An´alisis Matem´atico En el espacio euclidiano Oscar Santamaria ...

Análisis Matemático
En el espacio euclidiano
Oscar Santamaria Santisteban
– 5 de septiembre de 2010 –
UNPRG
Lambayeque-Perú
c○2009 by racso

Capítulo 1
El Espacio Vectorial Euclidiano
El conjuntoR n es definido como el producto cartesiano
R×R×···×R
.
n−veces
Es decir R n := R × R × ···×R. El conjunto formado por el único punto 0 = (0,...,0) se
denotará porR 0 , es decir, R 0 := {0}.
El conjunto R n es llamado espacio euclidiano n-dimensional. Sus elementos son de la forma
x = (x1,...,xn), donde cada coordenadaxi es un número real.
El propósito general de estas notas es estudiar al espacio R n como espacio vectorial y como
espacio topológico. En realidad, la estructura topológica que se definirá enR n será inducida por
alguna norma definida en dicho espacio.
La primera estructura que daremos aR n será la de espacio vectorial real. Para ello recurriremos
a las operaciones usuales de suma y producto de números reales. Como sabemos R es con
estas operaciones un cuerpo ordenado y es también un espacio vectorial. Usando esto definimos
en R n las operaciones ⊕ : R n ×R n → R n y ⊙ : R×R n → R n de la siguiente manera: para
x = (x1,...,xn) ∈ R n , y = (y1,...,yn) ∈ R n yα ∈ R,
x⊕y := (x1 +y1,...,xn +yn),
α⊙x := (αx1,...,αxn).
Es sencillo comprobar que con estas operaciones R n es un espacio vectorial y sus elementos
son llamados vectores. El elemento neutro está dado por0 = (0,0,...,0) y el elemento inverso
de cadax = (x1,...,xn) ∈ R n es −x = (−x1,...,−xn) ∈ R n .
Haremos ahora una convención: la suma ⊕ será denotada por el símbolo clásico (+) mientras
que el producto ⊙ será denotado por (·), y de esta manera nos ahorraremos algunas complicaciones
de notación. Además siempre usaremos en R n estas operaciones de espacio vectorial.
Cuando esto no sea así, lo indicaremos en su momento.
1

2 1.1. Subespacios Vectoriales
1.1. Subespacios Vectoriales
Subconjuntos importantes dentro del R n son los llamados subespacios vectoriales. Por definición,
un subespacio vectorial de R n es un subconjunto no vacío (de R n ) que es cerrado bajo la
suma de vectores y producto de vectores por escalares. Es decir, E ⊂ R n es subespacio vectorial
si E es no vacío y, para cada x,y ∈ E y cada α ∈ R se tiene que αx + y es nuevamente
elemento deE.
Todo subespacio vectorial contiene al vector nulo. Pues si x ∈ F y α = 0 ∈ R entonces
αx = 0x = 0. SiendoF subespacio entoncesαx ∈ F , por tanto, 0 ∈ F .
EJEMPLO 1.1.
(a) EnR n hay dos subespacios que son llamados triviales: el espacio nulo{0} y el mismoR n .
(b) En R los únicos subespacios son {0} y R. En R 2 los subespacios no triviales son las rectas
que pasan por el origen. EnR 3 los subespacios no triviales son las rectas y planos que pasan
por el origen.
PROPOSICIÓN 1.1. La intersección de una colección arbitraria de subespacios de R n es un
subespacio deR n .
Demostración. Sean{Ei}i∈L una colección arbitraria de subespacios deRn y considere la intersección
S =
i∈LEi. Puesto que el vector nulo 0 es elemento de todo subespacio Ei entonces
0 es elemento deS, luegoS es no vacío.
Si x e y son elementos en S, son también elementos de cada subespacio Ei, por tanto, para
cualquier realαresulta queαx+y es también elemento de cadaEi. Luegoαx+y está enS. ❚
Un conjunto X ⊂ R n es linealmente dependiente si existen vectores distintos v1,...,vk en X
y escalares α1,...,αk ∈ R, no todos nulos, tales
α1v1 +···+α2v2 = 0.
Un conjunto que no es linealmente dependiente recibe el nombre de linealmente independiente.
EJEMPLO 1.2. Todo conjuntoX ⊂ R n que contiene al vector nulo es linealmente dependiente,
pues dado cualquierx ∈ X no nulo, podemos considerar la combinación nula1·0+0·x = 0
en la que no todos los escalares son nulos.
EJEMPLO 1.3. Todo subconjunto de un conjunto linealmente independiente es también linealmente
independiente. En un conjunto linealmente dependiente pueden existir conjuntos
linealmente independientes. Por ejemplo, el conjunto {(1,0),(0,1),(1,1)} es linealmente dependiente,
pues podemos tener la combinación nula1·(1,0)+1·(0,1)−1·(1,1) = 0, donde
los coeficientes son no nulos. Sin embargo de aquí podemos obtener el conjunto{(1,0),(0,1)}
que es linealmente independiente.
O. Santamaria S.

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 3
Dado cualquier conjunto no vacíoX contenido enR n , la colección de todas las combinaciones
lineales finitas de elementos de X es llamado espacio generado por X y se denota por S(X).
Es decir, un vectorv ∈ R n es elemento deS(X) si existen vectoresx1,...,xk enX y escalares
α1,...,αk ∈ R tales que v = k
i=1 αixi. Es sencillo comprobar que para cada conjunto no
vacíoX contenido en R n , el conjuntoS(X) es un subespacio deR n .
Dados los subespacios vectoriales F y G del R n , la unión F ∪ G no necesariamente es un
subespacio, sin embargo este genera un subespacio S(F ∪G). Es sencillo comprobar que este
espacio está formado por todas las sumas de la forma v +w, donde v ∈ F y w ∈ G. Por esta
razón se usa la notaciónS(F ∪G) = F +G. Cuando F ∩G = {0} entonces se escribeF ⊕G
en vez deF +Gyse dice queF ⊕G es la suma directa deF y G.
EJEMPLO 1.4. En el espacio Rn considere el subespacio F . El objetivo en este ejemplo es
mostrar que existe un subespacio G ⊂ Rn tal queRn = F ⊕G.
En primer lugar observe que si fuera F = Rn entonces Rn = F ⊕{0} y el problema estará resuelto.
Por el contrario, supongamos que F = Rn y que F es generado por un conjunto X, es decir
F = S(X). En este caso considere un vectorw1 /∈ S(X). Observe quew1 = 0 pues0 ∈ S(X).
Sea G1 = S({w1}). Puesto que w1 /∈ S(X) entonces αw1 /∈ S(X) para todo número real α =
0. En efecto, si fuera queαw1 ∈ F = S(X) entonces podemos escribirαw1 = a1v1+···+akvk
para ciertos v1,...,vk ∈ X y escalares a1,...,ak, luego w1 = a1
αv1 + ···+ ak
α vk y entonces
implicará que w1 ∈ F lo cual es una contradicción. Por tanto F ∩ G1 = {0}. Si fuera Rn =
F + G1 el problema ya estará resuelto. De lo contrario elija un elemento w2 /∈ S(X ∪ {w1})
y considere el subespacio G2 = S({w1,w2}). Ningún vector de la forma c1w1 +c2w2, tal que
c1 = 0 ó c2 = 0, está en F (aquí usamos el ó en sentido exclusivo), pues de lo contrario
existirían vectores v1,...,vk en F y escalares α1,...,αk ∈ R tal que
c1w1 +c2w2 = α1v1 +···+αkvk.
Si c2 = 0 entonces c1 = 0 y resultará que w1 ∈ F , una contradicción. Si c2 = 0 entonces
w2 ∈ S(X ∪ {w1}), nuevamente una contradicción. Continuando de esta manera hallaremos
vectoresw1,...,wr /∈ F tales queR n = F ⊕G, dondeG = S({w1,...,wr}).
Un conjunto X ⊂ R n es base de un subespacio F ⊂ R n si es linealmente independiente y
genera aF . En un curso estándar de álgebra lineal se muestra que siY es otra baseF entonces
X e Y tienen el mismo número de elementos. El número de elementos de cualquier base de F
se llama dimensión deF .
Es sencillo comprobar que el conjunto{e1,e2,...,en} es una base deR n , dondeei es el vector
en R n cuya i-esima coordenada es 1 y el resto son nulas. En particular se tiene entonces que
R n es de dimensiónn. Por supuesto que esta no es la única base, sin embargo es la mas usual y
mas sencilla de utilizar, por lo que es llamada base canónica. Salvo que se indique lo contrario,
siempre estaremos utilizando la base canónica. Observe que respecto a esta base todo vector
x = (x1,...,xn) ∈ R n puede escribirse en la formax = n
i=1 xiei.
O. Santamaria S.

4 1.1. Subespacios Vectoriales
EJEMPLO 1.5. Seanuyv vectores enR n que son linealmente independientes. Dado cualquier
número realα = 0, el conjunto{v,v+αu} es una base del subespacio generado por los vectores
v,v+u, v +2u, . . . ,v+nu, . . .
En efecto, en primer lugar probaremos que el conjunto{v,v+αu} es linealmente independiente.
Considere entonces la combinación linealβv+λ(v+αu) = 0. De aquí se tiene la igualdad
(β +λ)·v +λα·u = 0 lo cual implica, por ser u y v vectores L.I., β +λ = 0 = λα. Siendo
α = 0 se concluye queλ=β = 0.
En segundo lugar considere el conjuntoX = {v,v+u,v+2u,...,v+nu,...} yF = S(X),
subespacio generado por X. Dado un vector cualquiera w ∈ F existe números reales β1, . . . ,
βk, y vectores v+n1u, . . . , v +nku en X tales que
w = β1(v+n1u)+···+βk(v +nku),
donde suponemos0 ≤ n1 ≤ ··· ≤ nk. Entonces
w = (β1 +···+βk)·v +(β1n1 +···+βknk)u
= (β1 +···+βk)·v + (β1n1 +···+βknk)
α
αu+ (β1n1 +···+βknk)
v
α
− (β1n1 +···+βknk)
v
α
= β1 +···+βk − β1n1
+···+βknk β1n1 +···+βknk
v + (v+αu)
α
α
Esto significa que el subespacioF es generado por el conjuntoB = {v,v+αu} y como además
este conjunto es L.I. se concluye que es base deF . ❚
EJEMPLO 1.6. Considere los vectores v1 = (1,2,...,n), v2 = (n + 1,n + 2,...,2n), . . . ,
vn = (n 2 −n+1,n 2 −n+2,...,n 2 ) enR n . Por otro lado considere los vectoresw1 = (1,n+
1,2n+1,...,n 2 −n+1),w2 = (2,n+2,2n+2,...,n 2 −n+2), . . . ,wn = (n,2n,3n,...,n 2 ).
Los conjuntosV = {v1,...,vn} y W = {w1,...,wn} generan enR n el mismo subespacioF .
Demostración. En primer lugar observe que
v1 = (1,2,...,n) = 0·n(1,1,...,1)+v1,
v2 = (n+1,n+2,...,2n) = 1·n(1,1,...,1)+v1,
v3 = (2n+1,2n+2,...,3n) = 2n(1,1,...,1)+v1,
vn = (n 2 −n+1,n 2 −n+2,...,n 2 ) = (n−1)n(1,1,...,1)+v1.
Es decir, los elementos del conjunto V se escriben como combinación lineal de los vectores
u = (1,1,...,1) ∈ R n yv1 = (1,2,...,n), por lo tantoV puede ser escrito como
O. Santamaria S.
V = {v1 +αnu : 0 ≤ α ≤ n−1}.
.
.
.

