Problemas. Números complejos - Blog Grado Ciencias del Mar

Problemas resueltos
1. Expresa en forma binómica los siguientes números complejos:
a) z =
a) z =
(3 + i)(1 − 2i)
2+i
(3 + i)(1 − 2i)
2+i
= 5 − 5i
b) w = 1+i3
(1 − i) 3 c) u = 1 1
+
1+i 1 − i
2+i
= (5 − 5i)(2 − i)
(2 + i)(2 − i)
= 5 − 15i
5
=1− 3i
b) w = 1+i3 1 − i
=
(1 − i) 3 1 − 3i − 3i2 1 − i 1 − i
=
=
− i3 1 − 3i − 3+i −2 − 2i =
=
(1 − i)(−2+2i) 4i
=
(−2 − 2i)(−2+2i) 8 =0+1
2 i
c) u =
1 1 1 − i +1+i 2 2
+ = = =
1+i 1 − i (1 + i)(1 − i) 1 − i2 2 =1=1+0i
2. Calcula i 431
Puesto que 431 = 107 × 4+3se sigue que i 431 = i 3 = −i
3. Calcular la forma cartesiana de
z = i 1999 + i 2000
Por un lado, i 1999 = i 499×4+3 = i 3 = −i. Por otra parte, i 2000 = i 500×4 =
1. Por tanto,
4. Sea z =1− 2i. Calcula z 5
z 5 =(1− 2i) 5 =
+
µ 5
4
µ
5
0
(2i) 4 µ
5
−
5
z = i 1999 + i 2000 =1− i
µ
5
−
1
µ
5
(2i)+
2
(2i) 2 µ
5
−
3
(2i) 3 +
(2i) 5 =1− 10i − 40 + 80i +80− 32i =41+38i
5. Determinar el módulo y el argumento de los siguientes números complejos:
a)2i b) − 4 c)5 + 5i d) − 6+6 √ 3i e) − 3 − 3i f)2 √ 3 − 2i
a) z =2i |z| = r =2 Arg(z) = π
2 . Por tanto,
z =2i =(2, π
π
)=2e 2
2 i =2(cos π
+ isenπ
2 2 )
1

) z = −4 |z| = r =4 Arg(z) =π. Por tanto,
z = −4 =(4, π) =2e πi =2(cosπ + isenπ)
c) z =5+5i |z| = r =5 √ 2 Arg(z) =Arc tan 1 = π
4 . Por tanto,
z =5+5i =(5 √ 2, π
4 )=5√2 e π
4 i =5 √ 2(cos π
+ isenπ
4 4 )
d) z = −6+6 √ 3i |z| = r =12 Arg(z) =π−Arc tan √ 3=π− π
3 =
2π
3 . Por tanto,
z = −6+6 √ 3i =(12, 2π
2π
)=12e 3
3 i = 12(cos 2π
+ isen2π
3 3 )
e) z = −3−3i |z| = r =3 √ 2 Arg(z) =π+Arc tan 1 = π+ π 5π
4 = 4 .
Por tanto,
z = −3 − 3i =(3 √ 2, 5π
4 )=3√2 e 5π
4 i =3 √ 2(cos 5π
+ isen5π
4 4 )
f) z =2 √ 3 − 2i |z| = r =4 Arg(z) =− π
6 . Por tanto,
z =2 √ 3 − 2i =(4, − π
π
)=4e−6 6 i =4(cos π
− isenπ
6 6 )
6. Expresar de todas las formas posibles los siguientes números complejos:
a) 5+3i b)3− 2i c)1+i d) − 4i
a) z =5+3i r = |z| = √ 34 Argz = Arc tan 3
5 =0, 54. Por tanto,
z = 5+3i =(5, 3) = ( √ 34, 0, 54) =
= √ 34e 0,54i = √ 34(cos(0, 54) + isen(0, 54))
b) z =3− 2i r = |z| = √ 13 Argz = −Arc tan 2
3 = −0, 588. Por
tanto,
z = 3−2i =(3, −2) = ( √ 13, − 0, 588) =
= √ 13e −0,588i = √ 13(cos(0, 588) − isen(0, 588))
c) z =1+i r = |z| = √ 2 Argz = Arc tan 1 = π
4 . Por tanto,
z = 1+i =(1, 1) = ( √ 2, π
4 )=
= √ 2e π
4 i = √ 2(cos( π
4 )+isen(π
4 ))
d) z = −4i r = |z| =4 Argz = − π
2 . Por tanto,
z = −4i =(0, −4) = (4, − π
2 )=
π −
= 4e2i =4(cos π
− isenπ
2 2 )
2

