Funciones de dos variables

Capítulo 7
Funciones de varias variables:
límite y continuidad
Con este tema iniciamos el cálculo diferencial en varias variables, cuyo ob-
jetivo es el estudio de las propiedades de variación de las funciones reales de
varias variables reales. Aunque con algunas complicaciones técnicas propias
del cálculo de varias variables, en buena medida se seguirá un camino para-
lelo al seguido en el desarrollo del cálculo de una variable. Estudiaremos los
conceptos de límite y continuidad de funciones y seguidamente abordaremos
los conceptos de derivada parcial y diferencial. Para facilitar el aprendizaje,
desarrollaremos el tema para el caso de funciones de dos variables reales,
aunque todas las nociones que consideraremos son válidas para funciones de
cualquier número de variables. Por ello, cuando sea conveniente, al final de
cada tema mencionaremos brevemente el caso de funciones de tres variables
considerando algún ejemplo adecuado.
7.1. El plano R 2 .
Del mismo modo que iniciamos el estudio de las funciones de una va-
riable considerando el cuerpo R de los números reales, al enfrentarnos con
las funciones de dos variables debemos ocuparnos del conjunto R 2 , donde se
208

‘moverá’ el par de variables (x, y).
Recordemos que R 2 denota el conjunto de todos los pares ordenados de
números reales: R 2 = {(x, y) : x, y ∈ R}. x e y reciben el nombre de compo-
nentes del par (x, y). Con los elementos de R 2 pueden realizarse dos opera-
ciones naturales:
- Suma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).
- Producto por un número real: α · (x, y) = (α · x, α · y).
La suma es una operación interna y el producto por un número real,
externa. Con estas dos operaciones R 2 es un espacio vectorial sobre el cuerpo
de los números reales. Es fácil comprobar que su dimensión es 2, pues se
verifica (x, y) = x·e1+y·e2, para cualquier par (x, y) ∈ R 2 , siendo e1 = (1, 0)
y e2 = (0, 1). Por tanto, {e1, e2} es una base de R 2 , que recibe el nombre
de base canónica. En esta base, las coordenadas de (x, y) son sus propias
componentes x e y.
Los elementos de R 2 pueden representarse como puntos de un plano. Para
ello, debemos escoger un sistema cartesiano de coordenadas en el plano en
cuestión. Si P es el punto del plano que tiene por coordenadas en dicho
sistema x e y, le haremos corresponder el par (x, y) ∈ R 2 . Se dirá que P es
la representación gráfica del par (x, y). Esta correspondencia entre R 2 y los
puntos del plano es biunívoca.
Ejemplos 7.1.1. a) Representar gráficamente en el plano el conjunto A =
{(x, y) : y ≥ x 2 , x ≥ 0, y ≥ 0}.
Se trata de un conjunto contenido en el primer cuadrante y que queda
‘por encima de la parábola’ y = x 2 . Un punto de coordenadas (x, y) tal que
y = x 2 pertenece a la parábola y = x 2 . Si trazamos por este punto una recta
perpendicular al eje OX, los puntos de esta recta que están por encima de
la parábola tienen por coordenadas (x, y) con y > x 2 , mientras que los que
están por debajo son de la forma (x, y) con y < x 2 .
209

O
Y
y = x 2
b) Idem con el conjunto A = {(x, y) : 0 ≤ x · y ≤ 1}.
El producto x · y es no negativo; por tanto, x e y tienen el mismo signo.
Entonces el conjunto consta de dos partes, una en el primer cuadrante y la
otra en el tercero. En el caso del primer cuadrante y ≤ 1.
Por tanto, se trata
x
de la región que queda por debajo de la curva y = 1
x
se trata de la región que queda por encima de dicha curva
Y
O
A
210
A
y = 1/x
X
. En el tercer cuadrante
X

c) A = [a, b] × [c, d] se representa en el plano como un rectángulo paralelo
a los ejes. En efecto, (x, y) ∈ A si y sólo si a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d.
d
c
Y
A
O a b
Dados dos puntos de R 2 , a = (x1, y1) y b = (x2, y2), se define su dis-
tancia por d(a, b) = + (x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 . Nótese que se trata de la
distancia entre los correspondientes puntos del plano P1(x1, y1) y P2(x2, y2).
La distancia tiene las propiedades siguientes:
D1) d(a, b) = 0 si y sólo si a = b.
D2) d(a, b) = d(b, a).
D3) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b), cualesquiera que sean a, b y c en R 2 .
Esta propiedad recibe el nombre de desigualdad triangular, pues ex-
presa la conocida propiedad de los lados de un triángulo que afirma: En un
triángulo la longitud de cualquier lado es menor o igual que la suma de las
longitudes de los otros dos. Necesitaremos también el concepto de producto
escalar (o interior.
211
X