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 5
Por otro lado, de forma análoga, se tiene que
w1 = (1,n+1,2n+1,...,n 2 −n+1) = n(0,1,2,...,n−1)+u,
w2 = (2,n+2,2n+2,...,n 2 −n+2) = n(0,1,2,...,n−1)+2u,
w3 = (3,n+3,2n+3,...,n 2 −n+3) = n(0,1,2,...,n−1)+3u,
wn = (n,n+n,2n+n,...,n 2 −n+n) = n(0,1,2,...,n−1)+nu.
Estas igualdades muestran que los elementos deW se escriben como combinación lineal de los
vectoresw = (0,1,2,...,n−1) y u = (1,1,...,1), es decir, W se escribe como
En resumen se tienen los conjuntos
W = {nw+αu : 1 ≤ α ≤ n}.
V = {v1 +αnu : 0 ≤ α ≤ n−1} y W = {nw +αu : 1 ≤ α ≤ n}.
dondev1 = (1,2,...,n),u = (1,1,...,1),w = (0,1,2,...,n−1). Comow = v1−u entonces
W = {nv1 −αu : 0 ≤ α ≤ n−1}.
Considere entonces el conjunto B = {v1,u}. Demostraremos que S(B) = S(V) = S(W).
Como para cualquierx ∈ S(V) se tiene que
x = α1v1 +α2(v1 +n.u)+α3(v1 +2n.u)+···+αn(v1 +(n 2 −n).u)
= (α1 +α2 +···+αn)v1 +(nα2 +2nα3 +···+(n 2 −n)αn)u
por tanto, x ∈ S(B). Lo cual demuestra que S(V) ⊂ S(B). Análogamente se demuestra que
S(W) ⊂ S(B).
Se demuestra fácilmente que si B1 = {v1,v1 + nu} entonces S(B) = S(B1) y como B1 ⊂ V
entonces S(B1) ⊂ S(V). Por tanto, S(B) ⊂ S(V). Análogamente al considerar el conjunto
B2 = {nv1,nv1 − u} se tiene que S(B) = S(B2) y como B2 ⊂ W se concluye que S(B) ⊂
S(W). Esto demuestra las igualdades S(B) = S(V) = S(W). En conclusión, V y W generan
el mismo subespacioF delR n .
Por otro lado, al tomar la combinación lineal αu+βv1 = 0 y debido a las coordenadas de u y
v1 se obtiene
α+β = 0 = α+2β = ··· = α+nβ
de donde α = β = 0. Por tanto B es L.I. Esto quiere decir que B = {v1,u} es base del
subespacioF . En particulardimF = 2. ❚
.
.
.
O. Santamaria S.

6 1.2. Transformaciones Lineales
1.2. Transformaciones Lineales
Una transformación lineal es una aplicación entre espacios euclidianos que de alguna manera
“conserva” las operaciones de suma de vectores y multiplicación de vectores por escalares. Mas
precisamente,
Una transformación lineal es una aplicación T : R m → R n que cumple con las igualdades
T(x+y) = T(x)+T(y)
T(α·x) = α·T(x)
para todox,y ∈ R m y todoα ∈ R.
Es sencillo ver que siT : R m → R n es una transformación lineal entoncesT(0) = 0. La versión
contra-recíproca de esta afirmación nos permite decir que dada una aplicación T : R m → R n ,
siT(0) = 0 entonces dicha aplicación no es transformación lineal.
Dada una transformación linealT : R m → R n , aparecen en escena dos conjuntos especiales:
El primero de ellos es el conjunto de vectores en R m cuya imagen es el vector nulo de R n .
Este conjunto es llamado núcleo de T y usaremos la notación kerT cada vez que queramos
referirnos a este. En símbolos
ker(T) := {x ∈ R m : T(x) = 0}.
El otro conjunto especial es formado por la imagen de R m mediante T . Como es natural, este
conjunto se llama imagen deT y se denota porImagT . En símbolos:
Imag(T) = {T(x) : x ∈ R m }.
El núcleo de T : R m → R n es subespacio de R m y la imagen Imag(T) es subespacio de R n .
Asimismo, el ker(T) arroja información sobre la inyectividad de T como veremos a continuación.
PROPOSICIÓN 1.2. Una transformación lineal T : R m → R n es inyectiva si y solo si
kerT = {0}.
Demostración. Si T es inyectiva y x ∈ kerT entonces T(x) = 0 = T(0), luego x = 0 ∈ {0}.
Recíprocamente, sikerT = {0} yx,y ∈ R m son tales queT(x) = T(y) entoncesT(x−y) = 0,
lo cual implica quex−y ∈ kerT = {0}. Es decir, x−y = 0 y, por tanto,x = y. ❚
EJEMPLO 1.7. SeaAuna matriz real de ordenn×n. La aplicaciónT : R n → R n definida por
Tx = Ax es una transformación lineal. En el caso de ser A una matriz invertible,kerT = {0}
y, por tanto, T es inyectiva. Si A es la matriz nula, ImagT = {0}. Si A es la matriz identidad
entoncesImagT = R n .
Dada una transformación lineal T : R m → R n , la dimensión del núcleo es llamada nulidad
de T mientras que la dimensión de la imagen de T se denomina rango de T . Al respecto se
tiene el siguiente resultado.
O. Santamaria S.

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 7
PROPOSICIÓN 1.3. Sea T : R m → R n una transformación lineal. Entonces
nulidad(T)+rango(T) = m.
Demostración. Elija una base {v1,...,vk} para kerT y extienda esta a una base {v1,...,vm}
de Rm . En particular se tiene k = nulidad(T). Cualquier vector x ∈ Rm
es de la forma x =
m
i=1λivi, así que
m
m m
T(x) = T = λiT(vi) = λiT(vi),
i=1
λivi
i=1
i=k+1
donde la última igualdad es debido a que T(v1) = ··· = T(vk) = 0. Luego los vectores
T(vk+1), . . . , T(vm) generan la imagen de T . Por otro lado si m i=k+1λiT(vi) = 0 entonces
T m i=k+1λivi m = 0 y asi i=k+1λivi ∈ kerT y por tanto existen escalares αj tales que
m
i=k+1
λivi =
k
αivi.
Como el conjunto{v1,...,vm} es linealmente independiente y
m
i=k+1
λivi −
i=1
k
αivi = 0
se tendrá queλi = 0 para todo i, luego el conjunto{T(vk+1),...,T(vm)} es linealmente independiente
y, por tanto, una base deImagT . Siendo así,
i=1
rangoT = m−k = m−nulidadT,
como lo afirma la proposición. ❚
Sea L(R m ;R n ) el conjunto de transformaciones lineales de R m en R n . Con la suma usual de
aplicaciones y el producto usual de un escalar por una aplicación, el conjunto L(R m ;R n ) es
un espacio vectorial. Podemos incluso exhibir una base para este espacio. Para ello considere
las bases canónicas {e1,...,em} y {ē1,...,ēn} de R m y R n respectivamente. Para cada i =
1,...,m y cada j = 1,...,n considere las aplicaciones Tij : R m → R n tales que si x =
m
i=1 xiei entonces
Tij(x) := xiēj.
En particular,
Tij(ek) =
0, si k = i
ēj, si k = i.
Es claro que cada una de las aplicacionesTij es lineal. Pero aún mas,
(1.1)
O. Santamaria S.

8 1.2. Transformaciones Lineales
PROPOSICIÓN 1.4. El conjunto B = {Tij : i = 1,...,m, j = 1,...,n} es una base de
L(R m ;R n ). En particularL(R m ;R n ) tiene dimensiónmn.
Demostración. Para mostrar la independencia lineal deB considere la combinación lineal
m
i=1
Entonces en cada vector básicoek se tiene
de donde
m
i=1
n
αijTij = 0.
j=1
n
αijTij(ek) = 0,
j=1
n
αkjēj = 0.
j=1
Como {ē1,...,ēn} es base de R n entonces αk1 = ··· = αkn = 0 y siendok arbitrario concluimos
queαij = 0 para todoi = 1,...,m y todoj = 1,...,n.
Por otro lado, para mostrar que B genera a L(R m ;R n ), considere una transformación lineal
arbitrariaT : R m → R n . Considere los escalares αij = 〈T(ei),ēj〉 y la aplicación
Entonces
S(ek) =
m
i=1
S =
n
αijTij(ek) =
j=1
m
i=1
n
j=1
n
j=1
αijTij.
αkjēj =
n
〈T(ek),ēj〉ēj = T(ek).
Como esto es válido para todo k = 1,...,m se concluye que S = T . Es decir,
T = m
i=1
j=1
n
j=1 αijTij. Esto muestra queB generaL(R m ;R n ).
Finalmente comoB tienemn elementos concluimos queL(R m ;R n ) tiene dimensiónmn. ❚
Por otro lado el conjuntoM(n×m), formado por matrices reales de orden n×m, es también
un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de matrices y multiplicación de una
matriz por un escalar. Tiene además la misma dimensiónnm queL(R m ;R n ) y un resultado del
álgebra lineal (ver [3], pag. 141, corolario 4) nos permite concluir entonces que dichos espacios
son isomorfos.
Aún cuando ya sabemos que M(n × m) y L(R m ;R n ) son isomorfos, sería bueno mostrar
un isomorfismo entre estos espacios. Considere entonces las bases canónicas {e1,...,em} y
O. Santamaria S.