7. Calcular
b) (1+i) 4 =
a) (1+4i) 3
b) (1+i) 4
a) (1+4i) 3 = 1 3 +3· 1 2 · 4i +3· (4i) 2 +(4i) 3 =
= 1+12i−48 − 64i = −47 − 52i
µ 4
0
µ
4
+
1
µ
4
i +
2
i 2 µ
4
+
3
= 1+4i − 6 − 4i +1=−4 =−4+0i
i 3 µ
4
+
4
i 4 =
Otra forma de alcanzar este resultado consiste en darse cuenta que 1+i =
√ 2e π
4 i . Por tanto,
8. Calcular
(1 + i) 5 =
µ 5
0
µ
5
+
1
(1 + i) 4 =( √ 2) 4 e πi = −4
(1 + i) 5
µ
5
i +
2
i 2 µ
5
+
3
= 1+5i − 10 − 10i +5+i = −4 − 4i
i 3 µ
5
+
4
i 4 µ
5
+
5
Si escribimos 1+i = √ 2e π
4 i y aplicamos la fórmula de Moivre resulta que
(1 + i) 5 = ( √ 2) 5 e 5π
4 i =4 √ 2(cos 5π
+ isen5π
4 4 )=
= 4 √ 2(− 1 √ − i
2 1 √ )=−4 − 4i
2
9. Encuentra la parte real y la parte imaginaria de e (3+4i)x
Por tanto,
e (3+4i)x = e 3x e 4ix = e 3x (cos 4x + isen4x)
Re e (3+4i)x = e 3x cos 4x ; Ime (3+4i)x = e 3x sin 4x
π 2+ 10. Encuentra la parte real y la parte imaginaria de e 3 i
Por tanto,
π 2+
e 3 i = e 2 e π
3 i = e 2 (cos π
+ isenπ
3 3 )=e2 ( 1
+ i
2
π 2+
Re e 3 i = e2
2
3
π 2+
; Ime3i √
2 3e
=
2
√ 3
2 )
i 5 =

11. Expresar cada uno de los siguientes números complejos en la forma a + bi
1) z = e πi
2 =cos π
2
πi − 2) z =2e 2 = 2
i
3) z =3eπi = −3
4) z = −e−πi =1
+ isen π
2
= −2i
5) z = i + e 2πi = i +1
= i
6) z = e π
4 i = 1 √ + i
2 1 √
2
7) z = e π
4 i π − − e 4 i =2i Im(e π
4 i )=2isenπ 1
4 =2i√ = i
2 √ 2
8) z = 1−e π 2 i
1+e π 2 i = 1−i 1
1+i = 2 (1 − i)2 = −i
9) z = e πi (1 − e
= −( 1+i√ 3
2
− π
)= −1−i√ 3
2
3 i )=(−1)(1 − cos π
3
1
+ isenπ 3 )=−(1 − 2 + i √ 3
2 )=
12. Encuentra el módulo y el argumento principal de los siguientes números
complejos:
a)z =
i
−2 − 2i
i
a) z = = −1
−2 − 2i 2 (
i
1+i )=−1
2
; b)z =( √ 3 − i) 6
µ
i(1 − i)
(1 + i)(1 − i)
= − 1 i − i
2
2
2
= −1 (1 + i)
4
De aquí se tiene que |z| = √ 2
4 .Por otra parte, teniendo en cuenta que
θ =arctan1= π
4 se deduce que el argumento principal de z es igual a
θ − π = π
3π
4 − π = − 4 ∈ (−π, π]. Por consiguiente,
z = − 1
√ √
2 3π 2 3π
(1 + i) = e− 4 = (cos − i sen3π
4 4 4 4 4 )
b) z =( √ 3 − i) 6 . Si ponemos w = √ 3 − i entonces z = w 6 . Puesto que
|w| =2y arg w = − π
6
Por otra parte,
se sigue que
w = √ π −
3 − i =2e 6 i
z = w 6 =2 6 e −πi =2 6 e πi =2 6 (cos π + isenπ) =−2 6
Por tanto, el módulo de z es 2 6 y el argumento principal de z es π.
4

