Demostración simple del valor del Módulo de Rigidez al ... - SMIG

Sociedad Mexicana de
Ingeniería Geotécnica, A.C.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
XVII Reunión Nacional de Profesores de
Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica
Noviembre 14, 2012 – Cancún, Quintana Roo
Demostración simple del valor del Módulo de Rigidez al Cortante, desde un
enfoque del Continuo en análisis tridimensional
Shear Modulus of Elasticity value simple demonstration, from an approach of the Continuous in
three-dimensional analysis
Ricardo PADILLA 1
1 Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad de México, México
RESUMEN: Se comenta la importancia del Módulo de Rigidez al Cortante en la Ingeniería Estructural y la Ingeniería
Geotécnica. Se procede después a presentar una demostración muy sencilla, haciendo uso de herramientas que se
enseñan a estudiantes de la licenciatura en Ingeniería Civil. Esta demostración, que propone el autor, puede ser de
interés par los estudiantes a nivel licenciatura, ya que este módulo de la Elasticidad lineal no se demuestra en los libros
“Clásicos”. Este parámetro es de interés en la Mecánica de Suelos, sobre todo en el tema de Dinámica de suelos.
ABSTRACT: We discuss the importance of the Shear Modulus in structural and geotechnical engineering. Then we
present a very simple demonstration, using tools that we use to teach students in the mayor of Civil Engineering. This
demonstration, proposed by the author, can be of interest to undergraduate students, because this module of Linear
elasticity is not shown in "Classic" books. This parameter is of interest in Soil mechanics, especially on the issue of Soil
dynamics.
1 INTRODUCCIÓN
A continuación se presenta una demostración del
valor del Módulo de Rigidez al Cortante, partiendo de
una concepción espacial (tridimensional) y haciendo
uso de los tensores esfuerzo incremental y
deformación. Éstos son herramientas ya vistas por
los estudiantes en el curso de Fundamentos de
Mecánica del Medio Continuo, para Ingenieros
Civiles, que se imparte en la Facultad de Ingeniería
de la UNAM.
El Módulo de Rigidez al Cortante, es un parámetro
de mucho interés en la Ingeniería Estructural,
aunque también resulta de interés para la Ingeniería
Geotécnica, sobre todo en Dinámica de Suelos. Se
considera de interés para profesores y estudiantes,
una demostración simple, por lo que el autor decidió
dar a conocer ésta, de su autoría (ref. Padilla), en
esta XVII Reunión Nacional de Profesores.
2 ESTRATEGIA PARA LA DEMOSTRACIÓN
El Módulo de Rigidez al cortante debe resultar de
lograr la compatibilización entre incrementos de
esfuerzo y deformaciones, a través de la Teoría de
Elasticidad lineal. Al autor de este artículo se le
ocurrió calcular los valores principales, tanto del
tensor incremento de esfuerzo, para el caso de
cortante simple, así como del tensor deformación
que representa el mismo fenómeno, pero
posteriormente haciendo uso de las ecuaciones
constitutivas de la Elasticidad lineal expresadas en
análisis tridimensional.
Lo increíble para el autor es que, en los libros de
Mecánica del Medio Continuo, de Mecánica de
Sólidos y de Mecánica de Materiales, no se presenta
la demostración en muchos casos, sólo se da por
hecho el valor del módulo. La demostración que
mostraron al autor, cuando estudiaba la maestría, le
pareció sumamente enredada y se obligaba a
despreciar términos en las ecuaciones utilizadas, por
lo que dicha demostración le generaba más dudas
que certidumbres.
3 DESARROLLO DE LA DEMOSTRACIÓN
La forma general del tensor incremento de esfuerzo
se muestra en la ecuación (1).
⎡∆ ⎡∆σ x
⎢
⎤ = ∆τ ∆τ yx
∆σ ∆τ
⎤ zx
⎥
∆τ
⎢∆τ ∆τ ∆σ
⎥
T (1)
⎣ ij ⎦ ⎢ xy y zy ⎥
⎣ xz yz z ⎦
La forma general del tensor deformación en
función de las distorsiones g y γ se muestra en la
ecuación (2) (refs. Mase y Oliver).