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 9
{ē1,...,ēn} de R m y R n respectivamente y considere también la transformación lineal
T : R m → R n . Entonces las igualdades
permiten construir la matriz
T(ej) =
⎡
⎢
[T] = ⎢
⎣
n
αijēi, j = 1,...,m,
i=1
α11 α12 ··· α1m
α21 α22 ··· α2m
.
.
. ..
αn1 αn2 ··· αnm
la misma que es llamada matriz asociada aT . Observe que
αij = 〈ēi,T(ej)〉,
donde〈, 〉 indica producto interno canónico.
Se tiene entonces que cada transformación lineal se encuentra asociada a una matriz y en realidad
veremos en breve que cada matriz real de orden n × m se encuentra asociada a alguna
transformación linealT : R m → R n .
PROPOSICIÓN 1.5. La aplicaciónΦ : L(R m ;R n ) → M(n×m,R) que a cadaT ∈ L(R m ;R n )
le hace corresponder la matriz
Φ(T) := [〈ēi,T(ej)〉]
es un isomorfismo de espacios vectoriales.
Demostración. En primer lugar observe que para cada T,S ∈ L(R m ;R n ) y cadac ∈ R,
Φ(cT +S) = [〈ēi,(cT +S)(ej)〉] = c[〈ēi,T(ej)〉]+[〈ēi,S(ej)〉]
= cΦ(T)+Φ(S).
LuegoΦes transformación lineal.
Para mostrar la inyectividad deΦconsidereT,S ∈ L(R m ;R n ) tales queΦ(T) = Φ(S). Entonces
[〈ēi,T(ej)〉] = [〈ēi,S(ej)〉]
y de la definición de igualdad de matrices se tiene 〈ēi,T(ej)〉 = 〈ēi,S(ej)〉, de donde
〈ēi,(T −S)(ej)〉 = 0. Esto implica que para cada y = n
i=1 yiēi ∈ R n ,
〈y,(T −S)(ej)〉 =
.
⎤
⎥
⎦
n
yi〈ēi,(T −S)(ej)〉 = 0
i=1
O. Santamaria S.

10 1.2. Transformaciones Lineales
y por tanto(T −S)(ej) = 0 para cadaj = 1,...,m. Luego para todox = m j=1xjej ∈ Rm se
tiene
m
(T −S)(x) = xj(T −S)(ej) = 0
j=1
de dondeT = S. EntoncesΦes inyectiva.
Finalmente a fin de mostrar la sobreyectiva de Φ considere la matriz real [αij], elemento de
∈ M(n×m;R). Usando cada columna de esta matriz, considere los vectoresw1,...,wm ∈ Rn tales que
m
wj :=
i=1
Considere la aplicaciónT : R m → R n definida por
T(x) =
αijēi.
m
xjwj,
j=1
para cada x = m
j=1 xjej ∈ R m . Es sencillo mostrar que T es lineal. Además de esto T(ej) =
wj, luego
αij = 〈ēi,wj〉 = 〈ēi,T(ej)〉
y entoncesΦ(T) = [〈ēi,T(ej)〉] = [αij]. ❚
Se denomina funcional lineal a toda transformación lineal f : R n → R. De acuerdo a la
proposición 1.4, el espacio vectorialL(R n ;R) es de dimensiónn. Las igualdades que definen a
las transformacionesTij, de la proposición 1.4, aplicadas a este caso particular se convierten en
los funcionales lineales f1,...,fn : R n → R tales que
fi(ej) =
1, si i = j,
0, si i = j,
para todoi,j = 1,...,n.
Se deduce de la proposición 1.4 que{f1,...,fn} es una base deL(R n ;R). Esta es llamada base
dual de la base canónica de R n . Además L(R n ;R) es llamado espacio dual deR n y es común
usar la notación(R n ) ∗ para este espacio. Siendo(R n ) ∗ yR n de la misma dimensión deducimos
que ellos son isomorfos.
EJEMPLO 1.8. Sea E un subespaciom-dimensional deR n (m ≤ n) y F un subespacio de R n
tal que E ⊕F = R n . En particular F es de dimensión n−m y si {v1,...,vn−m} es una base
deF , esta puede ser extendida a una base
B = {u1,...,um,v1,...,vn−m}
de R n de tal forma que {u1,...,um} es base de E. Considere los funcionales lineales
g1,...,gn : R n → R con la condición que {g1,...,gn} sea base (dual de B) de L(R n ;R).
O. Santamaria S.

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 11
A partir de esto considere los funcionales f1 = gm+1, f2 = gm+2, . . . , fn−m = gn. Es claro
entonces que si x ∈ E entonces f1(x) = ··· = fn−m(x) = 0. Recíprocamente si x ∈ R n es tal
quef1(x) = ··· = fn−m(x) = 0 y escribimos
x =
m
i=1
αiui +
entonces las igualdades f1(x) = ··· = fn−m(x) = 0 implican βi = 0. Esto muestra que el
vectorx = m
i=1 αiui es elemento deE. En conclusión
n−m
i=1
βivi
E = {x ∈ R n : f1(x) = ··· = fn−m(x) = 0}.
Adicional a esto, considere la aplicaciónT : R n = E ⊕F → F definida por
T(x) = f1(x)v1 +···+fn−m(x)vn−m.
Es claro que T es lineal y E = T−1 (0). Además de esto T es sobreyectiva, pues si y ∈ F
entonces existen escalaresy1, . . . ,yn−m tales quey = y1v1+···+yn−mvn−m. Si consideramos
el vector v = 0 + n−m i=1 yivi ∈ Rn se tiene entonces T(v) = y. Por otro lado F es isomorfo
a Rn−m y si h : F → Rn−m es tal isomorfismo concluimos que existe una aplicación lineal
sobreyectivaA : Rn → Rn−m tal queE = A−1 (0). Esta aplicación es dada porA=h◦T . ❚
Una funciónϕ : R m ×R n → R es bilineal si para todox,y ∈ R m , z,w ∈ R n y todoα ∈ R, se
satisfacen las igualdades:
1. ϕ(αx+y,z) = αϕ(x,z)+ϕ(y,z)
2. ϕ(x,αz +w) = αϕ(x,z)+ϕ(x,w).
Estamos interesados principalmente en el casom = n. Una aplicación bilinealϕ: R n ×R n → R
es simétrica siϕ(x,y) = ϕ(y,x) para todo(x,y) ∈ R n ×R n .
Denote por B(R n × R n ;R) a la colección todas las funciones bilineales ϕ: R n × R n → R
y considere en R n la base canónica {e1,...,en}. A cada ϕ ∈ B(R n × R n ;R) se encuentra
asociada la matriz[aij]n×n cuyas entradas son dadas por
aij := ϕ(ei,ej).
PROPOSICIÓN 1.6. La aplicaciónΨ : B(R n ×R n ;R) → M(n×n;R) definida por
Ψ(ϕ) = [ϕ(ei,ej)] n×n
es un isomorfismo de espacios vectoriales. En particularB(R n ×R n ;R) es de dimensiónn 2 .
Observe que si ϕ ∈ B(R n ×R n ;R) es simétrica entonces
aij = ϕ(ei,ej) = ϕ(ej,ei) = aji.
Es decir siϕes función bilineal simétrica, la respectiva matrizΨ(ϕ) = [aij] es también simétrica.
Una función bilinealϕ : R n ×R n → R es no degenerada si la igualdad ϕ(x,y) = 0, para todo
y ∈ R n , implica quex = 0.
O. Santamaria S.

12 1.2. Transformaciones Lineales
PROPOSICIÓN 1.7. Seaϕ : R n ×R n → R una función bilineal. La matrizΨ(ϕ) = [ϕ(ei,ej)]
es invertible si y solo siϕes no degenerada.
Demostración. En primer lugar observe que dadosx,y ∈ Rn ,
n n
ϕ(x,y) = xiyjϕ(ei,ej) = xΨ(ϕ)y T .
i=1
j=1
Aquí hacemos la identificación x = (x1,...,xn) con la matriz [ x1 ··· xn ] y algo similar
paray = (y1,...,yn).
Suponga entonces que Ψ(ϕ) es invertible. Si fuera ϕ(x,y) = 0 para todo y ∈ R n entonces
xΨ(ϕ)y T = 0 para todo y ∈ R n y, por tanto, xΨ(ϕ) = 0. Como Ψ(ϕ) es invertible resulta
x = 0. Luegoϕes no degenerada.
Recíprocamente, si la matriz Ψ(ϕ) es no invertible entonces existe una solución no trivial al
sistemaAx = 0. Es decir, existe un x = 0 en R n tal quexA = 0 y, por tanto, para todoy ∈ R n
se tiene xAy T = 0. Luego existe x = 0 tal que ϕ(x,y) = 0 para todo y ∈ R n . Luego ϕ es
degenerada. ❚
Finalmente consideremos mas generalmente el conjunto B(R m ×R n ;R p ) formado por aplicaciones
bilinealesϕ: R m ×R n → R p , esto es, aplicaciones que satisfacen las igualdades
1. ϕ(αx+y,z) = αϕ(x,z)+ϕ(y,z)
2. ϕ(x,αz +w) = αϕ(x,z)+ϕ(x,w).
para todo x,y ∈ R m , z,w ∈ R n y todo α ∈ R. Es sencillo comprobar que B(R m × R n ;R p )
es un espacio vectorial con las operaciones usuales. Pero además de esto, este espacio es de dimensiónmnp.
Para mostrar esta última afirmación considere las bases canónicas{e1,...,em},
{ē1,...,ēn} y {u1,...,up} de R m , R n y R p , respectivamente. Hecho esto, consideremos aplicaciones
ϕijk: R m ×R n → R p
definidas por
En particular
ϕijk(er,ēs) =
ϕijk(x,y) = xiyjuk.
uk, si(i,j) = (r,s);
0, si(i,j) = (r,s).
No es complicado mostrar que estas aplicaciones son bilineales. Para ver que forman un conjunto
linealmente independiente considere la combinación nula
αijkϕijk = 0.
i,j,k
Entonces para cada 1 ≤ r ≤ m y 1 ≤ s ≤ n,
αijkϕijk(er,ēs) = 0,
O. Santamaria S.
i,j,k

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 13
de donde
p
αrskuk = 0.
k=1
La independencia lineal de los vectoresuk implica
αrs1 = αrs2 = ··· = αrsp = 0,
y como esto es válido para cadar,s, concluimos queαijk = 0 para todoi,j,k.
Sólo resta ver que los ϕijk forman un conjunto generador de B(R m × R n ;R p ). Para ello sea
T : R m ×R n → R p una aplicación bilineal arbitraria y considere los escalares
αijk = 〈T(ei,ēj),uk〉,
donde〈,〉denota el producto escalar en R p . Entonces
i,j,k
αijkϕijk(er,ēs) =
=
p
k=1
αrskuk
p
〈T(er,ēs),uk〉uk
k=1
= T(er,ēs).
Es decir,T(er,ēs) =
i,j,k αijkϕijk(er,ēs). Como esto es válido para todos los vectores básicos
er y ēs concluimos en la igualdadT =
i,j,k αijkϕijk.
1.3. Productos Internos
A estas alturas el estudiante ha tomado ya conocimiento de los productos
(x1,x2)·(y1,y2) = x1y1 +x2y2
(x1,x2,x3)·(y1,y2,y3) = x1y1 +x2y2 +x3y3.
mas conocidos con el nombre de “producto escalar” en R 2 y R 3 respectivamente. Veremos en
breve que estos son casos particulares del concepto general de producto interno. En un espacio
general R n , ángulos entre vectores cobran sentido con la noción de producto escalar. El
producto escalar origina también una norma particular que a su vez es muy utilizada en geometría
euclidiana. En la definición que sigue por tradición agregamos el axioma de bilinealidad.
Aunque un producto interno en R n es, por definición, bilineal esta condición puede verificarse
mostrando linealidad solamente en un argumento. Explicaremos esto luego de la definición.
O. Santamaria S.

