Sesión # 6 Cálculo Integral Sumas de Riemann

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Sesión # 6
Cálculo Integral
Dr. Ildebrando Pérez Reyes
En cuanto a cálculo integral MAPLE puede cubrir muy bien casi todo el temario. Al igual que antes hay
comandos para realizar cálculos de manera directa y comandos para realizar operaciones paso a paso.
Sumas de Riemann
Cómo ya se ha de suponer las sumas de Riemann sirven para el cálculo aproximado de áreas que no
pueden ser calculadas a través de las fórmulas ya establecidas de geometría. Las sumas de Riemann
se definen como
en donde la función representa la función que genera una curva. El área bajo la curva se calcula con
las sumas de Riemann. representa el tamaño de las particiones. representa un punto en cada
partición.
Para calcular las sumas de Riemann, se carga la paquetería de Calculus1,
restart;
with(Student[Calculus1]):
Consideremos ahora la función
f00:=10-x^2;
y que se desea calcular el área bajo la curva en . Su gráfica es la siguiente
plot(f00, x=0..3.5, labels=[x,f(x)], view=[0..3.5,0..12],
filled=true, tickmarks=[8, 12]);
(1.1)

f x
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3
x
. Y además,
. Para implementar la suma de Riemann de acuerdo con la fórmula anterior se tien
Sumaf00:= eval(f00,x=0.5)*(1-0.25) + eval(f00,x=1.25)*(1.5-1) +
eval(f00,x=1.75)*(1.75-1.5) + eval(f00,x=2)*(2.25-1.75) + eval
(f00,x=2.75)*(3-2.25);
Que es precisamente la respuesta del libro.
Par el caso del comando de MAPLE, ofrece 6 diferentes opciones:
Left,
Right,
Lower,
Upper,
Midpoint.
(1.2)

En donde cada uno de ellos corresponde a la manera o al lugar en donde encuentran ubicados los
puntos . A continuación se prueban cada uno de los métodos para la misma función
>
>
RiemannSum(f00, x=0.25..3.0, partition=[0.25,1,1.5,1.75,2.25,
3], method = left, output = plot);
10
8
6
4
2
0
A left Riemann sum approximation of
1 2 3
x
3.0
0.25
f x dx, where f x = 10 Kx 2
and the partition is uniform. The approximate value of the integral is
21.062500. Number of subintervals used: 5.
RiemannSum(f00, x=0.25..3.0, partition=[0.25,1,1.5,1.75,2.25,
3], method = right, output = plot);

10
8
6
4
2
0
1 2 3
x
A right Riemann sum approximation of
3.0
0.25
f x dx, where
f x = 10 Kx 2 and the partition is uniform. The approximate value of the
integral is 15.578125. Number of subintervals used: 5.
RiemannSum(f00, x=0.25..3.0, partition=[0.25,1,1.5,1.75,2.25,
3], method = lower, output = plot);

10
8
6
4
2
0
1 2 3
x
A lower Riemann sum approximation of
3.0
0.25
f x dx, where
f x = 10 Kx 2 and the partition is uniform. The approximate value of the
integral is 15.578125. Number of subintervals used: 5.
RiemannSum(f00, x=0.25..3.0, partition=[0.25,1,1.5,1.75,2.25,
3], method = upper, output = plot);

10
8
6
4
2
0
1 2 3
x
An upper Riemann sum approximation of
3.0
0.25
f x dx, where
f x = 10 Kx 2 and the partition is uniform. The approximate value of the
integral is 21.062500. Number of subintervals used: 5.
RiemannSum(f00, x=0.25..3.0, partition=[0.25,1,1.5,1.75,2.25,
3], method = midpoint, output = plot);

>
>
10
8
6
4
2
0
1 2 3
x
A midpoint Riemann sum approximation of
3.0
0.25
f x dx, where
f x = 10 Kx 2 and the partition is uniform. The approximate value of the
integral is 18.59765625. Number of subintervals used: 5.
Y como puede verse ninguno de los métodos arroja unresultado que encaje con el del libro. Por
comparación con el EJEMPLO ILUSTRATIVO 1, de la sección 4.5 de Leithold se comprende
porque no encajan los resultados.
También es posible elaborar un programa para que lo haga automáticamente. Esto se puede hacer con
un procedure
funcion:= f00;
x00:= 0.25:
x11:= 1.0:
x22:= 1.5:
x33:= 1.75:
x44:= 2.25:
x55:= 3:
x66:= 0:
w11:= 0.5:
w22:= 1.25:
w33:= 1.75:
w44:= 2:
(1.3)

