secz secztanz cscz csczcotz
Para el siguiente análisis, recordemos que para z x iy,
e iz e ixiy e yix ,
e iz e ixiy e y e ix
Además, recordar que en el cálculo de una variable se definen las funciones hiperbólicas seno y coseno como:
sinhy ey e y
2
y coshy ey e y
2
Veamos ahora como desarrollar la función sinz en términos de x e y:
sinx iy eixiy e ixiy
2i
eyix e yix
2i
, para todo y R.
ey e ix e y e ix
2i
eycosx isinx eycosx isinx
2i
iey ey sinx ey ey cosx
2i
ey ey sinx iey ey cosx
2
ey ey sinx
2
iey ey coshysinx isinhycosx
cosx
2
obteniendo la identidad
sinx iy sinxcoshy icosxsinhy.
Análogamente se puede comprobar que:
cosx iy cosxcoshy isinxsinhy
siniy isiny, cosiy coshy, para y R
sin z sinz, cos z cosz.
Veamos ahora para que valores de z, sinz0 (recordar que sinz es una extensión de sinx)
¿Existen otros valores de z para los cuales sinz 0?
sinz 0 sinx iy 0 sinxcoshy icosxsinhy 0
sinxcoshy 0
cosxsinhy 0 ,
En la primera ecuación, como coshy 0, coshy eye y
para todo y R, vemos que x k para
2
algún k Z, pero de la segunda ecuación,como cosk 1, entonces para que la segunda ecuación sea
válida se debera hacer que
sinhy 0 osea ey ey 0
2
lo cual se cumplen sí y sólo si
ey ey y y y 0
Sustituyendo: z x iy k i0 k es decir sinz 0 z k para k Z.

La función sinz tiene sólo ceros reales.
Análogamente se puede demostrar que :
cosz 0 z k 2
tanz
Claim Puesto que :
sin z
cosz
cotz 1
tan z
secz 1
cosz
cscz 1
sin z
, k Z, impar.
son analíticas excepto en donde el denominador se anula entonces tanz yseczson analíticas excepto para
z k , k Z, imparycotz y cscz son analíticas excepto en z k, k Z.
2
PROPIEDAD QUE NO SE CUMPLE EN C
|sinz| 1 y |cosz| 1
En efecto
|sinz| 2 |senx iy| 2 |sinxcoshy icosxsinhy| 2 sin2xcosh2y cos2xsinh2y sin2xsinh2y 1 cos2xsinh2y sin2x cos2x sin2x sinh2y sin2x sinh2y pero
sinhy ey ey 2
no esta acotada ni superior ni inferiormente pues:
lim sinhy ;
y
lim sinhy
y
por lo tanto |sinz|, no esta acotada, análogamente se puede ver que :
|cosz| 2 cos2x sinh2y y por lo tanto |cosz| tampopco está acotada.
Funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas están definidas en los puntos donde al denominador no es nulo y son las
siguientes:
sinhz ez e z
2
sinh z
tanhz
cosh z
1 sechz
cosh z
coshz eze z
2
cothz 1
tanh z
cschz 1
sinh z
como e z y e z son funciones analiticas en todo C sinhz y coshz son también funciones analíticas en todo el
plano complejo.
Analicemos los ceros de sinhz y coshz. Esperamos que sinhz 0, cuando z 0, y que coshz 0
carezca de soluciónes (pero estas ecuaciones pueden tener soluciones adicionales situadas fuera del eje real).
Para z x iy,
i.e.
sinhz sinhx iy exiy e xiy
2
ex e x cosy ie x e x siny
2
ex cosy isiny e x cosy isiny
2
cosysinhx isinycoshx
sinhx iy cosysinhx isinycoshx
De la misma manera, se puede demostrar que
coshx iy cosycoshx isinysinhx
Busquemos los ceros de la función sinhz :
sinhz 0
sinhxcosy 0
coshxsiny 0

pero
sinhx ex ex 2
, coshx ex ex 2
como coshx 0 siny0yk, k Z. Pero para y k,cosy 0, por lo tanto sinhx 0locuales
posible sólo si x 0. Sustituyendo z x iy ki ,
Análogamente
k Z
coshz 0 ez ez ex cosy isiny excosy isiny
ex ex cosy 0
ex ex siny 0
de la primera ecuación se deduce que y k
, k Zimpar,x0. Por lo tanto z k i, k Zimpar.
2 2
De aqui se deducen las singularidades de tanhz, cothz,sechz,cschz.
Identidades de las funciones hiperbólicas
sinhiy isiny
coshiy cosy
|sinhz| 2 sinh2z sin2y |coshz| 2 sinh2z cos2y sinhz1 z2 sinhz1 coshz2 sinhz2 coshz1
coshz1 z2 coshz1 coshz2 sinhz2 sinhz1
cosh2z sinh2z 1
coth2z csch 2z 1
sinhiz isinz
coshiz cosz
siniz isinhz
cosiz coshz
Derivadas de las funciones hiperbólicas
sinhz coshz
coshz sinhz
tanhz sech 2z sechz sechztanhz
cschz cschzcothz
Funciones logarítmicas
como ez nunca toma el valor de cero , la ecuación w ez no tendrá solución en z correspondiente a
w 0.
si w es distinto con cero, escribimos :
w |w|cosargw isinargw |w|ei arg w
Aquí, argw puede tomar una infinidad de valores. Sea uno de los valores de argw, por lo tanto:
w |w|ei si tomamos
z ln|w|i
Donde ln|w| denota al logaritmo natural del número positivo |w| entonces :
ez eln|w|i eln|w| cos isin |w|ei w
Así esta z es una solución de la ecuación w ez . Para cada valor de argw obtenemos una solución.