O
Y
b
a
Si a = (a1, a2) y b = (b1, b2), se define a · b = a1b1 + a2b2. Propiedades
obvias son las siguientes:
(1) a · (b + c) = a · b + a · c.
(2) λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb).
(3) a · a = a 2 1 + a 2 2.
a 2 1 + a 2 2 es el módulo del vector
OP , si P es el punto del plano de
coordenadas (a1, a2), y se suele denotar por a (norma de a). Con esta
notación, (3) adopta la forma
(3’) a · a = a 2 .
Nótese que d(a, b) = a − b.
Para abordar el concepto de límite de una función, necesitamos introducir
un mínimo de nociones topológicas que nos ayudarán a expresar de forma más
simple y precisa las definiciones y resultados que encontraremos en nuestro
estudio del cálculo diferencial en varias variables (topología, del griego topos
y logia, es la parte de las matemáticas que se ocupa del espacio).
Definición 7.1.2. Si (x0, y0) ∈ R 2 y r > 0, se llama entorno cerrado de
centro (x0, y0) y radio r al conjunto formado por todos los pares (x, y) ∈ R 2
212
c
X

tales que su distancia a (x0, y0) es menor o igual que r, y se denota por
Er(x0, y0). Es decir, se trata del conjunto
{(x, y) ∈ R 2 : (x − x0) 2 + (y − y0) 2 ≤ r}.
Por tanto, Er(x0, y0) representa gráficamente el círculo de radio r y centro
(x0, y0). Se llama entorno abierto al conjunto
{(x, y) ∈ R 2 : (x − x0) 2 + (y − y0) 2 < r}
y se denota por Er(x0, y0). En este caso no forman parte del entorno los pun-
tos de la circunferencia de centro (x0, y0) y radio r. En el cálculo de límites,
se usará a menudo el entorno perforado E ∗ r (x0, y0) que se diferencia del
anterior en el hecho de que no incluye el centro (x0, y0).
Definición 7.1.3. Sean D un subconjunto de R 2 y (x0, y0) ∈ R 2 . Diremos
que (x0, y0) es un punto de acumulación de D si D ∩ E ∗ r (x0, y0) = ∅,
para cada r > 0; es decir, en todo entorno de (x0, y0) (por pequeño que sea
su radio) existen puntos de D diferentes de (x0, y0). Sólo para estos puntos
tiene sentido calcular el límite de una función cuyo dominio sea D.
Definición 7.1.4. Sean D un subconjunto de R 2 y (x0, y0) ∈ R 2 . Diremos
que (x0, y0) es un punto interior de D si este conjunto contiene íntegramen-
te un entorno de (x0, y0). Si todos los puntos de D son interiores, diremos
que D es un conjunto abierto de R 2 .
Definición 7.1.5. Un conjunto D se llama cerrado si contiene todos sus
puntos de acumulación. Es fácil demostrar que los conjuntos cerrados son
precisamente los conjuntos cuyo complemento en R 2 es un conjunto abierto.
Efectivamente, si el complemento de D es abierto, entonces un punto (x0, y0)
que no pertenezca a D no puede ser de acumulación para D, debido a que es
213

interior a D c y, por ello, existe un entorno de (x0, y0) contenido en D c . Tal
entorno tiene intersección vacía con D. Conviene destacar que un conjunto
que no es abierto también puede ser no cerrado.
Definición 7.1.6. Sean D un subconjunto de R 2 y (x0, y0) ∈ R 2 . Diremos
que (x0, y0) es un punto frontera de D si en todo entorno de (x0, y0) existen
puntos de D y puntos que no pertenecen a D. El conjunto formado por todos
los puntos frontera de D recibe el nombre de frontera de D.
Ejemplos 7.1.7. a) Encontrar los puntos de acumulación, puntos frontera
y los puntos interiores del conjunto D = {(x, y) ∈ R 2 : x > 0, y > 0}.
- Todo par (x0, y0) con x0 ≥ 0 e y0 ≥ 0 es un punto de acumulación de D
(nótese que todo entorno de centro en tal punto tiene en común con D como
mínimo un cuadrante).
- D es abierto, pues todos sus puntos son interiores. En efecto, si (x0, y0) ∈
D, entonces x0 > 0 e y0 > 0. Si tomamos r = min{x0, y0}, se verifica clara-
mente Er(x0, y0) ⊂ D.
- El conjunto frontera es el formado por los semiejes positivos.
b) D = {(x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0, 0 ≤ y < x 2 }.
Este conjunto no es abierto porque no todos sus puntos son interiores. Por
ejemplo, los puntos de la forma (x, 0) con x ≥ 0. Tampoco es cerrado ya que
no contiene a todos sus puntos de acumulación. En efecto, los puntos de la
forma (x, x 2 ) con x ≥ 0(pertenecen a la parábola y = x 2 ) son claramente de
acumulación y no pertenecen a D. El conjunto frontera consta de los puntos
del eje OX positivo y de los puntos de la parábola de la forma (x, x 2 ) con
x ≥ 0.
214

