Unidad 1 Funciones Polinomiales - Dolores Brauer

UNIDAD I. FUNCIONES POLINOMIALES
Conceptos clave:
Sean X y Y dos conjuntos no vacíos.
1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a
cada elemento de X con un único elemento de Y
2. función polinomial es de la forma
Donde son números reales llamados los coeficientes de la
función polinomial y es un entero no negativo. El dominio lo constituyen
todos los números reales.
3. es el coeficiente principal de la función y es el grado de la función
polinomial.
Una forma de graficar una función polinomial es asignar valores a la variable ,
y calcular estos para , de esta forma se tienen algunas parejas ordenadas
que forman parte de la función.
?_______
Ejemplos
P4 ¿Qué implica este último resultado?
1) La altura h en metros de una pelota de golf lanzada
desde un montículo en un tiempo de t dado en segundos está
dada por h(t)= -4t 2 +20t+5.
P1 Cuándo , ¿Cual es el valor de la altura ?_______
P2. Cuándo , ¿Cual es el valor de la altura
?_______
P3 Cuándo , ¿Cual es el valor de la altura
_________________________________________________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 1

__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
En la expresión dada la altura depende únicamente de tiempo t.
P5 De acuerdo al concepto clave 2, es una función polinomial
_______________
P6 ¿Por qué?_____________________________________________________
P7 ¿Cuáles son los coeficientes de ?_________________________________
P8 ¿De qué grado es la función polinomial ? __________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2) Se requiere construir una caja sin tapa, a partir de una lámina rectangular
que mide 21cm de largo y 16cm de ancho. Se debe construir la caja
cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas de la lámina, doblando
hacia arriba los lados y soldando. Encuentra la medida del lado de los
cuadrados que deben cortarse para obtener la caja de volumen máximo.
x
x
x
x
21 cm
16 cm
Si es la medida del lado del cuadrado que cortaremos en cada esquina,
P9 ¿Cuánto mide el largo del rectángulo? 21 - __________
P10 ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo? 16 - _________
1- 2 Unidad 1 Funciones Polinomiales
x
x
x
x

P11 ¿Cuál será la altura de la caja? ________
P12 ¿Cuál será el volumen de la caja? V=(21 - )(16 - )x
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Haciendo las operaciones correspondientes, el volumen anterior puede escribirse
como:
Es una expresión que indica que el volumen de la caja depende únicamente
del lado x del cuadrado que cortamos.
P13 De acuerdo al concepto clave 2, es una función polinomial
_______________
P14 ¿Por qué?______________________________________________________
P15 ¿Cuáles son los coeficientes de ?________________________________
P16 ¿De qué grado es la función polinomial ? _________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
P17 En la siguiente tabla, completa los valores que faltan, según el lado del
cuadrado .
Lado del cuadrado 2.6 2.8 3 3.2 3.4
Volumen de la Caja V
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 3

En el ejercicio anterior, es el lado del cuadrado que se corta en cada esquina de
la lámina, representa un número, tomado de un conjunto D de números reales.
Hay una regla de correspondencia que asocia a cada valor un único número real
V, en donde V (volumen) es un número tomado de un conjunto C de números
reales. La regla de correspondencia es:
En el ejercicio de la caja:
P18 ¿Porqué no puede ser menor que cero?____________________________
_________________________________________________________________
P19 ¿Porqué no puede ser mayor que ocho?___________________________
_________________________________________________________________
P20 ¿El valor de solamente puede ser entero?__________________________
_________________________________________________________________
P21 ¿El volumen puede tomar valores negativos?________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
1- 4 Unidad 1 Funciones Polinomiales

3) Una compañía de Gas LP, desea construir tanques de gas para empresas
que así lo demandan, se requiere soldar a una pieza cilíndrica de acero de
6 mts de largo con dos semiesferas en cada extremo, tal como se muestra
abajo.
Se requiere modificar el volumen del tanque, pero sólo es permitido variar el radio,
es decir, el largo del tanque debe permanecer constante a 6mts.
P22 El volumen del cilindro es , pero debido a que la altura siempre
es 6mts, entonces
Si unimos las dos mitades de las esferas, se forma una esfera cuyo volumen
es:
P23 ¿Cuál es el volumen total del tanque? _____________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Es una expresión que indica que el volumen del tanque depende únicamente
del radio, tal como se especificó en un principio.
P24 De acuerdo al concepto clave 2, ¿Por qué es función polinomial?
__________________________________________________________________
P25 ¿Cuáles son los coeficientes de ?________________________________
P26 ¿De qué grado es la función polinomial ? _________________________
Hay una regla de correspondencia que asocia a cada valor x un único número real
V, en donde V (volumen) es un número tomado de un conjunto de números reales.
P27 La regla de correspondencia es: ________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 5

_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
4) Se tiene un troco cilíndrico de 30cm de diámetro y se requiere obtener una viga
con la mayor resistencia posible. Sabiendo que la resistencia es directamente
proporcional al ancho y al cuadrado de la altura. ¿Cuál es el ancho y el alto de la
viga?
Vista de frente
P28 Si es el ancho de la viga y la altura, ¿cuándo mide la diagonal?________
P29 ¿Por qué?_____________________________________________________
P30 De acuerdo con el teorema de Pitágoras
P31 Despejando , por lo tanto y
x
30cm y
x
y
1- 6 Unidad 1 Funciones Polinomiales

P32 Si anteriormente indicamos que la resistencia R de la viga de sección
transversal rectangular es directamente proporcional al ancho y al cuadrado de la
altura, podemos decir que
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
P33 Completa la siguiente tabla con los valores que se te solicitan para
(ancho), realiza las operaciones y obtén (altura) y
(resistencia).
12 14 16 18 20
755.70
27.49
9068.40
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Se puede observar que a valores distintos del ancho
, la altura varía al igual que la resistencia
Con base en los resultados, ¿a qué altura y ancho de la viga parece haber una
resistencia mayor?_____________
De acuerdo a lo obtenido sabemos que , y también que
.
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 7