Definition Para cada número complejo z,z 0, Llamaremos un logaritmo de z a
cualquier número w ln|z|iargz, donde ln|z| es el logaritmo natural de |z| y
argz es cualquiera de los valores del argumento de z.
Nótese que no hemos definido aún una función logaritmica .
En el caso particular en que z es un número real positivo argz 2k, k Zy
w ln|z|i2k.
De todos estos valores, el único que coincide con el logaritmo natural real corresponde a la opción
argz 0.
Y para cualquier z C, z 0 existe un valor del argz con la propiedad de que
argz .
Designamos a este valor como el argumento principal de z.
Definition Para cada número complejo z,z 0 definimos el valor principal del
logaritmo de z como:
Log z ln|z|iArg z
donde
Arg z ,.
Definition La función w Logz,definidaparatodoz C, z 0, se llama función
logaritmica principal.
Remark Para cada k Z, podríamos definir otra función logaritmica
correspondiente a la elección 2k 1 argz 2k 1. Por lo común, se
llama a la colección de tales funciones, semejantes a la logaritmica (y hay
una infinidad de ellas ) "Función Logarítmica" refiriéndose a cada función de
la colección como una Rama de la función logarítmica.
Definition La función logarítmica está dada por la siguiente colección infinita de
ramas:
donde
log |z| ln |z|iargz , z 0
2k 1 argz 2k 1, k 0, 1, 2,
Remark La proposición z 0 significará que z es real y no positivo; z 0 que z es
real y negativo; de la misma manera ,definimos z 0yz 0. (Recuerde que
en el campo de los números complejos, no existe un orden).

Theorem Cada rama, logz , de la función logarítmica posee las siguientes
propiedades:
1. logz es discontinua en z 0,
2. logz es analitica en todo z, con excepción de z 0y
log z 1 z .
3. Para todo z, z 0 una rama cualquiera de la función logarítmica difiere de cualquier otra en un
multiplo entero de 2i.
Proof Sea k z, fijo y tomemos la rama de la función logarítmica
correspondiente a
2k 1 argz 2k 1.
1) Sea z0 0. Cuando z z0 desde el semiplano inferior argz argz0 2.
Cuando z z0 desde el semiplano superior arg z arg z0. Por lo tanto logz
es discontinua en z0.
lim logz lim ln |z|i lim argz ln |z0|i
zz0 zz0
zz0
argz0 2
argz0
2) Como logz no es continua en z 0 no es diferenciable.
Sea z un punto situado fuera del eje real negativo y distinto de cero.
z rei , r 0, 0 2k 1 argz 2k 1,
entonces logz lnr i. Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann en
forma polar con
ur, lnr, vr,
vemos que
las cuáles son continuas con y además
ur 1 r , u 0,
vr 0, v 1.
ur 1 r v , vr 1 r u,
por lo tanto
logz ur cos 1 r u sin ivr cos 1 r v sin
1 r cos i 1 r v sin 1 r cos isin
1
rcos isin 1 z .
Definition Sean A y B dos números complejos. Escribimos
A Bmódulo 2i
cuando A B es un múltiplo entero de 2i.
Propiedades de las funciones logarítmicas
I) log z1z2 logz1 logz2 módulo 2i
II) log z 1
z 2 logz1 logz2 módulo 2i
Example Si
ó.

entonces
pero
y
Así
i
i 3
z1 e 2 y z2 e 4
Log z1 i 2 y Log z2 i 3 4
z1z2 e
Función potencial generalizada
i 3
2 4 i 5
e 4 ei225° i 3
e 4
i 3
Log z1z2 log e 4 3 4 i
logz1z2 logz1 logz2 2i.
Definition La función zn , donde n es un número entero se llama función de potencia
entera.Lafunciónza donde z y a son números complejos se llama la función
potencial generalizada. Ésta se define como:
za aalogz Cada rama de la función logarítmica determina una rama de z a .
Theorem Sean a,b C y denotemos por log z cualquier rama particular de la
función logarítmica, entonces:
C1. La rama corespondiente z a es analítica en donde logz es analítica.
C2. z 0 : z a z b z ab .
C3. z 0 : za 1
za .
C4. za aza1 ,z 0
C5. z1z2 a a a 2aki z1z2 e para algún entero k.
Proof
C1. Como log z es analítica en C z 0, yez en todo C, por la regla de
cadena za es analítica en C z 0.
C2. zaz b ealogze blogz eab logz zab .
C3. za ealogz 1 1
ea log z za .
C4. za ealogz ealogz a z a z za az1z a aza1 .
C5.Comologz1z2 logz1 logz2 mod 2i, entonces
logz1z2 logz1 logz2 k2i
para algún k en Z
z1z2 a ea logz1z 2 alogz e 1logz 22ki
ea logz 1e a logz 2e a2ki a a a2ki z1z2 e .
Claim z a tiene un valor que corresponde a cada uno de los valores posibles de
logz pero la periodicidad de la función exponencial nos indica que valores
distintos de logz no determinan necesariamente valores distintos de z a .
Examinaremos tres casos cuando a es real.

Caso1: a es un entero.
za ea log z ealog|z|i arg z ea log|z| ei arg za
ea log|z| ei2ka ea log|z| eiae i2ka ea log|z| eia donde Arg z,argz 2k.
za tiene un solo valor pues las distintas ramas de logz difieren en un múltiplo entero de 2i, lomismo
sucede con alogz y entonces za tiene solamente un valor, dado por :
ea log z i3 e3 log|i| 3i
e 2 cos 3 2 isin 3 2
Caso II. a es un racional
Sea a p
q , donde p es un entero, q es un entero positivo y p
q es irreducible.
za e p
q log z e p
q log|z|i arg z e p
q log|z| p
i arg z
e q
Si Arg z es el argumento principal, i.e. , , entonces
, k Z,
p
q argz p q p q 2k
así
p p
i arg z
e q i
e q p
i
e q 2k
p
i
e q 2k i 2k
e q p
el cual toma valores distintos cuando k ,1,2...,q 1, y cualquier otro valor de k produce uno de los valores
de q que ya se han obtenido.
Por lo tanto za tiene q valores distintos que se obtienen haciendo
logz Log z 2ki, k 0, q 1
y
za z p
q e p
q Log z p
i
e q 2k , k 0, q 1
da los q valores distintos de za , donde Log z es la función logarítmica principal.
Example Sea fz z 1
2
i.e.
por ejemplo
CasoIII. a es un irracional
z 1
2 e 1
2 Log z e i
2 2k
z 1
2
i 1
2
e 1
2 logz
e 1
2 logz e i
|z| 1
2 e i
2 Argz
|z| 1
2 e i
2 Argz
e i
2
i
4 e 8
e i
i
24 e 8
i
e 8
i
e 8
k 0,1.
i
z a expalogz expaLog z exp2aki, para k Z

