estudio de librerías numéricas y su aplicaci´on a la simulaci´on de ...

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
FACULTAD DE FISICA
Departamento de Electrónica y Computación
ESTUDIO DE LIBRERÍAS NUMÉRICAS
Y SU APLICACIÓN A
LA SIMULACIÓN DE TRANSISTORES
Memoria de licenciatura
Natalia Seoane Iglesias
Octubre, 2003

Dr. Antonio Jesús García Loureiro, Profesor Asociado del
Departamento de Electrónica y Computación de la Universidad
de Santiago de Compostela.
CERTIFICA:
Que la memoria titulada “Estudio de librerías numéricas
y su aplicación a la simulación de transistores”, ha sido
realizada por Dña. Natalia Seoane Iglesias bajo mi dirección
en el Departamento de Electrónica y Computación de la Universidad
de Santiago de Compostela y constituye la Tesina que
presenta para optar al grado de Licenciada en Ciencias Físicas.
Fdo. Antonio J. García Loureiro
Director de la tesina
Fdo. Diego Cabello Ferrer,
Director del Departamento de
Electrónica e Computación.
Santiago, Octubre de 2003

Agradecimientos
Deseo expresar mi agradecimiento a todas aquellas personas que de una
forma u otra han posibilitado la realización de esta memoria.
En primer lugar a mi tutor, Antonio García Loureiro, por su paciencia,
consejo y apoyo.
A todos los miembros del Departamento de Electrónica y Computación
y a los compañeros del Grupo de Arquitectura de Computadores, en especial
a Alex y Javi por haber soportado mis dilemas con buen humor y a Marcos
por su ayuda en todos esos problemillas que me surgían.
A mi familia, que me conoce y entiende.
A mis amigas que siempre están ahí (y ya van 11 años).
A Manolo, mi cómplice.

A mi familia, amigas y M.

Índice general
Introducción 1
1. Dispositivos de efecto campo con heteroestructuras: HEMT 3
1.1. Heteroestructuras de semiconductores . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Tensión en las heterointerfaces . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Control del dopado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Transistores de heteroestructura de efecto campo . . . . . . . 8
1.2.1. Modulación del dopado . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. Física de los FETs de heteroestructura . . . . . . . . . 11
1.2.3. Funcionamiento de los dispositivos HEMT . . . . . . . 12
1.2.4. Modelización de transistores HEMT . . . . . . . . . . 14
2. Introducción a los computadores paralelos 21
2.1. Características de los computadores paralelos . . . . . . . . . 22
2.1.1. Organización de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2. Redes de interconexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3. Nivel de paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Tipos de programación paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Cluster Beowulf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Origin 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. Sistemas de ecuaciones lineales 35
3.1. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones . . . . . . . 35
3.2. Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Precondicionadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1. Precondicionadores clásicos . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.2. Precondicionadores multimalla . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.3. Precondicionadores basados en descomposición de dominios
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4. Técnicas de almacenamiento de matrices dispersas . . . . . . 45
I

II ÍNDICE GENERAL
3.4.1. Formato CRS (Compressed Row Storage) . . . . . . . 46
3.4.2. Formato CCS (Compressed Column Storage) . . . . . 46
3.4.3. Formato MSR (Modified Compressed Sparse Row) . . 46
3.4.4. Formato HB (Harwell Boeing) . . . . . . . . . . . . . 47
3.5. Librerías numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.1. SPARSKIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.2. PSPARSLIB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.3. SuperLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5.4. PETSc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.5. Aztec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4. Resultados numéricos 73
4.1. Descripción del simulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1. SPARSKIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2. SuperLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.3. PSPARSLIB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.4. PETSc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.5. Aztec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Conclusiones 107
Bibliografía 111

Índice de figuras
1.1. Representación de la constante de red frente a Egap para las
aleaciones de semiconductores más comunes. . . . . . . . . . 4
1.2. Representación de las bandas de conducción y valencia en una
heterounión AlGaAs–GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Estructura de bandas para una heterounión n–AlGaAs y GaAs
intrínseco en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. En la figura (a) la capa epitaxial que se crece es lo suficientemente
fina como para que se adapten las constantes de red,
en la figura (b) esta capa es más ancha que el grosor crítico,
lo que provoca la aparición de dislocaciones. . . . . . . . . . . 8
1.5. Estructura de bandas para una heterounión n–AlGaAs y GaAs
intrínseco teniendo en cuenta modulación del dopado . . . . . 10
1.6. Estructura epitaxial de un HEMT de AlGaAs–GaAs básico. . 11
1.7. Curva característica ID − VD para un dispositivo HEMT . . . 14
2.1. Ejemplos de topologías de redes de interconexión. . . . . . . . 26
2.2. Cluster Beowulf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Configuración del Origin 200 con 4 procesadores . . . . . . . 32
3.1. Factorización LU básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Ejemplo de factorización incompleta LU(0) . . . . . . . . . . 42
3.3. (a) Malla asociada a un dominio dividido en tres subdominios,
(b) matriz asociada a la malla anterior . . . . . . . . . 44
3.4. Ejemplo de pseudo–código para el protocolo de comunicación
inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5. Representación local de una matriz dispersa distribuida . . . . 52
3.6. Solapamiento de dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7. (a) Etiquetado natural para una malla bicolor , (b) Reordenamiento
blanco–negro de los nodos . . . . . . . . . . . . . . . . 58
III

IV ÍNDICE DE FIGURAS
3.8. (a)Malla asociada a un subdominio dividido en tres subdominios
según un particionamiento basado en vértice, (b) Matriz
asociada a la malla anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9. Estructura de datos para las matrices L y U . . . . . . . . . . 65
3.10. Organización de la librería PETSc . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.11. Estructura de la librería PETSc . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.12. Ejemplo de particionamiento de una malla de elementos finitos 70
4.1. Curva característica experimental del PHEMT de 120nm . . . 74
4.2. Potencial electrostático en el equilibrio . . . . . . . . . . . . . 75
4.3. Concentración de electrones en equilibrio . . . . . . . . . . . . 76
4.4. Representación esquemática del dispositvo PHEMT . . . . . . 76
4.5. Malla tetraédrica del PHEMT de 120nm dividida en tres subdominios
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6. Tiempo de la factorización incompleta LU para la matriz poisson6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.7. Tiempo de la factorización incompleta LU para la matriz electron6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.8. Dependencia del número de iteraciones con el llenado para la
matriz poisson6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.9. Relación entre el llenado y el tiempo de resolución para la
matriz poisson6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.10. Relación entre la dimensión del subespacio de Krylov y el
tiempo de resolución para la matriz poisson6 . . . . . . . . . 82
4.11. Dependencia del número de iteraciones con el llenado para la
matriz poisson6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.12. Relación entre el llenado y el tiempo de resolución para la
matriz electron6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.13. Dependencia del número de iteraciones con el llenado para la
matriz electron6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.14. Relación entre la dimensión del subespacio de Krylov y el
tiempo de resolución para la matriz electron6 . . . . . . . . . 85
4.15. Tiempo de la factorización LU para la matrices poisson6 y
electron6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.16. Tiempo de la factorización local LU incompleta para la matriz
poisson6 y su dependencia con el llenado . . . . . . . . . . . . 87
4.17. Tiempo de la factorización local LU incompleta para la matriz
electron6 y su dependencia con el llenado . . . . . . . . . . . 87
4.18. Dependencia del tiempo de resolución con el llenado para el
resolutor FGMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

ÍNDICE DE FIGURAS V
4.19. Comparativa entre los resolutores FGMRES, BCGSTAB y
TFQMR para un llenado 15 y una dimensión del subespacio
de Krylov de 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.20. Dependencia del número de iteraciones con el llenado y el
número de procesadores para el resolutor FGMRES . . . . . . 90
4.21. Dependencia del tiempo de resolución con el llenado y el número
de procesadores para el resolutor FGMRES . . . . . . . . . 90
4.22. Dependencia del tiempo de resolución con el llenado y el número
de procesadores para el resolutor BCGSTAB . . . . . . . . 91
4.23. Dependencia del tiempo de resolución con el llenado y el número
de procesadores para el resolutor TFQMR . . . . . . . . . 91
4.24. Dependencia del tiempo de resolución con el llenado para el
resolutor GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.25. Comparativa entre los resolutores TFQMR, BCGSTAB y GM-
RES para un llenado 15 y una dimensión del subespacio de
Krylov de 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.26. Comparativa entre los métodos Schwarz aditivo y SOR multicolor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.27. Dependencia del tiempo de resolución con el llenado para el
resolutor GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.28. Comparativa entre los resolutores TFQMR, BCGSTAB y FGM-
RES para un llenado 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.29. Dependencia del tiempo de resolución con el llenado para el
precondicionador lschur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.30. Comparativa entre los precondicionadores lschur y rschur para
un llenado 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.31. Comparativa entre los métodos de resolución Schwarz aditivo,
Schur y SOR multicolor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.32. Dependencia del tiempo de resolución con el llenado para el
precondicionador lschur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.33. Comparativa entre los métodos de resolución Schwarz aditivo,
Schur y SOR multicolor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.34. Dependencia del tiempo total de resolución con el nivel de
llenado para el resolutor GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.35. Dependencia del tiempo total de resolución con el nivel de
llenado para el resolutor BCGSTAB . . . . . . . . . . . . . . 100
4.36. Dependencia del tiempo total de resolución con el nivel de
llenado para el resolutor GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.37. Dependencia del tiempo total de resolución con el nivel de
llenado para el resolutor BCGSTAB . . . . . . . . . . . . . . 101

VI ÍNDICE DE FIGURAS
4.38. Dependencia del tiempo del resolutor GMRES con el nivel de
llenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.39. Dependencia del tiempo de resolución con el ilut fill para el
resolutor GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.40. Dependencia del tiempo de resolución con el ilut fill para el
resolutor BCGSTAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.41. Dependencia del tiempo de resolución con el ilut fill para el
resolutor BCGSTAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.42. Dependencia del tiempo de resolución con el ilut fill para el
resolutor GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Índice de tablas
3.1. Modo de almacenamiento CRS para la matriz dispersa . . . . 46
3.2. Modo de almacenamiento CCS para la matriz dispersa . . . . 46
3.3. Modo de almacenamiento MSR para la matriz dispersa . . . . 47
4.1. Dopados y dimensiones del PHEMT . . . . . . . . . . . . . . 74
VII

VIII ÍNDICE DE TABLAS

Introducción
La utilización de herramientas software para el desarrollo de dispositivos
electrónicos es, en la actualidad, una alternativa eficiente a los métodos
tradicionales, basados en la aproximación experimental. Por medio de la simulación
numérica computerizada podemos obtener información de la física
de los procesos de fabricación, del comportamiento de los dispositivos y del
rendimiento de los circuitos, logrando así reducir los costes de desarrollo de
los nuevos circuitos integrados.
Un problema común a todos los simuladores de procesos, dispositivos y
circuitos es el elevado tiempo de computación que requieren, cuyo origen
está en el alto número de datos a procesar (sobre todo en el tratamiento
de problemas tridimensionales) y en la lentitud de las técnicas numéricas
empleadas.
En esta memoria partimos de un simulador de dispositivos tridimensional
y paralelo, aplicado a dispositivos HEMT, sobre el que pretendemos estudiar
el efecto de las variaciones tanto en el dopado como en la composición de los
compuestos ternarios que se producen en la fabricación de estos dispositivos
cuando se escalan a dimensiones submicrométricas. Con el fin de obtener
resultados realistas es necesario realizar un análisis estadístico adecuado,
siendo preciso para ello un número considerable de simulaciones. Por lo tanto
tratamos de realizar un análisis de algunas librerías numéricas actuales, de
los métodos de resolución y de precondicionamiento que implementan, con
el fin de intentar reducir lo máximo posible el tiempo de computación.
La memoria se divide en cuatro capítulos:
En el primer capítulo se realiza una descripción de los principios físicos
en los que se basan las heteroestructuras, para centrarse a continuación en
los transistores HEMT, detallando su modo de funcionamiento y algunas de
las técnicas de modelización existentes.
En el segundo capítulo se hace una introducción a los sistemas multiprocesador
y se describen las principales características de la programación
paralela, para pasar, posteriormente a caracterizar los sistemas empleados,
1

2 Introducción
el cluster Beowulf y el Origin 200.
En el tercer capítulo se estudian los métodos de resolución que se
pueden emplear para resolver los sistemas lineales, junto con los precondicionadores
utilizados para acelerar la convergencia de los métodos iterativos.
Realizamos una descripción más profunda de las librerías numéricas de
resolutores paralelos que hemos manejado y los distintos modos de almacenamiento
que se pueden utilizar en las matrices dispersas.
En el cuarto capítulo inicialmente se describen algunas de las principales
características del programa de simulación utilizado. A continuación
nos centramos en las librerías numéricas, empezando por la librería secuencial
SPARSKIT, con la que realizamos un estudio de una gran variedad de
resolutores que servirá como base para los análisis de las librerías posteriores,
puesto que sólo trataremos los resolutores que presentaran mejores
resultados con esta librería. Las librerías que se estudian a continuación son
SuperLU, PSPARSLIB, PETSc y Aztec.
Finalmente se presentan las conclusiones, donde se resumen las principales
aportaciones de este trabajo y se sugieren posibles líneas de investigación
en este campo.

Capítulo 1
Dispositivos de efecto campo
con heteroestructuras:
HEMT
Los transistores HEMT (High Electron Mobility Transistor)[BB02, RR02]
basados en la formación de heteroestructuras de semiconductores, están reemplazando
rápidamente a la tecnología convencional MOSFET en aplicaciones
militares y comerciales que requieran alta ganancia y ruido reducido,
sobre todo para frecuencias elevadas. Constituyen un importante campo de
investigación actual debido a sus interesantes propiedades y a su posible
utilidad en campos como las aplicaciones de microondas y las digitales de
alta velocidad.
Antes de describir el dispositivo se introducen una serie de conceptos útiles
para la posterior comprensión del funcionamiento del transistor HEMT.
Inicialmente nos centramos en los principios físicos en los que se basan las
heteroestructuras, tratando también ciertos factores que influyen sobre ellas,
como pueden ser la tensión en las heterointerfaces y el control del dopado
introducido, para abordar después la descripción del dispositivo y su funcionamiento,
que es, en cierto modo, análogo al de los transistores MOSFET
[Pie94]. Por último presentamos algunas de las técnicas de modelización y
simulación de estos dispositivos.
1.1. Heteroestructuras de semiconductores
Una heteroestructura se forma al poner contacto dos materiales semiconductores
de características muy diferentes, siendo una de las técnicas más
utilizadas para ello el crecimiento epitaxial. Las principales propiedades que
3

4 Capítulo 1. Dispositivos de efecto campo con heteroestructuras: HEMT
Figura 1.1: Representación de la constante de red frente a Egap para las
aleaciones de semiconductores más comunes.
afectan al comportamiento de la heteroestructura son sus constantes de red,
concentraciones de dopado y energías de banda prohibida (Egap).
Las heterouniones están compuestas normalmente de materiales cuya
constante de red es muy parecida. La figura 1.1 muestra la energía de banda
prohibida frente a la constante de red de los elementos más comunes de la
III–IV familia(3 a y 5 a columna de la tabla periódica) y los basados en silicio
[BB02].
Las líneas continuas de la figura 1.1 unen elementos que darían lugar a
materiales directos, en los que el mínimo de la banda de conducción coincide
con el máximo de la banda de valencia en una representación energía–
momento. En cambio elementos unidos por líneas discontinuas formarían
semiconductores indirectos. Al desplazarse a lo largo de las líneas se varía
la fracción molar que aporta cada uno de los componentes en la formación
del compuesto ternario. En el caso de materiales cuaternarios (formados
por cuatro elementos) tendríamos una superficie delimitada por tres compuestos
(puntos en la gráfica) por la que podremos movernos al variar la
composición. Los elementos que podamos unir en la gráfica por una línea
aproximadamente vertical proporcionarán materiales de constantes de red

1.1. Heteroestructuras de semiconductores 5
Figura 1.2: Representación de las bandas de conducción y valencia en una
heterounión AlGaAs–GaAs
muy similares, siendo sus Egap diferentes en función de la composición.
Una de las heteroestructuras más importantes es la formada entre GaAs
y AlAs, o su compuesto relacionado el AlxGa1−xAs, siendo x la razón de
mezcla. En la heteroestructura GaAs−AlxGa1−xAs los dos materiales que la
componen tienen constantes de red prácticamente idénticas (como podemos
ver en la gráfica 1.1), propiedad muy importante puesto que de no ser así se
producirían tensiones o dislocaciones perjudiciales. Partiendo de la figura
1.2, en la que representamos las bandas de conducción y valencia de la
heterounión, observamos que sus Egap son diferentes, de tal forma que en
la heterounión ∆Egap = ∆Ec + ∆Ev, donde la Egap del GaAs a 300K es
1.42 eV, mientras que en el caso del AlxGa1−xAs la anchura de la banda
prohibida varía con la composición de la siguiente forma:
E gap(x) = 1,424 + 1,247x 0 < x < 0,45 (1.1)
siendo x la razón de mezcla.
En cambio no es posible formar heteroestructuras entre AlAs y AlSb,
puesto que al existir una fuerte dependencia entre la composición y la constante
de red las razones de mezcla que nos proporcionarían materiales con
distintas Egap provocarían al mismo tiempo diferencias considerables entre
sus constantes de red.
En general la Egap de los materiales semiconductores que forman la heteroestructura
es diferente, por lo tanto las bandas de conducción (BC) y
valencia (BV) de los dos materiales no pueden ser continuas simultáneamente
en la heterointerfaz; en realidad generalmente ambas son discontinuas en la
superficie de separación. Dependiendo de la aplicación el valor de la energía
de la banda prohibida se ajustará cambiando los elementos que componen
la heteroestructura (p.ej Galio por Indio o Aluminio) o bien variando la
composición de la aleación.

6 Capítulo 1. Dispositivos de efecto campo con heteroestructuras: HEMT
Figura 1.3: Estructura de bandas para una heterounión n–AlGaAs y GaAs
intrínseco en equilibrio
La heterounión se puede crear utilizando dos materiales intrínsecos o
dopando uno o ambos materiales. Como ejemplo vamos a estudiar el caso
de una heterounión de n–AlGaAs y GaAs intrínseco. Sabiendo que en el
equilibrio el nivel de Fermi es constante y lejos de la unión se recuperan
las propiedades masivas de los materiales podemos construir el diagrama
de bandas de energía. Para ello también será necesario definir una serie de
cantidades:
1. φ (función de trabajo): La energía qφ es la necesaria para promocionar
a un electrón desde el nivel de Fermi hasta el nivel de vacío (es decir,
la energía necesaria para arrancar un e − ).
2. χ (afinidad electrónica): siendo qχ la energía requerida para llevar al
e − desde el borde de la banda de conducción al nivel de vacío.
En la figura 1.3 se representan los diagramas de bandas de energía en el
caso de que los materiales estén separados (a) o puestos en contacto (b).
El potencial de contacto Vbi se define como la diferencia de las funciones
de trabajo de los materiales constituyentes, así

1.1. Heteroestructuras de semiconductores 7
Vbi = φ2 − φ1
(1.2)
donde φ2 y φ1 son las funciones de trabajo de los semiconductores de band–
gap estrecho y ancho respectivamente. En este ejemplo en concreto la diferencia
entre las funciones de trabajo sería:
Vbi = φ2 − φ1 = ∆Ec
q
+ kBT
q lnn10Nc2
n20Nc1
(1.3)
donde n10 y n20 son las concentraciones en el equilibrio de los semiconductores
de band–gap ancho y estrecho y Nc2, Nc1 las densidades efectivas de
estados.
Seguidamente se van a tratar dos factores que influyen notablemente en
la formación de las heteroestructuras: la tensión en las heterointerfaces y el
control del dopado.
1.1.1. Tensión en las heterointerfaces
Las fronteras abruptas entre distintas capas semiconductoras se forman
utilizando principalmente dos métodos: MBE (Molecular Beam Epitaxy) y
MOCVD (Metal–Organic Chemical Vapor Deposition). En estos métodos
las capas se crecen epitaxialmente (capa atómica a capa atómica) sobre un
sustrato con una adecuada constante de red.
La tecnología de crecimiento cristalino permite actualmente crear capas
muy finas de materiales semiconductores heterogéneos, lo cual ha posibilitado
el desarrollo de heteroestructuras. Este crecimiento se consigue incluso en
el caso de que las constantes de red de los materiales sean diferentes. En ese
caso, la capa fina adoptará la constante de red del material que la rodea, teniendo
que expandirse o contraerse para adaptarse, abandonando para ello
su forma cristalina masiva. Se dice entonces que las constantes de red se
acomodan por tensión, (ver figura 1.4(a)). A partir de un cierto grosor de la
capa delgada no se consigue el alineamiento de las constantes de red, por lo
que cada capa mantendrá su constante de red inicial. Esto provocará la formación
de dislocaciones en la superficie de separación, que pueden degradar
significativamente la fiabilidad y el rendimiento del dispositivo. Este efecto
lo podemos ver en la figura 1.4(b).
1.1.2. Control del dopado
En los dispositivos basados en heterouniones debe ser posible introducir
abruptamente dopantes tipo n ó p con un rango de composición entre 10 15 y
10 20 cm −3 . Para controlar la concentración de electrones y huecos, el número

8 Capítulo 1. Dispositivos de efecto campo con heteroestructuras: HEMT
Figura 1.4: En la figura (a) la capa epitaxial que se crece es lo suficientemente
fina como para que se adapten las constantes de red, en la figura (b)
esta capa es más ancha que el grosor crítico, lo que provoca la aparición de
dislocaciones.
de defectos e impurezas debe ser insignificante. Aunque las dos técnicas epitaxiales
más comunes, MBE (Molecular Beam Epitaxy) y MOCVD (Metal–
Organic Chemical Vapor Deposition) son inherentemente de alta pureza,
durante el crecimiento se introducen impurezas de fondo.
Los dispositivos HEMT requieren altas concentraciones de dopantes con
interfaces abruptas. La difusión y la separación en la superficie de los dopantes
pueden introducir perfiles de dopado no–ideales. La difusión de los
dopantes puede darse tanto durante el crecimiento como después (en el momento
del funcionamiento) a causa del propio calentamiento del dispositivo.
1.2. Transistores de heteroestructura de efecto campo
El más utilizado de los transistores de efecto campo es el MOSFET (transistor
de efecto campo Metal– Óxido Semiconductor). En estos transistores
el semiconductor más empleado es el Si. Este material tiene la ventaja de ser
oxidado fácilmente para formar SiO2, de una manera altamente controlable
y reproducible. La superficie de separación Si−SiO2 se puede crear con una
muy buena regularidad, produciendo muy pocos defectos. En definitiva los
MOSFETs de Si se pueden fabricar en grandes cantidades, siendo fácilmente
integrables para formar circuitos a gran escala. La principal limitación de

1.2. Transistores de heteroestructura de efecto campo 9
los MOSFETs de Si se encuentra en que este material es de baja movilidad.
La mayoría de los semiconductores compuestos (GaAs, InP, etc) tienen
movilidades mayores que la del silicio. Así dispositivos fabricados utilizando
semiconductores compuestos pueden presentar frecuencias de operación
superiores a las del MOSFET de Si, aunque por otro lado presentan el problema
de carecer de aislantes válidos que permitan su uso en la fabricación
de MOSFETs.
En vez de utilizar estructuras Metal– Óxido–Semiconductor, la acción de
la puerta en un FET puede lograrse usando barreras Schottky, formando
dispositivos conocidos como MESFETs. Para su construcción se pueden utilizar
semiconductores compuestos puesto que no necesitan capas de aislante.
Así, mientras que en los MOSFETs el flujo de corriente se produce próximo
a la superficie, en la capa de inversión formada entre el Si y el SiO2, en
los MESFETs el flujo de corriente tiene lugar en el semiconductor masivo,
surgiendo los portadores de la concentración de dopado de esta zona. Como
la corriente en un MESFET se da en la zona masiva, los portadores y
los átomos donadores comparten el mismo espacio. Dado que el donador
se introduce ionizado, un centro fijo y cargado positivamente está presente
en el cristal produciendo una dispersión culombiana bastante grande sobre
los electrones libres, conocida como scattering por impurezas ionizadas. La
importancia de este fenómeno depende de la separación espacial entre los
centros de scattering (en este caso los átomos ionizados donadores) y los
e− . Al aumentar la concentración de donadores, el scattering por impurezas
ionizadas se incrementa, reduciendo la movilidad electrónica en el dispositivo.
Si los átomos donadores se separaran físicamente de los portadores lograríamos
reducir el scattering culombiano. Esto se puede conseguir a través
de la modulación del dopado, técnica descrita en el apartado siguiente.
1.2.1. Modulación del dopado
Las técnicas convencionales de dopado son útiles para aumentar la concentración
de portadores libres y mejorar la conductividad del semiconductor,
pero esto se produce a expensas de un incremento del scattering por
impurezas ionizadas. La modulación del dopado es una alternativa eficaz a
las técnicas convencionales, puesto que en una heteroestructura con modulación
del dopado, los portadores libres se encuentran separados físicamente
de los dopantes. Esta separación espacial entre ambos reduce la acción del
scattering por impurezas ionizantes, lográndose aumentar la concentración
de los portadores sin comprometer la movilidad.