P34 Utilizando la ecuación 2 para sustituirla en la ecuación 1 tenemos:
_____________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
La expresión que acabas de obtener, depende solo de la variable x, que en el
contexto del problema representa a _______________, es decir:
La resistencia así calculada dependerá solo del ancho de la viga.
P35 ¿De qué grado es la función polinomial ? _________________________
Hay una regla de correspondencia que asocia a cada valor x un único número real
R, en donde R (resistencia) es un número tomado de un conjunto de números
reales.
P36.La regla de correspondencia es: ________________________
P37 Completa la siguiente tabla con los valores que se te solicitan para x(ancho),
obtén y(altura) y R(resistencia).
12 16.5 17.5 18
9072 10390.625
_________________________________________________________________
__________________________________________________________________
1- 8 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Ejercicio 1.1
Para cada uno de los ejercicios siguientes encontrar la
función que se solicita e indicar si se trata de una función
polinomial y justificarlo, indicar también de que grado es
esta.
1.- La altura h en metros de una pelota de golf lanzada desde un
montículo en un tiempo de t dado en segundos está dada por
a) Cuándo .5, ¿Cual es el valor de la altura ?_______
b) Cuándo , ¿Cual es el valor de la altura ?_______
c) Cuándo , ¿Cual es el valor de la altura ?_______
d) Cuándo , ¿Cual es el valor de la altura ?_______
e) ¿Qué implica este último valor?
2.- Si el volumen de una caja en forma de prisma rectangular es 210cm 3 y las
dimensiones de la caja en centímetros son tres números naturales consecutivos.
Encuentra las dimensiones de la caja.
3.-Se necesitan construir cajas para regalo como la que se muestra en la siguiente
figura:
80
Si se cortan 6 cuadrados de cm por lado en cada esquina y en la parte media de
una lámina rectangular y posteriormente se doblan hacia arriba los extremos y los
lados, se forma una caja con su tapadera.
a) Encuentra la función que representa el volumen de la caja
b) Si mide 6cm. ¿Cuál es el volumen de la caja?
c) Si mide 5cm. ¿Cuál es el volumen de la caja?
d) ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar ?
e) ¿El valor de solamente puede ser entero?
f) ¿El volumen puede tomar valores negativos?
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 9
50

g) Si el volumen de la caja es de 15000 cm 3 ¿Cuánto mide su alto?
4.- Si se construye tanque de almacenamiento para granos (llamado silo) de forma
cilíndrica con una tapa en forma de semiesfera, encuentra la función que
representa el volumen sabiendo que la altura del cilindro siempre debe ser de
9mts y el radio puede variar.
r
9mts
5.- Determinar el punto de la parábola que esté más cercano al punto
(5,25).
Ayuda: , como el punto (x,y) satisface la ecuación
, se sustituye esta última en la ecuación de la distancia.
1- 10 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Conceptos clave:
Sean y dos conjuntos no vacíos.
4. Una función de en es una regla de correspondencia que asocia a
cada elemento de con un único elemento de .
5. Dominio de la función es el conjunto .
6. Valor de la función en x o imagen de . Es el elemento de Y
correspondiente a un elemento de .
7. Rango de la función, es el conjunto de todas las imágenes.
8. Cada uno de los elementos del conjunto deberá tener una imagen,
pudiendo incluso ser la misma.
9. No todos los elementos de son imágenes de uno o más elementos de
, por tanto, el rango pudiera ser un subconjunto de .
Conjunto Conjunto
DOMINIO
Regla=f
Rango
10. Los conjuntos y se pueden definir en términos de variables
dependientes e independientes, así, los elementos del conjunto
pueden entenderse como las variables independientes y los
elementos del conjunto como las variables dependientes.
11. Al conjunto se le denomina como , se lee “ de ” o “función de
”. Algunas otras veces
12. El contradominio, es el conjunto de números de entre los cuales se
podrán elegir aquellos y que se asociarán a cada x.
13. Los elementos de y que se utilizan para asociarse con algún elemento
x son el rango de la función.
14. La función puede representarse como un conjunto de parejas
ordenadas (x,y), donde
15. No puede haber dos o más parejas ordenadas con el mismo primer
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 11

elemento.
Cuando en el símbolo , se reemplaza por un numero, como ,
, , etc. El símbolo representa también un número. Es decir,
el valor obtenido al sustituir en la regla de correspondencia por el
número dado.
Ejemplos
1) Si sabes que toda persona tiene cierta estatura, estas
asociando el nombre de la persona con un número que es
precisamente la altura de la persona.
¿Una misma persona puede tener dos estaturas
distintas?_______
¿Dos personas pueden tener la misma estatura?_________
¿La estatura podría ser un numero negativo?_________
P38. ¿Cuál es el dominio?____________
P39. ¿Cuál es el rango?_____________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
De acuerdo al concepto clave 10, la variable dependiente es ______________ y la
variable independiente es: ______________
2) Cuando te das de alta en una red social por ejemplo facebook, uno de los
datos que te pide es tu nombre, al final tendrás una cuenta en facebook.
P40. ¿La misma cuenta puede ser usada por dos distintas personas?______ (Se
asume que la cuenta no puede ser prestada o trasferida).
P41. ¿Una misma persona puede tener dos o más cuentas diferentes?_______
P42. ¿Cuál es el dominio?____________
P43. ¿Cuál es el rango?_____________
De acuerdo al concepto clave 10, la variable dependiente es ______________ y la
variable independiente es: ______________
1- 12 Unidad 1 Funciones Polinomiales

__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3) En el ejemplo de la sección anterior de la pelota de golf lanzada desde un
montículo cuya altura en un tiempo en segundos es
.
P44. ¿Cuál es el dominio?________________
P45. ¿Cuál es el rango?__________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4) En el ejemplo de la sección anterior de la caja sin tapa, donde debía
obtenerse la caja de volumen máximo.
x
x
x
x
21 cm
Encontraste que la regla de correspondencia se podía escribir como:
Es una expresión que indica que el volumen de la caja depende únicamente del
lado del cuadrado que cortamos.
La siguiente tabla, la completaste en la sección anterior.
16 cm
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 13
x
x
x
x

Lado del cuadrado 2.6 2.8 3 3.2 3.4
Volumen de la Caja 443.66 448.45 450 448.51 444.18
De acuerdo a los conceptos clave 11 a 14, los valores correspondientes de y ,
pueden registrarse como un conjunto de parejas ordenadas , donde el
primer elemento representa el lado del cuadrado y el segundo al volumen que le
corresponde.
Toma los valores correspondientes en la tabla para formar las siguientes parejas
ordenadas.
(2.6,_____); (2.8,_____); (3,_____); (3.2,_____); (3.4,_____)
Localiza otros puntos por ejemplo da valores a desde 0 hasta 8 y calcula el
volumen correspondiente a cada uno.
Las parejas ordenadas pueden ubicarse en una gráfica, lo primero es localizar en
un sistema de coordenadas cartesianas las parejas y después unir en un
trazo suave dichos puntos.
500.00
400.00
300.00
200.00
100.00
-
0 2 4 6 8 10
Así podemos decir que de acuerdo a lo visto y a los conceptos clave que:
P46. En el problema de la caja, ¿cuál es el dominio y rango de la función?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
1- 14 Unidad 1 Funciones Polinomiales