13. Encuentra el módulo y el argumento principal de los siguientes números
complejos
µ
a) z =3 cos( 2π
3 )+isen(2π
3 )
b) w = 3+4i
5i − 12
a) Este número complejo está en forma polar r(cos θ+isenθ) =3 ¡ cos( 2π
2π
3 )+isen( 3 )¢
conunánguloθ = 2π ∈ (−π, π]. Por tanto, su módulo es r =3yelargu-
3
mento principal es 2π
3 .
b) Para calcular el módulo de w se puede aplicar que
|w| = |3+4i| 5
=
|5i − 12| 13
Otra forma de calcular el módulo de w sería expresar w en forma a + bi :
w = 3+4i (3 + 4i)(−12 − 5i)
= =
5i − 12 169
1
(16 + i 63)
169
De aquí se sigue que
¯
¯
¯
|w| = ¯
1
¯
¯ (16 + i 63) ¯
169 ¯ =
√ √
256 + 3969 4225
=
169 169
65 5
= =
169 13
Teniendo en cuenta que w = 1
169 (16 + i 63), se deduce que el argumento
principal de w sería
θ =arctan 63
≈ 1, 3221 ∈ (−π, π].
16
Conviene notar que, en este caso, el argumento principal de w coincide
con la diferencia de los argumentos principales del numerador y del denominador.
Pero, en general, la diferencia de los argumentos principales
podría no estar en el intervalo (−π, π].
14. Sea z = −1 +i y w = i. Encuentra el argumento principal de z, el de
w yeldezw. ¿severifica que el argumento principal de zw es igual al
argumento principal de z más al argumento principal de w?
Denotaremos por arg z el argumento principal de z. Entonces arg z = 3π
4
. Por otra parte
, arg w = π
2
arg(zw) =arg((−1+i)(i)) = arg(−1 − i) =− 3π
4
Por tanto, arg(zw) =− 3π
4
NO es igual al arg z +argw = 5π
4 .
5

15. Encuentra (1 + i) 10
Sea
Por tanto,
z =1+i = √ 2e π 4 i = √ 2(cos π
+ isenπ
4 4 )
z 10 =( √ 2) 10 e 10 π 4 i =2 5 e 5π 2 i =2 5 e (2π+ π 2 )i =2 5 e π 2 i = 32(cos π
+ isenπ
2 2 )=32i
16. Encuentra (1 − i) 100
Sea
Por tanto,
z =1− i = √ 2e − π 4 i = √ 2(cos π
− isenπ
4 4 )
z 100 = (1−i) 100 =( √ 2) 100 100π −
e 4 i =2 50 e −25πi =2 50 e −(12×2+1)πi =
= 2 50 e −πi =2 50 e πi = −2 50
17. Expresa en la forma a + ib el número complejo
En primer lugar,
Por otro lado,
Entonces,
w =
w =
µ 43
7+i
3+4i
7+i (7 + i)(3 − 4i)
= =
3+4i 25
25 − 25i
=1− i
25
1 − i = √ π −
2 e 4 i
µ 43
7+i
=(1−i) 3+4i
43 =2 43 43π
2 −
e 4 i =2 43
3π
2 −(10π+
e 4 )i =2 43 3π
2 −
e 4 i =
= 2 43
2 (cos 3π
− isen3π
4 4 )=243 2 (− 1 √ −
2 1 √ i)=−2
2 21 − 2 21 i
6

