CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO EN ESPACIOS EUCLIDIANOS

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
CALCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO
EN ESPACIOS EUCLIDIANOS
En los aledaños de la Relatividad General
Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) y un estudiante suyo, Tullio Levi-Civitta
(1873-1941), fueron los pioneros en el desarrollo del calculo tensorial, que recibió
el empuje definitivo al convertirse en la herramienta matemática clave que
permitiría a Albert Einstein una exposición coherente de la Relatividad General,
estableciendo la transformación de sistemas referenciales mediante diferenciación
absoluta de magnitudes vectoriales y tensoriales.
Ambos publicaron en 1901 El Cálculo diferencial absoluto (“Méthodes de calcul
diférentiel absolu et leurs applications”, Mathematische Annalen 54, 125-201
(1901)), su obra más famosa, que está hoy traducida a diversos idiomas y es uno
de los textos clásicos de referencia del cálculo tensorial, más de un siglo después
de su primera publicación.
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 1

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
01. INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS EUCLIDIANOS
01.1. Definición de espacio euclidiano real:
Un espacio afín, o puntual, real n-dimensional, que podemos denotar por εn, es una
terna ε n = ( ε,
Vn ( R),
f ) en donde ε es un conjunto cuyos elementos llamaremos
puntos del espacio afin, Vn (R)
es un espacio real n-dimensional y f es una
aplicación del conjunto producto εxε en Vn (R)
que cumple las condiciones:
r
r
- ∀ A∈ ε , ∀x
∈Vn
( R),
∃B&
∈ε
/ f ( A,
B)
= x
- ∀A , B,
C ∈ε
, f ( A,
C)
= f ( A,
B)
+ F(
B,
C)
r
- f ( A,
B)
= 0 ⇒ A = B
Si el espacio vectorial asociado Vn (R)
asociado se denomina Recta Afín.
Si el espacio vectorial asociado Vn (R)
asociado se denomina Plano Afín.
es unidimensional, el espacio puntual afín
es bidimensional, el espacio puntual afín
Si el espacio vectorial asociado Vn (R)
es tridimensional, el espacio puntual afín
asociado se denomina Espacio Afín Tridimensional.
Un espacio vectorial Vn (R)
es euclidiano si esta dotado de un producto interior, esto
es, de una aplicación pi : Vn
( R)
xVn
( R)
→ R que verifica las condiciones cinco
condiciones siguientes.
a) Propiedad de conmutatividad:
r r
r r r r
∀ ( , y)
∈V
( R),
p ( x,
y)
= p ( y,
x)
x n i
i
b) Propiedad de distributividad respecto a la suma:
r r r
r r r r r r r
∀ ( , y,
z)
∈V
( R),
p ( x,
y + z)
= p ( x,
y)
+ p ( x,
z)
x n i
i
i
c) Propiedad de asociatividad mixta:
r r
r r r r r r r r
∀ ( , y)
∈V
( R),
∀α
∈ R,
p ( x,
y)
= p ( y,
αx)
= p ( αy,
x)
= αp
( y,
x)
x n
i
i
i
i
d) Propiedad de definición positiva:
r
r r
∀ ∈V
( R),
p ( x,
x)
≥ 0
x n i
e) Propiedad de no degeneración:
r r r r
p ( x,
x)
= 0 ⇒ x = 0
Si i
Un Espacio Puntual Euclidiano n dimensional es un espacio afín asociado a un
espacio vectorial euclidiano n dimensional.
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 2

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Por simplicidad representaremos con un paréntesis al producto interior de dos
x y
r r r r
, significa “producto interior de los vectores x e y ”.
vectores: ( )
01.2. Sistemas de referencia:
Un sistema de referencia afín está constituido por un punto del espacio puntual
euclidiano, que se llama origen del sistema de referencia, y una base del espacio
r r r
vectorial asociad { e1
,..., en}
= { ei}
. n
Sistema de referencia de origen en el punto O: ( ; { e } )
Se llama vector de posición de un punto X del espacio con respecto al sistema de
referencia ( o { ei}
) n
r
; , al vector x r de origen el origen O del sistema y extremo el
punto X:
r 1 r
n r ir
OX = x = x . e1
+ ... + x . en
= x ei
1 n
los números x ,..., x son las coordenadas del vector x r en la base { ei} n
r
.
Tres propiedades inmediatas:
a) ∀ X ∈ε
, OX = −XO
b)
c)
∀ X , Y ∈ε
, OX = OY + YX
r r r
Si OX = 0 ⇒ x = 0
Para cada punto del espacio εn existe un conjunto distinto de n números reales,
1 n
x ,..., x , que son las n coordenadas del punto con respecto a un sistema referencial
fijo dado ( o { ei}
) n
r
; . Tal conjunto se denominan coordenadas curvilíneas del punto X
o e
r
; .
en el sistema ( { } )
i
n
Cada punto X del espacio tiene, por consiguiente, un conjunto de n coordenadas
curvilíneas diferente en cada sistema referencia ( o { ei}
) n
r
i i k
; . Las funciones x = x ( x'
)
que ligan a dos conjuntos de coordenadas del mismo punto X en dos sistemas
referenciales distintos ( o { ei}
) n
r
; y ( o; { e'k
} ) n
r
del mismo origen, se denominan
relaciones de Jacobi.
1 n
Al variar el punto X en el tiempo, varía también el conjunto x ,..., x de sus
coordenadas en un sistema referencial dado ( o { ei}
) n
r
; . La ley de variación puede ser
empírica o bien puede ser una función matemática de un parámetro t.
Supondremos en lo que sigue que las funciones x i = x i (t) que expresan la variación
de las coordenadas de un punto X en el tiempo son funciones siempre
diferenciables.
El campo vectorial definido por t es el conjunto de los puntos de εn que definen el
campo de existencia de las funciones x i = x i (t).
Un elemento diferencial de vector OX expresado en el sistema referencial fijo
( o { ei}
) n
r
; es el vector cuyas coordenadas en dicho sistema son las diferenciales de
las funciones coordenadas de OX en tal sistema referencial.
o r
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 3
i
n

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r 1r
n r i r
dOX = dx
= dx e + ... + dx e = dx e
01.3. Producto interior de vectores. Matriz de Gramm:
Producto interior:
r i r
dx
= dx ei
⎪⎫
r ⇒ j r ⎬
dx
= dx e j ⎪⎭
r
r
i j
i j
( dx,
dy)
= dx dx ( ei
, e j ) = dx dx g ij
r r i j
es decir, en forma diferencial, se tiene que ( d x,
dy)
= dx dx gij
r r
i j
en forma integral, será: ( x , y)
= g x x
la matriz ( g )
Módulo y norma:
ij
n
⎛ g11
⎜
⎜ g 21
= ⎜ ...
⎜
⎝ g n1
g
g
g
En forma integral:
12
22
...
n2
...
...
...
...
ij
g1n
⎞
⎟
g 2n
⎟
... ⎟
⎟
g ⎟
nn ⎠
r
r r r
x = ( x,
x)
= +
r r r
i j
En forma diferencial: d x = ( dx,
dx)
= + g dx dx
1
r
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 4
n
i
se llama Matriz de Gramm en la base { ek } n
r
g
ij
x
i
x
j
ij
r r 2
N ( x)
= x = g
ij
x
i
r r 2
i
N ( dx)
= dx
= g dx dx
Componentes contravariantes y covariantes de un vector en una base:
r k r
k
Si es x = x ek
, se dice que los escalares x son las componentes contravariantes
del vector x r en la base { ek } n
r
r r
. Los productos internos xk
= ( x,
ek
) se llaman
componentes covariantes del vector x r en la base { ek } n
r
.
Relación entre las componentes covariantes y contravariantes:
r r r r r r
x = ) =
j
por tanto: x k = x g jk , o bien: x .
k
j
j
j
( x,
e ) = ( x e , e ) = x ( e , e x g jk
k
j
k
j
k
j
jk
= xk
g ((g jk ) matriz inversa de (gjk)).
El producto interior se puede expresar, usando componentes covariantes, por:
r r
,
Puntos infinitamente próximos:
i k
hi jk
hk h
( x y)
= x x g = x g x g g = x x g = x x
ik
h
k
Dos puntos, x1 y x2, son infinitamente próximos si definen un vector diferencial, es
r k r
decir, si el vector que va de un punto a otro es infinitesimal: x1
x2
= dx
= dx ek
.
ik
h
k
h
x
j
ij
j