En el problema del tronco cilíndrico de 30cm de diámetro en donde se requería
obtener una viga con la mayor resistencia posible. Sabiendo que la resistencia es
directamente proporcional al ancho y al cuadrado de la altura.
Encontraste que la regla de correspondencia es:
12 16.5 17 17.5 18
9072 10357.875 10387 10390.625 10368
Toma los valores correspondientes en la tabla y forma en tu cuaderno las parejas
ordenadas, tal como lo hiciste para el ejemplo de la caja.
Localiza los puntos sobre el eje cartesiano y bosqueja la grafica, si es necesario,
proporciona mas valores para que formes más parejas ordenadas.
10600
10400
10200
10000
9800
9600
9400
9200
9000
0 5 10 15 20 25
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 15

1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Ejercicio 1.2
Para cada una de las siguientes funciones:
a) identifica el dominio y el rango
b) Elabora una tabla de valores permitidos de acuerdo con el
dominio.
c) Forma las parejas ordenadas a partir de la tabla de
valores del inciso b).
d) Bosqueja la gráfica de cada una de las funciones.
1- 16 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Conceptos clave:
16. Intervalo. es una forma de expresar una parte de la recta numérica.
a. Intervalo cerrado. Sean a y b dos números reales con a

Ejemplos
1) De acuerdo al concepto clave 16.a, Una forma de
representar a los números reales que se encuentran entre 1 y
4 incluyendo al 1 y al 4, es: [1,4].
P47. ¿El numero 1.5 está dentro del intervalo?_______
P48. ¿El numero 3.99999 está dentro del intervalo?________
P49. ¿El numero 0.99999 está dentro del intervalo?_______
P50. ¿El numero está dentro del intervalo?_______
Una infinidad de números, se encuentran dentro del intervalo [1,4].
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
P51. Si requieres representar un intervalo de números entre -1 y 5, pero sin incluir
al -1 ni al 5, ¿Cómo lo representarías?___________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
P52. Si requieres representar un intervalo de números entre el -10 y -8, pero sin
incluir al -8, ¿Cómo lo representarías?________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
P53. Indica con tus propias palabras que representan los siguientes intervalos
a) [-4,5) __________________________________________________
b) (-4,5) __________________________________________________
c) (-4,5] __________________________________________________
1- 18 Unidad 1 Funciones Polinomiales

d) [-4,5] __________________________________________________
e) _________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
P54. Indica con una “S” dentro del paréntesis, si el valor dado se encuentra dentro
del intervalo dado, en otro caso deja el paréntesis en blanco.
a) 9.873, está en el intervalo [9,10) ( )
b) -11.22, está en el intervalo (-11,0] ( )
c) 0 está en el intervalo (0,10) ( )
d) 100, está en el intervalo (90,100] ( )
e) 14.59, está en el intervalo [14.59,16) ( )
f) -1.2, está en el intervalo (-2,0] ( )
g) 73, está en el intervalo (70,73) ( )
h) -22, está en el intervalo (-23,9) ( )
i) 9.873, está en el intervalo [9,9.5] ( )
j) -11.22, está en el intervalo [-11.22,0] ( )
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 19

Ejercicio 1.3
1. Indica con tus propias palabras que representan los
siguientes intervalos, por mucha atención, algunos
intervalos no tienen sentido y deberás indicarlo.
1. Intervalos
a) [-8,3) ____________________________________
b) (-4,-5) _________________________________________
c) (-3,4] __________________________________________________
d) [-3,10] __________________________________________________
e) _________________________________________________
2. Indica el intervalo según corresponda:
a) Todos los números comprendidos entre 9 y 12._____________
b) Todos los números comprendidos entre 9 y 12 incluyendo al 9_________
c) Todos los números entre -14 y -5 incluyendo a -5__________
d) __________
e) ________
f) __________
g) ______
3.- Indica con una “S” dentro del paréntesis, si el valor dado se encuentra dentro
del intervalo dado, en otro caso deja el paréntesis en blanco.
a) 11.3, está en el intervalo [5,112) ( )
b) -22, está en el intervalo (-11,0] ( )
c) -1 está en el intervalo (-1,10) ( )
d) -12.98, está en el intervalo (-14,-13] ( )
e) 14.1909, está en el intervalo [14.1,14.2) ( )
f) -9.9, está en el intervalo (-10,0] ( )
g) 7.11, está en el intervalo (7,7.3) ( )
h) -1010, está en el intervalo [-1100,9) ( )
i) 873.9, está en el intervalo (873.9, 900] ( )
j) -873.9, está en el intervalo [-873.9,0) ( )
1- 20 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Conceptos clave:
24. Ecuación polinomial con dos variables
Si a le restamos entonces:
Si sustituimos por la variable obtenemos una ecuación polinomial con
dos variables.
Otra forma de expresarlo es:
Donde son números reales llamados los coeficientes de la
ecuación polinomial y es un entero no negativo.
es el coeficiente principal de la ecuación y es el grado de la ecuación
polinomial.
25. En el caso de una función polinomial al valor x que hace que
Se le llama cero del polinomio.
Cuando esto sucede, se tiene un punto donde la gráfica corta al eje x, es
decir, el par ordenado (x,0).
26. Al valor de x que cumple con:
Se le llama solución o raíz de la ecuación.
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 21

Ejemplos
1) De acuerdo al concepto clave 24 para
, si sustituimos por la variable , obtenemos:
o
2) Para en , ,
por lo tanto , de esta forma tenemos la pareja ordenada
.
En la siguiente tabla encuentra las parejas ordenadas para los valores de la
variable x que se indican.
P55.
-2 -1 0 1 2
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
P56. ¿Podrías evaluar la función anterior para valores no enteros? _____ ¿Por
qué?______________________________________________________________
.
P57. Evalúa para x con los siguientes valores 2.56, 1.45 y
forma las parejas ordenadas.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
1- 22 Unidad 1 Funciones Polinomiales

P58. Con las parejas ordenadas que obtuviste bosqueja la gráfica de
,
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
P59. ¿Cuál es el dominio y rango de la función?_________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
De acuerdo al concepto clave 24, obtuviste la ecuación polinomial
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 23
o

Notaras que se cumple con: , es decir, tomando la pareja
ordenada (-2,-13), tenemos:
Toma otras parejas ordenadas de la tabla que ya calculaste y verifica que esto
siempre se cumple.
Para ( , ) ;
Para ( , ) ;
Para ( , ) ;
Para ( , ) ;
P60. De acuerdo al concepto clave 25, ¿Cuál es el valor de que hace
que ?___________
P61. ¿Cuál es la pareja ordenada?________
P62. De acuerdo al concepto clave 26, cual es la raíz o solución de la ecuación
. La grafica corta el eje en ese punto.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2) Para de acuerdo al concepto clave 24 tenemos:
P63. ___________________ o ___________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
P64. Evalúa para los valores que se indican en la tabla.
-5 -4.5 -4 -3 -2 -1 0 1 1.5 2.5
6 0 -6 -4 0 9.75
1- 24 Unidad 1 Funciones Polinomiales

