generalidades sobre espacios vectoriales - ALGEBRA TENSORIAL

GENERALIDADES SOBRE ESPACIOS VECTORIALES
Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind.
4ª Edición. Julio 2003.

PROLOGO
En este ensayo, se intenta hacer un resumen de las
principales propiedades generales de los espacios vectoriales,
así como de las relaciones que se pueden establecer entre ellos
cuando se hallan estructurados sobre un mismo cuerpo.
Se habla concretamente de las aplicaciones lineales y
multilineales, tanto en su expresión general como en la forma de
productos entre vectores.
Entre los productos, consideraremos especialmente al
producto tensorial que define a los tensores y a aquellos
productos escalares que definen a los espacios duales. Para ello
y para mayor facilidad, no prescindiremos de considerar espacios
vectoriales complejos conjugados.
Los espacios vectoriales más importantes están
sucintamente reseñados, y nos interesaremos particularmente en
los de n dimensiones con n finito, aunque se mencionen algunas
características propias de n infinito.
Finalmente se estudia el conjunto de tensores afines a
un espacio euclidiano ó propiamente euclidiano de dimensión n
finita, para el que se establece una estructura de álgebra cuya
aplicación a espacios propiamente euclidianos es objeto de
desarrollo en otra obra.
Este ensayo tiene por objeto, además de dar a conocer
en forma elemental las propiedades generales de los espacios
vectoriales, el facilitar la comprensión del álgebra establecida
en el último capitulo y que estimamos de interés, pues no sólo
nos permite representar tensorialmente cualquier operador lineal
ó multilineal, sino también hallar el resultado de su aplicación
sobre un tensor ó vector determinado mediante una simple
operación algebraica, con carácter intrínseco.
i

TABLA DE CONTENIDO
PROLOGO...................................................... i
TABLA DE CONTENIDO........................................... I
GENERALIDADES SOBRE ESPACIOS VECTORIALES..................... 1
A.- CONVENIOS PREVIOS. ..................................... 1
B.- ESPACIOS VECTORIALES. .................................. 3
1.- Definición de espacio vectorial. ..................... 3
2.- Subespacios vectoriales. ............................. 4
3.- Generadores. ......................................... 5
4.- Generadores y bases. Dimensiones. .................... 8
5.- Aplicaciones del cálculo matricial. ................. 10
6.- Espacios vectoriales fundamentales. ................. 12
7.- Aplicaciones entre espacios vectoriales. ............ 15
8.- Aplicaciones lineales conjugadas. ................... 17
9.- Formas lineales. .................................... 19
C.- APLICACIONES MULTILINEALES Y PRODUCTOS. TENSORES. ..... 20
1.- Aplicaciones p-lineales y p-lineales conjugadas. .... 20
2.- Productos. .......................................... 22
3.- Producto tensorial. ................................. 22
4.- Productos sobre el cuerpo base. ..................... 27
D.- ALGUNOS ESPACIOS NOTABLES. ............................ 33
1.- Espacios hermíticos. ................................ 33
2.- Espacio hermítico E con núcleo nulo. ................ 39
3.- Espacios prehilbertianos. ........................... 43
4.- Espacios propiamente euclidianos. ................... 49
E.- CONJUNTO DE LOS TENSORES E ⊗ (O SEA AFINES A E), CON E
EUCLIDIANO DE DIMENSION FINITA. 51
1.- Generalidades. ...................................... 51
2.- Algebra tensorial ................................... 52
3.- Tensores y aplicaciones lineales. ................... 55
4.- Operación contracción de tensores. .................. 56
5.- Observaciones. ...................................... 57
I

GENERALIDADES SOBRE ESPACIOS VECTORIALES.
A.- CONVENIOS PREVIOS.
1.- Supondremos conocidos los elementos de álgebra
lineal y en particular del álgebra matricial y determinantes.
2.- En general, expresaremos los escalares por letras
griegas minúsculas: α,µ,π, etc., los vectores por letras normales
minúsculas con flecha en la parte superior: v → , w → , etc., y los
tensores por letras griegas minúsculas con flecha en la parte
superior: ρ → , σ → , etc. Si α ó (v → w → ) son escalares complejos, sus
conjugados se representarán por α _ y (v →_ w →_ ) ó α* y (v → w → )*.
Normalmente, cuando un escalar es el módulo de un
vector tal como v → , lo representaremos con la misma letra v sin
flecha y también si es un coeficiente, aunque ahora con un
subíndice o supraíndice, por ejemplo: v2 , v i , v3 , etc. Si es un
coeficiente de un tensor τ → , se representará por la letra normal
minúscula t correspondiente, seguida de los subíndices y
supraíndices, necesarios para su identificación, escritos uno a
1
continuación del otro. Ejemplo: t12 4
Una matriz se expresará con una letra mayúscula ó como
j
un conjunto de elementos. Sea por ejemplo la matriz A = {λi}. La
j
expresión λi significará un elemento de la matriz cuya identificación
dependerá de la convención adoptada. Aqui convendremos que
el supraíndice indica la fila, en este caso j, y que el subíndice
3
indica la columna, en este caso i. De esta manera λ2 no representa
a la matriz A, sino a un elemento determinado de ella, el de
fila 3 y columna 2.
n
Sea un sumatorio ∑k=m a
→ n
k . Lo representaremos por ∑
→
m ak si
no hay duda sobre la magnitud que toma valores y si tampoco hay
duda respecto a los valores límites, por ∑ka → k o simplemente por
∑a → k .
3.- Se adopta el convenio de Einstein:
Siempre que en un monomio figure dos veces el mismo
índice, una vez como superior y otra como inferior, se debe,
salvo aviso en contra, sumar los monomios obtenidos dando a este
índice todos los valores posibles.
Si esto ocurre con más de un índice, habrá que sumar
los monomios obtenidos dando a estos índices todos los valores
posibles.
a i
j bj
i
v i v → i = v1 v → 1 + v2 v → 2 + ..... + vn v → n
= a1
1 b1
1 +a1
2 b2
1 +..+a2
1 b1
2 +a2
2 b2
2 +....+an
1 b1
n +an
2 b2
n +..
1

a) x
3
→ +a → = b → ⇔ x → = b → + (-a → )
B.- ESPACIOS VECTORIALES.
1.- Definición de espacio vectorial.
1.01- Se denomina espacio vectorial sobre un cuerpo K
(no necesariamente conmutativo), al conjunto R de elementos v → , w → ,
u → ,..., llamados vectores, que con los elementos de un cuerpo K,
llamados escalares, verifican los siguientes axiomas:
a) A todo par de vectores {v → ,w → } corresponde un vector
único expresado por v → +w → (leído v → más w → ) y llamado suma de v → y w → ,
con las siguientes condiciones:
10 v → +w → = w → +v → Conmutatividad
20 v → +(w → +u → ) = (v → +w → )+u → = v+w+u Asociatividad
30 v → +0 → = v → Existencia del vector 0
40 v → +(-v → )=0 → Existencia del vector opuesto
Un espacio vectorial es pues un grupo abeliano respecto
a la suma.
b) A todo par (λ,v → ) de un escalar y de un vector,
corresponde un vector determinado de R, llamado producto de λ y v →
y expresado por λv → (leído λ por v → ), sujeto a las siguientes
condiciones:
10 λ(v → +w → ) = λv → +λw → Distributividad derecha
20 (λ+µ)v → = λv → +µv → Distributividad izquierda
30 (λµ)v → = λ(µv → ) = λµv → Asociatividad escalar
40 1v → = v → Invariancia con el escalar 1
Si K no es conmutativo hay que distinguir entre λv → y v →
λ. Al espacio vectorial definido del modo anterior lo llamaremos
espacio vectorial a la izquierda sobre K, y si permutamos
vectores con escalares en todo par, resulta un espacio vectorial
a la derecha sobre K.
Pero en lo sucesivo supondremos siempre que K es
conmutativo, y así no interesa distinguir entre λv → y v → λ, aunque
habitualmente adoptaremos la notación de espacio vectorial a la
izquierda para representar un único espacio vectorial sobre K.
Hemos de hacer observar que el cumplimiento de las
condiciones pedidas al producto, no exige en principio un proceso
único para su obtención, es decir, un tipo único de multiplicación.
Cuando así ocurre, a dos tipos distintos de producto
deberán corresponder notaciones distintas, por ejemplo λv → y λ"v →
1.02.- Propiedades generales.
Relacionamos sin demostración las propiedades generales
más importantes de los espacios vectoriales:

) x → +x → = x → ⇔ x → = 0 →
c) (∀x → R ): 0x→ = 0 →
d) (∀λ K ): λ0 → = 0 →
e) λx → = 0 → ⇔ λ = 0 ó bien x → = 0 →
y escribiendo x → + (-y → ) en la forma x → -y → , o sea diferencia de x → a
y → (leído x menos y) veríamos también:
f) (-λ)x → = λ(-x → ) = -(λx → ) = -λx →
g) λ(x → -y → ) = λx → - λy →
h) (λ-µ)x → = λx → - µx →
i) x → - x → = 0 →
No demostraremos que para hallar el vector suma cuando
la cantidad de sumandos es finita, y sólo en este caso, la
conmutabilidad y asociatividad de los sumandos hace que sea
indiferente el orden en que se vaya efectuando cada suma
sucesiva.
notación:
Con n y m enteros y n>m es frecuente la siguiente
a → m +a→ m+1 +...+a→ n = ∑ n
k=m
ak
Corrientemente se escribe:
n
∑k=m a
→ n
k = ∑m a
→
k = ∑ka → k
2.- Subespacios vectoriales.
2.01.-Llamamos subespacio vectorial de R a toda parte
R’ de R tal que se verifique:
(λ∈K; µ∈K, a → ∈R’; b → ∈R’) ⇒ λa → + µb → ∈ R’
Es fácil deducir de esta expresión lo siguiente:
a) El subespacio vacío, que es el que no contiene a ningún
vector, es un subespacio de todos los espacios vectoriales. Aquí
no lo consideraremos de no indicar expresamente lo contrario.
b) El vector 0 → constituye un subespacio, el subespacio nulo.
Todos los subespacios excepto el vacío lo contienen.
c) El conjunto de múltiplos de un vector constituye un
subespacio.
d) La intersección de subespacios es un subespacio y sólo si
uno de ellos es el subespacio vacío la intersección es este
subespacio vacío.
e) Todo subespacio es, a su vez, un espacio vectorial sobre
el mismo cuerpo que el espacio original, teniendo en común con él
todos sus vectores. También es
4
común el vector nulo y la

operación producto de un escalar y un vector.
2.02.- Llamamos subespacios disjuntos a dos subespacios
cuya intersección es el subespacio nulo.
2.03.- Si tenemos dos subespacios A y B del espacio
vectorial R, llamaremos subespacio suma de A y de B y lo
expresaremos por A+B al conjunto de vectores que resultan de
sumar un vector cualquiera de A con un vector cualquiera de B.
Este conjunto es un subespacio puesto que, para a → ,a → ' y
b → ,b → ' respectivamente vectores cualesquiera de A y de B, y para λ
y µ escalares cualesquiera podemos escribir:
λ(a → +b → ) + µ(a → ’+b → ’) = (λa → +µa → ’+λb → +µb → ’) ∈ A + B
2.04.- Subespacios suplementarios son aquellos
subespacios de R tales como A y B, que son disjuntos y tienen
por subespacio suma a R.
3.- Generadores.
3,01.- En un espacio vectorial R cualquiera, decimos
que un vector v → es una combinación lineal de n vectores de R
tales como a → 1 ,a→ 2 ,..,a→ n , cuando hay n escalares α1 ,α2 ,..,αn , llamados
coeficientes de los a → i , tales que se verifique:
(1) v → n
= Σ1αia → i
También decimos entonces que los n vectores {a → i }
constituyen un generador de v → .
Podríamos deducir de esta definición las siguientes
propiedades:
a) Si v → y w → son combinaciones lineales de {a → i } también lo es
λv → +µw → .
Por consiguiente, el conjunto de combinaciones lineales
correspondientes a un generador S, es un subespacio. Decimos que
es el subespacio generado por el generador y que S es un
generador del subespacio.
b) El vector nulo es una combinación lineal de cualquier
generador.
c) Un vector es combinación lineal de sí mismo.
d) Si un vector es combinación lineal de {a → 1 ,a→ 2 ,..,a→ m },
también lo es de {a → 1 ,a→ 2 ,..,a→ m ,a→ m+1 ,...,a→ n } con n mayor que m.
e) Si v → es una combinación lineal de {a → i ) y cada a→ i es una
combinación lineal de {b → j }, v→ es combinación lineal de {b → j }.
3.02.- Sea P una parte no vacía de un espacio vectorial
5

R y llamemos A al conjunto de vectores que se pueden expresar
como combinación lineal de vectores de P. Se verifica:
a) A es un subespacio. Diremos que A es el subespacio
engendrado por P y que P es un generador de A. En efecto:
Si a → y b → pertenecen a A por ser combinaciones lineales de
sendos conjuntos {a → 1 ,a→ 2 ,..,a→ n } y {b→ 1 ,b→ 2 ,..,b→ m } de vectores de P, λa→
+µb → será una combinación lineal de {a → 1 ,a→ 2 ,..,a→ n ,b→ 1 ,b→ 2 ,..,b→ m }, que es
un conjunto de vectores de P y por tanto también pertenecerá a A.
b) A es la intersección de todos los subespacios que
contienen a P.
Pues evidentemente A contiene a P y todo subespacio que
contenga a P debe contener a todos los vectores de A y por lo
tanto a A.
c) Cuando P es un subespacio, la intersección A evidentemente
coincide con P.
3.03. Definición. Decimos que un espacio o subespacio
vectorial está finitamente generado si existe un generador del
mismo con un número finito de vectores. Si existe pero no con un
número finito, diremos que está infinitamente generado.
3.04.- Vectores y conjuntos libres.
Un vector es linealmente independiente de una parte P
de un espacio vectorial R, cuando no puede expresarse como una
combinación lineal de vectores de P. Estos vectores son,
evidentemente, todos los de R no pertenecientes al subespacio
engendrado por P.
Por consiguiente, los vectores linealmente independientes
de un subespacio dado, son todos aquellos que no pertenecen a
este subespacio.
En particular, el vector 0 → no es independiente de
ninguna parte no vacía de R, aunque sea un solo vector.
Diremos que un conjunto de vectores es linealmente
independiente o libre, cuando ninguno de sus vectores puede
expresarse como combinación lineal de los demás, y que es
linealmente dependiente, ó que es ligado, en caso contrario.
Por tanto, no puede ser linealmente independiente un
conjunto en que figure el vector nulo.
3.05.- Teorema. Una condición necesaria y suficiente
para que {a → 1 ,a→ 2 ,...,a→ n } sea un conjunto linealmente independiente,
es que exista algún vector generado por este conjunto, cuya
expresión (1) como función lineal de los elementos del conjunto
sea única.
a) Sea v
6
→ este vector, w → cualquier otro vector que tenga

expresión múltiple, y vamos a considerar la igualdad:
v → + w → - w → = v →
Es evidente que si en el primer miembro representamos
la w → del 21 término de modo distinto a la w → del 31, al operar
con las expresiones (1) correspondientes, resultará para v → en el
21 miembro una expresión distinta a la única admitida.
Así pues, el que haya un vector con expresión única ó
múltiple, significa que todos los generados por el conjunto en
cuestión están en el mismo caso.
b) Si y solo si el conjunto no es libre, para algún j
podríamos poner un vector a → j del conjunto en función de los demás
y en consecuencia, con coeficientes adecuados no todos nulos y βj no nulo, se verificaría:
-β j a → j = ∑ k≠ j β k a → k ⇔ ∑ k β k a→ k
c) Teniendo en cuenta que el vector nulo siempre es
expresable por ∑k0a → k , y que la última expresión obtenida para 0→
es distinta, el conjunto será libre si y sólo si el vector 0 →
tiene por única expresión ∑k0a → k , o sea con todos los coeficientes
nulos.
Esto sucederá, según a), si y sólo si, existe algún
vector generado por el conjunto {a → 1 ,a→ 2 ,...,a→ n } en cuestión, cuya
expresión (1) como función lineal de los elementos de este
conjunto sea única.
7
= 0→
3.06.- Obtención de una sucesión libre.
Sea un subespacio A engendrado por una sucesión de
vectores {a → 1 ,a→ 2 ,a→ 3 ,...} finita o infinita. Podremos formar con
ella una sucesión parcial de vectores linealmente independiente
que también engendra a A.
Efectivamente: Si todos los a → i son múltiplos de a→ 1 , la
sucesión parcial obtenida es evidentemente {a → 1 }. Si no es así, a
partir de a → 1 eliminaremos todos los múltiplos hasta llegar a un
elemento que no lo sea, al que llamaremos a → ’. 2 A continuación
eliminaremos todos los elementos siguientes que sean combinación
lineal de los dos primeros hasta llegar a un vector que no lo sea
y que llamaremos a → ’. 3 Asì sucesivamente iremos formando una
sucesión parcial de vectores independientes que engendran A,
sucesión que coincidiría con la original en caso de que ya esté
formada por vectores independientes.
Si la sucesión fuese infinita y A no tuviera ningún
generador finito, este proceso se puede continuar indefinidamente
pues de lo contrario A, contra lo supuesto, tendría un generador
finito.