10 Capítulo 1. Dispositivos de efecto campo con heteroestructuras: HEMT
Figura 1.5: Estructura de bandas para una heterounión n–AlGaAs y GaAs
intrínseco teniendo en cuenta modulación del dopado
Si partimos de una heteroestructura formada con un semiconductor dopado
tipo n de band–gap elevado (p.ej. AlGaAs tipo n) y otro semiconductor
intrínseco de band–gap reducido (p.ej. GaAs), inicialmente cuando los dos
materiales se encuentran separados, el nivel de Fermi en el caso del AlGaAs
se encuentra más próximo a la banda de conducción que a la de valencia,
como podemos ver en la figura 1.3. Al alcanzarse el equilibrio, después de
poner los dos materiales en contacto, el nivel de Fermi se debe alinear a lo
largo de toda la estructura. Para ello se deben transferir e − desde la capa del
AlGaAs a la del GaAs, puesto que los e − asociados con los donadores ven
estados de menor energía en el material de band–gap estrecho (GaAs). Esto
provoca un aumento de la concentración electrónica dentro del GaAs, sin
implicar por ello un incremento de las impurezas ionizadas. Los átomos donadores
ionizados en el interior del AlGaAs tienen una carga neta positiva,
que se balancea con la negativa debida a la transferencia en el GaAs. Aunque
los átomos ionizados influyen sobre los e − transferidos en el GaAs, la
separación espacial entre ambos mitiga el efecto de la atracción culombiana

1.2. Transistores de heteroestructura de efecto campo 11
Figura 1.6: Estructura epitaxial de un HEMT de AlGaAs–GaAs básico.
entre ellos.
Nos encontramos con que los electrones se encuentran confinados en una
capa extremadamente fina, muy próxima a la heterounión, donde la energía
de Fermi es superior a la energía de la banda de conducción (ver figura 1.5).
Esto confiere al canal una resistividad muy baja. La separación espacial de
los donadores (cargados positivamente) y los e − produce un perfil de campo
eléctrico gobernado por la ecuación de Poisson, lo cual ocasiona una flexión
de la banda. Dependiendo del grado de curvatura de la banda en la capa de
GaAs se puede dar cuantización espacial. Es decir si la curvatura de la banda
en la superficie es considerable se puede formar un pozo de potencial de
dimensiones comparables a la longitud de onda de De Broglie. Se producirán
entonces niveles cuantizados de energía y el sistema se comportará como un
gas de electrones bidimensional (2DEG).
Los transistores de heteroestructura de efecto campo (HFETs)
utilizan esta técnica para alcanzar altas densidades de corriente, manteniendo
al mismo tiempo una elevada movilidad de los portadores. Además, estos
dispositivos pueden alcanzar un rendimiento óptimo a altas frecuencias al
utilizar semiconductores de alta movilidad.
1.2.2. Física de los FETs de heteroestructura
La forma más extendida de FET de heteroestructura se conoce como
MODFET (Modulation Doped Field Efect Transistor) o alternativamente
como HEMT (High Electron Mobility Transistor).

12 Capítulo 1. Dispositivos de efecto campo con heteroestructuras: HEMT
En la estructura básica de un HEMT de GaAs–AlGaAs se crece epitaxialmente
una capa de AlGaAs dopada tipo n sobre GaAs intrínseco formando
una heteroestructura. Los e − se encuentren confinados por la barrera de
potencial formada en la heterounión, consiguiendose así que la superficie de
la capa de GaAs tenga una alta concentración electrónica separada espacialmente
de los donadores ionizados del interior de la capa de AlGaAs.
La variación más sencilla de la estructura básica del transistor es la
representada en la figura 1.6, consistente en introducir una capa de AlGaAs
no dopado (capa espaciadora) entre las capas de n–AlGaAs y GaAs. De
esta forma se consigue reducir el scattering por impurezas ionizadas además
de incrementar la movilidad electrónica. El grosor de esta capa se encuentra
típicamente entre los 20–50 ˚A. Cuanto más gruesa sea la capa espaciadora
mayor realzamiento de la movilidad electrónica se produce, pero al mismo
tiempo se reduce la densidad de los portadores, efecto no deseable porque
implica un descenso de la transferencia electrónica.
También es interesante comentar la existencia de otro tipo de dispositivos
con funcionamiento análogo al de los HEMT, son conocidos como PHEMT
(HEMT pseudomórficos). Estos transistores utilizan materiales semiconductores
de constante de red diferente, provocando tensiones en la heterounión.
Para lograr el funcionamiento de un dispositivo de estas características hay
que utilizar una capa extremadamente fina de uno de los materiales que
se crecen. Esta técnica permite la construcción de transistores con mayores
diferencias de band–gap, dándoles un mayor rendimiento, por ejemplo
una unión AlGaAs–InGaAs forma un dispositivo PHEMT donde el uso de
InGaAs proporcionará una movilidad superior a la obtenida con GaAs.
1.2.3. Funcionamiento de los dispositivos HEMT
A través de la modulación del dopado se pueden producir los portadores
de carga sin necesidad de dopar el GaAs. La concentración total de carga
es dependiente de la tensión de puerta y del modo de funcionamiento del
dispositivo, que se puede encontrar en modo acumulación o vaciamiento.
Los dispositivos en modo acumulación están en corte cuando la tensión
de puerta VG es nula (es decir en el equilibrio no tenemos canal). Si el canal
es tipo n es necesaria una cierta tensión de puerta positiva para inducir
el canal. Por el contrario, en los dispositivos en modo vaciamiento existe
canal para una tensión de puerta nula, en este caso, si el canal es tipo n,
será necesaria una tensión de puerta negativa para vaciar el canal y cortar
el dispositivo.
Para examinar la situación dentro de la estructura en función de la ten-

1.2. Transistores de heteroestructura de efecto campo 13
sión aplicada a la puerta, partimos de una tensión de drenador VD nula.
Cuando la tensión de puerta supera un determinado voltaje umbral VT, en
la superficie de separación se forma un capa de inversión que contiene e −
móviles. Naturalmente, cuanto mayor sea la polarización de inversión, mayor
será la cantidad de e − presentes en esa capa, y mayor será la conductancia
de la capa de inversión.
De cualquier modo, una vez que el gas de electrones 2D se induce en la
superficie de separación de la heterounión, se establece un canal de conducción
entre la fuente y el drenador. La aplicación de una tensión positiva en
el drenador provocará un flujo de corriente en el dispositivo, que surgirá del
movimiento de los e − de la fuente al drenador en el gas 2D. Se pueden lograr
velocidades y movilidades de los e − muy elevadas para tensiones aplicadas
de drenador muy reducidas.
Cuando la tensión de drenador se aumenta poco a poco a partir de
VD = 0, el canal actúa como una simple resistencia y empieza a fluir corriente
de drenador (ID) proporcional a la tensión de drenador aplicada. Una vez
que VD aumenta por encima de unas pocas décimas de voltio, se produce
un aumento de la zona de vaciamiento a lo largo del canal, de la fuente al
drenador, y por lo tanto disminuye la cantidad de portadores en la capa de
inversión. El reducido número de portadores disminuye la conductancia del
canal, que se refleja en una disminución de la pendiente de la curva característica
ID − VD. Esta disminución está más marcada en las proximidades
del drenador, hasta que llegado un momento la capa de inversión desaparece
en esta zona, se produce entonces el estrangulamiento del canal (para una
tensión de drenador igual a VD,sat). En este momento la pendiente de la
curva característica ID − VD es nula, y el dispositivo entra en zona de saturación.
A partir de este momento ID se mantiene constante para voltajes de
drenador superiores a VD,sat. La curva característica ID − VD se representa
en la figura 1.7, en la que podemos ver claramente las distintas regiones de
funcionamiento.
Hay que tener en cuenta que cuando aplicamos una tensión en el drenador,
la curvatura de las bandas será diferente cerca del drenador o cerca
de la región de fuente. Si las tensiones aplicadas de puerta y drenador son
positivas, cerca del drenador el potencial de superficie ψs( qψs es la diferencia
de energía entre las bandas de conducción del GaAs en la zona masiva
y en la heterointerfaz) es menos positivo que cerca de la fuente, lo que hace
que la curvatura de las bandas sea más pronunciada cerca de la región de
fuente, haciendo que en esta zona el pozo sea más estrecho. Esto lleva a una
diferencia en las subbandas de energía entre las dos regiones, puesto que
la estructura energética de los electrones cambiará constantemente entre la

14 Capítulo 1. Dispositivos de efecto campo con heteroestructuras: HEMT
Figura 1.7: Curva característica ID − VD para un dispositivo HEMT
fuente y el drenador.
1.2.4. Modelización de transistores HEMT
Existen varias técnicas de modelización dependiendo del objetivo a estudiar,
los resultados que se pretenden obtener, las características de los
sistemas en los que se va a aplicar, etc. Uno de los más simplificados es el
modelo analítico, que nos permite obtener algunas relaciones básicas, pero
que resulta inapropiado si se pretenden estudiar efectos multidimensionales,
variaciones en el espacio de la composición de los materiales, etc. Para
poder analizar estos efectos es preciso recurrir a modelos numéricos, resolviendo
las ecuaciones fundamentales que gobiernan el funcionamiento del
dispositivo. A continuación estudiaremos modelos representativos de estas
dos aproximaciones.
Modelo simplificado para HEMTs de canal largo
En este apartado vamos a intentar mostrar un modelo analítico simple
que pueda ser utilizado en simulaciones del funcionamiento de estos transistores
en circuitos. En dispositivos de canal corto es prácticamente imposible
utilizar este tipo de modelos analíticos y es necesario recurrir a aproximaciones
numéricas para explicar el funcionamiento físico del dispositivo. En
cambio, en dispositivos de canal largo, para valores pequeños de las tensiones
aplicadas, se puede hacer uso de estos modelos analíticos para simulaciones
de circuitos.

1.2. Transistores de heteroestructura de efecto campo 15
En este modelo la principal aproximación que se hace es la de canal
gradual. En esta aproximación se asume que el campo a lo largo de la
dirección del canal cambia muy despacio con la posición comparándolo con
la variación del campo perpendicular al canal. Con esta suposición podemos
tratar el campo en una sola dimensión.
La concentración de carga bidimensional n(x), puede expresarse en términos
de la concentración de portadores de la fuente en la parte final del canal
nso como:
n(x) = nso − ǫ
V (x) (1.4)
qd
siendo d el grosor de la capa de AlGaAs. La corriente IC(x) en el canal
suponiendo sólo arrastre viene dada por:
IC(x) = qWn(x)v(x) (1.5)
donde v(x) es la velocidad de los electrones en el interior del canal y W el
ancho de la puerta. Si expresamos la velocidad en función del campo eléctrico
F tenemos:
v(F) =
µ|F |
1+|F |/F1
vsat
F ≤ Fc
F > Fc
(1.6)
con vsat la velocidad de saturación, µ la movilidad, Fc el campo eléctrico
crítico en el que el gas de electrones alcanza la saturación de la velocidad, y
F1:
F1 = Fc
µFc
vsat
− 1
(1.7)
Si la corriente de fuga a través de la puerta (IG) es significativa la corriente
en el canal (IC) no se conservará. En el drenador esto se verá reflejado
como:
ID = IS − IG
(1.8)
con ID como corriente de drenador y IS corriente de fuente.
Después de desarrollar estas ecuaciones, hacemos la aproximación de
que la mayor caída de tensión se produce en las proximidades del drenador.
Obtenemos así la siguiente expresión para la corriente de drenador ID:
1
ID =
−IG
1 + VD/LF1
1 VD
+ (1 − α) +
2 LF1
qWµ
nsoVD −
L
ǫ
2qd V 2
D
(1.9)

16 Capítulo 1. Dispositivos de efecto campo con heteroestructuras: HEMT
siendo L la longitud del canal y α un parámetro que por simplicidad tomaremos
igual a 1/2.
La expresión dada en la ecuación anterior describe la corriente de drenador
en la zona lineal de un HEMT. La corriente de saturación de
drenador puede calcularse teniendo en cuenta que se produce una vez que
el campo eléctrico en L alcanza el valor Fc. En este caso la corriente en el
canal como función de x viene dada por:
IC (x) = qWn (x) vsat
(1.10)
La velocidad ahora tiene un valor constante vsat. En x = L se cumple
que la corriente del canal es igual a la corriente de drenador (en este caso
ID,sat), así :
IC(L) = ID,sat = qW nso − ǫ
V (L) vsat = qW nso −
qd ǫ
qd VD,sat
vsat
(1.11)
Para resolver esta ecuación sería necesario determinar la tensión de drenador
en saturación VD,sat , o alternativamente utilizar la expresión anterior
para resolver la ecuación 1.9.
Por último, para completar el modelo, se necesita especificar la corriente
de fuga a través de la puerta IG. Esta corriente es función de de la tensión
aplicada en la puerta y generalmente es dependiente del dispositivo, encontrándose
que tiene diferentes dependencias según las tensiones de puerta
aplicadas (es decir, se aplica una expresión u otra según nos encontremos en
alto o bajo voltaje). Una aproximación semiempírica de IG puede ser:
IG = IS1(e qV G
n 1 kT − 1) (1.12)
donde n1, IS1 son parámetros determinados experimentalmente.
Con frecuencia es interesante utilizar un modelo simplificado para obtener
la curva característica (I–V) de un HEMT. La ecuación 1.9 puede simplificarse
si consideramos IG = 0 (corriente de puerta nula) y que VD ≪ 1. LF1
Bajo estas condiciones la ecuación de la corriente de drenador en la zona
lineal sería:
ID = qWµ
L (nsoVD − ǫ
2qd V 2 D ) (1.13)
En esta ecuación vemos que las únicas características del dispositivo que
influyen en el rendimiento son la movilidad (µ) y la concentración nso. A partir
de esta expresión también podemos determinar la corriente en saturación
ID,sat:

1.2. Transistores de heteroestructura de efecto campo 17
donde a está definido como:
ID,sat = qµWnsoFs
(
d
1 + a2 − a) (1.14)
a ≡ LFsǫ
qdnso
(1.15)
y Fs, el campo eléctrico en saturación en la parte final de la zona de
drenador sería:
Fs = 1
nsoVD,sat −
Lnd
ǫ
2qd V 2
D,sat
(1.16)
con nd la concentración de portadores en la zona del drenador.
Esta aproximación no se puede aplicar al GaAs porque el valor de F1
es demasiado pequeño para que se satisfaga la condición VD ≪ 1. El GaN
LF1
está próximo a alcanzar esta condición pero sólo para dispositivos de canal
bastante largo. Por lo tanto la aproximación dada por la ecuación 1.13
está demasiado alejada de la realidad bajo la mayor parte de los dispositivos
reales.
Es interesante comparar las curvas características I–V de los dispositivos
HEMT y MOSFET. Para ello partimos de la expresión de la corriente de
drenador para un MOSFET en estrangulamiento:
ID = µnWCi
L
(VG − VT)VD − V 2 D
2
(1.17)
Si comparamos las ecuaciones 1.13 y 1.17 vemos que las formas funcionales
de ambas son aproximadamente las mismas, de hecho las dos ecuaciones
son prácticamente idénticas. Esto se puede ver claramente si hacemos una
serie de transformaciones:
Sabiendo que la capacidad de puerta por unidad de área Ci está dada por
la expresión Ci = ǫ
d
, donde ǫ es la constante dieléctrica del semiconductor
y d el grosor de la capa de AlGaAs, y que la carga del canal Qn es igual al
producto:
Qn = Ci(VG − VT) (1.18)
Podemos reescribir la corriente de drenador para un dispositivo MOS-
FET como:
ID = Wµn
L
QnVD − ǫ
2d V 2
D
= qWµn
L
nsoVD − ǫ
2qd V 2
D
(1.19)

18 Capítulo 1. Dispositivos de efecto campo con heteroestructuras: HEMT
Como podemos ver, la ecuación que hemos obtenido es esencialmente
igual a la obtenida para un HEMT. Este resultado es totalmente lógico
puesto que ambos dispositivos se basan en el transporte de e − atrapados en
una superficie frontera (una heterointerfaz en el caso del HEMT y una frontera
aislante–semiconductor en el caso del MOSFET). La movilidad de los
portadores en el caso del MOSFET es la obtenida en una capa de inversión
de Si, que es sustancialmente inferior a la movilidad electrónica dentro del
pozo cuántico en el GaAs. Esto da una explicación aproximada a la mayor
velocidad de respuesta de los MOSFETs.
Modelo de arrastre–difusión
Los modelos numéricos de transistores, debido a las características y al
tipo de estudio que se puede realizar con ellos, pueden ayudar a comprender
el comportamiento físico de los dispositivos así como optimizar su diseño y
disminuir el tiempo necesario para su desarrollo [CRRM96].
Uno de los principales problemas asociados con la simulación de dispositivos,
sobre todo cuando se requiere elevada precisión y además es necesario
hacer el estudio en 2 ó 3 dimensiones, es el enorme gasto computacional
que implica, que viene determinado por la gran cantidad de información y
el elevado número de cálculos que deben ser realizados. Esto hace que los
computadores convencionales, e incluso los más potentes supercomputadores
vectoriales, tengan problemas a la hora de realizar una simulación adecuada.
Para solventar este problema debemos recurrir al uso de máquinas paralelas,
diseñando algoritmos apropiados para obtener el máximo rendimiento y un
tiempo de simulación aceptable con una adecuada precisión [Pen94, Lou99].
Las ecuaciones básicas en estado estacionario que debemos resolver en
este modelo son las ecuaciones de Poisson y las de continuidad de electrones
y huecos [Sel84, LG94]:
div(ǫ∇Ψ) = q(p − n + N + D − N − A ) (1.20)
div(Jn) − q ∂n
∂t
div(Jp) + q ∂p
∂t
= qR (1.21)
= −qR (1.22)
donde Ψ es el potencial electrostático, q la carga eléctrica del electrón, ǫ
la constante dieléctrica, p y n las densidades de huecos y electrones respectivamente,
N + D y N − A son las concentracciones de impurezas donadoras
y aceptoras ionizadas, y Jn y Jp las densidades de corriente de electrones
y huecos respectivamente. El factor R representa la tasa de recombinación
volúmica y superficial.

1.2. Transistores de heteroestructura de efecto campo 19
Las densidades de corriente de huecos y de electrones se pueden expresar
como:
Jn = −qµnn∇φn (1.23)
Jp = −qµpp∇φp (1.24)
donde µn y µp son las movilidades de electrones y huecos respectivamente y
φn y φp los cuasipotenciales de Fermi.
Las concentraciones de portadores n y p en función de los cuasipotenciales
de Fermi y del potencial electrostático vienen dados por:
Ψ − φn
n = nien exp
(1.25)
VT
φp − Ψ
p = niep exp
(1.26)
donde VT = KT
q siendo K la constante de Boltzman y T la temperatura. Los
valores de las concentracciones intrínsecas efectivas de electrones y huecos
nien y niep indican los efectos de degeneración del semiconductor, de la
variación de los parámetros con la composición, o de la existencia de varias
bandas o valles, incluyendo efectos de parabolidad de esas bandas.
Los valores de n y p, para un semiconductor con varias bandas que intervengan
en el transporte, pueden expresarse en función de la concentracción
intrínseca del material de referencia en las bandas de condución y de valencia
N (c,v)j, la densidad efectiva de estados, las integrales de Fermi–Dirac, que
operan sobre funciones que relacionan la energía en las distintas bandas, y
la afinidad electrónica χ, por lo que resultará:
n = nio
exp
j
Ncj
Nco
χj − χo
KT
VT
[F 1/2(ηcj) + 3
2 KTBjF 3/2(ηcj)]
exp
exp(ηcj)
qψ − qφn
KT
Nvl [F1/2(ηvl) +
p = nio
Nvo
l
3
2KTBjF 3/2(ηvl)]
exp(ηvl)
χl − χo + Egl − Ego qφp − qψ
exp
exp
KT
KT
(1.27)
(1.28)
El sistema que hemos obtenido está formado por 3 ecuaciones con 3
incógnitas que no pueden resolverse directamente, por lo cual es necesario
recurrir a técnicas numéricas para su resolución.

