GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO

Considera los puntos A = (1, 2, 3), B = (3, 2, 1) y C = (2, 0, 2). Halla el punto simétrico del
origen de coordenadas respecto del plano que contiene a A, B y C.
El plano π ue c tiene a A, B y C queda determinado, por ejemplo, por el punto A = (1, 2, 3) y los
vectores y
q on
AB .
AC
AB = (2, 0, –2) ; AC = (1, –2, –1)
x−1 y−2 z−3
π ≡
2 0 −2
1 −2 −1
= (–4) (z – 3) + (–2) (y – 2) – 4 (x – 1) – (– 2) (y – 2) =
= – 4x – 4z + 16 = 0 ⇒ π ≡ x + z – 4 = 0
El punto B, intersección del plano π y de la recta perpendicular a π y que pasa por O (B = r ∩ π), es
el punto medio del segmento que determinan O y su simétrico O’. Calculemos ahora la recta r. Esta
viene determinada por el punto O y el vector director característico, p , del plano π
p = (1, 0, 1)
⎧x
= λ
⎪
La recta r en paramétricas es r ≡ ⎨y
= 0 .
⎪
⎩z
= λ
Una vez conocidos π y r, calculamos su intersección, B. Para ello sustituimos las ecuaciones
paramétricas de r en la ecuación de π:
λ + λ – 4 = 0 ⇒ 2λ = 4 ⇒ λ = 2
El punto B es: B = (2, 0, 2)
Como B es el punto medio del segmento OO', siendo O' = (a, b, c) el simétrico del punto O,
tenemos que:
⎛0+ a 0+ b 0+
c⎞
(2, 0, 2) = ⎜ , , ⎟
⎝ 2 2 2 ⎠
Igualando nos queda a = 4, b = 0 y c = 4, luego el simétrico es:
O' = (4, 0, 4)
Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A = (1, 0, –1), es perpendicular al plano
⎧x
− 2y
= 0
x – y + 2z + 1 = 0 y es paralelo a la recta ⎨ .
⎩z
= 0
El plano pedido pasa por el punto A = (1, 0, –1) y es paralelo a los vectores p = (1, –1, 2), que es el
vector característico del plano, y al vector director de la recta ⎨ . Tomando y = λ, la recta
en ecuaciones paramétricas es ⎪ ⎧x
− 2y
= 0
⎩z
= 0
⎧x
= 2λ
⎨ y = λ , y su vector director es v = (2, 1, 0).
⎪
⎩z
= 0
El plano pedido es: