CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE.

En coordenadas polares, la curva dada tiene por ecuación
a
u = a cos v(cos 2 v − 3 sen 2 v),
de modo que el área buscada se calcula por la integral doble
A = 6
= 3a 2
π/6
dv
0
π/6
0
a cos v(cos 2 v−3 sen 2 v)
0
u du
cos 2 v(cos 2 v − 3 sen 2 v) 2 dv = a2 π
4 .
c) Realizaremos la transformación de coordenadas siguiente:
u =
y/b
x/a , v = x/a + y/b
(dicha transformación es biyectiva porque la región está contenida en el primer cuadrante).
Con esta transformación los nuevos límites de la región son 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 2. Como la
inversa de la transformación es x = av2
(u + 1) 2 , y = bu2v2 , entonces
(u + 1) 2
J
x, y
u, v
y el área se calcula mediante la integral doble
A =
2
1
2
du
1
= −4abuv3
,
(u + 1) 4
4abuv3 65ab
dv =
(u + 1) 4 108 .
34. Hallar el área de la región del plano XY encerrada por la lemniscata r 2 = a 2 cos 2ϑ.
Solución
La curva está dada directamente en coordenadas polares (r, ϑ). Dando diferentes valores a
ϑ y hallando los correspondientes valores de r se obtiene la gráfica de la figura.
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