ÁLGEBRA LINEAL

66 CAPÍTULO 5. ORTOGONALIDAD
Definición. Sean x, y vectores no nulos de un espacio vectorial V sobre R
con producto interior 〈∗, ∗〉. El ángulo θ entre los vectores x e y se definde
como
θ = cos −1
〈x, y〉
,
x y
donde ∗ es la norma en inducida por 〈∗, ∗〉.
Cuando hablemos de ángulo entre vectores de R n sólo consideraremos el
producto interior 〈∗, ∗〉 2 y la norma ∗ 2 .
Al realizar los cálculos para hallar el ángulo entre dos vectores, asegúrese de
que su calculadora esté en modo radianes.
Ejemplo. Hallemos el ángulo entre los vectores
2 −7
y .
3 1
En efecto,
θ = cos−1
〈x, y〉2
= cos −1
x 2 y 2
2
= cos−1 ⎛
⎜
3
⎝ 2
3
,
2
−11
√ √ ≈ cos
13 52
−1 (−0,431455497)
≈ 2,0169 radianes ≈ 115,6 grados. ♦
−7 1
−7
1
Teorema 5.4. (Identidad del paralelogramo). Para una norma ∗ en
un espacio vectorial V sobre R, existe un pruducto interior 〈∗, ∗〉 en V tal
que x 2 = 〈x, x〉 para todo x ∈ V si, y sólo si, la identidad del paralelogramo
x + y 2 + x − y 2 = 2 x 2 + y 2
se cumple para todo x, y ∈ V .
2
2
⎞
⎟
⎠