Ejercicios repaso trigonometria - IES Jovellanos

Trigonometría: actividades de repaso
1.- Justifica mediante la correspondiente figura cada una de las siguientes igualdades:
a) sen (a + 1801) = - sen a
b) cos (- a) = cos (2 π - a) = cos a
c) tg ( 1801 - a) = - cot ( 901 - a)
d) sec (2 π - a) = cosec ( π /2 - a).
2.- Hallar un ángulo a que verifique:
a) es del segundo cuadrante y tal que cos a = - sen 251.
b) Halla todos los ángulos comprendidos entre 0 y 2π radianes que verifiquen:
c) Su tangente es igual a la tangente de - π/6.
d) Su coseno es igual a - sen (π/4).
e) Su seno es igual a cos 1831.
f) Su cotangente es igual tg (-641).
3.- Halla los ángulos a del segundo cuadrante que verifiquen:
(i) cos a = - cos 251 (ii) cos a = - sen 251
(iii) tg a = - tg 151 (iv) cot a = - tg 651
4.- Halla todos los ángulos comprendidos entre 0 y 2π radianes que verifiquen:
a) Su tangente es igual a la tangente de - π/6 b) Su coseno es igual a - sen (π/4)
c) Su seno es igual a cos 183º d) Su cotangente es igual tg (-64º).
e) Su coseno es igual a -sen 3.
5.- Determinar por procedimientos gráficos las razones trigonométricas directas e inversas
de los siguientes ángulos:
a) 0º b) 90º c) 180º d) 270º e) 360º
)Alguna de ellas no existe?. Justifica la respuesta.
6.- Si sólo disponemos de la tabla indicada abajo, )Cuáles de las siguientes razones
trigonométricas podríamos calcular ?. Indica cómo.
a) sen 74º 50' b) cos 65º 40' c) tg 94º 10'
d) cos 335º 40' e) sen 195º 10' f) cos 155º 40'
1

15º 10'
24º 20'
85º 50'
seno
0'2616
0'4120
0'9974
coseno
0'9652
0'9112
0'0727
tangente
0'2711
0'4522
13'727
7.- Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos. Explica cómo las calculas.
a) 37π /3 radianes b) 1030º
8.- Completa las siguientes igualdades, tomando como modelo el ejemplo resuelto en a):
a) sen 2580º = sen 60º = 3
2
b) cos 29801 = cos = - cos =
c) tg 23601 = tg = tg =
d) cos 25 π /6 = cos ( 4 + /6) = cos /6 =
e) sen (14π + π /4) = sen =
9.- Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) El seno de un ángulo puede ser mayor que 1.
b) El seno de un ángulo es siempre menor que 1.
c) El seno de un ángulo puede ser igual a 1.
d) El seno de un ángulo siempre es mayor que 0.
10.- Si sen x =3/4, calcula cos x y tg x sin utilizar la calculadora.
11.- Si tg x = 5, calcula sen x y cos x sin hacer uso de la calculadora.
12.- )Puede haber un ángulo a de un triángulo rectángulo cuyas razones trigonométricas
verifiquen:
3 1
a) sen a = ; tg a =
2 2 b)
3 1
cos a = ; sen a =
3 2
2 2
c) sen a = ; cos a =
2 2 d)
5
tg a = 2 ; cos a =
5
13.- Responde en tu cuaderno, razonando las respuestas, las siguientes cuestiones:
a) Si hacemos crecer un ángulo de 01 a 901 )Qué ocurre con su seno, su coseno y su
tangente, aumentan o disminuyen? ) y si crece de 901 a 1801? )y de 1801 a 2701?.
b) Las funciones seno, coseno y tangente )Pueden tener por valor cualquier número
real? )y las funciones secante, cosecante y cotangente?.
c) )Existe algún ángulo que tenga iguales el seno el coseno y la tangente?.
d) )Queda determinado un ángulo menor que 2, conociendo una de sus razones
trigonométricas (por ejemplo el seno) ?.
2

14.- Si x es un ángulo del primer cuadrante tal que sen x = 1/3. Calcula:
a) sen (-x) b) sen ( π /2 + x) c) tg ( 180º + x) d) cos ( 360º- x)
15.- Sin utilizar calculadora, resuelve las ecuaciones trigonométricas siguientes:
a) sen x = 1/2 b) cos 2x = 1/2 c) tan 3x = 1
16.- Halla todas las soluciones de la ecuación
obtienes?
3
sen(x + π ) = - . )Qué conclusiones
2
17.- En cada uno de los siguientes casos, y siempre que sea posible, halla qué ángulos
comprendidos entre 01 y 3601 verifican las condiciones indicadas. Si no existe ningún
ángulo explica por qué.
a) El seno es el doble del coseno.
b) La tangente es la mitad del coseno
c) La tangente es la mitad del seno.
d) El coseno es el triple del seno.
e) El coseno del suplementario coincide con el cuadrado del seno.
18.- Calcular en función de las razones trigonométricas de ángulos conocidos las razones
de: 120º, 135º, 150º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 330º.
Sol: sen120º=sen60º, cos120º=-cos60º; sen135º=sen45º, cos135º=-cos45º;
sen150º=sen30º, cos150º=-cos30º; sen180º=sen0, cos180º=-cos0; sen210º=-sen30º,
cos210º=-cos30º; sen225º=-sen45º, cos225º=-cos45º; sen240º=-sen60º, cos240º=- cos60º;
sen270º=-sen90º, cos270º=-cos90º; sen300º=-sen60º, cos300º=cos60º; sen315º=-sen45º,
cos315º=cos45º; sen330º=-sen30º, cos330º=cos30º
19.- Simplifica las siguientes expresiones:
1
a) sen a
tg a
⎛ 1 ⎞
b) sen a. cos a ⎜tg a + ⎟=
⎝ tg b ⎠
3 2
c) sen α + senα
⋅ cos α
2 2
2cos x − sen x + 1
e)
cos x
2 2
sen x − cos x
d) 4 4
sen x − cos x
20.- Comprueba si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:
2
1 + tg α tgα
= 2 α α
-
cot cos
- tg α + cot α = sec α.cosec α
sen α cos β sen β cos α
tg a + tg b
= tg a.tg b
cot a + cot b
2 2 2 2
- - = -
-
3

