axiomas topológicos y separación en una geometría lineal densa

AXIOMAS TOPOLÓGICOS Y SEPARACIÓN
EN UNA GEOMETRÍA LINEAL DENSA,
EXTENSIBLE Y COMPLETA
JUAN CARLOS BRESSAN
Comunicación efectuada en la sesión privada extraordinaria
de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires,
el 26 de octubre de 2007

Abstract
This paper is a continuation of a paper that I presented at this Academy in 2006.
In this paper, using topology compatible with a dense and unending linear geometry
presented in 2006 and adding completeness axiom, I obtain a separation theory of
convex sets by a hyperplane analogous to separation theory in topological linear
spaces.
Resumen
Este trabajo es una continuación del que expusiera a esta Academia en 2006.
Aquí, a partir de la topología compatible con una geometría lineal densa y extensible,
utilizada en 2006 y agregando el axioma de completitud, se obtiene una teoría de separación
de convexos mediante hiperplanos, análoga a la de espacios vectoriales
topológicos.
AMS (1991): Mathematics subject classification 52A01
1.- Introducción y definiciones básicas
Puesto que este trabajo es una continuación de [3], daremos las
definiciones que utilizaremos con las notaciones allí introducidas.
Simbolizaremos con ‘‘x∪S’’ a ‘‘{ x }∪S’’; con ‘‘S\x’’, a ‘‘S\{ x }’’, donde ‘‘\’’
es la diferencia de conjuntos. Asimismo denotaremos con ‘‘A´’’ el complementario
de A, es decir, A´= X\A. Además, ‘‘si y solo si’’ se escribirá
‘‘sii’’. Omitiremos enunciar diversos resultados de [3], remitiendo al
lector a dicho trabajo cada vez que sean utilizados.
Sean X ≠ ∅ y S: X 2 →P(X), S(a; b) = [a,b] una función donde [a,b]
se llamará segmento cerrado a, b. Si a ≠ b, los segmentos
[a,b) = [a,b] \ b y (a,b] = [a,b] \ a son semicerrados y (a,b) = [a,b] \ { a,b }
es abierto. Diremos que C⊆X es convexo, o que C∈C , sii
{a,b} ⊆ C, [a,b] ⊆ C.
Una geometría lineal densa, extensible y completa es un par (X, S)
que cumple los siguientes axiomas:
(L1) { a,b } ⊆ [a,b] = [b,a] ∧ [a,a] ⊆ { a }.
(L2) { b ∈ [a,c] ∧ c ∈ [b,d] ∧ b ≠ c } ⇒ b ∈ [a,d].
(L3) { c ∉ [a,b] ∧ b ∉ [a,c] } ⇒ [a,b]∩[a,c] = { a }.
(L4) c ∈ [a,b] ⇒ [a,b] = [a,c]∪[c,b].
385

(C) { c ∈ [a,b1] ∧ d ∈ [c,b2] } ⇒ ∃b ∈ [b1,b2], d ∈ [a,b].
(D) a ≠ b ⇒ ∃ x ∉ { a,b }, x ∈ [a,b].
(U) a ≠ b ⇒ ∃ c ∉ { a,b }, a ∈ [c,b].
(S) [a≠b ∧ a∈C∈C ] ⇒ ∃c∈[a,b], { C∩[a,b] = [a,c] ∨ C∩[a,b] = [a,c) }.
Los siete primeros axiomas caracterizan las geometrías lineales
densas y extensibles, mientras que el último es el axioma de completitud,
del cual habíamos anticipado en [3] su necesidad para desarrollar
una teoría de la separación mediante hiperplanos.
Si a ≠ b, = { x : x∈[a,b] ∨ a∈[x,b] ∨ b∈[a,x] } es una recta.
Las semirrectas son [a,b> = { x : x∈[a,b] ∨ b∈[a,x] }, (a,b> = [a,b> \ a,

(Ax 3) Si y∈(x,z), y∉U∈V (x), entonces
∃W∈V (z), z1∈W, [ U ∩ = ∅ ].
3.- Conjuntos afines e hiperplanos
Diremos que A⊆X es afín sii [ {a; b}⊆ A ∧ a ≠ b ] ⇒ ⊆ A. El
conjunto vacío, los conjuntos unitarios y X son afines. La familia A
de los subconjuntos afines de X es interseccional, por lo cual la cápsula
afín de S⊆X, será af S = ∩ { A∈A : S⊆A }. Evidentemente, A ⊆C .
Por III.7 de [4], si C es un convexo que contiene más de un punto,
entonces af C = ∪ { : {c1; c2}⊆C ∧ c1≠ c2}.
Proposición 3.1. Si A⊆X es afín, entonces cl A es afín.
Proposición 3.2. C cuerpo convexo ⇒ af (int C) = X.
Diremos que H es un hiperplano sii H es un subconjunto afín
propio maximal de X, es decir, si H⊆A≠X y A es afín, entonces H = A.
Corolario 3.3. Si H es hiperplano, entonces cl H = H, o
bien, cl H = X.
4.- Semiespacios y separación de convexos
Según vimos en [3], cualquier geometría lineal, densa y extensible
(X, S) es un espacio de JD-convexidad T1 con la propiedad (P). En
[1] y [2] se desarrolla en dichos espacios, una teoría de separación mediante
semiespacios. Daremos algunas definiciones y resultados de
dicha teoría, útiles al estudiar la separación mediante hiperplanos.
Diremos que { S1 , S2 } es un par de semiespacios complementarios,
sii S1 y S2 son convexos complementarios no vacíos de X. Además, S
es un semiespacio sii { S, S´ } es un par de semiespacios complementarios.
Si ∅ ≠ C∈C , diremos que Sm es un semiespacio minimal que
incluye a C sii C ⊆ Sm y si S es semiespacio tal que C ⊆ S ⊆ Sm , entonces
S = Sm .
Teorema 4.1. Si A y B son dos subconjuntos convexos de X, no
vacíos y disjuntos, entonces existe un par { S1 , S2 } de semiespacios
complementarios, tal que A ⊆ S1 y B ⊆ S2 .
387