O
Y
y = x 2
Terminamos este apartado con la definición de conjunto acotado. Di-
remos que D es acotado si las distancias entre dos puntos cualesquiera de
D permanecen acotadas. Es decir, existe una constante positiva c tal que
d(a, b) ≤ c, para todos a y b pertenecientes a D. Todo conjunto acotado
está contenido en un entorno de uno de sus puntos (basta tomar el radio
igual a c).
7.2. Funciones de dos variables.
En las ciencias experimentales, cuando se estudia un determinado fenó-
meno, se da a menudo el caso de que éste quede completamente descrito me-
diante una ley que establece una relación funcional entre varias magnitudes
fundamentales. Así, por ejemplo, la ley que establece para los gases perfectos
que, si P , V y T son la presión, el volumen y la temperatura absoluta de 1
mol de un tal gas, se verifica la relación
P V = RT,
215
D
X

donde R es cierta constante (recibe el nombre de ecuación de estado). Si
despejamos P en la igualdad anterior, resulta P = RT/V . La expresión
anterior nos dice que la presión P es función de T y V y, por tanto, queda
completamente determinada cuando conocemos T y V .
Si mediante algún procedimiento hacemos que V y T sean cada vez más
próximos a cero, ¿hacia qué valor se acerca la presión P ?, ¿cómo podemos
determinar un valor aproximado del incremento de la presión en función de
los incrementos (pequeños) ∆V y ∆T ? Entre otras cuestiones, en este tema
veremos cómo es la respuesta a estas preguntas.
Una función de dos variables f es una regla o ley que asocia a cada
par (x, y), perteneciente a cierto conjunto D ⊂ R 2 , un único número real
f(x, y). D recibe el nombre de dominio de la función y x e y son las variables
independientes. Es usual usar z para designar a la imagen f(x, y) y se dirá
que z es la variable dependiente. Una función queda determinada cuando
damos la ecuación z = f(x, y) y el dominio D donde se mueve el par (x, y).
A veces, sólo se da la ecuación z = f(x, y), en cuyo caso se entiende que
el dominio es todo el campo de existencia, es decir, el conjunto formado por
todos los pares (x, y) para los que la ecuación en cuestión permite obtener la
correspondiente imagen.
Ejemplos 7.2.1. a) f(x, y) = log(x 2 + y 2 ) es una función cuyo dominio es
todo R 2 menos el origen (0, 0).
b) f(x, y) = √ x · y tiene por dominio la parte del plano que consta de los
cuadrantes primero y tercero, pues sólo tienen imagen los puntos (x, y) con
coordenadas de igual signo: D = {(x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0, y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R 2 :
x ≤ 0, y ≤ 0}.
Las funciones de dos variables pueden representarse gráficamente en el
espacio de la siguiente forma: Dada f : D ⊂ R 2 → R, escogemos un sistema
de coordenadas cartesianas OXYZ en el espacio y en el plano OXY represen-
tamos el dominio D. Para cada (x, y) ∈ D, dibujamos en el espacio el punto
de coordenadas (x, y, f(x, y)). El conjunto formado por todos los puntos de
216

la forma (x, y, f(x, y)), con (x, y) ∈ D, es una superficie. Se dirá que es la
representación gráfica de la función f o que la superficie tiene por ecuación
z = f(x, y).
Ejemplos 7.2.2. a) f(x, y) = ax + by tiene por representación gráfica un
plano.
b) f(x, y) = x 2 + y 2 tiene por representación gráfica un paraboloide de
revolución con vértice el punto (0, 0, 0).
c) f(x, y) = x 2 tiene por gráfica otro tipo de paraboloide (cilíndrico).
En muchos casos, puede ayudar a la visualización de una función de dos
variables el conocer la forma que tienen las curvas de nivel. Dada f : D ⊂
R 2 → R, la curva de nivel que pasa por (x0, y0) ∈ D es el conjunto de
puntos (x, y) ∈ D tales que f(x, y) = f(x0, y0). Se trata, pues, de una curva
que pasa por el punto (x0, y0) y que se caracteriza porque f tiene un valor
constante a lo largo de ella. La familia de todas las curvas de nivel tiene por
ecuación f(x, y) = c, donde c es una constante arbitraria. La curva de nivel
f(x, y) = c es la proyección sobre el plano OXY de la curva C que determina
el plano z = c al cortar a la superficie de ecuación z = f(x, y). En la figura
siguiente puede verse como cada punto (x, y, c) de esta curva (en rojo) se
proyecta en el punto (x, y, 0) de la curva de nivel f(x, y) = c (en negro). Es
decir, las coordenadas de ambos puntos sólo se diferencian en la coordenada
z que es igual a 0 en la curva de nivel e igual a c en la curva intersección C.
217

