I. Autosimilitud - Departamento de Matemática Aplicada ...

Introducción a la Geometría Fractal:
I. Autosimilitud
Carlos Munuera
cmunuera@modulor.arq.uva.es
Universidad de Valladolid
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Introducción a la Geometría Fractal I 1
¿Qué es un fractal?
Seguramente, la primera pregunta que se plantea en un curso sobre fractales es
¿Qué es un fractal?
A estas alturas, varias respuestas posibles pueden ser,
Es una figura bastante extra¯na, generalmente pintada con colores lujuriosos.
No lo se, pero he visto algunos que me han gustado.
No tengo la menor idea. Yo sólo me matriculé en este curso porque necesitaba los
créditos.
Es un conjunto de puntos cuya dimensión de Haussdorf no coincide con su dimensión
topológica.
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Una primera aproximación
Un fractal es una figura plana que se obtiene llevando a cabo
un determinado proceso gráfico un número infinito de veces.
En este sentido nunca podremos ver realmente un fractal. Sin embargo, podemos
aproximarlo razonablemente efectuando un número de iteraciones suficientemente alto.
Más iteraciones proporcionan un fractal más ’real’. Asimismo, en algunos fractales el
proceso que citamos es preciso aplicarlo en cada punto del plano. Obviamente esto es
imposible, de manera que se realiza un mallado del plano y se toma un punto como
representante de cada rectángulo de la malla. Obviamente un mallado más fino
proporciona mayor detalle (luego mayor nitidez) en el fractal.
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Por otro lado, conviene ser cauto en el número de iteraciones que realicemos y en el
diámetro del mallado. Pedir una cantidad excesiva de iteraciones o una nitidez muy
alta, requiere una cantidad muy elevada de computación (y por tanto de tiempo) hasta
ver la figura resultante.
• Abrir Maple y la hoja Fractal 2.txt
• Ejecutar Koch con 1 a 5 iteraciones
• Ejecutar Maldelbrot con mallados 50 × 50 y 250 × 250
Apreciar la diferencia de tiempo y de nitidez en los gráficos obtenidos
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Una definición (más rigurosa) de fractal: Autosimilitud
En algunos libros podemos encontrar la siguiente definición de fractal, debida a B.
Mandelbrot
Un fractal es un tipo de objeto geométrico fragmentado
que puede ser subdividido en partes, cada una de las
cuales es (aproximadamente) una copia reducida del total.
La autosimilitud es una de las principales características de los fractales. Para ver esto,
comencemos por los fractales más simples. Estos se construyen mediante iteración.
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El triángulo de Sierpinski
Partimos de un triángulo macizo (con su interior). Conectando los puntos medios de los
lados obtenemos un triángulo semejante al inicial.
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El triángulo de Sierpinski
Partimos de un triángulo macizo (con su interior). Conectando los puntos medios de los
lados obtenemos un triángulo semejante al inicial.
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El triángulo de Sierpinski
Partimos de un triángulo macizo (con su interior). Conectando los puntos medios de los
lados obtenemos un triángulo semejante al inicial. Quitemos el triángulo interior.
La figura así obtenida está formada por 3 triángulos, cada uno de los cuales es
semejante al original, escalado un factor de 1/2.
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Repitamos el proceso con cada uno de los trángulos, y así hasta el infinito. La figura
obtenida tras un número infinito de iteraciones se llama triángulo de Sierpinski.
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Obsérvese que el triángulo de Sierpinski es auto-similar: está hecho a base de infinitas
copias de si mismo.
3 copias escaladas 1/2;
9 copias escaladas 1/4;
27 copias escaladas 1/8; etc.
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Hemos descubierto otra importante propiedad de los factales:
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Los fractales son (en cierto sentido) invariantes por cambios de escala.

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La curva de Koch
Esta curva fué inventada en 1890 (mucho antes del descubrimiento de los fractales) por
el matemático sueco Helge von Koch. Posee curiosas propiedades geométricas:
Su longitud es infinita.
Es continua, pero no tiene tangente en ningún punto.
Se construye siguiendo el proceso que ya hemos visto en el ordenador.
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La curva de Koch
Esta curva fué inventada en 1890 (mucho antes del descubrimiento de los fractales) por
el matemático sueco Helge von Koch. Posee curiosas propiedades geométricas:
Su longitud es infinita.
Es continua, pero no tiene tangente en ningún punto.
Se construye siguiendo el proceso que ya hemos visto en el ordenador.
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El resultado final tiene el aspecto siguiente
Ejecutar de nuevo el programa Koch de Maple.
• Observar la formación de la curva.
• ¿Por cuántas copias del original está formada la curva?
• Cada una de ellas, ¿qué factor de escala tiene respecto del original?
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[Respuesta: 4 copias escaladas 1/3 ]

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Más ejemplos de autosimilitud
Con reglas de formación más complicadas (y con más potencia de cálculo) podemos
producir fractales más complejos, en ocasiones de apariencia bastante natural. De
momento no nos perocuparemos por las reglas que producen estos fractales. Las
veremos más adelante.
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Una geometría natural
Habitualmente describimos el mundo utilizando la geometría euclídea. Esta geometría
se basa en conceptos ’estáticos’, como rectas o planos, que se describen
matemáticamente en términos de ecuaciones y coordenadas.
Por el contrario, la geometría fractal se basa en procesos recursivos, y se expresa
matemáticamente mediante algoritmos. Como muchos objetos naturales se forman
también en forma recursiva, la geometría fractal permite describirlos con mayor
propiedad. Por esta razón, en ocasiones se habla de la geometría fractal como una
geometría ’natural’. Recíprocamente, también se dice que ’la naturaleza es fractal’.
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¿Por qué nos interesan los fractales?
Por su calidad y sus posibilidades estéticas.
Por que proporciona un nuevo puntos de vista para analizar los objetos geométricos
naturales. En consecuencia, por sus aplicaciones al dise¯no y la arquitectura (y muchos
otros campos).
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Programas informáticos
A partir de ahora utilizaremos programas específicos para construir y manejar fractales.
En concreto utilizaremos Fractint y su versión simplificada ManpWin.
Estos programas pueden descargarse gratuitamente a través de Internet en la dirección
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html
(La página oficial de Fractint)
Existen multitud de programas de tratamiento de fractales (aunque en su mayoría
menos conocidos) que pueden obtenerse también a través de Internet. Entre ellos, uno
de los de mayor interés es UltraFrac.
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Un ejemplo: Manpwin y el fractal de Mandelbrot
Este es posiblemente el fractal más conocido e importante, y volveremos a encontrarlo
más adelante. Por el momento vamos a utilizarlo para examinar la autosimilitud de los
fractales con la ayuda del programa Manpwin.
Abrir el programa Manpwin.
• Hacer sucesivas ampliaciones del fractal de Maldelbrot.
Observar su autosimilitud
• Repetir el proceso con fractales de tipo Newton.
• Cambiar los colores y observar los resultados
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Para saber más
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/2415/index.html
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/cockpit/5889/index.html
Dos sitios con información sobre fractales en castellano
http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html
La página oficial de Fractint
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Carlos Munuera
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad de Valladolid
cmunuera@modulor.arq.uva.es