4.- Generadores y bases. Dimensiones.
4.01.- Definición.
De un generador finito de R decimos que es una base de
R, cuando es un conjunto linealmente independiente.
Por lo visto en '3.06 resulta pues, que todo espacio
vectorial finitamente generado tiene bases finitas.
Si un espacio vectorial R no tiene ningún generador
finito, decimos que es de dimensión infinita.
Se demuestra que en un espacio de dimensión infinita
siempre puede considerarse una base. Limitándonos al caso de que
esté generado por una sucesión infinita llamaremos base del mismo
a una sucesión infinita de vectores independientes obtenida por
el método descrito en '3.06.
4.02.-Teorema de Steinitz.
Sea un generador finito de n vectores del espacio
vectorial R y {b → 1 ,b→ 2 ,...,b→ m } con m≤n un conjunto linealmente
independiente de vectores de R. Podemos reordenar los vectores
del generador en forma {a → 1 ,a→ 2 ,..,a→ n } de modo que el conjunto {b→ 1 , b→
2 ,...,b→ m ,a→ m+1 ,..,a→ n } sea otro generador de R.
Efectivamente:
a) Expresemos b → 1 de R como combinación lineal de los a→ i
del generador dado:
r
=
λ
r
a
Procediendo como antes, expresaremos b
8
→ p como combinación
lineal de los vectores de G y llamaremos a a algún vector
p
de los a → i que quedan cuyo coeficiente no sea nulo. Tiene que
haber alguno pues de lo contrario b → p resultaría combinación
lineal de los anteriores b → j , lo que por hipótesis no ocurre.
Despejando a → p en la expresión de b→ p y sustituyendo este valor de
ap en la expresión de cualquier vector de R como combinación
+
Σ
r
a
n
b1 1 1 2 i i
habiendo elegido previamente como a → 1 a un vector del generador
dado que aparezca con coeficiente no nulo, lo que siempre será
posible pues b → 1 no puede ser nulo por hipótesis. Por lo tanto
podremos escribir:
r
=
1 r
( b
λ1
-
λ
r
a )
n
a1 1 Σ2
λi
i
y por tanto en el generador dado podemos sustituir a → 1 por b→ 1 y
{b → 1 ,a→ 2 ,a→ 3 ,...,a→ n } es un nuevo generador.
b) Supongamos que para 1≤p

lineal de los vectores de G, tendremos, análogamente a lo dicho
en a) que {b → 1 ,b→ 2 ,..,b→ p-1 ,b→ p ,ap+1 ,...,an } es también otro generador
del espacio vectorial R.
c) Por recurrencia es evidente que llegamos finalmente
al resultado que queríamos demostrar.
4.03.- Consecuencias del teorema de Steinitz. Se pueden
deducir sin dificultad las siguientes:
a) Un generador de un espacio vectorial no puede tener menos
vectores que una base del mismo. Si tiene los mismos es a su vez
otra base.
b) Dos bases de un espacio vectorial R contienen el mismo
número de vectores. Este número recibe el nombre de dimensión del
espacio vectorial.
4.04.- Teorema.
Sea un generador A = {a → 1 ,a→ 2 ,..,a→ n } del espacio vectorial
R. El conjunto B = {a → p ,b→ 1 ,b→ 2 ,..,b→ p-1 ,b→ p+1 ,..,b→ n } que resulta de
sustituir todos los a → i (i≠p) por los vectores b→ i (i≠p) tales que:
(i≠p): b → i = a→ i - µ i a→ p ⇔ (i≠p): a→ i = b→ i + µ i a→ p
es un nuevo generador de R.
Efectivamente. Si tenemos un vector v → cualquiera de R
expresado como combinación lineal (1) de los a → i y para i≠p
sustituímos los a → i por los b→ i correspondientes, tendremos:
(i ≠ p) :
r
v =
r
λp
ap
r
+ ∑ λi
ai
=
r
λp
ap
r
+ ∑ λi(
bi
+ µ
r
ap)
o sea que B es también un generador de R.
Si A hubiera sido una base, en consecuencia, B sería
otra base.
4.05.- Dimensión de los subespacios.
De todo lo que antecede podemos deducir:
a) Si R es un espacio vectorial n-dimensional y un
subespacio R’ de R es m-dimensional, tendremos m≤n.
a1) Para m=n tendremos R’=R.
a2) Para m

5.- Aplicaciones del cálculo matricial.
5.01.- Sean en un espacio vectorial R los vectores de
un conjunto {f → j } que son combinación lineal de los vectores de
otro conjunto {e → i } y que tienen por expresión:
(2) f → j = α i
je
→
i
Cualquier vector v → , que como combinación lineal de {f → j }
se puede expresar por
(3) v → = λ j f → j
podrá expresarse pues como combinación lineal de {e → i } de la
siguiente manera:
r j i r i j r
(4) v = λ ( αj
ei)
= αj
λ ei
5.02.- Teorema. Si tenemos dos generadores de un mismo
espacio vectorial tales como {f → j } y {e→ i }, y la expresión de los
vectores del uno como combinación lineal de los del otro es (2),
si un generador es una base, es necesario y suficiente que la
i
matriz {αj} sea regular para que el otro sea una base.
a) De acuerdo con el teorema '3.05, si {e → i } es una
base, podemos deducir;
i
a1) De (2), que {αj} tiene una sola expresión no nula.
i j i j
a2) De (4), que la matriz {αjλ } = {αj}{λ
} debe ser única y
distinta para cada vector v → .
Si {f → j } también es una base, por (3) ello equivale a
que {λ j } tenga una expresión única y distinta para cada vector,
i
lo que comporta, según el cálculo matricial, que la matriz {αj} sea regular, es decir, cuadrada y de núcleo cero.
i
Recíprocamente, si la matriz {αj} es regular, la
condición a2) requiere que {λ j } sea única y distinta para cada
vector v → , o sea que {f → j} sea también una base.
b) Si en lugar de partir de que {e → i } es una base, lo
hacemos a partir de que la base es {f → j }, tendremos:
i
b1) {ei } base y {αj} no regular. No es posible por lo visto
anteriormente.
i
b2) Si tenemos {αj} regular, tendrá inversa que también será
regular, y multiplicando por ella la ecuación (2) obtenemos los
vectores de {e → i } como combinaciones lineales de los vectores de
{f → j } y estamos en la situación de a).
i
5.03.- A la matriz regular {αj} se la denomina matriz
del cambio de bases de {f → j } a {e→ i }. Vemos que la única condición
que debe cumplir una matriz para ser de cambio de bases es que
10

sea una matriz regular.
5.04.- Sean {e → i } y {f→ j } dos bases del espacio vectorial
R. Conociendo la matriz de cambio, acabamos de ver que un vector
cualquiera se puede expresar así:
r j r i j r i r
v = λ fj
= αj
λ ei
= µ ei
A los valores λ j los llamaremos coeficientes de v → en
base {f → j } y a los valores µi coeficientes de v → en la base {e → i }.
La última expresión nos da el método matricial para
calcular los coeficientes de un vector en una base si conocemos
los coeficientes en otra y la matriz de cambio. En el caso
expresado tendremos:
1
⎧α1
⎪
2
⎪α1
⎨
⎪ :
⎪ n
⎩α1
α
α
α
1 2
2
2
:
n
2
..
. .
::
..
i j i
{αj}{λ } = {µ }
1
1 1
1 j
α ⎫⎧
⎫ ⎧ ⎫ ⎧µ
⎫
n λ αj
λ
⎪⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
2 2
2 j ⎪ ⎪ ⎪ 2
α ⎪
⎪
n⎪⎪λ
αj
λ µ
⎬⎨
⎬ = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
: ⎪⎪
: ⎪ ⎪ : ⎪ ⎪ : ⎪
⎪⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
n n
n j
α ⎭⎩λ
⎭ ⎪⎩
α λ ⎪ n
n
j ⎭ ⎪⎩
µ ⎪⎭
Llamando A a la matriz de cambio, X a la matriz columna
de los coeficientes λ y Y a la de los coeficientes µ, podemos
escribir con notación matricial:
AX = Y ⇔ X = A -1 Y
pues A es una matriz regular cuadrada, y comprobamos que la
matriz del cambio de bases inverso es la matriz inversa de la
matriz de cambio directo.
Obsérvese que las columnas de A son los coeficientes de
los f → j en función de la base {e→ i } antigua, que X es la nueva
matriz de coeficientes de v → y Y la antigua.
5.05.- Si, como ocurre en general, la resolución de los
problemas prácticos de vectores utiliza la isomorfía con el
espacio de n-eplas que definen los coeficientes de su expresión
como combinación lineal de los vectores de una base (e → i }
previamente identificada n-dimensional, podemos deducir de los
párrafos anteriores un método matricial sencillo que nos permite
obtener la base de un subespacio cuando conocemos un generador
{g → i } del mismo por la expresión de sus vectores como combinaciones
lineales de la base {e → i } del espacio total:
g → i = α j
i e
→
j
y evidentemente podremos prescindir de todos los vectores e → j
cuyos coeficientes resulten nulos para todo g → i , y considerar que
11

no están incluídos en la base.
Llamaremos g → 1 al primer vector del generador cuyo
coeficiente para e → 1 no sea nulo y reemplazaremos los restantes
por combinaciones lineales
g → i ’ = g→ i - λ i g→ i
eligiendo los λ de manera que todos los g → ' tengan nulo su
coeficiente relativo a e → 1 . Habremos obtenido así un nuevo
generador {g → 1',g→ 2',..,g→ m } del subespacio (ver '4.04) y podemos
comprobar que el primer vector obtenido es linealmente independiente
de los siguientes.
Operando de igual manera iremos obteniendo nuevos
vectores que además de ser independientes de los anteriores lo
serán de los siguientes. Eliminando los vectores nulos que puedan
resultar obtendremos finalmente un generador, que será la base
buscada, expresada como combinación lineal de los vectores e → j .
5.06.- Ejemplo (Tomado de Lentin-Rivaud). Determínese
en Q 5 una base del subespacio engendrado por los vectores:
g → 1 =(1,2,-4,3,1); g→ 2 =(2,5,-3,4,8)
g → 3 =(6,17,-7,10,22); g→ 4 =(1,3,-3,2,0)
Se disponen los cálculos de la siguiente manera:
g → 1 1 2 -4 3 1; g→1 g → 2 2 5 -3 4 8; g→2'=g→ 2-2g→ 1
g → 3 6 17 -7 10 22; g→ 3'=g→ 3-6g→ 1
g → 4 1 3 -3 2 0; g→4'=g→ 4 -g→ 1
12
1 2 -4 3 1
0 1 5 -2 6
0 5 17 -8 16
0 1 1 -1 -1
g → 1 1 3 -4 3 1; g→1 1 2 -4 3 1
g → 2 ’ 0 1 5 -2 6; g→ 2 ’ 0 1 5 -2 6
g → 3 "=g→ 3 ’-5g→ 2 ’ 0 0 -8 2 -14; g→ 4 ” 0 0 -4 1 -7
g → 4 "=g→ 4 ’-g→ 2 ’ 0 0 -4 1 -7; g→ 3 ”-2g→ 4 ” 0 0 0 0 0
El subespacio es de tres dimensiones, y una base del
mismo está formada por los vectores:
g → 1 , g→ 2 ’=g→ 2 -2g→ 1 , g→ 4 ”=g→ 4 +g→ 1 -g→ 2
6.- Espacios vectoriales fundamentales.
6.01.- Multiplicación escalar-vector que define un
espacio vectorial. Espacios conjugados.
Para estructurar un grupo abeliano para la suma como
espacio vectorial sobre un cuerpo, hemos dicho que es preciso que
esté dotado de una multiplicación escalar-vector con ciertas
características. Cuando el cuerpo es el de los números reales,
solo hay una multiplicación posible.