-
-
1 - sen a cos a
=
cos a 1 + sen a
2 1
cos x = 2
1+ tg x
21.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo cuya tangente es igual a dos veces su
seno.
22.- Para el triángulo rectángulo de la
figura, sabiendo que β es el complementario
del ángulo α, se pide:
Hallar la medida del ángulo α
Calcular la medida del cateto desconocido.
Hallar el valor de la expresión:
sen α + cos β + tan α
23.- Hallar los ángulos del triángulo rectángulo que tiene por lados 9, 7 y 6 cm
respectivamente.
24.- Dibuja un triángulo rectángulo que tenga por catetos 69 unidades y 92 unidades de
longitud. Calcula la medida de la hipotenusa y de sus ángulos agudos.
25.- El ángulo que forma una carretera con la horizontal en determinado tramo es de 18º.
¿Cuál es el desnivel en tanto por ciento?
26.- La sombra de un rascacielos en un determinado momento del día mide 192 m. Si en el
mismo instante y lugar la sombra de una señal de tráfico de 2,5 m. de altura mide 1,5 m.,
¿cuál es la altura del rascacielos?
27.- La sombra que proyecta Juan al atardecer de un día de verano mide 2,24 m. El ángulo
que forman los rayos solares con el suelo es de 37º. ¿Cuánto mide Juan?
28.- Dos hombres que andan a razón de tres kilómetros por hora parten al mismo tiempo
de un cruce de dos caminos rectos, que forman entre sí un ángulo de 15º. Los dos van en el
mismo sentido. ¿A qué distancia se encontrarán uno del otro al cabo de dos horas?
29.- Dos amigos separados 800 m., ven un globo que está entre los dos bajo ángulos de 35º
y 55º, respectivamente. Calcula la altura a la que se encuentra el globo.
30.- Un hombre está situado al oeste de una torre y desde ese punto la observa con un
ángulo de elevación de 451. Camina 50 m. hacia el sur y observa con un ángulo de
elevación de 301. )Cuál es la altura de la torre.
31.- Pedro ve la torre de una antena de emisora de radio desde su casa con un ángulo de
451, María ve desde su casa esa misma torre con un ángulo de 601. Las casa de Pedro y
María están a una distancia de 120 m. )Cuál es la altura de la torre.
4

32.- Desde un punto del espacio un satélite puede observar la tierra bajo un ángulo de 201
9' 48''. Sabiendo que el radio de la tierra es de 6370 km., halla la distancia a que se halla
dicho satélite de la tierra.
33.- La superficie de un terreno en forma de trapecio es de 1.200 m2. Sabiendo que tiene
dos ángulos de 45º y que la base menor es de 65 metros, calcula la base mayor y la
distancia entre las bases.
34.- Determina la expresión del área de un polígono regular cualquiera en función de la
medida de uno de sus lados y del número de éstos.
35.- Las diagonales de un paralelogramo miden 30 y 20 cm. y se cortan formando un
ángulo de 40º. Calcula sus lados y su área.
36.- Luís vive en el campo en una casa situada sobre una carretera recta. Fuera de la
carretera hay una iglesia a 100 m. de distancia. La línea visual que une la casa y la iglesia
forma un ángulo de 40º con la carretera. Avanza por la carretera determinada distancia y
ahora ve la iglesia formando un ángulo de 25º con la carretera. ¿A qué distancia se
encuentra de la iglesia?
37.- Calcular la longitud de una correa de transmisión que enlaza dos ruedas de radios 0,5
y 0,2 m., siendo la distancia entre sus centros de 1 metro.
38.- Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden
4 y 8 cm. Calcula las razones trigonométricas de sus ángulos.
39.- Dos de los lados de un triángulo rectángulo miden 10 y 20 cm. ¿Cuánto puede medir
el tercero? ¿Existe más de una solución?
c= 5
B
A
h = 4
C
40.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo C
del triángulo ABC cuyas medidas vienen dadas en
cm.
41.- Calcula el lado y el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de
radio 10 cm.
42.- Desde un faro colocado a 40 m. sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo
de 55º. ¿A qué distancia del faro se halla el barco?
43.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo
de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m. hacia el pie de la torre, ese ángulo mide
60º. Halla la altura de la torre.
5