20 Capítulo 1. Dispositivos de efecto campo con heteroestructuras: HEMT

Capítulo 2
Introducción a los
computadores paralelos
El número de campos de investigación en los que se utilizan computadores
de alto rendimiento continua aumentando actualmente. Por ello es
importante mejorar la tecnología utilizada para la implementación de los
componentes del computador, refinar el diseño lógico de sistemas o los algoritmos
para la resolución de problemas, buscando siempre conseguir velocidades
de operación superiores.
Un método para obtener mayores velocidades de operación es la utilización
de arquitecturas multiprocesador. Estas arquitecturas están basadas en
el procesamiento paralelo, cuya idea básica es la subdivisión del problema
en un conjunto de partes resolubles de forma concurrente, de manera que
el tiempo total de resolución del problema quede dividido por el número de
procesadores utilizados.
La eficiencia del procesamiento paralelo dependerá principalmente de dos
factores:
1. La sobrecarga computacional generada por la paralelización del problema.
2. El equilibrio de la carga conseguido entre el conjunto de procesadores.
En la actualidad, la computación masivamente paralela se ve como la única
alternativa fiable para superar los retos pendientes de la supercomputación.
Estas máquinas presentan ventajas evidentes sobre sus antecesoras superescalares
y vectoriales, puesto que pueden ofrecer un rendimiento mayor a un
coste inferior.
El obstáculo fundamental para el avance de la computación paralela es
el problema que se presenta con la programación, ya que los compiladores
21

22 Capítulo 2. Introducción a los computadores paralelos
que detectan paralelismo automáticamente presentan todavía límites a su
aplicabilidad. La programación paralela de una arquitectura multiprocesador
se realiza por medio de lenguajes que permiten expresar el paralelismo
e intercambiar información entre procesadores. El objetivo principal en este
sentido es encontrar mecanismos de programación paralela independientemente
de la máquina.
En este capítulo se describirán brevemente las características de la programación
paralela así como las arquitecturas de las máquinas utilizadas en
la evaluación de los códigos paralelos.
2.1. Características de los computadores paralelos
El nombre de computador paralelo engloba a un amplio rango de sistemas
de distintos tipos. Existen ciertas características básicas que permiten clasificar
estos sistemas en varios modelos. Entre las más interesantes podemos
considerar el flujo de instrucciones y datos, la organización de la memoria,
la topología de interconexión, el modelo de programación y la granularidad.
2.1.1. Organización de la memoria
Desde el punto de vista del flujo de instrucciones y datos visto por el procesador
durante la ejecución de un programa, la clasificación tradicional de
Flynn [Fly72] divide los sistemas de computación en cuatro grupos: sistemas
SISD (Simple flujo de instrucciones, simple flujo de datos), SIMD (Simple
flujo de instrucciones, múltiple flujo de datos), MISD (Múltiple flujo de instrucciones,
simple flujo de datos), y MIMD (Múltiple flujo de instrucciones,
múltiple flujo de datos).
El primer grupo engloba a todos los computadores secuenciales mientras
que los MISD no corresponden a ningún sistema real.
En una máquina SIMD cada instrucción se envía a todos los elementos
de procesamiento mediante una operación de difusión (broadcast), los cuales
se encargan de ejecutar la misma operación sobre diferentes conjuntos de
datos. Todos los elementos de procesamiento funcionan bajo la supervisión
de una única unidad de control, que se encarga también de las funciones de
interacción con el usuario. Los procesadores vectoriales podrían enmarcarse
en este modelo.
El modelo de computación paralela MIMD permite a un sistema multiprocesador
ejecutar un conjunto diferente de instrucciones sobre distintos
conjuntos de datos en diferentes procesadores.

2.1. Características de los computadores paralelos 23
La principal ventaja de los sistemas SIMD frente a los MIMD es su bajo
coste relativo y la facilidad de construcción, esto llevó a que los primeros
diseños de máquinas paralelas se orientasen en este sentido, pero por otro
lado sólo se adaptan bien a un tipo determinado de problemas, como pueden
ser los de procesamiento de imágenes, pero no son muy eficientes con problemas
más generales. Así la mayoría de los sistemas paralelos comerciales
de propósito general que podemos encontrar en la actualidad se enmarcan
en el modelo MIMD.
Dentro de las arquitecturas MIMD se puede hacer una división en dos
subgrupos atendiendo al modo de gestión de memoria del sistema.
Memoria compartida: Este tipo de sistemas conocidos también como
multiprocesadores utilizan una memoria común a la que acceden
todos los procesadores para operaciones de lectura y escritura. Los procesadores
se comunican mediante variables compartidas de memoria,
con cargas y almacenamientos capaces de acceder a cualquier posición
de la memoria común. La memoria suele estructurarse en módulos,
permitiéndose así el acceso simultáneo de varios procesadores. El principal
problema de estos sistemas está asociado a conflictos de acceso a
los módulos, lo que puede provocar una pérdida considerable de rendimiento.
Memoria distribuida: Denominados también multicomputadores, en
este tipo de sistemas cada procesador tiene una memoria local privada
a la que los demás nodos no tienen acceso, llevándose a cabo todo
intercambio de información entre procesadores a través de la red de
interconexión. El modelo de comunicación entre procesadores es por
paso de mensajes, el cual se ha de establecer de forma explícita, así los
mensajes se pasan de un procesador a otro a través de dicha red, utilizando
si es necesario procesadores intermedios. El coste de la comunicación
dependerá del número de etapas interprocesador que tenga que
atravesar el mensaje, de ahí la importancia de que la topología de la
red sea regular y de bajo diámetro (número mínimo de nodos por los
que debe pasar el mensaje entre dos procesadores cualesquiera), para
minimizar el retardo del mensaje.
La mayoría de los sistemas masivamente paralelos actuales son de memoria
distribuida, para evitar los problemas de conflicto de memoria asociados
con cientos o miles de procesadores compartiendo una gran memoria global.
Los sistemas de memoria compartida tienen un atractivo especial debido a
su facilidad de programación.

24 Capítulo 2. Introducción a los computadores paralelos
Por ello ha surgido una arquitectura que intenta combinar las ventajas
de los dos modelos descritos anteriormente en cuanto a escalabilidad y facilidad
de programación dando lugar a arquitecturas de memoria compartida–
distribuida. Éstos son sistemas en los que la memoria está físicamente distribuida
pero pudiéndose acceder a ella por medio de técnicas software o de
hardware/software como si fuera un modelo de memoria compartida, usando
un único espacio de direccionamiento global, e incluso gestión de coherencia
entre cachés locales a cada nodo. Combinan por lo tanto las ventajas de ambas
aproximaciones porque siendo máquinas de memoria distribuida pueden
ser programadas virtualmente como máquinas de memoria compartida de
forma transparente al usuario.
Las diferentes formas a través de las que se comparte la memoria nos
permiten establecer la siguiente clasificación:
El modelo UMA (Uniform–Memory Access) se caracteriza porque la
memoria física es compartida uniformemente, siendo el tiempo de acceso
a cualquier palabra de memoria el mismo para todos los procesadores.
Cada procesador puede tener también una caché propia para los
datos más usados y los periféricos del sistema son también compartidos
de alguna manera por todos los procesadores. Los sistemas UMA
son sistemas fuertemente acoplados debido al alto grado de recursos
compartidos que presentan.
En el modelo NUMA (Non–Uniform–Memory Access) la memoria se
encuentra distribuida físicamente entre los procesadores, conformando
memorias locales, aunque todas ellas constituyen un único espacio de
direcciones global. De este modo cada procesador accede más rápido
que los demás a su memoria local, siendo el acceso a memorias asociadas
a otros procesadores más lento debido al retraso originado por la
red de interconexión. Algunos de estos sistemas poseen además otra
memoria compartida globalmente.
El modelo COMA (Cache Only Memory Access) implementa la memoria
lógica compartida en un solo nivel de jerarquía de memoria,
estando formada por las memorias caché distribuidas en los nodos del
sistema. Los accesos de memoria a las cachés remotas se gestionan
mediante directorios de caché distribuidos y se redirigen a base de
mensajes a través de la red de interconexión como en el caso de las
arquitecturas NUMA. Sin embargo, la arquitectura COMA permite la
movilidad de datos entre las diferentes cachés del sistema en función
del patrón de acceso a los mismos, usando los directorios caché (que

2.1. Características de los computadores paralelos 25
son jerárquicos y están distribuidos) para localizar la caché remota
donde está almacenado el dato requerido. Una vez que el dato se ubica
en la caché local, la latencia de acceso es menor, produciéndose una
mejora en el rendimiento de acceso a los datos.
Existen dos estrategias [PH96] para mantener la coherencia de la información,
estableciéndose en ambos casos un control sobre los datos compartidos.
Dichas estrategias se exponen brevemente a continuación:
Protocolo de coherencia basado en snooping: En este protocolo cada
caché lleva el control del estado a nivel de líneas de todos los datos
de los que dispone. Por otro lado también tiene un controlador que
está permanentemente ”escuchando”en la red de interconexión a la
espera de que alguna de las otras cachés necesite un dato contenido en
ella, realizándose en este caso la transmisión. De este modo el control
de la coherencia de los datos está distribuido. Este protocolo se utiliza
en arquitecturas tipo bus, sobre todo en aquellas que usan una sola
memoria compartida.
Protocolo de coherencia basado en el directorio: Para este protocolo la
información sobre la distribución de cada bloque de la memoria física
es mantenido en una única localización de memoria llamada directorio
y toda operación que modifique dicho estado tiene que realizar un
acceso al mismo. Estamos ante un control de coherencia centralizado.
2.1.2. Redes de interconexión
Como se ha visto anteriormente en las máquinas de memoria distribuida
la estructura de la red de interconexión va a determinar en gran medida
el rendimiento del sistema. El interconexionado debe tender a reducir el
coste de las comunicaciones, sin incrementar excesivamente el hardware del
sistema. Son muchas las formas mediante las que podemos establecer la interconexión
entre un conjunto de procesadores. Entre las topologías más
habituales destacan el hipercubo (figura 2.1(a)), la malla 2D y 3D (los procesadores
están dispuestos según una rejilla bi o tridimensional), el toroide,
el anillo (figura 2.1(b)), el árbol, etc. De entre todas estas la topología del
hipercubo es una de las más interesantes, pues posee un número de conexiones
directas mayor que la mayoría de las topologías restantes. Sin embargo
es una topología bastante cara desde el punto de vista hardware.
Tradicionalmente la mayor parte de la literatura se centraba en las propiedades
topológicas y funcionales de estas redes. Pero a medida que los

26 Capítulo 2. Introducción a los computadores paralelos
(a) (b)
Figura 2.1: Ejemplos de topologías de redes de interconexión.
sistemas multiprocesador comenzaron a crecer en número de nodos otros
aspectos de las redes de interconexión comenzaron a ser tenidos en cuenta,
como pueden ser la implementación, la complejidad del cableado, el control
del flujo de datos, los algoritmos de encaminamiento, la evaluación del
rendimiento o la tolerancia a fallos.
2.1.3. Nivel de paralelismo
Otra característica de los sistemas paralelos es lo que se conoce como
granularidad, que nos da una medida del grado de paralelismo que explota
el sistema [FJL + 88], proporcionando un indicador de la cantidad de computaciones
que pueden llevar a cabo los procesadores sin interaccionar entre
sí. En un modelo de granularidad gruesa el programa se divide en varias
partes con escasa comunicación entre sí. Los computadores MIMD, potentes
y débilmente interconectados, son apropiados para este tipo de aplicaciones.
En cambio en un modelo de granularidad fina, la comunicación entre
procesadores es más intensa, ejecutándose pocas instrucciones sin necesidad
de comunicación. Por ello los computadores SIMD son apropiados para este
modelo, puesto que son más sencillos y están fuertemente interconexionados
entre ellos.
Dadas las diferentes características de los sistemas paralelos expuestos
con anterioridad, la elección del mejor sistema dependerá del tipo de problemas
que tengamos que resolver y de la disponibilidad de las distintas
máquinas.

2.2. Tipos de programación paralela 27
2.2. Tipos de programación paralela
Las aplicaciones paralelas deben escribirse siguiendo un modelo de programación.
El caso más simple de ejecución paralela consiste en un modelo
de multiprogramación, en el cual varios programas secuenciales son ejecutados
simultáneamente sobre diferentes procesadores sin ninguna interacción
entre ellos. Pero el caso más interesante lo constituyen los programas paralelos
propiamente dichos. Básicamente se puede decir que existen cuatro
alternativas para la construcción de un programa paralelo, realizando a continuación
una breve introducción de cada una de ellas.
1. Programación por paso de mensajes: En este modelo se define un
conjunto de procesos con su propio espacio de memoria, pero que pueden
comunicarse con otros procesos mediante el envío y la recepción
de mensajes a través de la red de interconexión, teniendo en cuenta
que cualquier procesador puede enviar un mensaje a cualquier otro.
Los modelos de comunicación suelen proporcionar las siguientes posibilidades:
Envío asíncrono sin bloqueo: en el que el control regresa a la tarea
cuando se vacía el buffer de envío, independientemente del estado
del destinatario.
Recepción asíncrona con bloqueo: en la que no se devuelve el control
hasta que se recibe un mensaje.
Recepción asíncrona sin bloqueo: se devuelve el control inmediatamente,
bien con los datos esperados o con un indicador de que
no llegaron.
Difusión de un mensaje a un conjunto de tareas.
La implementación de esta metodología se suele realizar utilizando
librerías añadidas a los lenguajes de programación secuenciales típicos,
principalmente C y FORTRAN. Existen librerías estándar como
PVM (Parallel Virtual Machine)[GBD + 94, GBD + 96] y MPI (Message
Passing Interface)[GLS96].
Se utiliza principalmente en multiprocesadores de memoria distribuida
MIMD y en redes de estaciones de trabajo, lo que permite el uso
de este modelo en redes heterogéneas compuestas por diferentes sistemas
de arquitecturas distintas. En la estimación de la eficiencia de
un programa paralelo es muy importante tener en cuenta la relación
entre el tiempo que consumen los nodos procesando datos y el tiempo

28 Capítulo 2. Introducción a los computadores paralelos
empleado en las comunicaciones. Evidentemente nos interesa que el
tiempo de comunicación sea el mínimo posible. En general este tiempo
no debería superar el 10 ó 20 por ciento del tiempo de computación.
2. Programación en sistemas de memoria compartida: En este
método los programas paralelos ejecutados en sistemas de memoria
compartida están compuestos por varios procesos (threads) que comparten
un espacio de trabajo común denominado task. En dicho espacio
se encuentran todos los datos asociados al programa mientras que los
threads se limitan a contener todas las tareas asociadas únicamente a
la parte ejecutable del mismo. Concretamente un thread está formado
esencialmente por un contador de programa, una cola y un conjunto
de registros. Los threads asociados a un espacio de trabajo comparten
todos los elementos que allí se encuentran, aunque por otro lado
puedan trabajar con variables locales o privadas.
La coordinación y cooperación entre procesos se realiza a través de la
lectura y escritura de variables compartidas y variables de sincronización.
Cada proceso puede llevar a cabo la ejecución de un subconjunto
de iteraciones de un lazo común, o más generalmente obtener sus tareas
de una cola compartida.
La programación se establece tanto a través de directivas de alto nivel
que dirigen al compilador en la paralelización de los programas como,
de un modo más eficiente, a través de construcciones de bajo nivel
como pueden ser barreras de sincronización, regiones críticas, locks,
semáforos, etc.
3. Modelo de programación de paralelismo de datos: Es un modelo
que se utiliza principalmente para simplificar la programación de
sistemas de memoria distribuida. El proceso consiste en complementar
un programa secuencial, escrito en un lenguaje estándar, con directivas
o anotaciones insertadas en el programa para guiar al compilador
en su tarea de distribuir los datos y las computaciones.
4. Paralelización automática: En este caso el compilador asume todas
las decisiones, generando automáticamente la versión paralela equivalente
al código secuencial escrito en un lenguaje de programación tradicional.
Si los códigos a paralelizar tienen patrones de acceso regulares
a los datos estos paralelizadores automáticos ofrecen buenos resultados.
Sin embargo en el caso de códigos irregulares, como pueden ser
los códigos dispersos, es mucho más complicado obtener una solución
eficiente.

2.3. Cluster Beowulf 29
2.3. Cluster Beowulf
Los sistemas Beowulf son clusters domésticos diseñados para ser una
alternativa económicamente viable a los grandes supercomputadores. La reducción
del coste es debida al hecho de que un cluster Beowulf se construye
conectando PCs estándar mediante redes locales de alto rendimiento (baja
latencia y alto ancho de banda) en lugar de emplear el hardware que aparece
en los supercomputadores tradicionales, estando específicamente diseñado y
optimizado para su uso como multicomputador.
Hoy en día los sistemas Beowulf son ampliamente utilizados en los entornos
académicos y de investigación, por su adaptabilidad y capacidad para
satisfacer requerimientos computacionales específicos. Por ello son reconocidos
como un género propio dentro de la computación de alto rendimiento.
En su clasificación dentro de los computadores paralelos, los clusters
Beowulf caen entre los procesadores masivamente paralelos y las redes de
computadores. Los procesadores masivamente paralelos tienen una latencia
menor en la red de interconexión que un cluster Beowulf. Sin embargo los
programadores todavía tienen que preocuparse por la localidad, el balance
de carga, la granularidad y las sobrecargas de comunicación para obtener
un mejor rendimiento ya que muchos programas se desarrollan en un estilo
de paso de mensajes, incluso en máquinas de memoria compartida.
La programación en redes de computadores se ha convertido en una
práctica habitual como un intento de aprovechar ciclos no usados de un
conjunto de estaciones de trabajo existentes en un laboratorio. La programación
en este entorno requiere algoritmos extremadamente tolerantes a los
problemas de balanceo de carga y largas latencias de comunicación. Las diferencias
entre las redes de computadores y un cluster Beowulf son mínimas
aunque significativas. Para empezar, los nodos del cluster están dedicados
en exclusividad al cluster. Esto ayuda a resolver los problemas de balanceo
de carga, ya que el rendimiento individual de los nodos no está sujeto a factores
externos. Por otro lado, como la red de interconexión está aislada de
la red externa, la carga de red queda determinada sólo por la aplicación que
se está ejecutando en el cluster, lo que ayuda a resolver problemas asociados
con la impredictibilidad de las latencias en las redes de computadores.
Por regla general, los programas que no requieren muchas computaciones
y de granularidad fina pueden ser portados desde unos procesadores masivamente
paralelos y ser ejecutados eficientemente sobre clusters Beowulf, y
cualquier programa que funcione sobre una red de computadores lo hará al
menos igual de bien sobre un cluster Beowulf.
El cluster Beowulf del CESGA (Centro de Supercomputación de Galicia)

30 Capítulo 2. Introducción a los computadores paralelos
Figura 2.2: Cluster Beowulf
está constituido por 16 servidores Compaq DL320 que forman un total de
16 CPUS Pentium III a 1 GHz (rendimiento pico de 16 GFlops). Cada uno
de los nodos tiene 512 MB de memoria y un disco local IDE–ATA de 40 GB.
Los nodos están interconectados mediante una red Myrinet 2000 [Myr01]
de baja latencia (inferior a 8 microsegundos para mensajes en MPI) y alto
ancho de banda (200 Mbytes/s). La placa utilizada en cada nodo es una
ServerWorks 3.0 LE. Esta placa se distribuye con sistemas monoprocesador,
soporta un bus GTL a 133 MHz, arquitectura de doble bus parejo PCI
y memoria registrada SDRAM ECC DIMM a 133 MHz. La arquitectura
de doble bus parejo PCI posibilita el acceso concurrente a memoria y el
procesador desde ambos buses para una mejora adicional en el rendimiento
del sistema.
Así mismo todos los nodos están conectados mediante un switch fast
ethernet a un servidor Compaq Proliant DL380 que actúa como servidor
de almacenamiento y como interfaz para la conexión con los usuarios y
las tareas interactivas (compilación, edición de archivos, etc). Este servidor
cuenta con 4 discos Ultra3 SCSI de 36 GB en configuración RAID (144 GB
en total). En la figura 2.2 podemos observar un gráfico que nos muestra las
diferentes partes que componen el cluster Beowulf.
Myrinet [Bod95] es una tecnología de conmutación y comunicación por

2.4. Origin 200 31
paquetes de alto rendimiento ampliamente utilizada para interconectar clusters
de estaciones de trabajo, PCs, servidores, etc. Los clusters proporcionan
un método relativamente económico de obtener alto rendimiento, distribuyendo
para ello las computaciones solicitadas entre un grupo de máquinas de
bajo coste. En el caso de computaciones distribuidas fuertemente acopladas
las interconexiones deben proporcionar un alto porcentaje de datos y una
baja latencia en la comunicación de procesos entre máquinas. Además es
importante que la disponibilidad del cluster sea elevada, de tal forma que
permita que la computación prosiga entre un grupo de máquinas aislando
fallos y utilizando caminos de comunicación alternativos.
Las redes convencionales como Ethernet pueden utilizarse para fabricar
clusters, pero no proporcionan el rendimiento o las características necesarias
para obtener un cluster con las propiedades de alto–rendimiento y
alta–disponibilidad mencionadas anteriormente. Así, las características que
distinguen a una Myrinet de otro tipo de redes incluyen:
1. Conexiones Full–duplex con una tasa de transmisión de datos de 2+2
Gigabit/seg, puertos conmutados y puertos de interfaz.
2. Control de flujo, de errores y monitorización continua en cada conexión.
3. Baja latencia, switches directos, incluyendo monitorización en aplicaciones
de alta disponibilidad.
4. Redes que se pueden escalar a decenas de miles de máquinas. Interfaces
de las máquinas que ejecutan programas de control que interactuan
directamente con los procesos de las distintas máquinas para comunicaciones
de baja latencia, y de forma directa con la red para el envío,
la recepción y el almacenamiento de paquetes.
En este cluster Beowulf la forma de solicitar trabajos que necesitaban
más recursos (en tiempo de CPU, memoria o espacio en disco) que los impuestos
por la shell interactiva es a través del sistema de colas. Éste es el
Portable Batch System (PBS) desarrollado por la NASA. La forma de enviar
los trabajos a la cola es solicitando los recursos que se necesitan en términos
de cantidad de memoria, espacio en disco, tiempo de CPU y número de
CPUs.
2.4. Origin 200
El SGI Origin 200 [Sil98b, Sil98a, LL96] está construido con una arquitectura
ccNUMA (Cache Coherent NUMA), contiene 4 procesadores MIPS

32 Capítulo 2. Introducción a los computadores paralelos
Figura 2.3: Configuración del Origin 200 con 4 procesadores
R10000 a 225 MHz y 1 GB de memoria DRAM de alta velocidad. El sistema
completo está encapsulado en dos módulos, cada uno de los cuales incorpora
3 ranuras de expansión PCI proporcionando un ancho de banda de E/S
sostenido de 200 MB/s y hasta 6 dispositivos ULTRA SCSI. Los buses de
interfaz del sistema del R10000 se conectan al chip del HUB, que también
tiene conexiones a la memoria y al directorio del nodo, además de dos puertos
que salen del nodo por un conector CPOP (Compression pad–on–pad)
de 300 pines. Estos dos puertos son la conexión del CRAYLINK al router
y de las ranuras XIO al sistema de E/S. La interconexión CRAYLINK que
utiliza conecta los dos módulos para formar un sistema combinado de memoria
compartida y 4 CPUs que puede operar como un único sistema. De
este modo tanto las CPUs como el rendimiento se duplican. Un diagrama
de bloques típico del Origin 200 se muestra en la figura 2.3.
Para facilitar el escalado, proporcionar un sistema con baja latencia en
memoria y eliminar los principales cuellos de botella la arquitectura del Origin
200 utiliza memoria compartida distribuida (DSM) con coherencia caché
mantenida por un protocolo basado en directorio. Esto provoca que los
tiempos de acceso a memoria no sean uniformes. Para manejar este inconveniente
el Origin fue diseñado para minimizar la diferencia de latencias entre
la memoria local y remota e incluir soporte tanto hardware como software
que asegure que la mayor parte de las referencias a memoria sean locales,
es decir, soporte para migración de páginas. La migración de páginas es importante
en los sistemas NUMA puesto que cambia a fallos locales muchos
de los fallos caché que se deberían producir en memoria remota.
Por último, los sistemas Origin incorpora otra característica muy impor-

2.4. Origin 200 33
tante para alcanzar un buen rendimiento en sistemas altamente escalables.
Se proporcionan primitivas fetch–and–op como operaciones no cacheadas
que se ejecutan en memoria. Las variables fetch–and–op se utilizan para
locks, barreras y otros mecanismos de sincronización.