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Elemento diferencial de longitud:
Es la distancia entre dos puntos infinitamente próximos:
r r r
ds = d(
x , x ) = x − x = dx
= +
Derivada y diferencial del producto interior:
Veamos la derivada respecto al tiempo t:
d
dt
r
r
d
1
2
1
dx
i
2
i j
g dx dx
i j
j i
( x,
y)
= gijx
y = gij
y + gijx
= ⎜ , y⎟
+ ⎜ x,
⎟
dt
dt dt dt dt ⎠
dy
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 5
j
ij
r
⎛ dx
⎝
r⎞
⎠
r
⎛ r dy
⎞
⎝
Análogamente obtenemos la diferencial total: d(
x,
y)
= ( dx,
y)
+ ( x,
dy)
r
r
∂ r r ⎛ ∂x
r⎞
⎛ r ∂y
⎞
Y la diferencial parcial: ( x,
y)
= ⎜ , y⎟
+
k
k ⎜ x,
k ⎟
∂x'
⎝ ∂x'
⎠ ⎝ ∂x'
⎠
Ejemplo:
La matriz de Gramm en una cierta base { k}
3
sional es
Se pide:
( g )
ik
⎛1
⎜
= ⎜3
⎜
⎝2
e r
3
2
−1
r
r
r
r
r
de un espacio euclidiano tridimen-
2 ⎞
⎟
−1⎟
1 ⎟
⎠
a) Hallar la matriz inversa de la matriz de Gramm.
b) Encontrar las componentes covariantes del vector x r cuyas componentes
1 2 3
contravariantes vienen dadas por ( x , x , x ) = ( 3,
5,
1)
.
c) Encontrar las componentes contravariantes del vector y r cuyas componentes
covariantes son ( y 1 , y2,
y3)
= ( 29,
9,
6)
.
d) Hallar el producto interior de ambos vectores, x r e y r , usando las componentes
contravariantes.
e) Hallar el producto interior de ambos vectores x r e y r , usando las componentes
covariantes.
f) Hallar el producto interior de ambos vectores x r e y r , usando el producto de
las componentes contravariantes por las componentes covariantes.
Resolución:
[ ]
1 t
ik
g
ik
a) ( g
) = ( g )
+
= −
⎛ 1
1 ⎜
⎜ − 5
28 ⎜
⎝−
7
− 5
− 3
7
⎛ 1
⎜−
− 7⎞
⎜ 28
⎟
⎟ = ⎜ 5
7
⎟
⎜ 28
− 7⎠
⎜ 7
⎜
⎝ 28
5
28
3
28
7
−
28
7 ⎞
⎟
28 ⎟
7
− ⎟
28 ⎟
7 ⎟
⎟
28 ⎠
r

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
⎛1
⎜
⎜
⎜
⎝2
i
b) = x g ⇒ ( x x , x ) = ( 3,
5,
1)
3 2 −1
= ( 20,
18,
2)
xk ik
1 , 2 3
3
−1
2 ⎞
⎟
⎟
1 ⎟
⎠
5
28
3
28
7
−
28
7 ⎞
⎟
28 ⎟
7
− ⎟
28 ⎟
7 ⎟
⎟
28 ⎠
k ik 1 2 3
c) ( ) ( ) = ( 2,
5,
7)
y
= y g ⇒ y , y , y
i
⎛ 1
⎜−
⎜ 28
5
= 29,
9,
6 ⎜
⎜ 28
⎜ 7
⎜
⎝ 28
x, = ik ⇒
⎛1
⎜
3,
5,
1 ⎜3
⎜
⎝2
3
2
−1
2 ⎞⎛2
⎞
⎟⎜
⎟
−1⎟⎜
⎟ =
1 ⎟⎜7
⎟
⎠⎝
⎠
r r
x, y
ik
= xi
yk
g ⇒
⎛ 1
⎜−
⎜ 28
5
20,
18,
2 ⎜
⎜ 28
⎜ 7
⎜
⎝ 28
5
28
3
28
7
−
28
7 ⎞
⎟
28 ⎟⎛29⎞
7 ⎟
⎜ ⎟
− ⎜ 9 ⎟ =
28 ⎟
⎜
7 ⎟ 6 ⎟
⎝ ⎠
⎟
28 ⎠
r r
x, y
⎧ ⎛29⎞
⎪ ⎜ ⎟
⎪
( 3,
5,
1).
⎜ 9 ⎟ = 144
⎪ ⎜ ⎟
i k
⎝ 6
= x = ⇒
⎠
i y x yk
⎨
⎪ ⎛20⎞
⎜ ⎟
⎪(
2,
5,
7).
⎜18
⎟ = 144
⎪
⎜ ⎟
⎩ ⎝ 2 ⎠
r r
i k
d) ( y)
x y g ( ) 5 144
e) ( ) ( ) 144
f) ( )
01.4. Cambio de base del sistema de referencia:
Cambio de la base en un sistema de referencia puntual:
O k n
r
encontremos la matriz de paso de una base a la otra:
r k r r k r
x = x e ⎫ = ⎫
k dx
dx ek
Sea un vector expresado en ambas bases: r ⎬ ⇒
i r ' r i r ' ⎬
x = x'
ei
⎭ dx
= dx'
ei
⎭
Dados dos sistemas de referencia fijos con un mismo origen ( { e } )
, , ( O { e } ) '
, r
r k r
Se tiene, por tanto, que: dx
= dx ek
se tiene:
k
∂x
i r
= dx'
e i k
∂x'
i r
= dx'
ei
, por lo cual, al identificar,
r '
ei
k
∂x
r
=
e i k
∂x'
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 6
i
n

