ÁLGEBRA LINEAL

68 CAPÍTULO 5. ORTOGONALIDAD
Teorema 5.8. Si un vector x es combinación lineal de un conjuto ortogonal
de vectores no nulos {x1, ..., xn}, entonces x es igual a la combinación lineal
particular
x =
Demostración. Ejercicio. ♦
〈x, x1〉
x1 2 x1 + · · · +
〈x, xn〉
2 xn.
xn
Teorema 5.9. (Proceso de ortogonalización Gram-Schmidt) Sean V
un espacio con producto interior 〈∗, ∗〉 y β = {x1, ..., xn} una base de V . Si
∗ es la norma en V inducida por 〈∗, ∗〉. Entonces β ′ = {y1, ..., yn} es una
base de ortogonal de V , donde
y1 = x1 y yj = xj − ( 〈xj, y1〉
〈y1, y1〉 y1 + · · · + 〈xj, yj−1〉
〈yj−1, yj−1〉 yj−1) para j = 2, ..., n.
Demostración. Ejercicio. ♦
Teorema 5.10. Todo espacio con producto interior de dimensión finita tiene
una base ortonormal.
Demostración. Ejercicio. ♦
Definición. Sean W un subespacio de un espacio vectorial con producto
interior V y x ∈ V . Una mejor aproximación a x por vectores de W es
un vector y ∈ W tal que
para todo w ∈ W .
x − y ≤ x − w
Teorema 5.11. Sean W un subespacio de un espacio con producto interior
V y x ∈ V . Entonces:
1. Un vector y ∈ W es una mejor aproximación a x, por vectores de W si,
y sólo si, x − y es ortogonal a todo vector de W .