Selectividad 2010-11 modelo 4 Opción A - Quidiello

Prof: Manuel Jesús Quidiello Poveda
Ejercicio 1:
Selectividad 2010-11 modelo 4
Opción A
Calculemos el perímetro y el precio según los metros de cercado:
Perímetro = 2y + 2x ⇒ 2·10 y + 100x + 10x = 3000 ⇒ 20y + 110x = 3000 ⇒
Por el precio
del enunciado
11
⇒ y = 150 − x
2
⎛ 11 ⎞
Calculemos el área de cercado: Área A( x, y) = xy ⇒ A( x) = x⎜150 − x⎟
⎝ 2 ⎠
Para maximizar el área, derivamos e igualamos a cero:
11 2
150
A( x) = 150x − x ⇒ A'( x) = 150 −11x ⇒ si A'( x) = 0 ⇒150 − 11x = 0 ⇒ x = ⇒
2 11
11 150 150 150
⇒ y = 150 − · ⇒ y = 150 − =
2 11 2 2
Ejercicio 2:
a)
Dibujamos la función y las rectas para plantear el ejercicio.
Al ser simétricas las regiones y la función, podemos dedicarnos
solo al eje positivo del eje X.
14
De esta manera, la región "R", debería medir
unidades cuadradas.
6
Hallemos el corte de cada recta con la función:
1 2 2
a) x = 2 ⇒ x = 4 ⇒ x = 2; punto (2,2)
2
1 2 2
b) x = a ⇒ x = 2a ⇒ x = 2a
2
La región "R" será: Rectángulo mayor, menos las regiones roja y azul.
a)
Rectángulo
mayor: A = 2·2 = 4
b) Región azul: A = a· 2a
2
2
c)Región roja: ∫ x dx
2a
2
1
3
2
3
1 ⎡ x ⎤ 8 8a
= ⎢ ⎥ = −
2 ⎣ 6 ⎦ 6 6
2a
Área = 4 −
Ejercicio 3:
3 3
3 8 2 2a 14 −4
2a 2
2a − + = ⇒ = − ⇒
6 6 6 6 6
3 1 3 1 1 1
2a = ⇒ 2a
= ⇒ a = 3 ⇒ a =
2 4 8 2
a) Definimos las matrices:
⎛ 2
⎜
M =
⎜
2
⎜
⎝ −3 −2 0
−3 4⎞ ⎟
1
⎟
3⎟ ⎠
⎛ 2
* ⎜
y M =
⎜
2
⎜
⎝ −3 −2
0
−3 4
1
3
4 ⎞
⎟
a
⎟
−3⎟
⎠
M
−2
= 0 ⇒ El rango de A es menor de 2, como
0
4
= −2 ≠ 0 ⇒
Rango de M es 2
1

Prof: Manuel Jesús Quidiello Poveda
⎛ 2 −2 4 4 ⎞ ⎛ 2 −2 4 4 ⎞ ⎛ 2 −2
4 4 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ −3 −3 3 −3⎟ ⎜ 0 −12 18 6 ⎟ ⎜ 0 0 0 6a −18⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
*
Triangulo M ⇒ Rg 2 0 1 a = Rg 0 2 −3 a − 4 = Rg 0 2 −3 a − 4
F2 − F1 2F3 + 3F1
F3 + 6F2
Si a a Rg M Rg M
*
6 − 18 = 0 ⇒ = 3 ⇒ ( ) = 2 = ( ) Sistema compatible indeterminado
Si a Rg M
*
≠ 3 ⇒ ( ) = 3 ≠ 2 = Rg( M ) Sistema incompatible
b resolvemos
*
) Tomando el caso a = 3 y la última matriz de M , :
⎛ 2 −2
4 4 ⎞
⎜ ⎟
1 3
⎜
0 2 −3 −1 ⎟
⇒ 2y − 3z = −1⇒ y = − + z
⎜ 2 2
0 0 0 0 ⎟
⎝ ⎠
.