cuando k Z y a es un irracional e2aki tiene valores distintos para diferentes valores de k.
En efecto supongamos que k1, k2 Z tal que
e2ak2i e2ak2i entonces
cos2ak1 isin2ak1 cos2ak2i isin2ak2i
po tanto
cos2ak1 cos2ak2i
sin2ak1 sin2ak2i
2ak1 2ak2i 2z1 z1 Z
2ak1 2ak2i 2z2 z2 Z
k1 k2 z1
a
entonces za toma valores distintos para diferentes valores de logz.
Example
i 1 e 1 Logi .e 1 2ki , k Z
e 1
Caso IV. a es un complejo
Sea a i
cos
log1 i
2 .e 2ki i 1
e 2 2k , k Z
4k 1
2
isin
z a z z i
4k 1
2
, k Z
pero z es uno de los casos ya mencionados y
zi eilog z eilog|z|i arg z earg zeilog|z| si z |z|ei arg z ,|z|esunnúmerofijoyargzvaría según la rama en que estemos, por lo tanto eilog|z| es un
número determinado y earg z varía. Así za siempre tiene una infinidad de valores.
Example
ii ei logi ilog|i|i
e 2 2k , k Z
e 2 2k , k Z
Es fácil ahora probar las dos conocidas fórmulas que relacionan la exponencial con el logaritmo:
logez z
elog z z
loga b bloga
En efecto
logez logexiy logexcosy isiny loge x iy x iy.
elog z elogrei elog ri elog rei rei z.
loga b logeb log a bloga.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS INVERSAS
Definition
Veamos que se obtiene la primera.
sin 1 z 1 i log 2 1 z 2 iz ;
cos 1 z 1 i logz i 2 1 z 2 ;
tan 1 z i 2
log i z
i z ;

Consideremos la ecuación
sinw z
despejemos w :
z eiw eiw 2i
multiplicando ambos miembros de la ecuación por 2ieiw y ordenando términos
2ieiwz e2iw 1
eiw 2 2izeiw 1 0
eiw 2iz 2iz2 411
2
2iz 4z2 4 1
2
2
iw logiz 1 z2 1
2
w 1 i log1 z2 1
2 iz
iz 1 z 2 1
2
se omite el signo pues sabemos que el término 1 z2 1
2 tiene 2 valores, uno positivo y el otro negativo.
Así, para cada valor de 1 z2 1
2 existe un valor de w que satisface la ecuación sinw z.
De manera analoga se pueden ver los otros casos.
Calculemosahoraladerivadadelafunciónsin1z :
dsin 1 z
dz
d dz 1 i log1 z2 1
2 iz
i
1 z2 1 i
2 iz
1 2 1 z2 1
2 2z
1
iz
1z2 1 2
iz 1 z 2 1
2
1
1 z2 1
2
Analogamente se puede probar que:
dcos 1 z
dz
dtan 1 z
dz
1z 2 1 2 iz
1z 2 1 2
iz1z 2 1 2
1
1
1 z2 1
2
1
1 z 2
1 z 2 1
2 iz
1 z 2 1
2 iz 1 z 2 1
2
Las tres funciones trigonométricas inversas restantes pueden definirse en términos de las tres que ya
tenemos.
Las funciones hiperbólicas inversas se pueden definir de manera similar. Así
sinh1z logz z2 1 1
2
cosh1z log z z2 1 1
2
y se puede ver que
tanh 1 z 1 2
dsinh 1 z
dz
dcosh 1 z
dz
dtanh 1 z
dz
log 1 z
1 z
1
1 z2 1
2
1
1 z2 1
2
1
1 z 2 .

Integración
Curvas en el plano complejo
Definition Una curva C en el plano complejo es el conjunto de los puntos
zt xt iyt para t a,b donde xt yyt son funciones continuas de t
en a,b.
za se llama punto inicial de C y zb punto final. za y zb se suelen llamar puntos extremos de C.
Si za zb se dice que C es una curva cerrada.
Si existen dos valores distintos t1 y t2 con a t1 t2 b tales que zt1 zt2 entonces se dice que C
se intersecta a si misma.
Una curva que no se intersecta a si misma se llama curva de Jordan o curva simple.
Definition Se dice que una curva es suave si zt existe, es continua y diferente de
cero para todos los valores de t en a,b donde
zt xt iyt, t a,b
y es suave por tramos si es suave para todos los valores de t con la posible
excepción de un número finito de ellos.
Example Represente graficamente y clasifique los siguientes conjuntos de puntos:
a) zt
t it2 t 0,1
2t it t 1,5
es discontinua, por lo tanto no es curva.
b) zt 3cost 2isint, t 0,

es una curva suave.
Claim Una curva C no tiene una parametrización zt única, así por ejemplo en el
ejemplo a) podemos escribir, realizando una traslación
zt
t 1 it 1 2
t 1,0
2t 1 it 1 t 0,4
veremos que la integral no depende de la parametrización utilizada.
Definition Integral compleja Sean z0 yz1 puntos cualesquiera del plano complejo.
Sea C una curva suave por tramos desde z0 az1 descrita por zt, t a,b. Si
fz ux,y ivx,y es una función continua en todo punto de C entonces se
define la integral de fz de z0 az1 aloslargodeCcomo:
z1 b
fzdz fzdz fztztdt
z0 C
C
a
b
a
b
uxt,ytx
a
t vxt,ytytdt b
i vxt,ytx
a
t uxt,ytytdt donde zt xt iyt, a t b.
uxt,yt ivxt,ytx t iy tdt
Example Calcular la integral zdz, donde C es el contorno
C
zt aeit , 0 t , a .
Solución: El contorno es una media circunferencia como se muestra en la figura