18. Encuentra la parte real y la parte imaginaria de
(1 − i) 10
( √ 3 i − 1) 4
Calculemos primero (1 − i) 10 . Si ponemos z =1− i se tiene que |z| = √ 2
. Por tanto,
y arg(z) =− π
4
De aquí se sigue que
z =1− i = √ 2(cos π
− isenπ
4 4 )=√ π −
2 e 4 i
z 10 = (1−i) 10 =2 5 10π −
e 4 i =2 5 5π −
e 2 i =2 5 π −(2π+
e 2 )i =
= 2 5 π −
e 2 i =2 5 (cos π
− isenπ
2 2 )=−25 i
Por otra parte, sea w = √ 3 i − 1=−1 + √ 3 i. Puesto que |w| =2y
arg(w) = 2π
3
se sigue que w =2e 2π
3 i . Por tanto,
w 4 = (−1+ √ 3i) 4 =2 4 e 8π
3 i =2 4 2π (2π+
e 3 i) =2 4 e 2π
3 i =
En consecuencia,
(1 − i) 10
( √ 3 i − 1) 4
= 2 4 (cos 2π
3
=
−2 5 i
24 (− 1
2 + i √ 3
2
= −2(− 1
i +
2
19. Expresa √ 3+i
1− √ en forma polar.
3i
√ π
3+i 2 ei 6
=
2 e−i π 3
1 − √ 3i
+ isen2π
3 )=24 (− 1
+ i
2
−2i
=
) (− 1
√
3
2 )=−√3+i 7
= e
2 + i √ 3
2
π i( 6
√ 3
2 )
) = −2i(− 1
π + 3 ) π i
= e 2
2 − i √ 3
2 )
1
=

20. Sean m y n dos números enteros tales que pueden ser expresados como
suma de dos cuadrados perfectos. Prueba que mn verifica también esta
propiedad. Por ejemplo, 17 = 42 +12 , 13 = 22 +32 ,y17 · 13 = 221 =
142 +52 .
Si m = a2 + b2 y n = c2 + d2 , entonces consideramos el producto
z =(a + bi)(c + di) =(ac − bd)+(ad + bc)i y calculamos |z| 2 . Por un lado,
se tiene que
Por otra parte,
|z| 2 = |a + bi| 2 |c + di| 2 =(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 )=mn
|z| 2 =(ac − bd) 2 +(ad + bc) 2
Por tanto, mn =(ac−bd) 2 +(ad+bc) 2 es también suma de dos cuadrados
perfectos.
21. Encuentra todos los números complejos z tales que z 6 = −1. De aquí
expresa z 6 +1 como producto de factores cuadráticos con coeficientes
reales.
z 6 = −1 =e πi =cosπ + isenπ
Por tanto, las soluciones vienen dadas por
es decir,
zk =cos(
π +2kπ π +2kπ
)+isen( ) para k =0, 1, 2, 3, 4, 5
6
6
z0 =cosπ 6 + isenπ 6 = √ 3 1
2 + 2 i
z1 =cosπ 2 + isenπ 2 = i
z2 =cos5π 6 + isen5π 6 = − √ 3 1
2 + 2 i
z3 =cos7π 6 + isen7π 6 = z0 =cos−5π 6 + isen−5π
z4 =cos9π 6 + isen9π 6 =cos−π 2 + isen−π 2 = −i
z5 =cos11π 6 + isen11π 6 =cos−π 6 + isen−π 6 = √ 3 1
2 − 2 i
Por tanto,
6 = − √ 3
2
− 1
2 i
z 6 +1 = (z − z0)(z − z1)(z − z2)(z − z3)(z − z4)(z − z5) =
√ √ √
3 1 3 1
3
= (z− − i)(z − + i)(z − i)(z + i)(z +
2 2 2 2 2
= (z 2 +1)(z 2 − √ 3z +1)(z 2 + √ 3z +1)
8
√
1 3 1
− i)(z + +
2 2 2 i)=