Podríamos ver que con el cuerpo C de los complejos (que
puede considerarse originado por R×R), el número de multiplicaciones
posibles es dos, y por tanto, el conjunto C da lugar a dos
estructuras distintas de espacio vectorial.
Así pues, si es posible estructurar un conjunto como un
espacio vectorial E sobre C, mediante una multiplicación de sus
elementos por escalares expresada por αv → , también será posible
estructurarlo además como un espacio vectorial E* distinto, al
considerar otro tipo distinto de multiplicación de α por v → , que
expresaremos por α•v → .
Sea v → un elemento del conjunto común y αv → el elemento
de E resultante de una multiplicación por α, que consideraremos
normal. Definimos que el vector α•v → de E* obtenido por el segundo
tipo de multiplicación es el que coincide con el vector α _ v → de E.
Es fácil demostrar que esta segunda multiplicación
cumple las condiciones exigidas para un espacio vectorial sobre
C, y aquí nos limitaremos a la siguiente comprobación de la
asociatividad:
α•(β•v → ) = α _ (β•v → ) = α _ (β _ v → ) =(α _ β _ )v → = (αβ)* v → = (αβ)•v →
El espacio vectorial E*, originado por un segundo tipo
de producto escalar-vector, se denomina espacio vectorial
conjugado de E.
Podemos ver fácilmente que se verifica (E*)*=E.
6.02.- Sea cualquier base {e → i } de E. Siempre podremos
considerar a los e → i como siendo también vectores de E* y dado que
por lo dicho en el párrafo anterior se verifica:
α i •e → i = α_ i e → i
deducimos que {e → i } es asimismo una base de E* y que, por lo
tanto, todas las bases de E y de E* son comunes a ambos espacios
vectoriales.
6.03.- Sea el conjunto E×E cuando E es un espacio
vectorial n-dimensional sobre R y designemos sus elementos por (v →
,w → ) siendo v → y w → vectores cualesquiera de E. Designemos a los
complejos por (α,α’), recordando entre ellos al complejo i=(0,1).
tal que i _ =-i.
ción:
Si dotamos a E×E con las siguientes leyes de composi-
10. (v → ,v → ’) + (w → ,w → ’) = (v → +w → , v → ’+w → ’) (Adición)
20. (α,α’)(v → ,v → ’) = (αv → -α’v → ’ , αv → ’+α’v → ) (Multiplicación por un
escalar)
habremos estructurado a E×E como un espacio vectorial sobre el
cuerpo de los complejos, al que llamaremos E.
13

Efectivamente, la adición es conmutativa y asociativa
por serlo en E. Hay un elemento neutro (0 → ,0 → ) y un elemento
opuesto a (v → ,v → ’) que es (-v → ,-v → ').
Podemos comprobar que la multiplicación es distributiva
y asociativa respecto a los escalares y es distributiva respecto
a los vectores. El elemento neutro es (1,0).
De las leyes anteriores se deduce fácilmente que todo
vector (v → ,w → ) de E puede ponerse en la forma
(v → ,w → ) = (v → ,0 → ) + (0,1)(w → ,0 → ) = (v → ,0 → ) + i(w → ,0 → )
De aqui deducimos que E×0 → , que está contenido en E,
será un generador de E.
Tomando por igualdad la isomorfía natural existente
entre E y E×0 → , podríamos decir que E es la parte real de E que
genera a E y que i 2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1.
E por
De acuerdo con ello podemos expresar a los vectores de
(v → ,w → ) = v → + iw →
en cuya expresión sólo intervienen vectores y números reales y el
número i, así como escribir:
E = E + iE
Con tal notación, las leyes de composición son:
10 v → +iv → ’ + w → +iw → ’ = v → +w → + i(v → ’+w → ’)
20 (α+iα’)(v → +iv → ’) = αv → -α’v → ’ + i(αv → ’+α’v → )
6.04.- Espacio vectorial sobre R determinado por un
espacio vectorial sobre C.
Sean E y E* un par de espacios vectoriales conjugados
sobre C. Sobre una base común arbitraria, que llamaremos real así
como llamaremos también reales sus vectores, podemos construir
un espacio vectorial E sobre R y convenir en que E es el conjunto
común de todos los vectores reales de los dos espacios conjugados.
Si y sólo si los vectores son reales, es decir, que
pertenecen a E, diremos de ellos que son conjugados de sí mismos.
Y si no es así diremos que w → * = α _i e
→
i = α i •e → i es el conjugado de w→
= α i e → i y lo expresaremos así:
e → i * = e→ i ; w→ * = (α i e → i )* = (αi )*e → i * = α_ i e → i * = α _ i e → i
Para v → y w → reales, como i*=-i, escribiremos:
(v
14
→ +iw → )* = v → -iw →
[(α+iβ)(v → +iw → )]* = (α+iβ)* (v → +iw → )* = (α-iβ)(v → -iw → )

Y para cualquier vector v → y escalar α:
(αv → )* = α _ v → *
6.05.- La conjugación de dos espacios es evidentemente
una propiedad recíproca, lo mismo que la relación entre un tipo
de multiplicación escalar-vector y el otro.
Así podemos escribir:
(v → *)* = v → ; E* = (E+iE)* = (E-iE)
6.06.- Cuerpos como espacios vectoriales.
El espacio vectorial más sencillo que cabe estructurar
sobre un cuerpo, es este mismo cuerpo, ya que, por definición, es
un grupo abeliano para la suma y pueden adoptarse para él como
multiplicación escalar-vector así como vectores cero y uno, los
propios del cuerpo.
Por lo dicho en los párrafos anteriores, cuando se
trate del cuerpo de los complejos, habrá además otro espacio
vectorial conjugado con distinta multiplicación.
7.- Aplicaciones entre espacios vectoriales.
7.01.- De no avisar de lo contrario, vamos a considerar
aplicaciones lineales de un espacio vectorial A en otro espacio
vectorial B, solo para el caso de que ambos sean espacios
vectoriales sobre el mismo cuerpo R ó C y de que las aplicaciones
sean unívocas, es decir, cuando a cada vector de A hacen
corresponder un vector de B único y determinado llamado imagen
del primero.
7.02.- Llamamos aplicaciones lineales f de A en B a
aquellas aplicaciones que para cualesquiera vectores a → y b → de A,
y cualesquiera escalares λ y µ, cumplen la siguiente condición:
f(λa → +µb → ) = λ[f(a → )] + µ[f(b → )]
De esta definición se deduce fácilmente que la imagen
de una aplicación lineal (o sea el conjunto de los vectores de B
imágenes de los de A) es un subespacio de B, y que el núcleo de
una aplicación lineal (conjunto de los vectores de A cuya imagen
es el vector nulo de B) es un subespacio de A.
7.03.- Existe una aplicación lineal de A en B y
solamente una, que a cada vector de una base determinada de A
hace corresponder un vector de B arbitrariamente elegido.
Pues dada una base (e
15
→ i ) de A y elegido el conjunto
(f → i ) de sus imágenes, como todo vector de A se puede expresar
por
v → = x i e → i

si le hacemos corresponder el vector de B
w → = x i f → i
habremos establecido una aplicación de A en B que es fácil ver
que es lineal y que satisface a las condiciones exigidas.
7.04.- Dos espacios vectoriales son isomorfos cuando
existe una aplicación lineal biyectiva entre ambos, y para ello
es necesario y suficiente que A y B tengan la misma dimensión.
Pues si tienen igual dimensión, acabamos de ver que hay
una aplicación lineal que a una base arbitraria de A hace
corresponder corresponder un conjunto de igual número de vectores
también arbitrarios de B, y en este caso podemos elegir una base
de B. Es fácil ver que esta aplicación es biyectiva.
Y si tenemos A de dimensión n y B de dimensión m mayor
que n, a los n vectores de una base de A no podrán corresponder
más de n vectores de una base de B. Las aplicaciones posibles no
serán suprayectivas y por tanto tampoco serán biyectivas.
Hay casos en que el establecimiento de una aplicación
biyectiva entre A y B no precisa referirse a unas bases determinadas,
sino a particularidades intrínsecas de A y B, y en tal
caso la isomorfía se llama natural.
Un ejemplo de isomorfía natural es la determinada por
la correspondencia biyectiva existente por proyección paralela a
un subespacio vectorial entre dos subespacios distintos
suplementarios de éste.
7.05.- Sea una aplicación lineal de A n-dimensional en
B m-dimensional. Podemos ver fácilmente que:
a) La imagen del vector nulo de A es el vector nulo de B.
b) La imagen de un sistema ligado de A es un sistema ligado
de B.
c) Si la imagen de un sistema de A es un sistema libre de B,
el sistema de A también es libre.
d) Si el núcleo es el vector nulo de A, la aplicación es
inyectiva. Ello solo es posible para n≤m.
e) Una aplicación suprayectiva solo es posible para m≤n.
f) La inversa de una aplicación lineal biyectiva también es
lineal.
g) Dimensión imagen + dimensión núcleo = n.
7.06.- El conjunto de las aplicaciones lineales de un
espacio vectorial A en otro B toma la estructura de espacio
vectorial sobre el mismo cuerpo que A y B, cuando definimos las
siguientes leyes de composición:
10. Aplicación suma de las aplicaciones f 1 y f 2 expresada por
f 1 +f 2 . Es la que para todo vector de A verifica:
16

f(v → ) = f 1 (v → ) + f 2 (v → )
y podemos comprobar que es lineal.
20. Aplicación λf. Es la que verifica:
(λf)(v → ) = λ _ [f(v → )]
cuya linealidad podemos comprobar. Hemos escrito λ _ cuando
igualmente hubiésemos podido convenir en escribir λ.
7.07.- Cuando la dimensión de A es n y la de B es m, la
dimensión del espacio vectorial de las aplicaciones de A en B es
el producto mn de las dimensiones de A y de B.
Sean (e → i ) y (f→ j ) sendas bases de A y B y consideremos
las nm aplicaciones g →k j tales que
g →k j(e
→ k→ i ) = δifj k
(δi = símbolo de Kronecker: 0 para i≠k y 1 para i=k)
Cualquier vector generado por {g →k j}
puede representarse
j
por λkg →k i
j y cualquiera de A por x e
→
i y podemos escribir:
j
(λkg →
j
k i
)(x e
→
i ) = λ _
j i
kx
[g
→k j(e
→
i )] = λ _
j i→ ix
fj Para que {g →k j}
sea un conjunto libre es preciso que la
anulación de las expresiones anteriores para cualquier {x i } exija
que todos los λ _
j
sean nulos.
k
Sucede así puesto que, por ser {f → j } una base, los
coeficientes λ _
j i
ix
serían nulos para todo j, ó sea, en notación
matricial:
{λ _
j i
}{x } = {0}
i
y si {x i } es cualquiera, sería necesario que se verificara:
{λ _
_
j j
} = {0} ⇔ (∀i)(∀j): λ = 0
i
Por consiguiente {g →k j}
es un conjunto libre.
Es también una base, pues toda aplicación lineal
arbitraria que hace corresponder a {e → i } los vectores {µ j→ ifj
}
cualesquiera, puede expresarse por µ _j kg
→k j.
En efecto:
(µ _j kg
→k j)(e
→ j
i ) = µ k[g
→k j(e
→ j→ i )] = µ ifj
8.- Aplicaciones lineales conjugadas.
8.01.-Llamamos así a las aplicaciones lineales f de un
espacio vectorial A a otro B, ambos sobre el cuerpo de los
complejos, cuando para vectores a
17
→ y b → cualesquiera de A y
cualesquiera escalares λ y µ, verifican:
i

f(λa → +µb → ) = λ _ f(a → ) + µ _ f(b → )
De la definición se deduce que núcleo e imagen de una
aplicación lineal conjugada son subespacios de A y de B
respectivamente.
8.02.- Señalaremos a continuación algunas propiedades
de estas aplicaciones, omitiendo las demostraciones que son
análogas a las relativas a las aplicaciones lineales en general.
a) Existe una aplicación lineal conjugada de A en B y
solamente una, que a cada vector de una base determinada de A
hace corresponder un vector de B previamente elegido.
b) Si el núcleo es el subespacio nulo, la aplicación es
inyectiva y por tanto Dim A ≤ Dim B.
c) Si la aplicación es biyectiva, la inversa también es
lineal conjugada.
d) El conjunto de las aplicaciones lineales conjugadas de A
en B toma la estructura de espacio vectorial sobre el mismo
cuerpo que A y B, al definir las siguientes leyes de composición:
10 f= f 1 + f 2 ⇔ (∀v → A ): f(v→ ) = f 1 (v → ) + f 2 (v → )
20 f= λf 1 ⇔ (∀v → A ): λf(v→ ) = λ[f 1 (v → )] ó λ _ [f 1 (v → )]
e) Una aplicación lineal conjugada de A en B sólo puede ser
suprayectiva si Dim A ≥ Dim B.
f) La imagen del vector nulo de A es el vector nulo de B.
g) La imagen de un sistema ligado de A es un sistema ligado
de B. Cuando la imagen de un sistema de A es un sistema libre de
B, también es libre el sistema de A.
h) Dim imagen + dim núcleo = dim A.
8.03.- Relación entre aplicaciones lineales y aplicaciones
lineales conjugadas.
tiene:
Para A* y B* respectivamente conjugados de A y B, se
f:(A → B)lineal conjugada ⇔ f:(A → B*) lineal ⇔ f:(A* → B)
lineal
Pues si se verifica lo primero, para cualesquiera
vectores a → y b → de A, tenemos:
f(λa → +µb → ) = λ _ f(a → ) + µ _ f(b → ) ⇔ f(λa → +µb → ) = λ•f(a → ) + µ•f(b → )
y también:
f(λ _ a → +µ _ b → ) = λf(a → )+µf(b → ) ⇔ f(λ•a → +µ•b → ) = λf(a → ) + µf(b → )
8.04.- La aplicación compuesta de dos aplicaciones de A
en B correspondientes a los casos estudiados, es fácil demostrar
que verifica:
18

a) Si ambas son lineales o ambas lineales conjugadas, la
compuesta es lineal.
b) Si hay una de cada clase, la compuesta es lineal
conjugada.
c) Si ambas son biyectivas, también lo es la compuesta.
8.05.- Sean dos espacios vectoriales A y B sobre C en
los cuales sabemos distinguir los vectores reales de los demás.
La base del espacio vectorial de las aplicaciones
lineales o bien lineales conjugadas de A en B para que sea
concordante en el cálculo con las bases reales elegidas tales
como {e → i } de A y {f→ j } de B, deberá ser {g→ k
j}
tal que
g →k je
→ k→ k
i = δifj (δi = símbolo de Kronecker)
Con tales bases, las aplicaciones reales son las que
dan imagen real de cualquier vector real.
Para los espacios vectoriales reales, sea considerados
como parte de espacios vectoriales complejos originales o bien
considerados directamente como reales, se confunde el concepto de
aplicación lineal conjugada con el de aplicación lineal.
9.- Formas lineales.
9.01.- Definición. Llamamos formas lineales a las
aplicaciones de un espacio vectorial sobre un cuerpo en este
mismo cuerpo considerado como espacio vectorial.
Por consiguiente los espacios vectoriales de las formas
lineales tendrán la misma dimensión que el espacio vectorial al
que se refieran, pues un cuerpo considerado como espacio
vectorial es de dimensión uno.
Consecuencia de lo dicho en '6.05 sobre los cuerpos
considerados como espacios vectoriales, para el cuerpo de los
números reales existirá una isomorfía completa de tipo único
entre espacios vectoriales y formas, mientras que para el cuerpo
de los complejos la isomorfía solo será completa para una sola de
las dos estructuraciones distintas de espacio vectorial que
admite el cuerpo.
De acuerdo con '8.03, se verificará:
f:(A → C) lineal conjugada ⇒ f:(A → C*) lineal ⇒ f:(A* → C)
lineal
Como una forma lineal es un caso particular de
aplicación lineal, verificará todas las demás condiciones
generales de éstas.
19