34 Capítulo 2. Introducción a los computadores paralelos

Capítulo 3
Sistemas de ecuaciones
lineales
La resolución de sistemas lineales es, posiblemente, el núcleo computacional
más importante de la mayoría de las aplicaciones de ingeniería.
En la primera parte de este capítulo se van a describir los principales
métodos de resolución para sistemas de ecuaciones lineales, distinguiendo
entre métodos directos e iterativos, así como los precondicionadores utilizados
para mejorar la convergencia. A continuación se citan las distintas
técnicas utilizadas para el almacenamiento de las matrices dispersas, estudiando
los formatos CRS, CCS, MSR y HB. Por último se describen
las librerías numéricas en las que centramos nuestro estudio: SPARSKIT
[Saa94b], PSPARSLIB [LS96, SLK97, SM95], SuperLU [DGL99], PETSc
[BGMS99a, BGMS99b] y Aztec [HST95] tratando las características principales
de cada una.
3.1. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden expresar como Ax = b,
donde dada una matriz A de orden n x n y un vector b n–dimensional, se
trata de determinar el vector solución x de dimensión n.
Además, en nuestro caso, la matriz A es dispersa, por lo que será ventajoso
trabajar con métodos que aprovechen esta propiedad. Una matriz A
de orden n x n es dispersa si una gran cantidad de sus términos son nulos.
Se denomina índice de dispersión, β, a la relación entre el número de elementos
no nulos de la matriz (α) y el número total de elementos (n × n); es
decir β = α
n×n
. El valor del índice de dispersión necesario para que la matriz
35

36 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
pueda ser considerada dispersa depende del problema a resolver, del patrón
de la matriz y de la arquitectura de la máquina en la cual se implementa el
código.
Los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales se pueden
dividir en dos grupos:
1. Métodos directos: están basados en la factorización de la matriz
A para convertir el sistema lineal en otro con formato de resolución
más simple. Durante la factorización, un elemento de la matriz con un
valor inicial nulo, puede pasar a tener un valor distinto de cero; sufre
entonces un proceso de llenado (fill). Cuantos más elementos sufran
llenado, más operaciones tendrá que realizar el algoritmo aumentando
así la carga computacional. A causa de esto, los métodos directos
necesitan más memoria (al producirse el llenado se han de almacenar
en memoria, además del sistema original, todas las nuevas entradas no
nulas) y tienen una complejidad computacional mayor que los métodos
iterativos. Esto supone la imposibilidad de usar métodos directos al
menos en gran parte de las aplicaciones donde se va trabajar con matrices
muy grandes como ocurre en muchas ocasiones en simulaciones
en dos y tres dimensiones. Existen diferentes métodos de factorización
de una matriz, siendo uno de los más habituales la factorización LU.
2. Métodos iterativos: son técnicas que tratan de encontrar la solución
de un sistema mediante sucesivas aproximaciones a partir de una solución
inicial. Los métodos iterativos se pueden clasificar en dos tipos:
a) Métodos estacionarios: son los más sencillos y fáciles de implementar,
pero en general menos efectivos que los métodos no estacionarios
[KC91]. Se basan en la relajación de coordenadas, empezando
con una solución aproximada y modificando los componentes
de la aproximación hasta que se alcanza la convergencia. Se trata
de obtener:
xk = Axk−1 + b (3.1)
donde ni la matriz A ni el vector b dependen del contador de iteraciones.
Ejemplos de estos métodos son:
1) Jacobi: Basado en la computación de cada variable del vector
solución con respecto al resto de las variables. Es un método
sencillo de implementar pero la convergencia es lenta.

3.1. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones 37
2) Gauss–Seidel: Método similar al anterior exceptuando que utiliza
los valores actualizados de la solución tan pronto como
estén disponibles. En general, converge más rápido que Jacobi.
3) SOR(Sobrerrelajación sucesiva): Se deriva del método Gauss–
Seidel introduciendo un parámetro de extrapolación w. Con
una correcta elección de w el método converge más rápido que
el Gauss–Seidel en un orden de magnitud.
4) SSOR(Sobrerrelajación sucesiva simétrica): Aunque no presenta
ventajas como método iterativo respecto al SOR, es muy útil
como precondicionador para métodos no estacionarios.
b) Métodos no estacionarios: Son más complejos que los anteriores
pero altamente eficientes [Saa95, Saa96]. Se diferencian de los métodos
estacionarios en que las computaciones implican información
que cambia en cada iteración. En la actualidad los más populares
pertenecen al conjunto de los métodos del subespacio de Krylov.
El subespacio de Krylov K i (A,ro) de dimensión i, asociado con un
sistema lineal Ax = b, para un vector solución inicial x0 y un vector
residuo r0 = b − Ax0 se define como el subespacio cubierto por
los vectores r0,Ar0,A 2 0 ,...,Ai−1 r0. Dependiendo de las características
de la matriz que define el problema, podemos clasificar estos
métodos en varios grupos:
1) Si la matriz es simétrica y definida positiva el método de Gradiente
Conjugado (CG) es el más apropiado. Utiliza una secuencia
de vectores ortogonales xi para los que se minimiza
(xi − x) T A(Xi − x) sobre todos los vectores en el espacio de
Krylov actual K i (A,r0).
2) Si la matriz es simétrica pero no es definida positiva, debemos
considerar el método de Lanczos o los métodos de MIN-
RES. En los métodos MINRES, los elementos xi ∈ K i (A,r0) se
determinan minimizando la norma cuadrática de los residuos
||b−Axi|| 2 , mientras que en el método de Lanczos los elementos
xi son determinados por los residuos b − Axi perpendiculares
al subespacio de Krylov. En estos casos es necesario almacenar
toda la secuencia, lo que conlleva un consumo elevado de
memoria.
3) Si la matriz no es simétrica, en general no se puede determinar
un conjunto óptimo de soluciones xi ∈ K i (A,r0) con pocas
secuencias de vectores. Sin embargo, podemos computar el
conjunto de vectores xi ∈ K i (A,r0) para los que se cumple la

38 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
condición b − Axi⊥K i (A T ,r0) (normalmente se elige s0 = r0).
Así se generan dos secuencias de vectores, una con la matriz
de coeficientes A y otra con A T , y en vez de ortogonalizar cada
secuencia, lo hacen mutuamente: este es el método Gradiente
Biconjugado (BiCG). Requiere un almacenamiento limitado
aunque la convergencia puede ser irregular. Una variante de este
método es el Residuo Cuasi–Mínimo (QMR) que aplica un
resolutor por mínimos cuadrados y una actualización de la solución
a los residuos del BiCG, suavizando el comportamiento
de la convergencia y haciendo estos métodos más robustos.
4) Si A no es simétrica, también podemos computar la secuencia
de vectores xi ∈ K i (A,r0) para los que los residuos sean minimizados
usando una norma euclídea (mínimos cuadrados).
Ésto es lo que se implementa en el método Mínimo Residuo
Generalizado (GMRES). Esta implementación requiere almacenar
toda la secuencia, lo que conlleva un consumo elevado
de memoria. Una variante del GMRES es el Mínimo Residuo
Generalizado Flexible (FGMRES) que permite que el precondicionamiento
varíe a cada paso.
5) Las operaciones con la matriz A T en el método BiCG pueden
ser sustituidas por operaciones con la matriz original A teniendo
en cuenta que 〈x,A T y〉 = 〈x,Ay〉 donde el operador 〈...〉
representa el producto escalar de dos vectores. Como la secuencia
de vectores que usan A T en el método BiCG se utiliza
sólo para mantener el espacio dual con el que los residuos se
ortogonalizan, reemplazar en las operaciones A por A T permite
la expansión del subespacio de Krylov y encontrar mejores
aproximaciones a la solución virtualmente con el mismo coste
computacional por iteración. Esta idea da lugar a los métodos
iterativos conocidos como métodos híbridos: el Gradiente
Conjugado Cuadrático (CGS), el Gradiente Biconjugado Estabilizado
(BCGSTAB), TFQMR, etc.
Todos los métodos iterativos presentan, en general, una convergencia demasiado
lenta, así que es necesario introducir mejoras en el esquema numérico
que aceleren la convergencia. Esto se realiza aplicando el precondicionador
adecuado al sistema lineal que estemos resolviendo.
A continuación se describe brevemente en qué consiste una factorización
LU, para definir después el concepto de precondicionador y su utilidad.

3.2. Factorización LU 39
3.2. Factorización LU
Consiste en factorizar la matriz A como el producto de una matriz triangular
inferior L y una matriz triangular superior U:
A = LU (3.2)
Consideramos que la matriz L está normalizada (lii = 1) y almacenada
por columnas mientras que la matriz U está almacenada por filas, de tal
forma que siempre se mantenga la siguiente igualdad:
n
lijujk = aik
j=1
El algoritmo básico para la factorización LU es el siguiente:
DO i = 1, n
lii = 1
DO k = 1, i − 1
lik = (aik − k−1
j=1 lij · ujk)/ukk
END DO
DO k = 1, i
uki = (aki − k−1
j=1 lkj · uji)
END DO
END DO
Figura 3.1: Factorización LU básica
(3.3)
Una vez factorizada la matriz el sistema de ecuaciones Ax = b podría
representarse como LUx = b. Para su resolución realizamos la siguiente
operación:
obteniendo:
si definimos z = L −1 b el sistema a resolver será:
L −1 LUx = L −1 b (3.4)
Ux = L −1 b (3.5)
Ux = z (3.6)

40 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
Para ello primero obtenemos z, resolviendo la ecuación Lz = b, cuya solución
es:
zi = 1 i−1
(bi − lijzj) i = 1,2,...n (3.7)
lii
Para resolver por último Ux = z:
xi = 1
uii
(zi −
n
j=i+1
j=1
Obteniendo así el vector solución x.
3.3. Precondicionadores
uijxj) i = n,n − 1,...,1 (3.8)
Los precondicionadores se usan para mejorar las propiedades de los sistemas
lineales con el fin de acelerar la convergencia de los métodos iterativos.
Partiendo del sistema Ax = b, buscamos una matriz M que transforme el
sistema en otro cuyas propiedades sean más favorables y, por tanto, más
fácil de resolver. El sistema lineal podría representarse como:
M −1 Ax = M −1 b (3.9)
En la búsqueda de la matriz M podemos seguir dos caminos:
1. Encontrar una matriz M que se aproxime a A, de tal forma que resolver
el sistema con esta matriz sea más fácil que hacerlo con la matriz A,
resolviendo por lo tanto:
Mx = b (3.10)
2. Lograr una matriz M aproximada a A −1 de tal forma que la expresión
AM sea tan cercana a la identidad como sea posible en algún sentido,
como por ejemplo minimizando |AM − I| en la norma de Frobenius.
De esta forma sólo sería necesario realizar el producto de M por el
vector independiente para obtener la solución. Es decir:
MAx = Mb =⇒ x ≃ Mb (3.11)
Los precondicionadores se pueden aplicar por la izquierda, por la derecha y
por ambos lados. Si partimos del sistema Ax = b, el precondicionamiento
por la izquierda se basa en realizar la operación:
M −1 Ax = M −1 b (3.12)

3.3. Precondicionadores 41
En cambio, el precondicionamiento por la derecha se aplica así:
AM −1 u = b (3.13)
con u = Mx , donde u una nueva variable que nunca necesitará ser invocada
explícitamente.
El precondicionamiento por ambos lados no es más que una combinación
de los dos métodos de precondicionamiento anteriores.
Los precondicionadores que vamos a estudiar se pueden clasificar en tres
tipos principales: los llamados precondicionadores clásicos, precondicionadores
multimalla y los precondicionadores basados en descomposición de
dominios.
3.3.1. Precondicionadores clásicos
Se basan en manipulaciones algebraicas de la matriz para obtener algún
tipo de aproximación de la inversa de la matriz de coeficientes. Ejemplos
de estos precondicionadores son las factorizaciones incompletas. Se trata
de factorizar la matriz A (por ejemplo a través de una factorización LU)
pero sin introducir todo el llenado que se produce durante este proceso
[CvdV94]. Es decir, en una factorización incompleta LU se computa la matriz
triangular inferior (L) y superior (U) de tal forma que la matriz residuo R =
LU −A satisfaga ciertas limitaciones, como puede ser tener entradas nulas en
ciertas posiciones. Existen básicamente cuatro versiones de factorizaciones
incompletas:
1. Factorizaciones sin llenado, ILU(0): son las más sencillas y no introducen
llenado alguno, es decir, la factorización incompleta tiene la
misma cantidad de elementos no nulos y en las mismas posiciones que
la matriz A [MvdV97]. Este tipo de precondicionadores no suelen ser
lo suficientemente potentes.
Un ejemplo de este tipo de factorizaciones incompletas lo vemos en la
figura 3.2, en la que tenemos representada la matriz A (imagen inferior
izquierda) y unas matrices triangulares L y U con la misma estructura
que las partes inferior y superior de la matriz A. La matriz A representada
en la figura está generada a partir de una malla 8x4. Realizando
el producto LU, la matriz resultante tendrá el patrón dado en la figura
inferior derecha. Como podemos ver generalmente es imposible
que coincidan las matrices A y LU, a causa de la aparición de entradas
diagonales extra al realizar el producto (elementos de llenado). Si
ignoramos estos elementos es posible lograr unas matrices L y U cuyo
producto sea aproximadamente igual a A en las otras diagonales.

42 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
Figura 3.2: Ejemplo de factorización incompleta LU(0)
2. Factorizaciones con llenado, ILU(k): en las que se usa como criterio para
la introducción del llenado la posición dentro de la matriz [MvdV97].
El parámetro k de una factorización ILU(k) indica el número de columnas
alrededor de la diagonal en las que se permite llenado. Este
tipo de factorizaciones tienen el defecto de considerar que la importancia
numérica de un llenado depende únicamente de la proximidad
topológica sin tener en cuenta el fenómeno físico que la matriz A representa.
Se podrían dar otras definiciones del parámetro k
3. Factorizaciones con llenado, ILU(τ): Estas factorizaciones deciden introducir
o no llenado en función de si el elemento es superior o inferior
a un umbral determinado τ, relativo al valor de los elementos de la fila
i–ésima de A usando cierta medida (como puede ser el valor medio de
los elementos de la fila i–ésima) [Zla82].
4. Factorizaciones con llenado, ILU(fill,τ): en este caso se usan dos
criterios para la introducción de llenado; la posición dentro de la matriz
y un umbral numérico [Saa94a]. Así al factorizar la fila i–ésima se
introducen todos los llenados que superen un umbral numérico relativo
a esa fila (parámetro τ); una vez acabada la factorización de la fila i–

3.3. Precondicionadores 43
ésima, sólo se almacena en la estructura de datos de salida tantos
elementos como tuviese la matriz A en la fila i–ésima más 2 · fill
(fill elementos en la parte L y fill elementos en la parte U). Se eligen
para su almacenamiento aquellos con un valor absoluto mayor. Por lo
tanto, usando este método τ controla el umbral numérico de cálculo y
el parámetro fill la cantidad efectiva de llenado.
3.3.2. Precondicionadores multimalla
Son un grupo de métodos que trabajan sobre varias mallas para alcanzar
la solución del problema[Dou96]. Sobre esta malla refinada se aplica un
método iterativo suave para eliminar las componentes de error oscilatorias
en ese nivel. Seguidamente se restringen los errores a una malla más gruesa,
en la cual las componentes suaves se convierten en oscilatorias, y se aplica
de nuevo el método suave sobre esta malla. Se repite esto de modo recursivo
hasta llegar al nivel de malla donde se resuelve directamente el sistema. Este
método acelera la convergencia de los métodos iterativos clásicos aplicando
métodos iterativos suaves sobre una jerarquía de mallas relacionadas por
una serie de operadores de restricción y prolongación.
Presentan una complejidad en operaciones lineal con el tamaño del sistema,
frente a la complejidad cuadrática de los métodos clásicos. Pero por
otro lado consumen más memoria y son menos versátiles en su aplicación
[Bri87, Wes95].
3.3.3. Precondicionadores basados en descomposición de dominios
Las técnicas de descomposición de dominios intentan resolver el problema
sobre todo el dominio a partir de la solución en cada subdominio Ωi.
Para un dominio genérico Ω, dividido en s subdominios, en el que consideramos
que no se produce solapamiento (overlapping) entre subdominios,
se cumple:
Ω =
s
Ωi ,Ωi ∩ Ωj = ∅ (3.14)
i=1
Aunque puede darse el caso de que exista solapamiento. Esto implica
que los subdominios son tales que:
Ω =
s
Ωi ,Ωi ∩ Ωj = ∅ (3.15)
i=1

44 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
(a) (b)
Figura 3.3: (a) Malla asociada a un dominio dividido en tres subdominios,
(b) matriz asociada a la malla anterior
Para problemas discretizados, es típico cuantificar la extensión del solapamiento
a través del número de líneas de la malla que son comunes a los
dos subdominios.
Si partimos de un dominio Ω discretizado podemos etiquetar los nodos
por cada subdominio de tal forma que etiquetemos primero los nodos internos
a cada subdominio y por último los nodos frontera. La matriz que
obtendremos presentará un patrón de bloques no nulos en forma de flecha,
mostrando un aspecto:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
B1 0 0 ... E1 x1 f1
⎜
⎟
⎜
0 B2 0 ... E2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ f2 ⎟
⎜
A = ⎜ .
⎜ . . ..
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜ . ⎟ = ⎜
⎟ ⎜ . ⎟
⎜
⎝ . .
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Bs Es ⎠ ⎝ xs ⎠ ⎝ fs ⎠
F1 F2 ... Fs C y g
(3.16)
Tenemos el dominio dividido en s subdominios, por lo tanto cada xi
será el subvector de incógnitas internas al subdominio Ωi y el subvector y
indicará todas las incógnitas pertenecientes a la interfaz entre los subdominios.
Las submatrices Bi indican el acoplamiento de las ecuaciones de cada
subdominio con los nodos internos al mismo, las Ei indican el acoplamiento
de las ecuaciones de cada subdominio con los nodos frontera, las Fi se refieren
al acoplamiento de los nodos frontera de cada subdominio con los nodos
frontera indicados por y. Por último, la matriz C indica el acoplamiento de
los nodos frontera entre sí.
En la figura 3.3(a) tenemos un ejemplo de una malla en forma de L

3.4. Técnicas de almacenamiento de matrices dispersas 45
asociada a un dominio divido en tres subdominios. El etiquetado de los nodos
es de tal forma que primero se numeran los nodos internos a cada uno de los
subdominios y luego los frontera, además, el solapamiento entre subdominios
es de orden uno. En la figura 3.3(b) se representa la matriz asociada a esta
malla, que presenta, como ya dijimos anteriormente un patrón en forma de
flecha.
3.4. Técnicas de almacenamiento de matrices dispersas
En el caso de las matrices dispersas un factor muy importante a tener
en cuenta es el modo de almacenamiento. Una matriz densa N × N se suele
almacenar en un vector bidimensional de dimensiones N × N. Sin embargo,
si la matriz es dispersa, este almacenamiento desperdicia mucho espacio
en memoria porque la mayoría de los elementos de la matriz son nulos y
no necesitan ser almacenados explícitamente, es común almacenar sólo las
entradas diferentes de cero añadiendo información sobre la localización de
estas entradas.
Existen muchos esquemas de almacenamiento de matrices dispersas, estando
entre los más utilizados el CRS (Compressed Row Storage), el CCS
(Compressed Column Storage) y el MSR (Modified Compressed Sparse Row).
La elección del esquema más adecuado dependerá de las características del
problema a resolver y del patrón (situación de las entradas no nulas) de la
matriz. A continuación se describirán con más detalle los formatos de almacenamiento
utilizados en las librerías estudiadas. Para ello trabajamos con
la matriz representada a continuación, cuya dimensión es 8x8 y el número
de elementos no nulos α=15.
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
1 0 0 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 0 3
0 4 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 5 0 0 0
0 0 0 6 6 0 7 0
0 0 0 0 0 0 0 8
9 10 0 0 0 0 0 11
0 0 12 0 0 0 13 0
⎞
⎟
⎠
(3.17)

46 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
3.4.1. Formato CRS (Compressed Row Storage)
El esquema CRS representa la matriz por medio de tres vectores (Da,
Colind y Rowptr). El vector Da almacena las entradas no nulas de la matriz
al recorrerla por filas, Colind almacena el índice de columna de cada una
de las entradas y Rowptr almacena la posición del vector Da en la que
empieza cada nueva fila. El resultado del almacenamiento de la matriz en
tres vectores se representa en la tabla 3.1. Este tipo de almacenamiento
representa un ahorro considerable de memoria pues para almacenar una
matriz de orden N × N no se necesitan N 2 posiciones de memoria, sino
únicamente 2α + N + 1.
Da 1 2 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 11 12 13
Colind 1 4 6 8 2 5 4 5 7 8 1 2 8 3 7
Rowptr 1 3 5 6 7 10 11 14 16
Tabla 3.1: Modo de almacenamiento CRS para la matriz dispersa
3.4.2. Formato CCS (Compressed Column Storage)
El esquema CCS representa la matriz por medio de tres vectores (Da,
Rowind y Colptr). El vector Da almacena las entradas no nulas de la matriz
al recorrerla por columnas, y en este caso Rowind almacena el índice de fila
de cada una de las entradas y Colptr almacena la posición del vector Da en
la que empieza cada nueva columna. El resultado del almacenamiento de la
matriz en tres vectores se representa en la tabla 3.2.
Da 1 9 4 10 12 2 6 5 6 2 7 13 3 8 11
Rowind 1 7 3 7 8 1 5 4 5 2 5 8 2 6 7
Colptr 1 3 5 6 8 10 11 13 16
Tabla 3.2: Modo de almacenamiento CCS para la matriz dispersa
3.4.3. Formato MSR (Modified Compressed Sparse Row)
El esquema MSR representa la matriz por medio de dos únicos vectores
(Da, Index). El vector Da almacena las entradas de la matriz, empezando por
toda la diagonal, dejando a continuación una entrada en blanco (en tabla 3.3
marcado con −1), para seguir con el resto de los valores no nulos al recorrer

3.5. Librerías numéricas 47
la matriz por filas. El vector Index almacena en las N +1 primeras entradas
la posición del dato en el vector Da que comienza cada una de las filas, y
a continuación la columna correspondiente a cada dato de las entradas no
diagonales del vector Da. El resultado del almacenamiento de la matriz en
los dos vectores se representa en la tabla 3.3.
Da 1 0 0 0 6 0 0 0 -1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Index 10 11 13 14 15 17 18 21 21 4 6 8 2 5 4 7 8 1 2 8 3 7
Tabla 3.3: Modo de almacenamiento MSR para la matriz dispersa
3.4.4. Formato HB (Harwell Boeing)
Este formato de almacenamiento está basado en el CCS. A la matriz
almacenada en formato CCS se le añaden simplemente unas cabeceras que
contienen información relativa al formato de almacenamiento y a los requerimientos
de espacio. Suponiendo que no almacenamos el vector independiente,
la matriz en formato H/B estará formada por tres bloques de datos
consecutivos que contendrán los vectores Da, Rowind y Colptr, y cuatro
líneas iniciales de cabecera que nos darán el número de líneas ocupadas por
cada uno de los vectores, el número total de filas y de elementos no nulos, el
tipo de matriz, etc. Si también almacenamos el vector independiente habría
que añadir un cuarto bloque de datos y una quinta línea de cabecera. Este
bloque contendría los valores numéricos del vector independiente (aunque
también se podría escoger almacenarlo en el mismo formato utilizado para
la matriz), y la nueva línea de cabecera informaría de la dimensión del vector
independiente, del número de filas que ocupa y del formato escogido para
su almacenamiento.
3.5. Librerías numéricas
Existen un gran número de librerías numéricas para la resolución de sistemas
lineales tanto densos como dispersos. Vamos a centrarnos en librerías
especializadas en la resolución de sistemas dispersos, teniendo en cuenta que
existen tanto librerías secuenciales como paralelas. Ejemplos de librerías secuenciales
son:
1. HSL [Tec93](Harwell Subroutine Library): son códigos escritos en Fortran
utilizados en computaciones científicas a gran escala. Dispone de
herramientas para la resolución de diferentes problemas matemáticos

48 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
entre los que se encuentran álgebra lineal, ecuaciones diferenciales,
ecuaciones no lineales y estadísticas.
2. YSMP [EGSS82](Yale Sparse Matrix Package): esta librería está compuesta
por una colección de subrutinas de Fortran 77 diseñadas para
la resolución de grandes sistemas dispersos de ecuaciones de álgebra
lineal.
3. SPARSKIT [Saa94b]: esta librería, escrita en Fortran, dispone de
herramientas para trabajar con matrices dispersas en diferentes formatos
de almacenamiento, además de realizar operaciones básicas de
álgebra lineal utilizando este tipo de matrices.
Entre las librerías paralelas que permiten la resolución de sistemas lineales
dispersos se encuentran:
1. Aztec [HST95]: es una librería paralela de métodos iterativos y precondicionadores
para sistemas distribuidos codificados en C. Su principal
objetivo es proveer de herramientas que faciliten el manejo de las
estructuras de datos distribuidas, incluye varios métodos iterativos no
estacionarios, precondicionadores polinomiales y basados en factorizaciones
incompletas.
2. BlockSolve [JP97]: es un conjunto de rutinas para la resolución de
grandes sistemas lineales dispersos en sistemas multicomputador. La
librería está codificada en C, utiliza MPI y permite resolver sistemas lineales
de ecuaciones de rangos elevados en computadores masivamente
paralelos y en redes de estaciones de trabajo aunque con la limitación
de estar restringido a matrices con estructura simétrica.
3. PETSc [BGMS99b, BGMS99a]: es un desarrollo del Argonne National
Laboratory, ha sido desarrollada usando la librería estándar de pase
de mensajes MPI y se aplica a la resolución numérica de ecuaciones
diferenciales parciales, incluyendo para ello un conjunto de resolutores
paralelos de ecuaciones lineales y no lineales. Esta librería da una
gran flexibilidad al usuario porque utiliza técnicas de programación
orientadas a objetos.
4. PSPARSLIB [LS96, SLK97, SM95]: es una librería portable de resolutores
iterativos en paralelo para sistemas lineales dispersos, incluyendo
una serie de precondicionadores y métodos iterativos además de
herramientas de particionamiento.