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
La matriz
k
x
J n i
x
⎟ ⎛ ∂ ⎞
= ⎜
⎝ ∂ ' ⎠
n
se llama Matriz de Jacobi del cambio de base.
Ejemplo de cambio de base en el sistema tridimensional:
1 ⎛ ∂x
r ⎜
'
'1
⎛ e ⎞ ⎜ ∂x
1 ⎜ ⎟ 1
r ' ⎜ ∂x
⎜e2
⎟ = ⎜ '2
⎜ r'
⎟ ∂x
⎜ 1
⎝
e3
⎠ ⎜
∂x
⎜ '3
⎝ ∂x
∂x
'
∂x
∂x
'
∂x
∂x
'
∂x
2
1
2
2
2
3
3
∂x
⎞
⎟ '1
∂x
r
⎟ ⎛ e ⎞
3 1
∂x
⎟ ⎜ r ⎟
⎟.
⎜e
'2
2 ⎟
∂x
3 ⎟ ⎜ r ⎟
∂x
⎟
⎝e3
⎠
'3
∂x
⎟
⎠
( , ) r r
Esto nos indica que fijado el sistema referencial O { e'
}
k n , para cada vector x r
expresado en dicho sistema, puede definirse una nueva base por
⎧⎛
⎨ ⎜
⎩⎝
∂x'
⎞
⎟
⎠
i
∂x r
⎟.
e k i
Y cuando el punto origen se toma como el mismo vector x r , entonces el sistema
referencial
⎛
i ⎞
⎜ r ⎧⎛
∂x
⎞ r ⎫
x,
⎟
⎜
⎨ ⎜
⎟
⎟.
e k i ⎬
⎟
⎝ ⎩⎝
∂x'
⎠ ⎭n
⎠
se denomina Sistema natural de referencia en x r , con relación a la base O, { e'
}
r r
⎫
⎬
⎭
n
( )
Ejemplo de determinación de la matriz de Jacobi para el caso de un vector x r , que
expresado en las bases { e'k
} n
r
y { ei} n
r
es:
r
x
r
k
= x'
e'k
i r
= x e
estando las componentes contravariantes en ambas bases sujetas a las relaciones:
Se tiene:
1 ⎛ ∂x
⎞
⎜ = 1
'
⎟
⎝ ∂x
⎠
⎛ ∂x
⎜
⎝ ∂x'
1
⎛ ∂x
⎜
⎝ ∂x'
2
1
3
⎞
⎟ =
⎠
7,
0,
⎞
⎟ = 1,
⎠
x
x
x
1
2
3
=
=
=
⎛ ∂x
⎜
⎝ ∂x'
⎛ ∂x
⎜
⎝ ∂x'
1
7x'
+ x'
x'
2
2 ⎛ ∂x
⎞
⎜ = 1
'
⎟
⎝ ∂x
⎠
3
3 1
2x'
+ 5x'
+ x'
2
2
3
2
0,
⎞
⎟ = 1,
⎠
⎞
⎟ =
⎠
0,
i
2
3 ⎛ ∂x
⎞
⎜ = 1
'
⎟
⎝ ∂x
⎠
⎛ ∂x
⎜
⎝ ∂x'
⎛ ∂x
⎜
⎝ ∂x'
⎞
⎟ = 1,
⎠
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 7
3
3
2
3
⎞
⎟ =
⎠
5,
2,
k
n
.

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
por tanto:
⎛7
⎛ ∂ ⎞ ⎜
⎜
⎟ = ⎜0
⎝ ∂ ' ⎠ ⎜
⎝1
k
i
x
J
x
Ejemplo de determinación de la relación entre las componentes contravariantes de
un vector cuando se conoce la matriz de Jacobi de la transformación:
Este ejemplo es el inverso del anterior. Usemos los mismos datos. Dados dos
O e
r
O e
'
, r
, sea:
0
1
0
5⎞
⎟
1⎟
2⎟
⎠
sistemas de referencia fijos con un mismo origen ( { } )
por tanto,
r
r
r
, , ( { } )
k i
k i i i k
x = x'
e'k
= x ei
⇒ x'
. Ak
. ei
= x ei
⇒ x = x'
.
⎛7
⎜
1 2 3 1 2 3
( x , x , x ) = ( x'
, x'
, x'
). ⎜0
⎜
⎝1
0
1
0
r
5⎞
⎧x
⎟ ⎪
1⎟
⇒ ⎨x
2⎟
⎪
⎠ ⎩x
1
2
3
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 8
=
=
=
k
n
A
i
k
1
7x'
+ x'
x'
2
3
i
n
3 1 2
2x'
+ 5x'
+ x'
Fijado un sistema natural de referencia en x r , se tiene que si varía el vector x r
también variará el sistema de referencia natural. La expresión matemática de esta
variación para un cambio infinitesimal del vector x r se denomina Transformación
de Christoffel.
r
r
( x,
{ e } ) → ( x + dx;
{ e + de
} )
01.5. La transformación de Christoffel:
i
n
r
Como ya se ha indicado antes, se puede definir para cada punto X del espacio
puntual euclidiano, con vector de posición x r , un sistema de referencia de origen en
X y base cuyos vectores dependan de las coordenadas de x r en un sistema de
referencia fijo.
r r r r
Sistema natural en X: ( x ( x ), { e ( x ) } )
k
n
Al variar las coordenadas del punto X varía obviamente el punto origen del sistema
y también los vectores de la base:
o sea:
r
r
( x,
{ e } ) → ( x + dx;
{ e + de
} )
i
r ir
∂x
'k
r
dx
= dx ei
= dx e ' k i
∂x
i
n
r
r
de
r
r
m
r
r
i
i
r
∂e
=
∂x
m
'k
r
r
i
i
dx
n
n
'k
= Γ
i
mk
r
e . dx
i
'k

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
i
r ∂x
'k
r
dx
= dx e 'k
i
∂x
r i r 'k
dem
= Γmkei
. dx
Donde hemos llamado
i
∂em Γ mk a las coordenadas del vector
'k
∂x
r
en la base { ei } n
r
.
Tales símbolos se denominan Símbolos de Christoffel de 2ª especie o de 2ª clase, y
i i
tienen la propiedad de simetría respecto de los subíndices k y m ( Γ mk = Γkm
) .
X e
r r
; cuando se produce
( )
En resumen, la transformación del sistema natural { }
una variación infinitesimal de X r es
i
r r ⎛⎛
⎞
i ∂x
'k
⎞r
r m k r
= ( ) → ⎜
{ } ⎟
⎜ ⎜ + ⎟
i i x dx ei
; ei
+ Τ
n
k
ik dx e
'
m n ⎟
⎝⎝
∂x
⎠
⎠
r r
'
i n
i
( x;
{ e } ) x e ; { e }
(Transformación de Christoffel)
La transformación de Christoffel en función de la métrica del espacio:
Sea G=(gij)n la matriz métrica de Gramm respecto de la base { ei} n
r r r
, gij
= ( ei
, e j ) . Su
derivación parcial nos da:
r
r
∂g ij ∂
⎛ ∂e
⎞
r
= m m
m
m
∂x'
∂x'
x ⎜ x ⎟
⎝ ∂ ' ⎠ ⎝ ∂ ' ⎠
o sea:
∂g
ij
= Γ m
∂x'
h
im
r r ⎛ ∂ei
r ⎞ r j h r r r k
h
k
( ei
, e j ) = ⎜ , e j ⎟ + ⎜ei
, ⎟ = ( Γimeh
, e j ) + ( ei
, Γ jmek
) = Γim
g hj + Γ jm g ik
g
hj
+ Γ
k
jm
g
ik
∂gij
h
k
, o bien, por ser G matriz simétrica: = Γ m img
jh + Γjmg
ik
∂x'
∂g
h
k
ij
llamando ( im,
j)
= Γimg
jh,
( jm,
i)
= Γjmg
ik , ∂ mg
ij = se puede escribir:
m
∂x'
∂
m gij = ( im,
j)
+ ( jm,
i)
(Identidad de Ricci)
Los símbolos ( im , j)
se denominan símbolos de Christoffel de 1ª especie o de 1ª
clase.
Variando los subíndices en esta identidad, se tiene:
∂
∂
∂
m gij i g mj
j gim = ( im,
j)
+ ( jm,
i)
= ( mi,
j)
+ ( ji,
m)
= ( ij,
m)
+ ( mj,
i)
y de aquí, se tiene que: ( im, j)
= ∂i
gmj
+ ∂m
gij
− ∂ jg
im .
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 9
i
n