C.- APLICACIONES MULTILINEALES Y PRODUCTOS. TENSORES.
1.- Aplicaciones p-lineales y p-lineales conjugadas.
1,01.- Sea el conjunto producto E 1 ×E 2 ×...×E p de p
espacios vectoriales sobre K, ordenados.
Llamamos aplicacion p-lineal de estos espacios en otro
espacio vectorial A sobre K, a toda aplicación f de su conjunto
producto en A, tal que para cualquier valor de r y cualesquiera
escalares λ y µ verifique:
f(a → 1 ,a→ 2 ,..,[λa→ r ’+µa→ r ”],..,a→ p ) =
λf(a → 1 ,a→ 2 ,..,a→ r ’,..,a→ p ) + µf(a→ 1 ,a→ 2 ,..a→ r ”,..a→ p )
En particular, la multiplicación de un a → i por un
escalar multiplica la imagen por este mismo escalar y por tanto
si uno de los vectores es nulo, la imagen es el vector nulo del
espacio A.
1.02.- Existe una aplicacion p-lineal y solamente una,
tal que siendo {e → 1i },{e→ 2j },...,{e→ ps } bases respectivas de E1 , E2 ,
..., Ep , hace corresponder a cada elemento (e → 1i ,e→ 2j ,...,e→ ps )
un vector v → ij..s de A, previamente elegido.
Pues todo elemento del conjunto producto puede
expresarse por:
i
(λ1e → j
1i ,λ2e → s
2j ,...,λpe →
ps )
y si le hacemos corresponder el vector de A
i j s
λ1λ2... λp f(e
→
1i ,e → 2j ,..,e→ ps ) = λ i j s
1λ2...
λp v
→
ij..s
habremos establecido una aplicación de E 1 ×E 2 ×..×E p en A que es
fácil ver que es lineal y que es la única que satisface a las
condiciones requeridas.
1.03.- El conjunto de las aplicaciones p-lineales de
E 1 ×E 2 ×..×E p en A puede estructurarse como espacio vectorial si se
establece:
f=f 1 +f 2 ⇔ f(a → 1 ,a→ 2 ,..a→ p ) = f 1 (a→ 1 ,a→ 2 ,..,a→ p )+f 2 (a→ 1 ,a→ 2 ,..,a→ p )
f = λf' ⇔ f(a → 1 ,a→ 2 ,..a→ p ) = λ_ [f'(a → 1 ,a→ 2 ,..,a→ p )]
para cualquier elemento (a → 1 ,a→ 2 ,..a→ p ) de E 1 ×E 2 ×..×E p .
1.05.- Sea el conjunto producto E1 ×E2 ×...×Ep de p
espacios vectoriales sobre C, ordenados, siendo C el cuerpo de
los números complejos.
Llamamos aplicación p-lineal conjugada de estos
espacios en otro espacio vectorial A sobre el mismo cuerpo, a
toda aplicación f de su conjunto producto en A, tal que para
20

cualquier valor de r verifique:
f(a → 1 ,a→ 2 ,..,[λa→ r ’+µa→ r ”],..,a→ p ) =
λ _ f(a → 1 ,a→ 2 ,..,a→ r ’,..,a→ p ) + µ_ f(a → 1 ,a→ 2 ,..a→ r ”,..a→ p )
En particular, la multiplicación de un a → i por un
escalar multiplica la imagen por su conjugado y por tanto si uno
de los vectores es nulo, la imagen es el vector nulo de A.
1.02.- Es fácil ver que se verifica:
f:(E 1 ×E 2 ×..×E n → A) multilineal conjugado ⇔
f:(E 1 *×E 2 *×..×E n * → A) multilineal.
1.03.- Al igual que para las aplicaciones p-lineales,
podemos demostrar:
11. Existe una aplicacion p-lineal conjugada y solamente
una, tal que siendo {e → 1i },{e→ 2j },...,{e→ ps } bases respectivas de E1 ,
E2 , ..., Ep , hace corresponder a cada elemento (e → 1i ,e→ 2j ,...,e→ ps ) un
vector de A v → ij..s previamente elegido.
21. El conjunto de aplicaciones p-lineales de E 1 ×E 2 ×..×E p en
A puede estructurarse como espacio vectorial si se establece:
f=f 1 +f 2 ⇔ f(a → 1 ,a→ 2 ,..a→ p ) = f 1 (a→ 1 ,a→ 2 ,..,a→ p )+f 2 (a→ 1 ,a→ 2 ,..,a→ p )
f = λf' ⇔ f(a → 1 ,a→ 2 ,..a→ p ) = λ_ [f’(a → 1 ,a→ 2 ,..,a→ p )]
para cualquier elemento (a → 1 ,a→ 2 ,..a→ p ) de E 1 ×E 2 ×..×E p .
1.04.- Aplicaciones sesquilineales.
Son las aplicaciones f del conjunto producto E 1 ×E 2 de
dos espacios vectoriales sobre el cuerpo de los complejos, en
otro espacio vectorial A sobre el mismo cuerpo, que para todo
elemento del conjunto producto verifican:
f([λv → 1 +µv→ 2 ], w→ ) = λf(v → 1 ,w→ ) + µf(v → 2 ,w→ )
f(v → ,[λw → 1 +µw→ 2 ]) = λ_ f(v → ,w → 1 ) + µ_ f(v → ,w → 2 )
Estas aplicaciones se pueden estructurar también como
espacios vectoriales.
Se demuestra que f:(E 1 ×E 2 → A) es sesquilineal si y sólo
si f:(E 1 ×E 2 * → A) es bilineal.
Pues para w → de E 2 coincidente con w → * de E 2 * tendremos
dos notaciones de este elemento: w → para E 2 y w → * para E 2 *, y así:
f sesquilineal: f(λv → ,µw → ) = λµ _ f(v → ,w → )
f bilineal: f(λv → ,µ _ •w → *) = λµ _ f(v → ,w → )
21

2.- Productos.
2.01.- Hemos visto que con cualquier aplicación lineal
f en un espacio vectorial A sobre el cuerpo K, de un conjunto
producto E 1 ×E 2 ×..×E p de espacios vectoriales sobre el mismo
cuerpo, cuando la aplicación es lineal, lineal conjugada o
sesquilineal, todo elemento del conjunto producto determina un
vector s → de A. Ello incluso en el caso de que el cuerpo sea el de
los complejos y que la aplicación sea lineal conjugada o
sesquilineal,por lo que siempre podremos escribir:
f(a → 1 ,a→ 2 ,...,a→ p ) = s→
y simbolizando la aplicación f con un signo especial de multiplicación
tal como ♦ también escribiremos:
a → 1 ♦a→ 2 ♦...♦a→ p
y diremos que s → es el producto de la multiplicación ♦ de los p
vectores a → i .
Naturalmente, las reglas de esta multiplicación
dependerán de las características propias de la aplicación f.
3.- Producto tensorial.
3.01.- Sea el conjunto producto A×B de dos espacios
vectoriales ordenados sobre K y otro espacio vectorial W sobre K.
Sea también una aplicación lineal de A×B en W, que expresaremos
por ⊗, tal que para dos bases determinadas {a → i } y {b→ j } de A y B
respectivamente se verifique:
= s→
⊗(a → i ,b→ j ) = base de W.
Si y sólo si esto sucede con alguna aplicación lineal
⊗ decimos que W es un espacio producto tensorial de A por B, y
entonces lo expresaremos por A⊗B y a sus vectores los llamaremos
tensores.
Puede verse fácilmente que esto ocurrirá si y sólo si
la dimensión de W es el producto de dimensiones de A y de B.
A los tensores imagen de un elemento (u → ,v → ) de A×B,
los expresamos así:
⊗(u → ,v → ) = u → ⊗ v →
que leemos "producto tensorial de u → por v → ".
3,02.- Cuando para {a → i } base de A y {b→ j } base de B
resulta {a → i⊗b→ j } una base de A⊗B y tenemos otras bases cualesquiera
{a → k ’} de A y {b→ m ’} de B, tendremos que {a→ k ’⊗b→ m ’} es también una
base de A⊗B.
Pues poniendo los a
22
→ k ’ y los b→ m ’ en función de las bases

primeras, tenemos:
a → k ’ = α i
k a
→
i ; b → m' = β j →
m bj con matrices de cambio regulares, y podremos escribir:
a → k ’⊗b→ m ’ = ⊗(a→ k ,b→ m ’) = ⊗(α i
k a
→ j → i j
i ,βm bj ) = αk βm (a
→
i⊗b → j )
Multiplicando por λ km resulta:
λ km (a → k ’⊗b→ m ’) = λkm i j
αk βm (a
→
i⊗b → j )
y dado que (a → i⊗b→ j ) es una base, para que esta expresión sea nula
debe ser nulo λ km i j
αk βm para todo i y todo k, o sea, expresado por
cálculo matricial:
i km j
({αk } = M regular); ({λ } = L); ({βm}
= N regular ):
MLN = 0 ⇔ M-1MLNN -1 = 0 ⇔ L = 0 ⇔ (∀k)(∀m): λ km = 0
y por lo tanto (a → k ’⊗b→ m ’) también es base de A⊗B.
3.03.- La expresión general de un tensor τ → de A⊗B en
relación con la base (a → i⊗b→ j ) que a su vez se refiere a la base
(a → i ) de A y a la base (b→ j ) de B es:
τ → = t ij (a → i ⊗b→ j )
o sea que todo tensor se puede expresar como sumatorio de
productos tensoriales.
No siempre un tensor se puede identificar con un
producto tensorial único v → ⊗w → pues expresando v → y w → en función de
bases cualesquiera (a → i ) de A y (b→ j ) de B tendríamos:
y por tanto:
v → = v i a → i ; w→ = w j b → j
τ → = t ij (a → i ⊗b→ j ) = vi w j (a → i ⊗b→ j )
El tensor τ → será un producto tensorial único si y sólo
si, para dim. A = n y dim. B = m, es posible hallar n coeficientes
v i y m coeficientes w j que verifiquen las nm ecuaciones
t ij = v i w j
y esto, para n+m < nm, en general no es posible.
3.04.- Sean (a → i ’) y (b→ j ’) dos conjuntos de vectores de A
y de B respectivamente, y uno de ellos por lo menos no es libre.
El conjunto (a → i ’⊗b→ j ’) de A⊗B es ligado.
Pues si por ejemplo se tiene
(i≠3): a
23
→ 3 ’ = αia → i ’

con los coeficientes α i no nulos, se verificará
(a → 3 ’⊗b→ j ’) = α1 (a → 1 ’⊗b j ’)+α2 (a → 2 ’⊗b→ j ’)+α4 (a →4 ⊗b → j ’)+..+α n (a → n ⊗b→ j ’)
y en consecuencia el conjunto es ligado.
3.05.- Si hay una aplicación lineal biyectiva g, de A×B
en otro espacio vectorial W' sobre K, resulta ser W' otro espacio
vectorial producto tensorial de A por B.
Pues para {a → i } y {b→ j } sendas bases de A y B se tiene:
g(a → i ⊗b→ j ) = g[⊗(a→ i ,b→ j )] = (g⊗)(a→ i ,b→ j )
y por ser a → i⊗b→ j una base de A⊗B y g biyectiva, g(a→ i⊗b→ j ) tendrá
que ser una base de W’. Por tanto W’ es otro espacio producto
tensorial de A por B.
3.06.- Si existe una aplicación bilineal f de A×B en un
espacio vectorial T cualquiera sobre el mismo cuerpo, existirá
siempre una aplicación lineal g de A⊗B en T tal que para
cualquier vector v → de A y cualquier vector w → de B se verifica:
g(v → ⊗w → ) = f(v → ,w → )
Puesto que existe siempre una aplicación lineal g de
A⊗B en T tal que a la base (a → i⊗b→ j ) hace corresponder los vectores
f(a → i ,b→ j ) y por tanto, al expresar v→ y w → en función de las bases
respectivas, tendremos:
g(v → ⊗w → ) = g(α i a → i⊗βjb → j ) = αiβ j [g(a → i⊗b→ j )] = αiβ j [f(a → i ,b→ j )] =
= f(α i a → i ,βj b → j ) = f(v→ ,w → )
3.07.- Como la condición necesaria y suficiente para
que dos espacios vectoriales sobre K sean isomorfos y exista
entre ellos alguna aplicación biyectiva, es que tengan igual
dimensión, resulta de lo visto hasta ahora, que si dim A =n y
dim B =m todos los espacios vectoriales de dimensión nm pueden
ser considerados espacios productos tensoriales de A por B.
Por consiguiente, la estructura A⊗B es una relación de
equivalencia en todos estos espacios de dimensión nm. A los
efectos de cálculo no interesa distinguir unos de otros tales
espacios A⊗B, pero sí interesa conocer su estructura común que
los relaciona con otros espacios A y B, y particularmente conocer
de cada vector el sumatorio de elementos de A×B del que son
imagen.
Así pues a todos los diversos espacios productos
tensoriales de A por B, los consideraremos representados en el
cálculo por un único espacio A⊗B de dimensión nm y emplearemos
la misma notación (a → ⊗b → ) para designar la imagen del elemento
(a → ,b → ) de A×B.
24

3.08.- Sean tres espacios vectoriales A, B y C sobre K
y un espacio vectorial (A⊗B)⊗C. Si {a → i ), {b→ j } y {c→ k } son bases
respectivas de A, B y C, tendremos que {[a → i⊗b→ j ]⊗c→ k } es una base
de(A⊗B)⊗C.
Si hubiésemos considerado el espacio A⊗(B⊗C), hubiésemos
hallado que {a → i⊗[b→ j⊗c→ k ]} es una base de éste.
No habiendo interés en distinguir entre sí ambas bases,
se conviene que
y por lo tanto
a → i ⊗(b→ j ⊗c→ k ) = (a→ i ⊗b→ j )⊗c→ k = a→ i ⊗b→ j ⊗c→ k
(A⊗B)⊗C = A⊗(B⊗C) = A⊗B⊗C
Este espacio vectorial se denomina espacio producto
tensorial de A por B por C y decimos que es de tercer orden y que
sus vectores son tensores, en este caso de tercer orden. Los
tensores correspondientes a elementos de A×B×C también se llaman
productos tensoriales.
Es fácil ver que un producto tensorial es nulo si es
nulo cualquiera de los factores.
A⊗B⊗C.
3.09.- Existe una aplicación trilineal de A×B×C en
Si expresamos los vectores de un elemento cualquiera de
A×B×C en función de sus bases respectivas, la correspondencia que
determina la aplicación, es evidentemente la siguiente:
(v → ,w → ,u → ) = (v i a → i ,wj b → j ,uk c → k ) ⇒ vi w j u k (a → i ⊗b→ j ⊗c→ k )
3.10.- De la misma manera que hemos definido espacio
producto tensorial de orden 3, podemos considerar espacios
producto tensorial de p espacios vectoriales elementales y
diremos que es orden p. Sus vectores se llaman igualmente
tensores y se llaman productos tensoriales cuando corresponden a
elementos del conjunto producto de los p espacios vectoriales
elementales. Su dimensión es el producto de las dimensiones de
los espacios factores.
Podríamos ver que sus propiedades son análogas a las ya
descritas y nos limitaremos a reseñar algunas:
a) Los tensores siempre se pueden representar por sumatorios
de productos tensoriales:
τ → = t ij..s (a → i ⊗b→ j ⊗...⊗p→ s )
y solo algunos de ellos por un único producto tensorial.
b) Se verifica:
25

(a → ⊗b → ⊗..⊗[λh → '+µh"]⊗..⊗p → ) =
= λ(a → ⊗b → ⊗..⊗h → '⊗..⊗p → ) + µ(a → ⊗b → ⊗..⊗h → "⊗..⊗p → )
c) Si y sólo si {a → i },{b→ j },..,{p→ s } son bases de A,B,..,P,
tenemos que {a → i⊗b→ j⊗...⊗p→ s } es una base de A⊗B⊗...⊗P.
Esta correspondencia determina una aplicación p-lineal de
A×B×..×P en A⊗B⊗..⊗P.
d)Toda aplicación lineal biyectiva de A⊗B⊗..⊗P en un
espacio vectorial W, determina que W sea también un espacio
producto tensorial A⊗B⊗..⊗P.
e) Si f es una aplicación p-lineal de A×B×..×P en un
espacio vectorial T cualquiera sobre el mismo cuerpo existe
siempre una aplicación lineal g de A⊗B⊗..⊗P en T tal que para
todo producto tensorial se verifica:
g(a → ⊗b → ⊗...⊗p → ) = f(a → ,b → ,...,p → )
f) Un producto tensorial es nulo si lo es cualquiera de sus
factores.
3.11.- Por extensión, llamamos tensor de orden 1 a un
simple vector y tensor de orden 0 a un escalar.
El orden de un tensor solo tiene sentido cuando se
refiere al número de espacios vectoriales elegidos como factores.
26