3.5. Librerías numéricas 49
5. SuperLU [DGL99]: colección de rutinas diseñadas para la resolución
de sistemas lineales dispersos por medio de una factorización LU. Dispone
tanto de versiones secuenciales como paralelas.
A continuación se hace una descripción de las librerías estudiadas.
3.5.1. SPARSKIT
Es una librería secuencial utilizada principalmente para la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales dispersos. Proporciona al usuario una serie
de herramientas para trabajar con este tipo de matrices, entre las que se
encuentran:
Un módulo con subrutinas para realizar operaciones básicas de álgebra
lineal, como pueden ser productos y sumas de matrices, productos
matriz–vector, y varios métodos de resolución de sistemas triangulares.
Un grupo de rutinas para realizar operaciones no–algebraicas sobre una
matriz, tales como la ordenación de sus elementos en orden creciente,
la extracción de submatrices cuadradas o rectangulares de una matriz
dispersa, el filtrado de los elementos de una matriz de acuerdo con su
magnitud, etc.
Utilidades para la generación de matrices en formato Harwell/Boeing
(H/B).
Rutinas de información, útiles para obtener parámetros característicos
de la matriz, como pueden ser el número total de elementos no nulos,
el promedio de no–nulos por fila (con su desviación estándar), el ancho
de banda, la simetría, etc.
Un conjunto de subrutinas que permiten el reordenamiento matricial.
Un módulo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Accesorios para la representación gráfica de grafos y matrices.
Herramientas para la conversión de una matriz de un determinado
formato en otro diferente. Teniendo en cuenta que el formato Harwell/Boeing
es uno de los más utilizados en propósitos comparativos y
de testeo la librería SPARSKIT incluye rutinas para crear matrices
en formato Harwell/Boeing (H/B) a partir de muchos otros tipos de
formatos.

50 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
En el módulo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales los resolutores
que se pueden emplear son: CG, CGNR, BCG, BCGSTAB, DBCG,
GMRES, FGMRES, DQGMRES y TFQMR.
Entre los precondicionadores posibles se encuentran: ILUT (factorización
incompleta LU, en la que se usa como criterio tanto un umbral numérico
como la posición dentro de la matriz), ILUTP (ILUT con pivoteo por columna),
ILU0 y MILU0.
SPARSKIT también dispone de aceleradores como el PGMRES (resolutor
GMRES precondicionado). Antes de llamar a este acelerador se utiliza
como preprocesador alguno de los precondicionadores vistos anteriormente.
ipar(1)=0
10 call solver(ipar, parámetros entrada)
if (ipar(1).eq.1) then
call amux()
c producto matriz-vector
goto 10
else if (ipar(1).eq.2) then
call atmux()
c producto matriz traspuesta-vector
goto 10
else if (ipar(1).eq.3) then
c resolutor con precond. por la izquierda
goto 10
else if (ipar(1).eq.4) then
c resolutor precond. por la izquierda de A T
goto 10
else if (ipar(1).eq.5) then
c resolutor precond. por la derecha
goto 10
else if (ipar(1).eq.6) then
c resolutor precond. por la derecha de A T
goto 10
else if (ipar(1).gt.0) then
c ipar(1) es un código indeterminado
else
c El resolutor iterativo ha terminado
endif
Figura 3.4: Ejemplo de pseudo–código para el protocolo de comunicación
inversa
Es importante destacar que estas rutinas están implementadas usando
técnicas de comunicación inversa. Según este protocolo cuando el resolutor
realiza un producto matriz–vector, un producto escalar, o algún tipo de

3.5. Librerías numéricas 51
operación similar, se llama a la rutina correspondiente, que será la encargada
de realizar las operaciones necesarias y devolver posteriormente la solución
al resolutor. Una consecuencia de esta implementación es que la estructura
de datos asociados a la matriz y el precondicionador no necesita ser incluida
en la llamada al resolutor. Un ejemplo del funcionamiento de este protocolo
lo encontramos en el pseudocódigo de la figura 3.4, en el que se utiliza
ipar(1) como método de obtener el status de la llamada (si ipar(1)=0 se iniciará
el resolutor iterativo) y de la salida del resolutor (solver). Así si ipar(1)
tiene un valor positivo indicará la necesidad de realizar alguna operación y
ipar(1) < 0 indicará la terminación de la etapa de resolución.
Esta técnica también se utiliza en la librería PSPARSLIB que veremos
a continuación.
3.5.2. PSPARSLIB
La librería PSPARSLIB es una librería de resolutores paralelos iterativos
que proporciona una serie de módulos utilizados para simplificar el desarrollo
y la implementación de resolutores iterativos dispersos en computadores de
memoria distribuida. PSPARSLIB resuelve sistemas lineales dispersos que se
encuentran distribuidos entre varios procesadores, pudiendo trabajar tanto
con matrices simétricas o no–simétricas, incluso con patrones irregulares.
Está escrita básicamente en Fortran aunque incluye un número pequeño de
módulos en C, utilizando la librería MPI para paso de mensajes.
Hay dos formas distintas de preparar la matriz para los resolutores iterativos.
En la primera, el particionamiento puede determinarse de antemano
y cada nodo crear su propia parte local del sistema lineal. En la segunda,
un nodo lee el sistema lineal completo, para a continuación particionar la
matriz y distribuir el sistema entre los procesadores participantes.
La librería PSPARSLIB está compuesta de los siguientes módulos:
Un particionador de grafos simple.
Rutinas para reordenar y formar las matrices locales.
Aceleradores Krylov: CG, GMRES, FGMRES, DQGMRES, BCGS-
TAB, QMR y TFQMR.
Precondicionadores basados en descomposición de dominios, como pueden
ser el método de Jacobi por bloques, SOR multicolor o técnicas
de complemento de Schur. Para cada uno de los precondicionadores es
posible elegir si deseamos que exista o no solapamiento.

52 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
Figura 3.5: Representación local de una matriz dispersa distribuida
Herramientas de preprocesamiento, como pueden ser rutinas de particionamiento,
de mapeado, rutinas de datos locales y algunas rutinas
de color.
Para entender el funcionamiento de esta librería es necesario saber como
están compuestas las matrices locales a cada procesador.
Estructura de datos locales
El grafo formado por el conjunto de nodos incógnitas del problema se
descompone en una serie de subdominios o subgrafos, de tal forma que,
en nuestro caso tendríamos tantos subdominios como procesadores. Para
entender esto es necesario distinguir entre tres tipos de nodos incógnitas, tal
y como aparece representado en la figura 3.5:
Nodos internos: nodos locales que sólo tienen relación con otros
nodos interiores al subdominio y por tanto sin ningún contacto con
nodos pertenecientes a otros subdominios.
Nodos frontera internos: nodos locales pero acoplados con nodos
frontera pertenecientes a otros subdominios.

3.5. Librerías numéricas 53
Nodos frontera externos: nodos pertenecientes a otros subdominios
pero acoplados con nodos internos de este subdominio.
Las ecuaciones locales a cada subdominio no tienen porque corresponder
con ecuaciones contiguas en el sistema original. Las filas de la matriz asignadas
a un procesador, se pueden dividir en dos partes: en una submatriz
local Ai que actúa sobre los nodos internos y una submatriz de interfaz Xi
que se refiere a las entradas correspondientes a nodos frontera externos que
interaccionan con nodos frontera internos al subdominio. Las variables remotas
deben ser recibidas de los otros procesadores antes de que el producto
matriz–vector se pueda completar en estos procesadores.
Los nodos frontera se numeran siempre después de los nodos internos.
Esta ordenación local de los datos presenta varias ventajas, entre las que
se incluye una eficiente comunicación entre procesadores. De igual modo,
cada vector local de incógnitas xi es dividido en dos partes: un subvector ui
de nodos internos seguido por el subvector yi correspondiente a los nodos
frontera internos. Siguiendo el mismo procedimiento el vector independiente
también es dividido en los subvectores fi y gi.
Así:
xi =
ui
yi
, bi =
fi
gi
(3.18)
La matriz local Ai, perteneciente al procesador i, también puede particionarse
por bloques, de tal modo que se separen las contribuciones de cada
clase de nodo a dicha matriz de la siguiente forma:
Ai =
Bi Ei
Fi Ci
(3.19)
Según esto, las ecuaciones locales de un subdominio i pueden ser expresadas
como:
Bi
Ei ui
+
0
fi
=
(3.20)
Fi Ci
yi
jǫNi Eijyi
donde el término Eijyj es la contribución a las ecuaciones locales del subdominio
vecino j–ésimo, siendo N el conjunto de subdominios vecinos al subdominio
i. Para implementaciones prácticas, los subvectores de los nodos
frontera externos se agrupan en un vector yi,ext. Por lo tanto la contribución
al sistema local por parte de los nodos frontera externos puede expresarse:
(3.21)
jǫNi
Eijyj = Xiyi,ext
Una de las operaciones más costosas en el resolutor iterativo paralelo es
el producto matriz–vector para matrices distribuidas, que vamos a tratar
seguidamente.
gi

54 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
Productos matriz–vector
Ésta es esencialmente una operación local que toma un vector distribuido
x y produce el resultado W = Ax, distribuido conforme el mapeado de todos
los vectores, es decir, cada procesador i producirá wi, su parte local del
resultado w. El producto matriz–vector se realiza implementando la siguiente
ecuación:
wi = Aixi + Xi,extyi,ext
(3.22)
El primer paso es obtener los datos externos yi,ext necesarios en cada procesador.
Al mismo tiempo que se espera por la recepción de estas variables
externas se puede realizar en paralelo el producto de la matriz Ai por los
datos locales xi.
A continuación hay que multiplicar esas variables recibidas por la matriz
externa Xi asociada a ellas y sumar este resultado al obtenido del primer
producto. En esta librería al igual que en la SPARSKIT se utiliza el protocolo
de comunicación inversa, lo que quiere decir que cuando el resolutor
necesita hacer una operación (por ejemplo un producto matriz–vector), se
llama a la rutina correspondiente que se encarga de comunicarse con los otros
procesadores (por ejemplo a través de MSG bdx send/MSG bdx receive que
se encargan de enviar/recibir datos frontera), realizar las operaciones necesarias
(por ejemplo amxdis realiza el producto matriz–vector) y devolver
posteriormente la solución al resolutor.
Seguidamente vamos a describir los precondicionadores utilizados.
Precondicionadores
Los principales precondicionadores que incluye PSPARSLIB están basados
en técnicas de descomposición de dominios. Las ecuaciones son resueltas
a partir de una sucesión de soluciones correspondientes a cada grupo de
ecuaciones en cada paso. Estas técnicas son precondicionadores por bloques,
estando dichos bloques basados en subdominios. Entre los precondicionadores
destacan el Schwarz aditivo, el Schwarz multiplicativo y técnicas de
complemento Schur.
Antes de entrar en detalle con estos precondicionadores tenemos que
recordar que el objetivo es resolver el sistema Ax = b, con A una matriz real
nxn y b un vector real de dimensión n.

3.5. Librerías numéricas 55
Método de Schwarz aditivo
Se puede considerar como una forma de iteración por bloques de Jacobi,
en la que cada bloque está referido al sistema de ecuaciones asociado a
cada subdominio. La iteración de Jacobi por bloques es un método en el
cual en el paso de una iteración a la siguiente se busca la actualización de
un conjunto (un bloque) de componentes a la vez. Para ello realizamos un
particionamiento de la matriz A y de los vectores solución e independiente
en bloques:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
A11 A12 A13 ... A1p
ρ1
β1
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ A21 A22 A23 ... A2p ⎟ ⎜ ρ2 ⎟ ⎜ β2 ⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
A = ⎜ A31 A32 A33 ... A3p
⎟ ⎜
⎟ ; x = ⎜ ρ3
⎟ ⎜
⎟ ; b = ⎜ β3
⎟
⎜
. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ . . . .. ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
. ⎠ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠
Ap1 Ap2 Ap3 ... App
(3.23)
Por otro lado descomponemos la matriz A, en A = D − E − F con :
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
A11
A22
. ..
App
⎜
F = − ⎜
⎝
ρp
⎞ ⎛
0
⎟ ⎜
⎟ ⎜ A21 0
⎟ ; E = − ⎜
⎠ ⎝ . .
⎛
0 A12 ... A1p
0 ... A2p
. ..
. ..
Ap1 Ap2 ... 0
0
⎞
⎟
⎠
⎞
βp
⎟
⎠ (3.24)
(3.25)
En una iteración k, xk sería el vector solución obtenido en esa iteración
para un determinado bloque. A partir de esto la iteración de Jacobi calcula
su componente i–ésima en la siguiente iteración (k + 1) con el objetivo de
anular la componente i del vector residuo. Es decir conseguir que:
Para que esto sea posible debe darse que:
aiix (k+1)
i
= −
despejando obtendríamos:
(b − Axk+1)i = 0 (3.26)
p
j=1 j=i
aijx k j + βi i = 1,...,p (3.27)

56 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
x (k+1)
i
= 1
(βi −
aii
p
j=1 j=i
Reescribiéndolo todo en notación matricial:
x (k+1)
i
llegaríamos a la ecuación:
aijx k j ) i = 1,...,p (3.28)
= A −1
ii ((E + F)xk i + A −1
ii βi i = 1,...,p (3.29)
x (k+1)
i = D −1 (E + F)x k + D −1 b (3.30)
Este método determina el vector solución (para un determinado bloque)
en la iteración k + 1 utilizando para ello los vectores obtenidos en la
iteración anterior k. Es interesante tener en cuenta que el número de iteraciones
necesarias para obtener la convergencia suelen disminuir rápidamente
al aumentar el tamaño del bloque.
Lo visto por el momento sería a nivel de un solo bloque. En conjunto el
algoritmo que se sigue es:
1.- For i=1,...,s Do , s= número de dominios existentes
2.- Obtener los datos externos yi,ext
3.- Calcular el residuo local:
4.- Resolver
5.- EndDo
6.- Obtener
ri = (b − Ax)i = bi − Aixi − Xiyi,ext. (3.31)
Aiδi = ri
s
xnew = x + δi
i=1
(3.32)
(3.33)
Es decir, en una iteración, cada subdominio calcularía sus incógnitas
locales y utilizaría para ello los valores de las incógnitas externas obtenidos
por los otros subdominios en la iteración anterior. Al final de la iteración
se produciría una actualización de la solución obteniendo así una nueva
aproximación.
Un caso a tener en cuenta sería la aplicación del método de Jacobi con
solapamiento. Utilizar solapamiento es una buena estrategia para reducir el
número de iteraciones. Hay varias formas posibles de implementar el solapamiento
en las iteraciones por bloque de Jacobi. Tomando como ejemplo

3.5. Librerías numéricas 57
Figura 3.6: Solapamiento de dominios
la figura 3.6 en la que se muestran tres subdominios, vemos que en ciertas
zonas (por ejemplo en la región triangular) los datos se solapan tres veces y
existirán por lo tanto tres versiones distintas de ellos, una por Pk, otra por
Pj y una versión local asociada a Pi. Cuando se intercambian datos durante
la fase de iteración podemos reemplazar la versión local de los datos por una
externa o utilizar algún promedio de los datos de las distintas versiones.
Realizando un estudio del código desarrollado en esta librería, el procedimiento
a seguir sería el siguiente: el procesador 1 lee la matriz completa,
particiona el grafo y reparte las matrices locales a cada procesador. Una vez
que cada uno recibe su submatriz, crean un vector de mapeado que contiene
la lista nodo–procesador al que pertenece, determinan la información
frontera (esto es, número de procesadores adyacentes, lista de procesadores
vecinos, nodos frontera internos ordenados por procesador, etc).
Una vez formada la matriz local, que no será más que una forma reordenada
de las ecuaciones iniciales, se hace una factorización incompleta LU
de la matriz, como precondicionamiento. El paso siguiente es proponer una
solución inicial y resolver el problema utilizando un resolutor (de los disponibles
en la librería) precondicionado con el método Schwarz aditivo con
solapamiento.
En la fase de solución hay dos casos posibles:
Si el número máximo de iteraciones del precondicionador (fijado como
parámetro de entrada) es igual a cero, el resolutor interno resuelve
simplemente una factorización LU precondicionada con ILU(fill,τ). Es
decir se implementa una factorización incompleta LU en la que se

58 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
(a) (b)
Figura 3.7: (a) Etiquetado natural para una malla bicolor , (b) Reordenamiento
blanco–negro de los nodos
permite controlar el llenado (fill) de la matriz, que tiene en cuenta
además el parámetro τ que indica un valor mínimo a partir del cual
se permite el llenado.
Si el número máximo de iteraciones del precondicionador es mayor de
cero se resuelve el problema utilizando GMRES precondicionado con
ILU(fill,τ). Este caso se utiliza sólo cuando el resolutor elegido es el
FGMRES, que permite la variación del precondicionador en cada paso.
Método Schwarz multiplicativo
La versión implementada en esta librería es un algoritmo de Gauss–
Seidel por bloques multicolor. Éste método puede verse como una secuencia
de eliminación de los componentes del residuo de los sistemas locales a cada
procesador. Cada eliminación da lugar a una corrección de las variables locales
del vector incógnita, y posteriormente a la corrección del vector residuo
global.
Es preciso tener un criterio de ordenamiento global de los subdominios
de modo que subdominios vecinos tengan etiquetas diferentes. La opción
seleccionada en este caso, el ordenamiento multicolor, maximiza el paralelismo.
El ordenamiento multicolor consiste en colorear un grafo, de tal forma
que no haya dos nodos adyacentes del mismo color. Su objetivo es la obtención
de un grafo que utilice el menor número posible de colores. Para
explicarlo con más detalle voy a describir el caso más simple, en el que sólo
tenemos dos colores, blanco y negro.
El grafo de partida nos muestra el etiquetado natural en el caso de nodos
adyacentes de colores distintos (figura 3.7(a)). En el se puede ver que los
colores están alternados y la numeración es consecutiva. A continuación se

3.5. Librerías numéricas 59
modifica el etiquetado de los nodos numerando primero todos los nodos de
un color para a continuación hacer lo mismo con los del otro (figura3.7(b)).
Como los nodos de un mismo color no estarán acoplados entre sí, el sistema
resultante de este reordenamiento tendrá la estructura:
D1 F
E D2
x1
x2
=
b1
b2
(3.34)
en la que D1 y D2 son matrices diagonales.
En nuestro caso concreto, utilizamos el ordenamiento multicolor en un
método basado en descomposición de dominios, dividiendo para ello el sistema
en tantos subdominios como número de procesadores, coloreándolos
de tal forma que subdominios vecinos tengan colores distintos. Así todos
los procesadores de un mismo color podrían computar sus partes locales
del vector solución en paralelo porque no existe ninguna dependencia entre
ellas. Al finalizar enviarían los valores obtenidos a sus vecinos, permitiendo
así que otro color empiece su fase de computación.
Así, el reordenamiento multicolor aplica un algoritmo que tiene el siguiente
esquema:
1.- For col=1,...,numcolor Do
2.- If (col.eq.mycol) then
3.- Obtener los datos externos yi,ext
4.- Calcular el residuo local:
5.- Resolver
6.- Actualizar la solución:
ri = (b − Ax)i
Aiδi = ri
xi = xi + δi
(3.35)
(3.36)
(3.37)
7.- EndIf
siendo numcolor el número total de colores.
Esta implementación puede permitir también solape entre los dominios,
un parámetro de relajación w, etc.
Un problema asociado con el ordenamiento multicolor es el hecho de que
si los subdominios asociados con un color dado están activos, todos los otros
subdominios deberán estar inactivos, limitando la eficiencia alcanzable por
1/numcolor. Para solucionar esto, podemos dividir la matriz local en dos