−1
−0.5
0
0.5
Eje OY
1
1.5
Eje OZ
2
2
1.5
z=c
1
C
curva de nivel f(x,y)=c
0.5
0
Eje OX
−0.5
−1
−2
−1.5
Estas ideas nos pueden ayudar a la hora de representar gráficamente una
función.
Ejemplos 7.2.3. a) z = x 2 + y 2 . Al cortar la superficie con los planos de la
forma z = c (c ≥ 0) resulta una curva plana C cuyas ecuaciones son
z = c
x 2 + y 2 = c
(7.1)
La curva de nivel x 2 + y 2 = c no es otra cosa que la circunferencia de centro
el origen y radio √ c en el plano OXY. La curva C tiene la forma de esta
misma circunferencia, pero colocada en el plano z = 0. Cuando c = 0 el corte
se reduce a un punto: (0, 0, 0). En los demás casos, se trata de circunferencias
cuyos radios √ c aumentan con c (ver la figura siguiente).
218

Intuimos que la superficie puede ser un paraboloide o un cono de vértice el
origen. Finalmente, podemos cortar la superficie con el plano y = 0 y resulta
una curva en el plano OXZ que tiene por ecuación z = x 2 . Esto nos confirma
que se trata de un paraboloide.
6
5
4
3
2
1
0
−2
−1
0
Eje OX
1
2
Eje OZ
2
219
1
Eje OY
0
−1
−2

) f(x, y) = x 2 + y 2 .
Las curvas de nivel son las circunferencias con centro el origen x 2 + y 2 =
c 2 . Como en el ejemplo anterior, al cortar la superficie con un plano de
la forma z = c (c > 0) se obtiene una circunferencia con centro en el eje
OZ y radio c cuya proyección sobre el plano z = 0 es la curva de nivel
x 2 + y 2 = c 2 . Al aumentar c, el plano z = c cada vez se aleja más de
z = 0 y la circunferencia interceptada tiene mayor radio, como en el ejemplo
anterior.
La diferencia ahora radica en que al cortar la superficie con el plano y = 0,
resulta z = |x| que es la ecuación de un par de rectas en el plano OXZ. Por
tanto, la superficie es un cono de revolución con vértice (0, 0, 0) y eje OZ.
5
4
3
2
1
0
−4
−2
0
Eje OX
2
Eje OZ
Gráfica de z = x 2
220
4
4
Eje OY
0
2
−2
−4

5
4
3
2
1
0
−2
−1
0
Eje OX
1
Eje OZ
2
c) Si T (x, y) representa la temperatura en cada punto (x, y) de cierta
región D del plano, entonces las curvas de nivel T (x, y) = c son las isotermas
(curvas de temperatura constante).
Para una función de más de dos variables no es posible una representación
gráfica, pero puede ser muy útil conocer qué forma tienen las superficies de
nivel. Si f : D ⊂ R 3 → R es una función de tres variables, se llaman
3
2
Eje OY
superficies de nivel a las que tienen por ecuación f(x, y, z) = c.
Ejemplos 7.2.4. a) Si V (x, y, z) es el potencial eléctrico creado en el espacio
por una determinada distribución de cargas eléctricas, las superficies de nivel
son las superficies equipotenciales.
b) Si f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 , las superficies de nivel son superficies
esféricas de centro el origen.
221
0
−2

7.3. Superficies
Algunas superficies, que nos encontraremos en las aplicaciones, no se ob-
tienen como representación gráfica de una función de dos variables; es decir,
no responden a una ecuación de la forma z = f(x, y). Basta pensar en una
superficie cilíndrica de eje OZ y radio R. Nótese que, si (x0, y0) es un punto
de la circunferencia x 2 + y 2 = R 2 , los puntos de coordenadas (x0, y0, z) (al
variar z) describen la generatriz que pasa por (x0, y0, 0). Por tanto, todos
pertenecen a la superficie. Por ello, es imposible que una ecuación de la for-
ma z = f(x, y) pueda describir la superficie en cuestión (fijado (x0, y0), sólo
el punto (x0, y0, f(x0, y0)) pertenece a la superficie de ecuación z = f(x, y)).
Superficies como la anterior se describen matemáticamente mediante ecua-
ciones de la forma f(x, y, z) = 0. Más precisamente, adoptaremos la siguiente
definición. El lugar geométrico de los puntos del espacio que verifican la ecua-
ción
f(x, y, z) = 0
es ( en general) una superficie S, pues se trata de un conjunto de puntos
con dos grados de libertad. En efecto, pueden escogerse los valores de x e y
libremente y el valor de z queda determinado por la ecuación. Ésta recibe el
nombre de ecuación implícita de la superficie.
Terminamos el apartado deduciendo de forma razonada la ecuación de
una superficie cilíndrica. Denotemos por S la superficie cilíndrica de eje OZ
y radio R. Vamos a probar que su ecuación en forma implícita es x 2 +y 2 = R 2 .
222