4.- Productos sobre el cuerpo base.
4.01.- Sea el conjunto producto A×B de dos espacios
vectoriales ordenados sobre C y sea también una forma sesquilineal
♦ de A×B en C (Las aplicaciones sobre el cuerpo base
reciben el nombre de formas). Sabemos que se verifica:
♦:(A×B ⇒ C) sesquilineal ⇔ :(A×B* ⇒ C) bilineal
siendo B* el espacio vectorial conjugado de B.
Refiriendo a B los vectores comunes de B*, tendremos:
(∀a → A )(∀b→ B ): (λa→ )♦(µb → ) = ♦(λa → ,µb → ) = λµ _ ♦(a → ,b → ) = λµ _ (a → ♦b → )
4.02.- Espacios duales.
Sean dos espacios vectoriales, A de dimensión m y B* de
dimensión n, ambos sobre C. Diremos que son espacios duales uno
del otro cuando
11. Existe una forma bilineal ♦ de los mismos en C,
forma que determina un producto ♦ entre los vectores de A y los
de B*
21.- El único vector de A cuyo producto es nulo con
cualquiera de B* es el 0 → de A, y el único vector de B* cuyo
producto es nulo con cualquiera de A es el 0 → de B*
Al producto que cumple estas condiciones lo llamamos
producto escalar.
4.03.- Denominemos F* al espacio vectorial de las
formas lineales de B* en C y F al espacio vectorial de las
formas lineales de A en C. Por lo tanto Dim F* = n y Dim F = m.
Sean también v → ,v → ’ vectores del espacio vectorial A y
w → *, w → '* vectores de B*.
a) Considerando los productos v → ♦w → * con v → fijo y en que
w → * describe B*, vemos que son imágenes de una determinada forma
lineal de B* en C. Existe pues en F* un elemento f* bien
determinado tal que para cualquier vector w → * de B* verifica
v → ♦w → * = f*(w → *)
Por la 10 condición la forma ♦ es bilineal, y a A le
corresponde un subespacio F'* de F* y por la 20 condición esta
correspondencia es inyectiva. Por tanto m≤n
b) Considerando los productos v → ♦w → * con w → * fijo y en
que v → describe A, vemos que son las imágenes de una determinada
forma lineal de A en C. Existe pues en F un elemento f bien
determinado tal que para v → arbitrario se verifica:
v
27
→ ♦w → * = f(v → )

Por la 10 condición, al ser la forma ♦ bilineal, a B*
le corresponderá un subespacio F' de F y por la 20 condición
esta correspondencia es inyectiva. Por tanto n≤m
c) De a) y b) deducimos pues, por una parte, que
debemos tener m=n o sea A y B* de igual dimensión, y por otra,
que A es naturalmente isomorfo a F* y B* naturalmente isomorfo a
F. El isomorfismo es natural, pues se ha deducido con
independencia de bases.
4.04.- Dada una base {e →i
} de B*, expresada en B, para
A dual de B* consideraremos la base {e → j } tal que
e → j♦e→i i
= δj (símbolo de Kronecker)
que es la más cómoda para el cálculo, pues para vectores v → de A y
w → de B* (expresado en B) cualesquiera, como
v → =v j e → j ; w→ =w i e →i
utilizando tales bases, su producto escalar es:
v♦w → = Sesqu.(v j e → j ),(wie→i _
) = wiv j (e → j♦e→i _
) = wiv j i _
δj = wiv i
Estas bases se llaman duales una de la otra.
El valor hallado corresponde a la siguiente operación
matricial;
= {w _ 1 w_ 2 .. w_ n }
1
⎧v
⎫
⎪ ⎪
2
⎪v
⎪
⎨ ⎬
⎪ . ⎪
⎪ n⎪
⎩v
⎭
Si la base de A se considera real, es fácil ver que la
base dual será una base real de B* y recíprocamente, pues
entonces el producto escalar de dos vectores reales siempre será
real.
4.05.- Cambio de bases. Dadas dos bases duales {e → i } y
{e →i
} de A y B* respectivamente, vamos a hallar la base dual de
otra base {f → j } de A, relacionada con la anterior por
f → j = α i
j e
→
i
Formemos la matriz A del cambio de bases colocando los
en columnas ordenadas y hallemos la matriz
inversa de A:
coeficientes de los f → j
A -1
28

A
=
1
⎧α1
⎪
2
⎪α1
⎨
⎪ :
⎪ n
⎩α1
Tendremos:
α
1 2
..
2
α2
..
: ::
n
α2
..
1
αn⎫
⎪
2
αn⎪
⎬;
: ⎪
⎪ n
αn⎭
A
29
-1
=
A -1 A = I ⇔ α j
⎧ 1
β1
⎪
⎪
2
⎪β1
⎨
⎪ :
⎪
⎪ n
⎩β1
i β _
β
β
β
1
2
2
2
:
n
2
k k
i = δj
Expresada en B, la base dual buscada es el conjunto de
vectores {f →k } dados por
f →k k →m
= βm e
cuyos coeficientes son los conjugados de los elementos de cada
fila de la matriz inversa de A, pues se verifica:
f → j♦f →k i
= (αj e
→ k →m
i )♦( βm e ) = αj
i β _
..
..
::
..
k
m (e
→
i♦e m ) = αj 1
β ⎫
n
⎪
⎪
2
βn⎪
⎬
: ⎪
⎪
n
β
⎪
n⎭
i β _
k k
i = δj
Un método análogo se utiliza para obtener {f → j } en
función de {e → i } cuando conocemos {f→k →m
} en función de (e }. Los
resultados obtenidos pueden resumirse con las siguientes
expresiones matriciales simbólicas:
r1
⎧f
⎫
⎪ ⎪
⎪
r2
f ⎪
⎨ ⎬
⎪ : ⎪
⎪r
⎪
n ⎪⎩
f ⎪⎭
=
A
-1
r1
⎧e
⎫
⎪r
⎪
2
⎪e
⎪
⎨ ⎬;
⎪ : ⎪
⎪r
n⎪
⎩e
⎭
r
{ f
1
r
f
2
r r
... fn}
= { e1
r
e
2
r
... en}A
4.06.- Cambio de coordenadas del vector v → = v j f → j de A y
del vector w → = wkf →k
de B*, expresado en B, al variar las bases
duales de referencia de (fk ,f k ) a (e → i ,e→i ), quedando sus nuevas
notaciones en v → =v i ’e → i de A y en w→ =wi ’e →i
de B*, este último
expresado en B:
r
v
=
v
j
r
f
j
w → = w k f →k
=
v
j
i
αj e
r
i
k →i
= wkβi e
⇒
v
i′
=
v
j
α
i
j
⇒
1′
1
⎧v
⎫ ⎧v
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
2′
2
⎪v
⎪ ⎪v
⎪
⎨ ⎬ = A⎨
⎬
⎪ : ⎪ ⎪ : ⎪
⎪ n′
⎪ ⎪ n⎪
⎩v
⎭ ⎩v
⎭
k
⇒ wi' = wkβi ⇒
{w 1 ' w 2 ' .. w n '} = {w 1 w 2 ... w n } A -1

De las expresiones obtenidas en este párrafo y el
anterior, deducimos fácilmente que si los vectores de una base {e →
i } crecen uniformemente para convertirse en una nueva base {f→ j },
resulta que:
a) Los coeficientes v i decrecen.
b) Los coeficientes w i crecen.
Por esta razón y atendiendo a la variación de una base
{e → i } considerada como referencia principal, se denominan
contravariantes los coeficientes que llevan supraíndice y
covariantes los que llevan subíndice. Naturalmente, si hubiésemos
tomado como referencia principal la base {e →i
}, sucedería lo
contrario, pero aquí seguiremos la costumbre de considerar como
base principal la de los vectores denotados con subíndice.
4.07.- Cálculo de coeficientes.
v → ♦e → i = (v j e→j )♦e → i = v j (e →j ♦e → i ) = v i
4.08.- Productos hermíticos.
a) Dado un espacio vectorial A n-dimensional, sea
ϕ:A×A → C una forma sesquilineal, es decir, tal que:
ϕ(αv → ,βw → ) = αβ _ [(ϕ(v → ,w → )]
Si además se verifica:
ϕ(a → ,b → ) = [ϕ(b → ,a → )]*
con dos vectores a → y b → cualesquiera de A, decimos que la forma ϕ
es hermítica, ó que el producto que determina en A es hermítico.
Por tanto, para a → =b → , el producto hermítico es real.
b) Si ϕ es hermítica, podemos deducir de ello, que
existe una forma sesquilineal ϕ' simétrica, es decir, tal que:
que verifica:
ϕ'(αv → ,βw → ) = α _ β[ϕ'(v → ,w → )]
ϕ'(a → ,b → ) = ϕ(b → ,a → )
y por tanto los productos que ϕ' determina en A son conjugados de
los determinados por ϕ y los llamaremos hermíticos conjugados.
c) En el caso de que A=C, siendo C un espacio vectorial
estructurado con el cuerpo de los complejos, podremos definir
como forma hermítica:
f(α,β) = αβ _
30

que determina en C un producto hermítico que en general no
coincide con el producto propio del cuerpo, y que siempre es real
para factores idénticos (α=β).
31

D.- ALGUNOS ESPACIOS NOTABLES.
1.- Espacios hermíticos.
1.01.- Sea F un espacio vectorial sobre el cuerpo C de
los complejos. Diremos que es un espacio hermítico cuando se ha
definido en él un producto en C de dos vectores cualesquiera a → y
b → , llamado hermítico, que para λ y µ escalares cualesquiera y c →
∈F, verifica las siguientes leyes:
10. a → ·b → = (b → ·a → )* (Hermiticidad)
20. (λa → +µb → )·c → = λ(a → ·c → ) + µ(b → ·c → ) (Linealidad 1 er factor)
1.02.- En consecuencia podemos establecer:
a) c → ·(λa → +µb → ) = λ _ (c → ·a → ) + µ _ (c → ·b → ) (Linealidad conj. 21 factor)
b) 0 → ·a → = a → ·0 → = 0
c) a → ·a → = número real
puesto que se verifica:
a) c → ·(λa → +µb → ) = [(λa → +µb → )·c → ]* = λ _ (a → ·c → )* + µ _ (b → ·c → )* = λ _ (c → ·a → ) + µ _ (c → ·b → )
b) 0 → ·a → = (b → -b → )·a → = (b → ·a → )-(b → ·a → ); a → ·0 → = a → (b → -b → )= a → b → - a → b → = 0
c) a → ·a → = (a → ·a → )*
Evidentemente, cualquier subespacio de un espacio
hermítico es también hermítico.
1.03.- Sea {e → i } un generador de F de dimensión n
finita y formemos la matriz
r r r r
⎧e1·
e1
e1·
e2
..
⎪r
r r r
⎪e2·
e1
e2·
e2
..
= ⎨
⎪ : : ::
⎪r
r r r
⎩en·
e1
en·
e2
..
r r
e1·
en⎫
r r ⎪
e2·
en⎪
r r
⎬ = { ei·
ej}
= { g }
: ⎪
r r ⎪
en·
en⎭
G ij
A esta matriz la llamamos matriz fundamental de F para el
generador considerado y siempre será hermítica por la 10
condición de '1.01, y por tanto de determinante real.
1.04.- Una matriz fundamental es regular si y sólo si
se cumplen las siguientes condiciones:
10. Se refiere a una base.
20. El único vector cuyo producto con todos los del
espacio incluído él mismo, es nulo, es el vector nulo. Esto
equivale a decir que el único vector que multiplicado por todos
los vectores de una base da 0, es el vector nulo.
33

Por cálculo matricial sabemos que multiplicando cada
matriz fila i de una matriz regular por un escalar λ i y sumando,
la suma nula exige que sean nulos todos los λ i . Expresando esta
suma podemos escribir:
λ 1 {e → 1 ·e→ 1 e→ 1 ·e→ 2 .. e→ 1 ·e→ n } + λ2 {e → 1 ·e→ 1 e→ 2 ·e→ 2 .. e→ 2 ·e→ n } + .. +
} = {0} ⇔
+ λ n {e → n ·e→ 1 e→ n ·e→ 2 .. e→ n ·e→ n
{(λ i e → i )·e→ 1 (λie → i )·e→ 2 .. (λie → i )·e→ n } = {0} ⇔
(∀j): (λ i e → i )·e→ j
1.06.- Consecuencia de esta expresión y de que los
determinantes de A y A* son conjugados, es que un cambio de bases
34
= 0
Cuando {e → i
valores de los λ i no todos nulos podremos tener λ i e → i
no será regular.
tal que:
} es un generador no base, para ciertos
=0 y la matriz
Cuando {e → i } es una base y existe un vector a→ no nulo
(∀j): a → ·e → j
podemos elegir los λ i no todos nulos para obtener λ i e → i = a→ y
entonces todos los (λ i e → i )·e→ j serán nulos y la matriz no es
regular.
Si {e → i } es una base y no existe el anterior vector a→ ≠0 → ,
será preciso λ i e → i =0→ para que se anulen los (λ i e → i )·e→ j , Por consi-
guiente todos los λ i habrán de ser nulos y la matriz será
regular.
En consecuencia, todas las matrices fundamentales
correspondientes a generadores no bases, son irregulares y su
determinante es nulo y esto tanto si se considera el espacio
total como un subespacio.
1.05.- Si conocemos la matriz S fundamental para una
base {f → k }, la matriz fundamental para otra base {e→ i }, al conocer
la matriz del cambio de bases, podremos hallarla así:
= 0
S' = {e → i ·e→ j } = {(λ k → m → k →
i )fk }·{(λj )fm } = {λi (fk ·f → m )λ_ j
y podemos comprobar la ecuación matricial correspondiente:
S′
=
1
⎧λ1
⎪
1
⎪λ2
⎨
⎪ :
⎪ 1
⎩λn
λ
λ
λ
2
1
2
2
:
2 n
..
..
::
..
n r r
λ1⎫⎧f1·
f1
⎪⎪r
r
n
λ2⎪⎪f2·
f1
⎬⎨
: ⎪⎪
:
⎪⎪r
r
n
λn⎭⎩fn·
f1
r r
f1·
f
r r
f2·
f
2
2
:
r r
fn·
f2
..
..
::
..
r r
·
⎧ 1
f f ⎫ λ1
1 n ⎪
r r ⎪
f·
⎪ 2
2 fn⎪
⎪λ1
⎬ ⎨
: ⎪ ⎪ :
r r ⎪ ⎪
fn·
fn⎭
⎪ n
⎩λ1
1 2
2
2
..
..
: ::
n
λ ..
2
siendo A* la matriz transpuesta de la conjugada de A, conjugada a
su vez de la considerada en 'C 4.05, y todas regulares.
λ
λ
1
λ ⎫ n
⎪
2⎪ λn⎪
⎬
: ⎪
⎪
n
λ ⎪ n⎭
m }
=
A
*
GA

no altera el signo, o en su caso la nulidad, del determinante de
las matrices fundamentales de un espacio hermítico.
1.07.- Ortogonalidad.
Decimos que dos vectores v → y w → son ortogonales cuando
se verifica v → ·w → =0 y que un vector u → es ortogonal a sí mismo
cuando se verifica u → ·u → =0.
En cuanto a subespacios, diremos que G y H son
ortogonales cuando se verifica:
(∀v → G )(∀w→ H ): v→ ·w → = 0
Para ello, si {g → i } y {h→ j } son sendas bases de G y H, es
suficiente que se verifique
(∀i)(∀j): g → i ·h→ j
Llamamos base ortogonal {e → i } a toda base cuyos
elementos sean ortogonales dos a dos, es decir:
(i≠j): e → i ·e→ j
1.08.- Si en un subespacio de F todos los vectores son
ortogonales a sí mismos, cualquier par de vectores será ortogonal.
Pues si v → y w → pertenecen al mismo, también pertenecerán
a él los vectores v → +w → y v → +iw → y podremos escribir:
35
= 0
= 0
0 = (v → +w → )·(v → +w → ) = (v → ·v → )+(v → ·w → )+(w → ·v → )+(w → ·w → ) = (v → ·w → )+(w → ·v → )
0 = (v → +iw → )·(v → +iw → ) = (v → ·v → )-i(v → ·w → )+i(w → ·v → )-ii(w → ·w → )
0 = -(v → ·w → )+(w → ·v → )
Por consiguiente:
(v → ·w → ) = (w → ·v → ) = 0
1.09.- Llamamos núcleo N del espacio F, al conjunto de
vectores que son ortogonales, tanto a sí mismos como a los demás
del espacio. Es un subespacio vectorial pues para cualesquiera
vectores v → ,w → de N y a → de F tendremos:
(λv → +µw → )·(λv → +µw → ) = λλ _ (v → ·v → ) +λµ _ (v → ·w → ) +µλ _ (w → ·v → ) +µµ _ (w → ·w → )=0
(λv → +µw → )·a → = λ(w → ·a → )+ µ(w → ·a → ) = 0 = a → ·(λv → +µw → )
1.10.- Si {v → } es un conjunto finito de vectores, no
i
ortogonales a sí mismos y ortogonales entre sí dos a dos, todo
vector w → no generado por él se puede descomponer en dos sumandos,
el uno ∑λiv → i perteneciente al subespacio generado por {v→ i } y el
otro, w → ’, ortogonal al mismo.