aquí fz z, entonces
y zt aie it , entonces
fzt fae it ae it
zdz fztztdt ae
C 0
0
itaieitdt a2
i e
0
2itdt a2i e2it
2i
0
a2
2 e2i e0
a2
2
1 1 0.
Example Calcular la integral z
C
2dz, donde C es el contorno del ejemplo anterior.
Solución: Ahora fz z2 entonces
fzt faeit aeit 2 a2e 2it
y zt aie it , entonces
z
C
2
dz fztztdt a
0
0
2e2itaieitdt a3
i e
0
3itdt a3i e3it
3i
0
a3
3 e3i e0
a3
3 1 1 2 3 a3 .
Example Sea C1 la trayectoria de i a i a lo largo de la semicircunferencia derecha
yC2 la trayectoria a lo largo de la simicircunferencia izquierda. Calcular:
i
iC
Solución: Ahora fz 1 z .
Para la trayectoria C1 : zt eit , t , 2 2
dz
z , j 1,2
entonces z t ie it y
fzt feit 1 eit
eit por lo tanto
C1
dz
z
2
2
eitieit 2
dt i dt i
2
2 2
i.
Del mismo modo, para C2 se puede considerar la parametrización zt eit , t
Realizando las operaciones pertinentes se puede ver que
3
2
dz
z i.
CL
Propiedades
Las propiedades fundamentales de la integral que hemos definido son consecuencia inmediata de las
propiedades de la integral de línea.
Suponga que para contornos arbitrarios C 1 y C2, C1 C2 tambien es un contorno.
,
2
.

a) C kfzdz k C fzdz
b) C f1z f2zdz C f1zdz C f2zdz
c) C fzdz C fzdz
d) C1
fzdz fzdz
C2
c1c 2
fzdz
Claim Si C es la curva: zt xt iyt, t a,b; Ceslacurva
z t xt iyt, t b,a pues z b xb iyb zb y
análogamente z a za.
Claim Si C1 está dada por z1t, t a,b yC2 por z2t, t b,c entonces
C1 C2 :está dada por
zt
z1t t a,b
z2t t b,c
siempre y cuando z1b z2b.
Si C1 está dada por z1t, t 0,1 yC2 por z2t, t 0,1 entonces C1 C2
puede ser dada por
zt
z12t, t 0,½
z22t 1,t ½,1
siempre y cuando z11 z20.
En general, si C1 está dada por z1t, t a,b yC2 por z2t, t c,d se
hacen reparametrizaciones con :
: 0,1 a,b t a tb a y
: a,b 0,1 t t a
b a
para transformar los intervalos.
Como puede observarse una misma curva tiene una infinidad de
parametrizaciones y la integral no depende de ellas.
Example Sea C la trayectoria que va de 0 a 1 i compuesta por el segmento de
recta C1 de0a1 yelsegmentoderecta C2 de1a1 i. Calcular C sinzdz
Solución: Parametrizando las curvas
C1 : z1t t, t 0, 1
C2 : z2t 1 it, t 0, 1.
Como z11 z20 existe la curva C C1 C2 y por la propiedad (d) anterior:
C
1
sinzdz sinzdz sinzdz sintdt sin1 itidt
C1
C2
0
0
1
1 cos1 it
cost| 0 i cos1 cos0 cos1 i cos1
i 0
1 cos1 cos1 i cos1 1 cos1 i.
Definition Sea C una trayectoria cerrada descrita por zt, t a,b. Si al variar t
de a a b se traza C de manera que los puntos del interior de C queden
siempre a la izquierda (y respectivamente a la derecha decimos que C está
1

orientada positivamente (y respectivamente, orientada negativamente).
Cuando no se indique lo contrario se supondrá que las trayectorias estan orientadas positivamente.
Funciones definidas por integrales indefinidas
Definition Sea fz una función definida en una región D y sea C una trayectoria en D
b
deaab. Si fzdz es un número que sólo depende de a y b, no de la
aC
trayectoria C, decimos que que la integral es independiente de la trayectoria y
b
escribimos fzdz.
a
Si fijamos a y definimos b w como cualquier punto de D y suponemos que
a
cada w en D entonces la integral define una función:
w
Fw
a
fzdz
w fzdz tiene sentido para
Theorem Sea D una región simplemente conexa y fz una función continua definida
en D.
Para cada par de puntos a y b en D y cualquier curva C en D de a a b, la
b
integral fzdz es independiente de la trayectoria si y sólo si existe una
a
función Fz, analítica en D tal que
En este caso
Además, si Fw a
fz Fz, z D.
b
a
fzdz Fb Fa.
w fzdz está definida y es independiente de la trayectoria
en todo punto z D, entonces Fw es analítica en D y Fw fw para
todo w en D.
Example Sea fz 1 z . f es continua en todo punto de 0.
Sean a,b 0. Sabemos que cualquier rama de la función logz tiene
derivada 1 z en cualquier punto de z : z 0. Así no podemos tener
trayectorias que corten el eje real negativo como lo muestra las figuras
siguientes
pues en ninguno de estos casos podemos construir un conjunto D simplemente
conexo (sin agujeros) que contenga a las curvas, donde la primitiva
Fz logz sea analítica. Pero si la trayectoria no corta al eje real negativo
z 0, como el ejemplo de la figura