14 1.3. Productos Internos
Una función ϕ : R n × R n → R se llama producto interno en R n si es simétrico, bilineal y
definido positivo.
En esta definición de producto interno, la condición de simetría significa que
ϕ(x,y) = ϕ(y,x) para todo x,y ∈ R n . La condición de bilinealidad indica que deben verificarse
las igualdades
ϕ(αx+y,z) = αϕ(x,z)+ϕ(y,z) y ϕ(x,αy +z) = αϕ(x,y)+ϕ(x,z)
para todo x,y,z ∈ R n y todo α ∈ R. Sin embargo, la simetría de ϕ nos permite la libertad de
comprobar sólo la primera de estas dos igualdades: la segunda se obtiene como consecuencia
de la primera, pues ϕ(x,αy + z) = ϕ(αy + z,x). Finalmente la condición definido positivo
significa que debe verificarse la desigualdadϕ(x,x) > 0 siempre quex ∈ R n \{0}.
EJEMPLO 1.9. La funciónϕ : R n ×R n → R definida porϕ(x,y) = n
i=1 xiyi es un producto
interno. Por ser el mas “natural” de definir, es usualmente llamado producto interno canónico y
es común denotarlo por el símbolo〈,〉.
EJEMPLO 1.10. Sea A = [aij] n×n una matriz real simétrica con la propiedad de que para todo
x = 0 se tiene n
i,j=1 aijxixj > 0. Observe que n
i,j=1 aijxixj = xAx T . Entonces la función
ϕ : R n ×R n → R definida por
ϕ(x,y) =
n
aijxiyj = xAy T
i,j=1
es un producto interno en Rn .
Observe que si A es la matriz identidad entonces aii = 1 y aij = 0 para i = j. Luego la
función ϕ del ejemplo 1.10 se reduce a ϕ(x,y) = n i=1xiyi. Es decir, obtenemos nuevamente
el producto interno canónico.
OBSERVACIÓN 1.1. Sea ϕ un producto interno en R n y v ∈ R n . Si ϕ(x,v) = 0 para todo
x ∈ R n entonces v = 0. Pues si fuera v = 0 entonces en particular para x = v se tendría
ϕ(v,v) > 0.
Esta observación dice que todo producto interno es una forma bilineal no degenerada.
EJEMPLO 1.11. Sea 〈 , 〉 el producto interno canónico. Para cada f ∈ (Rn ) ∗ existe un único
vector v ∈ Rn tal que f(x) = 〈x,v〉. En efecto, si x = n i=1xiei entonces considerando el
vectorv = (f(e1),...,f(en)) se tiene
n
n
f(x) = f = xif(ei) = 〈x,v〉.
i=1
xiei
Para ver que v es único considere otro vector w ∈ R n tal que 〈x,v〉 = 〈x,w〉. Entonces para
todox ∈ R n se tiene que〈x,v −w〉 = 0. Luego, por la observación 1.1, resultav−w = 0.
O. Santamaria S.
i=1

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 15
EJEMPLO 1.12. Sean a, b y c números reales cualesquiera. Supongamos que en R 2 existe un
producto interno ϕ tal que ϕ(e1,e1) = a, ϕ(e1,e2) = ϕ(e2,e1) = b y ϕ(e2,e2) = c, donde
e1 = (1,0) y e2 = (0,1).
Observe que como e1 = ¯0 entonces a = ϕ(e1,e1) > 0. Es decir, a > 0. Análogamente se
demuestra quec > 0.
Como ϕ es un producto interno entonces para todox = (x1,x2) ey = (y1,y2) se tiene
ϕ(x,y) = ϕ(x1e1 +x2e2,y1e1 +y2e2)
= x1y1ϕ(e1,e1)+(x1y2 +x2y1)ϕ(e1,e2)+x2y2ϕ(e2,e2).
En particular, para x = (x1,x2) se obtiene, de la última de las igualdades anteriores, que
ϕ(x,x) = ax 2 1 +2bx2x1 +cx 2 2. (*)
Como ϕ es un producto interno entonces para x = (x1,x2) = 0 se tiene en la ecuación (*) que
ϕ(x,x) > 0. Es decirax 2 1 +2bx2x1+cx 2 2 > 0. Siendoa > 0 y suponiendox2 = 0 esto implica
que4x 2 2b 2 −4acx 2 2 < 0, de lo cual obtenemosb 2 < ac.
Análogamente si suponemos x1 = 0. Como c > 0 entonces de la ecuación (*) se obtiene
cx 2 2 +2bx2x1+ax 2 1 > 0, de lo cual resulta4x2 1 b2 −4acx 2 1 < 0 y por tanto nuevamenteb2 < ac.
En conclusión, dado un producto internoϕenR 2 tal queϕ(e1,e1) = a,ϕ(e1,e2) = ϕ(e2,e1) =
b y ϕ(e2,e2) = c, dondee1 = (1,0) y e2 = (0,1), entoncesb 2 < ac.
Recíprocamente, seaϕ : R 2 ×R 2 → R una función definida por
ϕ(x,y) = ax1y1 +b(x1y2 +x2y1)+cx2y2.
y suponga que a > 0 y b 2 < ac. Es claro que ϕ es bilineal, simétrico y además ϕ(e1,e1) = a,
ϕ(e1,e2) = ϕ(e2,e1) = b y ϕ(e2,e2) = c. Además de esto, si x = (x1,x2) = 0 entonces
ϕ(x,x) = ax 2 1 +2bx1x2 +cx 2 2 > 0.
Dos vectoresx,y ∈ R m son ortogonales respecto a un producto internoϕenR m siϕ(x,y) = 0.
El vector 0 ∈ R n es ortogonal a todo vector x ∈ R n , cualquiera sea el producto interno que se
considere. De esto y de la observación 1.1 se deduce que para un producto interno ϕ en R n se
tiene queϕ(x,y) = 0, para todoy ∈ R n , si y solo si x = 0.
EJEMPLO 1.13. EnR 2 considere los productos internos
ϕ(x,y) = x1y1 +x2y2,
ψ(x,y) = 3x1y1 +4(x1y2 +x2y1)+3x2y2
dondex = (x1,x2) y y = (y1,y2). La funciónϕes el producto interno canónico y respecto aψ
el lector deberá mostrar que realmente es un producto interno en R 2 .
Considere los vectorese1 = (1,0) y e2 = (0,1). Entonces
ϕ(e1,e2) = 0 y ψ(e1,e2) = 4.
Por tanto e1 y e2 son ortogonales respecto al producto interno canónico ϕ pero no respecto al
productoψ.
O. Santamaria S.

16 1.3. Productos Internos
EJEMPLO 1.14 (Adjunta de una transformación lineal). ConsidereR m y R n con su respectivo
producto interno canónico. Denotaremos a ambos productos por el mismo símbolo 〈,〉. Sea
T : R m → R n una transformación lineal y (aij)n×m la matriz asociada a T respecto a las bases
canónicas {e1,...,em} y {ē1,...,ēn} de R m y R n , respectivamente. Se tienen entonces las
igualdadesT(ej) = n
i=1 aijēi para todoj = 1,...,m. Considere los vectores
vi =
m
j=1
aijej ,
dondei = 1,...,n, y defina la aplicaciónT ∗ : R n → R m por medio de la regla
T ∗ (y) =
n
yivi.
En particularT ∗ (ēi) = m j=1aijej. Es claro queT ∗ es lineal y además
n
mientras que
〈Tej,ēk〉 =
〈ej,T ∗ ēk〉 =
i=1
ej,
i=1
aijēi,ēk
n
j=1
akjej
= akj,
= akj.
Es decir 〈Tēj,ek〉 = 〈ēj,T ∗ek〉. Por tanto, para todo x = m j=1xjej ∈ Rm
y todo y =
n
k=1ykēk ∈ Rm se cumple que
〈Tx,y〉 =
xjyk〈Tej,ēk〉 =
xjyk〈ej,T ∗ ēk〉 = 〈x,T ∗ y〉.
j,k
Esto muestra que dada una transformación lineal T : R m → R n , existe una transformación
lineal T ∗ : R n → R m , llamada adjunta de T , tal que 〈Tx,y〉 = 〈x,T ∗ y〉 para todo x ∈ R m
y todo y ∈ R n . La transformación lineal T ∗ es única, pues si S es otra transformación tal que
〈Tx,y〉 = 〈x,Sy〉 para todo x ∈ R m y todoy ∈ R n entonces en particular se tiene
〈x,(S −T ∗ )(ēj)〉 = 〈x,Sēj〉−〈x,T ∗ ēj〉 = 〈Tx,ēj〉−〈Tx,ēj〉 = 0.
Es decir (S − T ∗ )(ēj) = 0. Como esto es válido para cada vector básico ēj se concluye fácilmente
queS −T ∗ = 0. ❚
EJEMPLO 1.15. Respecto al ejemplo anterior, considere la transformación linealA : R m → R n
y su transpuesta A ∗ : R n → R m . La ecuación Ax = b, cuando b = 0, admite como solución
por lo menos a x = 0 ∈ R m . Como b = 0 es ortogonal a todo R n , en particular es ortogonal a
O. Santamaria S.
j,k