>
>
>
>
>
>
w55:= 2.75:
w66:= 0:
#PARA 4
PARTICIONES#############################################
SumaDeRiemann4p:= proc(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6, w1,w2,w3,w4,w5,w6,
funcion1)
description "Suma de Riemann para 4
particiones";
eval(funcion1,x=w1)*(x1-x0) + eval(funcion1,x=
w2)*(x2-x1) + eval(funcion1,x=w3)*(x3-x2) + eval(funcion1,x=w4)
* (x4-x3)
end proc;
#PARA 5
PARTICIONES#############################################
SumaDeRiemann5p:= proc(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6, w1,w2,w3,w4,w5,w6,
funcion1)
description "Suma de Riemann para 5
particiones";
eval(funcion1,x=w1)*(x1-x0) + eval(funcion1,x=
w2)*(x2-x1) + eval(funcion1,x=w3)*(x3-x2) + eval(funcion1,x=w4)
* (x4-x3) + eval(funcion1,x=w5)*(x5-x4)
end proc;
#PARA 6
PARTICIONES#############################################
SumaDeRiemann6p:= proc(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6, w1,w2,w3,w4,w5,w6,
funcion1)
description "Suma de Riemann para 6
particiones";
eval(funcion1,x=w1)*(x1-x0) + eval(funcion1,x=
w2)*(x2-x1) + eval(funcion1,x=w3)*(x3-x2) + eval(funcion1,x=w4)
* (x4-x3) + eval(funcion1,x=w5)*(x5-x4) + eval
(funcion1,x=w6)*(x6-x5)
end proc;
(1.4)
(1.5)
(1.6)

>
>
>
>
>
>
>
#AHORA SE PONEN
APRUEBA#############################################
SumaDeRiemann4p(x00,x11,x22,x33,x44,x55,x66, w11,w22,w33,w44,
w55,w66,funcion);
16.265625
SumaDeRiemann5p(x00,x11,x22,x33,x44,x55,x66, w11,w22,w33,w44,
w55,w66,funcion);
18.093750
Calculemos ahora el siguiente ejercicio:
(1.7)
(1.8)
Obviamente, son 4 particiones y se puede resolver fácilmente con el procedure SumaDeRiemann4p
funcion:= x^2;
(1.9)
x00:= 0:
x11:= 0.5:
x22:= 1.25:
x33:= 2.25:
x44:= 3:
w11:= 0.25:
w22:= 1.:
w33:= 1.5:
w44:= 2.5:
SumaDeRiemann4p(x00,x11,x22,x33,x44,x55,x66, w11,w22,w33,w44,
w55,w66,funcion);#QUE CONCUERDA PERFECTAMENTE!!!!!
7.71875
(1.10)
plot(x^2, x=0..3.5, labels=[x,f(x)], view=[0..3,0..10], filled=
true, tickmarks=[8, 12]);

f x
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3
x
Ahora, resolvamos el mismo problema pero con el método del punto medio
RiemannSum(x^2, x=0.25..3.0, partition=[0,0.5,1.25,2.25,3],
method = midpoint, output = plot, boxoptions=[filled=[color=
pink,transparency=.7]]);

>
>
8
6
4
2
0
A midpoint Riemann sum approximation of
1 2 3
x
3.0
0.25
f x dx, where f x = x 2
and the partition is uniform. The approximate value of the integral is
8.832031250. Number of subintervals used: 5.
Integrales definidas e indefinidas
Las integrales definidas son de gran importancia no sólo en matemáticas sino también en física e
ingeniería debido a sus usos para calcular áreas , volúmenes, etc.. En MAPLE el comando para
resolver este tipo de integrales es simple: int(función,variable=límites);
Veamos el siguiente ejemplo:
f01:= x^2;
que se va a integrar entre el intervalo entonces
int(f01,x=0..3);
Considérese ahora la integral de en el intervalo
int(x,x=0..3);
9
(2.1)
(2.2)
(2.3)

>
>
9
2
plot(x, x=0..3., labels=[x,f(x)], view=[0..3,0..3], filled=
true, tickmarks=[8, 12]);
f x
3
2
1
0
0 1 2 3
x
Considérese el siguiente ejemplo. en el intervalo
int(sqrt(9-x^2),x=-3..3);
evalf(int(sqrt(9-x^2),x=-3..3));
(2.3)
14.13716694
(2.4)
plot(sqrt(9-x^2), x=-4..4., labels=[x,f(x)], view=[-4..4,0..6],
filled=true, tickmarks=[8, 12]);

>
f x
6
5
4
3
2
1
0 1 2
x
3 4
Considérese el siguiente ejemplo. en el intervalo
int(sin(x),x=0..2*Pi);
0
plot(sin(x),x=0..2*Pi, labels=[x,f(x)], view=[0..2*Pi,-1..1],
filled=true, tickmarks=[8, 12]);
(2.5)