si podemos construir un conjunto simplemente conexo D donde la primitiva
Fz logz si es analítica. Tomando cualquier rama
b
dz
z logb loga
a
ln|b| i 2k ln|a| i2k
ln|b| i ln|a| i Logb Loga.
i
Exercise Calcular la integral 2 z 2z 1dz.
0
Solución:
i
z
0
2 2z 1dz z3 3 z2 z
Exercise Calcular i
Solución:
i
2 sinzdz
i
0
i3
3 i2 i i 3 i 1 1 2 3 i.
i
i
2 i
sinzdz cosz|i
2 cos i cosi.
2
Theorem Integral de Cauchy Sea D un dominio simplemente conexo y fz analitica
en D. Si C es cualquier curva cerrada en D, entonces :
C
fzdz 0.
(curva indica, continua liza por tramos ; se puede intersectar a si misma)
Si D es un dominio simplemente conexo y fz es analitica en D, entonces para cualesquiera puntos a y b
en D y cualquieras trayectorias C1 y C2 en D de a a b :
b
a
C1 b
fzdz a fzdz
C2 y existe una función Fz analítica en D, tal que
z D : Fz fz.
Proof Sea C C1 C2. C es cerrada y por el teorema de la integral de Cauchy
0 C
fzdz C1
fzdz
C1
C2
fzdz fzdz
C2
fzdz
yporelteoremaanterior aldelaintegral deCauchy secumplelaotra

parte.
Example Importante Evaluése la integral
entonces
Solución:
C
C
dz
z an , C z :|z a| r.
zt a reit ,
zt ire
t 0, 2
it ,
fzt 1
rne int
dz
z a n 2
ireitdt 0 rne int i
rn1 2
e
0
itn1dt
2i n 1
0 n 1 .
Theorem Sea a un punto fijo, 0 R s T. Sea D el dominio z : R |z a| T
yC1 z :|z a| s. Si fz es analítica en D y C es cualquier trayectoria
cerrada en D cuyo interior contiene a C1, entonces:
fzdz
C
C1
fzdz.
Proof Si R 0, D es simplemente conexo y las dos integrales son iguales a 0 por
el Teorema Integral de Cauchy. Supongamos que R 0. Sea L la trayectoria
de C1 a C y consideremos la curva cerrada
K C L C1 L
como fz es analítica sobre y dentro de K entonces por el teorema de la
integral de Cauchy :

por lo tanto
0 fzdz
K
C L C1 L
C L C1 L
fzdz
C
C1
C C1
fzdz.
Corollary Con las mismas hipótesis del teorema anterior, si K es cualquier trayectoria
cuyo interior contiene a C1 entonces:
Example Sea
Solución:
a)
b)
C
fzdz
C
K
fz
evalúese la integral C fzdz donde:
a. C es la circunferencia |z| 4,
b. C es la circunferencia |z| 2,
c. C es la circunferencia |z 4| 2.
Use fracciones parciales.
1
z 2 4z 3
dz
z 2 4z 3 1 2 C
1 2 |z3| 1
2
1
z 3z 1
dz
z 3 1 2 C
fzdz.
1
z 2 4z 3 ,
1
dz
z 1
dz
z 3 1 2 |z1| 1
2
2z 3
1
2z 1
dz
z 1 1 2 2i 1 2i 0
2

c)
C
C
dz
z 2 4z 3 1 2 C
dz
z 2 4z 3 1 2
0 1 2 |z1| 1
2
dz
z 3 1 2
C dz
z 3 1 2
1 2 |z3| 1
2
C dz
z 1
dz
z 1 1 2i i.
2
C dz
z 1
dz
z 1 0 1 2i i.
2
Problem Si C es cualquier trayectoria cerrada que no pasa por z ayn ,
dz
zan .
encuéntrense todos los valores posibles de C
Solución: Por el Teorema Integral de Cauchy
C
dz
z an
0 si a está fuera de C
2i si a está dentro de C
Theorem Fórmula Integral de Cauchy Sea fz analítica en un dominio simplemente
conexo D y C cualquier trayectoria cerrada en D. Si z0 es cualquier punto
del interior de C entonces :
1. fz0 1
2i C
2. f n z0 n!
2i C
fz
zz 0 dz
fz
zz0 3. f n z es analítica en D.
n1 dz, para n 1,2,3,
Example Sea C cualquier trayectoria cerrada que contiene a los punto de z iy
z i. Evalúese la integral
1
2i e
C
z
z2 1 dz.
Solución: Descomponiendo en fracciones simples
Así
1
2i C
1
z 2 1
ez z2 dz 1
1 2i C
1
4 C
1
z iz i 1 2i
e z
2i
e z
z i
1
z i
1
4 C
1
z i
1
z i
dz
e z
z i dz
1
z i
1
4 2iei 1
4 2iei i 2 ei e i 1 2i ei e i sin1.
Si C es una trayectoria que contiene en su interior sólo a z i :
1
2i C
ez z2 dz 1
1 2i
ez
zi ei dz
z i 2i .
Análogamente, si C es una trayectoria que contiene en su interior sólo a z i :
1
2i C
ez z2 dz 1
1 2i
ez
zi ei dz
z i 2i .
.

Series infinitas
Si an n0 a0, a1, es una sucesión de números complejos, se dice que la serie infinita
n0
converge a S si:
0, N : n N |S Sn|
donde Sn es la n-ésima suma parcial
Sn a1 an.
n0
Diremos que la serie infinita an converge absolutamente, si la serie de números reales no negativos
n0
|an| es convergente.
Observe que para la serie real |an| puedenn emplearse los criterios conocidos de convergencia, en
n0
particular los criterios de la razón, de la raíz y comparación.
Definition Si an n0 es una sucesión de números complejos, se llama
n0
anz a n
serie compleja de potencias alrededor de a.
Decimos que la serie de potencias converge en z0 si la serie de números
complejos n0
anz0 a n converge.
Se puede ver facilmente que si la serie de potencias anz a
n0
n es absolutamente convergente en un
punto z0, entonces es absolutamente convergente en todo punto z tal que:
|z a| |z0 a|
En efecto, si |anz0 a
n0
n | converge,
|z a| |z0 a| 0 |an||z a| n |an||z0 a| n
n0
|anz a n | n0
anz a n .
Definition Sea anz a n0
n una serie de potencias y sea
an