__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
P65. Bosqueja la gráfica
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 25

P66. ¿Cuál es el dominio y rango de la función?_________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
De acuerdo al concepto clave 24, obtuviste la ecuación polinomial
Toma algunas parejas ordenadas y como en el ejemplo anterior, verifica que
Para: ( , ); 0
Para: ( , ); 0
Para: ( , ); 0
Para: ( , ); 0
P67. De acuerdo al concepto clave 25, ¿Cuáles son los valores de que hacen
que ?___________
P68. ¿Cuáles son las parejas ordenadas?________________
P69. De acuerdo al concepto clave 26, cuales son las raíces o soluciones de la
ecuación . La grafica corta el eje en esos puntos.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
1- 26 Unidad 1 Funciones Polinomiales
o

Ejercicio 1.4
Para cada uno de las funciones dadas.
a) Indica cual es dominio y rango
b) Elabora una tabla de valores (en un rango de -5 a 5)
c) Indica cuál es el valor o valores de que hacen que
.
d) Indica cuál es la pareja ordenada o parejas ordenadas que
cumplen con el inciso c.
e) Cuáles son las raíces de la ecuación
f) Bosqueja la gráfica
1.
2.
3.
4.
5.
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 27

Conceptos clave:
27. Criterio de la recta vertical
En el plano cartesiano podemos representar los puntos de coordenadas
que satisfagan cierta función . Sin embargo, como antes ya mencionamos en
los conceptos clave de la primera sección, cada numero , en el dominio de ,
tiene una y solo una imagen . Es por esta razón que la grafica de una
función, no puede tener dos puntos con la misma abscisa y distintas
ordenadas.
Por lo anterior, la grafica de una función debe satisfacer el criterio de la recta
vertical.
Un conjunto de puntos en el plano xy, es la gráfica de una función si, y
solo si, una recta vertical intersecta a la gráfica a lo mas en un punto.
Concluimos que si la recta vertical intersecta a la gráfica en más de un punto,
entonces NO es una función.
Ejemplos
1) En la siguiente gráfica indica mediante el criterio de la
recta vertical si se trata de una función o no.
P70. Si trazas una recta vertical en la gráfica de arriba, ¿en cuántos
puntos intersecta a la grafica? ____________
1- 28 Unidad 1 Funciones Polinomiales

P71. Dado lo anterior puedes concluir que la grafica _____ representa a
una función.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2) En las siguientes gráficas indica mediante el criterio de la recta vertical si se
trata de una función o no.
a) b)
c)
P72. Dado lo anterior puedes concluir que:
La grafica a) _____ representa a una función.
La grafica b) _____ representa a una función.
La grafica c) _____ representa a una función.
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 29
d)

La grafica d) _____ representa a una función.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Teorema del factor
Conceptos clave:
28. Sea f una función polinomial, entonces es un factor de ) si, y
solo si .
Es decir,
a) Si , entonces es un factor de ,
b) Si es un factor de , entonces .
c) Al número c, se le conoce también como cero o raíz del polinomio.
La factorización de un polinomio, consiste en expresarlo como el producto de
un conjunto de binomios de la forma con a y b números reales, de tal
manera que el resultado de la multiplicación de dichos binomios sea
precisamente el polinomio original.
Factorización de funciones polinomiales
29. Las funciones polinomiales pueden factorizarse de la misma forma que
se hace para un polinomio.
a) factor común.
b) . Diferencia de cuadrados.
c) .
Binomio con un término común.
d) . Diferencia de cubos.
e) . Suma de cubos.
1- 30 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Ejemplos
P73. De acuerdo al concepto clave 29a, la función polinomial
, se puede factorizar como:
_____________________________
P74. De acuerdo al concepto clave 29b, en lo
que está entre paréntesis, puede también factorizarse como:
________________________________
_________________________________________________________________
__________________________________________________________________
De tal forma que al factorizar , queda como
. Cuando , , ¿en que otros dos casos el valor de x hace que
_________, __________, de acuerdo al concepto clave 28c, son los
ceros o _________ del polinomio.
P75. De acuerdo al concepto clave 28, ¿Cuáles son los tres factores de
________, ________, ________.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2) De acuerdo al concepto clave 29c, la función , puede
factorizarse como_______________________
P76. ¿Cuáles son los dos casos en que 0_____________, _____________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 31

P77. De acuerdo al concepto clave 28b, ¿Cuáles son los dos factores de
________, ________.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
¿Cuáles son los ceros o raíces del polinomio?_______, _______
3) La función de acuerdo al concepto clave 29d, puede
factorizarse como__________________________
P78. Indica una de las raíces del polinomio ________, ¿Cuál es uno de sus
factores?_______________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Seguramente ya te diste cuenta, los ceros o raíces de una función polinomial los
podemos obtener de los factores de dicha función como se indica en concepto
clave 28c, o viceversa, si sabemos las raíces o ceros de una función polinomial,
podremos encontrar sus factores.
Ejemplos
1) En evalúa la función cuando
_____________________________
De acuerdo con los conceptos clave 28b y 28c, un factor de la
anterior función es:______________ y por tanto una de sus
raíces o cero es: _________
1- 32 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Sabiendo que uno de sus factores es , la función puede escribirse
como:_______________________
P79. Pero en , podemos aplicar el concepto clave 29c y
factorizar , por lo tanto la función factorizada
es:___________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
En el caso anterior fue fácil encontrar los tres factores, sin embargo, esto no
siempre sucede. Tomaremos este mismo ejemplo para explicar otra forma de
obtener los factores de un polinomio cuando la respuesta no es tan sencilla.
Suponiendo que tienes el factor de un número por ejemplo, 202=28(___) ¿Cómo
sabes cuál es el otro factor?__________________
Esto mismo se hace para encontrar los factores de la función polinomial, es decir,
dividir entre el factor conocido.
Repasemos brevemente lo que haces cuando divides:
3 Toca a 3
7 25
- 21 3X7 = 21, cambiamos signo y lo restamos de 25
----------
4 Restan 4
Cociente
Divisor Dividento
Residuo
Para los polinomios el procedimiento es el mismo,
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 33