22. Encuentra todos los z ∈ C tales que e iz =3i
Sea z = a + bi. Entonces iz = ai − b. De aquí se tiene que eiz = e−beai .
Por tanto, eiz tendrá módulo e−b yargumentoa. Por otra parte, 3i tiene
módulo 3 yargumento π
2 +2kπ, dondek∈Z. Por tanto, habrá infinitas
soluciones pero debemos elegir a y b tal que e−b =3y a = π
2 +2kπ. Por
tanto,
z =( π
+2kπ) − i ln 3 , k ∈ Z
2
23. Sea z = − √ 3+i y w = −1+i √ 3.Verifica que
log(zw) 6= logz +logw
si usamos la determinación principal del logaritmo.
Si z = − √ 3+i se tiene que |z| =2y arg z = π − π 5π
6 = 6 . Del mismo
modo, si w = −1 +i √ 3 se sigue que |w| =2y arg w = π − π 2π
3 = 3 .
Por otra parte, como zw = −4i resulta que |zw| =4y arg(zw) =− π
2 .
Calculando los logaritmos se obtiene que
Por tanto, se verifica que
24. Calcular
log z =log2+ 5π
6 i
log w =log2+ 2π
3 i
log(zw) =log4−π 2 i
log z +logw =2log2+ 3π
2
π
i 6= log4− i =log(zw)
2
log i
a) log(3+3i) b) i
a) Sea z =3+3i. Puesto que r = |z| =3 √ 2 y Argz = π
4 se sigue que
z =3+3i =3 √ 2e π
4 i . Por tanto,
log(3 + 3i) =log3 √ 2+i( π
+2kπ) , k ∈ Z
4
b) z = ilog i = elog i·log i (log i)2 = e
sigue que log i = i( π
2
. Puesto que i =1e π
2 i =cos π
+2kπ) para k ∈ Z. Por tanto,
i log i π
[i( = e 2 +2kπ)]2
π −(
= e 2 +2kπ)2
donde k ∈ Z.
9
2
+ isen π
2 se

25. Sea z = i y w =1+i. Calcula logz w
Se tiene que
log z w =
log w
log z
Teniendo en cuenta que
n
log(1 + i) = log √ 2+ π
o
i +2kπi , k ∈ Z
4
se sigue que
log z w =
=
log i =
n
π
o
i +2kπi , k ∈ Z
2
log w
log z = log √ 2+i( π
4 +2kπ)
i( π
2 +2k0 =
π)
π
4 +2kπ − i log √ 2
π
2 +2k0 , donde k, k
π
0 ∈ Z.
26. Calcula las raices sextas de la unidad, esto es, 6√ 1.
Expresando la unidad real 1 en forma módulo-argumental resulta r =1y
θ =0,esto es z =1=1(cos0+isen0).
Por tanto, las raices sextas de la unidad son
zk = 6√ 1= 6√ ·
1 cos(0 + 2kπ
2kπ
)+isen(0 +
6 6 )
¸
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
k =0→ z0 =1
k =1→ z1 =cosπ π 1
3 + isen 3 = 2 + i √ 3
2
k =2→ z2 =cos2π 2π 1
3 + isen 3 = − 2 + i √ 3
2
k =3→ z3 =cosπ + isenπ = −1
k =4→ z4 =cos4π 3
k =5→ z5 =cos5π 3
+ isen 4π
3
+ isen 5π
3
1 = − 2 − i √ 3
2
1 = 2 − i √ 3
2
Los afijos de los números complejos obtenidos son los vértices de un hexágono
regular de centro el origen y radio 1.
27. Calcula los valores de 3√ −2+2i
Sea z = −2+2i. Entonces r = |z| = √ 8=2 √ 2 y Argz = π − π
4
Por tanto, los valores que nos piden vendrán dados por
zk = 3√ −2+2i = 3
q
2 √ ·
2 cos( 3π 2kπ
+
12 3 )+isen(3π
2kπ
+
12 3 )
¸
k = 0, 1, 2
10
= 3π
4 .