44.- El observador que aparece en la ilustración observa, desde un punto, la parte superior
de la torre con un ángulo de elevación de
30º. Avanza 30 metros hacia la torre y,
desde esta nueva posición, observa su parte
superior con un ángulo de 45º. Se pide:
a) Calcular la altura de la torre.
b) Hallar a que distancia de la torre estaba
el observador en la posición inicial.
45.- Calcular las dimensiones y el perímetro del rectángulo de la figura.
46.- Calcular los ángulos de un rombo sabiendo que su lado mide 13 cm y una de las
diagonales 10 cm.
47.- De un triángulo isósceles conocemos su base que mide 58 cm y la altura
correspondiente al vértice opuesto que mide 30 cm. Hallar los elementos restantes.
48.- Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide el doble que el otro. Calcular las
razones trigonométricas de los ángulos agudos.
49.- Para medir la anchura de un río se ha trazado un triángulo rectángulo como el que
aparece en la ilustración y se ha medido el
ángulo de vértice A = 15º y la distancia
entre los puntos A y B que es de 150 m.
Con estos datos se pide:
a) Hallar la anchura del río.
b) Determinar la distancia del punto B a la
base del árbol.
50.- En un círculo de 86 cm de radio, trazamos una cuerda que une los extremos de un arco
de 1101. Hallar la distancia del centro a la cuerda.
51.- Calcular el ángulo que forman entre si dos tangentes a una circunferencia de radio 15
cm trazadas desde un punto que dista 27 cm del centro.
6

52.- Desde el punto P de un edificio se
ve la copa de un árbol con un ángulo
de elevación de 20º y la base del
mismo con un ángulo de depresión de
35º. La distancia entre P y el árbol es
de 5 metros. Halla la altura del árbol.
53.- Dos lados de un triángulo rectángulo miden 28 cm. y 18 cm. y el ángulo que forman
estos lados mide 57º. ¿Cuánto mide el área?
54.- Calcula el área de un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 10 y 15 cm. y que
los otros dos ángulos distintos al comprendido entre ellos miden 80º y 70º.
55.- Un octógono regular está inscrito en una circunferencia de radio 1 m. Hallar su área.
56.- Observa el método que empleó Aristarco (280 a.C.) para calcular la distancia de la
Tierra al Sol. Esperó hasta que la mitad del disco lunar estuviese iluminado, pues pensó,
con razón, que en ese momento el ángulo Sol-Luna-observador sería recto. Como conocía
la distancia de la Tierra a la Luna que él mismo había calculado, le bastó con medir el
ángulo T y, aunque con un error considerable, resolvió el problema. Hazlo tú con los
siguientes datos:
57.- Una circunferencia tiene 100 cm de diámetro. Desde un punto P de la circunferencia,
se traza una cuerda perpendicular al diámetro AB que divide a este en dos segmentos: AC
y CB, siendo 20 cm. la longitud de AC. Se pide:
a) Dibujar la correspondiente figura y hallar la medida de la cuerda.
b) Aplicar el teorema del cateto para hallar los lados del triángulo APB y hallar su área.
c) Determinar los ángulos de APB.
58.- Una persona observa en un día de verano que la sombra que proyecta un poste vertical
es la mitad de su altura. Determina qué ángulo forman en ese instante los rayos del Sol con
el horizonte.
7

= 22
C
ejemplo resuelto:
59.- El triángulo que aparece en la figura
NO ES un triángulo rectángulo.
Sabiendo que h es la altura trazada desde
el vértice A, se pide:
a) Calcular la medida del lado c.
b) Se designa por " al ángulo de vértice
C, hallar su medida en grados y radianes.
c) Completar la siguiente tabla
expresando las razones en función de las
del ángulo " como se indica en el
tg(90º + ") sen (90º - ") cos (180º + ")
1
−
tg α
tg(270º + ") sen (- ") cos (180º - ")
60.- Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda CD perpendicular al diámetro lo
divide en dos segmentos, uno de los cuales mide 20
cm. (Ver la figura). Se pide:
A B
20
O
N
m = 10
C
D
r
30º
A
A
C R
S
h
a = 30
c
B
a) Hallar la longitud de la cuerda CD.
b) Resolver el triángulo ACB determinando las
longitudes de sus lados y sus ángulos.
c) En esa misma circunferencia se inscribe un
pentágono regular. Calcular su lado y su área.
61.- a) Calcula el radio (r) del paralelo cuya latitud es 30º N
sabiendo que el radio de la tierra mide 6371 km.
b) Halla la distancia entre dos ciudades cuyas coordenadas
geográficas son:
A(10º E, 30º N); B(20º E, 30º N)
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62.- Las ciudades A y B están sobre el mismo paralelo de latitud a 45º N. La ciudad A
tiene longitud 35º W y la ciudad B: 55º E. Hallar la distancia entre ambas ciudades. (Dato:
radio de la tierra • 6371 km)
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