EL TRIANGULO DE PASCAL

Proyecto ESTALMAT – Palencia “El Triángulo de Pascal”
EL TRIÁNGULO DE PASCAL.
PROPIEDADES ARITMÉTICAS Y OTRAS SORPRESAS.
Vamos a empezar planteando y resolviendo unos problemas que, en principio
puede parecer no tienen nada en común pero... luego veremos.
PROBLEMA 1:
Una hormiga se mueve sobre una cuadrícula pero sólo puede hacerlo yendo
hacia la derecha o hacia arriba (nunca puede caminar en dirección hacia abajo ni
hacia la izquierda). Quiere ir desde un punto A en el que ahora se encuentra hasta otro
punto B, donde está su hormiguero. Se trata de contar por cuántos caminos diferentes
puede ir.
1.a.- Vamos a resolverlo empezando por una cuadrícula muy sencilla:
1.b.- Ahora la cuadrícula es un poco más compleja:
A
A
B
B
¿Por cuántos caminos se puede ir de A hasta B si
sólo puede moverse hacia arriba y hacia la
derecha?
No te resultará difícil decir cuáles son esos
caminos
¿Por cuántos caminos se puede ir de A hasta B si
sólo puede moverse hacia arriba y hacia la
derecha?
Puedes ir dibujándolos, pero... ¡no te dejes
ninguno!
1.c.- ¿Y si la cuadrícula por la que debe andar la hormiga tiene la siguiente forma?
A
Ahora debes ir contando los caminos con mucho más cuidado. Te proponemos
una idea que quizá te resulte útil para no dejarte ningún camino.
Mª Dolores Arce Bernardo Página 1
José Antonio Zapata Abad
B

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Fíjate en la cuadrícula de abajo. Como verás tiene la misma forma que la de
arriba pero hemos pintado en cada cruce de caminos un pequeño círculo. Se trata de que
pongas dentro de cada círculo de cuántas formas se puede llagar desde A hasta ese
cruce. Recuerda que la hormiga sólo puede caminar hacia arriba y hacia la derecha.
A
¿Has llegado a contar por cuántos caminos diferentes se puede ir desde A hasta B?
Escríbelos en el circulo que está junto a B
Seguro que empiezas a encontrar ciertas propiedades que cumplen los números que has
escrito en los círculos. Escribe lo que se te ocurra y luego lo comentamos.
Mª Dolores Arce Bernardo Página 2
José Antonio Zapata Abad
B

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1.d.- Y, por último, una cuadrícula más complicada. Podríamos llamarla una
“Cuadrícula 3x3”:
A
Utiliza los números que ya calculaste en el ejemplo anterior, échale un poco de
imaginación y calcula de cuántas formas puede la hormiga ir desde A hasta B.
Mª Dolores Arce Bernardo Página 3
José Antonio Zapata Abad
B

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PROBLEMA 2:
El abuelo tiene en su cartera una moneda de 1 euro, otra de 2 euros, un billete de
5 euros, otro de 10 euros, otro de 20 euros, uno de 100 euros, otro de 200 euros y uno de
500 euros. Va a darle a su nieto la propina y elige, al azar, dos monedas o billetes.
Se trata de que averigües cuántas cantidades de dinero puede recibir el nieto.
Aquí no te damos ninguna pista más. Simplemente debes ser ordenado y no te
olvides ninguna posibilidad. Al final te será fácil averiguar el número de posibilidades.
Mª Dolores Arce Bernardo Página 4
José Antonio Zapata Abad

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Otra forma de resolverlo:
Ahora vamos a indicarte otro procedimiento que quizá no te convenza al
principio pero que puede que luego nos sirva para otros ejemplos.
En la tabla de abajo hemos colocado, en las filas y en las columnas las diferentes
monedas o billetes. Debes escribir en cada casilla la cantidad de dinero que recibiría el
nieto.
1 €
2 €
5 €
10 €
20 €
100 €
200 €
500 €
1 € 2 € 5 € 10 € 20 € 100 € 200 € 500 €
Puede que te hayas dado cuenta de algo:
¿Puede el nieto recibir 1 € + 1 € = 2 euros? ¿Por qué no?
¿Hay algún caso que no se pueda dar? Convendría tachar esos casos.
¿Cuántas veces aparece en la tabla cada cantidad? ¿Esto se cumple siempre?
Mª Dolores Arce Bernardo Página 5
José Antonio Zapata Abad

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Y ahora vamos a contar:
¿Cuántas casillas tenía la tabla inicialmente?
¿Cuántas hemos quitado?
Por tanto, nos quedan ______ casillas.
¿Hay repeticiones?
¿Todas se repiten?
¿Qué convendría hacer ahora para obtener el número de posibles propinas que
recibe el nieto?
Al final llegamos al mismo número de posibles propinas que era de _________
posibilidades.
¿Podrías escribir una fórmula que nos dé el resultado final?
Imagina que ahora el abuelo dispone además de una moneda de 50 céntimos de
euro. ¿Cuántas posibles propinas puede recibir ahora el nieto si su abuelo le da sólo dos
monedas o billetes? Intenta resolverlo mediante una fórmula similar a la que acabamos
de obtener.
Terminamos: ahora el abuelo, además de los billetes y monedas de antes, tiene
una moneda de 20 céntimos de euro, otra de 10 céntimos, otra de 5 céntimos, otra de 2
céntimos y otra de 1 céntimo de euro. ¿cuántas posibles propinas puede recibir el nieto?
Mª Dolores Arce Bernardo Página 6
José Antonio Zapata Abad