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
Esto nos permite escribir la transformación de Christoffel en función de los símbolos
de primera especie, o bien, en función de la métrica del espacio:
i
r r ⎛⎛
⎞
i
( ) ⎜
∂x
'k
⎞r
r
im k r
= →
{ } ⎟
i i ⎜ ⎜ x + dx ⎟
⎟ei;
ei
+ ( ik,
j).
g . dx e
n
' k
m n ⎟
⎝⎝
∂x
⎠
⎠
r r
'
i n
i
( x;
{ e } ) x e ; { e }
i
( x;
{ e } ) = x e ; { e }
⎛
⎜⎜
⎝⎝
i
r r ⎛ i ∂x
'k
⎞r
r
im k r
( ) → ⎜⎜
x + dx ⎟e
; { e + ( ∂ g + ∂ g − ∂ g ). g . dx e } ⎟
r r
'
i n i i n
k i i i kj i ij j ik
'
∂x
⎟
⎠
01.6 Carácter tensorial de los símbolos que aparecen en la transformación
de Christoffell:
Puesto que las relaciones tensoriales se verifican siempre, independientemente del
sistema de coordenadas elegido, resulta útil establecer el carácter tensorial de las
magnitudes que utilizamos. En particular resulta conveniente establecer si son o no
tensores los símbolos que aparecen en la transformación, a saber la matriz de
Gramm, el símbolo de 2ª especie de Christoffel y el símbolo de 1ª especie de
Christoffel.
Podemos identificar el carácter tensorial de una magnitud de varios índices por la
i
forma en que varía en un cambio del sistema de referencia. Así, si es Ak la matriz
del cambio de base de { ei} n
r a { e'k
} n
r
k
, y B i la matriz del cambio de base de { e'k
} n
r
a
{ ei} n
r
:
i
k
r i r ∂x
r
r k ∂x'
r
e' k = Akei
= ei,
k = 1,...,
n
ei
= Bi
e'k
= e'k
, i = 1,...,
n
k
i
∂x'
∂x'
entonces, una magnitud t tendrá carácter tensorial si su expresión t’ en el nuevo
sistema de referencia { e'k
} n
r
viene relacionada con su expresión en el sistema { ei} n
r
por la relación
i1...
iq k1
kp i1
iq h1...
hq
t'
= A ... A . B ... B . t
Donde las
i
A k y
j1
... jp
j1
jp
h1
k
B i son las matrices indicadas antes.
hq
k1...
kp
Tal tensor t se diría que es de orden covariante p y de orden contravariante q.
- Carácter tensorial de la matriz de Gramm:
Sea
En un cambio de base:
i r j r r r i j
i j
( x'
e'
, y'
e'
) = ( e'
, e'
) x'
y'
g'
x'
y
r r
( x, y)
=
= '
i
j
i r j r k r hr
i j k h i j
( x'
e'
, y'
e'
) = ( A e , A e ) x'
y'
A A g x'
y
r r
( x, y)
=
=
'
Por tanto, al identificar:
i
j
i
k
j
i
h
j
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 10
i
ij
j
kh
m
n
⎞
⎠

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
En definitiva:
i j k h i j
g ' ij x'
y'
= Ai
Aj
gkhx'
y'
⇒ g'ij
=
g ' = A
ij
Lo que nos indica que se trata de un tensor 2-covariante (o tensor covariante de
orden 2)
- Carácter tensorial del símbolo de Christoffel de 2ª especie:
r
r
r
r r ∂e'
p ∂ ∂A
∂A
Γ' pq.
e'r
= = q q p k q k p q q k p s q
∂x'
∂x'
∂x'
∂x'
∂x'
∂x
∂x'
k
r k
k
∂Ap
r k s ∂e
∂A
k p r k s u r ∂Ap
r k s u r r
= e q k + Ap
Aq
= e
s q k + Ap
AqΓ
kseu
= e q k + Ap
AqΓ
ksBu
e'r
∂x'
∂x
∂x'
∂x'
en definitiva:
k
i
A
h
j
g
kh
k
k
s
k r p r k ∂ek
p r k ∂ek
∂x
( A e ) = e + A = e + A =
Γ '
r
pq
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 11
A
k
i
k
r ∂Ap
r k s r u r
. e'r = e q k + Ap
Aq
Bu
Γkse'
∂x'
por lo cual estos símbolos no tienen en general carácter tensorial. Solamente
tendrían carácter de tensores si fuera nulo el primer sumando de la expresión
anterior, o sea si:
∂A
k
p
q
∂x'
∂
=
∂x'
q
⎛ ∂x
⎜
⎝ ∂x'
k
p
⎞
⎟ = 0
⎠
es decir, solo si las relaciones entre las coordenadas del cambio de base son
lineales, entonces estos símbolos son tensores 2-covariante 1-contravariante:
Γ
r
pq
= A A B Γ
- Carácter tensorial del símbolo de Christoffel de 1ª especie:
h
Puesto que es im jh g j im Γ = ) , ( , tales símbolos serán tensores si se verifica la
condición antes indicada de linealidad de las relaciones entre las coordenadas que
definen el cambio de base.
k
p
s
q
r
u
u
ks
r
A
h
j
g
kh

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
02. DIFERENCIACIÓN ABSOLUTA
02.1. Definición. Derivación covariante absoluta:
r r ⎛
⎞
Dado un sistema natural de referencia ( ) ⎜
r ⎧ ∂x
⎫ i r
x,
e ≡
⎟
k x;
⎜ ⎨ ei
⎬ , si, cuando el sistema
⎟
⎝ ⎩∂x'k
⎭n
⎠
sufre la transformación de Christoffel, expresamos la variación diferencial del vector
x r en función de los vectores de la base { ek } n
r
:
r
dx
= Dx
k
Diremos que las componentes Dx del vector dx r en dicha base son las diferenciales
absolutas de las componentes contravariantes del vector.
Análogamente, si consideramos las componentes covariantes del vector x r , dadas
r r
por xk
= ( x,
ek
) y expresamos la diferencial del vector en la base dada por sus
componentes covariantes:
r
k
. ek
r r
dx
= Dx
diremos que las componentes Dxi del vector dx r en dicha base son las diferenciales
absolutas de sus componentes covariantes.
- Obtención de la diferencial absoluta de las componentes contravariantes:
r
r k r k r k r k r k ∂ek
dx
= d(
x ek
) = dx . ek
+ x dek
= dx . ek
+ x j
∂x'
j k r
dx'
= dx . ek
k r j r
+ x Γkjdx'
er
r r r
por tanto, se puede escribir: dx
= dx . er
k r j r
+ x Γkjdx'
er
r k r j
r r
= ( dx + x Γkjdx'
) . er
= Dx . er
y obtenemos, finalmente:
i. ei
r r k r j
Dx = dx + x .Γkj.
dx'
- Obtención de la diferencial absoluta de las componentes covariantes:
r
r r r r r r ⎛ r ∂ek
Dxk
= ( dx,
ek
) = d(
x,
ek
) − ( x,
dek
) = dxk
− ⎜ x,
j
⎝ ∂x'
O sea:
j ⎞
dx'
⎟ = dxk
⎠
− kj r k kj
r
Derivación covariante absoluta:
- De las componentes contravariantes:
Dx = dx − x .Γ . dx'
k
k
r
r r j r
r j r r
( x,
Γ dx'
e ) = dx − Γ dx'
( x,
e )
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 12
r
kj
j