60 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
bloques, el primero asociado a los nodos internos y el segundo asociado a
los nodos frontera.
De este modo para la matriz local Ai tendríamos,
Ai =
Bi Ei
Fi Ci
=
Bi 0
0 Ci
+
0 Ei
Fi 0
(3.38)
Utilizando esta técnica las computaciones que involucran a los nodos
internos de cada subdominio pueden ser realizadas en paralelo, de modo que
el límite de la eficiencia antes establecido se aumenta.
El código empleado en la librería para este caso particular es practicamente
idéntico al explicado en el apartado anterior para la iteración de Jacobi
por bloques, aunque en este caso aparece una rutina diferente: multicD,
que será la encargada del ordenamiento multicolor. El algoritmo empleado
en la implementación de esta rutina está basado en una ordenación topológica
tal que a nivel de programación el paralelismo sea del orden del diámetro
del grafo. La rutina multicD proporciona el número de colores distintos asignados
a los procesadores adyacentes y el color asignado al procesador local.
En el caso del resolutor interno, se llaman a las rutinas msorlu (msorlut)
que resuelven el sistema por medio de una factorización incompleta LU de
la matriz (o de su traspuesta).
Desde el punto de vista matemático la diferencia existente entre las iteraciones
por bloques de Gauss–Seidel y Jacobi es mínima. Gauss–Seidel actualiza
inmediatamente (nada más obtenerlas) las componentes corregidas en
el paso i de una cierta iteración y utiliza la solución aproximada actualizada
para computar el residuo necesario para corregir las siguientes componentes
a calcular en esa iteración. Mientras tanto, la iteración de Jacobi utiliza la
misma aproximación antigua del vector solución durante toda la iteración.
Métodos basados en el complemento de Schur
Estas técnicas se refieren a métodos que sólo trabajan sobre las variables
de interfaz, utilizando implícitamente las variables internas como variables
intermedias. En este caso se parte de un particionamiento de la matriz basado
en vértices. Llamaremos aristas de interfaz a todas las aristas que unen
vértices que no pertenecen al mismo subdominio, siendo los vértices de interfaz
aquellos que en un subdominio dado son adyacentes a una arista de
interfaz. Un vértice no es compartido por 2 particiones con la excepción
de que exista solapamiento entre subdominios. Este tipo de particionamiento
es totalmente diferente al realizado en la figura 3.3(a), en la que si dos

3.5. Librerías numéricas 61
(a) (b)
Figura 3.8: (a)Malla asociada a un subdominio dividido en tres subdominios
según un particionamiento basado en vértice, (b) Matriz asociada a la malla
anterior
vértices están acoplados tienen que pertenecer al mismo subdominio (particionamiento
basado en arista).
Un ejemplo de particionamiento basado en vértices se encuentra en la
figura 3.8(a), los vértices de interfaz para el subdominio 1 (parte inferior
de la figura, cuadrado izquierdo) son aquellos etiquetados desde el 10 al
16. La matriz resultante (figura 3.8(b)) es diferente de la obtenida con un
particionamiento por aristas (gráfica 3.3), puesto que en esta ocasión los
nodos de interfaz no se numeran al final en el etiquetado global, sino que se
numeran como los últimos nodos de cada subdominio.
Podemos escribir el sistema basado en este nuevo etiquetado. La matriz
asociada con el particionamiento de las variables en subdominios tendrá una
estructura de bloques con un número de subdominios s . Si tomamos como
ejemplo la figura 3.8(b), s = 3 y la matriz tendrá una estructura de bloques
de la forma:
A =
⎛
⎜
⎝
A1 A12 A13
A21 A2 A23
A31 A32 A3
En cada subdominio las variables serán:
zi =
xi
yi
⎞
⎟
⎠ (3.39)
(3.40)
representando xi los nodos internos y yi los nodos de interfaz asociados con
el subdominio i. Cada matriz Ai será la matriz local del subdominio i, siendo

62 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
su estructura:
Ai =
Bi Ei
Fi Ci
(3.41)
donde Bi representa la matriz asociada con los nodos internos del subdomino
i, Ei y Fi representan los acoplamientos de los nodos internos con los nodos
de interfaz, por último Ci es la parte local de la matriz de interfaz C y
representa el acoplamiento entre los nodos locales de interfaz.
Observando la matriz de la figura 3.8(b) se encuentra que en la estructura
de los bloques Aij con j = i se encuentra un sub–bloque de ceros en la parte
que actúa sobre la variable xj. Esto es lo esperado puesto que xi y xj no
están acoplados. Por lo tanto:
zi =
0
Eij
(3.42)
La mayoría de las matrices Eij son cero, puesto que sólo los índices j de los
subdominios que tengan acoplamiento con el subdominio i presentarán un
Eij = 0. Por lo tanto la parte del sistema lineal que es local al subdominio
i es de la forma:
Bixi + Eiyi = fi (3.43)
Fixi + Ciyi +
j∈Ni Eijyj = gi (3.44)
El término Eijyj es la contribución a la ecuación del subdominio vecino j
y Ni es el conjunto de subdominios adyacentes al i. Podemos eliminar la
variable xi del sistema, extrayéndola de la ecuación 3.43:
j∈Ni
xi = B −1
i (fi − Eiyi) (3.45)
y sustituyéndola en la ecuación 3.44:
Ci − FiB −1
i yi +
Eijyj = gi − FiB −1
i fi i = 1,...,s (3.46)
Al primer término de la ecuación 3.46 se le denomina matriz de complemento
de Schur local Si = Ci − FiB −1
i Ei. Tras resolver la ecuación anterior se
obtendrían los valores en los nodos de la interfaz yi para una cierta iteración
(k + 1), utilizando valores de los nodos frontera obtenidos en la iteración
anterior, es decir:
y (k+1)
i
= S −1
i
⎡
⎣gi − FiB −1
i fi −
j∈Ni
Eijy (k)
j
⎤
⎦ (3.47)

3.5. Librerías numéricas 63
que son sustituidos a continuación en la ecuación 3.45 para obtener los valores
de las variables internas xi en la iteración (k + 1). Por lo tanto el
procedimiento a seguir comprende tres pasos básicos:
1. Calcular el vector independiente g ′ = g − FB −1 f.
2. Resolver el sistema reducido a través de un método iterativo, como
puede ser un método basado en subespacios de Krylov (por ejemplo
GMRES), obteniendo así el vector y.
3. Obtener x vía x = B −1 (f − Ey).
Para todos los subdominios las ecuaciones 3.46 se convierten en un
sistema de ecuaciones que implican sólo a los puntos de interfaz yj con
j = 1,2,...,s, siendo s el número de subdominios. Este sistema presenta una
estructura por bloques asociada al vector de incógnitas de cada subdominio,
donde los bloques de la diagonal, conocidos como matrices Si, son generalmente
densos mientras que los bloques Eij, correspondientes a la relación
entre incógnitas del subdominio i–ésimo con las del j–ésimo, son dispersos.
De hecho Eij = 0 sólo si existe alguna ecuación que los acople. La estructura
de dicha matriz sería la siguiente:
⎛
⎜
S = ⎜
⎝
S1 E12 E13 ... E1s
E21 S2 E23 ... E2s
E31 E32 S3 ... E3s
.
.
.
. ..
Es1 Es2 Es3 ... Ss
.
⎞
⎟
⎠
(3.48)
La estructura del complemento global de Schur S se obtiene teniendo en
cuenta que para particionamientos basados en vértice, la matriz de complemento
de Schur se puede formar a partir de las matrices de complemento de
Schur local (las Si) y la información interfaz–interfaz (los Eij).
3.5.3. SuperLU
La librería SuperLU [DGL99] fue desarrollada entre NERSC (National
Energy Research Scientific Computing Center) y la Universidad de Berkeley.
Tiene como objetivo la resolución de una factorización LU completa en
diversas arquitecturas. Se utiliza generalmente en la solución directa de grandes
sistemas dispersos y no–simétricos de ecuaciones lineales en máquinas
de alto rendimiento. Está formada por los siguientes módulos:

64 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
SuperLU Secuencial: diseñada para procesadores secuenciales con uno
o más niveles en la jerarquía de memoria (cachés).
SuperLU Multithreaded: planteada para multiprocesadores de memoria
compartida.
SuperLU Distribuida: está diseñada para procesadores paralelos de
memoria distribuida.
En nuestro caso utilizamos el módulo SuperLU Distribuida. Está implementada
en ANSI C, aunque es sencillo compaginarla con Fortran, y utiliza MPI
para las comunicaciones, siendo su modelo de programación SPMD. La librería
incluye rutinas que le permiten manejar matrices tanto reales como
complejas en doble precisión. Incorpora una serie de ideas algorítmicas desarrolladas
recientemente, que explotan las características de las arquitecturas
de computadores modernas, particularmente la organización multinivel
de la caché. Puede utilizarse con un número de procesadores elevado, alcanzándose
una tasa de factorización de 10.2 Gigaflops en un Cray T2E de
512 procesadores. A continuación se describe su algoritmo básico de funcionamiento:
1. Equilibrar la matriz A: computar las matrices diagonales Dr y Dc
de tal forma que A = DrADc esté mejor condicionada, es decir que
A −1 sea menos sensible a perturbaciones de lo que sería A −1 .
2. Reordenar las filas de A: reemplazar A por A ′ = Pr A, donde Pr es
la matriz de permutación.
3. Ordenar las columnas de A ′ : para incrementar la dispersidad de
los factores L y U computados, e incrementar el paralelismo. En otras
palabras, reemplazar A ′ por A ′′ = Pc AP T c .
4. Computar la factorización LU de A ′′
5. Resolver el sistema utilizando los factores triangulares computados.
6. Computar los márgenes de error.
La matriz de entrada A se encuentra distribuida entre los procesadores,
que utilizan una distribución basada en bloques de filas. Es decir, cada
procesador posee un bloque de filas consecutivas de A. En el caso de las
matrices L y U podemos decir que están divididas entre todos los procesadores
por medio de un mapeado cíclico por bloques cuyo esquema sigue

3.5. Librerías numéricas 65
Figura 3.9: Estructura de datos para las matrices L y U
el ejemplo de la malla de procesos de la figura 3.9. El tamaño concreto de
cada asignación de bloques a procesadores depende de la estructura de no
ceros de la diagonal (ver figura 3.9). Todos los bloques diagonales serán cuadrados
y contendrán sólo elementos no nulos, requisito no exigible para los
bloques no diagonales. Al utilizar un mapeado cíclico por bloques se desacoplan
los procesadores en filas para la matriz L y en columnas para la matriz
U. En este mapeado 2D, cada bloque de columna de L pertenece a más de
un procesador, por ejemplo en la figura 3.9 el segundo bloque de columna
pertenece a los procesos {1,4}. De él, el proceso 4 sólo tiene dos bloques con
elementos no nulos, que no son contiguos en la matriz global. El esquema
representado en la parte derecha de la figura 3.9 representa la estructura de
datos empleada para almacenar los bloques de no ceros en un procesador.
Además de los valores numéricos almacenados en un vector por columnas,
nzval, necesitamos información para interpretar la localización y el subíndice
de fila de cada no cero, esto se almacena en un vector de enteros llamado
index que incluye información para la columna de bloques completa y para
cada bloque individual de ella. Muchos bloques no diagonales son ceros y
por lo tanto no son almacenados, y tampoco incluimos los ceros en un bloque
de no ceros. Por otro lado tanto los triángulos inferior y superior que
forman los bloques de la diagonal se almacenan en la estructura de datos de
L. Para U se utiliza un almacenamiento orientado por bloques filas, aunque
los valores numéricos dentro de cada bloque siguen siendo por columnas. De
forma similar a L también empleamos un par de vectores indice–nzval para

66 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
el almacenamiento de los bloques de filas de U.
3.5.4. PETSc
PETSc (Portable Extensible Toolkit for Scientific Computing)[BGMS99a,
BGMS99b] es una librería utilizada en la resolución numérica de ecuaciones
diferenciales parciales y problemas similares en computadoras de alto
rendimiento. Contiene un conjunto de estructuras y rutinas que combinadas
componen los bloques empleados en implementación de códigos para aplicaciones
a gran escala en ordenadores paralelos. Entre sus herramientas están
incluidas un grupo de resolutores de ecuaciones lineales y no–lineales, que
se pueden utilizar en códigos escritos en Fortran, C y C++. Utiliza paso de
mensajes vía MPI y no asume compartición física de datos o un espacio de
direcciones global. Alguno de los módulos de PETSc están relacionados con:
Conjuntos de índices, incluyendo permutaciones, renombrado, etc.
Vectores.
Matrices (generalmente dispersas).
vectores distribuidos (útiles para paralelizar problemas basados en
grids).
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales basados en
subespacios de Krylov.
Precondicionadores.
Resolutores no–lineales
Marcadores de tiempo para resolver ecuaciones no lineales dependientes
del tiempo.
Cada módulo consiste en una interfaz abstracta y una o más implementaciones
usando estructuras de datos particulares, puede decirse que PETSc
consiste en un conjunto de librerías (parecidas a las clases de C++), cada
una de ellas manipula una familia de objetos (por ejemplo vectores), y las
operaciones que se pueden realizar sobre estos objetos. Al estar escrita en
un modelo orientado a objetos, todas las estructuras de datos están ocultas
para el usuario. Su infraestructura crea una base para producir aplicaciones
de gran escala, por lo cual es útil considerar las interrelaciones entre los
diferentes módulos de PETSc. En la figura 3.10 se muestra un diagrama de
algunas de estas piezas, que deja clara la estructura jerárquica de la librería,

3.5. Librerías numéricas 67
Figura 3.10: Organización de la librería PETSc
lo que permite al usuario utilizar el nivel de abstracción más apropiado para
un problema particular. En la figura 3.11 podemos ver un breve esquema
del contenido de cada uno de los módulos que componen la librería.
Las matrices se encuentran almacenadas por defecto en formato RCS,
aunque cabe la posibilidad de utilizar otros formatos, como pueden ser BCRS
(Block Compressed Row Storage) o BDS (Block Diagonal Storage), que puedan
resultar más eficientes en problemas con múltiples grados de libertad
por nodo. En la distribución paralela de la matriz cada proceso posee localmente
una submatriz formada por filas contiguas en la matriz global.
Siempre hay que tener en cuenta que las estructuras de datos son internas,
pasándose los distintos elementos a través de llamadas a funciones.
Para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales el objeto más importante
es SLES, puesto que proporciona un acceso uniforme y eficiente a
los resolutores de sistemas lineales, incluidos paralelos y secuenciales, directos
e iterativos. Como la base de la mayoría de los códigos actuales para la
resolución iterativa de sistemas lineales se encuentra en la combinación de
un método de resolución basado en subespacios de Krylov y un precondicionador,
cada objeto SLES contiene normalmente a otros dos objetos:
KSP (Krylov Space Method), formado por el método iterativo y cuyo
contexto contiene información relacionada con el método elegido.
PC (Preconditioners), contiene información sobre los parámetros relativos
al precondicionador elegido.

68 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
Figura 3.11: Estructura de la librería PETSc
Los métodos iterativos de los que dispone esta librería son: Richardson,
Chebyshev, CG, GMRES, TCQMR, BCGS, CGS, TFQMR, CR y LSQR.
Estos métodos iterativos se suelen emplear en combinación con un precondicionador,
siendo posible utilizar: Jacobi, Jacobi por bloques, Gauss–Seidel
por bloques (pero sólo en el caso secuencial), SOR, ILU (sólo en el caso secuencial),
Schwarz aditivo, una factorización completa (también se encuentra
sólo disponible en el caso secuencial), la identidad, y un precondicionamiento
proporcionado por el usuario. Por defecto, todas las implementaciones KSP
utilizan precondicionamiento por la izquierda. También existe la posibilidad
de utilizar un precondicionamiento combinado, es decir, utilizar una combinación
de los precondicionadores o resolutores definidos para lograr una
eficiencia mejor que la obtenida con un único método, aunque en muchos
casos utilizar un solo precondicionador es mejor que una combinación de
ellos.
3.5.5. Aztec
Aztec [HST95] es una librería iterativa que busca simplificar el proceso
de paralelización cuando se resuelven sistemas lineales de ecuaciones. Dispo-

3.5. Librerías numéricas 69
ne de una serie de herramientas de transformación de los datos que permiten
una rápida creación de matrices dispersas distribuidas para una solución paralela.
El uso de una matriz distribuida global permite al usuario especificar
fragmentos (diferentes filas para diferentes procesadores) de su matriz de
aplicación de igual forma que si estuviera trabajando en un caso secuencial
(es decir, utilizando un esquema de numeración global). Cuestiones como la
numeración local o los mensajes son ignorados por el usuario, pero en cambio
son computados por funciones de transformación automatizadas, así se
obtiene un buen rendimiento utilizando técnicas estándar de memoria distribuida.
Las submatrices etiquetadas localmente y los mensajes informativos
computados por la función de transformación son conservados por cada procesador
para que las computaciones y comunicaciones de las dependencias
de datos sean más rápidas.
La librería está escrita en ANSI C estándar, y aunque puede trabajar con
matrices generales, el paquete fue diseñado para las matrices que surgen de
la aproximación de ecuaciones diferenciales parciales (PDEs). Aztec puede
trabajar con dos formatos específicos de matrices dispersas, el formato MSR
(Modified Sparse Row) o el VBR (Variable Block Row).
Incluye una serie de métodos iterativos basados en subespacios de Krylov
para la resolución de sistemas de ecuaciones, así dispone de los siguientes
resolutores: CG, GMRES, CGS, TFQMR, BCGSTAB, LU (válida sólo
en el caso secuencial). Los métodos iterativos son utilizados conjuntamente
con varios precondicionadores como pueden ser: Jacobi por bloques, Gauss–
Seidel, series polinomiales de Neumann y métodos basados en descomposición
de dominios con solapamiento (Schwarz aditivo). Otra opción a tener en
cuenta, en el caso de escoger como precondicionamiento métodos basados en
descomposición de dominios, es el resolutor a utilizar en cada subdominio.
Entre las posibilidades en esta situación podemos destacar una factorización
LU completa, una factorización incompleta LU con un cierto nivel de llenado
y una factorización ILUT. Vamos a centrarnos en esta última factorización
porque no utiliza las mismas definiciones que hemos visto anteriormente.
Utiliza dos criterios para determinar el número de no ceros a introducir en
las factorizaciones aproximadas resultantes, por un lado el parámetro ilut fill
indica que la factorización resultante puede contener como máximo ilut fill
veces el número de no ceros de la matriz original. Por otro lado no se tienen
en cuenta aquellos elementos de la factorización resultante cuyo valor
sea inferior a un límite fijado (drop). Cuando este límite esté fijado a cero
no se eliminará ningún elemento y sólo se tendrá en cuenta la contribución
de ilut fill. Sin embargo, la utilización del parámetro drop puede implicar
que la matriz resultante contenga un número significativamente menor de

70 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales
Figura 3.12: Ejemplo de particionamiento de una malla de elementos finitos
elementos no nulos.
Estructuras de datos
A continuación se describirán los formatos de la matriz y de los vectores
usados internamente por Aztec. El producto de la matriz dispersa por un
vector y = Ax es el principal núcleo de computación de esta librería. Para
realizar esta operación en paralelo los vectores x e y así como la matriz
A deben estar distribuidos a través de los procesadores. Cuando se realiza
una operación que involucra a un vector, por ejemplo y, cada procesador
computa sólo aquellos elementos (entradas particulares de un vector) de y
que tiene asignados. Estos elementos del vector se encuentran almacenados
explícitamente en el procesador y se definen por medio de un conjunto de
índices a los que nos referiremos como conjunto de actualización del procesador.
El conjunto de actualización por su parte se divide en dos subconjuntos:
interno y frontera. Un componente correspondiente a un índice en el
subconjunto interno se actualiza usando sólo información perteneciente al
propio procesador, en cambio el subconjunto frontera define elementos que
requerirían valores de otros procesadores para poder ser actualizados durante
el producto matriz–vector. El conjunto de índices que identifican los
elementos exteriores al procesador necesarios para actualizar componentes
del conjunto frontera se denominan externos y son obtenidos de otros procesadores
vía comunicación mientras se realiza el producto matriz–vector.
En la figura 3.12 se ilustra como un grupo de vértices en el particionamiento
de una malla pueden utilizarse para definir los diferentes conjuntos. Así, los

3.5. Librerías numéricas 71
vértices señalados por un punto corresponden a elementos internos al procesador
p, los marcados por puntos resaltados por un círculo hacen referencia
a elementos frontera para este mismo procesador. Estos dos tipos de puntos
dan lugar al conjunto de actualización del procesador p. Por último, los
puntos resaltados por un rombo corresponden a elementos externos a este
procesador.
En cuanto a las matrices, cada procesador almacena un subconjunto de
los elementos no–nulos de la matriz. En particular, cada procesador almacena
sólo aquellas filas que corresponden a su conjunto de actualización.
Además el etiquetado local de los elementos de los vectores en un procesador
específico induce un etiquetado de las filas y columnas de la matriz.
Es decir, cada procesador contiene una submatriz cuyas entradas en filas y
columnas corresponden a variables definidas en este procesador. Como se
puede observar la técnica utilizada en la librería Aztec para la formación de
las estructuras de datos locales es similar a la descrita anteriormente en el
caso de PSPARSLIB.