Procedimiento para dividir un polinomio.
De acuerdo al ejemplo, la función polinomial es
, sabiendo que es un
factor, procedemos a hacer la siguiente división:
En este caso de antemano
sabíamos que el residuo
sería cero, puesto que
es factor del polinomio
o dicho de otra forma, 2 es
raíz del polinomio.
1.- Debemos encontrar la forma de que al
multiplicar por alguna otra constante o
variable y cambiar su signo podamos eliminar .
La variable es:
términos
cambiamos signo a todos los
2.- Procedemos como en el paso 1, ahora busca la
forma de que al multiplicar por alguna otra
variable o constante y cambiarle signo, sea posible
eliminar .
El valor es:
los términos.
cambiamos signo a todos
3.- Ahora nuevamente procedemos como en los
pasos 1 y 2, debes buscar una constante o
variable que al multiplicarla por y cambiarle
signo, sea posible eliminar .
El valor es:
términos.
cambiamos el signo a todos los
Como en cualquier otra división, cuando el residuo es cero, podemos decir que
Trasladado a nuestra función polinomial,
Dividendo = Divisor X Cociente
1- 34 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Sabemos que los otros factores de este polinomio son , pudimos
haber hecho la división con cualquiera de estos dos y el residuo hubiera sido
también cero, ¿Por qué?______________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Ejemplos
1) En , demuestra que es
un factor de la función polinomial, es decir, que , es un
cero o raíz de la función.
P81.
1.- Debemos encontrar la forma de que al
multiplicar por alguna otra constante o
variable y cambiar su signo podamos eliminar
.
¿Cuál es ese valor?__________
todos los terminos
cambiamos signo a
2.- Procedemos como en el paso 1, ahora
busca la forma de que al multiplicar por
alguna otra variable o constante y cambiarle
signo, sea posible eliminar .
El valor es:
signo a todos los términos.
cambiamos
3.- Ahora nuevamente procedemos como en
los pasos 1 y 2, debes buscar una constante
o variable que al multiplicarla por y
cambiarle signo, sea posible eliminar
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 35

El valor es:
cambiamos el
signo a todos los términos.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
P82.
2) En , demuestra que es un factor
de la función polinomial, es decir, que , es un cero o raíz de la
función.
1.- Debemos encontrar la forma de que
al multiplicar por alguna otra
constante o variable y cambiar su
signo podamos eliminar .
¿Cuál es ese valor?__________
signo a todos los términos
cambiamos
Continúa hasta finalizar, ¿Cuál será el
residuo?________
1- 36 Unidad 1 Funciones Polinomiales

__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 37

1.
2.
3.
4.
Ejercicio 1.5
Realiza los siguientes ejercicios:
a) Indica cuales son los factores
b) Indica cuales son los ceros o raíces del polinomio
c) utiliza el criterio de la recta vertical para determinar si se
trata o no de una función.
Escribe las funciones en sus respectivos factores, sabiendo uno de sus
factores:
5. Un factor es:
6. Un factor es:
7. Un factor es:
8. Un factor es:
En los siguientes ejercicios, demuestra por medio de la división de
polinomios si el valor dado es factor o no de la función polinomial dada.
9. Factores propuestos
10. Factores propuestos
11.
Factores propuestos
12. Factores propuestos
1- 38 Unidad 1 Funciones Polinomiales

División sintética
Conceptos clave:
Para encontrar el cociente y residuo de una función polinomial de grado 1 o
mayor que es dividida entre , una versión abreviada de la división larga,
es la llamada división sintética mucho más fácil de manejar.
30. Teorema del factor Sea una función polinomial, entonces es un
factor de si, y solo si, .
Es decir,
a) Si , entonces es un factor de
b) Si es un factor de , entonces
c) Al número c, se le conoce también como cero o raíz del polinomio.
La factorización de un polinomio, consiste en expresarlo como el producto de
un conjunto de binomios de la forma con a y b números reales, de
tal manera que el resultado de la multiplicación de dichos binomios sea
precisamente el polinomio original.
31. Teorema del residuo: Sea una función polinomial. Si es
dividida entre , entonces el residuo es
32. Una ecuación polinomial de grado tiene exactamente factores
lineales y por tanto raíces.
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 39

siguiente arreglo:
Divisor
Dividendo
Productos parciales
Cociente y residuo
Procedimiento para la división sintética.
Para la función polinomial ,
sabiendo que es un factor, procedemos usar el
1. En el dividendo escribe sólo los coeficientes del polinomio, en orden
descendente.
Divisor
1 2 -5 -6
Productos parciales
Cociente y residuo
2. En el lugar del divisor anota el término constante cambiando el signo
de este.
2
1 2 -5 -6
Productos parciales
Cociente y residuo
3. La fila de productos parciales la dejamos en blanco y bajamos el primer
coeficiente del dividendo a la tercera fila, para ir formando el cociente.
2
1 2 -5 -6
1
1- 40 Unidad 1 Funciones Polinomiales

4. Multiplicamos este cociente por el divisor y anotamos el producto abajo del
segundo coeficiente del dividendo.
2 1 2 -5 -6
1
2
5. Sumamos la columna
2 1 2 -5 -6
1
2
4
6. Multiplicamos el resultado por el divisor y anotamos el resultado para el
tercer coeficiente del polinomio
2 1 2 -5 -6
2 8
7. Se hace la suma de la columna
1
4
2 1 2 -5 -6
1
2 8
4
3
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 41

8. Multiplicamos el resultado por el divisor y ponemos el producto bajo la
columna del cuarto coeficiente (divisor).
2 1 2 -5 -6
1
2 8 6
9. Obtenemos la suma de la cuarta columna
4
3
2 1 2 -5 -6
1
2 8 6
4
3
0 El residuo es cero
Los tres números de la tercera fila 1, 4 y 3, son los coeficientes del cociente, el
cual es un polinomio de un grado menor que el dividendo, es decir, el
polinomio resultante es .
De acuerdo con el concepto clave 30, si el residuo es cero entonces es
un factor. Si este no fuera un factor y de acuerdo con el concepto clave 31 el
residuo sería .
Ejemplos
1) En utiliza división sintética y
demuestra que de acuerdo al concepto clave 31, el residuo es 8
cuando el divisor es
De acuerdo el procedimiento,
¿Cuál es el divisor ya con el cambio de signo?_________
¿Cuáles son los coeficientes?____________________________
1- 42 Unidad 1 Funciones Polinomiales

1
3 8 -7 4
1
P83. Realiza la división sintética en tu cuaderno, guíate con el procedimiento para
la división sintética que antes hicimos.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
2) Usa la división sintética y demuestra que es un factor de
Si es un factor, entonces al evaluar _________
De acuerdo al procedimiento antes visto, puesto que , es un factor, de
acuerdo al concepto clave 30 el residuo de la división sintética debe ser:______
Si en un polinomio faltaran algunas potencias de , por ejemplo
Al hacer la división sintética, deben incluirse ceros en las posiciones faltantes, es
decir:
Posteriormente se procede a realizar la división.
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 43