⎛ ∂x
= ⎜
⎝ ∂x'
CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
r r r r r k j r
dx
= Dx . e = dx . e + x Γ dx'
e =
r
j
r
k
+ x Γ
r
kj
r
⎞
⎟
⎟.
dx'
⎠
j
e
r
r
kj
r j r
= D x . dx'
e
j
r
r k r j
( dx + x Γ dx'
) .
r
kj
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 13
e
r
⎛ ∂x
= ⎜
⎝ ∂x'
r
j
j k r j ⎞
dx'
+ x Γkjdx'
⎟
⎟.
er
=
⎠
r
r j
Por tanto: Dx = D j x . dx . Llamaremos Derivada Covariante Absoluta de las
componentes contravariantes del vector a la expresión:
- De las componentes covariantes:
r r r
j r
dx
= Dx . e = dx . e − x Γ dx'
e =
⎛ ∂x
= ⎜
⎝ ∂x'
k
j
k
k
− x Γ
r
r
kj
k
⎞
⎟.
dx'
⎠
k
j
e
r
r
r
kj
j r
= D x . dx'
e
j
k
∂x
∂x'
r
D j x =
r
j
k r
+ x Γkj
r
r j
( dx − x Γ dx'
) .
r
k
r
kj
e
r
⎛ ∂x
= ⎜
⎝ ∂x'
k
j
j r j ⎞
dx'
−x
rΓkjdx'
⎟.
er
=
⎠
j
Y se tiene, de forma análoga: Dxk = D j xk
. dx'
. Se llama entonces, Derivada
Covariante Absoluta de las componentes covariantes de un vector a la expresión:
∂xk
D j xk
= − x j rΓ
∂x'
Algunas expresiones con diferenciales absolutas:
El producto interior:
Módulo:
k r j r k j r r
k j
( Dx ek
, Dy e j ) = Dx Dy ( ek
, e j Dx Dy gkj
r r
( d x,
dy)
= ) =
r
r
k j
k s k p j r j q
( d x,
dy)
= Dx Dy gkj
= ( dx + x . Γsp.
dx )( . dy + y . Γrq.
dy ) gkj
r
r
kj
k s k p j r j q
( dx + x . Γsp.
dx )( . dx + x . Γrq
dx ) gkj
k j
d x = + Dx Dx gkj
=
.

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
02.2. Derivación covariante absoluta de expresiones tensoriales. El
procedimiento del Campo Uniforme.
Para derivar un tensor de cualquier orden es muy útil el llamado procedimiento del
campo uniforme que consiste en multiplicar el tensor por las componentes de un
campo vectorial cuyas diferenciales absolutas sean nulas, lo cual simplificaría las
expresiones de derivación del indicado producto. Mediante identificación es posible
eliminar finalmente el campo uniforme utilizado como método auxiliar y despejar la
derivada absoluta buscada.
Supongamos que queremos derivar el tensor
1
p
φ = u
donde las uα uα
,...,
β
y las v ,..., v
Es decir:
Du
Dv
k
h
Du
= dv
β
α
1
... u
α
p
v
β
1
α
β
t
... v
α
1...
p
1...
β q
β
q
α
β
t
.Construimos una función φ :
1...
p
1...
β q
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 14
α
1 q
verifican que la diferencial absoluta es nula:
α
k
h
1
= ... = Du
= du − u Γ
s
p
+ v Γ
s
kj
h
pj
du
dv
esto nos permite diferenciar la función φ :
dφ
= D
= u
α
1
... u
α
j
j
p
= Dv
β
1
= 0 ⇒ du
= 0 ⇒ dv
= ... = Dv
k
h
= u Γ
= −
β βq
α ... α p
β
1
1
β1
q
( u ... u v ... v t ) = D(
u ... u v ... v ) t
α
α
p
1
v
β
1
α
p
... v
β
q
Dt
α1...
α
β ... β
1
β ... β
Es decir, tenemos, por una parte que
p
q
1
q
dφ
= u
α
1
α
1
... u
α
α
p
p
v
β
1
... v
β
q
Dt
β
q
du
s j
s kj
p h
v Γpj
α1...
α
β ... β
1
α1...
α
β ... β
1
p
q
p
q
= 0
dv
+ u
α
1
j
... u
[] 1
α
p
v
β
1
... v
β
q
Dt
α1...
α
β ... β
Si por otra parte podemos despejar también d φ usando las expresiones [1] de la
forma siguiente, aun conteniendo algunos parámetros, par1, par2, ...:
dφ
= u
podemos ahora identificar:
α
1
... u
α
p
v
α ... α
β ... β
β
1
... v
β1
q 1 p
dφ
= u ... u v ... v Dt = u
α
1
α
p
β
1
q
β
α
q
1
f ( t
... u
α1
... α p
β ... β
α
1
p
v
β
q
1
, par1,
par2,...)
... v
β
q
f ( t
α1
... α p
β ... β
y de aquí, despejar la diferencial absoluta buscada para el tensor:
Dt
α1...
α p
β ... β =
1
q
f ( t
α1...
α p
β ... β
1
q
, par1,
par2,...)
1
q
, par1,
par2,...)
1
p
q
=

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
02.3. Ejemplos de uso del procedimiento del campo uniforme:
02.3.1. Derivada absoluta covariante de un tensor de primer orden covariante:
Supongamos un campo uniforme de componentes ( ),
s k u x k=1,...n, s=1,...n. Se
tiene:
por ser ( )
s k u x uniforme, es
φ = u
dφ
= u
v
k
k
k
Dv
k
k k i k j
k i k
Du = du + u Γij
dx = 0 ⇒ du = −u
Γij
por tanto, al diferenciar la función auxiliar φ se tiene:
( ) ( ) j q
i k j k
p q j p
p
− u Γ dx v + u dv = −u
v Γ dx + u dv = u dv − v dx
k k
dφ = du vk
+ u dvk
= ij k
k
q pj
p
p qΓpj
p
p
q j
q j
y al identificar: dφ = u Dv = u ( dv − v Γ dx ) ⇒ Dv = dv − v Γ dx
y la derivada covariante absoluta es:
p
p
j
p
q
pj
D v = ∂ v − v Γ
02.3.2. Derivada absoluta covariante de un tensor de primer orden contravariante:
Supongamos ahora un campo uniforme de componentes ( ),
s
u k x k=1,...n, s=1,...n.
Se tiene:
por ser ( )
s
u uniforme, es
k x
diferenciamos la función auxiliar φ :
j
k
p
k
φ = ukv
dφ
= u Dv
k
q
q
pj
i j
i
Duk = duk
− uiΓkjdx
= 0 ⇒ duk
= uiΓkj
i j k
k q p j
p
( u Γ dx ) v + u dv = u v Γ dx u dv
k
k
d φ = dukv
+ ukdv
= i kj
k
p qj +
p p p q p j
p p q p j
y al identificar: dφ = u Dv = u ( dv + v Γ dx ) ⇒ Dv = dv + v Γ dx
y la derivada covariante absoluta es:
p
qj
p p q p
D jv
= ∂ jv
+ v Γqj
02.3.3. Derivada absoluta covariante de un tensor de segundo orden contravariante:
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 15
p
p
p
q
pj
dx
qj
dx
j
j

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
s s
Consideraremos los campos uniformes u k ( x ), vk
( x ) k=1,...,n, s=1,...,n. Se
tiene:
ij
φ = uiv
jt
ij
d = u v Dt
s s
por ser u ( x ), v ( x ) uniformes, es
k
k
diferenciamos la función auxiliar φ :
dφ
= u v dt
= u v dt
i
= u
p
j
v
q
i
ij
j
ij
+ u dv t
i
r
i
+ u v Γ
r
jk
pq pj q k iq p k
( dt + t Γ dx + t Γ dx )
identificamos:
jk
j
ij
k
dx t
+ du v t
ij
i
r
j
j
ik
ij
k
+ u v Γ dx t
r
ik
i
j
ij
φ
= u v dt
i
j
i j
i
duk = uiΓkjdx
, dvk
= viΓkj
ij
+ u
= u v dt
p
q
i
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 16
dx
r k ij r k
( v Γ dx ) t + ( u Γ dx )
r
pq
jk
pj
+ u v t Γ
p
q
q
jk
r
dx
ik
k
j
v t
p
j
q
ij
=
iq
+ u v t Γ
pq pj q k iq p k
pq pq pj q k iq p k
( dt + t Γ dx + t Γ dx ) ⇒ Dt = dt + t Γ dx + t dx
pq
u pvqDt
= u pvq
jk
ik
jk Γik
y la derivada covariante absoluta es:
pq pq pj q iq p
Dkt = ∂kt
+ t Γjk
+ t Γik
02.3.4. Derivada absoluta covariante de un tensor de segundo orden covariante:
k s k s
Consideraremos ahora los campos uniformes u ( x ), v ( x ) k=1,...,n, s=1,...,n.
Se tiene:
i j
φ = u v tij
i j
dφ
= u v Dt
k s k s
por ser u ( x ), v ( x ) uniformes, es
diferenciamos la función auxiliar φ :
i
dφ
= u v
i
= u v
= u
p
v
j
dt
q
ij
j
dt
s k s k
( dt − Γ dx t − Γ dx t )
pq
ij
i
+ u dv t
i h
− u v Γ
identificamos:
qk
j
hk
j
ij
dx t
k
ij
ps
+ du v t
i
− u
h
pk
j ij
v
j
Γ
i
= u v
i
hk
sq
j
dx t
k
ij
ij
k i k j k i k
du = −u
Γij
dx , dv = −v
Γij
dt
ij
= u
+ u
p
v
i
dx
h j k
h i k
( − v Γ dx ) t + ( − u Γ dx )
q
dt
pq
hk
− u
p
v
q
Γ
ij
s
qk
k
dx t
ps
hk
− u
p
v
j
q
Γ
p
ik
v t
s
pk
dx
j
ij
k
=
dx t
=
k
sq
s k s k
s k s k
( dt − t Γ dx − t Γ dx ) ⇒ Dt = dt − t Γ dx − t dx
p q
p q
u v Dt pq = u v pq ps qk sq pk
pq pq ps qk sqΓpk
y la derivada covariante absoluta es:
D t =
∂ t − t Γ − t Γ
k
pq
k
pq
ps
s
qk
sq
s
pk
=

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
02.3.5. Derivada absoluta covariante de un tensor de segundo orden mixto:
k s s
Consideraremos ahora los campos uniformes u ( x ), vk
( x ) k=1,...,n, s=1,...,n. Se
tiene:
i j
φ = u v jti
i j
dφ
= u v Dt
k s s
por ser u ( x ), v ( x ) uniformes, es
k
diferenciamos la función auxiliar φ :
i
dφ
= u v dt
i
= u v dt
= u
p
j
v
q
j
j
i
q j q k q s k
( dt + t Γ dx − t Γ dx )
p
j
i
i
+ u dv t
i
+ u v Γ
identificamos:
p
s
s
jk
jk
j
j i
dx t
k j
i
i
+ du v t
s
pk
j
j i
h
− u v Γ dx t
j
i
= u v dt
i
hk
j
k j
i
j
i
k i k j
i
du = −u
Γij
dx , dvk
= viΓkj
j
i
+ u
i
q
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 17
dx
s k
h i k
( v Γ dx ) t + ( − u Γ dx )
s
q
p
jk
q
ij
q
jk
k j
p
hk
j
q
v t
j
j i
p
p
p
= u v dt + u v Γ dx t − u v Γ dx t =
s
pk
=
k q
s
q j q k q s k
q q j q k q s k
( dt + t Γ dx − t Γ dx ) ⇒ Dt = dt + t Γ dx − t dx
p q q p
u v Dt p = u vq
p p jk s pk
p p p jk s Γpk
y la derivada covariante absoluta es:
02.4. El Teorema de Ricci:
D t = ∂ t + t Γ − t Γ
q
k p
q
k p
La derivada covariante absoluta del tensor de Gramm es nula:
En efecto:
D k gij
Basta aplicar la regla de derivación covariante absoluta de un tensor de segundo
orden covariante y, a continuación, la Identidad de Ricci:
= 0
s
s
Dk gij
= ∂k
gij
− gisΓjk
− gsjΓik
= ∂k
gij
−
Y como por la Identidad de Ricci es = ( jk,
i)
+ ( ik,
j)
que D = 0 .
k gij
k gij j
p
q
jk
q
s
s
pk
( jk,
i)
− ( ik,
j)
∂ , se deduce de inmediato

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
02.5. Una expresión para el símbolo reducido de Christoffel de 2ª especie
en función del determinante de la matriz de Gramm:
El Símbolo de 2ª especie de Christoffel reducido, esto es con el índice superior
coincidiendo con uno de los índices inferiores, se puede expresar en función del
determinante de la matriz métrica de Gramm mediante la siguiente relación:
En efecto:
i
Γ ki = ∂ k L g
(L es el logaritmo neperiano)
Veámoslo en detalle para el caso de un espacio de dos dimensiones:
g
11 12
g = gij
= = g11g
22 −
g 21 g 22
Se tiene, llamando Gij al adjunto del elemento gij:
g
∂k g = g11∂
k g22
+ g22∂
k g11
− g21∂
k g12
− g12∂
k g21
= G11∂
k g22
+ G22∂
k g11
+ G21∂
k g12
+ G12∂
k g21
=
= . g , donde es
ij
Gij∂ k gij
= g g ∂k
ij
ij
g la matriz inversa de la matriz de Gramm.
∂gij
h m
Teniendo en cuenta la expresión de la derivada ∂k
gij = = Γ k ik ghj
+ Γjk
gim
∂x'
en la página 9):
h m
ij i
j
ij i j
( Γ g + Γ g ) ≡ g.
g ( Γ g + Γ g ) = g g g ( Γ + )
∂ .
o sea:
ij
ij
k g = g.
g ∂k
gij
= g.
g ik hj jk im
ik ij jk ij
ij ik Γjk
k
i j
i i
i
( Γ + Γ ) = g.
( Γ + Γ ) = 2.
g
∂ g = g.
. Γ
ik
jk
ik
ik
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 18
g
12
g
21
ik
(figura
i 1 1
obteniéndose finalmente: Γik
= ∂k
g = ∂k
Lg = ∂k
L g
2g
2
Para espacios euclidianos de mayor número de dimensiones la expresión se
generaliza sin dificultad.
02.6. Derivación covariante absoluta de 2º orden. El Teorema de Riemann-
Christoffel.
Se define la derivada covariante absoluta de segundo orden como la derivada
covariante absoluta del tensor derivada covariante absoluta:
D
h1
... hp
jktr
... r =
1 q
D
j
h1
... hp
( D t )
k r1
... rq
Es importante obtener la derivada covariante absoluta de segundo orden del tensor
de primer orden contravariante en un espacio cualquiera, pues permite definir el
concepto de curvatura mediante la diferencia entre ambas derivadas absolutas de
segundo orden:

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
m m m
D jkv
− Dkjv
= Rs,
jk
Se denomina en general curvatura del espacio al tensor de cuatro índices
cual se da también el nombre de Tensor de Riemann-Christoffel.
v
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 19
s
m
R s,
jk al
m
m
El tensor de Riemann-Christoffel será idénticamente nulo si D jkv
= Dkjv
. Es
decir, en los espacios en donde permute el orden de la derivación covariante
absoluta de segundo orden la curvatura del espacio será nula.
Veremos en lo que sigue que en un espacio euclidiano real se anula el Tensor de
Riemann-Christoffel, y por tanto, la curvatura en estos espacios es nula, por
permutar en ellos la derivación covariante absoluta de segundo orden (Teorema de
Riemann-Christoffel).
- Expresión general de la derivada covariante absoluta de 2º orden del tensor de
primer orden contravariante:
D
jp
= ∂
=
=
v
jp
q
v
= D t
q
+ ∂
q
j p
j
v
q q
( D v ) D t
q
D jpv
D j p =
= ∂ t
h
Γ
q
hp
q
j p
+ v
+ t
h
∂
= (habiendo llamado
m
p
j
Γ
Γ
q
mj
q
hp
− t
+ ∂
q
m
p
Γ
v
m
pj
m
j
= ∂
Γ
q
mj
j
p
q q
t p = Dpv
)
q h q
m h m q
q r q m
( ∂ v + v Γ ) + ( ∂ v + v Γ ) Γ − ( ∂ v + v Γ ) Γ =
+ v
h
p
Γ
m
hp
Γ
q
mj
− ∂
hp
m
v
q
Γ
m
pj
p
r
− v Γ
q m q h
q h q m q q m r q m
[ ∂ jΓhp
+ ΓhpΓmj
] v + [ ∂ jpv
+ ∂ jv
Γhp
+ ∂ pv
Γmj
− ∂ mv
Γpj
+ v ΓrmΓpj
]
q m q h
[ ∂ jΓhp
+ ΓhpΓmj
] v + Φ jp
Donde se ha llamado Φ jp
q h q m q q m r q m
= ∂ jpv
+ ∂ jv
Γhp
+ ∂ pv
Γmj
− ∂ mv
Γpj
+ v ΓrmΓpj
, que es un
término simétrico respecto a los subíndices j y p, pues Φ jp = Φ pj
Por tanto, la expresión de la derivada covariante absoluta de segundo orden del
tensor de primer orden contravariante, puede expresarse por
(Siendo
jp
q m q h
[ ∂ jΓhp
+ ΓhpΓmj
] v + jp
q
D jpv
=
Φ
Φ = ∂
)
- Expresión del Tensor de Riemann-Christoffel:
D
=
q
rm
q h q m q q m r q m
jpv
+ ∂ jv
Γhp
+ ∂ pv
Γmj
− ∂ mv
Γpj
+ v ΓrmΓpj
[ ] [ ]
( [ ] [ ] ) ( ) h q
q q q m q h
q m q h
jpv
− Dpjv
= ∂ jΓhp
+ ΓhpΓmj
v + Φ jp − ∂ pΓhj
+ Γhj
Γmp
v − Φ pj =
q m q
q m q h
q q m q m
∂ Γ + Γ Γ − ∂ Γ + Γ Γ v = ∂ Γ − ∂ Γ + Γ Γ − Γ Γ v
j
hp
hp
mj
identificando con
se tiene, finalmente:
p
hj
hj
mp
j
hp
p
hj
q q q
D jpv
− Dpjv
= Rh,
jp
v
h
hp
mj
Γ
hp
m
pj
hj
=
mp
mj
=
m
rm
pj

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
R = ∂ Γ − ∂ Γ + Γ Γ − Γ Γ
q
h,
jp
- El Teorema de Riemann-Christoffel:
j
q
hp
Si en un espacio vectorial es válido el Teorema de Schwartz de la doble derivación
parcial de sus vectores, esto es, si
r r
∂ = ∂ x
p
jp x pj
Entonces el tensor de cuatro índices de Riemann es cero y la curvatura del espacio
es nula.
En efecto:
q
hj
m
hp
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 20
q
mj
r r
s r
s r
( ∂ e ) = ∂ ( ∂ e ) ⇒ ∂ ( Γ e ) = ∂ ( Γ e )
r r
∂ jpeh
= ∂ pjeh
⇒ ∂ j p h p j h j ph s p jh s ⇒
s r s r
s r s r
q r s q r
⇒ ∂ jΓph.
es
+ Γph.
∂ jes
= ∂ pΓjh.
es
+ Γjh.
∂ pes
⇒ ∂ jΓph.
eq
+ Γph.
Γjseq
Por tanto:
q r
= ∂ pΓjh.
eq
q
∂ jΓ
ph
s q
q s q
+ Γph.
Γ js = ∂ pΓ
jh + Γ jh.
Γps
y de aquí:
q
R
q
= ∂ Γ
q
− ∂ Γ
s q s q
+ Γ Γ − Γ Γ = 0
h,
jp
j
hp
p
hj
Como corolario podemos afirmar, por tanto, que en los espacios euclidianos, en los
cuales es válido el teorema de Schwartz, se verifica que la curvatura es nula, y por
consiguiente:
lo que nos indica que es
D
jp
v
q
− D
pj
v
q
q
D jpv
=
hp
= R
es decir, el teorema de Schwartz también puede generalizarse a la derivación
covariante absoluta en los espacios euclidianos.
D
pj
sj
q
h,
jp
v
q
v
h
hj
= 0
sp
m
hj
q
mp
+ Γ
s
jh
. Γ
q
ps
r
e
q

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
03. PSEUDOTENSORES, OPERACIONES Y OPERADORES
03.1. Definición de pseudotensor:
La definición de pseudotensor se hace de manera análoga a la definición de un
tensor.
Podemos establecer el carácter de pseudotensor de una magnitud de varios índices
i
por la forma en que varía en un cambio del sistema de referencia. Así, si es Ak la
matriz del cambio de base de { ei} n
r a { e'k
} n
r
k
, y B i la matriz del cambio de base de
{ e'k
} n
r
a { ei} n
r
:
i
k
r i r ∂x
r
r k ∂x'
r
e' k = Akei
= ei,
k = 1,...,
n
ei
= Bi
e'k
= e'k
, i = 1,...,
n
k
i
∂x'
∂x'
entonces, una magnitud t tendrá carácter pseudotensorial de peso m si su
expresión t’ en el nuevo sistema de referencia { e'k
} n
r
viene relacionada con su
expresión en el sistema { ei} n
r
por la relación
t'
= D
i1...
iq
j1
... jp
m
. A
k1
j1
... A
kp
jp
. B
i1
h1
... B
iq
hq
h1...
hq
k1...
kp
Donde es D el determinante de las matrices
i
A k y
k
B i del cambio de base ya
indicadas antes, y m es un número real que se denomina peso del pseudentensor.
El pseudotensor t se diría que es covariante p y contravariante q y con peso m.
3.2. Producto de pseudotensores de opuesto peso:
El producto de dos pseudotensores de peso opuesto es un tensor cuyos ordenes de
covarianza y contravarianza es suma de los respectivos ordenes de covarianza y
contravarianza de los pseudetensores que se multiplican.
En efecto:
Supongamos los dos pseudotensores cuyo peso es opuesto:
Ω y
se tiene:
i1...
iq m k1
kp i1
iq h1...
hq
' j1
... jp = D . Aj1
... Ajp
. Bh1...
Bhq.
Ωk1...
kp
Ω
en definitiva:
Ψ
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 21
. t
f 1...
fu −m
r1
rv f 1 fu g1...
gv
's1 ... sv = D . As1
... Asv
. Bg1
... Bgu
. Ψr1...
ru
i1...
iq f 1...
fu m −m
k1
kp r1
rv i1
iq f 1 fu h1...
hq g1...
gv
' j1
... jp Ψ's1...
sv = D . D . Aj1
... Ajp
. As1
... Asv
. Bh1...
Bhq.
Bg1
... Bgu
. Ωk1...
kpΨr
1...
ru
Ω'
Ψ'
= . A ... A . B ... B . Ω Ψ
i1...
iq
j1
... jp
f 1...
fu
s1...
sv
l1
i1
l(
p+
v)
i(
p+
v)
t1
z1
t(
q+
u)
z(
q+
u)
h1...
hq
k1...
kp
que es un tensor (p+v)-covariante y (q+u)-contravariante.
g1...
gv
r1...
ru