−1
−0.5
0
Eje OX
0.5
Eje OZ
1
Con la ayuda de la figura, vemos que, si (x0, y0, z0) es un punto cualquiera
de la superficie S, su proyección sobre el plano z = 0 es el punto (x0, y0, 0), que
pertenece a la circunferencia C de centro el origen, radio R y contenida en el
plano OXY. Esta circunferencia tiene por ecuación x 2 + y 2 = R 2 (en el plano
OXY). Por tanto, debe ser también x 2 0 + y 2 0 = R 2 . Es decir, hemos probado
que, si (x0, y0, z0) es cualquier punto de S, entonces necesariamente se verifica
x 2 0 + y 2 0 = R 2 . Para poder asegurar que la ecuación de S es x 2 + y 2 = R 2 ,
debemos probar también que, si el punto (x0, y0, z0) es tal que x 2 0 + y 2 0 = R 2 ,
entonces dicho punto pertenece a S. Esto es obvio pues (x0, y0, 0) pertenece
a C y (x0, y0, z0) pertenece a la generatriz que pasa por (x0, y0, 0).
Ejemplos 7.3.1. a) x 2 + z 2 = R 2 es la ecuación de la superficie cilíndrica
de radio R y eje OY.
223
1.5
(x0,y0,0)
2
2.5
2.5
2
1.5
1
Eje OY
0
0.5
−0.5
−1
−1.5

Eje OZ
2
1
0
−1
−2
4
2
Eje OY
0
−2
−2
b) z 2 = x 2 + y 2 es la ecuación implícita de la superficie cónica siguiente
−4
−4
7.4. Límite doble.
6
4
2
0
−2
−2
0
Eje OX
2
4
4
Eje OZ
Sean f : D ⊂ R 2 → R y (x0, y0) un punto de acumulación de D. Cuando
escribimos
−1
2
0
Ejee OX
Eje OY
lím f(x, y) = l
(x,y)→(x0,y0)
224
0
1
−2
2
−4

queremos significar que f(x, y) se aproxima más y más al número l, a medida
que (x, y) se acerca a (x0, y0), moviéndose libremente en su dominio D (sin
llegar a ser (x0, y0)). Y si queremos que f(x, y) se diferencie de l en menos de
una cantidad pequeña (ɛ > 0), bastará con que (x, y) se tome en un entorno
perforado de (x0, y0) con radio (δ > 0) suficientemente pequeño. Estas ideas
quedan recogidas de una forma simple y precisa en la siguiente definición.
Definición 7.4.1. Diremos que
lím f(x, y)
(x,y)→(x0,y0)
existe y es igual a l si se verifica lo siguiente: Para cada ɛ > 0, puede encon-
trarse un entorno E ∗ δ (x0, y0) tal que
Ejemplo 7.4.2. Comprobar que
(x, y) ∈ D ∩ E ∗ δ (x0, y0) ⇒ |f(x, y) − l| < ɛ.
lím
(x,y)→(3,2) 1 + (x − 3)2 + (y − 2) 2
1 + x2 |f(x, y) − 1| = (x − 3)2 + (y − 2) 2
1 + x 2
≤ (x − 3) 2 + (y − 2) 2 .
= 1.
Luego, si queremos que |f(x, y) − l| < ɛ, bastará escoger (x, y) ∈ E ∗ δ (x0, y0),
siendo δ = √ ɛ.
Las propiedades del límite son formalmente las mismas, independiente-
mente del número de variables, por lo que no parece necesario volver a men-
cionarlas todas. A título de ejemplo, vamos a precisar algunas de ellas.
- Si el límite doble de una función, cuando (x, y) → (x0, y0), es distinto de
0, entonces existe un entorno perforado E ∗ r (x0, y0) tal que el signo de f(x, y)
es igual al de su límite l, para cada (x, y) ∈ D ∩ E ∗ r (x0, y0).
225
≤