Si existe una solución, tendremos:
w → = ∑λ i v → i + w→ ’
y multiplicando miembro a miembro por un elemento v → k
se tendrá:
w → ·v → k = (∑λ i v→ i )·v→ k + w→ ’3v → k
y como por hipótesis w → ’·v → k =0 y (∑λiv→ i )·v→ k = λkv→ k ·v→ k
w → ·v → k = λkv→ k ·v→ k ⇒ λ k =
r
w·
r
vk
r
vk·
r
vk
∑ λ
i
Por lo tanto
36
del conjunto
se tendrá:
r
w·
r
r
w·
r
r vi
r r vi
r r r
vi = ∑
r
v ; w = w -
r
v ; w·
r
i
i vi
= w·
r
vi
- w·
r
r
vi
vi·
r
′ ∑ r
vi
vi·
r ′
vi
y es fácil ver que coinciden los subespacios generados por {v → i } y
w → y por {v → i } y w→ ’.
1.11.- Método de ortogonalización de Schmidt.
Un espacio hermítico finitamente generado por una
sucesión {e → n } de vectores linealmente independientes siempre
puede referirse a otra sucesión de vectores ortogonales entre sí
dos a dos.
Si en el espacio no hay ningún vector no ortogonal a sí
mismo, el espacio coincide con su núcleo y todas las bases son
ortogonales. Si hay uno tal como v → , se establece una base que
incluya a v → y procederemos a sustituir todos los vectores base
distintos de v → , por los ortogonales a v → obtenidos con las
fórmulas del párrafo anterior aplicadas a un único vector v → . El
subespacio generado por estos vectores ortogonales es ortogonal
y suplementario al generado por v → .
En este subespacio, separaremos un vector w → que no
sea ortogonal a sí mismo. Si no existe, tal subespacio será el
núcleo y la base hallada es válida. Si existe, determinaremos una
base del subespacio que lo incluya y cada uno de los vectores
base distintos de w → lo sustituiremos por otro ortogonal a v → y w →
de la misma manera que antes.
Hemos obtenido así un subespacio generado por los
vectores base distintos de v → y w → que es suplementario y ortogonal
al generado por v → y w → .
Procediendo reiteradamente del mismo modo, obtendremos
finalmente una base de las características deseadas.
1.12.- Evidentemente si y sólo si un generador es una
base ortogonal, su matriz fundamental será diagonal, y entonces
=
0

sus elementos diagonales serán reales.
Vamos a ver que todas las matrices diagonales de F
tienen entre sus elementos diagonales la misma cantidad de
elementos positivos, la misma cantidad de elementos negativos y
la misma cantidad de elementos nulos.
Consideremos una base ortogonal que nos da una matriz
fundamental diagonal con r elementos positivos, s elementos
negativos y t elementos nulos. Por lo tanto la suma de r, s y t
es la dimensión n del espacio.
Los vectores base correspondientes al mismo signo
generan respectivamente los subespacios F + ,F - y F o que son
disjuntos y cuya suma es F. Sus dimensiones son respectivamente
r, s y t.
verifica:
Para cada uno de ellos, con sus vectores no nulos se
a → ·a → = (∑α i e → i )·(∑α j e→ j ) = ∑∑α iα _ j (e→ i ·e→ j ) = ∑α iα _ i (e→ i ·e→ i )
Por tanto, para F + tendremos a → ·a → >0, para F - se tiene
a
→
·a
→ o
r y
R’ + s + t > n
y F ’ + , F - y F o no serían disjuntos, lo que es imposible.
1.13.- Caso particular: F - =0 →
En este caso, ninguna matriz fundamental tendrá
determinante negativo, no sólo para el espacio F total, sino
para cualquier subespacio del mismo.
Las expresiones de esta circunstancia son las llamadas
desigualdades de Schwartz y que son las siguientes:
10.
r r
v·
v
r r
w·
v
r r
v·
w
r r
w·
w
≥ 0 ⇔
r r r r r r r r
( v·
v)(
w·
w)
- ( v·
w)(
w·
v)
≥ 0
r r
v·
v
r r
v·
w
r r
v·
u
20.
r r
w·
v
r r
u·
v
r r
w·
w
r r
u·
w
r r
w·
u
r r
u·
u
≥ 0
⇔ (v → ·v → )(w → ·w → )(u → ·u → )+(v → ·w → )(v → ·u → )(u → ·v → )+(w → ·v → )(u → ·v → )(v → ·u → )-
-(u → ·u → )(v → ·w → )(w → ·v → )-(v → ·v → )(u → ·v → )(v → ·u → )-(w → ·w → )(u → ·v → )(v → ·u → )≥0
37

etc.
1.14.- El signo positivo corresponde a una base con
F o =0 → (núcleo nulo). En este caso particular de núcleo nulo, el
espacio se denomina definido positivo.
Cuando el núcleo no es nulo al espacio con F - =0 → se le
denomina semidefinido positivo.
1.15.- Espacio sobre R correspondiente.
Sea un espacio vectorial E sobre el cuerpo de los
números reales tal que a dos vectores cualesquiera a → y b → del
mismo sabemos hacer corresponder un número real llamado producto
de a → por b → y expresado por a → ·b → de manera que siendo λ y µ números
reales cualesquiera se verifiquen las siguientes leyes:
10 a → ·b → = b → ·a → (Simetría)
20 (∀c → E ): (λa→ +µb → )·c → = λ(a → ·c → )+µ(b → ·c → ) (Linealidad 1 er factor)
Este espacio tendrá evidentemente las mismas propiedades que
los espacios hermíticos si se tiene en cuenta que ahora la
hermiticidad viene sustituída por la simetría y que el conjugado
de un número real es este mismo número real.
38

2.- Espacio hermítico E con núcleo nulo.
2.01.- Estos espacios vectoriales hermíticos, para los
que se suprime el signo del producto hermítico, se pueden definir
como los espacios vectoriales hermíticos en general, añadiendo a
las dos condiciones citadas en '1.01, la siguiente:
30 (∀x → E): a → x → = 0 ⇔ a → = 0 → (Núcleo = 0 → )
que nos da la ley de simplificación:
(∀x → E): a → x → = b → x → ⇔ a → = b →
puesto que se verifica:
(∀x → E): a → x → =b → x → ⇔ (∀x → E): (a → -b → )x → =0 ⇔ a → -b → =0 ⇔ a → =b →
La citada condición 30 se puede sustituir por la
siguiente:
3'0 Para una base {e → i } de E se verifica:
(∀i): a → e → i =0 ⇔ a→ =0 →
Pues todo vector x → de E se puede representar por
x → = x i e → i y tendremos:
(∀i): a → e → i =0 ⇔ (∀x→ E): 0=x i (a → e → i ) = a→ (x i e → i ) = a→ x →
2.02.- Para estos espacios es válido todo lo dicho para
los espacios hermíticos, a excepción de lo que se encuentre
afectado por la nueva condición 30.
cuenta.
A continuación señalaremos las diferencias a tener en
a) Una matriz fundamental es regular si y sólo si se refiere
a una base.
b) No puede existir ninguna base ortogonal que contenga un
vector ortogonal a sí mismo.
c) Existe siempre algún vector no ortogonal a sí mismo.
d) Al aplicar el metodo de ortogonalización de Schmidt, los
sucesivos subespacios que se van considerando tienen por núcleo
el vector nulo, pues si tuvieran un vector no nulo ortogonal a
todos los del subespacio, lo sería a los vectores base ya
determinados, con lo que no solamente sería ortogonal a sí mismo
sino que lo sería a los sucesivos vectores base que se fueran
encontrando lo que por hipótesis no es posible.
e) No todos los subespacios tienen por núcleo el vector
nulo. Un ejemplo evidente es el subespacio unidimensional
generado por un vector ortogonal a sí mismo.
f) Una matriz fundamental diagonal no contiene ningún valor
nulo. Al conjunto {++..+--..-} de sus signos se le llama
signatura de la matriz y también del espacio, pues es propia y
39

característica del mismo.
g) Tanto E + como E - tienen como núcleo el vector nulo.
2.03.- De acuerdo con el estudio efectuado con los
espacios vectoriales duales, el producto escalar aquí definido
establece un isomorfismo canónico entre el espacio vectorial E y
su dual E*. Tal espacio hermítico resulta ser así, en cierto
modo, dual de sí mismo.
Se conserva el concepto de base dual de una base {e → i }
original que ahora denominaremos {e →i } y será otra base del
espacio. Estas bases verifican:
e → ie→j →j
= e e
→ i
i = δj (símbolo de Kronecker)
y su uso es el mismo que para espacios vectoriales distintos.
Puede comprobarse que la base dual de la base dual de
una dada es la base original y que si cambiamos la base {e → i } por
la {f → j }, la nueva base dual {fj } se obtiene como en 'C 4.05 y
'C 4.06.
Tomaremos como base de referencia principal, tal como
decíamos allí, a una base expresada por subíndices tal como {e _ i }
y, por consiguiente, para un vector cualquiera v → =v i e → i =v j e→j
tomaremos los coeficientes v i como contravariantes y los
coeficientes v i como covariantes.
Podremos escribir por tanto:
v → e →j = (v i e → i )e →j = v i (e → i e →j ) = v j ⇒ e →j v → = v _ j
v → e → i = (v j e→j )e → i = v j (e →j e → i ) = v i ⇒ e → j v→ = v _ j
v → w → = (v i e → i )(w j e→j ) = w _ i v i
2.04.- La matriz de cambio para pasar de coeficientes
contravariantes a covariantes es la matriz fundamental de la
base principal. La matriz inversa, correspondiente al cambio
inverso, es la matriz fundamental de la base dual:
v → = v i e → i = v i e→i ; G = {gij } = {e → i e→ j }; gij = e →i e →j
v i =v → e →i =(vk e →k )e →i =vk g ki ; v j =v → e → j =(vi e → i )e→ j =vi (e → i e→ j )=vi g ij =v k g ki g ij
y en consecuencia,
{g ki }{gij } = {δ k
j } = Matriz unidad
2.05.- El conjunto de los vectores ortogonales a un
subespacio F de dimensión r de E n-dimensional, es un subespacio
G de dimensión n-r, y todos los vectores del subespacio intersección
de F y G son ortogonales a sí mismos y a los demás de tal
intersección.
Efectivamente, pues si u
40
→ es un vector cualquiera de F

se verifica
v → ,w → ∈G ⇒ (λv → +µw → )u → = λv → u → + µw → u → = 0 ⇒ λv → +µw → ∈ G
Su dimensión es n-r, pues considerando una base {e → i } de
E tal que sus r primeros vectores formen una base de F, y su base
dual {e →i
}, tendremos:
(i≠j): e → i e→j = 0
y habrá por tanto n-r vectores e →j que serán ortogonales a todo e → i
con i de 1 a r y por tanto a F, que son los vectores e →j con j de
r+1 a n. Formarán una base de G y G tendrá por lo tanto una
dimensión n-r.
En el subespacio intersección de F y G todos los
vectores pertenecerán a F y a su ortogonal G. Por consiguiente,
el producto escalar de unos con otros y de cada uno consigo mismo
es nulo.
2.06.- Un espacio hermítico de núcleo igual a 0 → queda
evidentemente determinado, cuando conocemos una base del mismo y
la matriz fundamental correspondiente, y además sabemos expresar
un vector cualquiera como combinación lineal de los vectores de
esta base. 2.09.- Espacio euclidiano.
Llamamos espacio euclidiano a todo espacio vectorial E
de núcleo nulo sobre el cuerpo de los números reales, cuando a
cada par a → ,b → de vectores del mismo, sabemos hacer corresponder un
número real llamado producto escalar de a → por b → que expresamos
por a → b → , de manera que siendo λ y µ números reales cualesquiera,
se cumplen las siguientes leyes:
10 a → b → = b → a → Simetría
20 (∀c → E ): (λa→ +µb → )c → =λ(a → c → )+µ(b → c → ) Linealidad 11 factor
Las propìedades de un espacio euclidiano son las mismas
de los espacios hermíticos de núcleo igual a 0 → , teniendo ahora en
cuenta que:
a) El conjugado de un escalar o vector es el mismo escalar o
vector.
b) La hermiticidad es simetría.
c) Las matrices A* son transpuestas de las A ('1.05).
d) Las aplicaciones lineales conjugadas son lineales.
e) La aplicaciones multilineales conjugadas son multilineales.
f) Las aplicaciones sesquilineales son bilineales.
2.10.- Sobre un espacio vectorial real E en 'B6.01
hemos construído un espacio vectorial complejo E del cual el
espacio E forma parte. Ahora bien, si E está dotado de un
producto escalar y queremos seguir considerándolo parte de E, es
41

necesario que éste a su vez esté dotado de un producto escalar y
coincida asimismo con el primero por lo que respecta a vectores
reales.
Si E es euclidiano, el requisito anterior lo cumple
evidentemente un E hermítico de núcleo 0 → tal que no sólo tenga
una base común con E sino que también coincidan sus matrices
fundamentales. Verificándose esto, también serán comunes las
demás bases reales así como las matrices fundamentales correspondientes.
Dado un espacio vectorial complejo también determinábamos
un espacio vectorial real E como formando parte del mismo.
Pero si E está dotado de un producto escalar y ha de incluir a
E, habrá que dotar a E de uno tal que que los resultados
coincidan para los vectores reales.
Si E es hermítico de núcleo 0 → la base de E para
construir E habrá de ser de matriz fundamental real. El espacio
vectorial E construído de esta manera, es euclidiano y las
matrices fundamentales de E lo serán también de E y asimismo
todas las bases de E serán bases reales de E.
2.11.- Sean dos bases duales {e → i } y {e→i }y un vector v
→
v
=vie →i i
=v e
→
i . Tendremos ahora:
vi = v → e → i = e→ iv→ ; v i = v → e →i →i
= e v
→
42