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 17
todo elemento del núcleo de A ∗ . Dado b ∈ R n , analizamos a continuación la ecuación Ax = b
cuando b = 0.
Suponga que existex ∈ R m tal queb = Ax. Entonces para todo elementoy ∈ kerA ∗ se tiene
〈b,y〉 = 〈Ax,y〉 = 〈x,A ∗ y〉 = 〈x,0〉 = 0.
Es decir, si la ecuación b = Ax tiene alguna solución x ∈ R m entonces b es ortogonal a todo
elemento del núcleo deA ∗ .
Recíprocamente, si b es ortogonal a todo elemento de kerA ∗ entonces b no puede ser elemento
del núcleo de A ∗ (de lo contrario b tendría que ser ortogonal a si mismo, lo cual no es posible
por ser b = 0). Observe que si b fuera ortogonal a todo elemento a la imagen de A entonces
para todo x ∈ R m se tendría 0 = 〈b,Ax〉 = 〈A ∗ b,x〉 lo cual implica que A ∗ b = 0, es decir
b es elemento del núcleo de A ∗ , una contradicción. Por tanto b no puede ser ortogonal a todo
elemento de la imagen deAyesto a su vez implica quebestá en la imagen deA. Es decir existe
x ∈ R m tal queb = Ax.
En conclusión: dado b ∈ R n , la ecuación Ax = b admite solución x ∈ R m si y solo si b es
ortogonal a todo elemento del núcleo de A ∗ . Dicho de otra manera, b está en la imagen de A
si y solo si es ortogonal a todo elemento de kerA ∗ . Denotando por (kerA ∗ ) ⊥ al conjunto de
vectores que son ortogonales a todo elemento de kerA ∗ , lo que acabamos de demostrar indica
queImag(A) = (kerA ∗ ) ⊥ . En particular(kerA ∗ ) ⊥ es subespacio deR n . De la proposición 1.3
deducimos entonces que
Por tanto
n = dim(imgA ∗ )+dim(kerA ∗ ) = dim(kerA ∗ ) ⊥ +dim(kerA ∗ ).
dim(imgA ∗ ) = dim(kerA ∗ ) ⊥ = dim(imgA). ❚
EJEMPLO 1.16. Una aplicación lineal T : R n → R n es simétrica si T = T ∗ . Sea S ≡
S(R n ;R n ) la colección de transformaciones lineales simétricasT : R n → R n . Observe que las
transformaciones identidad y nula son elementos de S. Además de esto si T,S ∈ S y α ∈ R
entonces
(αT +S) ∗ = αT ∗ +S ∗ = αT +S,
es decir αT + S ∈ S, lo cual demuestra que S es un subespacio vectorial de L(Rn ;Rn ).
Podemos incluso exhibir una base para S. Para ello recordemos las transformaciones lineales
Tij dadas en las igualdades (1.1). Estas son definidas comoTij(x) = xiej, de modo que
0, si k = i,
Tij(ek) =
ej, si k = i.
La aplicación transpuestaT ∗
ij : Rn → R n es tal que
T ∗
ij(el) =
0, sil = j,
ei, sil = j.
O. Santamaria S.

18 1.3. Productos Internos
Observe que T ∗
ij = Tji. Considere las aplicaciones Sij : R n → R n , con i ≤ j, dadas por
Sii = Tii ySij = Tij +Tji para i < j. Observe queS ∗ ii
= T∗
ii = Tii = Sii y también parai < j,
S∗ ij = T∗ ij +T ∗ ji = Tji+Tij = Sij. Esto muestra que cadaSij es una aplicación lineal simétrica.
Pero además de esto, la colección {Sij : i,j = 1,...,n, i ≤ j} es una base del espacio S. Es
claro que dicha colección es linealmente independiente. Para mostrar que genera aSconsidere
un elemento arbitrario T : Rn → Rn en S. Puesto que la colección {Tij : i,j = 1,...,n}
es base de L(Rn ;Rn ) entonces existen escalares αij tales que T =
ij αijTij. Luego T∗
=
ij
αijT ∗
ij. EvaluandoT yT ∗ en los vectores canónicosek se tiene
T(ek) =
αijTij(ek) =
ij
T ∗ (ek) =
ij
αijT ∗
j
ij (ek) =
i
αkjej,
αikei.
Siendo T simétrica, la igualdadT(ek) = T∗ (ek) nos muestra queαij = αji. Por tanto,
αijTij =
αiiTii +
αijTij +
ij
y cambiando los índices en la última sumatoria resulta
T =
αiiTii +
αijTij +
i
i
ij
αjiTji.
αijTij
Comoαij = αji entonces
T =
αiiTii +
αij(Tij +Tji) =
αiiSii +
i
i

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 19
Adicionalmente podemos ver que si T : Rn → Rn es cualquier transformación lineal entonces
T +T∗ T −T∗
las transformaciones lineales S = y A = son simétrica y antisimétrica, res-
2 2
pectivamente. AdemásT = S +A y como la transformación lineal nula es la única simétrica y
antisimétrica a la vez, concluimos que L(Rn ;Rn ) = S⊕A. Esto es, el espacio de transformaciones
lineales es la suma directa del espacio de transformaciones simétricas con el espacio de
transformaciones antisimétricas.
Un conjunto no vacío X ⊂ R n es ortogonal respecto a un producto interno ϕ si todo par de
vectores distintos en X son ortogonales.
EJEMPLO 1.18. Todo conjunto ortogonal X ⊂ R n que no contiene al vector nulo es linealmente
independiente. Pues siv1,...,vk son vectores distintos enX y formamos la combinación
lineal nulaα1v1 +···+αkvk = 0 entonces
0 = ϕ(0,vj) = ϕ(α1v1 +···+αkvk,vj) = αjϕ(vj,vj)
y por serϕ(vj,vj) > 0, puesvj = 0, entoncesαj = 0. Como esto sucede para cadaj concluimos
queα1 = ··· = αk = 0. ❚
Un conjunto no vacío X ⊂ Rn es ortonormal, respecto a un producto interno ϕ, si para todo
x,y ∈ X se tiene
1, six = y,
ϕ(x,y) =
0, six = y.
EJEMPLO 1.19. Todo conjunto ortonormal es parte de una base ortonormal.
En efecto, seaB = {v1,...,vk} un conjunto ortonormal enRn , conk ≤ n. Sik = n tendríamos
del ejemplo 1.18 que B es un conjunto linealmente independiente con n elementos y por tanto
una base de Rn . Si k < n entonces elegimos un vector no nulo w ∈ Rn y formamos el vector
v = w − k i=1ϕ(w,vi)vi. Entonces
k
ϕ(v,vj) = ϕ w− ϕ(w,vi)vi,vj = ϕ(w,vj)−ϕ(w,vj) = 0.
i=1
Es decir, v es ortogonal a todos los vectores v1,...,vk. Considerando vk+1 = v/ ϕ(v,v)
construimos el conjunto{v1,...,vk+1}. Continuando de esta manera extendemosB a una base
ortonormal.
Por ejemplo, respecto al producto interno canónico, la base canónica es base ortonormal.
Por otro lado si {u1,...,un} es una base ortonormal y x ∈ Rn entonces existen escalares
α1,...,αn ∈ R tales quex = n
αiui. Debido a la ortonormalidad de los ui resulta
i=1
ϕ(x,uj) = ϕ
n
i=1
αiui,uj
= αj.
O. Santamaria S.

20 1.3. Productos Internos
Luegox = n
ϕ(x,ui)ui. ❚
i=1
PROPOSICIÓN 1.8. Todo subespacioE deR n admite una base ortonormal.
Demostración. Consideramos R n con producto interno ϕ. Suponemos que E es de dimensión
k y sea {v1,...,vk} una base de E. Elija un vector w1 = v1. Observe que por serv1 = 0 (pues
pertenece a una base) entoncesw1 = 0. A continuación construimos el vector
w2 = v2 − ϕ(v2,w1)
ϕ(w1,w1) w1.
Observe quew1 y w2 son ortogonales, pues
ϕ(w1,w2) = ϕ w1,v2 − ϕ(v2,w1)
ϕ(w1,w1) w1
= ϕ(w1,v2)−ϕ w1, ϕ(v2,w1)
ϕ(w1,w1) w1
= ϕ(w1,v2)− ϕ(v2,w1)
ϕ(w1,w1) ϕ(w1,w1) = 0
Además de esto observe que, por ser v1 y v2 linealmente independientes, el vector w2 es no
nulo.
Suponga que hemos construido vectores w1, . . . , wm−1 tal que ellos constituyen un conjunto
ortogonal, entonces el siguiente vectorwm es dado por
wm = vm −
Entonces para todor = 1,...,m−1,
ϕ(wm,wr) = ϕ
vm −
m−1
ℓ=1
m−1
ϕ(vm,wℓ)
ϕ(wℓ,wℓ) wℓ.
ℓ=1
m−1
= ϕ(vm,wr)−
ϕ(vm,wℓ)
ϕ(wℓ,wℓ) wℓ,wr
ℓ=1
ϕ(vm,wℓ)
ϕ(wℓ,wℓ) ϕ(wℓ,wr)
= ϕ(vm,wr)−ϕ(vm,wr) = 0.
Es claro que cadawi es combinación lineal de los vectoresvi y como estos son linealmente independientes
entonceswi es vector no nulo. Continuando de esta manera construimos el conjunto
ortogonal{w1,...,wk}, donde
O. Santamaria S.
w1 = v1, wm = vm −
m−1
ℓ=1
ϕ(vm,wℓ)
ϕ(wℓ,wℓ) wℓ, m = 2,...,k.

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 21
La base ortonormal buscada es entonces
w1
ϕ(w1,w1) ,
w2
ϕ(w2,w2) ,...,
El ejemplo 1.11 puede ser generalizado de la siguiente manera.
wk
. ❚
ϕ(wk,wk)
PROPOSICIÓN 1.9. Considere R n con producto interno ϕ. Dado un funcional f ∈ (R n ) ∗ ,
existe un único vectorw ∈ R n tal quef(x) = ϕ(x,w) para todox ∈ R n .
Demostración. Sea {e1,...,en} una base ortonormal de Rn y elija el vector w = n
f(ei)ei.
Por otro lado considere la aplicación fw : R n → R definida por fw(x) = ϕ(x,w). Es sencillo
comprobar que fw ∈ (R n ) ∗ y además fw(ei) = f(ei) para todo i = 1,...,n, lo cual implica
que fw = f. Finalmente, si existiera algún otro vector u tal que ϕ(x,w) = ϕ(x,u) para todo
x ∈ R n entonces ϕ(x,w−u) = 0 de dondew = u. ❚
Considere R n provisto de algún producto interno ϕ. Dado un subconjunto X de R n , se llama
complemento ortogonal deX (respecto aϕ) al conjunto
X ⊥ = {y ∈ R n : ϕ(x,y) = 0 para todox ∈ X}.
PROPOSICIÓN 1.10. Para todo conjunto X contenido en R n , el complemento ortogonal X ⊥
es subespacio deR n . Además, siX ⊂ Y entoncesY ⊥ ⊂ X ⊥ .
Demostración. Como ϕ(x,0) = 0 para todo x ∈ R n entonces el vector nulo 0 es ortogonal a
todo elemento de R n , en particular es ortogonal a todo elemento de X, luego X ⊥ es no vacío.
Además si y y z son elementos deX ⊥ y α es cualquier real entonces para todox ∈ X se tiene
ϕ(αy +z,x) = αϕ(y,x)+ϕ(z,x) = α·0+0 = 0,
luegoαy +z ∈ X ⊥ . Esto muestra queX ⊥ es subespacio deR n .
Para demostrar la segunda afirmación, seav ∈ Y ⊥ un elemento arbitrario entoncesϕ(y,v) = 0
para todo y ∈ Y . Como Y ⊃ X entonces también se tieneϕ(y,v) = 0 para todo y ∈ X, luego
v ∈ X ⊥ . ❚
PROPOSICIÓN 1.11. Si E es un subespacio vectorial deR n entonces
1. dimE ⊥ = n−dimE.
2. E ⊥⊥ = E.
3. E ∩E ⊥ = {0}.
i=1
O. Santamaria S.