k =0→ z0 = 3p 2 √ 2(cos π π
4 + isen 4 )= 3p 2 √ 2( 1 √ + i
2 1 √ )
2
k =1→ z1 = 3p 2 √ 2(cos 11π
12
k =2→ z2 = 3p 2 √ 2(cos 19π
12
+ isen 11π
12 )= 3p 2 √ 2(− 1+√ 3
2 √ 2 + i −1+√ 3
2 √ 2 )
+ isen 19π
12 )= 3p 2 √ 2( −1+√ 3
2 √ 2 − i 1+√ 3
2 √ 2 )
Los afijos de los números complejos obtenidos son los vértices de un triángulo
equilátero de centro el origen y radio 3p 2 √ 2.
28. Determinar las cuatro raices de orden 4 de −8+8 √ 3i
Sea z = −8 +8 √ 3i. Entonces se tiene que r = |z| = √ 256 = 16 y
Argz = π − π 2π
3 = 3 . Por tanto, las raices 4√ z vendrán dados por
zk = 4
q
−8+8 √ 3i = 4√ ·
16 cos( 2π 2kπ
+
12 4 )+isen(2π
2kπ
+
12 4 )
¸
k = 0, 1, 2, 3
k =0→ z0 =2(cos π
6
k =1→ z1 =2(cos 2π
3
k =2→ z2 =2(cos 7π
6
k =3→ z3 =2(cos 10π
6
π + isen 6 )=2(√ 3
2
+ isen 2π
3
+ i 1
2 )=√ 3+i
)=2(− 1
2 + i √ 3
2 )=−1+i√ 3
7π + isen 6 )=2(− √ 3
2
− i 1
2 )=−√ 3 − i
+ isen 10π
6 )=2(1
2 − i √ 3
2 )=1− i√ 3
Las raices son los vértices de un cuadrado inscrito en una circunferencia
de centro el origen y radio 2.
29. Determinar todas las soluciones de las dos ecuaciones siguientes:
a) z 4 − 16 = 0 b) z 4 +64=0
a) z 4 − 16 = 0 =⇒ z 4 = 16 =⇒ z = 4√ 16. Teniendo en cuenta que
16 = 16(cos 0 + isen0) = 16e 0i se sigue que las raices de z 4 − 16 = 0 serán
zk = 4√ 16 = 4√ 16
k = 0, 1, 2, 3
k =0→ z0 =2
k =1→ z1 =2(cosπ 2
·
cos( 2kπ
4 )+isen(2kπ
4 )
¸
+ isen π
2 )=2i
k =2→ z2 =2(cosπ + isenπ) =−2
k =3→ z3 =2(cos 3π
2
+ isen 3π
2 )=−2i
b) z 4 +64=0=⇒ z 4 = −64 =⇒ z = 4√ −64. Teniendo en cuenta que
−64 = 64(cos π + isenπ) =64e πi se sigue que las raices de z 4 +64=0
vendrán dadas por
zk = 4√ −64 = 4√ 64
k = 0, 1, 2, 3
·
cos( π 2kπ
+
4 4 )+isen(π
2kπ
+
4 4 )
¸
11

k =0→ z0 =2 √ 2(cos π π
4 + isen 4 )=2√2( 1 √ + i
2 1 √ )=2+2i
2
k =1→ z1 =2 √ 2(cos 3π
4
k =2→ z2 =2 √ 2(cos 5π
4
k =3→ z3 =2 √ 2(cos 7π
4
30. Resolver la ecuación (1 − i) z3 =1+i
Despejando se obtiene que
+ isen 3π
4 )=2√ 2( 1 √ 2 − i 1
√ 2 )=2− 2i
5π + isen 4 )=2√2(− 1 √ − i
2 1 √ )=−2 − 2i
2
7π + isen 4 )=2√2(− 1 √ + i
2 1 √ )=−2+2i
2
z 3 = 1+i (1 + i)2
= =
1 − i 2
1 − 1+2i
= i
2
Por tanto, nos piden las tres raices cúbicas de i = e π 2 i =cosπ 2
Estas raices son
zk = cos( π 2kπ
+
6 3 )+isen(π
2kπ
+
6 3 )
k = 0, 1, 2
k =0→ z0 =cos π
6
π + isen 6 = √ 3
2
k =1→ z1 =cos5π 5π
6 + isen
k =2→ z2 =cos9π 9π
6 + isen 6
31. Resolver las siguientes ecuaciones
+ i 1
2
6 = − √ 3
2
= −i
+ i 1
2
+ isen π
2 .
a) x 2 + ix +1=0 b) x 4 + x 2 +1=0 c) x 3 − x 2 − x − 2=0
a) x2 + ix +1 = 0 =⇒ x = 1
2 (−i ± √ −1 − 4) =⇒ x1 = 1
2 (√5 − 1)i y
x2 = − 1
2 (√5+1)i b) x4 + x2 +1=0. Esta es una ecuación bicuadrada. Poniendo y = x2 resulta y2 + y +1=0. Las soluciones de esta ecuación son
y = 1
2 (−1 ± √ 3i)
Por consiguiente, se sigue que
x 2 = y = 1
2 (−1 ± √ 3i)
Por tanto, las cuatro soluciones de la ecuación b) son las dos raices cuadradas
de y1 = − 1
2 + √ 3
2 i ydey2 = − 1
2 − √ 3
2 i.
12