3) En 6 si es una raíz, es decir, que al evaluar la
función en ese valor el resultado será:_____
Por el teorema del factor (concepto clave 30) se cumple que:
Si efectúas la división sintética para el factor , el residuo será: _____
-1
1 -4 1 6
-1 5 -6
1 -5 6 0
Entonces el cociente nos arroja el factor buscado, es decir, la función,
6, puede ser factorizada como: )
P84. Podemos efectuar la división sintética sobre este nuevo factor o aplicar la
formula general de segundo grado y encontraremos que los otros dos factores
son:_________ _________
P85. Así es que , puede factorizarse y escribirse como:
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
4) Si
, y son tres de las cinco raíces de la función
Factorizala y obtén las otras dos raíces.
P86. Sabiendo que una de las raíces es
obtenemos que el cociente resultante es: __________________
aplicando división sintética
1- 44 Unidad 1 Funciones Polinomiales

_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Aplicando nuevamente la división sintética a con (no olvides
completar con ceros los coeficientes de las que faltan tal como se explicó
después del ejemplo 2 anterior).
Continua en tu cuaderno aplicando la división sintética para el cociente que resulta
sabiendo que aplicando división sintética obtenemos que el cociente es:
__________________
Aplicando por tercera ocasión la división sintética al cociente
con obtenemos que el cociente es: __________________
Ahora puedes aplicar la formula general para encontrar las raíces de una ecuación
de segundo grado para el cociente_____________________ las dos raíces
restantes son:__________, ___________.
P87. Finalmente, una vez conocidas las cinco raíces de
, se pude factorizar como:_________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 45

Ejercicio 1.6
Para cada uno de los ejercicios siguientes demuestra por
división sintética que el valor propuesto es factor de la
función polinomial dada.
1. Factor:
2. Factor:
3. Factor:
4. Factor:
5. Factor:
1- 46 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Raíces racionales
Conceptos clave:
Para encontrar las raíces racionales de una función polinomial usaremos el
teorema de los ceros racionales o de las raíces racionales.
33. Teorema de las raíces racionales: Sea f una función polinomial de grado
1 o superior de la forma.
Condiciones
1. ,
2. cada coeficiente es un entero.
Si la fracción irreductible
es una raíz racional de la función polinomial del tipo
antes descrito, entonces es un factor de y es un factor de .
Una raíz debe ser
Por lo tanto las raíces
Procedimiento para aplicar el teorema de las
raíces racionales.
1) En un ejemplo ya visto en la sesión anterior
6, apliquemos el teorema de las raíces racionales.
, donde p es un factor de 6, es decir, p puede ser
, y q es un factor de 1, esto es: q puede ser +1 o -1.
pueden ser
. El paso siguiente es
probar una a una las raíces haciendo la división correspondiente (se recomienda
la división sintética) usando el teorema del residuo (concepto clave 31) y teorema
del factor (concepto clave 30) nos permite encontrar las raíces y factores del
polinomio con más facilidad.
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 47

Ejemplos
1) Encontrar las raíces de la función
de a cuerdo al concepto clave 33.
p es un factor de 2, es decir: __________________________
q es un factor de 4, es decir:__________________________
P88. Por lo tanto las posibles raíces son:
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Probemos con
1 4 -5 -7 2
4 1 8
4 -1 8 -6
Probemos con
-1 4 -5 -7 2
-4 9 -2
4 -9 2 0
P89. Las otras dos raíces son:
No es raíz
Si es raíz, entonces , puede
factorizarse como: )
Las otras raíces puedes encontrarlas aplicando la
formula general para resolver ecuaciones de segundo
grado para:
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
1- 48 Unidad 1 Funciones Polinomiales

2) Hallar las raíces de de acuerdo al concepto
clave 33.
p es un factor de: ____________________________
q es un factor de: ____________________________
Las posibles raíces
Probemos con
3 -4 -35 12
3 -2
2 -
Probemos con
Aplicando
3 -4 -35 12
1 -1 -12
3 -3 -36 0
P90. Las otras dos raíces son:
-
pueden ser
tenemos
No es raíz
Si es raíz, entonces , puede
factorizarse como:
Las otras raíces puedes encontrarlas aplicando la formula
general para resolver ecuaciones de segundo grado. Puesto
que al dividir entre tres no se altera la ecuación, podemos
obtener:
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 49
)

3.
4.
Ejercicio 1.7
Para cada uno de los siguientes ejercicios encuentra
únicamente todos los posibles ceros o raíces del polinomio
dado.
1.
2.
Para los ejercicios siguientes resuelve por división sintética encontrando
todas y cada una de sus raíces.
5.
6.
7.
8.
1- 50 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Conceptos clave:
34. Dada una ecuación polinomial de grado , con coeficientes enteros,
podemos expresarla como el producto de factores lineales. El
proceso inverso también es posible.
35. Dado un conjunto de números reales se pueden formar factores
lineales con ellos y construir una ecuación polinomial que tenga ese
conjunto de números como raíces.
36. Una ecuación cuadrática , puede escribirse como:
, que a su vez puede expresarse como el producto de dos
factores lineales. , donde son las raíces de la
ecuación. Así el dominio de la función cuadrática asociada a esta ecuación
son todos los números reales. R.
37. Se dice que una función es positiva en la región en que se gráfica se
encuentra arriba de las abscisas.
38. Se dice que una función es negativa en la región en que se gráfica se
encuentra abajo de las abscisas.
39. Una función polinomial tiene como dominio al conjunto de los números
reales, es decir, está definida para todo número real. Este tipo de
gráficas consta de un solo trazo sin rupturas, se traza “sin levantar el
lápiz”. En general se dice que toda función polinomial es continua.
Ejemplos
1) Encontrar la ecuación cuadrática que tiene como raíces
.
P91. Multiplica los términos, la ecuación de segundo grado
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 51

Reduciendo términos semejantes y eliminando denominadores queda:
___________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
2) Encontrar la ecuación cuadrática que tiene como raíces
P92. Multiplica los términos, la ecuación de segundo grado que obtienes es:
Reduciendo términos semejantes y eliminando denominadores queda:
___________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
P93. De acuerdo al concepto clave 39 sobre funciones continuas, indica cuales de
las siguientes son funciones continuas.
a) b) c) d)
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
1- 52 Unidad 1 Funciones Polinomiales
.