- El límite de una suma, un producto o un cociente de dos funciones es
igual a la suma, producto o cociente de los límites de cada una (si el límite
del denominador no es 0, en el caso del cociente).
7.5. Límites direccionales.
El cálculo de límites de funciones de varias variables sí presenta algunas
diferencias importantes de las que nos vamos a ocupar a continuación.
En el cálculo de un límite doble se procederá de la forma siguiente:
I) Cálculo de los límites a través de las rectas que pasan por (x0, y0). Se
trata de descubrir el valor hacia el que se aproxima f(x, y) cuando (x, y) se
acerca a (x0, y0), moviéndose a lo largo de la recta y = y0 + m(x − x0).
Y
y
O
0
x
0
y=y +m(x-x )
0 0
X
La definición precisa y la notación habitual es la siguiente
lím
(x, y) → (x0, y0)
y = y0 + m(x − x0)
f(x, y) =
= lím f(x, y0 + m(x − x0)).
x→x0
226

Una vez calculados estos límites, pueden darse dos posibilidades:
a) No todos los límites a través de las rectas y = y0 + m(x − x0) tienen el
mismo valor. En este caso, concluimos que no puede existir el límite doble,
ya que f(x, y) es oscilante en las cercanías de (x0, y0).
b) Todos los límites a través de las rectas mencionadas tienen el mismo
valor l. En este caso concluimos que el límite doble, de existir, debe valer
también l. Sin embargo, no podemos asegurar, con este único dato, que el
límite doble exista realmente. Vamos a ver un ejemplo que muestra esto
claramente:
Ejemplo 7.5.1. Sea f(x, y) = x/(x + y 2 ), si (x, y) ∈ D, siendo D = {(x, y) :
x, y > 0}. Calcular lím f(x, y).
(x,y)→(0,0)
Las rectas que pasan por el origen tienen la ecuación y = mx y procedemos
a calcular los límites a través de tales rectas
lím
(x, y) → (0, 0)
y = mx
x
= lím f(x, mx) =
x + y2 x→0
x
= lím
x→0 x2 + m2 1
= lím
x2 x→0 1 + m2 = 1.
x
Por tanto, en este ejemplo se da la igualdad de todos los límites a través
de las rectas y = mx. Pero vamos a probar que, sin embargo, no existe el
límite doble en el origen. Para ello, necesitamos considerar un nuevo tipo
de límite unidimensional: el límite a través de una curva (se les llama
también límites direccionales). Antes de dar la definición precisa, vamos a
acabar con nuestro ejemplo. Nos proponemos descubrir hacia qué valor se
aproxima f(x, y) cuando (x, y) se acerca a (0, 0), moviéndose a lo largo de
la parábola x = y 2 . Bastará calcular el siguiente límite (límite de f(x, y) a
227

través de la parábola
lím
(x, y) → (0, 0)
x = y 2
x
y
= lím
x + y2 y→0
2
y2 1
=
+ y2 2 .
Esto muestra que nuestra función es oscilante en las proximidades de (0, 0):
de hecho, toma el valor constante 1
2 sobre la curva x = y2 ; pero al acercarse
(x, y) al origen por una recta y = mx, f(x, y) se aproxima a 1.
El ejemplo precedente muestra la conveniencia de disponer de otros límites
direccionales a parte de los límites a través de rectas. Vamos a establecer
la definición precisa de límite a través de una curva. Supongamos que una
curva en el plano OXY pasa por el punto (x0, y0) y tiene por ecuaciones
paramétricas
x = x(t)
y = y(t),
228

donde t ∈ [a, b]. Sea t0 ∈ [a, b] tal que (x0, y0) = (x(t0), y(t0)). El límite a
través de la curva se define por
lím
(x, y) → (x0, y0)
x = x(t), y = y(t)
f(x, y) = lím f(x(t), y(t)).
t→t0
Es evidente que cuando existe el límite doble de una función,
también existen los límites direccionales y tienen el mismo valor que
el doble. Pero no conviene olvidar que, como muestra el ejemplo
anterior, aunque coincidan todos los límites a través de las rectas
que pasan por el punto (x0, y0), nada puede asegurarse sobre la
existencia del doble. Precisamente, ahora pasamos a indicar qué
debe hacerse en estos casos.
II) Si todos los límites direccionales que hemos intentado calcular tienen
el mismo valor l, no podemos asegurar aún que el límite doble existe, pero sí
podemos estar seguros de que, caso de existir, su valor debe ser l. Por tanto,
debemos proceder a calcular la diferencia |f(x, y)−l|, tratando de comprobar
que se hace pequeña para (x, y) cercano a (x0, y0). Vamos a aclarar esto con
un ejemplo.
Ejemplo 7.5.2. Calcular lím
(x,y)→(0,0)
xy 3
tes a través de las rectas que pasan por el origen
lím
(x, y) → (0, 0)
y = mx
x2 . Empezamos calculando los lími-
+ y2 xy3 x2 x
= lím
+ y2 x→0
3m x2 + m2 = 0.
x2 La igualdad de los límites a través de las rectas y = mx nos permite afir-
mar que el posible límite doble debe valer 0. Para confirmarlo, procedemos a
evaluar la diferencia |f(x, y) − l|
|f(x, y) − 0| =
|x| · y2
x2 |x| · y2
≤
+ y2 y2 229
= |x|.