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
3.3. El pseudotensor de Kronecker:
Es una magnitud que indistintamente puede definirse de forma contravariante o
covariante, por la condición:
Ε
k1... k p
⎧
⎪
= ⎨ 1
⎪
⎩−1
k ... k p no todos dist int os
subindices en permutacion
par
subíndices en permutacion
impar
0 1
Esta magnitud podemos considerarla en general ligada a los términos del desarrollo
de un determinante de orden p.
Así, por ejemplo:
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
= a
1k1
+ a
= a
a
13
11
2k
2
a
a
22
22
a
a
a
3k
. 3 k1k
2k
3
31
33
E
. E
321
+ a
12
+ a
a
23
= a
12
a
a
31
11
21
a
a
22
33
+ a
En general se tiene, para el determinante D de la matriz de cambio de base:
y por otra parte:
por tanto, al igualar:
en general es, por tanto:
3.4. El pseudotensor de Gramm:
13
a
33
. E
a
213
21
. E
a
123
+ a
32
+ a
11
a
− a
13
12
23
a
a
a
22
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 22
23
32
j
D = Ak
= a j k ... a jn
k . E
1 1
n k1...
k
D = D.
E'
j1...
j
n
31
31
. E
a
a
n
. E
132
− a
231
=
12
a
+ a
21
a
13
33
a
21
a
− a
32
11
. E
1
D . E'
= a ... a . E ⇒ E'
= D . a ... a . E ... k
−
j1...
jn
1k1
nkn
k1...
kn
j1...
jn
j1k1
jn
kn
k1
1 j j
E ' = D . A ... A . E ... k
− 1 n
j1...
jn
k1
kn
k1
Se trata del determinante g de la matriz de gramm, que, como veremos a
continuación es un pseudotensor de peso 2 con orden nulo de covarianza y
contravarianza.
Tomando determinantes:
r r r r r r
g =
'
ik
p q
p q
p q
( ei
, ek
) = ( Ai
. e'
p , Ak
. e'
q ) = Ai
Ak
( e'
p , e'
q ) = Ai
Ak
. g pq
gik i k pq i k pq
p q
p q
=
A A . g'
= A . A . g'
⇒ g = D.
D.
g'
n
a
23
312
a
32
+
n

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
En definitiva:
3.5. El tensor de Gramm-Kronecker:
2
g = D g'
Si multiplicamos el pseudotensor de Kronecker por la raiz cuadrada del
pseudotensor de Gramm, se obtiene un tensor del mismo orden de varianza que el
pseudotensor de Kronecker:
En efecto, pues al tratarse de dos pseudotensores de opuesto peso:
se tiene:
1 j j
E ' D . A ... A . E ... k
= y g ' = D g
− 1 n
j1...
jn
k1
kn
k1
j1
jn
g ' E'
j ... j = A n k ... Ak
. g E
1
1 n k1...
kn
3.6. Definición de operaciones usando el tensor de Gramm-Kronecker:
Producto interior diádico:
r r
r r
Se acostumbra a llamar producto interior diádico u ⊕ v de dos vectores u, v , a los
productos cruzados de sus componentes contravariantes (o covariantes):
ij
d =
Producto exterior tensorial:
r r
También se define el producto exterior tensorial u ∧ v por la diferencia entre los
productos diádicos conmutados de ambos vectores u v
r r , :
Producto exterior vectorial:
ij i j
s = u v −
El producto exterior vectorial se define usando el tensor de Gramm-Kronecker:
v
n
i
u v
j
u
i
j
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 23

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
Ejemplo:
r
r
1 r 1 r
g
g
ijk
u ∧ v = uiv
jek
. g E = uiv
jek
.
En el caso de un espacio euclidiano de tres dimensiones, será:
r r
u ∧ v =
1 r ijk
uiv
jek
. E
g
=
=
=
1
g
1
g
r 123 r 312 r 231 r 132 r 213 r 321
[ u v e E + u v e E + u v e E + u v e E + u v e E + u v e E ]
1
[ u v e + u v e + u v e − u v e − u v e − u v e ]
1
2
2
3
r
3
3
1
3
r
2
1
2
2
3
r
1
2
1
3
3
1
r
2
por lo que en este caso tridimensional se acostumbra a representar –de manera
poco apropiada, obviamente- mediante un determinante:
r r r
e1
e2
e3
r r 1
u ∧ v = u1
u2
u3
g
v v v
Producto mixto:
El producto interior mixto de tres vectores se define usando también el tensor de
Gramm-Kronecker como el producto diádico de uno de ellos por el producto exterior
vectorial de los otros dos:
r
r
r
1
g
ijk
ijk
[ u,
v,
w]
= u v w g E = u v w E
i
j
k
para el caso de tres dimensiones, se obtiene de inmediato en forma de
determinante:
r r r
u =
[ , v,
w]
3.7. Operadores diferenciales:
2
1
1
w1
1
u1
g
v
Mediante el uso del tensor de Gramm-Kronecker pueden definirse algunos de los
operadores diferenciales clásicos en términos de derivación absoluta. Podemos
1
1
r
3
3
2
w
u
v
2
1
2
2
2
g
3
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 24
3
2
i
w
u
v
3
3
r
3
1
j
k
2
E
1
ijk
3
3
2
1
=

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
expresarlos mediante sus componentes contravariantes o covariantes, recordando
que
u
j
= g
jk
u
k
,
u
k
= g
jk
u
j
,
r
e
j
= g
r
*
jkek
,
Para la expresión de un vector u r por sus componentes contravariantes y
covariantes:
Gradiente:
r r
u = u e
r
u = u
j
j
r*
kek
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 25
r
e
*
k
= g
r ∂ϕ
r
r ∂ϕ
r*
∇ϕ
= ek
, ∇ϕ
= g
k
jk e k j
∂x
∂x
Divergencia:
r r r r
r
jk
r r r
j k
∇ v = ( D,
v)
= g D jvk
, ∇v
= ( D,
v)
= g jkD
v
r jr r r
Teorema: La divergencia del vector v = v e j se expresa por ∇v
=
En efecto:
1
g
j
∂ j ( v g )
r r
∇v
=
= ∂
j
v
jk
jk
j j s j j s
( D,
v)
= g D jvk
= D jg
vk
= D jv
= ∂ jv
+ v Γsj
= ∂ jv
+ v ∂ s ( L g ) =
s
j
j
j
j v
j v ∂ jv
. g + v . ∂ j
( ) ( )
( g ) 1 j
+ ∂ g = ∂ v + ∂ g =
= ∂ ( v g )
r r
g
s
j
g
j
r r r r
j k k 1 k
si viene dado en forma covariante: ∇v
= ( D,
v)
= g D v = D v = ∂ ( v g )
Rotacional:
Se puede definir el rotacional usando el tensor de Gramm-Kronecker:
r r 1 r ijk 1 r
∇ xv
= Div
jek
g E = Div
jek
E
g
g
Para el caso de tres dimensiones puede expresarse nmemotecnicamente por
r r
∇ xv
=
1
g
r
e1
D1
v
r
e2
D2
v
r
e3
D3
v
Norma del gradiente:
1
2
g
jk
3
ijk
k
jk
r
e
j
g
j
g
k

CÁLCULO DIFERENCIAL ABSOLUTO. EN LOS ALEDAÑOS DE LA RELATIVIDAD GENERAL
Laplaciana:
r 2
∇ϕ
=
r
r
∂ϕ
∂ϕ
( ∇ϕ,
∇ϕ)
= gkj
∂
k
x ∂
r
r r
2
1 ⎛ ∂ϕ
∇ ϕ = ∇.
∇ϕ
= ∂k
⎜ g k
g ⎝ ∂x
x
CARLOS S. CHINEA. MARCHENA OCTUBRE, 2005 26
j
⎞
⎟
⎠