S r 0 : |an|r n0
n .
Si S está acotado superiormente, definimos el radio de convergencia de la
serie como el supremo de S. Si S no está acotado superiormente, decimos que
la serie tiene radio de convergencia infinito escribiendo .Enelprimer
caso, z :|z a| , se llama disco de convergencia para la serie y en el
segundo caso decimos que la serie es convergente en todo punto.
Theorem Sea pz anz a n0
n una serie de potencias con radio de
convergencia , entonces
i) en |z a| , la serie anz a n0
n es absolutamente convergente.
ii) en |z a| , la serie anz a n0
n es divergente.
iii) pz es continua en |z a| .
Proof i) Se verifica por la definición de radio de convergencia.
ii) Si anz0 a n0
n fuera converge para cualquier z0 con |z0 a| ,
entonces la serie anz a n0
n sería absolutamente convergente para todos
los z tales que |z a| |z0 a|.En particular anz1 a n0
n será
absolutamente convergente para z1 |z0 |
2
o
Example Calcular la función que representa a la serie de potencias zn n0
Theorem Solución: Calculando la n-ésima suma parcial tenemos
Sn 1 z z2 zn1
1 zn
1 z
calculando el límite cuando n tiende a :
lim Sn lim n n
siempre que |z| 1, así
n0
1 zn
1 z 1 lim 1 z
1 z n
n 1
1 z
z n 1
1 z
para |z| 1
para hallar el radio de convergencia utilizamos el criterio de la razón:
lim
n
zn1
zn lim |z| |z| lim 1 |z|
n
n
por lo tanto, la serie converge si |z| 1. Hemos probado entonces que
z n 1
n0
1 z
si |z| 1.
Si anz a n0
n es una serie de potencias con radio de convergencia
y C es cualquier trayectoria dentro del disco de convergencia |z a| ,
entonces
C n0
anz a n dz n0
C
anz a n dz .

Este teorema se utilizará más adelante cuando conozcamos que función representa la serie y nos ayudará
a hayar la representación en serie de otras funciones.
Theorem Sea anz a n0
n una serie de potencias con radio de convergencia y
sea
pz n0
anz a n
definida en el disco de convergencia |z a| entonces:
i) pz es analítica en |z a| y
pz n0
nanz a n1 .
Observe que aplicando el teorema anterior podemos hallar la representación en series de potencias de
las derivadas de pz.
Example Como hemos visto en el ejemplo anterior
1
1 z
zn si |z| 1,
entonces derivando ambos miembros
Series de Taylor
1
1 z
2
n0
nz n1 para |z| 1.
En esta sección, veremos que en la vecindad de un punto dado, una función analítica tiene sólo un
desarrollo en serie de potencias, el cual consiste en la serie de Taylor.
Theorem Si fz es analítica en z :|z a| r entonces:
f na fz fa z a
n!
n0
n , para todo z con |z a| r
Esta representación de fz en el disco |z a| rsellamaseriedeTaylorde
fz alrededor de a.Cuando a 0 se llama serie de Maclaurin de fz.
Los resultados para series de potencias se aplican a series de Taylor. Es decir, fz es absolutamente
convergente en cada punto de su disco de convergencia, puede diferenciarse término a término para obtener
desarrollos en serie de Taylor de las derivadas de fz alrededor de z a.
n1
Example La serie de Maclaurin de fz e z es
n0
pues f n 0 1 n 0,1, ycomoe z es entera, el desarrollo es
verdadero para todo z .
Example Sea fz 1 , Calcular su serie de Taylor alrededor de z 0.
1z
Solución: Utilizando el teorema de Taylor, podemos derivar sucesivamente la función fz 1
1z y
calcular los coeficientes de la serie para obtener
z n
n!
1
1 z 1 n0
nz n

y es válida para los números complejos z para los cuales |z| 1 pues se puede ver que el círculo más grande
centrado en el origen donde f es analítica es el de radio 1, así se tiene que
1
1 z 1 n0
nz n para |z| 1.
Otra forma de obtener este resultado es a través de una sustitución aplicada a una serie ya conocida. En
efecto, sabemos que
1
1 w
wn , para |w| 1,
al tomar w z obtenemos
n0
1
1 z 1 n0
nz n , para |z| 1.
¿ Es válido utilizar este procedimiento para obtener series de potencias? la respuesta es sí, como se puede
demostrar en el siguiente
Theorem Si la serie de potencias fz anz a n0
n es válida para z : |z a|
entonces
an fna n 0,1,2...
n!
es decir, en su disco de convergencia, la serie de potencias es una serie de
Taylor alrededor de z a para la función analítica que representa.
Claim Si una función fz es analítica en un número complejo z0 y la singularidad
de f más cercana a z0 está a una distancia r de z0, entonces el desarrollo en
serie de Taylor de f alrededor de z0 converge absolutamente para todo z en
el disco |z z0| r y diverge fuera.
Example Desarrolle en serie de Maclaurin la función
fz Log1 z.
Solución: Sabemos que
1
1 w
1 n0
nwn para |w| 1
integrando de 0 a z para todo z en el disco |z| 1 tenemos
z
1
0 1 w dw
z
1 0
n0
nwn dw
es decir
z
z
Log1 w| 0 0 1 n0
nwn
dw 1
n0
n z
0
por lo tanto
Log1 z n0
1n zn1
n 1
w n dw n0
para todo z con |z| 1.
1n wn1
z
,
n 1 0
1
Example Desarrolle en serie de Taylor fz alrededor del origen.
1z2 Solución: sabemos que
Substituyendo w z 2 obtenemos
1
1 w
1 n wn para |w| 1.
n1