Tenemos pues 0 ≤ |f(x, y) − 0| ≤ |x|. La propiedad del sandwich nos asegura
que f(x, y) tiende a 0.
Terminamos este apartado mostrando que el uso de coordenadas polares
puede ayudar en muchos casos a calcular el límite doble. Empezaremos re-
cordando cómo se obtienen las coordenadas polares del punto (x, y) = (0, 0):
se definen ρ = + x 2 + y 2 y ω ∈ [0, 2π] tal que tg ω = y
x
ω igual π
2
o 3π
2
(si x = 0, se toma
, según que sea y > 0 ó y < 0). Las coordenadas polares de
(x, y) son (ρ, ω) y se verifican las siguientes relaciones entre ambos tipos de
coordenadas: x = ρ cos ω, y = ρ sen ω. Si al expresar f(x, y) en coordenadas
polares obtenemos
f(x, y) = f(ρ cos ω, ρ sen ω) = F (ρ) · G(ω),
siendo G acotada y verificando F que límρ→0 F (ρ) = 0, entonces podemos
estar seguros de que lím
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0, pues se tiene
0 ≤ |f(ρ cos ω, ρ sen ω) − 0| ≤ c · |F (ρ)|,
para cualesquiera ρ y ω (c > 0 es una constante tal que |G(ω)| ≤ c).
7.6. Continuidad.
Sean f : D ⊂ R 2 → R y (x0, y0) ∈ D. Diremos que f es continua en
(x0, y0) si se verifica lo siguiente: Para cada ɛ > 0, podemos encontrar un
entorno Eδ(x0, y0) tal que
si (x, y) ∈ D ∩ Eδ(x0, y0)
entonces |f(x, y) − f(x0, y0)| < ɛ.
Por tanto, si (x0, y0) es un punto de acumulación de D, la continuidad de f en
(x0, y0) equivale a que lím
(x,y)→(x0,y0) f(x, y) sea precisamente f(x0, y0). Por ello,
las propiedades de las funciones continuas se deducen de las correspondientes
de los límites.
230

Hemos visto, al estudiar la continuidad de funciones de una variable, que
toda función definida y continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un
máximo y un mínimo absolutos. En el caso de funciones de varias variables
existe un resultado similar válido para funciones definidas y continuas en un
conjunto cerrado y acotado.
Teorema 7.6.1. (Bolzano-Weierstrass). Si f es una función de varias va-
riables definida y continua en un conjunto D cerrado y acotado, entonces f
alcanza un máximo y un mínimo absolutos en D.
1. Calcular lím
(x,y)→(0,0)
PROBLEMAS RESUELTOS
x sen xy
x2 .
+ y2 Multiplicando y dividiendo por xy, escribimos la función en la forma
x 2 y
x 2 + y 2
sen xy
xy
El segundo factor tiene límite 1, debido a que sen t y t son infinitésimos
equivalentes en el origen. Entonces calculamos por separado el límite del
primer factor y habremos terminado. Empezamos calculando los límites
direccionales a través de las rectas que pasan por el origen:
lím
(x, y) → (0, 0)
y = mx
.
x2y x2 mx
= lím
+ y2 x→0
3
x2 (1 + m2 ) =
= lím
x→0
mx
= 0.
1 + m2 Todos los límites a través de las rectas y = mx valen 0. Por tanto, de
existir, el límite doble debe ser 0. Vamos a probar que esto es así haciendo
uso de la propiedad del sanduich
0 ≤ | x2y x2 |y|x2
− 0| ≤
+ y2 x2 |y|x2
≤ = |y|,
+ y2 x2 lo que prueba que el límite doble es 0.
231

x
2. Calcular lím
(x,y)→(0,0)
3
x2 .
+ y2 Expresamos f(x, y) en polares
f(ρ cos ω, ρ sen ω) =
ρ 3 cos 3 ω
ρ 2 (cos 2 ω + sen 2 ω) =
= ρ · cos 3 ω = F (ρ) · G(ω),
siendo F (ρ) = ρ y G(ω) = cos 3 ω. Vemos que G está acotada por 1 y que
límρ→0 F (ρ) = 0. Por tanto
x
lím
(x,y)→(0,0)
3
x2 = 0.
+ y2 xy
3. Calcular lím .
(x,y)→(0,0) y + x2 En primer lugar, calculamos los límites direccionales a través de las rectas
que pasan por el origen
lím
(x, y) → (0, 0)
y = mx
xy mx
= lím
y + x2 x→0
2
=
mx + x2 mx
= lím = 0.
x→0 m + x
Ahora vamos a buscar curvas de nivel de f(x, y) = xy
y+x2 que pasen por el
origen. La ecuación de las curvas de nivel es
xy
= c,
y + x2 donde c es una constante arbitraria. Despejando y en la igualdad anterior,
resulta y = cx2 . Nótese que se trata de una curva de nivel de f que pasa
x−c
por el punto (0, 0). Por tanto, f(x, y) tiene el valor constante c cuando
232

