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UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MAT-270 ANALISIS NUMERICO
TAREA No. 4
Fecha de entrega: 17 de Mayo de 2004
1. Una forma de sumar series de términos positivos convergentes S = a1 + a2 + . . . + an + . . . es usando
interpolación, del siguiente modo: Definimos la función f(1/n) = Sn = n j=1 aj; n = 1; 2; 3; . . .
tendremos así que la suma de la serie S = f(0), por tanto para estimar S usamos polinomios que
interpolan a f y los evaluamos en el punto x = 0, esto es, Calculamos pn(x), que es el polinomio
que interpola a f(x) en los nodos x = 1; 1/2; 1/3; · · · ; 1/n, y obtenemos Pn = pn(0). El proceso
finaliza cuando |Pn+1 − Pn| < ɛ (ɛ suficientemente pequeño), y tomamos S := Pn+1. Usar este
proceso para obtener
∞ 1
S =
n2 con 5, 8, 13 y 16 cifras exactas. Contrastar el resultado obtenido con el valor exacto de la serie.
2. Suponga que se tienen los siguientes valores de los desplazamientos de un resorte de masa constante
y de velocidad inicial 2.
t 0 0.1571 0.4712 0.7854 1.0996 1.4137 1.7279 2.0420 2.3562 2.6704 2.9845
Y 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
(a) Calcule el polinomio de Interpolación de Lagrange de estos puntos. Comente.
n=1
(b) Supongamos ahora que conocemos el valor de la derivada de la función en los mismos puntos:
t 0 0.1571 0.4712 0.7854 1.0996 1.4137 1.7279 2.0420 2.3562 2.6704 2.9845
Y ′ 2.0000 7.3040 -3.8966 2.0788 -1.1090 0.5916 -0.3156 0.1684 -0.0898 0.0479 -0.0256
Calcule el polinomio de Interpolación de Hermite. Comente.
(c) Mediante otro experimento, se logro establecer el valor de la función en puntos antes no
considerados:
t 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.5708 1.8850 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416
Y 0 1.5335 0.7154 1.1518 0.9190 1.0432 0.9769 1.0123 0.9934 1.0035 0.9981
Calcule nuevamente el polinomio de Lagrange considernado estos puntos. Comente.
(d) Suponga que se conoce que los datos anteriores satisfacen la ecuación
Y = 1 − Ae −Bt cos 10t
encontrar la aproximación de mínimos cuadrados de A y B, usando los datos i) (a), ii) (c) y
iii) (a) y (c). Comente.
3. (Interpolación Spline)
Un buque provisor de combustibles del territorio Chileno Antártico ha chocado accidentalmente
con grandes trozos de hielo, los que le han dañado el casco severamente, afectando directamente
la cámara almacenadora de petróleo produciendo un gran derrame de éste. El buque se dirigía
a la zona de la base Shirreff donde existe una gran colonia de animales marinos y pingüinos los
que corren peligro de muerte frente a la letal contaminación de petróleo. Dada la emergencia, la
NASA envia al departamento catástrofes de inteligencia nacional de Chile una serie de fotos de vista
satelital tomadas de la mancha producida por el derrame en cuestión, las que fueron analizadas con
el objeto de determinar como cambia la forma de la mancha en el tiempo y en el plano (Mar) para
así tomar medidas para controlar la expansión, lográndose los siguientes resultados:
Tomando como punto origen del plano donde se expande la mancha, el punto donde se produjo el
derrame, se pueden caracterizar 4 comportamientos diferentes que coinciden con los 4 cuadrantes
del eje cartesiano XY superpuesto a la mancha, obteniéndose:

Cuadrante 1 Se puede aproximar la forma a una función
M(x, t) = √ 11t − x + sen(270t −2 x)
Para los puntos x tal que x ∈ I1 = [0, x1] con x1 = min{x > 0 : M(x, ¯t) = 0} con ¯t tiempo de
análisis.
Cuadrante 2 Se puede aproximar la forma a una función
Cuadrante 3
Cuadrante 4
M(x, t) = √ 11t + x + sen(270e −t/2 x)
Para los puntos x tal que x ∈ I2 = [x2, 0] con x2 = min{x < 0 : M(x, ¯t) = 0} con ¯t tiempo de
análisis.
En los siguientes cuadrantes fue imposible determinar una función analítica que caracterizara
la forma, por lo que solo se pudieron medir con bastante exactitud algunos puntos en el plano.
Radio 5,3873 5,091 4,4945 5,2639 4,5137
θ[ ◦ ] 191,4563 194,4461 206,5658 243,9723 254,0568
Radio 11,2237 11,9122 12,6511 13,5704 15
θ[ ◦ ] 268,522 268,8963 269,2327 269,5804 270
Radio 15 13,73 11,894 6,91 2,7 5,659 4,807 5,386
θ[ ◦ ] 270 270,456 271,395 278,151 305,807 313,28 341,565 350,38
Estos puntos son los correspondientes a la primera foto tomada da la mancha en expansión. Se
considera después del análisis hecho que estos puntos se expanden en un 9.51% en magnitud radial
con ángulo constante por cada unidad (uno) de tiempo.
Frente a esta situación de emergencia se pide calcular lo siguiente:
(a) Mostrar todos los pares de puntos (x, y) por cuadrante para el tiempo inicial t = 4.6[Unidades
de tiempo] en una tabla, mostrar un gráfico representativo (con solo los puntos)
(b) Aproximar la forma de la mancha mediante el uso de Splines cúbicas, dada la tabla de puntos
calculada para t = 4.6 [Unidades de tiempo], y calcular el área de la mancha en este instante.
(c) Para t = 10 [Unidades de tiempo] la situación ya es crítica, por lo que el departamento de
catástrofes de inteligencia nacional decide poner límite a la expansión por medio de una malla
perimetral, pero no ha calculado el largo de ésta, obtener este dato.
(d) (Bonus) Aproximar la razón de cambio del área de la mancha en función del tiempo con un
polinomio determinado através de interpolación para los tiempos 5, 6, 7, 8, 9, 10 [Unidades de
tiempo], grafíquelo, ¿Cuál es la razon de cambio del área de la mancha al cabo de 11[Unidades
de tiempo], en el caso de no construir la malla perimetral?.
Observaciones: -El tiempo inicial de análisis esta en base a la primera foto estudiada, de la cual se
rescata tinicial = 4, 6[unidades de tiempo]
-El ángulo θ es medido desde el eje positivo de x (cuadrante 1) en sentido antihorario.
-Estudie las condiciones de frontera entre cuadrantes mas razonables para resolver el problema.
-El método de interpolación Spline Cúbica que debe utilizar se encuentra como Anexo en la Tarea
4, segundo semestre, 1998.
(http://www.mat.utfsm.cl/guias/1998/guias1/numerico/mat270-4/index.html)
-Bonus: hasta 10% de nota final de la tarea.
Importante: -NO olvide remitirse al reglamento de tareas.
- No olvide entregar los correspondientes códigos programados.
RAF/JFN/EHH//RB/AR 04 de Mayo de 2004.