1
1 z2
n0
1nz 2 n
n0
1 n z 2n válido para |z 2 | 1 o |z| 1.
Example Calcular la serie de Taylor de la función fz tan 1 z alrededor del origen.
Solución: Sabemos que
tan1 z
z
0
n0
1
1 w2 dw z
0
z
1n w2n1
2n 1 0
1 n0
nw2n dw
n0
1n z2n1
2n 1
Example Calcular la serie de Maclaurin de
fz
Solución:
z 1
z 1 z
z 1 1
z 1
z n0
n0
Series de Laurent
z n n0
z
1
z n1 1 n1
1 2 n0
1 z
z n n0
z 1
z 1
válida en el disco |z| 1.
1
1 z
z n1 n0
z n 1 n0
z n1 válido para |z| 1.
z n
z n1 n0
Si fz es analítica en una región de la forma:
z :0 r |z a| s
es decir, del tipo de un anillo circular, entonces fz no se puede representar en serie de Taylor, pero podemos
esperar representar fz mediante una serie de potencias positivas y negativas de z a.
Theorem de Laurent Si fz es analítica en la región
D z : 0 r |z a| s
entonces
obien,
donde
para todo z D : fz n
fz Anz a
n0
n
n1
An 1
2i C
z n1
Anz a n #
Anz a n #
fz
n dz, n
z a
siendo C cualquier trayectoria cerrada en D cuyo interior contiene al punto
z a.
La serie dada por ref: 1 converge absolutamente en D, donde decimos que la serie ref: 1 converge si y
sólo si las dos series en ref: 2 son convergentes.

Remark No es práctico calcular los coeficientes An en forma directa por
integración sino por otros medios, usando los coeficientes más bien para
evaluar integrales de la forma
1
2i C
fz
dz.
z an1 Si fz es analítica en el disco |z a| s, laseriedeLaurentsereduceala
serie de Taylor, pues en este caso:
An 1
2i fz
dz 1
C z an1 2i fzz a
C
n1dz 0 n 1,2,
y
An 1
2i fz
C z an1 dz fna an
n!
por la Fórmula Integral de Cauchy.
Desarrollaremos funciones en series de Laurent, principalmente en
regiones del tipo
z : 0 |z a| s.
el número de potencias negativas de z a en la serie servirá como medida
de cuán ”no analítica ”esfzen z a.
Example La función fz logz no tiene serie de Laurent alrededor de z 0 pues
no es analítica en ninguna región anular alrededor de 0.
Example Desarrollar la función
fz 1
z2 3z 2 1
z 2z 1
en serie de Laurent alrededor de z 0 en las regiones:
Solución:
a) |z| 1,
b) 1 |z| 2
c) 2 |z| r, r 2.
fz
1
z 2z 1
1
z 2
1
z 1
a) Como f es analítica en |z| 1, la serie de Laurent de f coincide con la serie de Taylor:
la cual es válida para | z
2
21 z
2 1 2
n0
1
z 2 1 1
z
2 z 2
1 2 z
n0
n
2n | 1, es decir en |z| 2 (región más grande que la que tenemos). Análogamente
1
z 1 1
1 z
z
n0
n
válida en |z| 1. Así, en la región |z| 1 se tiene:
fz
1
z 2z 1 1 2 n0
n0
1 1
2 n1 z n
z n
2 n
n
z
n0
n
n0
zn zn
2n1

) En la región 1 |z| 2:
1
z 1
1
z 2 1 2
n0
1
z1 1 z 1
z
n0
Entonces, en la región 1 |z| 2 se tiene que
fz 1
z 2z 1 1 2 n0
c) En la región 2 |z| r, r 2
Por lo tanto,
1
z 2
1
z 1 1
z
n0
1
z1 2 z 1
z
n0
1 z
fz n0
n
1 z
z n
2 n
zn 2n1
n0
z n
2 n para |z| 2
n
1 z n0
válido en 1 z 1 o 1 |z|.
1
zn
n0
zn 1
2n1 zn1 .
2 n
z n válido para 2 z 1 o 2 |z|
válido para 1 |z|
1
zn1
n0
2 n 1
z n1
Example Desarrollar en potencias de z la función fz ez .
z3 Solución:
ez 1
z3 z3
n0
zn n!
n0
z n3
n!
válida en 0 |z|.
Clasificación de Singularidades aisladas
Si una función fz es analítica en una región anular 0 |z a| r y tiene desarrollo en serie de Laurent
fz n
Anz a n , válido en 0 |z a| r,
1
se llama a Anz a
n
n parte principal de fz en z a y escribimos
1
pf, a n
Anz a n .
Definition Si una función fz no es analítica en z0 pero es analítica en alguna región
z : 0 |z a| r
para algún r 0 , decimos que z0 es una singularidad o punto singular de fz
Las singularidades pueden ser de tres tipos:
Caso 1 pf,a 0.
.

En este caso el desarrollo de Laurent de fz en 0 |z a| r es de hecho un
desarrollo de Taylor:
fz n0
Anz a n
si definimos fa A0, entonces fz será analítica en |z a| r incluido el
punto z a; por esta razón, cuando pf,a 0 decimos que z a es una
singularidad removible de fz.
Example
es analítica en |z| 0y
n 2n1 1 z
fz 1 z n0
2n 1! n0
fz sinz
z
1 n z 2n
2n 1!
1 z2
3!
z4
5!
para |z| 0
ypf,0 0, por lo tanto z 0 es una singularidad removible y definimos
f0 1.
Caso 2 pf,a tiene un número finito de términos:
así
fz nm
1
pf,a nm
Anz a n
Anz a n
donde Am 0 y An 0 si n m. En este caso llamamos a z a un polo
de orden m para fz.Frecuentemente un polo de orden 1 se llama polo
simple.
Example
ez 3 z
1
z3 1
z2 1 2z
n0
por lo tanto
pf,a 1
z
z n
2n 3!
3 1
z2 1 2z
y la función tiene un polo de orden 3 en z 0.
para |z| 0
Caso 3 pf,a tiene una infinidadde términos. Decimos que z a es una
singularidad esencial de fz.
Example
e 1 z n
1 z n
n!
para |z| 0.
Theorem Si fz es analítica en 0 |z a| r, entonces fz tiene un polo de orden m
en z a si y sólo si
fz zz am