3.- Espacios prehilbertianos.
3.01.- Llamamos espacios prehilbertianos a los espacios
hermíticos de núcleo nulo y signatura positiva.
Según vimos en '2.02f la signatura positiva equivale a
que para todo vector v → no nulo se tenga v → v → >0.
Por consiguiente, podemos definir como espacio
prehilbertiano a todo espacio vectorial sobre el cuerpo de los
complejos dotado de un producto escalar sin signo, que para
cualesquiera vectores v → ,c → ,a → ,b → y cualesquiera escalares λ, µ
verifica las siguientes condiciones:
10 a → b → = (b → a → )* Hermiticidad
20 (λa → + µb → )c → = λ(a → c → ) + µ(b → c → ) Linealidad 11 factor
30 (v → ≠0 → ): v → v → >0; (v → =0 → ): v → v → = 0
Evidentemente, todo lo dicho respecto a las espacios
hermíticos de núcleo nulo seguirá válido ahora.
3.02.- No obstante señalaremos algunas características
especiales deducidas de la nueva hipótesis más restringida:
a) En un espacio prehilbertiano, todos sus subespacios son
también prehilbertianos.
b) En un espacio prehilbertiano no hay vectores ortogonales
a sí mismos, excepto el vector nulo.
Por lo tanto, si un subespacio es ortogonal a otro ambos son
disjuntos.
c) Todas las matrices fundamentales relativas a bases del
espacio tienen su determinante real y positivo y no nulo.
Puesto que evidentemente el determinante de una matriz
fundamental diagonal es positivo y un cambio de bases no altera
el signo del determinante ('1.05), pues se verifica:
G = A*FA
y las matrices A y A* tienen determinantes conjugados.
d) Si F’ es el subespacio ortogonal a F y G’ es el subespacio
ortogonal a G, tendremos
F⊃G ⇔ F’⊂G’
por constituir cada par, un par de subespacios ortogonales y
suplementarios.
3.03.- Perpendicularidad.
Decimos que dos subespacios F y G son perpendiculares,
cuando para sus subespacios ortogonales respectivos F’ y G’ se
43

verifica:
F’⊃G ⇔ G’⊃F ó F’=G ⇔ G’=F ó F’⊂G ⇔ G’⊂F
Si las dimensiones de F y G son m y p respectivamente,
las de F' y G' serán n-m y n-p respectivamente y habrá los
siguientes casos de perpendicularidad:
a) (m+p>n ⇔ p>n-m): F’⊂ G ⇔ G’⊂ F
b) (m+p=n ⇔ p=n-m): F’= G ⇔ G’= F
c) (m+p

Segunda.- Sea el subespacio generado por tres vectores
u → ,v → y w → . Su matriz fundamental es:
r r
⎧vv
⎪r
r
⎨wv
⎪r
r
⎩uv
r r
vw
r r
ww
r r
uw
r r
vu⎫
r r⎪
wu⎬
r r
uu
⎪
⎭
y por igual razón que en el caso anterior tendremos:
(v → v → )(w → w → )(u → u → ) + (v → w → )(w → u → )(u → v → ) + (w → v → )(u → w → )(v → u → ) -
- (v → v → )(u → w → )(w → u → ) - (w → w → )(u → v → )(v → u → ) - (u → u → )(w → v → )(v → w → ) ≥ 0
con el signo igual referido a v → ,w → y u → no independientes.
Sucesivas.- Con los subespacios generados por cuatro o
más vectores iríamos hallando sucesivas desigualdades.
3.06.- Normas y módulos.
Llamaremos aquí, norma de un vector v → , y la designaremos
por |v → |, el número real no negativo definido por:
|v → | = v → v →
Llamaremos longitud o módulo de un vector v → , y la
designaremos por |v → | o bien v, a la raíz cuadrada positiva de su
norma:
v =
r
v =
r r
vv
3.07.- Denominaremos norma |λ | y módulo |λ| de un
complejo λ a los siguientes valores positivos reales:
λ
= λλ;
3.08.- Las normas y módulos verifican las siguientes
propiedades:
a) |λv → | = |λ | |v → |; |λv → | = |λ||v → |
Pues tenemos:
y también por consiguiente:
45
λ
=
λλ
|λv → | = (λv → )(λv → ) = (λλ _ )(v → v → ) = |λ | |v → |
|λv → | = |λ||v → |
b) |v → +w → | + |v → -w → | = 2 |v → | + 2 |w → |
Pues se verifica:

|v → +w → | = (v → +w → )(v → +w → ) = v → v → + v → w → + w → v → + w → w →
|v → -w → | = (v → -w → )(v → -w → ) = v → v → - v → w → - w → v → + w → w →
y sumando miembro a miembro:
|v → +w → | + |v → -w → | = 2v → v → + 2w → w → = 2 |v → | + 2 |w → |
c) La primera desigualdad de Schwartz referida a normas y
longitudes, queda así:
|v → | |w → | - |v → w → | ≥ 0 ⇔ |v → ||w → | ≥ |v → w → |
d) Desigualdad triangular: |v → +w → | ≤ |v → |+|w → |
Por una parte se verifica:
|v → +w → | = (v → +w → )(v → +w → ) = v → v → + v → w → + w → v → + w → w →
Para v → w → = α+βi se tiene w → v → = α-βi y por tanto, al sumar
los dos productos escalares, se obtiene:
y al multiplicar:
v → w → + w → v → = 2α ⇔ 2(v → w → + w → v → ) = α
r r r r 2 2 r r
2
( vw)(
wv)
= α + β ⇒ vw
= α + β
Por consiguiente:
2(v → w → + w → v → ) ≤ |v → w → | ⇔ v → w → + w → v → ≤ 2|v → w → |
y teniendo en cuenta la primera desigualdad de Schwartz vista en
c) tendremos también:
y por consiguiente:
v → w → + w → v → ≤ 2|v → ||w → |
Por otra parte, hemos visto que se verifica:
|v → +w → | = v → v → + v → w → + w → v → + w → w →
|v → +w → | ≤ v → v → + w → w → + 2|v → ||w → |
Pero como tenemos:
v → v → + w → w → + 2|v → ||w → | = |v → | 2 + |w → | 2 + 2|v → ||w → |= (|w → |+|v → |) 2
tendremos finalmente:
|v → +w → | ≤ |v → | + |w → |
El signo igual corresponde a que las dos desigualdades
que hemos utilizado en la demostración sean igualdades. Esto,
como puede verse fácilmente, ocurrirá con la desigualdad de
46
2

Schwartz cuando v → =λw → y con la otra para β=0. En resumen, el
signo igual corresponde a v → =λw → con λ real.
e) Haciendo w → =t → -v → , resulta una nueva expresión:
|t → | = |v+(t → -v → )| ≤ |v → | + |t → -v → | ⇔
|t → | - |v → | ≤ |t → -v → |
3.09.- De la definición de espacio normado y de los
párrafos anteriores se desprende que todo espacio prehilbertiano
es un espacio normado en relación con las longitudes de los
vectores (y no con las normas tal como aquí se han definido).
Pues se cumplen las condiciones:
10 |v → | > 0 cuando v → ≠0 → ; |0 → | = 0
20 |v → +w → | ≤ |v → | + |w → |
30 |λv → | = |λ||v → |
3.10.- De la definición de espacio métrico y de lo
visto anteriormente, deducimos que todo espacio prehilbertiano es
métrico, al tomar ahora como distancia entre v → y w → al valor
|v → -w → |.
Pues se verifican las condiciones
10 |v → -w → | > 0 para v → ≠w → ; |v → -w → | = 0 para v → = w →
20 |v → -w → | = |w → -v → |
30 |v → -w → | ≤ |v → -u → | + |u → -w → |
y la última condición es la desigualdad triangular, pues v → -w → =
(v → -u → ) + (u → -w → ).
3.11.- Hemos visto que un espacio prehilbertiano es
métrico, cuando tomamos como distancia entre dos vectores v → y w →
al número real |v → -w → |.
Vamos a traducir ahora los conceptos de espacio métrico
general en términos de espacios prehilbertianos
a) Una sucesión de vectores {u → n } converge hacia el límite u→
si |u → n-u→ | → 0, cuando n → ∞, es decir, cuando dado un ε
arbitrario existe un índice N tal que |u → n-u→ | ≤ ε para n≥N. El
vector u → está entonces unívocamente determinado por la sucesión
{u → n }. Notaciones: u→ → n u → o bien u → =lím u → n , etc.
b) Una sucesión de vectores {u → n } es convergente, si existe
un vector u → tal que u → → n u → . En caso contrario la sucesión es
divergente.
c) Una sucesión de vectores {u → n } es de Cauchy si |u→ m -u→ n |→0
cuando m,n → ∞; es decir, que dado un ε>0 arbitrario, existe un
índice N tal que |u → m-u→ n | ≤ ε para m,n≥N. Toda sucesión convergente
es de Cauchy; la recíproca no es cierta.
47

d) Un espacio prehilbertiano es completo si toda sucesión de
Cauchy converge, esto es, si la condición |u → m -u→ n |→0 implica que
existe un vector u → tal que u → n → u → .
3.12.- Llamamos espacio de Hilbert a todo espacio
prehilbertiano completo.
3.13.- Decimos que un conjunto base de un espacio
prehilbertiano es completo, cuando el único vector ortogonal a
todos sus elementos es el vector nulo. Se demuestra que siempre
existe un conjunto así formado por vectores de módulo uno
ortogonales entre sí dos a dos, pero que no siempre puede
expresarse con una sucesión. Cuando se puede expresar con una
sucesión, se denomina base ortonormal.
3.14.- Todo espacio prehilbertiano con una base
ortonormal se denomina separable, y son siempre separables los
espacios prehilbertianos de dimensión finita.
Un vector v → cualquiera de un espacio prehilbertiano
separable en virtud de una sucesión o base ortonormal {e → n } tiene
las siguientes propiedades:
v → = ∑(v → e → i )e→ i = vi e → i
|v → | = ∑(v → e → i )2 = ∑(v i ) 2
(i→∞): v i →0
48

4.- Espacios propiamente euclidianos.
4.01.- Denominamos espacio propiamente euclidiano a
todo espacio euclidiano de signatura positiva.
Por consiguiente espacio vectorial propiamente
euclidiano es todo espacio vectorial sobre el cuerpo de los
números reales tal que a todo par a → ,b → de vectores del mismo
sabemos hacer corresponder un número real llamado producto
escalar de a → por b → , que expresamos por a → b → , de manera que siendo λ
y µ números reales cualesquiera se cumplan las siguientes leyes:
10 a → b → =b → a → Simetría.
20 (∀c → E ): (λa→ +µb → )c → = λ(a → c → )+µ(b → c → ) Linealidad 11 factor
30 (v → ≠0): v → v → >0; (v → =0): v → v → = 0
Así pues un espacio propiamente euclidiano tiene
también todas las propiedades de un espacio prehilbertiano,
teniendo en cuenta las observaciones de '2.09.
4.02.- Tengamos en cuenta que la matriz A* relativa a A
en un espacio prehilbertiano, será ahora la matriz A~ transpuesta
de A.
Por lo tanto, si a una base del espacio propiamente
euclidiano corresponde la matriz fundamental G, con un cambio de
bases de matriz A y de acuerdo con '1.05, ahora obtendremos la
nueva matriz fundamental G’ de la manera siguiente:
G’ = A~GA
4.03.- La norma |v → | de un vector v → se expresa frecuentemente
por
y su módulo por
|v → | = v →2 = v 2
|v → | = v
4.04.- Como ahora v → w → =w → v → , y v → v → >0 para v → ≠0 → ,la primera
desigualdad de Schwartz adoptará nuevas formas:
(v → v → )(w → w → ) - (v → w → )(w → v → ) ≥ 0 ⇔ v 2 w 2 ≥ (v → w → ) 2 ⇔
r r 2
( vw
)
1 ≥
2 2
v w
⇔
- 1 ≤
49
r r
vw
vw
≤ + 1
Existe pues siempre un número real α del intervalo
[0,π], tal que
r r
vw
cos α
=
vw

A este número se le llama ángulo de los dos vectores v → y w → y es
una función simétrica de los mismos. La introducción del ángulo
α, da al producto escalar de los espacios propiamente
euclidianos, su forma clásica.
v → w → = vw cos α
4.05.- Si hacemos:
r r
vw
vw
= cos α
r r
wu
wu
= cos β
r r
uv
uv
= cos γ
la segunda desigualdad de Schwartz se transforma
0 ≤ v 2 w 2 u 2 + 2(v → w → )(w → u → )(u → v → ) - u 2 (v → w → ) 2 - v 2 (w → u → ) 2 - w 2 (u → v → ) 2 ⇔
⇔
r r r r r r r r 2 r r 2 r r 2
vw
wu
uv
( vw
) ( wu
) ( uv
)
1 + 2 . . - - - ≥ 0
2 2 2 2 2 2
vw wu uv v w w u u v
y adopta finalmente la expresión:
1 + 2(cos α)(cos β)(cos γ) - cos 2 α - cos 2 β - cos 2 γ ≥ 0
a la que corresponderá el signo igual, al ser {u → ,v → ,w → } un sistema
ligado.
4.06.- Recordaremos que una base ortonormal es la de
elementos de módulo uno ortogonales dos a dos y expresable por
una sucesión, expresión que siempre es posible si el espacio es
de dimensión finita.
Y haremos notar que en un espacio vectorial euclidiano,
sólo si es propiamente euclidiano existirán bases ortonormales, ó
sea formadas por vectores de módulo uno ortogonales entre sí.
Estas bases ortonormales son duales de sí mismas,
puesto que verifican:
e → i e→ j = δ ij
(símbolo de Kronecker)
50

E.- CONJUNTO DE LOS TENSORES E ⊗ (O SEA AFINES A E), CON
E EUCLIDIANO DE DIMENSION FINITA.
1.- Generalidades.
1-01.- Bases adoptadas.
Consideraremos a los vectores de E como tensores de
orden uno, y representaremos por (e → i ) a una base de E tomada como
principal, y por (e →j
) a su base dual, sabiendo que se verifica:
e → ie→j →j
= e e
→ j
i = δi (símbolo de Kronecker).
Por consiguiente podemos tomar como bases de E ⊗n , las
siguientes:
(e → i⊗e → j⊗..⊗e → s ), (e→i ⊗e → j⊗..⊗e → s ), (e i⊗e →j ..⊗e →s ), etc.
1.02.- Expresiones de un tensor.
a) Todo tensor de E ⊗n puede expresarse por una combinación
lineal de productos tensoriales elementales, es decir,
correspondientes a elementos de E ×n :
r
τ
=
r r r
∑ αi(
ai
⊗ bi
⊗ .. ⊗ pi)
b) Teniendo en cuenta que cada r factores tensoriales
simples se pueden representar por un tensor de orden r, todo
tensor de orden mayor que uno, se puede representar también en
forma einsteniana de la siguiente manera:
τ → = σ → i
51
⊗ µ→i
c) La notación ordinaria einsteniana de un tensor en
función de bases duales, es:
τ → = t ij..s (e → i⊗e → j⊗..⊗e → ..s
s ) = ti
j (e
→
i⊗e →j
⊗..⊗e
→
s ) = .....
Si no se indica lo contrario tomaremos (e → i ) como base
principal y en consecuencia los coeficientes escalares se
denominan:
Contravariantes: t ij..s
Covariantes: t ij..s
Mixtos: t i ..s
j , etc.
Sólo si E es propiamente euclidiano, las bases duales
pueden ser ortonormales y entonces se verifica:
t ij..s = tij..s = t i ..s
j = ....

