GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO

⎧x
= 1
⎧x
= µ
⎪
⎪
Halla la perpendicular común a las rectas r ≡ ⎨y
= 1 y s ≡ ⎨y
= µ −1.
⎪
⎩z
= λ
⎪
⎩z
= −1
De la recta r tomamos un punto A = (1, 1, 0) y un vector director u = (0, 0, 1).
De la recta s tomamos un punto B = (0, –1, –1) y un vector director v = (1, 1, 0).
La recta perpendicular
( ⊥ ) común a ambas rectas la vamos
a dar como intersección de dos planos
π1
= det (AX , u , u ∧ v ) y π2 = det (BX , v , u ∧ v ), siendo X un punto cualquiera de la recta
buscada, y u ∧ v el producto vectorial de
u con v .
i j k
π1 = det ( AX , u , u ∧ v ) =
u ∧ v = 0 0 1
1 1 0
x −1 y −1
z
0
−1
π2 = det ( BX , v , u ∧ v ) =
x
1
−1
0
1
= – i + j ⇒ u ∧ v = (–1, 1, 0).
1
1
1
0
y + 1 z + 1
= (x – 1) · (–1) – (y – 1) · (1) + z · (0) = – x – y +2 = 0
0
0
= x · 0 – (y + 1) · 0 + (z + 1) · 2 = 2z + 2 = 0
⎧−
x − y + 2 = 0 ⎧−x−
y+
2= 0
La recta pedida es t ≡ ⎨
≡ ⎨
⎩2z
+ 2 = 0 ⎩z
+ 1= 0
Otra forma de calcular la perpendicular común a las rectas dadas sería la siguiente. Consideremos el
vector determinado por dos puntos genéricos, R y S, de las rectas r y s respectivamente:
R = (1, 1, λ) S = (µ, µ – 1, –1) ⇒ RS
= (µ –1, µ – 2, – 1 – λ)
Este vector ha de ser simultáneamente perpendicular a los vectores directores, vr y
v s , de las rectas
r y s. Por tanto:
RS · vr = 0 ⇒ (µ –1, µ – 2, –1 – λ) · (0, 0, 1) = 0 ⇒ –1 – λ = 0 ⇒ λ = –1
RS · v s = 0 ⇒ (µ –1, µ – 2, –1 – λ) · (1, 1, 0) = 0 ⇒ µ –1 + µ – 2 = 0 ⇒ µ = 3/2
Por tanto, la recta perpendicular común a r y s es aquella que pasa por los puntos:
R = (1, 1, λ) = (1, 1, –1) ; S = (µ, µ – 1, –1) = (3/2, 1/2, –1) ⇒
⇒ RS = (µ –1, µ – 2, –1 – λ) = (1/2, –1/2, 0)
Su ecuación continua sería:
x −1 y− 1 z+
1
= =
1/2 −1/2
0
Pasando esta ecuación a la que da la recta como intersección de dos planos, obtenemos:
⎧−x−
y+
2= 0
⎨
⎩z
+ 1= 0
Se sabe que los puntos A = (1, 0, –1), B = (3, 2, 1) y C = (–7, 1, 5) son vértices consecutivos de
un paralelogramo ABCD.
a) Calcula las coordenadas del punto D.
b) Halla el área del paralelogramo.
a) Sea D = (x, y, z). Si ABCD es un paralelogramo, los vectores AB y DC deben tener las mismas
coordenadas, porque son vectores equipolentes.