Puesto que y1 = − 1
2 + √ 3
2 i =1e 2π 3 i =cos2π 2π
3 + isen 3
dos raices cuadradas de y1 son
se deduce que las
xk = √ ·
y1 =1 cos( π 2kπ
+
3 2 )+isen(π
2kπ
+
3 2 )
¸
k = 0, 1
k =0→ x0 =cos π
3
k =1→ x1 =cos 4π
3
+ isen π
3
+ isen 4π
3
1 = 2 + i √ 3
2
1 = − 2 − i √ 3
2
Puesto que y2 = − 1
2 − √ 3
2 i =1e 4π 3 i =cos4π 4π
3 + isen 3
dos raices cuadradas de y2 son
se deduce que las
xk = √ ·
y2 =1 cos( 2π 2kπ
+
3 2 )+isen(2π
2kπ
+
3 2 )
¸
k = 0, 1
c) x 3 − x 2 − x − 2=0.
k =0→ x0 =cos2π 3
k =1→ x1 =cos5π 3
+ isen 2π
3
+ isen 5π
3
1 = − 2 + i √ 3
2
1 = 2 − i √ 3
2
Puesto que la ecuación c) tiene grado impar se sigue que, al menos una
de las tres raices, es real.Comprobando los divisores del término independiente
se puede probar fácilmente que 2 es raíz de la ecuación c). De aquí
se sigue que
x 3 − x 2 − x − 2=(x − 2)(x 2 + x +1)=0
Resolviendo x 2 + x +1=0se obtiene que
x = −1 ± √ 1 − 4
2
=
½ 1
2 (−1+i√ 3)
1
2 (−1 − i√ 3)
En resumen, las tres raices de c) son 2, 1
2 (−1+i√ 3) y 1
2 (−1 − i√ 3).
13

Ejercicios
1. Hallar dos números complejos z y w tales que su suma sea i y 2i es una
raíz cuadrada de su cociente.
Solución: se tiene que z + w = i ysi2i es una raíz cuadrada de su
cociente z
w se sigue que
(2i) 2 = z
z
=⇒−4= =⇒−4w = z
w w
Sustituyendo esta igualdad en z + w = i se obtiene que
−4w + w = i =⇒ −3w = i =⇒ w = − 1
3 i
Por último,
z = i − w = i + 1 4
i =
3 3 i
2. Se sabe que e π
4 i esunaraízcúbicadeunciertonúmerocomplejo.Hallar
dicho número y sus dos raices cúbicas restantes.
Solución: Si denotamos por z el número complejo buscado se sigue del
enunciado que
¡ π
e 4 i ¢3 3π
= e 4 i = z
⇓
e 3π
4 i = cos 3π 3π
+ i sin
4 4 = − 1 √ +
2 1 √ i = z
2
Una vez obtenido z debemos calcular sus tres raices cúbicas, una de las
cuales será e π 4 i . Puesto que |z| =1y arg(z) = 3π
4 se tiene que las tres
raices cúbicas de z son las siguientes:
µ µ
3√ π 2kπ
π 2kπ
z = zk =cos + + i sin + donde k =0, 1, 2.
4 3
4 3
k =0−→ z0 =cos ¡ ¢ ¡ ¢
π
π π
4 + i sin 4 = e 4 i
k =1−→ z1 =cos ¡ ¢ ¡ ¢
11π
11π 11π
12 + i sin 12 = e 12 i
¢ ¡ ¢
19π 19π
+ i sin = e 12 i
k =2−→ z2 =cos ¡ 19π
12
1
12