>
>
>
f x
1
0
Así con otros ejercicios:
f02:= sqrt(5+4*x-x^2);
int(f02,x=-1..5);
f03:= 6-abs(x-2);
int(f03,x=0..8);
1 2 3 4 5 6
x
28
En cuanto a integrales definidas hay de muchos tipos y la sintaxis es mucho más simple. Basta con
quitar los límites. Por ejemplo, intégrese la función
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)

>
>
>
>
>
>
f04:= (x^2+2)/(x+1);
int(f04,x);
f05:= (2-3*sin(2*x))/cos(2*x);
int(f05,x);
Integrales definidas e indefinidas paso a paso
Para resolver integrales paso a paso con ayuda de un asistente se carga la paquetería:
with(Student[Calculus1]);
y de allí se usa el comando Inttutor. considérese la función
IntTutor(x^3,x);
La misma integral se puede hacer en el intervalo[0,3]
IntTutor(x^3,x=0..3);
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(3.1)
(3.2)
(3.3)

Considéres una función más complicada
>
>
>
>
>
>
f06:= 1/(1+exp(x));
IntTutor(f06,x);
y además se desea ver los pasos. Entonces, se usa ShowSolution
ShowSolution(IntTutor(f06,x));
f07:= exp(2*x)/(exp(x)+3);
=
=
=
=
=
=
=
=
=
IntTutor(f07,x);
ShowSolution(Int(f07,x));
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)

Aproximación de integrales
>
>
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Las Integrales pueden ser aproximadas gráficamente en el estilo de las sumas Riemann. En ese
sentido, MAPLE provee un comando idóneo ApproximateInteTutor
Considérese la siguiente función en el intervalo [0,3]
f08:= x^3;
ahora usemos el comando para aproximar la integral
ApproximateIntTutor(f08,x=0.3);
(3.9)
(4.1)

Considérese la función
>
>
f07;
en el intervalo [0,5]
ApproximateIntTutor(f07,x=0..5);
30
20
10
0 1 2 3
(4.2)

160
140
120
100
80
60
40
20
0
1 2 3 4 5
Integrales definidas por la regla de Simpson
La regla de Simpson es un método para aproximar el valor numérico de una integral definida.
La regla de Simpson está definida de forma aproximada en el libro de Leithold como sigue
=
La fórmula exacta de la regla de Simpson es
=

De nueva cuenta, se necesita la paquetería Calculus1 y el comando a usar es ApproximateInt
>
>
>
>
>
with(Student[Calculus1]);
Considérese que se desea usar la regla de Simpson para aproximar la siguiente integral
Obviamente esta puede calcularse fácilmente como sigue
f09:= 1/(1+x);
int(f09,x=0..1.);
0.6931471806
Ahora, aplicaremos la regla de Simpson con N=4
ApproximateInt(f09,x=0..1., method=simpson, partition=4);
0.6931545307
ApproximateInt(f09,x=0..1, method=simpson, output=plot,
partition=4);
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)

>
>
>
0
An approximation of
0
1
x
f x dx using Simpson's rule, where
1
f x = and the partition is uniform. The approximate value of the
xC1
integral is 0.6931545307. Number of subintervals used: 4.
Considérese otra función
f10:= exp(-x^2/2);
int(f10,x=0..2);
evalf(int(f10,x=0..2));
1.196288013
ApproximateInt(f10,x=0..2., method=simpson, partition=4);
1.196281734
ApproximateInt(f10,x=0..2, method=simpson, output=plot,
partition=4);
1
(5.5)
(5.6)
(5.7)

0
An approximation of
0
2
1 2
x
f x dx using Simpson's rule, where
f x = e K1
2 x2
and the partition is uniform. The approximate value of the
integral is 1.196281734. Number of subintervals used: 4.
Longitud de arco
Para el cálculo de longitud de arco se usa de igual forma la paquetería de Calculus1. Esta tiene dos
opciones
ArcLengthTutor
ArcLength
with(Student[Calculus1]);
(6.1)

Calcúlese entonces, la longitud de arco de la función desde el punto (1,1) hasta el punto (8,
4)
>
>
>
>
f11:= x^(2/3);
ArcLength(f11,x=1..4);
ArcLength(f11,x=1..4.);
3.367636667
ArcLength(f11,x=1..4, output=integral);
ArcLength(f11,x=1..4, output=plot, axes=boxed);
3
2
1
0
1 2 3 4
x
f x g x = 1 C d
dx
f x
2
x
1
g s ds
The arc length of f x = x 2 /3 on the interval 1, 4 . The coordinate
system is Cartesian.
(6.2)
(6.3)
(6.4)