Proposición 4.2. C∈C ⇒ C = ∩ { S: C ⊆ S ∧ S semiespacio}.
Proposición 4.3. Si ∅ ≠ C∈C , C ⊆ S y S es semiespacio, entonces
existe Sm ⊆ S , tal que Sm es semiespacio minimal que incluye a C.
Proposición 4.4. Si C es convexo no vacío de X, entonces
C = ∩ { Sm: Sm semiespacio minimal que incluye a C }.
5.- Separación de convexos mediante hiperplanos
Ahora trabajaremos nuevamente con una geometría lineal densa,
extensible y completa que cumpla los tres axiomas topológicos.
Teorema 5.1. Si { S1 , S2 } es un par de semiespacios complementarios,
tal que int S1 ∪ int S2 ≠ ∅, entonces:
a) int S1 ≠ ∅ y int S2 ≠ ∅.
b) { int S1 , cl S2 } y { cl S1 , int S2 } son dos pares de semiespacios complementarios.
c) H = cl S1 ∩ cl S2 = (int S1 ∪ int S2)´ es hiperplano cerrado.
Demostración. a) Supongamos int S1 ≠ ∅, y sean x∈ int S1 , y∈S2 ;
por (U), ∃z∈X tal que y∈(x,z), resultando z∈S2. Si V = int S1, entonces,
por 5.4 [3], V∈V (x). Como y∉V, por (Ax 3) ∃W∈V (z), tal que z1∈W,
V ∩ (y,z1> = ∅. Luego, W⊆ S2 , siendo int S2 ≠ ∅.
b) Por 5.4 [3], { int S1 , cl S2 } ⊆C . Como S2 = (S1)´, cl S2 = ( int S1)´.
Por lo visto en a), int S1 ≠ ∅ y como S2 ≠ ∅, cl S2 ≠ ∅.
c) Sean x∈ int S1 , y,z∈ int S2 , tal que z∉; por (S), existen
a∈(x,y), b∈(x,z), con a,b∈H, siendo por (L3) a ≠ b. Como H∈C ,
[a,b] ⊆ H; sea c∈ tal que a∈(c,b); si c∉H entonces c∈int S1 o bien
c∈int S2. Si c∈int S1, como b∈ cl S1, por 5.9 [3] a∈int S1 y a∉H.
Análogamente, si c∈int S2 , a∈int S2 y a∉H. Luego H∈A . Si x∈ int S1 ,
entonces por (S), y∈ int S2 , ∃yh∈H, con yh∈(x,y); en consecuencia,
y∈< x,yh >. Así, af (int S2)⊆ af (H∪x) y como por 3.2 af (int S2) = X, resulta
af (H∪x)=X y H es hiperplano, que además es cerrado.
En 5.1, H se obtuvo del par { S1 , S2 } de semiespacios complementarios.
Diremos que int S1 , int S2 son los semiespacios abiertos
asociados al hiperplano H, y que cl S1, cl S2 son los semiespacios cerrados.
388