22 1.3. Productos Internos
Demostración. Para demostrar (1) elija una base{u1,...,uk} de E y elija vectores v1,...,vm
tales que {u1,...,uk,v1,...,vm} es base de R n (luego k + m = n). Considere la base dual
{f1,...,fk,g1,...,gm} en (R n ) ∗ . De acuerdo a la proposición 1.9, para cada gi podemos encontrar
un wi tal que gi = ϕ(wi,·). Afirmamos que {w1,...,wm} es base de E ⊥ . Observe que
ϕ(wi,uj) = gi(uj) = 0 para todo j = 1,...,k, es decir, cada wi es ortogonal a todo elemento
de la base de E y por tanto ortogonal a todo E. Luego cada vector wi es elemento de E ⊥ .
Los vectoresw1,...,wm son linealmente independientes pues si consideramos la combinación
lineal
β1w1 +β2w2 +···+βmwm = 0
entonces
k
m
βiϕ(wi,·) = ϕ βiwi,· = ϕ(0,·) = 0,
i=1
i=1
lo cual equivale a la igualdad m
i=1 βigi = 0 y como los funcionales gi forman un conjunto
linealmente independiente entonces cadaβi = 0. Pero además de esto, los vectoresw1, . . . ,wm
generan aE ⊥ . Para sustentar esta afirmación considere un vector no nulow ∈ E ⊥ . Entonces el
funcionalg = ϕ(w,·) puede escribirse en la forma
Para todo vectorul en la base deE,
g =
k
i=1
0 = ϕ(w,ul) = g(ul) =
αifi +
m
βjgj.
j=1
k
αifi(ul)+
i=1
entoncesg = m
j=1 βjgj. Por tanto para todox ∈ R n ,
ϕ(w,x) = g(x) =
m
βjgj(x) =
j=1
m
βjgj(ul) = αl
j=1
m
m
βjϕ(wj,x) = ϕ βjwj,x
j=1
de donde w = m
j=1 βjwj. Podemos en particular concluir que el espacio E ⊥ es de dimensión
m = n−k. Es decirdimE ⊥ = n−dimE.
Ahora procedemos a demostrar (2), es decir, la igualdad E ⊥⊥ = E. En primer lugar mostraremos
que E ⊥⊥ ⊂ E. Si fuera que E ⊥⊥ ⊂ E entonces existe algún x ∈ E ⊥⊥ tal que x /∈ E.
Siendo x elemento de E ⊥⊥ entonces ϕ(x,u) = 0 para todo u ∈ E ⊥ . Esto significa que cada
elemento u ∈ E ⊥ es ortogonal a todo E y a x, es decir, al subespacio W = S(E ∪ {x}),
luego E ⊥ ⊂ W ⊥ . Pero como E ⊂ W entonces W ⊥ ⊂ E ⊥ , luego debe ser E ⊥ = W ⊥ . La
parte (1) implica la igualdad dimE = dimW y por tanto E = W ; en particular x ∈ E. Una
contradicción.
O. Santamaria S.
j=1

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 23
Recíprocamente, si x ∈ E entonces x es ortogonal a todo elemento de E ⊥ . Pero nuevamente
por definición, sixes ortogonal a E ⊥ entoncesx ∈ E ⊥⊥ .
Finalmente, para mostrar (3) observe que si x ∈ E ∩E ⊥ entonces ϕ(x,x) = 0. Luego x = 0.
Es decir,E∩E ⊥ ⊂ {0} y como es evidente que{0} ⊂ E∩E ⊥ , se concluye en la igualdad. ❚
1.4. Normas
Una funciónN : R n → R se llama norma en R n si para todox,y ∈ R n y todoα ∈ R:
N1. N(x+y) ≤ N(x)+N(y),
N2. N(αx) = |α|N(x),
N3. Si x = 0 entonces N(x) > 0.
En la definición de norma, si en el item (N2) hacemos α = 0 obtenemosN(0) = 0. Si α = −1
entonces N(−x) = N(x). Si x = −y entonces reemplazando en (N1) resulta,
0 = N(x+y) ≤ N(x)+N(y) = N(x)+N(−x) = 2N(x),
de donde N(x) ≥ 0 para todo x ∈ R n . De esto deducimos que (N3) equivale a mostrar que la
igualdadN(x) = 0 implicax = 0.
EJEMPLO 1.20. Considere la funciónN: R n → R definida por
N(x) =
n
an|xi|
i=1
para todox = (x1,...,xn). EntoncesN es una norma en R n si y solo sia1 > 0, . . . ,an > 0.
En efecto, siN es una norma entonces para cada vectorej, de la base canónica del R n , se tiene
0 < N(ej) = a1 ·|0|+···+aj ·|1|+···+an ·|1| = aj.
Recíprocamente, si a1 > 0, . . . , an > 0 es un buen ejercicio comprobar que N cumple con los
axiomas requeridos para ser una norma.
OBSERVACIÓN 1.2. En lo que sigue usaremos la notación tradicional · en vez de N y 〈 , 〉
en vez deϕ. Es decirN(x) ≡ x yϕ(x,y) ≡ 〈x,y〉.
Una norma· en R n proviene de un producto interno〈·,·〉 en R n si para todox ∈ R n se tiene
x = 〈x,x〉.
Una desigualdad importante que involucra norma y producto interno será dada en breve. Antes
necesitamos del siguiente:
O. Santamaria S.

24 1.4. Normas
LEMA 1.1. Si a,b,c ∈ R son tales que a > 0 y aλ 2 +2bλ+c ≥ 0 para todo λ ∈ R entonces
b 2 ≤ ac.
Demostración. Basta observar que
0 ≤ aλ 2 +2bλ+c = 1
a (aλ+b)2 +
c− b2
a
y como esta desigualdad es verdadera para todoλ ∈ R, en particular es verdadera paraλ = − b
a .
Por tantoc− b2
a ≥ 0 de dondeb2 ≤ ac. ❚
Veremos dentro de poco que no todas las normas en R n provienen de un producto interno.
Mientras tanto daremos una desigualdad muy importante.
TEOREMA 1.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz). Si · es una norma en R n que proviene
de un producto interno〈·,·〉 entonces para todox,y ∈ R n ,
|〈x,y〉| ≤ x·y.
La igualdad ocurre si y solo si uno de ellos es múltiplo del otro.
Demostración. Si suponemos que x = 0 (ó y = 0) es claro que la desigualdad es verdadera.
Por otro lado, six = 0 entonces para todoλ ∈ R se tiene se tiene
0 ≤ 〈λx+y,λx+y〉 = aλ 2 +2λb+c,
dondea = 〈x,x〉, b = 〈x,y〉 = 〈y,x〉 y c = 〈y,y〉. Del lema 1.1 se tiene entonces
〈x,y〉 2 ≤ 〈x,x〉〈y,y〉,
lo cual muestra la desigualdad enunciada.
Ahora mostraremos que la igualdad ocurre si y solo si uno es múltiplo del otro. Si fueray = αx
para algún real α entonces
x·y = |α|x 2 = |α|〈x,x〉 = |〈x,αx〉| = |〈x,y〉|.
Recíprocamente, suponga que|〈x,y〉| = x·y. Para vectoresxey tales quex = y = 1
se tiene|〈x,y〉| = 1, es decir, 〈x,y〉 = 1 o 〈x,y〉 = −1. Si 〈x,y〉 = 1 entonces
Análogamente, si 〈x,y〉 = −1 entonces
0 ≤ 〈x−y,x−y〉 = x 2 +y 2 −2〈x,y〉 = 0.
0 ≤ 〈x+y,x+y〉 = x 2 +y 2 +2〈x,y〉 = 0.
Es decir, en el caso de ser x = y = 1, si |〈x,y〉| = 1 = x · y entonces y = ±x.
Finalmente para vectores x e y arbitrarios no nulos (en el caso de que un vector sea nulo la
situación es trivial)
consideramos los vectores x/x e y/y. De lo demostrado previamente
x y y x
se tiene que si
, = 1 entonces = ± , luegoy = ±yx.
Es decir,y es múltiplo
x y
y x x
escalar dex. ❚
O. Santamaria S.

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 25
Veamos ahora algunos ejemplos donde usaremos el teorema 1.1.
EJEMPLO 1.21. Dadosa,b ∈ R n , se llama segmento de extremosaybal conjunto
[a,b] := {(1−t)a+tb : 0 ≤ t ≤ 1}.
1. Suponga que c ∈ [a,b] entonces existe algún t ∈ [0,1] tal que c = (1−t)a +tb. Si · es
una norma arbitraria en R n entonces
b−c+c−a = b−(1−t)a−tb+(1−t)a+tb−a
= (1−t)b−a+tb−a = b−a.
2. Recíprocamente, suponga que para una norma ·, que proviene de un producto interno, se
tiene la igualdad
b−a = b−c+c−a.
Entonces al elevar al cuadrado y hacer las simplificaciones correspondientes se obtiene
〈b−c,a−c〉 = b−ca−c
lo cual, según la desigualdad de Cauchy-Schwartz, implica que los vectores b − c y a − c
son paralelos y del mismo sentido. Es decir, existeλ ≥ 0 tal queb−c = λ(c−a) de donde
a. Por tantoc ∈ [a,b].
c = 1 λ b+ 1+λ 1+λ
3. Cuando la norma no proviene de un producto interno bien podría suceder que b−a =
b−c+c−a y sin embargoc /∈ [a,b]. Para ver esto basta considerar enR 2 la norma de
la suma y los puntosa = (1,0),b = (0,1) y c = (0,0).
EJEMPLO 1.22. Dado un producto interno 〈·,·〉 en R n , la función · : R n → R definida por
x = 〈x,x〉 es una norma en R n .
En efecto,
1. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwartz se tiene
x 2 +2〈x,y〉+y 2
x 2 +2xy+y 2 = x+y.
x+y = 〈x+y,x+y〉 =
≤
Es decir, x+y ≤ x+y.
2. αx = α 2 〈x,x〉 = |α|x.
3. Si x = 0 entonces〈x,x〉 > 0 y por tantox > 0.
EJEMPLO 1.23. Las siguientes funciones son normas enR n : para cadax = (x1,...,xn) ∈ R n ,
O. Santamaria S.