3. Se sabe que la suma de dos números complejos z y w es 3 yqueπ 2 i es un
logaritmo neperiano de z
w . Hallar dichos números.
Solución: por un lado, se tiene que z + w =3y, por otro lado, un valor
del ln ¡ ¢
z π
w = 2 i. Esto último implica que
z π
w = e 2 i =cos ¡ ¢ ¡ ¢
π
π
2 + i sin 2 = i
⇓
z = iw
Sustituyendo en z + w =3se obtiene que
iw + w = w(1 + i) =3
⇓
3 = (1 − i)
w = 3
1+i
= 3(1−i)
2
Por último, como z = iw se obtiene que
z = iw = 3
2
i (1 − i) =3 (1 + i)
2
2
2

4. Resolver en C las siguientes ecuaciones:
a) i z =1 b) e i−z =1− i
Solución: a) i z =1. Tomando logaritmos en ambos miembros de la
igualdad se obtiene que
z ln i =ln1
⇓
zi( π
2 +2kπ) =2k0πi ⇓
z = 2k0π π
2 +2kπ , k, k0 ∈ Z
b) e i−z =1− i. De nuevo, tomando logaritmos resulta que
e i−z =1− i
⇓
(i − z)lne =ln(1− i)
⇓
(i − z)(1 + 2kπi) =ln √ 2+i(− π
4 +2k0 π)
⇓
z(1 + 2kπi) =i(1 + 2kπi) − ln √ 2 − i(− π
4 +2k0 π)=
= − ln √ 2 − 2kπ + i(1 + π
4 − 2k0 π)
⇓
z = − ln √ 2−2kπ+i(1+ π
4 −2k0 π)
(1+2kπi)
5. Usando la determinación principal del logaritmo, resuelve la ecuación
i z =1− i
Solución: tomando logaritmos neperianos se obtiene que
z = ln(1−i)
ln i
i z =1− i
⇓
z ln i =ln(1− i)
⇓
= ln √ 2+i(− π
4 )
i π =
2
= (ln √ 2+i(− π 4 ))(−i π 2 )
π 2
4
= − 1
2 − 2ln√2 π
3
i
=

6. Resuelve en C la siguiente ecuación:
Solución:
z = 2 ± p 4 − 4(−2+4i)
2
z 2 − 2z − 2+4i =0
= 2 ± √ 12 − 16i
2
=1± √ 3 − 4i
Por tanto, sólo nos falta calcular las dos raices cuadradas de 3 − 4i. Para
ello, nótese que
Por otro lado, se tiene que
3 − 4i = 5(cosθ + i sin θ) con
sin θ = − 4
5
cos θ = 3
5
√ 3 − 4i = ± √ 5
µ
cos θ
θ
+ i sin
2 2
Ahora usando igualdades trigonométricas se obtiene que
sin θ
2 =
r
1 − cos θ
=
2
1 √
5
cos θ
2 = − 2 √
5
Por tanto, las dos raices cuadradas buscadas son
√ 3 − 4i = ±(−2+i)
Sustituyendo estos valores resulta que las dos soluciones buscadas son
z1 = −1+i
z2 = 3−i 4

7. Resuelve en C la siguiente ecuación:
z 4 +(4− 2i)z 2 − 8i =0
Solución: si ponemos z 2 = y resulta la ecuación
cuyas soluciones son
y 2 +(4− 2i)y − 8i =0
y1,2 = 2i − 4 ± p (4 − 2i) 2 +32i
2
= −(2 − i) ± √ 3+4i
Procediendo como en el ejercicio anterior para calcular las dos raices
cuadradas de 3+4i resulta que
Por otra parte,
3+4i = 5(cosϕ + i sin ϕ) con
sin ϕ = 4
5
cos ϕ = 3
5
√
3+4i =
√ ³
± 5 cos ϕ
sin
2 ϕ
2 =
r
1 − cos ϕ
2
cos ϕ
2 = 2 √
5
ϕ
´
+ i sin
2
= 1 √ 5
Por tanto, las dos raices cuadradas buscadas son
√ 3+4i = ±(2 + i)
con
Sustituyendo estos dos valores se obtiene que las dos raices y1,2 son
Por último, las raices deseadas son
y1 = 2i
y2 = −4
z1,2 = ± √ 2i = ±(1 + i)
z3,4 = ± √ −4=±2i
5