La reciproca de 5.1 c) también vale como se ve en el siguiente teorema.
Teorema 5.2. Si H es un hiperplano cerrado, entonces existe un
par { S1 , S2 } de semiespacios complementarios, tal que
H = cl S1 ∩ cl S2 = (int S1 ∪ int S2)´.
Demostración. Como H es hiperplano cerrado, H´≠ ∅ es abierto.
Si x∈H´, ∃U∈V (x), tal que, U∩H= ∅, y y∈U, U∈V (y). Sea h∈H,
como U∈C , J(U,h)∈C y por 5.9 [3], int J(U,h) = J(U,h)\h, y
A = int J(U,H) = J(U,H)\H. Pero u∈U, h∈H, < u,h >∩H = { h }; luego
A∩H = ∅. Sea y∈< x,h >, h∈(x,y); así ∃V∈V (y), V∩H= ∅. Como en
el caso anterior, B = int J(V,H) = J(V,H)\H y B∩H = ∅. Así, A y B son
dos cuerpos convexos disjuntos. Por 4.1. ∃{ S1 , S2 } semiespacios complementarios,
tal que A ⊆ S1 y B ⊆ S2 , siendo H = cl S1 ∩ cl S2 .
Diremos que el hiperplano H separa los convexos no vacíos y
disjuntos A y B sii existe un par { S1 , S2 } de semiespacios complementarios
tal que H = cl S1 ∩ cl S2 y A⊆ cl S1, B⊆ cl S2 , o bien, A⊆ cl S2,
B⊆ cl S1 . También diremos, en dicho caso, que H deja de un lado a A
y del otro lado a B. La separación será propia si además A ∪ B ⊄ H.
La separación será estricta sii tanto A como B están incluidos en
los respectivos semiespacios abiertos. En II.1.7 [5], se da un ejemplo
en el plano, de convexos cerrados que no pueden separarse estrictamente.
Como consecuencia de 4.1 y 5.1 obtenemos el teorema
siguiente.
Teorema 5.3. Si A, B son convexos de X no vacíos y disjuntos
tales que, int A ∪ int B ≠ ∅, entonces existe un hiperplano cerrado H
que separa propiamente los convexos A y B.
Corolario 5.4. Si A, B son convexos de X no vacíos tales que,
int A ≠ ∅ y (int A) ∩ B = ∅, entonces existe un hiperplano cerrado H
que separa propiamente A y B.
Sea C convexo no vacío y H hiperplano cerrado. Diremos que H
es hiperplano de apoyo de C en x sii x∈H ∩ cl C y H deja de un lado a
C. Diremos que H es un hiperplano limítrofe de C sii H deja de un lado
a C y el semiespacio cerrado donde está incluido C es minimal entre
los semiespacios cerrados que incluyen a C. Todo hiperplano de apoyo
en un punto es limítrofe, pero no vale la recíproca.
389

Teorema 5.5. Si C es un cuerpo cerrado de X y x∈ front C, entonces
existe un hiperplano H de apoyo de C en x.
Demostración. Resulta de 5.3 aplicado a los convexos int C y { x }.
Teorema 5.6. Sea C convexo cerrado, no vacío y x∉C. Entonces:
a) Existe HL = cl Sm ∩ cl SM hiperplano limítrofe de C tal que
C ⊆ cl Sm y x∈int SM.
b) Si x∈H hiperplano cerrado que deja de un lado a C y que no es
limítrofe de C, entonces existe HL hiperplano limítrofe de C tal
que H∩HL = ∅.
Demostración. a) Como x∈C´∈I , ∃U∈V (x) tal que U∩C = ∅;
luego por 5.4, existe un hiperplano cerrado H = cl S1 ∩ cl S2 tal que
C ⊆ cl S1 y U ⊆ cl S2 .
Sea B = { S⊆X: S semiespacio cerrado ∧ C ⊆S ⊆cl S1 }. Si D es cadena
de B, entonces D ´= { S´: S∈D }⊆C es cadena, luego ∪D ´∈C y
en consecuencia ∩D ∈B . Luego, por el principio minimal existe
Sm ⊆ cl S1 , tal que Sm es semiespacio minimal cerrado que incluye a C;
si SM = (Sm)´, HL = cl Sm ∩ cl SM = Sm ∩ cl SM satisface la tesis.
b) Sea H = cl S1 ∩ cl S2 tal que C ⊆ cl S1. Si definimos B como en
la parte a), obtenemos nuevamente que Sm ⊆ cl S1 y Sm es semiespacio
minimal cerrado que incluye a C. Si SM = (Sm)´ y HL = cl Sm ∩ cl SM,
entonces HL es hiperplano limítrofe de C. Si suponemos que
H∩HL ≠ ∅, se obtiene que Sm ⊄ cl S1, lo cual es una contradicción.
6. Conclusiones
En estos espacios se puede desarrollar, con ciertas limitaciones,
una teoría análoga a la de la convexidad en espacios vectoriales
topológicos. Un cuerpo convexo abierto X de un espacio vectorial real
V, con la función segmento de V restringida a X, es un modelo de esta
geometría (ver pág. 173 [4]). Por tal motivo, dado un hiperplano H y
x∉H existen infinitos hiperplanos Hx tales que x∈Hx y H∩Hx = ∅.
Referencias
[1] J. C. Bressan: ‘‘Sistema axiomático para operadores de cápsula convexa’’,
Revista de la U.M.A., 26 (1972), 131-142.
390

[2] J. C. Bressan: Sistemas axiomáticos para la convexidad, Tesis doctoral,
Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,
Universidad de Buenos Aires (1976).
[3] J. C. Bressan: ‘‘Axiomas topológicos en una geometría lineal densa y
extensible’’, Anales de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires,
T. XL (2006), 231-238.
[4] W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry, Cambridge University
Press, 1998.
[5] F. A. Toranzos y J. C. Nanclares: Convexidad, Cursos, Seminarios y Tesis
del PEAM, Maracaibo, 1978.
Universidad de Buenos Aires
Departamento de Fisicomatemática
Facultad de Farmacia y Bioquímica
Junín 956 - (1113) Buenos Aires - Argentina
jbressan@mybfyb.ffyb.uba.ar
391