26 1.4. Normas
n
1. x := x2 i .
i=1
2. xS := n
|xi|.
i=1
3. x M := máx{|x1|,...,|xn|}.
La primera de ellas, ·, es llamada norma euclidiana. Asimismo · S se denomina norma de
la suma o norma de Minkowski o ℓ1-norma y, · M recibe el nombre de norma del máximo o
norma uniforme. Observe que la norma de la suma, · S , aparece como caso particular de la
norma definida en el ejemplo 1.20, pues basta hacer a1 = ··· = an = 1.
Observe que si 〈 , 〉 es el producto interno canónico en R n , entonces la norma euclidiana de
un vector x puede escribirse como x = 〈x,x〉. Es decir, la norma euclidiana proviene del
producto interno canónico.
No todas las normas provienen de un producto interno. Un criterio para determinar cuándo
sucede esto se da en el resultado que sigue.
PROPOSICIÓN 1.12 (Identidad del paralelogramo). Si una norma· proviene de un producto
interno entonces satisface la igualdad
x+y 2 +x−y 2 = 2(x 2 +y 2 ).
Usando este resultado es sencillo comprobar que las normas de la suma y del máximo no provie-
nen de ningún producto interno. Por ejemplo six = e1,y = e2 entoncesx+y 2
S +x−y2
S =
2 2 + 2 2 mientras que 2(x 2
S
paralelogramo.
+ y2
S ) = 2(1+1). Es decir, · S
no satisface la identidad del
EJEMPLO 1.24. Fije números reales α y β con α < β. Para cada x = (x1,...,xn) en Rn , con
n ≥ 2, ponga
x = sup x1 +x2t+···+xnt
α≤t≤β
n−1 .
En primer lugar observe que esto define una norma enRn : es sencillo comprobar quex+y ≤
x+y y cx = |c|x para todox,y ∈ Rn y todo c ∈ R. Además, six = (x1,...,xn) es
tal quex = 0 entonces
sup x1 +x2t+···+xnt
α≤t≤β
n−1 = 0
lo cual implica que|x1 +x2t+···+xnt n−1 | = 0 para todot ∈ [α,β] y si esto ocurre entonces
x1 +x2t+···+xnt n−1 = 0 para todot ∈ [α,β]. De aquí resultax1 = ··· = xn = 0, es decir,
x = 0.
O. Santamaria S.

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 27
En segundo lugar, afirmamos que esta norma no proviene de ningún producto interno. Para
sustentar esta afirmación considere los vectores
Entonces
x = (−α,1,0,...,0) y y = (−β,1,0,...,0).
x+y = (−α−β,2,0,...,0) y x−y = (β −α,0,0,...,0).
Puesto queα ≤ t ≤ β entonces0 ≤ t−α ≤ β −α y α−β ≤ t−β ≤ 0. Luego
x = sup |−α+t| = β −α,
α≤t≤β
y = sup |−β +t| = β −α.
α≤t≤β
Además de esto, nuevamente por ser α ≤ t ≤ β entonces 2α ≤ 2t ≤ 2β lo que a su vez nos
lleva a queα−β ≤ −α−β +2t ≤ β −α. Luego
x+y = sup |−α−β +2t| = β −α,
α≤t≤β
x−y = sup |β −α| = β −α.
α≤t≤β
Obviamente no se cumple la identidad del paralelogramo y por tanto la norma no proviene de
un producto interno. ❚
EJEMPLO 1.25. Para cada 1 ≤ p < ∞, la función· p : R n → R definida por
n
xp = |xi| p
1/p ,
es una norma en R n . Esta norma proviene de un producto interno si y solo sip = 2.
Demostrar que· es una norma, se hará en tres pasos:
i=1
(1) En primer lugar demostraremos la desigualdad
m
m
|xiyi| ≤ |xi| p
1/p
m
· |yi| q
1/q i=1
i=1
dondep > 1 yq > 1 son números reales tales que 1 1
+ = 1. La desigualdad (1.2) es conocida
p q
como desigualdad de Hölder. Para demostrar esta relación considere la función f : R + → R
definida por f(t) = up
p tp + vq
q t−q , donde u,v ≥ 0 y p,q ≥ 1. Esta tiene como derivada a
i=1
(1.2)
O. Santamaria S.

28 1.4. Normas
f ′ (t) = uptp−1 −vqt−q−1 y entonces f ′ (t) = 0 si y solo si t = v1/p
(aquí usamos el hecho de
u1/q que 1 1
+ = 1 y, por lo tanto,p+q = pq). Por lo tantof podría tener un mínimo o un máximo
p q
en este valor det. Para averiguarlo calculamos la segunda derivada def. Esta es
y entonces
f ′′
1/p v
u 1/q
f ′′ (t) = (p−1)v p t p−2 +(q+1)v q t −q−2
= (p−1)v p
1/p v
u1/q p−2
+(q +1)v q
1/p v
u1/q −q−2
pues p,q ≥ 1. Por el criterio de la segunda derivada se concluye que f asume un mínimo en
t = v 1/p /u 1/q .
Este valor mínimo es
1/p v
f
u1/q
= up
p
v 1/p
u 1/q
p
= upv pup/q + vqu qv
+ vq
q
v 1/p
u 1/q
vup−p q
=
q/p
p
−q
uvq−q p
+
q
= uv.
Luegouv ≤ up
p tp + vq
q t−q para todot > 0. En particular, sit = 1, resulta
Usando
u =
uv ≤ up
p
+ vq
q .
|xk|
( m i=1 |xi| p ) 1/p y v =
se concluye rápidamente en la desigualdad de Hölder.
(2) Considere la identidad
O. Santamaria S.
|yk|
( m
i=1 |yi| q ) 1/q
(|a|+|b|) p = (|a|+|b|) p−1 |a|+(|a|+|b|) p−1 |b|,
≥ 0,

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 29
entonces, usando Hölder en la primera desigualdad que aparece a continuación,
m
(|ai|+|bi|) p =
i=1
Como 1 1 + p q
de donde
≤
=
m
|ai|(|ai|+|bi|) p−1 +
i=1
m
|ai| p
1/p m
i=1
m
i=1
i=1
m
|bi|(|ai|+|bi|) p−1
i=1
(|ai|+|bi|) q(p−1)
m
+ |bi| p
1/p m
i=1
(|ai|+|bi|) q(p−1)
i=1
1/q
+
(|ai|+|bi|) q(p−1)
1/q
⎡
1/q
m
⎣ |ai| p
1/p
m
+ |bi| p
⎤
1/p
⎦
= 1 entonces q(p−1) = p. Luego la última desigualdad se convierte en
m
(|ai|+|bi|) p
m
≤
i=1
m
i=1
i=1
(|ai|+|bi|) p
(|ai|+|bi|) p
1
p
i=1
i=1
⎡
1/q
m
⎣ |ai| p
1/p
m
+ |bi| p
⎤
1/p
⎦,
i=1
i=1
m
≤ |ai| p
1/p
m
+ |bi| p
1/p . (*)
i=1
(3) Nuestro tercer paso consiste es probar de lleno que la función · p es una norma: sean
x = (x1,...,xn), y = (y1,...,yn) elementos arbitrarios en R n y α ∈ R, entonces
N1. De la desigualdad (*),
x+y p =
≤
n
i=1
|xi +yi| p
1/p
≤
n
i=1
i=1
(|xi|+|yi|) p
1/p
m
|xi| p
1/p
m
+ |yi| p
1/p = xp +yp .
i=1
N2. αx p = ( n
i=1 |αxi| p ) 1/p = |α|x p .
N3. Si x = 0 entonces al menos una coordenada xi es no nula, luego |xi| p > 0. Se tiene
entonces en este caso quex p > 0.
i=1
O. Santamaria S.

30 1.4. Normas
Finalmente probaremos que la norma x p proviene de un producto interno si y solo si p =
2. En efecto, si p = 2 entonces x p es la norma euclidiana, la cual proviene del producto
interno canónico. Recíprocamente, supongamos que x p proviene de algún producto interno.
En particular satisface la identidad del paralelogramo y entonces para x = e1 = (1,0,...,0) y
y = (0,1,0,...,0) se tiene
e1 +e2 2
p +e1 −e2 2 2 2
p = 2(e1p +e2p ).
Esto equivale a la igualdad2 2/p +2 2/p = 2(1+1), de dondep = 2.
EJEMPLO 1.26. Sea C ⊂ R n un conjunto convexo, p ∈ R n y ϕ : C → R la función definida
porϕ(x) = x−p = 〈x−p,x−p〉. Existe como máximo un puntoa ∈ C tal queϕ(a) =
ínf{ϕ(x) : x ∈ C}.
Supongamos que existen puntosa,b ∈ C tal que ϕ(a) = ínf{ϕ(x) : x ∈ C} = ϕ(b). Como la
norma considerada proviene de un producto interno entonces por la identidad del paralelogramo
se tiene
a−b 2 = (a−p)−(b−p) 2
= 2a−p 2 +2b−p 2 −(a−p)+(b−p) 2
= 2a−p 2 +2b−p 2 −4
1
2
(a+b)−p
Como C es convexo y a,b ∈ C entonces 1
(a + b) ∈ C. Siendo ϕ(a) ≤ ϕ(x) = x−p
2
para todo x ∈ C entonces en particular ϕ(a) ≤ 1
2 (a+b)−p y, por tanto, de las igualdades
anteriores se obtiene
0 ≤ a−b 2 ≤ 2ϕ(a)+2ϕ(b)−4ϕ(a) = 0.
Luegoa = b.
Observe la importancia que tiene el hecho de que C sea convexo. En la figura 1.1 se ilustra el
caso no convexo, donde podrían existir infinitos a ∈ C tales que ϕ(a) = ínf{ϕ(x) : x ∈ C}.
Se ilustra también el caso convexo.
O. Santamaria S.
Figura 1.1:
2
.

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 31
PROPOSICIÓN 1.13. Considere enR m yR n la norma euclidiana. Las siguientes afirmaciones
respecto de una aplicación linealT : R m → R n son equivalentes:
1. Tx = x.
2. Tx−Ty = x−y.
3. 〈Tx,Ty〉 = 〈x,y〉.
4. Todo conjunto ortonormal en R m es transformado por T en un conjunto ortonormal en
R n .
5. T ∗ ◦T = Im (aplicación identidad en R m ).
6. Las columnas de la matriz deT forman un conjunto ortonormal en R n .
Demostración. Puesto que se están considerando las normas euclidianas, las cuales provienen
del respectivo producto interno canónico, entonces
Suponiendo (1) entonces
luego (1) implica (2).
Suponiendo (2), se tiene en particular
Luego
u+v 2 = 〈u+v,u+v〉 = u 2 +v 2 +2〈u,v〉.
T(x)−T(y) = T(x−y) = x−y,
Tx+Ty = T(x+y)−T(0) = x+y −0 = x+y.
〈Tx,Ty〉 = 1 2 2
Tx+Ty −Tx−Ty
4
2 2
x+y −x−y
= 1
4
= 〈x,y〉.
Luego (2) implica (3).
Suponiendo (3) y si X es un conjunto ortonormal en R m entonces para u,v ∈ T(X) existen
x,y ∈ X tales queu = Tx y v = Ty. Luego
〈u,v〉 = 〈Tx,Ty〉 = 〈x,y〉 = δij,
donde la última igualdad es debido a que X es ortonormal. Luego T(X) es ortonormal y por
tanto (3) implica (4).
O. Santamaria S.