2.- Algebra tensorial
2.01 Operaciones fundamentales.
El conjunto E ⊗ toma la estructura de un álgebra
estableciendo las siguientes operaciones fundamentales entre sus
elementos:
11.- Multiplicación tensorial.
20.- Multiplicación contracta.
que pasamos a precisar.
2.02.- Multiplicación tensorial.
Definimos como producto tensorial de un tensor τ → ∈ E ⊗n
por un tensor σ∈ E ⊗m a un tensor τ → ⊗ σ → de E ⊗(n+m) de las características
propias de la estructura tensorial que suponemos
conocida.
Nos limitaremos ahora a recordar las siguientes:
10.- No conmutatividad: En general τ → ⊗σ → ≠ σ → ⊗τ → .
20.- Asociatividad: σ → ⊗(τ → ⊗π → )=(σ → ⊗τ → )⊗π → = σ → ⊗ τ → ⊗ π →
30.- Distributividad a derecha e izquierda:
(σ → =σ → ’+σ → ”; τ → =τ → ’+τ → ”): σ → ⊗τ → = σ → ’⊗τ → ’+ σ → ’⊗τ → ”+ σ → ”⊗τ → ’+ σ → ”⊗τ → ”
2.03.- Multiplicación contracta.
Entre los posibles, definimos como producto contracto
normal de dos tensores τ → y σ → y lo expresamos sin signo especial,
a un tensor τ → σ → , que tiene por orden el módulo de la diferencia de
órdenes de los factores, sujeto a las siguientes leyes:
10.- Conmutatividad: τ → σ → = σ → τ →
20.- Distributividad a derecha e izquierda:
(σ → =σ → ’+σ → ”; τ → =τ → ’+τ → ”): σ → τ → = σ → ’τ → ’+ σ → ’τ → ”+ σ → ”τ → ’+ σ → ”τ → ”
30.- El producto contracto entre vectores de E coincide con
el producto escalar en E.
40.- El producto contracto de dos productos tensoriales
elementales, se verifica ordenadamente del modo siguiente:
(a → 1⊗a → 2⊗...⊗a → m⊗a → m+1⊗...⊗a → n )(b→ 1⊗b → 2⊗...⊗b → m ) =
= (a → 1 b→ 1 )(a→ 2 b→ 2 )...(a→ m b→ m ) [a→ m+1 ⊗...⊗a→ n ]
Cada paréntesis () indica un producto escalar cuyos factores
son los pares de vectores situados en el mismo orden de coloca-
52

ción de izquierda a derecha de los tensores factores, hasta
agotar los vectores del tensor de menor orden.
Puede verse fácilmente que esta operación es compatible
con las propias de los espacios vectoriales de tensores.
2.04.- Notaciones einstenianas normales. Ejemplos.
Sean los tensores τ → k →i →j
=tij (e ⊗e ⊗e
→
k ); σ → =s lm (e → l⊗e → m )
11.- π → = τ → ⊗ σ → k →i →j
= tij (e ⊗e ⊗e
→
k ) ⊗ s lm (e → l⊗e → m ) =
k lm →i →j
= tij s (e ⊗e ⊗e
→
k⊗e → l⊗e → m )
klm k lm
pij = tij s
21.- ρ → = τ → σ → k →i →j
= [tij (e ⊗e ⊗e
→
k )][s lm (e → l⊗e → m )] =
k lm →i
= tij s (e e
→
l )(e →j
e
→
m )e → k =t k ij
ij s e
→
k
r k k ij
= tij s
Para este producto, las bases utilizadas para el primer
factor deben ser duales de las utilizadas para el segundo factor.
2.05.- Teoremas fundamentales de esta álgebra.
Teorema 11.- Dados tres tensores τ → , σ → y µ → construídos
sobre E, tales que el orden de τ → es igual o mayor que el de σ → , se
verifica:
(τ → σ → )µ → = (σ → ⊗ µ → )τ →
Dada la distributividad de productos tensoriales y
contractos, bastará demostrarlo para el caso de que los tres
tensores sean productos tensoriales simples. Efectivamente, para
→
σ = a
→
1⊗a → 2⊗...⊗a → r
→ →
τ = b1⊗b → 2⊗...⊗b → r⊗b → r+1⊗...⊗b → s
→
µ = c
→
1⊗c → 2⊗....⊗c → t
tendremos:
→
τ
→
σ = (a
→
1b → 1 )(a→ 2b→ 2 )...(a→ rb→ r )[b→ r+1⊗...⊗b → s ]
→
σ⊗µ
→
= a
→
1⊗a → 2⊗...⊗a → r⊗c → 1⊗c → 2⊗...⊗c → t
y por consiguiente:
(τ → σ → )µ → = (a → 1 b→ 1 )(a→ 2 b→ 2 )...(a→ r b→ r )[b→ r+1⊗...⊗b → s ][c→ 1⊗c → 2⊗....⊗c → t ]
(σ → ⊗µ → )τ → = (a → 1 b→ 1 )(a→ 2 b→ 2 )...(a→ r b→ r )[c→ 1⊗c → 2⊗....⊗c → t ][b→ r+1⊗...⊗b → s ]
Teorema 21.- Dados tres tensores σ → , τ → y µ → construídos
sobre E, tales que el orden de σ → es inferior al de τ → , se
verifica:
σ
53
→ τ → ⊗ µ → = (τ → ⊗µ → )σ →

Bastará demostrarlo para los mismos tensores de la
demostración anterior, con lo que σ → τ → tomará el valor allí
expresado. Tendremos además:
→
τ⊗µ
→ →
= b1⊗b → 2⊗...⊗b → r⊗b → r+1⊗...⊗b → s⊗c → 1⊗c → 2⊗....⊗c → t
y por consiguiente:
→
σ
→
τ⊗µ →
= (a
→
1b → 1 )(a→ 2b→ 2 )...(a→ rb→ r )[b→ r+1⊗...⊗b → s⊗c → 1⊗c → 2⊗....⊗c → t ]
(τ → ⊗µ → )σ → = (a → 1b→ 1 )(a→ 2b→ 2 )...(a→ rb→ r )[b→ r+1⊗...⊗b → s⊗c → 1⊗c → 2⊗....⊗c → t ]
Teorema 31.- Sean 4 tensores τ → , τ → ’, σ → y µ → construídos
sobre E, tales que τ → y τ → ’ son de igual orden. se verifica:
(τ → τ → ’)(σ → µ → ) = (τ → ⊗σ → )(τ → ’⊗µ → )
Pues τ → τ → ’=τ → ’τ → es un escalar, y podremos escribir:
(τ → τ → ’)(σ → µ → ) = [(τ → ’τ → )σ → ]µ →
y por el teorema 11:
(τ → τ → ’)(σ → µ → ) = [τ → ’(τ → ⊗σ → )]µ → = (τ → ⊗σ → )(τ → ’⊗µ → )
2.06.- Un coeficiente escalar de un tensor τ → de orden
s, relativo a una base tensorial compuesta por vectores de un par
de bases duales de E, es igual al producto contracto de τ → por un
producto tensorial de dichos vectores base con índices en igual
posición y orden.
Podemos demostrarlo, por ejemplo para t ij
k :
→ →i →j
τ(e
⊗e ⊗e
→
k ) = [t i'j'
k' (e→ i'⊗e → j'⊗e →k' →i →j
)](e ⊗e ⊗e
→
k ) =
= t i'j'
k' (e→ i'e→i )(e
→
j'e →j →k'
)(e e
→
k ) = t ij
k
y evidentemente la demostración es análoga para cualquier otro
coeficiente.
2.07.- Cambio de coordenadas de un tensor afín τ → al
pasar de una base {e → i } de E y su dual, a una nueva base {f→ j } y su
dual, relacionadas con las anteriores, según C'4.05, por:
f → j
= αi
je→ i ; f→k k
= βme→m i
; αjβ k
i = δ k
j = símbolo de Kronecker
Sea por ejemplo τ → = t ir
st (e→ i⊗e → r⊗e →s ⊗e →t )= t vw
gh (f→ v⊗f → w⊗f →g ⊗f →h )
t vw
gh = τ→ (f →v ⊗f →w ⊗f → g⊗f → h ) = τ→ ([β v
i e→i ][β w
r e→r ][α s
g e→ s ][αt
h e→ t ])=
= β v
iβ w
rα s
gα t
h τ→ (e →i →r
⊗e ⊗e
→
s⊗e → t ) = βv iβ w
rα s
gα t
htir st
Como β v
i ,βw
r ,αs
g
y αt
h
corresponden a matrices de cambio de
bases, que son regulares, las nuevas coordenadas son función
regular de las anteriores. Para todo tensor, se obtienen
análogamente las coordenadas nuevas de cualquier tipo a partir
de las antiguas del mismo o distinto tipo.
54

2.08.- Se demuestra que un conjunto de escalares
función de una base de E, define a un tensor de E ⊗ , si y sólo si,
con un cambio de bases, los escalares varían como si fueran los
elementos de un conjunto de coeficientes tensoriales de un mismo
tipo determinado. Entonces el conjunto de escalares coincide con
el conjunto de coeficientes del mismo tipo correspondientes a
algún tensor.
También se demuestra que un conjunto de escalares,
función de una base de E, define a un tensor π → , o sea que es el
conjunto de coeficientes de π → , de algún tipo, cuando al operar
como si así fuera para hallar los coeficientes de π → σ → ó de π → ⊗σ → ,
siendo σ → un tensor cualquiera, hallamos un conjunto de escalares
que define a un tensor.
2.09.- El producto contracto aquí definido, induce en
todos los espacios vectoriales E ⊗ de tensores afines a E, un
producto escalar que los hace euclidianos. Si E fuera propiamente
euclidiano, también lo serían los espacios vectoriales producto.
3.- Tensores y aplicaciones lineales.
3.01.- Los productos contractos de un vector v →
determinado de E ⊗(m+n) por los distintos vectores de E ⊗n , son
vectores de E ⊗m que varían linealmente con ellos. Por lo tanto
dichos productos son las imágenes de una aplicación lineal de E ⊗n
en E ⊗m representable por el vector v → .
El vector de E ⊗(m+n) correspondiente a la aplicación
lineal por la que una base {g → i } de E⊗n tiene por imagen {f → i ),
vamos a ver que es (g →j ⊗f → j ) siendo (g →j } la base dual de {g → j ). En
efecto:
(g →j ⊗f → j )g → i = (g→j g → i )f → j = f→ i
3.02.- De acuerdo con el párrafo anterior, la aplicación
lineal idéntica vendrá representada por el tensor
g →i ⊗g → i = g → i⊗g →i
referido a cualquier par de bases duales, pues por el teorema 1 y
'2.05, tenemos:
(g →i ⊗g → i )a → = (g →i a → )g → i = a i g → i
Para los vectores de E, la aplicación lineal idéntica
vendrá representada por un tensor de 21 orden:
I → = e → i⊗e →i = e →i ⊗e → i
con {e →i } y {e → i } bases duales de E.
El producto contracto de I
55
→ por un producto tensorial
(a → ⊗b → ) cualquiera de dos vectores de E, es el producto escalar de
ambos. Pues tenemos:
= a→

I → (a → ⊗b → ) = (I → a → )b → = a → b →
3-03.- Los coeficientes tensoriales de I → contravariantes
constituyen las matrices de cambio de una base a su dual y
los coeficientes tensoriales de I → covariantes forman las matrices
de cambio inverso. Los coeficientes mixtos constituyen la matriz
unidad. Pues podemos escribir:
inversas.
I → = g ij (e → i⊗e → j ) = e→ i⊗g ij e → j = e→ i⊗e →i ⇒ e →i = g ij e → j
I → = g ij (e →i ⊗e →j ) = e →i ⊗gij e →j = e →i ⊗e → i ⇒ e → i = g ij e→j
I → = g i
j (e→ i⊗e →j
)= e
→
k⊗e →k i
⇒ g j = δi
j
I → j →i
= gi (e ⊗e
→
j )= e → k⊗e →k j i
⇒ gi = δ j
56
(símbolo de Kronecker)
(símbolo de Kronecker)
En D'2.04 hemos visto que las matrices de cambio son
Las matrices covariante y contravariante de I → son las
fundamentales para las bases duales consideradas:
g ij e → i = e→j = e →j (e →i ⊗e → i ) = (e →j e →i )e → i ⇒ g ij = e →i e →j
g ij e →i = e → j = e → j (e→ i⊗e →i ) = (e → i e → j )e→i ⇒ gij = e → i e→ j
4.- Operación contracción de tensores.
La definiremos con un modelo.
Sea un producto tensorial único:
τ → =a → ⊗b → ⊗c → ⊗d → ⊗..⊗m →
La contracción de los factores 2,4, es el tensor:
τ → ’ = (b → d → )(a → ⊗c → ⊗..⊗m → )
Si el tensor viene dado en forma normal en función de
bases duales, tal como:
→ ijk
τ = t i..m (e→ i⊗e → j⊗e → k⊗e →l →m
⊗..⊗e )
el tensor contracción 2,4, será:
τ → ’ = t ijk
l..m (e→ j e→l )(e → i⊗e → k⊗..⊗e →m ) = (j=l): t ijk
j..m (e→ i⊗e → k⊗..e →m )
Deducimos de aquí, que para efectuar esta última
operación, hay que expresar previamente los dos factores
tensoriales a suprimir, en sendas bases duales.

5.- Observaciones.
Las magnitudes que se consideran en muchas partes de la
Física no relativista, son asimilables a espacios vectoriales de
tensores de orden 0, 1 ó mayor, isomorfos a los de E ⊗ , y sus
relaciones mutuas, en muchos casos, se pueden expresar sin
adoptar unidades de medida, ó sea intrínsecamente, a través de
los conceptos y métodos algebraicos aquí establecidos, y de otros
complementarios deducidos de ellos.
Estimamos que esta álgebra tensorial puede facilitar
considerablemente el estudio intrínseco de las relaciones entre
magnitudes fisicas y para su desarrollo, resulta indispensable el
dominio en la aplicabilidad de los tres teoremas fundamentales
aquí enunciados.
De entre los productos contractos entre tensores que se
pueden definir y que se usan, se ha elegido como normal el de
aplicación más general, y que estimamos suficiente para nuestros
fines.
Una vez halladas las expresiones más sencillas ó
convenientes, el cálculo numérico exige adoptar unidades de cada
magnitud y por tanto la adopción de bases vectoriales que se
correspondan debidamente entre ellas y entonces también tienen
plena aplicación la expresión de tensores por coeficientes de
notación einsteniana, expresión que en los casos sencillos se
presta a la aplicación del cálculo matricial.
Las matrices, también se pueden considerar como
tensores, por lo general de orden uno y dos, y por tanto, sus
relaciones intrínsecas también quedarán reflejadas en desarrollos
diversos del álgebra tensorial aquí presentada.
El álgebra que aquí se va a desarrollar, está dedicada
especialmente a los tensores afines a E expresados en forma
intrínseca, incluyendo entre ellos a vectores y escalares. En
cuanto a bases y coeficientes, en general intervienen solamente
para completar el estudio de los problemas o para aclarar o
confirmar resultados, de acuerdo con el objeto del texto, que es
únicamente intentar hacer ver las ventajas del método intrínseco
de cálculo tensorial aquí desarrollado.
Esta álgebra no se ha ampliado a los elementos de
espacios construídos sobre espacios vectoriales hermíticos, por
la dificultad derivada de que, ya en los casos más sencillos, el
producto hermítico de vectores no es en ellos conmutativo.
El texto que antecede, no tiene otro objeto que
recordar las bases previas relativas a los espacios vectoriales,
que es conveniente conocer, para la correcta aplicación del
álgebra tensorial a espacios vectoriales afines euclidianos
(propiamente ó no) . Dejamos a posterior consideración su posible
aplicación a espacios prehilbertianos
57