⎛ 1 3 ⎞
1
⇒ 2x − 2y + 4z = 4 ⇒ 2x − 2⎜ − + z ⎟ + 4z = 4 ⇒ 2x + 2 − 3z + 4z = 4 ⇒ 2x = 2 − z ⇒ x = 1−
z
⎝ 2 2 ⎠
2
luego :
1
x = 1 − z
2
;
1 3
y = − + z
2 2
; z = z
Ejercicio 4:
a) Al contener el plano a la recta r, un punto de esta y su vector director pertenecen al plano
pedido. Como pasa por el origen, el vector que una un punto de la recta y el origen también
pertenece al plano, luego ya tenemos dos vectores y un punto para hallar la ecuación del
plano:
x − 1 y + 1 z − 3
recta r ≡ = =
3 2 −1
El vector de la recta es: (3,2, − 1) punto de la recta: P = (1, −1,3)
Vector entre el origen y P: OP = (1, −1,3)
x y z
El plano es : 3 2 − 1 = 0 ⇒ 5x −10 y − 5z = 0 ⇒ x − 2y − z = 0
1 −1
3
→
→ →
b) Como contiene a la recta s, tanto un punto de s como su vector director pertenecen al plano.
Como el plano es paralelo a la recta r, su vector director pertenece al plano:
El vector de la recta r es: (3,2, − 1) punto de la recta: P = (1, −1,3)
i j k
→
Vector de s : 1 0 0 = j + 2k ⇒ v = 0,1, 2
0 2 −1
→
x − 1 y + 1 z − 3
( )
El plano es : 3 2 − 1 = 0 ⇒ 5x − 6y + 3z − 20 = 0
0 1 2
s

Prof: Manuel Jesús Quidiello Poveda
Opción B
Ejercicio 1:
2 ⎧− x + 70x si 18 < x < 50
⎪
Calculemos la función que genera los ingresos: f ( x) = ⎨ 400x
⎪ si x ≥ 50
⎩ x − 30
⎧ − 2x + 70 si 18 < x < 50
⎪
Derivamos e igualamos la derivada a cero: f '( x)
= ⎨ −12000
si x ≥ 50
⎪ 2
⎩(
x − 30)
Si 18 < x < 50 ⇒ − 2x
+ 70 = 0 ⇒ x = 35 vértice de la parábola
−12000
Si x ≥ 50 ⇒ = 0 Imposible y como la derivada es negativa, el máximo lo alcanzaria en x = 50
( ) 2
x − 30
f (35) = 1225 > f (50) = 1000
Por lo tanto, el máximo lo consigue a los 35 con unos ingresos
de 1225 euros
Ejercicio 2:
a) Calcularé el punto de corte de cada recta con la función y comprobaré si la derivada de la
función en ese punto coincide con la pendiente de la recta:
Hallo f '( x) : f '( x) = − 4x + 3
4 ± 0
4
f '(1) = −1
que coincide con la pendiente de la recta, luego es tangente a esta
2 2
1)Corto la primera recta: − x + 1 = − 2x + 3x −1 ⇒ 2x − 4x + 2 = 0 ⇒ x = ⇒ x = 1
2
2)Corto la primera recta: 3 − 1 = − 2 + 3
2
x x x −1 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
f '(0) = 3 que coincide con la pendiente de la recta, luego es tangente a esta
Dibujamos la recta mediante una tabla de valores y la parábola:
Recta 1º: Si x = 0 y = 1 ⇒ (0,1) Si x = 1 y = 0 ⇒ (1,0)
Recta 2º: Si x = 0 y = −1 ⇒ (0, − 1) Si x = 1 y = 2 ⇒ (1, 2)
3 1 ⎛ 3 1 ⎞
Parábola : Vértice en Vx = Vy = ⇒ Vértice ⎜ , ⎟
4 8 ⎝ 4 8 ⎠
⎧ 1 ⎛ 1 ⎞
,0
2
− 3 ± 1 ⎪x
= punto ⎜ ⎟
Corta al eje Y en (0, −1) Corta al eje X : − 2x + 3x − 1 = 0 ⇒ x = ⇒ ⎨ 2 ⎝ 2 ⎠
−4
⎪
⎩ x = 1 punto
( 1,0 )
1
Hallo el punto de corte entre las rectas: − x + 1 = 3x −1 ⇒ 4x = 2 ⇒ x =
2
Divido el área total en dos regiones (azul y roja) y las sumaré al final:
1
3 2 ⎡ ⎤
1 1
2 2 2 2 2x
Área azul: ∫ ( 3x −1) − ( − 2x + 3x − 1) dx = 2x
dx
0 ∫ =
0 ⎢
3
⎥
⎣ ⎦
3
1 1
2 2 ⎡2 x 2 ⎤ 2 7 1
Área roja: ∫ ( − x + 1) −
1 ( − 2x + 3x − 1) dx = ∫1
( 2x − 4x + 2 ) dx = ⎢ − 2x + 2x
= − =
3
⎥
⎣ ⎦ 3 12 12
2 2 1 2
1 1 1
El área total es + =
12 12 6
0
=
1
12
1

Prof: Manuel Jesús Quidiello Poveda
Ejercicio 3:
a) 1 2 ⎛ −
A = ⎜
⎝ 2
1 ⎞⎛ −1 ⎟⎜
−1⎠⎝ 2
1 ⎞ ⎛ 3
⎟ = ⎜
−1⎠ ⎝ −4 −2⎞ ⎟
3 ⎠
⎛ −2 2A = ⎜
⎝ 4
2 ⎞
⎟
−2⎠ 3 2 ⎛
A − 2A
= ⎜
⎝ −4 −2⎞ ⎛ −2
⎟ + ⎜
3 ⎠ ⎝ 4
2 ⎞ ⎛1 ⎟ = ⎜
−2⎠
⎝0 0⎞
⎟
1⎠
Hallamos la inversa de A:
−1 | A | =
2
1
= − 1
−1 1 t ⎛
A = ⎜
⎝1 2 ⎞ adj 1 t ⎛ −
⎟ ⇒ ( A ) = ⎜
−1⎠ ⎝ −2 −1⎞
1 −1
⎛
⎟ ⇒ A = ⎜
−1⎠
⎝ 2
1⎞
⎟
1⎠
Operamos :
1
A + 2I
2
1 2
1 0
0 1
2 2
1
A
1
−
⎛ −
= ⎜
⎝
⎞ ⎛
⎟ + ⎜
− ⎠ ⎝
⎞ ⎛
⎟ = ⎜
⎠ ⎝
⎞
⎟ =
⎠
b)
Despejamos la matriz X:
1
( )
A + XA + 5A = 4I ⇒ XA = 4I − 5A − A ⇒ X = 4I − 5A
− A A
2 2 2 −1
Operamos :
2 ⎛ 4 0⎞ ⎛ −5 5 ⎞ ⎛ 3 −2⎞ ⎛ 6 −3⎞ ⎛ 6 −3⎞⎛
1 1⎞ ⎛ 0 3⎞
4I − 5A
− A = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ X = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 0 4⎠ ⎝10 −5⎠ ⎝ −4 3 ⎠ ⎝ −6 6 ⎠ ⎝ −6
6 ⎠⎝ 2 1⎠ ⎝ 6 0⎠
Ejercicio 4:
a) Hallamos la perpendicular común y para ello necesito los vectores de la recta, el vector
perpendicular a ambas y en un punto de cada recta.
v = (2, − 1,1) P = ( − 7,7,0) v = (0,0,1) P = (2, − 5,0)
i
v = 2
j
− 1
k
1 = −i − 2 j ⇒ v = ( −1, −2,0)
r r s s t t
0 0 1
x + 7 y − 7 z
Hallo el plano que forman v , P y v : 2 − 1 1 = 0 ⇒ 2x − y − 5z + 21 = 0
r r t
−1 −2
0
x − 2 y + 5 z
Hallo el plano que forman v , P y v : 0 0 1 = 0 ⇒ 2x − y − 7 = 0
s s t
⎧2x
− y − 5z + 21 = 0
La recta t será: ⎨
⎩ 2x − y − 7 = 0
b) Aplico la fórmula de la distancia entre rectas:
−1
−2
0
0 0 1
2 −1
1
−9
12 0 15 15 5
Pr Ps = ( −7,7,0) − (2, − 5,0) = ( −9,12,0) ⇒ d( r, s)
= = = = 3 5
( −1, −2,0)
5 5