32 1.4. Normas
Suponga la validez de (4). Considere las bases canónicas {e1,...,em} y
{ē1,...,ēn} en Rm y Rn respectivamente. Si T(ej) = n i=1aijēi entonces
T∗ (ēi) = m j=1aijej (ver ejemplo 1.14). Luego para cadaj = 1,2,...,m,
T ∗ ◦T(ej) = T ∗
= a1j
=
n
n
i=1
m
k=1
j=1
aijēi
a1jej
akjak1
= a1jT ∗ (ē1)+a2jT ∗ (ē2)+···+anjT ∗ (ēn)
e1 +
+a2j
n
m
k=1
j=1
a2jej
akjak2
+···+anj
e2 +···+
n
m
k=1
= 〈Tej,Te1〉e1 +〈Tej,Te2〉e2 +···+〈Tej,Tem〉em.
j=1
anjej
akjakm
Como la base canónica {e1,...,em} es ortogonal y T transforma conjuntos ortonormales en
conjuntos ortonormales entonces{Te1,...,Tem} es también ortonormal, es decir〈Tej,Tek〉 =
0 cuandok = j y 〈Tej,Tek〉 = 1 cuando k = j, luego
T ∗ ◦T(ej) = ej.
Como esto vale para cadaj = 1,...,m, resulta finalmenteT ∗◦T = Im. Luego (4) implica (5).
Suponga la validez de (5). Si A = (aij)n×m es la matriz asociada a T entonces A∗ = (aji)m×n
es la matriz asociada a T∗ . Luego T∗ ◦ T tiene como matriz asociada al producto A∗A, cuyos
elementos son
n
akiakj = 〈Tei,Tej〉.
cij =
k=1
Pero comoT ∗ ◦T = Im entoncesA ∗ A es la matriz identidad, luegocij = 1 parai = j ycij = 0
para i = j. Esto se traduce en las igualdades 〈Tei,Tej〉 = 1 para i = j y 〈Tei,Tej〉 = 0
para i = j. Pero como los vectores T(ej) son precisamente las columnas de A, se obtiene lo
afirmado en (6).
Finalmente suponga la validez de (6), es decir, 〈Tei,Tej〉 = δij. Entonces
Tx 2
m
= 〈Tx,Tx〉 = xiTei,
i=1
=
xixj 〈Tei,Tej〉 =
ij
m
xjTej
j=1
m
x 2 i = x2 ,
de dondeTx = x, que es lo afirmado en (1). ❚
O. Santamaria S.
i=1
em

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 33
EJEMPLO 1.27. Una transformación lineal T : R m → R m es ortogonal si
T ∗ ◦ T = In = T ◦ T ∗ . Como la matriz asociada a T ∗ ◦ T es la matriz identidad entonces
det(T ∗ ◦T) = 1. Luego
(detT) 2 = detT detT = detT ∗ detT = det(T ∗ ◦T) = detIn = 1,
de dondedetT = ±1.
Observe que una aplicación T : R m → R m es ortogonal si y solo si cumple una (y por tanto
todas) de las condiciones de la proposición 1.13.
Una transformación linealA : R n → R n se llama semejanza si existe un realα > 0 tal que para
todox,y ∈ R n ,
〈Ax,Ay〉 = α 2 〈x,y〉.
PROPOSICIÓN 1.14. SeaA : R n → R n una transformación lineal. Las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
1. A es una semejanza.
2. Ax = αx para todox ∈ R n .
3. Si{e1,...,en} es una base ortonormal entonces〈Aei,Aej〉 = 0 parai = j yAei = α
para cualesquierai,j = 1,...,n.
Demostración. Suponga queAes una semejanza. Existe un número realα > 0 tal que〈Ax,Ay〉 =
α 2 〈x,y〉 para todo x,y ∈ R n . En particular, para x = y, 〈Ax,Ax〉 = α 2 〈x,x〉. Luego (1) implica
(2).
Suponga que se cumple (2) y sea{e1,...,en} una base ortonormal. Entonces
〈Aei,Aej〉 = 1
Aei +Aej
4
2 −Aei −Aej 2
= 1
A(ei +ej)
4
2 −A(ei −ej) 2
= α2
4
ei +ej 2 −ei −ej 2
= α2
4 (2+2〈ei,ej〉−2+2〈ei,ej〉)
= α 2 〈ei,ej〉.
Usando la ortonormalidad de los vectores ei se obtiene lo que afirma (3).
O. Santamaria S.

34 1.4. Normas
Finalmente, suponga que se cumple (3) y considerexey, elementos arbitrarios enRn . Entonces
en términos de la base canónica, x = n i=1xiei ey = n i=1yiei, luego
n n
〈Ax,Ay〉 = xiAei, yjAej
=
=
i=1
j=1
n
xiyj〈Aei,Aej〉
i,j=1
n
i=1
xiyiα 2 = α 2 〈x,y〉.
Y así, (3) implica (1). ❚
PROPOSICIÓN 1.15 (Proyección Ortogonal). SeaE un subespacio vectorial deR n ,{e1,...,ek}
una base ortonormal deE yπ : R n → E definida porπ(a) = k
i=1 〈a,ei〉ei. Entonces
a) Para cada a ∈ R n , el vectora−π(a) es elemento deE ⊥ ;
b) La aplicaciónπ es lineal yker(π) = E ⊥ ;
c) Para cada a ∈ R n , la función fa : E → R, definida por fa(y) = a−y, alcanza su valor
mínimo solamente en π(a);
d) R n = E ⊕E ⊥ .
Demostración.
a) Para cada elementoej de la base ortonormal dada, se tiene
〈a−π(a),ej〉 = 〈a,ej〉−〈π(a),ej〉
k
= 〈a,ej〉− 〈a,ei〉ei,ej
= 〈a,ej〉−
i=1
k
〈a,ei〉〈ei,ej〉
i=1
= 〈a,ej〉−〈a,ej〉 = 0.
Luego dado cualquierv = k
i=1 viei, vector en E,
Es decira−π(a) está en E ⊥ .
O. Santamaria S.
〈a−π(a),v〉 =
k
vj〈a−π(a)ej〉 = 0.
j=1

Cap. 1: El Espacio Vectorial Euclidiano 35
b) Es sencillo mostrar que π es lineal. Además si a ∈ ker(π) entonces π(a) = 0, es decir,
k
i=1 〈a,ei〉ei = 0. Debido a la independencia lineal de los vectores ei, la última igualdad
implica que 〈a,ei〉 = 0 para todo i = 1,...,n, luego a es ortogonal al espacio E, es
decir, a ∈ E ⊥ . Recíprocamente, si a ∈ E ⊥ entonces, en particular, 〈a,ej〉 = 0 para todo
j = 1,...,k. De la definición de π resulta π(a) = 0 y, por tanto, a debe ser elemento del
ker(π).
c) Sea a ∈ R n y considere la función fa : R n → R definida por fa(y) = a−y. Como
π(a) ∈ E entonces π(a) −y es elemento del subespacio E, para todo y en E. De item (a)
sabemos quea−π(a) está en E ⊥ y por tanto〈a−π(a),π(a)−y〉 = 0. Luego,
[fa(π(a))] 2 = a−π(a) 2 ≤ a−π(a) 2 +π(a)−y 2
= a−π(a)+π(a)−y 2 = a−y 2 = [fa(y)] 2 .
Es decir,fa(π(a)) ≤ fa(y) para todoy ∈ E y, por tanto,f tiene un mínimo enπ(a). Siendo
E convexo, del ejemplo 1.26 deducimos queπ(a) es el único punto dondefa asume su valor
mínimo.
d) Finalmente, de la proposición 1.11 sabemos queE∩E ⊥ = {0}, así que sólo queda mostrar
la igualdadR n = E+E ⊥ . Para ello será suficiente probar queR n ⊂ E+E ⊥ . Sia ∈ R n , de
lo demostrado en (a) y (c) deducimos que π(a) es el único elemento de E tal que a−π(a)
es ortogonal a E, es decir, tal quea−π(a) ∈ E ⊥ . Si y = a−π(a) y x = π(a), deducimos
que a = x+y. Esto muestra que cada a ∈ R n se escribe de modo único como la suma de
dos elementos: unoxen E y otroy en E ⊥ , luegoR n ⊂ E +E ⊥ . ❚
Dos normas· 1 y· 2 en R n son equivalentes si existen constantesa > 0 yb > 0 tales que
x 1 ≤ ax 2 y x 2 ≤ bx 1 .
EJEMPLO 1.28. Las normas euclidiana y de la suma son equivalentes. En efecto, si x =
(x1,...,xn) ∈ Rn entonces
x = ≤ = |xi| = xS .
i=1
x 2 i
i=1
x 2 i
xS =
|xi| ≤ n
i=1
i=1
x 2 i
i=1
= nx.
Es decir, x ≤ x S y x S ≤ nx.
De manera análoga se comprueba la equivalencia entre · S y · M y también la equivalencia
entre· y · M .
Mas adelante comprobaremos que todas las normas en R n son equivalentes. Como veremos,
algunos conceptos permanecen invariantes bajo normas equivalentes.
O. Santamaria S.

36 1.5. Distancias en R n
1.5. Distancias enR n
Una distancia en R n es una funciónd: R n ×R n → R que satisface, para todox,y,z ∈ R n , las
siguientes propiedades:
1. d(x,y) = 0 si y solo si x = y;
2. d(x,y) ≤ d(z,x)+d(z,y).
PROPOSICIÓN 1.16. Una función d: R n × R n → R es una métrica si y solo si para todo
x,y,z ∈ R n ,
1. d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z);
2. d(x,y) = d(y,x);
3. Si x = y entoncesd(x,y) > 0.
Demostración. Suponga quedes una métrica. ❚
ConsidereR n provisto de alguna norma·. La funciónd: R n ×R n → R definida pord(x,y) =
x−y
1.6. Ejercicios
1. Determine si las siguientes funciones· : R n → R son normas en R n :
a) x = máx{|x1|,2|x2|,...,n|xn|}.
b) x = |x1|+2|x2|+...+n|xn|.
dondex = (x1,...,xn).
O. Santamaria S.