72 Capítulo 3. Sistemas de ecuaciones lineales

Capítulo 4
Resultados numéricos
Las dimensiones de los dispositivos semiconductores actuales continúan
reduciéndose drásticamente. A distancias inferiores a los 100nm los modelos
2D (que no tienen en cuenta la profundidad del dispositivo) no resultan
adecuados para simular estos dispositivos, puesto que la tercera dimensión
empieza a jugar un papel importante. Por ejemplo, el dopado del dispositivo
ya no puede considerarse uniforme puesto que debería tenerse en cuenta su
naturaleza atomística [Ase98]. Otro fenómeno que afecta particularmente a
transistores HEMT basados en canales de In es la variación del contenido
de aleaciones ternarias que puede aparecer a lo largo de una capa en la
estructura del dispositivo. Para describir convenientemente este fenómeno
es necesaria la construcción de un modelo 3D del dispositivo [LKLGA03].
El desarrollo de simuladores 3D eficientes es fundamental cuando se pretende
estudiar el efecto de las fluctuaciones [ABW02, Ase01, AS99] tanto
en el dopado como en la composición, cuando estos dispositivos se escalan
a dimensiones submicrométricas [KRA + 02]. Para poder realizar un estudio
estadístico adecuado es preciso realizar un considerable número de simulaciones,
por lo cual es fundamental reducir el tiempo de simulación de cada
dispositivo lo máximo posible, y así poder obtener resultados globales en
un tiempo razonable. La parte de resolución de los sistemas de ecuaciones
lineales que provienen del modelo de arrastre–difusión es la que más tiempo
de computación emplea, siendo por ello fundamental encontrar los mejores
métodos de resolución posibles.
En este capítulo describiremos en primer lugar el simulador tridimensional
de dispositivos pHEMT utilizado, para a continuación mostrar los
resultados ofrecidos por cada una de las librerías introducidas en el capítulo
anterior.
73

74 Capítulo 4. Resultados numéricos
4.1. Descripción del simulador
El desarrollo de simuladores de dispositivos en tres dimensiones requiere
computadores con gran memoria y alta velocidad de cálculo. Esto es debido
a que el tiempo de cálculo se incrementa exponencialmente con el número
de nodos presente en la malla del dispositivo. El simulador 3D de dispositivos
pHEMT que hemos utilizado ha sido desarrollado en nuestro grupo en
colaboración con el Device Modelling Group de la Universidad de Glasgow.
Está basado en el modelo de arrastre–difusión, aplicando el método de elementos
finitos para discretizar las ecuaciones de Poisson y de continuidad
de los electrones [Sel84] por medio de tetraedros [Zie77, BCO83].
El simulador fue desarrollado para computadores paralelos de memoria
distribuida, usando la estrategia MIMD bajo el paradigma SPMD. Sus ca-
I D (A)
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
V D (V)
IG=-1.0 V
IG=-0.8 V
IG=-0.6 V
IG=-0.4 V
IG=-0.2 V
IG=-0.0 V
IG=0.2 V
IG=0.4 V
Figura 4.1: Curva característica experimental del PHEMT de 120nm
Tabla 4.1: Dopados y dimensiones del PHEMT
Caps 4.0 10 18
Spacer up 1.0 10 14
Delta doping 1.75 10 19
Spacer down 1.0 10 14
Channel 2.0 10 14
Buffer 1.0 10 14
Neff (cm −3 ) ∆ X(µm) ∆ Y(µm) ∆ Z(µm)
0.690 100.0 0.030
1.6 100.0 0.017
1.6 100.0 0.002
1.6 100.0 0.007
1.6 100.0 0.010
1.6 100.0 0.500

4.1. Descripción del simulador 75
Figura 4.2: Potencial electrostático en el equilibrio
pacidades se testearon modelando un HEMT pseudomórfico de 120nm con
bajo contenido en Indio. La curva característica I–V lograda con el simulador
ha sido comparada con los datos obtenidos para el pHEMT de 120nm
de longitud de puerta, diseñado y fabricado por el Centro de Investigación
Nanotecnológica de la Universidad de Glasgow [KRA + 02]. Se calibró el simulador
a través de resultados experimentales [LKAG03a, LKAG03b], de
un simulador Montecarlo 2D [KRA + 02] y del simulador comercial MEDICI
[Syn03].
El dispositivo está compuesto de una puerta en forma de T, una capa de
GaAs de 30nm de grosor fuertemente dopada tipo n (4 ·10 18 cm −3 ) utilizada
como fuente y drenador, una capa de Al0,3Ga0,7As, una región dopada tipo
δ con Si (de densidad 7 · 10 12 cm −3 ) en la parte superior de otra capa de
7nm de grosor de Al0,3Ga0,7As, que actuando como capa espaciadora separa
la capa con dopado tipo δ del canal de 10nm de In0,2Ga0,8As. Toda la
estructura del dispositivo se crece sobre una capa de 500nm grosor de GaAs.
Las dimensiones y dopados del pHEMT utilizado se muestran en la tabla 4.1.
La curva característica ID − VD obtenida experimentalmente se representa
en la figura 4.1.
La figura 4.2 muestra el potencial electrostático en el equilibrio en la

76 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.3: Concentración de electrones en equilibrio
Figura 4.4: Representación esquemática del dispositvo PHEMT
malla 3D, encontrándose las regiones críticas bajo la zona de puerta y en las
zonas de transición. Allí, el número de nodos en la malla tiene que ser muy

4.1. Descripción del simulador 77
Figura 4.5: Malla tetraédrica del PHEMT de 120nm dividida en tres subdominios
elevado para captar correctamente los gradientes de potencial. En la figura
4.3 se representa, en escala semilogarítmica, la concentración de electrones
en el equilibrio.
La simulación de un dispositivo empieza con un preprocesado en el que
generamos una malla y leemos los ficheros de entrada [WHS89], que contienen
los parámetros de la simulación. Una estructura de capas del pHEMT
(figura 4.4) es mallada en tetraedros como se ilustra en la figura 4.5. Este
mallado es llevado a cabo con el programa QMG [Vav96], software que puede
generar mallas de tetraedros no estructurados, incluyendo un software
de modelado geométrico (el simulador propiamente dicho) y un resolutor de
elementos finitos.
Usando este generador de mallas tridimensional, basado en el algoritmo
octree, se obtiene una malla tetraédrica no estructurada para una geometría
del dispositivo dada. Aplicando una función de control de malla se sitúan
tetraedros más pequeños cerca de las interfaces entre diferentes zonas del
transistor. En estas áreas situamos un gran número de nodos porque son las
zonas en las que se da un mayor gradiente de las variables del problema.
El programa QMG puede exportar la información de la malla en varios

78 Capítulo 4. Resultados numéricos
formatos y generar el grafo de adyacencias de la matriz asociada. Aplicando
el método de elementos finitos se generan los sistemas de ecuaciones no
lineales correspondientes a las ecuaciones de Poisson y de continuidad de
electrones. Por simplicidad no consideramos la ecuación de huecos pues su
influencia es mínima. Estos sistemas se linearizan aplicando el método de
Newton. Un paso importante en este proceso es el escalado, que introduce
cantidades adimensionales y aisla los parámetros relevantes de los que depende
el modelo. Se utilizó el escalado de parámetros sugerido en la referencia
[Sel84].
4.2. Resultados
A continuación se presentan los datos obtenidos durante las simulaciones
realizadas en el cluster beowulf del CESGA (Centro de Supercomputación
de Galicia) para las librerías SPARSKIT, PSPARSLIB, SuperLU y PETSc.
Además, se utilizó la librería Aztec para probar el funcionamiento de este
tipo de librerías en una máquina diferente, en concreto una Origin 200.
Hay que considerar que una simulación consiste en la resolución de muchos
sistemas de ecuaciones lineales de la forma Ax = b, donde A es una
matriz cuadrada, simétrica en estructura. Esta matriz es obtenida a través
del simulador 3D descrito en el apartado anterior, y en este caso es de orden
n = 29012 y tiene 398102 elementos no nulos.
Los resultados que se presentan pertenecen a cálculos realizados con las
matrices poisson6 y electron6, representativas de los sistemas resultantes de
la discretización de la ecuación de Poisson y de la ecuación de continuidad de
electrones respectivamente. Nos limitamos a estas dos matrices puesto que
el análisis de una serie de matrices de igual origen y características mostraba
resultados similares a los dados por estas dos.
Las librerías utilizadas en el estudio son las descritas en el capítulo 3,
mostrándose a continuación los resultados obtenidos para cada una de ellas.
4.2.1. SPARSKIT
Esta librería secuencial ofrece una gran variedad de métodos de resolución.
En concreto, los resolutores empleados fueron CG, BCG, DBCG,
CGNR, BCGSTAB, TFQMR, FOM, GMRES, FGMRES y DQGMRES. Los
tiempos obtenidos con el método CGNR son excesivamente elevados (hasta
un orden de magnitud superiores) comparados con cualquier otro método,
por lo cual vamos a prescindir de los resultados obtenidos con este resolutor.
El precondicionador utilizado fue una factorización incompleta LU que

4.2. Resultados 79
Figura 4.6: Tiempo de la factorización incompleta LU para la matriz poisson6
Figura 4.7: Tiempo de la factorización incompleta LU para la matriz electron6
utiliza como criterio de llenado tanto un umbral numérico como la posición
que se ocupa dentro de la matriz. Por lo tanto uno de los parámetros que
tendremos en cuenta, además de la dimensión del subespacio de Krylov utilizada,
es el llenado (fill). El efecto causado por la variación de la dimensión
del subespacio de Krylov sólo lo trataremos para los resolutores TFQMR,
FOM, GMRES, FGMRES y DQGMRES, puesto que en el resto de los casos
evidentemente no tiene ninguna influencia.
El criterio de convergencia utilizado, tanto en esta librería como en la

80 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.8: Dependencia del número de iteraciones con el llenado para la
matriz poisson6
Figura 4.9: Relación entre el llenado y el tiempo de resolución para la matriz
poisson6

4.2. Resultados 81
PSPARSLIB, está basado en la norma2 (|| ||2) del residuo, de tal forma
que se detecta la convergencia en la iteración k si se cumple que ||rk||2 <
rtol ∗ ||ro||2 + atol, siendo rtol y atol las tolerancias relativa y absoluta, ro el
residuo inicial y rk = b − Axk el residuo en la iteración k.
Inicialmente en la gráficas 4.6 y 4.7 se representa el tiempo necesario para
realizar la factorización ILU, en función del llenado, previa a la resolución del
sistema lineal, mostrando su dependencia con el llenado, para las matrices
poisson6 y electron6. Los resultados son los esperados, es decir se observa un
aumento del tiempo de operación al incrementar el llenado. En el caso de la
matriz poisson6, para valores de tolerancia relativa y absoluta del resolutor
de 10 −12 y 10 −17 respectivamente, el valor más pequeño de llenado utilizado
fue 18, puesto con un valor inferior no se conseguía alcanzar la convergencia
en el paso posterior de resolución del sistema lineal. En cambio para la
matriz electron6 con esos mismos parámetros de tolerancia, el mínimo valor
posible de llenado fue 125, lo que nos da una idea de las diferencias tan
considerables existentes entre ambas matrices, a pesar de poseer la misma
estructura. Para realizar la factorización incompleta LU se tuvo en cuenta
no sólo el llenado sino que también se fijó un valor para su tolerancia (drop)
de 10 −7 . Este parámetro provoca que los resultados representados en las
gráficas anteriores no coincidan porque la tolerancia de la ILU afecta de
forma muy diferente a las dos matrices al contener ambas valores numéricos
muy distintos.
En la gráfica 4.8 representamos el número de iteraciones necesarias por
cada resolutor para alcanzar la convergencia conforme vamos incrementando
el llenado en el caso de la matriz poisson6. Observamos un descenso en
el número de iteraciones al ir aumentando el llenado, que como sería de
esperar se cumple para todos los resolutores. Para esta misma matriz, en
la gráfica 4.9 representamos el tiempo total, que es suma del necesario por
cada resolutor para alcanzar la convergencia más el tiempo empleado en la
factorización ILU, y su dependencia con el llenado. Un aumento del llenado
lleva consigo generalmente una subida del tiempo total debido principalmente
a la influencia del tiempo de factorización (muy significativa) que no
logra ser compensada por la disminución (mucho menor) del tiempo del resolutor.
Debido a esto sólo se aprecia una influencia del tiempo de resolución
en el tiempo total para valores del llenado muy pequeños. En esta gráfica
podemos observar este efecto para el valor de llenado 12 aunque no en todos
los resolutores. Todas estas medidas se realizaron teniendo en cuenta un
valor constante de la dimensión del subespacio de Krylov 50, de la tolerancia
relativa 10 −7 y de la tolerancia absoluta 10 −12 . Para estos valores de la
tolerancia el mínimo del llenado se encuentra en 11. Además, los resultados

82 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.10: Relación entre la dimensión del subespacio de Krylov y el tiempo
de resolución para la matriz poisson6
Figura 4.11: Dependencia del número de iteraciones con el llenado para la
matriz poisson6

4.2. Resultados 83
obtenidos por la mayoría de los resolutores son similares, a excepción de
los métodos BCG y DBCG, que presentaron unos valores apreciablemente
superiores al resto.
Si se desea alcanzar una mayor precisión en el resultado obtenido habrá
que considerar que el límite inferior del llenado a partir el cual no se
alcanza la convergencia se encontrará ahora a valores más altos. Así por
ejemplo, como ya comentamos anteriormente, para una tolerancia relativa
de 10 −12 y una tolerancia absoluta de 10 −17 el menor valor de llenado para
el cual el sistema converge se encuentra en 18. Utilizando estos nuevos
valores de tolerancia estudiamos el efecto de la dimensión del subespacio
de Krylov en el tiempo de computación (figura 4.10) y en las iteraciones
realizadas (figura 4.11). Se encuentra una disminución del número de iteraciones
al aumentar la dimensión del subespacio de Krylov, aunque este
efecto sólo se aprecia para dimensiones pequeñas. Por otro lado la influencia
de la dimensión del subespacio de Krylov en el tiempo total de computación
es poco apreciable, observándose variaciones del orden del 5% en el peor de
los casos al cambiar dos órdenes de magnitud la dimensión del subespacio de
Krylov. Los valores representados en las gráficas 4.10 y 4.11 se obtuvieron
a un valor de llenado de 50.
Para la matriz electron6, teniendo en cuenta una tolerancia relativa de
10 −12 y una tolerancia absoluta de 10 −17 , en la gráfica 4.12 representamos
el tiempo total necesario por cada resolutor para la resolución del sistema
lineal y su dependencia con el llenado, encontrándose un aumento del tiempo
total con el llenado, puesto que un incremento del llenado sólo lleva a un
ligero descenso en el tiempo del resolutor. En la figura 4.13 representamos
el número de iteraciones realizadas por cada resolutor y su variación con
el llenado, observándose, al igual que en el caso de la matriz poisson6, un
descenso del número de iteraciones al aumentar el llenado. En esta gráfica
no incluimos el resolutor CG puesto que para un valor de llenado 125
necesitaba realizar 84 iteraciones para alcanzar la convergencia. Esta circunstancia
explica porqué este resolutor necesita mucho más tiempo que los
otros para resolver el sistema lineal cuando el llenado es 125. Estas medidas
se realizaron a un valor constante de la dimensión del subespacio de Krylov
(dimensión=80).
En el caso de la matriz electron6 la influencia de la dimensión del subespacio
de Krylov es incluso más despreciable que para la matriz poisson6,
puesto que considerando un valor fijo de llenado (llenado = 125), el número
de iteraciones realizadas no varían al aumentar la dimensión del subespacio
de Krylov. En cuanto a su influencia en el tiempo total (figura 4.14) se nota
una ligera subida en el tiempo al aumentar la dimensión, pero se puede

84 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.12: Relación entre el llenado y el tiempo de resolución para la matriz
electron6
Figura 4.13: Dependencia del número de iteraciones con el llenado para la
matriz electron6

4.2. Resultados 85
Figura 4.14: Relación entre la dimensión del subespacio de Krylov y el tiempo
de resolución para la matriz electron6
considerar despreciable.
4.2.2. SuperLU
Esta librería resuelve en paralelo una factorización LU. En la gráfica 4.15
se muestra el tiempo total necesario para realizar la factorización para las
matrices poisson6 y electron6, y su variación con el número de procesadores
empleados para ello. Así se encuentra que el tiempo se reduce al aumentar
el número de procesadores, aunque esta disminución es cada vez menos
pronunciada. Como se puede ver los resultados presentados por las dos matrices
son prácticamente idénticos, lo cual es lógico si tenemos en cuenta que
ambas tienen la misma estructura y número de elementos no nulos.
Si se utiliza un único procesador para la resolución del sistema lineal
es más efectivo (es decir que el tiempo necesario para su resolución es menor)
el uso de la librería secuencial SPARSKIT que la librería SuperLU.
La diferencia entre ambas librerías se encuentra en que mientras SuperLU
resuelve una factorización LU completa, SPARSKIT combina una factorización
incompleta LU, con valores conocidos del llenado(fill) y de la tolerancia
(drop), utilizada como precondicionamiento con una llamada posterior a un
resolutor. Dependiendo del llenado elegido para la factorización incompleta

86 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.15: Tiempo de la factorización LU para la matrices poisson6 y
electron6
la diferencia de tiempo en el uso de una u otra librería puede disminuir.
Así para la matriz electron6 con un llenado 125 utilizar la librería SPARS-
KIT supone un ahorro en tiempo del 58 %. Al ir aumentando el llenado
elegido este ahorro será cada vez menor, puesto que la factorización incompleta
LU se aproximará cada vez más a la completa. De esta forma, con un
llenado de 200 el ahorro en tiempo será del 31 %.
Siempre teniendo en cuenta que SPARSKIT es secuencial, si comparamos
ambas librerías al aumentar el número de procesadores utilizados en
SuperLU, las diferencias en los tiempos de resolución de ambas librerías se
reducen, pero sólo compensaría utilizar la librería SuperLU cuando disponemos
de un número elevado de procesadores (mayor de 6) y si la comparamos
con los peores casos posibles de la librería SPARSKIT.
4.2.3. PSPARSLIB
Esta librería paralela utiliza precondicionadores basados en descomposición
de dominios, por ello vamos a dividir nuestro estudio en tres bloques,
uno dedicado al método Schwarz aditivo, otro al SOR multicolor y el último
a los métodos basados en complemento de Schur. El precondicionamiento
inicial de la matriz a través de una factorización incompleta LU con un
cierto llenado se hace sobre la matriz local a cada procesador y no sobre la
matriz global. El tiempo necesario para realizar esta factorización suponía
la principal contribución al tiempo total en la librería secuencial SPARSK-

4.2. Resultados 87
Figura 4.16: Tiempo de la factorización local LU incompleta para la matriz
poisson6 y su dependencia con el llenado
Figura 4.17: Tiempo de la factorización local LU incompleta para la matriz
electron6 y su dependencia con el llenado
KIT, por lo tanto su minimización se convierte en uno de los beneficios de
la paralelización de la librería, que se encuentra en PSPARSLIB.
Para la matriz poisson6, en la gráfica 4.16 se representa el tiempo necesario
para la realización de la factorización incompleta LU en función del
número de procesadores utilizados y su variación con el llenado elegido. De
igual forma que en la librería SPARSKIT el valor de tolerancia de la ILU
(drop) se fija a 10 −4 . Se observa una disminución del tiempo al aumentar el
número de procesadores destinados a la factorización, puesto que la matriz

88 Capítulo 4. Resultados numéricos
correspondiente a cada procesador será cada vez de menor tamaño. Por otro
lado, la influencia del llenado en el tiempo de factorización también es la
esperada, lográndose los tiempos menores a llenados pequeños (sobre 15).
Es necesario comentar el comportamiento atípico que muestra la gráfica 4.16
cuando se emplean tres procesadores. Para llenados iguales o superiores a 25
se produce un efecto contrario al esperado, aumentando el tiempo de resolución
con respecto al obtenido con dos procesadores. Esto puede ser debido
a la asimetría que se produce al particionar la matriz en tres subdominios,
siendo este proceso anterior a la factorización. Así pues, para minimizar el
tiempo de factorización es necesario considerar llenados reducidos y, como
se puede deducir de la tendencia mostrada en la gráfica, trabajar con dos o
cuatro procesadores.
En el caso de la matriz electron6 los resultados obtenidos (gráfica 4.17)
reflejan el mismo comportamiento, compensando también la utilización de
llenados bajos para lograr la reducción del tiempo de factorización. Hay que
tener en cuenta que si se utiliza más de un procesador el tiempo de factorización
representado corresponde al peor de los tiempos que necesitaron los
procesadores individuales en cada factorización local.
Si comparamos los resultados presentados por la factorización incompleta
LU realizada en la librería SPARSKIT y los obtenidos en las mismas
circunstancias (considerando un solo procesador y el mismo llenado) en PS-
PARSLIB, se encuentra una diferencia sustancial en el tiempo necesario para
su cálculo entre ambos casos. Esta disminución del tiempo de factorización
en el caso PSPARSLIB está relacionado con un reordenamiento de la matriz,
que cambia la posición de sus elementos, previo al proceso de factorización.
Método Schwarz aditivo
A pesar de la variedad de resolutores que podíamos estudiar, nos centramos
en tres de ellos que presentaron buenos resultados en la librería
secuencial SPARSKIT, los resolutores estudiados fueron: FGMRES, BCGS-
TAB y TFQMR. En primer lugar, para la matriz poisson6, se observó la
evolución del tiempo total de resolución del sistema lineal en función del
número de procesadores y del llenado (gráfica 4.18). Se encontró que un
aumento del llenado influía incrementando a su vez el tiempo total, compuesto
por el tiempo de factorización y el tiempo necesario por el resolutor
para alcanzar la convergencia. El tiempo del resolutor se hace menor con el
aumento del llenado aunque no lo suficiente como para permitir un cambio
de tendencia. En cuanto a la influencia del número de procesadores utilizado
la tendencia indica una disminución del tiempo total al aumentar la

4.2. Resultados 89
Figura 4.18: Dependencia del tiempo de resolución con el llenado para el
resolutor FGMRES
Figura 4.19: Comparativa entre los resolutores FGMRES, BCGSTAB y
TFQMR para un llenado 15 y una dimensión del subespacio de Krylov de
50
cantidad de procesadores utilizados, aunque para llenados superiores a 30
utilizar tres procesadores no sería una buena opción puesto que el tiempo
de la factorización incompleta local es superior a lo esperado. También se
puede observar que la disminución en el tiempo al ir aumentando el número
de procesadores se hace cada vez menos pronunciada. La gráfica 4.18 refleja
los valores obtenidos para el resolutor FGMRES, siendo similares los dados
por otros resolutores. En la figura 4.19 se representa una comparativa en-

90 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.20: Dependencia del número de iteraciones con el llenado y el número
de procesadores para el resolutor FGMRES
Figura 4.21: Dependencia del tiempo de resolución con el llenado y el número
de procesadores para el resolutor FGMRES
tre los tres resolutores para un llenado de valor 15. En ella se observa que
prácticamente no existe diferencia entre los tiempos dados por los resolutores
FGMRES y BCGSTAB, mientras que los tiempos dados por TFQMR
son como máximo dos décimas superiores. Estas medidas se realizaron considerando
una tolerancia relativa de 10 −12 , una tolerancia absoluta de 10 −17
y un valor de la dimensión del subespacio de Krylov igual a 50.
En cuanto a las iteraciones realizadas por los resolutores, se encuentra
una disminución del número de iteraciones al aumentar el llenado que se

4.2. Resultados 91
Figura 4.22: Dependencia del tiempo de resolución con el llenado y el número
de procesadores para el resolutor BCGSTAB
Figura 4.23: Dependencia del tiempo de resolución con el llenado y el número
de procesadores para el resolutor TFQMR
va haciendo más suave a llenados elevados, mientras que se produce un
incremento del número de iteraciones al aumentar el número de procesadores
involucrados en la resolución. Por último, la influencia de la dimensión del
subespacio de Krylov tanto en el número de iteraciones como en el tiempo
total es muy escasa, limitándose a leves variaciones de tiempo del orden de
las obtenidas con la librería secuencial SPARSKIT, como era de esperar.
Si la matriz utilizada es electron6 el comportamiento deja de ser similar
en los resolutores estudiados y el tiempo ya no disminuye en todos los