Probemos ahora con el otro comando
>
ArcLengthTutor(f11,x=1..4);
y
3
2
1
0
1 2 3 4
x
Superficies de revolución
Para el cálculo de superficies de revolución se usa de igual forma la paquetería de Calculus1. Esta
tiene dos opciones
SurfaceOfRevolution
SurfaceOfRevolutionTutor
Definición de unsa superficie de revolución:
Si una curva plana se gira alrededor de una recta fija que está en el plano de la curva, entonces la
superficie así generada se denomina superficie de revolución. La recta fija se llama eje de la
superficie de revolución, y la curva plana recibe el nombre de curva generatriz (o revolvente).

with(Student[Calculus1]);
Considérese el siguiente ejemplo tomado del libro de Leithold sección 10.6 superficies
Ejemplo ilustrativo. (Leithold, Sec. 10.6 Superficies)
Una esfera es generada al girar la semicircunferencia alrededor del eje
Considerar que
>
>
with(plots);
implicitplot(y^2+z^2=2,y=-2..2,z=-2..2, view=[-1.5..1.5,0.
.1.5]);
(7.1)
(7.1.1)

>
>
0 1
y
Entonces, reescribamos la expresión en términos de
y00:= sqrt(2-z^2);
z
1
ahora usamos el comando SurfaceOfRevolution y calculamos el valor de la superficie de
revolución
SurfaceOfRevolution(y00, z=-1.414..1.414);
25.12894590
25.12894590
ahora veamos la posibilidad de ver una esfera
SurfaceOfRevolution(y00, z=-1.414..1.414, output=plot, axes=
frame);
(7.1.2)
(7.1.3)

Surface of revolution formed when f x = 2Kz 2 ,
K1.414 % z % 1.414, is rotated about a horizontal axis.
Un cilindro circular rectose genera a partir de la curva generatriz del plano y su eje es el
eje . Considérese que
plot(4,x=-2..2);

>
6
5
4
3
0
x
1 2
ahora usamos el comando SurfaceOfRevolution y calculamos el valor de la superficie de
revolución
SurfaceOfRevolution(4, z=-2..2);
SurfaceOfRevolution(4, z=-2..2.);
ahora veamos la posibilidad de ver una esfera
100.5309649
SurfaceOfRevolution(4, z=-2..2, output=plot, axes=frame,
surfaceoptions=[shading=zhue]);
(7.1.4)

otro ejemplo,
>
Surface of revolution formed when f x = 4, K2 % z % 2, is rotated
about a horizontal axis.
SurfaceOfRevolution(cos(x) + 1, x=0..4*Pi, output=plot);

Surface of revolution formed when f x = cos x C1, 0 % x % 4 p, is
rotated about a horizontal axis.
SurfaceOfRevolution(1/x*cos(x), Pi..4*Pi, output=plot, axis=
vertical);

cos x
Surface of revolution formed when f x =
x
rotated about a veritcal axis.
Usemos ahora el segundo comando para abrir el asistente
SurfaceOfRevolutionTutor(1+sin(x));
, p % x % 4 p, is

plot(1+sin(x),x);

2
1
0
2 2
x
SurfaceOfRevolutionTutor(1+sin(x), 0..Pi);

Volúmenes de revoluión
>
>
>
>
>
with(Student[Calculus1]):
VolumeOfRevolution(x^2 + 1, x=0..1);
VolumeOfRevolution(x^10 + 1, x^2 + 1, x=0..1, distancefromaxis=
-1);
VolumeOfRevolution(sin(x) + 1, x=0..3, output=integral);
Int(Pi*(sin(x)+1)^2,x=0..3);
(8.1)
(8.2)
(8.3)
(8.4)

>
>
VolumeOfRevolution(sin(x) + 1, x=2*Pi..3*Pi, output=integral,
axis=vertical);
VolumeOfRevolution(cos(x) + 1, x=0..4*Pi, output=plot);
The solid of revolution created on 0 % x % 4 p by rotation of
f x = cos x C1 about the axis y = 0.
VolumeOfRevolution(cos(x) + 3, sin(x) + 2, x=0..4*Pi, output=
plot);
(8.4)
(8.5)

The solid of revolution created on 0 % x % 4 p by rotation of
f x = cos x C3 and g x = sin x C2 about the axis y = 0.
VolumeOfRevolution(x^2, x=-1..1, output=plot, showregion=true);

>
The solid of revolution created on K1 % x % 1 by rotation of f x = x 2
about the axis y = 0. The slice that is rotated is shaded in burgundy.
#############
VolumeOfRevolutionTutor(1+sin(x));

VolumeOfRevolutionTutor(1+sin(x), 0..Pi);