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PROBLEMA 3:
El primer set de un partido de tenis entre Roger Federer y Rafa Nadal terminó
con el resultado 6-4 a favor de Rafa Nadal.
¿De cuántas maneras pudo ir discurriendo el resultado desde el 0-0 inicial hasta
el definitivo 6-4?
Ahora ya eres capaz de resolverlo sin ayuda (o utilizando procedimientos que ya
hemos aprendido en los ejercicios anteriores).
Mª Dolores Arce Bernardo Página 7
José Antonio Zapata Abad

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Hola chicos, os presentamos el más famoso triángulo de la Historia de las
Matemáticas. Se le conoce como el Triángulo Aritmético o el Triángulo de Pascal.
Aunque se conocía desde mucho antes –aparece en la portada de un libro sobre
aritmética de Petrus Apianus en el siglo XVI o en un libro de matemáticas chino de
1303 y ya hablaba de él en sus escritos el matemático Omar Khayyam alrededor de
1100, probablemente de fuentes indias o chinas más antiguas- fue el matemático francés
Blaise Pascal quien escribió un primer libro sobre él, el “Tratado del triángulo
aritmético” en el que se describen la mayoría de las innumerables propiedades
aritméticas que se esconden en el triángulo. Es por esto por lo que se le conoce
comúnmente como Triángulo de Pascal.
¿Sabes lo que significa aritmética?
Quizá te interese saber que Blaise Pascal fue la primera persona que inventó una
máquina capaz de hacer operaciones de forma automática. Era algo así como la primera
calculadora aunque por su aspecto también se podría decir que fue el primer ordenador.
Si te resulta interesante puedes investigar más cosas sobre los logros de Blaise Pascal en
Internet, en alguna enciclopedia, libros de historia de las matemáticas...
Escribe algo que hayas encontrado relacionado con Blaise Pascal y te resulte
interesante:
Mª Dolores Arce Bernardo Página 8
José Antonio Zapata Abad

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¿Cómo se construye el Triángulo? Se comienza poniendo un uno arriba y en las
dos diagonales y luego...
¿Ves alguna propiedad que sirva para
calcular todos los demás números que forman el
Triángulo?
Escríbela:
A.- Ahora que ya sabemos construirlo vamos a practicar un poco hasta completar el
Triángulo que viene a continuación:
Mª Dolores Arce Bernardo Página 9
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B.- Observa y analiza el Triángulo. ¿Qué propiedades encuentras a simple vista?
Escríbelas y luego las comentamos.
C.- Observa los números que se sitúan sobre la segunda diagonal. Seguro que los
reconoces: son los números _______________________
D.- Observa ahora los números colocados en la tercera diagonal. Escríbelos aquí abajo:
¿Sabes cómo se llama a esta serie de números?
Vamos a ver por qué se llaman así:
Mª Dolores Arce Bernardo Página 10
José Antonio Zapata Abad

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E.- Observa la figura de abajo: vamos a sumar los números que hay en cada fila. Anota
junto a las flechas el resultado de la suma de la fila.
¿Qué números se van obteniendo?
¿Sabes cómo se llama esta serie de números?
F.- Ahora vamos a sumar los números situados sobre cualquier diagonal empezando por
el 1 y llegando hasta una posición cualquiera. Empieza por la suma indicada en el
dibujo:
1 + 3 + 6 + 10 + 15 =
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José Antonio Zapata Abad

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Vamos a sumar ahora los números indicados en este otro dibujo:
¿Encuentras alguna regularidad?
¿Cuánto vale la suma de los números naturales situados del 1 al 10?
¿Te atreves ya a dar una respuesta que sirva para cualquier ejemplo?
¿Cuánto vale la suma de los 13 primeros números triangulares?
¿Y la de los 15 primeros números triangulares?
1 + 6 + 21 + 56 + 126 + 252 + 462 =
¿Cuánto vale la suma de 1, 6, 21, 56, 126 y 462 ? Localízalos en el triángulo y
da la respuesta de forma automática, sin necesidad de hacer la suma.
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G.- Observa ahora las primeras filas como si fueran un solo número: aparecen los
números 1, 11, 121, 1331 y 14641.
Estos números corresponden a....
¿sabrías continuar la serie?
El primer número de esta serie es 1. ¿se cumple también con él la propiedad que
cumplen todos los demás? ¿por qué?
Puede parecer que la siguiente fila no conserva esta propiedad pues en algunas
casillas empiezan a aparecer números de dos dígitos. Haremos lo siguiente: de estos
números de dos dígitos apuntamos las unidades y sumamos las decenas a la cifra
colocada a su izquierda.
Por ejemplo:
Fila quinta: 1 5 10 10 5 1
Anotamos: 1 6 1 0 5 1
Y nos queda el número 161.051 que continúa la propiedad de la serie pues:
161.051 =
Si hacemos lo mismo con las siguientes filas aplicando el mismo procedimientos
para las centenas, millares, etc... se van obteniendo las sucesivas potencias de 11.
Practica ahora con la fila sexta, séptima y octava.
Sexta fila:
Séptima fila:
Octava fila:
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José Antonio Zapata Abad

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H.- ¿Se te ocurre algún procedimiento parecido al Triángulo de Pascal que sirva para
obtener las potencias de 22?
I.- Suma los números de las diagonales señaladas en el siguiente triángulo:
Observa la serie de números que vas obteniendo y escríbelos:
¿Encuentras alguna propiedad que sirva para continuar la serie?
Mª Dolores Arce Bernardo Página 14
José Antonio Zapata Abad

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UN PROBLEMA: LA PARED Y LOS LADRILLOS
Si queremos construir una pared de ladrillo con los ladrillos de tamaño usual,
que miden el doble de ancho (dos unidades) que de alto (una unidad), y si nuestro muro
tiene dos unidades de alto, podemos construir el muro de un determinado número de
formas, según cómo de largo lo queramos:
Sólo hay una forma de hacer un muro de una unidad de largo: colocar un solo
ladrillo, de pie.
Hay dos formas de hacer un muro de longitud 2: dos ladrillos de pie, uno al lado
del otro, o dos ladrillos tumbados, uno sobre otro.
Hay tres formas de hacer un muro de longitud 3:
¿De cuántas formas se puede hacer un muro de longitud 4?
¿Y de longitud 5?
¿Y de longitud n?
Observa que aparece la serie de…………….
Esta serie está presente muchas veces en la naturaleza, sobre todo en el mundo
vegetal.
¿Habías oído hablar antes de los números de Fibonacci?
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Seguimos con las propiedades aritméticas del Triángulo de Pascal:
J.- Vamos a elegir dos números triangulares consecutivos. Por ejemplo el 6 y el 10.
Calcula su suma: 6 + 10 =
Relaciona este resultado con algún número que en el Triángulo de Pascal está situado
junto al 6 y al 10.
Veamos otro ejemplo. Tomamos ahora el 10 y el 15. Su suma vale:
que es……
10 + 15 =
Ahora que hemos encontrado una propiedad vamos a probarla con otros números más
complejos:
Calcula la suma de 45 y 55: que es ……..
K.- Localiza en el Triángulo de Pascal el número 4.
Escribe los seis números que rodean a 4:
Calcula su multiplicación:
¿Es este resultado el cuadrado de un número natural? ¿De cuál?
¿Cómo se puede obtener el número 30 multiplicando algunos de los números que
rodean a 4?
Mª Dolores Arce Bernardo Página 16
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Esto, que puede parecer curioso, se repite con todos los números del Triángulo.
Elegimos, por ejemplo, el número 45
Escribe los seis números que rodean a 45:
Calcula su multiplicación:
¿Es este resultado el cuadrado de un número natural? ¿De cuál?
¿Cómo se puede obtener el número multiplicando algunos de los números que rodean a
45?
Prueba ahora con el número que tú quieras y comprobarás que la propiedad se sigue
cumpliendo.
Mª Dolores Arce Bernardo Página 17
José Antonio Zapata Abad

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Pero lo más sorprendente a la vista del Triángulo de Pascal surge cuando se pinta en un
triángulo gigante todos los múltiplos de un determinado número primo.
Vamos a empezar por el más sencillo. Pintaremos en el Triángulo de abajo todos los
múltiplos de 2:
En la siguiente hoja os damos un triángulo gigante en el que, desafortunadamente, se
han borrado todos los números. Como sois muy inteligentes seguro que sois capaces de
pintar todos los múltiplos de dos, es decir, todos los números pares.
Quizá conviene que contestéis a las siguientes cuestiones:
Cuando sumamos dos números se cumple que:
nº par + nº par = ¿par o impar?
nº impar + nº par = ¿par o impar?
nº impar + nº impar = ¿par o impar?
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José Antonio Zapata Abad

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Mª Dolores Arce Bernardo Página 19
José Antonio Zapata Abad

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Si lo hiciéramos sobre un triángulo inmenso el resultado sería el siguiente:
Esta figura se conoce con el nombre de Triángulo de Sierpinski
¿Has oído hablar de los fractales? ¿Sabes que un copo de nieve es una figura
matemática similar a ésta?
Mª Dolores Arce Bernardo Página 20
José Antonio Zapata Abad

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¿Te apetece continuar? Podemos ahora pintar en el triángulo de abajo los
números que son múltiplos de 3. La figura que se obtiene es similar a la anterior.
Y, si tienes fuerzas, inténtalo sobre un Triángulo gigante.
Mª Dolores Arce Bernardo Página 21
José Antonio Zapata Abad

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Pinta en este Triángulo de Pascal los números que sean múltiplos de 3:
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