Trabajo 2. Métodos numéricos de integración

Trabajo 2
Métodos numéricos de integración
El cálculo de primitivas no es un problema trivial.
De hecho, en ocasiones no es posible obtener una primitiva de una función (en
términos de funciones elementales).
En tales casos, para hallar b
a f no nos sirve de nada la regla de Barrow.
Para esos u otros casos puede ser interesante hallar un valor aproximado de la
integral.
Trabajo 2. Métodos numéricos de integración Análisis Matemático (Ingeniería de Computadores)

A veces no se dispone de una expresión explícita de la función, sino solamente de
su valor en una tabla de puntos.
Supongamos por ejemplo que tenemos una tabla con la velocidad de un coche,
con datos cada minuto, y se desea conocer el espacio recorrido en 15 minutos.
Habría entonces que hallar 15
0 v(t) dt, pero sólo se conoce v(t) para t = 0, 1, 2 . . . 15.
Este problema también se puede resolver, de manera aproximada, recurriendo a
un método numérico.
Método Numérico
Un método numérico puede definirse (informalmente) como un algoritmo que permite
obtener una aproximación de la solución de un problema con una precisión
arbitraria en un número finito de pasos (el número de pasos depende de cuál sea
la precisión que se desee).
En el trabajo se pretende estudiar un método numérico (o dos) para calcular
integrales.
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2.1. Método del trapecio compuesto
El método del trapecio compuesto para aproximar b
a
en
Figura 2.1: Método del trapecio.
f(x) dx consiste (figura 2.1)
dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual amplitud,
y aproximar la integral de la función por la suma de las áreas de los n trapecios
que se obtienen.
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− a
Si h = es la longitud de cada subintervalo
n
y llamamos xi = a + ih, con i ∈ {0, 1, . . . , n}, para cada i ∈ {1, . . . , n} se
aproxima xi
f ≈ f(xi−1) + f(xi)
h
2
xi−1
Sumando se obtiene el valor aproximado de b
a
de los trapecios, que es:
b
n
f ≈
i=1
b − a f(a)+f(b)
n 2
a
f(xi−1) + f(xi)
2
+
n−1
i=1
f dado por la suma de las áreas
h = · · · =
f(xi)
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.

El error de la aproximación viene dado por el siguiente resultado:
Teorema 2.1.1
Con la notación anterior, si f ∈ C2 [a, b], entonces existe c ∈ (a, b) tal que:
b
b − a f(a) + f(b) n−1
(b − a)3
f = + f(xi) −
n 2
12n2 f ′′ (c).
a
En consecuencia, si |f ′′ (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b),
entonces una cota del error absoluto cometido al aproximar b
a
del trapecio con n + 1 puntos es
i=1
(b − a) 3
M
12n2 f por el método
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Ejemplo 2.1.2
Consideremos la función f(x) = sen(πx).
Vamos a aproximar por el método del trapecio la integral 1
0 f.
Tomemos 7 puntos equiespaciados del intervalo [0, 1]: {0, 1
6
0
i=1
, 1
3
, 1
2
, 2
3
5 , 6 , 1}.
Aproximando por el método del trapecio se obtiene:
1
sen(πx)dx ≈ 1
5
sen 0 + sen π
+ sen π
6 2
i
6
= · · · ≈ 0 ′ 622.
Para obtener una cota del error cometido, habrá que calcular la derivada segunda
de f:
f ′′ (x) = −π 2 sen(πx).
Se tiene entonces que |f ′′ (x)| ≤ π 2 para todo x ∈ (0, 1).
Por tanto, una cota del error es
1
12 · 6 2π2 = π2
432 ≈ 0′ 0228 < 2 ′ 3 · 10 −2 .
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Ejemplo 2.1.3
Queremos ahora aproximar la integral del ejemplo anterior, usando el método del
trapecio con un error menor que 10 −4 .
Habrá que calcular, con ayuda de la fórmula de la cota del error, un número de
puntos adecuado para cada uno de los métodos.
Como |f ′′ (x)| ≤ π 2 , basta tomar n tal que
1
12n 2π2 < 10 −4 ,
lo que se consigue para n = 91.
La aproximación obtenida será entonces
1
0
sen(πx) dx ≈ 1
91
90
i=1
sen πi
91 ≈ 0′ 636556.
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2.2. Método de Simpson compuesto
Consiste (figura 2.2) en
Figura 2.2: Método de Simpson.
dividir el intervalo [a, b] en n = 2m subintervalos de igual amplitud, (con lo cual
el número de puntos es 2m + 1, siempre impar),
y aproximar la integral de la función original por la integral de la parábola, cada
dos intervalos.
Se obtienen resultados similares a los del método del trapecio:
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En cada intervalo [xi, xi+2] (siendo i par) se aproxima
xi+2
f ≈ f(xi) + 4f(xi+1) + f(xi+2)
h
3
xi
Sumando se obtiene la aproximación de b
a f, que es:
b
m−1
b − a
f ≈ f(a)+f(b) + 2 f(x2i) + 4
3n
a
i=1
m
i=1
f(x2i−1)
Y para acotar el error, se verifica que si |f (4) (x)| ≤ M para todo x ∈ (a, b),
entonces una cota del error absoluto cometido al aproximar b
a f por el método
de Simpson con n + 1 puntos (n par) es
(b − a) 5
M
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.

Observaciones
Leer detenidamente las instrucciones del trabajo.
Es obligatorio hacer el trabajo en grupos de 2 o de 3 personas.
No sobrepasar el número de páginas permitido:
• 1 página para la teoría y 5 en total para los grupos de 2
• 2 páginas para la teoría y 8 en total para los grupos de 3
No copiar literalmente la teoría de ningún libro, ni por supuesto de internet (ni
de la wikipedia).
Podéis consultar la bibliografía (que podéis encontrar en la biblioteca):
De la Bibliografía básica
[2] García, A.; García, F. y otros: “Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis
Matemático en una variable”. Tercera edición. Clagsa. 2007.
De la Bibliografía complementaria
[9] Faires, J.D.; Burden, R.: “Métodos Numéricos”.
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Preentrega: 7 de noviembre.
Entrega definitiva: 21 de noviembre.
En ambos casos se debe entregar:
• El fichero de Maxima, con la sesión de trabajo (se subirá a Moodle). No se
corregirá. Sólo se usará para comprobar en caso necesario.
• El documento en papel, con la teoría, ejecuciones obligatorias y resolución del
problema asignado. Se incluirán en él las explicaciones del proceso seguido y
el resultado obtenido para los apartados resueltos con ordenador.
Programación con Maxima de la función para aplicar el método:
• Conviene definir una función que dependa de los extremos a y b del intervalo
y del número de trozos n.
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Cuidado con las unidades en los problemas.
• Por ejemplo, si en un problema se está trabajando en metros y me piden la
solución con error menor que 1 milímetro, deberé pedir un error menor que
10 −3 .
• Si estamos trabajando en m 2 y me piden un error menor que 1 cm 2 , habrá
que tener en cuenta que 1 cm 2 = 10 −4 m 2 . . .
No dudéis en hacer uso de las tutorías. Es importante hacer bien el trabajo.
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