(x, y) recorre la curva y = cx2 . Por ello, el límite direccional a través de
x−c
dicha curva es 0, es decir, se tiene
lím
(x, y) → (0, 0)
y = cx2
x−c
xy
= c.
y + x2 Se deduce de lo anterior que no puede existir el límite doble en el origen.
xy
4. Calcular lím
(x,y)→(0,0)
4
x3 .
+ y6 Calculamos los límites a través de las rectas y = mx
lím
(x, y) → (0, 0)
y = mx
xy4 x3 m
= lím
+ y6 x→0
4x5 x3 + m6 =
y6 m
= lím
x→0
4x2 1 + m6 = 0.
x3 Ahora vamos a ver que el límite a través de la curva x = y 2 , el límite es
igual a 1/2
lím
(x, y) → (0, 0)
x = y 2
xy4 x3 y
= lím
+ y6 y→0
6
y6 =
+ y6 1
= lím
y→0 2
= 1
2 .
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Representar gráficamente los subconjuntos de R 2 siguientes:
A = {(x, y) : xy < 1}, B = {(x, y) : xy < 0}, C = {(x, y) : 2x + 3y <
1},
D = {(x, y) : |x| < 1, |y| < 1}, E = {(x, y) : x > 0, y > x 2 , |x| < 2},
F = {(x, y) : x ≥ y, x ≥ 0, y > 0}.
233

2. Determinar los puntos interiores, de acumulación y frontera de cada uno
de los conjuntos del ejercicio anterior.
3. Calcular los límites dobles en el origen de las siguientes funciones:
f(x, y) = x2−y2 x2 +y2 , g(x, y) = xy
x2 +y2 , h(x, y) = xy √
x2 +y2 ,
k(x, y) = xy2
x 2 +y 4 , p(x, y) = x2 y 3
x4 +y6 , q(x, y) = x2 +y2 x+y
, s(x, y) = xy
x+y 2 .
Soluciones: (1) los límites a través de las rectas y = mx dependen del
valor de m, luego no existe el límite doble. (2) Igual que el anterior. (3) 0.
(4) No existe el límite doble ( considerar la curva x = y 2 ). (5) No existe
el límite doble (considerar la curva x 2 = y 3 ). (6) No existe, considerar
la curva de nivel q(x, y) = 1. (7) No existe, considerar la curva de nivel
s(x, y) = 1.
4. Determinar las curvas de nivel de la función
a)f(x, y) = x2 + y2 , b)f(x, y) = xy.
x + y
5. Comprobar que las rectas y = mx son curvas de nivel de la función
f(x, y) = xy
x2 .
+ y2 Deducir que no existe el límite doble en el origen de la función f.
6. Comprobar que las parábolas x = y 2 son curvas de nivel de la función
f(x, y) = xy2
x2 .
+ y4 Deducir que no existe el límite doble en el origen de la función f.
7. Determinar las curvas de nivel de f(x, y) = xy
x+y 2 . Deducir que no existe el
límite doble en el origen.
234

8. Calcular el límite doble en el origen de
a)f(x, y) = x3
x2 + y2 , b)f(x, y) = sen x2y2 x2 + y
9. Estudiar la continuidad en el origen de las funciones siguientes:
a) f(x, y) =
b) f(x, y) =
c) f(x, y) =
1 + xy2
x 2 +y 2 si (x, y) = (0, 0)
1 si (x, y) = (0, 0)
x
x 2 +y 2 si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
x3 x2 +y2 sen 1 si x · y = 0
xy
0 si x · y = 0
Soluciones: a) continua, b) discontinua, pues no existe el límite doble y c)
continua.
10. Representar gráficamente las funciones:
a) f(x, y) = 1 − (x 2 + y 2 ), b) f(x, y) = − x 2 + y 2 , c) f(x, y) = y 2 .
11. Estudiar la continuidad en el origen de las funciones siguientes:
a) f(x, y, z) = xyz
x 2 +y 2 +z 2 y f(0, 0, 0) = 0.
b) f(x, y, z) =
xy
x 2 +y 2 +z 2 y f(0, 0, 0) = 0.
Soluciones: a) Continua. b) discontinua( el límite de f(x, y, z) a través del
plano z = 0, se reduce a calcular el límite doble de xy/(x 2 + y 2 ) en el
origen y éste no existe.
235
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2 .