92 Capítulo 4. Resultados numéricos
casos al aumentar el llenado. En cuanto a la dependencia con el número
de procesadores utilizados, todos los resolutores obtienen el menor tiempo
de computación con tres procesadores. La razón de que el tiempo aumente
para más de tres procesadores puede deberse a que el número de iteraciones
realizadas por el resolutor se dispara (gráfica 4.20) sea cual sea el llenado
utilizado. La principal causa de este aumento está en que cuantos más
procesadores intervengan en la resolución menor es el número de nodos internos
que corresponde a cada subdominio y mayor es la contribución de
los nodos frontera, lo que implica un mayor coste tanto en comunicaciones
como en computaciones . Generalizando, los tres resolutores obtienen su
mejor rendimiento para llenados reducidos y tres procesadores. A continuación
representamos el comportamiento de los resolutores FGMRES (figura
4.21), BCGSTAB (gráfica 4.22) y TFQMR (figura 4.23) frente al llenado y
al número de procesadores. Al igual que en el caso de la matriz poisson6
el resolutor que presenta unos tiempos superiores es TFQMR, mientras que
los otros dos resolutores son similares.
Método SOR multicolor
En esta ocasión los tres resolutores estudiados fueron GMRES, BCGS-
TAB y TFQMR. Utilizamos los mismos valores de tolerancia absoluta y
relativa que en el apartado anterior y realizamos un análisis de los mismos
parámetros. Por lo tanto, para la matriz poisson6, se representó la evolución
del tiempo total de resolución del sistema lineal en función del número
de procesadores y del llenado (gráfica 4.24) para el resolutor GMRES. El
comportamiento es análogo al obtenido con el método Schwarz, aunque los
niveles de llenado que empeorarían el resultado usando tres procesadores
son más elevados (superiores a 50).
Si representáramos el comportamiento de los otros dos resolutores estudiados,
las gráficas presentarían la misma tendencia, aunque como se puede
apreciar en la figura 4.25 los valores menores de tiempo se obtienen para el
resolutor GMRES. Estas diferencias entre resolutores son apreciables teniendo
en cuenta los valores tan pequeños de tiempo que estamos considerando.
En este método, al igual que en el Schwarz, el resolutor que presenta peores
resultados es el TFQMR. Esta comparativa se realizó a un nivel de llenado
igual a 15.
Comparamos entre sí los dos métodos de precondicionamiento basados
en descomposición de dominios para el caso en el que obteníamos los menores
tiempos de resolución, es decir, utilizando el resolutor GMRES, siendo
el nivel de llenado 15, la dimensión del subespacio de Krylov igual a 50, la

4.2. Resultados 93
Figura 4.24: Dependencia del tiempo de resolución con el llenado para el
resolutor GMRES
tolerancia relativa 10 −12 y la tolerancia absoluta de 10 −17 . El resultado de
esta comparación se encuentra en la figura 4.26. En ella se puede observar
claramente que el método Schwarz aditivo presenta unos tiempos de resolución
menores sea cual sea el número de procesadores utilizados y estas
diferencias son considerables puesto que en media el tiempo necesario para
la resolución del sistema lineal con el método Schwarz aditivo es un 38 %
menor que el necesitado en las mismas circunstancias para el método SOR
multicolor. Realizando esta comparación para niveles de llenado superiores
(llenado = 100) estas diferencias se mantienen entre los dos métodos.
Trabajando ahora con la matriz electron6 encontramos que el resolutor
que obtiene los menores tiempos de resolución sea cual sea el nivel de llenado
es el GMRES (figura 4.27) como se puede comprobar en la comparativa entre
los distintos resolutores estudiados que se muestra en la gráfica 4.28. Todos
los resolutores presentan los menores tiempos de computación para un nivel
de llenado de 50. Para este nivel de llenado, se consigue que la suma del
tiempo de factorización local (que aumentaba con el llenado) y del tiempo
empleado por el resolutor sea mínima, aunque no es posible afirmar, como
hiciéramos en otros casos, que el tiempo del resolutor disminuye al aumentar
el nivel de llenado. Además se cumple que es tres el número de procesadores
óptimo para la obtención del menor tiempo de resolución del sistema lineal.
La comparativa entre los distintos resolutores se realizó para un nivel
de llenado de 50, una dimensión del subespacio de Krylov de valor 50 y
los valores de tolerancia absoluta y relativa ya mencionados para la matriz

94 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.25: Comparativa entre los resolutores TFQMR, BCGSTAB y GM-
RES para un llenado 15 y una dimensión del subespacio de Krylov de 50
Figura 4.26: Comparativa entre los métodos Schwarz aditivo y SOR multicolor
poisson6. Las diferencias entre el método de resolución elegido se hacen en
este caso considerables, volviendo a ser el método TFQMR el que presenta
los peores resultados. Si comparamos entre sí los dos métodos de precondicionamiento
basados en descomposición de dominios para este mismo caso,
se encuentran menores tiempos para el método Schwarz aditivo en todos los
casos estudiados.

4.2. Resultados 95
Figura 4.27: Dependencia del tiempo de resolución con el llenado para el
resolutor GMRES
Figura 4.28: Comparativa entre los resolutores TFQMR, BCGSTAB y FGM-
RES para un llenado 50
Método basado en el complemento de Schur
Con este método se resuelve el complemento de Schur local en cada
procesador con FGMRES precondicionado con una ILU. Hay dos posibilidades
de aplicar este precondicionamiento, por la izquierda (lschur) o por
la derecha (rschur). Utilizando los mismos valores de la tolerancia absoluta
y relativa que en los dos apartados anteriores se estudió la influencia del
llenado en el tiempo de resolución para los dos precondicionadores.
Suponiendo una dimensión del subespacio de Krylov igual a 50, analiza-

96 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.29: Dependencia del tiempo de resolución con el llenado para el
precondicionador lschur
Figura 4.30: Comparativa entre los precondicionadores lschur y rschur para
un llenado 50
mos los valores obtenidos con la matriz poisson6 para el precondicionador
lschur (gráfica 4.29). Observamos un aumento del tiempo de resolución con
el llenado introducido, que se cumple independientemente del número de
procesadores utilizado. Así, los valores menores del tiempo se obtienen con
4 procesadores y un llenado 15. Los resultados que se consiguen con el precondicionador
rschur presentan un comportamiento similar a los dados por
lschur, aunque los tiempos alcanzados son apreciablemente superiores. En
la figura 4.30 se comparan ambos precondicionadores para un valor 50 de

4.2. Resultados 97
Figura 4.31: Comparativa entre los métodos de resolución Schwarz aditivo,
Schur y SOR multicolor
llenado, se observa que el precondicionador rschur puede llegar a necesitar
el doble del tiempo necesario por lschur para alcanzar la convergencia.
Podemos comparar el comportamiento de los tres métodos: Schwarz,
Schur y SOR multicolor para el caso en el que cada método presenta los
resultados más favorables (gráfica 4.31). Es decir consideramos la dimensión
del subespacio de Krylov 50, tolerancia relativa de 10 −7 , tolerancia absoluta
de 10 −12 y un llenado 15. El resolutor empleado para los métodos Schwarz
y SOR multicolor fue el GMRES, mientras que para el método basado en
complemento de Schur se utilizó FGMRES precondicionado con lschur. Se
encuentran los mejores resultados con el método Schwarz aditivo, empleando
en promedio, un 25 % menos de tiempo para lograr la resolución del sistema
que el necesitado por el método Schur, haciendose la diferencia más grande
en el caso del método SOR multicolor (tarda en promedio un 35 % más de
tiempo que el Schwarz aditivo).
Utilizando ahora la matriz electron6 estudiamos la influencia del llenado
en el tiempo de resolución para el precondicionador lschur (gráfica 4.32),
teniendo en cuenta una dimensión 50 del subespacio de Krylov. No presentamos
los datos reflejados por el precondicionador rschur puesto que al igual
que en el caso de la matriz poisson6 sus tiempos de resolución son considerablemente
superiores. Se encuentran los menores tiempos de resolución
para valores de llenado entre 25 y 50, usando para ello 2 ó 3 procesadores.
También para esta matriz comparamos los tres métodos: Schwarz, SOR multicolor
y Schur para el caso en el que cada método presenta los resultados

98 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.32: Dependencia del tiempo de resolución con el llenado para el
precondicionador lschur
Figura 4.33: Comparativa entre los métodos de resolución Schwarz aditivo,
Schur y SOR multicolor
más favorables (gráfica 4.33). Es decir consideramos la dimensión del subespacio
de Krylov 50, tolerancia relativa de 10 −7 , tolerancia absoluta de 10 −12
y un llenado 50. El resolutor utilizado para los métodos Schwarz y SOR multicolor
fue el GMRES, mientras que para el método basado en complemento
de Schur se utilizó FGMRES precondicionado con lschur. El mejor método
de resolución para esta matriz es también el Schwarz aditivo, observandose
grandes diferencias con el método SOR multicolor, y algo menores con
el método Schur. Cuando trabajamos con 4 procesadores encontramos que

4.2. Resultados 99
el método Schur obtiene mejores resultados que el método Schwarz, aunque
comparando ambos métodos para diferentes llenados Schwarz obtiene
siempre menores tiempos a excepción de este caso particular.
La influencia de la dimensión del subespacio de Krylov es reducida, pero
hay que tener en cuenta que si la fijamos a un valor muy pequeño (por
ejemplo 1) no logramos que el sistema alcance la convergencia. Se encuentra
una leve disminución del tiempo de resolución al ir aumentando la dimensión
si utilizamos un número de procesadores menor que 4, aunque esta influencia
deja de ser apreciable para dimensiones altas. Si utilizamos 4 procesadores
se observan incrementos de tiempo muy elevados si empleamos dimensiones
bajas (sobre 5–15).
En la librería PSPARSLIB tanto la instalación como la configuración
son sencillas. El código que incorpora es de uso intuitivo y admite cómodas
modificaciones por parte del usuario, realizándose la selección de parámetros
por medio de un fichero de texto con un formato preestablecido. Por otro
lado, una de sus limitaciones consiste en que solamente admite matrices en
formato H/B, además de trabajar exclusivamente con métodos basados en
descomposición de dominios.
4.2.4. PETSc
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos con la librería PSPARSLIB,
estudiaremos en esta librería el comportamiento de los resolutores GMRES
y BCGSTAB precondicionados con el método Schwarz aditivo. Este método
utiliza una ILU como precondicionador interno, en la que para introducir el
llenado se tienen en cuenta dos factores, la cantidad de máxima de elementos
no nulos que se desean introducir respecto a los existentes en la matriz
original (ilut fill) y los niveles de llenado (nivel). Así para los modelos de
matrices poisson6 y electron6 se analizará el comportamiento del tiempo de
resolución del sistema lineal en función del número de procesadores utilizados
y del nivel de llenado. El parámetro ilut fill se mantiene siempre igual
a 1.
El criterio de convergencia utilizado en este caso es similar al utilizado en
las librerías anteriores detectándose la convergencia en una iteración k si se
cumple que ||rk||2 < max(rtol ∗ ||ro||2,atol), siendo rtol y atol las tolerancias
relativa y absoluta, ro el residuo inicial y rk = b − Axk el residuo en la
iteración k.
Empezando con la matriz poisson6, para unos valores de tolerancia relativa
10 −12 , tolerancia absoluta 10 −17 , y dimensión del subespacio de Krylov
50, la influencia del nivel de llenado en el tiempo de resolución del sistema

100 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.34: Dependencia del tiempo total de resolución con el nivel de llenado
para el resolutor GMRES
Figura 4.35: Dependencia del tiempo total de resolución con el nivel de llenado
para el resolutor BCGSTAB
lineal para los resolutores GMRES y BCGSTAB se puede observar en la
gráficas 4.34 y 4.35. Ambos resolutores muestran el mismo comportamiento,
una disminución del tiempo de resolución con el número de procesadores,
que generalmente alcanza su valor mínimo para 3 procesadores. En cuanto
a la influencia del nivel de llenado, los tiempos de resolución menores
se encuentran en niveles de llenado bajos (menores de 5). A partir de ahí,
aumentar el nivel de llenado implica un incremento considerable en el tiempo
de computación. Comparando entre sí ambos resolutores se encuentra

4.2. Resultados 101
Figura 4.36: Dependencia del tiempo total de resolución con el nivel de llenado
para el resolutor GMRES
Figura 4.37: Dependencia del tiempo total de resolución con el nivel de llenado
para el resolutor BCGSTAB
que el resolutor BCGSTAB presenta unos tiempos de resolución menores
para niveles de llenado pequeños, dejando de cumplirse esta tendencia para
niveles más elevados (sobre 10).
Analizando de igual forma la matriz electron6 encontramos que tanto el
resolutor GMRES (gráfica 4.36) como el BCGSTAB (gráfica 4.37) obtienen
sus menores tiempos de resolución para 3 procesadores y un nivel de llenado
5. Al aumentar el nivel de llenado el tiempo necesario para resolver el sistema
lineal aumenta considerablemente.

102 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.38: Dependencia del tiempo del resolutor GMRES con el nivel de
llenado
Como se comentó anteriormente, para ambas matrices el tiempo total de
resolución alcanza el valor mínimo en 3 procesadores. Este tiempo incluye
tanto la preparación de la matriz como la resolución del sistema propiamente
dicho. El tiempo del resolutor sí disminuye con el número de procesadores,
con un valor mínimo en cuatro. Este comportamiento se puede observar en la
gráfica 4.38 que representa el tiempo necesitado por el resolutor GMRES para
alcanzar la convergencia en la matriz poisson6. Por tanto la razón de que
el tiempo total aumente ligeramente para 4 procesadores puede encontrarse
en el paso de preparación de la matriz paralela, tanto en la conversión de la
matriz a una válida en el formato interno de PETSc como en la distribución
de los datos a los procesadores de la malla.
La librería PETSc es un paquete más complicado de instalar que PS-
PARSLIB. Esto es debido a que dispone de una gran cantidad de herramientas
de las cuales la resolución de sistemas lineales es tan solo una pequeña
parte. Se apoya en las librerías matemáticas BLAS y LAPACK por lo que
es preciso disponer de estos paquetes en la máquina. La estructuración interna
de la librería es rígida, lo que complica bastante el aprendizaje, junto
con la enorme cantidad de opciones de las que dispone sin estar claramente
precisadas. Sin embargo, a diferencia de PSPARSLIB, cabe la posibilidad de
interconectar PETSc con otros paquetes matemáticos, como puede ser MA-
TLAB, u otras librerías, como BlockSolve o SuperLU, que la dotan de una
mayor versatilidad, destacando también su amplio soporte para diferentes
formatos matriciales.

4.2. Resultados 103
Figura 4.39: Dependencia del tiempo de resolución con el ilut fill para el
resolutor GMRES
Figura 4.40: Dependencia del tiempo de resolución con el ilut fill para el
resolutor BCGSTAB
4.2.5. Aztec
En esta librería analizamos aquellos resolutores que presentaron mejores
resultados en la librería PSPARSLIB, trabajando por ello tan sólo con los
métodos iterativos GMRES y BCGSTAB. Se utilizan métodos basados en
descomposición de dominios (Schwarz aditivo), siendo ILUT el resolutor de
cada subdominio, es decir, realizamos una factorización incompleta LU en
la que influyen dos parámetros, la tolerancia de la ILU (drop) fijada a cero y
el ilut fill. Estudiaremos la influencia del número de procesadores utilizados

104 Capítulo 4. Resultados numéricos
Figura 4.41: Dependencia del tiempo de resolución con el ilut fill para el
resolutor BCGSTAB
Figura 4.42: Dependencia del tiempo de resolución con el ilut fill para el
resolutor GMRES
y del ilut fill (este parámetro indica que la factorización resultante puede
contener como máximo ilut fill veces el número de no ceros de la matriz
original). Las medidas para esta librería se realizaron en una máquina SGI
Origin 200.
La librería Aztec hace uso de la tolerancia tol para detectar la convergencia,
que se alcanzará en la iteración k si se cumple ||rk||2 < tol ∗ ||ro||2,
siendo ro el residuo inicial y rk = b − Axk el residuo en la iteración k.
Empezando con la matriz poisson6, en las gráficas 4.39 y 4.40 represen-

4.2. Resultados 105
tamos, para los resolutores GMRES y BCGSTAB, el tiempo necesario para
la resolución del sistema lineal en función del número de procesadores y del
nivel de ilut fill utilizado. Estas medidas se realizaron para unos valores de
tolerancia de 5 · 10 −5 y una dimensión del subespacio de Krylov de 50. Se
observa que el tiempo de resolución disminuye conforme aumenta el número
de procesadores utilizados, tendencia que se cumple para todos los valores
de ilut fill. Ambos resolutores presentan un comportamiento similar frente
a la variación del ilut fill, obteniéndose un tiempo de resolución mínimo para
valores de ilut fill iguales a 1,2. A valores superiores de este parámetro
el excesivo aumento del número de elementos no nulos a introducir en la
factorización provoca un incremento del tiempo de resolución.
Para la matriz electron6 es más complicado obtener un comportamiento
similar. En la gráfica 4.41, relativa al resolutor BCGSTAB, se refleja
la variación del tiempo de resolución con el numero de procesadores y el
ilut fill para los mismos parámetros que la matriz poisson6, observándose
un descenso del tiempo de resolución con el número de procesadores que se
mantiene hasta tres. Para un número superior de procesadores los tiempos
se incrementan. Esta misma dependencia se establece en el caso del resolutor
GMRES (gráfica 4.42). En cambio, en cuanto a la influencia del ilut fill, el
resolutor BCGSTAB en general obtiene sus mejores resultados para valores
pequeños (ilut fill=1) de esta variable, mientras que el GMRES los obtiene
para valores más elevados (entre 1,5 y 2).
Para obtener la librería Aztec es necesario un proceso de registro. A parte
de esto la instalación no tiene mayores complicaciones. Su configuración es
sencilla y dispone de ejemplos suficientes para iniciarse en el funcionamiento
de la librería. Uno de sus principales inconvenientes está en que los únicos
formatos matriciales que soporta son MSR y VBR, lo que puede obligar
a disponer de un conversor. Al igual que la librería PETSc necesita tener
instalado BLAS y LAPACK.
Todas las librerías analizadas, a excepción de SuperLU, implementan
una cantidad considerable de métodos de resolución y precondicionadores,
siendo complicada la comparación entre ellas puesto que utilizan distintas
definiciones algunos parámetros, como pueden ser las distintas versiones
de factorizaciones incompletas que implementan las librerías PSPARSLIB,
PETSc y Aztec.
Si ignoramos todas estas variables y realizamos una comparación meramente
orientativa y en cierto modo subjetiva, en nuestra opinión PSPARS-
LIB es la librería que necesita un menor tiempo de aprendizaje desde que se
inicia el proceso de instalación hasta que se empieza a utilizar con fluidez,
lo que haría que fuera la más sencilla de implementar en el simulador. Otro

106 Capítulo 4. Resultados numéricos
punto a su favor se encuentra en la claridad del código desarrollado. Además
si comparamos los tiempos de resolución para las circunstancias más favorables
de cada una de las librerías también encontramos los menores valores
del tiempo de resolución para esta librería.

Conclusiones
En este trabajo hemos realizado un estudio de sistemas lineales asociados
a la simulación de dispositivos semiconductores, utilizando para ello
diversas librerías numéricas, con el objetivo de encontrar el modo óptimo de
resolución.
En concreto hemos partido de las matrices de Posisson y de continuidad
de electrones que surgen de la simulación tridimensional de transistores
HEMT. El simulador utilizado ha sido desarrollado por nuestro grupo en
colaboración con el Device Modelling Group de la Universidad de Glasgow.
Hay que añadir que el simulador ha sido calibrado, tanto a través de resultados
experimentales como por medio de simuladores comerciales. Uno de
los objetivos de esta colaboración es el estudio de las variaciones estadísticas,
tanto en el dopado como en la composición de los compuestos ternarios,
que se producen en la fabricación de estos dispositivos cuando son escalados
a dimensiones submicrométricas, por lo cual es preciso realizar un elevado
número de simulaciones.
Hemos realizado un estudio de métodos directos e iterativos que permiten
la resolución de este tipo de sistemas lineales. Por ello en primer lugar
tratamos la librería secuencial SPARSKIT con el fin de obtener un análisis
inicial de los métodos de resolución más favorables para los sistemas lineales
generados con las matrices de Posisson y de continuidad de electrones. Se
tomaron medidas para una serie de matrices de cada tipo, presentando los
resultados la misma tendencia que la obtenida con las dos matrices (poisson6
y electron6) elegidas. Así, desechamos los resolutores CGNR, DBCG
y BCG por presentar tiempos de resolución elevados en comparación con el
resto de resolutores. En cambio, los restantes resolutores estudiados (CG,
BCGSTAB, TFQMR, FOM, GMRES, FGMRES y DQMGRES) presentaron
diferencias mínimas en cuanto a tiempo de resolución. Para esta librería,
los menores tiempos, sea cual sea el método de resolución elegido, se obtienen
para llenados bajos, teniendo en cuenta que existe un valor mínimo de
llenado necesario para alcanzar la convergencia del resolutor.
107

108 Conclusiones
En segundo lugar analizamos la librería SuperLU, que tiene como objetivo
la resolución paralela de una factorización LU completa. Está basada por
lo tanto en la aplicación de métodos directos para la solución del sistema
lineal, y la estudiamos para comprobar que su utilización es poco rentable
en comparación con cualquiera de las librerías estudiadas basadas en métodos
iterativos, incluyendo la librería secuencial SPARSKIT, puesto que los
métodos directos implican una mayor complejidad computacional, lo que
repercute en el tiempo de resolución.
Vistos estos resultados optamos por continuar analizando un grupo de
librerías paralelas basadas en métodos iterativos, siendo la primera de ellas
PSPARSLIB, que es una versión paralela de SPARSKIT que utiliza métodos
basados en descomposición de dominios. En este caso analizamos los mismos
resolutores que en la librería SPARSKIT, aunque finalmente restringimos el
estudio a los resolutores BCGSTAB, TFQMR y FGMRES, obteniéndose con
este último los mejores resultados. En cuanto al precondicionador, encontramos
que para la obtención de los nodos frontera el método Schwarz aditivo
es el más adecuado, mientras que para el cálculo de los nodos internos empleamos
una factorización incompleta LU dependiente del llenado, donde el
tiempo mínimo se alcanza para llenados pequeños (entre 15 y 25).
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos con la librería PSPARSLIB,
en las librerías PETSc y Aztec estudiamos para los resolutores GMRES y
BCGSTAB el método Schwarz aditivo, utilizando una factorización incompleta
LU dependiente del nivel de llenado y del parámetro ilut fill en el caso
de PETSc y de este último parámetro en el caso de la librería Aztec. Empezando
con la librería PETSc los menores tiempos de resolución se encuentran
para el resolutor BCGSTAB, con niveles de llenado bajos (menores de 5) y
con un número óptimo de 3 procesadores. En la librería Aztec se encuentran
los menores tiempos de resolución para valores de ilut fill pequeños (menores
de 2), aunque en esta ocasión las diferencias entre los resolutores en función
del ilut fill son considerables en el caso de la matriz electron6.
La librería a implementar en el simulador debe tener principalmente dos
cualidades. Por un lado debe ser fácil de utilizar y estar compuesta de códigos
claros y manejables. Las librerías SPARSKIT, PSPARSLIB y Aztec cumplen
este requisito, aunque PETSc necesita una etapa previa de adaptación y
aprendizaje. Además es imprescindible que los tiempos de resolución de los
sistemas lineales sean lo más reducidos posibles. Por ello, de entre todas las
librerías analizadas escogeríamos PSPARSLIB para su implementación en
el simulador.
Como posible trabajo futuro vamos a aplicar al simulador tridimensional
los métodos de resolución que mejores resultados han presentado para las

Conclusiones 109
ecuaciones de Poisson y de continuidad de electrones. Una vez realizado este
proceso aplicaremos el simulador al estudio de las variaciones estadísticas
de los dispositivos, tratando en primer lugar el efecto de las variaciones en
la composición de los compuestos ternarios, para posteriormente abordar la
influencia de otros fenómenos como el dopado o la estructura atomística del
material, que debe tenerse en cuenta cuando tratamos con dispositivos de
dimensiones de puerta tan pequeñas. Por último, tanto el simulador como el
estudio realizado podrán ser aplicados al análisis de otro tipo de dispositivos.

110 Conclusiones

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