3) De acuerdo al concepto clave 37 y 38 para las funciones positivas y negativas,
en la siguiente gráfica
Si la función es positiva, pero si , la función es:_________________
P94. En las siguientes gráficas, indica cuando la función es positiva y cuando es
negativa
a)
a
La función es positiva cuando ____
La función es negativa cuando ____
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 53

d)
b)
c)
La función es positiva cuando , o _____
La función es negativa cuando está entre ____ y
____
La función es positiva cuando está entre ____ y
_____
La función es negativa cuando ____ o
____
La función es positiva cuando: está entre ____ y
_____. También cuando _______
La función es negativa cuando ____ y cuando
está entre ____ y ____
1- 54 Unidad 1 Funciones Polinomiales

_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Procedimiento bosquejar una grafica de una
función polinomial
1.- Localiza los ceros o raíces del polinomio en
un sistema de coordenadas cartesianas.
2. Dividir el eje x en intervalos, a partir de las raíces dadas.
3. Determinar el carácter positivo o negativo de la función en cada intervalo.
4. Bosquejar la grafica tomando ventaja de que la función es continua.
Ejemplos
5) Bosquejar la gráfica de la función polinomial cuyos ceros o
raíces son .
De acuerdo con los ejemplos 1 y 2 anteriores,
P95. Por tanto
P96. Los ceros dividen al eje en tres intervalos
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 55

De acuerdo al paso tres del procedimiento, necesitamos determinar el carácter
positivo o negativo de la función (ver ejemplos 3 y 4 anteriores)
Primero toma un valor para en cada uno de los tres intervalos, evalúa la función
en dicho valor y registra el signo obtenido. La tabla siguiente te ayudará,
complétala.
Intervalo Valor x
Carácter de la
propuesto
función
-5
-1
2
12 Positiva
P97. Con la información obtenida, bosqueja la grafica, por supuesto que no tendrá
mucha precisión, pero tendrás una idea general de su comportamiento y su forma.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
1- 56 Unidad 1 Funciones Polinomiales

6) Bosquejar la gráfica de la función polinomial cuyos ceros o raíces son
.
Por tanto
De acuerdo con los ejemplos 1 y 2 anteriores,
Los ceros dividen al eje x nuevamente en tres intervalos
De acuerdo al paso tres del procedimiento, necesitamos determinar el carácter
positivo o negativo de la función (ver ejemplos 3 y 4 anteriores)
Primero toma un valor para x en cada uno de los tres intervalos, evalúa la función
en dicho valor y registra el signo obtenido. La tabla siguiente te ayudará,
complétala.
Intervalo Valor x
Carácter de la
propuesto
función
-2 Positiva
-0 -3
2
P98. Con la información obtenida, bosqueja la grafica, por supuesto que no tendrá
mucha precisión, pero tendrás una idea general de su comportamiento y su forma.
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 57

_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
7) Bosquejar la gráfica de la función polinomial cuyos ceros o raíces son
.
Por tanto
De acuerdo con los ejemplos antiores1 y 2 anteriores,
Los ceros dividen al eje x en cuatro intervalos
De acuerdo al paso tres del procedimiento, necesitamos determinar el carácter
positivo o negativo de la función (ver ejemplos 3 y 4 anteriores).
1- 58 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Primero toma un valor para x en cada uno de los cuatro intervalos, evalúa la
función en dicho valor y registra el signo obtenido. La tabla siguiente te ayudará,
complétala.
Intervalo Valor x
Carácter de la
propuesto
función
-5
-2
-58
0 Negativa
3 Positiva
P99. Con la información obtenida, bosqueja la grafica, por supuesto que no tendrá
mucha precisión, pero tendrás una idea general de su comportamiento y su forma.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 59

1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Ejercicio 1.8
Para cada uno de los ejercicios siguientes se proporcionan las
raíces o ceros o factores de cierta función polinomial.
a) Obtén la función polinomial
b) Determina los intervalos para saber donde la función es
positiva o negativa.
c) Elaborar una tabla con los intervalos obtenidos (ver
ejercicios 5, 6 y 7 de esta sección)
d) Bosquejar la gráfica
1- 60 Unidad 1 Funciones Polinomiales

y
Conceptos clave:
La gráfica de una función puede curvarse hacia arriba o hacia abajo,
esto se conoce como concavidad.
40. Se dice que una curva es cóncava hacia arriba si sus tangentes están
por debajo de ella.
41. Se dice que una curva es cóncava hacia abajo si sus tangentes están
por arriba de ella.
y
x
x
42. El punto más bajo que se encuentra en una región donde la curva es
cóncava hacia arriba, se llama mínimo local porque es el punto más
bajo aunque no de toda la curva pero si de una región.
43. El punto que se encuentra en la cima de una región donde la curva es
cóncava hacia abajo, se llama máximo local porque es el punto más
alto aunque no de toda la curva pero si de una región.
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 61
y
y
x
x

Ejemplos
1) Completa la siguiente tabla bosquejando las gráficas que
faltan e indica si la concavidad es positiva o negativa.
P100.
a) b)
Concavidad____________
Concavidad____________
c) d) e) +3
Concavidad____________
Concavidad____________
Concavidad__________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
P101. Observa que en una función del tipo si el exponente es par y
el coeficiente positivo, la función es cóncava hacia ___________
1- 62 Unidad 1 Funciones Polinomiales

P102. De la misma forma si en una función del tipo si el exponente
es par y el coeficiente negativo, la función es cóncava hacia ___________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
2) Completa la siguiente tabla bosquejando las gráficas e indica si la concavidad
es positiva o negativa.
P103.
1) 2)
a) En el intervalo
Concavidad__________
b) En el intervalo
Concavidad____________
c) En el intervalo
Concavidad____________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 63
3)
d) En el intervalo
Concavidad__________
e) En el intervalo
Concavidad____________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________

De acuerdo a lo visto hasta el momento:
P104. a) Si entre dos ceros consecutivos (raíces consecutivas), la función
polinomial es positiva, la gráfica será cóncava hacia ____________
b) Si la función polinomial es negativa entre dos ceros consecutivos, entonces la
grafica es cóncava hacia ____________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
3) Se tiene una función polinomial con cinco ceros o raíces
Las raíces son: .
De acuerdo con los ejemplos de la sección anterior
Multiplicando y simplificando términos tenemos que
Completa la siguiente tabla indicando si la función es positiva o negativa y el tipo
de concavidad según el intervalo
Intervalo Valor x
propuesto
Carácter
de la
función
Concavidad
Hacia
-1.5 3.28125 Abajo
-0.5
0.5 1.40625 positiva Abajo
1.5
1- 64 Unidad 1 Funciones Polinomiales

P105. Bosqueja la gráfica utilizando la información de la tabla
_________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 65