donde z es analítica en z aya 0.
cos z
Example sea fz
z2z 21 orden2enz 0 pues
tiene singularidades en z 0,i,i.Tiene un polo de
fz
cos z
zizi
z2 y cos z
zizi
es analítica y distinta de cero en z 0 . Tiene un polo simple en
z i por que
fz
cos z
z2zi z i
y cos z
z2zi es analítica y distinta de cero en z i.De la misma forma z i tiene
un polo simple en z i.
Corollary si fz tiene un polo de orden m en z a,
lim |fz| .
za
Definition Suponga que fz es analítica en z a y que
fz n0
anz a n para |z a| r
fz tiene un cero de orden m en z asi
a0 a1 am1 0 y am1 0
Un cero de orden uno se llama cero simple.
Si fz tiene un cero de orden m en z a
fz z am anz a
nm
nm z am amkz a
k0
k z amz donde z es analítica en z a y a am 0.
Recíprocamente, si fz zz a m donde z es analítica y distinta de cero en z a entonces
fz posee un cero de orden m en z a.
Example
sinz 2 1 z n0
ftieneuncerodeorden2enz 0.
1 n z n1
2n 1!
Theorem Si fz tiene un polo de orden m en z a entonces
1
fz
es analítica en z a y tiene un cero de orden m en z a.
Theorem Si fz tiene una singularidad esencial en z a y c es cualquier número
complejo, existe una sucesión zn con
lim zn a tal que lim fzn c .
n
n

Residuos
Supongamos que fz es analítica en la región 0 |z a| r y que tiene desarrollo de Laurent
anz a
n
n en tal región. Para cualquier trayectoria cerrada en dicha región cuyo interiror contenga
al punto z a,
fzdz
C
n0
an z a n dz 2ia1
i.e. cuando integramos fz alrededor de una trayectoria cerrada que contenga en su interior la singularidad
aislada z a y ninguna otra singularidad de fz, no queda sino un múltiplo de un coeficiente del desarrollo
de Laurent de fz :elcoeficientedeza1 , esto significa que para evaluar
1
2i fzdz
C
obtenemos la serie de Laurent de fz alrededorde z a y utilizamos sólo un coeficiente.
Este extravagante método podría mejorarse si se obtuviera el coeficiente deseado sin determinar toda la
seriedeLaurent.
Definition Sea fz analítica en 0 |z a| r. El residuo de fz en z aesel
coeficiente a1 de z a1 enlaseriedeLaurentdefz alrededor de z ay
escribimos:
resf,a a1.
Si fz es analítica en z a ósiz a es una singularidad removible de fz vemos que Resf, a 0.
Example calcule
e
C
z
dz.
z 22 donde C es un círculo centrado en z 2deradio1
Solución:
y e z e z2 e 2 entonces
y
por lo tanto
ez z 22 ? ez
n0
e z e 2 n0
ez z 22 z 22e 2
z 2n n!
n0
Res
C
z 2 n
n!
z n
n!
e2 e2
z 22 z 2 e2
z 2n2 n!
n2
ez ,2 e2
z 22 e z
z 2 2 dz e2 2i.
Remark Esta integral también se puede con la Fórmula Integral de Cauchy con
n 1.
En general, si fz es analítica sobre y dentro de una trayectoria cerrada C excepto en el polo z a de
orden m dentro de C, podemoos representar
fz z amz donde z es analítica en z a y a 0. Se puede evaluar

1
2i fzdz
C
Resf, a
o
m1 a
m1!
siendo la segunda evaluación una consecuencia de la Fórmula Integral de Cauchy.
Theorem del Residuo de Cauchy Sea C una trayectoria cerrada y fz analítica
sobre y dentro de de C con excepción de los puntos a1,,an dentro de C,
entonces
Example Sea
calcule C fzdz.
fz
1
2i
fzdz Resf,ak.
C
k1
e z
z 1 3 sinz
Solución: fz es analítica en excepto en z 1, z 0.
¿Como calcular rápidamente los residuos
Resf,0 y Resf,1?.
Supongamos que fz posee un polo de orden m en z a, entonces :
fz z amz donde z es analítica en z a y a 0.
para 0 |z a| r
z
n0
na z a
n!
n
por lo tanto
y
donde z z a m fz.
En particular, si a es un polo simple
donde z z afz.
fz n0
na z a
n!
nm
Resf, a m1 a
m 1!
Resf, a a
C :|z| 2
Theorem Sea fz gz
donde g y h son analíticas en z a,ga 0yhz tiene un
hz
cero simple en z a, entonces fz tiene un polo simple en z ay

pero
y
así
y
Resf,a ga
h a .
Theorem Si fz gz
donde g y h son analíticas en z a, ga 0yhz tiene un
hz
cerodeorden2enz a entonces
Resf,a 6gaha 2gaha 3h ´a 2 .
Regresando al ejercicio anterior, calculemos el Resf,1.
z 1esunpolodeorden3pues:
e
fz
z
sin z
z 13 , 1 e 0
sin1
Sabemos que
Para el Resf,0
f tiene polo simple en z 0y
Por lo tanto:
Resf, a 31a 3 1! 2a 2!
z ez sinz cosz
sin 2 z
z 2ez 2 sin2z
sin 3 z
1
Resf,1
fz
2e2 sin2
sin 3 1
e z
z1 3
sinz
Resf,0 g0
h0
ez z 13 dz 2i
sinz
e2 sin2
sin 3 1
gz
hz
e 0
1
cos0
.
1.
e2 sin2
sin 3 1
Claim En el caso en que fz tenga una singularidad escencial en z a, no
tenemos regla alguna para calcular el Resf,a. En este caso, debe
determinarse a´partir de la serie de Laurent para f en z a.
e Example Sea fz z
. fz tiene polos simples en z 0, i,i.
así
zz 2 1
Resf,0 g0
h0 1 1
1
gz e z , hz z 3 z, hz 3z 2 1
1, Resf,i gi
hi
ei
2
, Resf,i gi
hi
ei
2 .