1.-
2.-
3.- ,
4.-
5.-
Ejercicio 1.9
Para cada los ejercicios 1 a 5 siguientes se proporciona n los
ceros o raíces o factores de la función polinomial.
a) Obtener la función polinomial
b) Determinar los intervalos de análisis para indicar la
concavidad y elaborar una tabla (Ver ejercicio 3 de esta sección)
c) Bosquejar la grafica
,
, ,
En los ejercicios 6 a 8, encuentra por medio de división sintética las raíces o ceros
de las funciones, bosqueja la gráfica y señala la concavidad.
6.-
7.-
8.-
1- 66 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Conceptos clave:
44. Una función es creciente en una región si y solo si al aumentar los
valores de la variable independiente , aumentan también los valores
de la función. Es decir, es creciente en una región si para dos
puntos cualesquiera de esta región siempre que
necesariamente e inversamente.
45. Una función es decreciente en una región si y solo si al aumentar los
valores de la variable independiente , disminuyen también los valores
de la función. Es decir, es decreciente en una región si para dos
puntos cualesquiera de esta región siempre que
necesariamente e inversamente.
46. Cuando una variable crece indefinidamente hacía la región positiva del
eje coordenado, decimos que tiende a infinito. Se denota por
47. Cuando una variable decrece indefinidamente hacía la región negativa
del eje coordenado, decimos que tiende a menos infinito. Se denota
por
En el eje X la región positiva donde crece indefinidamente es hacia la
derecha, la región donde en el eje Y crece la función crece indefinidamente es
hacia arriba.
48. En una función el término que tiene el mayor exponente es el que
decide la tendencia de la función.
49. En
A. Si es par y es positivo,
entonces:
a) Cuando ,
b) Cuando ,
C. Si es par y es
negativo, entonces:
a) Cuando ,
b) Cuando ,
B. Si es impar y es
positivo, entonces:
a) Cuando ,
b) Cuando ,
D. Si es impar y es
negativo, entonces:
a) Cuando ,
b) Cuando ,
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 67

50. En general, una función polinomial con coeficientes reales tiene como
dominio a todo el conjunto de los números reales. Si es de grado
impar, su rango también serán los números reales.
Ejemplos
1) La grafica de tiene la siguiente forma:
P106.De acuerdo a los conceptos claves 44 y 45 ¿En qué intervalo la función es
decreciente?___________ ¿Por qué?___________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
2) De acuerdo al concepto clave 49, en las siguientes funciones indica lo que
se te pide sin realizar operaciones:
i) En , cuando , y cuando
, .
ii) En , cuando , y cuando ,
.
iii) En , cuando , y cuando
, .
1- 68 Unidad 1 Funciones Polinomiales

Para bosquejar la gráfica de una función polinomial, será conveniente seguir un
procedimiento como el siguiente:
a) Estimar con base en el grado del polinomio, el numero de ceros reales
(raíces reales) que podría tener el polinomio.
b) Calcular los ceros reales del polinomio, es decir, los valores para los que
Corresponden a los puntos en que la grafica corta al eje .
c) Obtener la tendencia de la función cuando , y cuando
d) Delimitar el intervalo del eje X en el que se darán valores de de tal
manera que la gráfica no se salga del espacio disponible.
e) Dar a valores convenientes y calcular ,
f) Analizar el comportamiento de la función para los valores dados y decidir si
son suficientes.
g) Decidir si hay necesidad de utilizar para el eje Y una escala diferente de la
empleada en el eje X.
h) Bosquejar la gráfica
i) Dar el rango
Cuando completemos estos pasos, debemos unir los puntos con un trazo suave
que nos permita respetar el comportamiento de la función en el resto de su
dominio.
Ejemplos
3) Bosqueja la grafica de , indica el
dominio, rango y el comportamiento cuando y ,
De acuerdo a los pasos recomendados (del inciso a al inciso i)
tenemos que:
a) Dado que la función es de tercer grado tendremos
cuando mas tres ceros reales.
b) La ecuación tiene al menos
una solución de la forma , (concepto clave 33) donde
y . Las posibles soluciones son entonces: .
P107. Utiliza la división sintética ya vista para verificar que una de sus raíces es -1
y encuentra las otras dos.
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_________________________________________________________________
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 69

c) Como en el coeficiente es positivo, es decir 1, de acuerdo al
concepto clave 49, cuando , y cuando ,
.
d) Con base en la información hasta aquí recopilada, podemos intentar
graficar la función para valores de x entre -3 a 2.
e) Completa la siguiente tabla
-3 -2 -1 0 1 2
-8 0
f) En la tabla anterior, se tienen dos ceros consecutivos, de tal forma que
no sabemos si la grafica es positiva o negativa en ese intervalo, para
saberlo, debemos dar un valor entre -2 y -1, por ejemplo -1.5.
P108. Como queda ahora la tabla con este nuevo valor
-3 -2 -1.5 -1 0 1 2
-8 0
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
g) De acuerdo a lo obtenido No es necesario ajustar la escala
h) La grafica es la que se muestra a continuación
i) Por ser una función de grado impar (grado 3). El dominio son todos los
números reales, el rango también son todos los reales.
1- 70 Unidad 1 Funciones Polinomiales

4) Bosqueja la grafica de
a) ¿Cuántos ceros o raíces tiene a lo más?________
b) Una raíz que salta a la vista es: _________ encuentra las otras dos
raíces usando la formula general para ecuaciones de segundo grado.
c) Cuando , y cuando , .
d) ¿Cuál es el rango de valores que intentarías para x?________________
e) Completa la tabla
P109.
-2 -1 0 1 2 3 4 6 7 8 10 12
-1000 -414 266 216 -40
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
P110.
f) ¿Los valores dados son suficientes? ___________
g) ¿Es necesario ajustar la escala del eje y?__________
h) Bosqueja la gráfica
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 71

i) Tanto el dominio y rango de la función son todos los números________
Debido a que el exponente es____________
1- 72 Unidad 1 Funciones Polinomiales

1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Ejercicio 1.10
Para cada una de las funciones polinomiales siguientes:
a) Estimar con base en el grado del polinomio, el numero de
ceros reales (raíces reales) que podría tener el polinomio.
b) Calcular los ceros reales del polinomio, es decir, los
valores para los que Corresponden a los puntos en
que la grafica corta al eje .
c) Obtener la tendencia de la función cuando , y
cuando
d) Delimitar el intervalo del eje X en el que se darán valores de de tal
manera que la gráfica no se salga del espacio disponible.
e) Dar a valores convenientes y calcular ,
f) Analizar el comportamiento de la función para los valores dados y decidir si
son suficientes.
g) Decidir si hay necesidad de utilizar para el eje Y una escala diferente de la
empleada en el eje X.
h) Bosquejar la gráfica
i) Dar el rango
Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1- 73