2
[ ]
Demostración simple del valor del Módulo de Rigidez al Cortante, desde un enfoque del Continuo en análisis
tridimensional
⎡ ⎤
1 1
ε γ γ
x yx zx
⎢ 2 2 ⎥
⎡ ε g g
x yx zx ⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ 1 1
E = g ε g = ⎢ γ ε γ ⎥ (2)
ij xy y zy xy y zy
⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥
⎢⎣ g g ε ⎥ xz yz z ⎦ ⎢
1 1
⎥
⎢ γ γ ε ⎥
xz yz z
⎢ 2 2 ⎥
⎣ ⎦
Para la demostración se propone, el caso de
distorsión en el plano XZ por efecto exclusivo de
incremento de esfuerzo cortante positivo en ese
plano, como se muestra en la figura 1, exagerando la
deformación con fines didácticos.
X
Z
∆τxz
∆τzx
Figura 1. Esfuerzos cortantes y distorsión en el plano XZ,
en partícula mostrada en el espacio
El tensor esfuerzo incremental para el caso
planteado, toma la forma de la ecuación (3).
⎡ 0 0 ∆τ zx ⎤ ⎡ 0 0 ∆τ
⎤
⎢
ij 0 0 0
⎥ ⎢
0 0 0
⎥
⎣
⎡∆ ⎦
⎤ =
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢⎣ ∆τ xz 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ ∆τ
0 0 ⎥⎦
T (3)
Se decidió en esta ecuación eliminar después los
subíndices, por tener el mismo valor, con base en la
simetría del tensor que permite garantizar el
equilibrio.
Para el estado de deformación asociado al estado
de esfuerzo incremental, se plantean las
configuraciones inicial y final mostradas (la inicial
discontinua y la final continua), habiendo eliminado
traslación, rotación y colocando ambas
configuraciones en el primer cuadrante del plano XZ,
como se muestra en la figura 2, también
exagerando, por didáctica, las deformaciones.
Y
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Figura 2. Configuraciones de partícula para cortante
simple en primer cuadrante del plano XZ
La deformación planteada, se muestra en forma
tensorial a continuación, eliminando también
subíndices por simetría del tensor (que garantiza el
cumplimiento de las ecuaciones de compatibilidad) y
en su acepción de distorsión γ (gamma), como se
muestra en la parte final de la ecuación (4).
⎡ 1 ⎤
0 0 γ
⎡ 0 0 gzx
⎤ ⎢
2
⎥
⎢
ij 0 0 0
⎥ ⎢ ⎥
⎣
⎡
⎦
⎤ = = 0 0 0
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢g xz 0 0 ⎢1 ⎥
⎣ ⎥⎦
⎢ γ 0 0 ⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦
E (4)
3.1 Cálculo de los esfuerzos incrementales
principales
Ahora se van a calcular los esfuerzos principales
incrementales, a partir del tensor final planteado en
la ecuación (3). Recordemos que la ecuación
característica debe tener la forma que se muestra en
la ecuación (5).
λ − λ + λ − = (5)
3 2
I1 I2 I3
0
Para este caso particular analizado, los invariantes
del tensor son:
I 1 = 0 + 0 + 0 = 0
2 2
I2 = 0 − ∆ τ + 0 = −∆ τ
I 3 = det ∆ T
ij = 0

de modo que la ecuación característica toma la
forma siguiente
− 0 − ∆ − 0 = − ∆ = 0
3 2 2 3 2
λ λ τ λ λ τ λ
La primera raíz se obtiene muy fácilmente,
logrando reducir el grado de la ecuación: λ 1 = 0 . El
polinomio entonces se reduce al caso cuadrático
mostrado
2 2
λ − ∆ τ = 0
se deducen entonces las raíces segunda y tercera
con la ecuación cuadrática
2
λ = ± ∆ τ
2,3
donde en forma individual tenemos:
λ2 = ∆ τ y λ3 = −∆ τ
Ahora nos toca ordenar las raíces obtenidas, para
identificar a cada uno de los esfuerzos principales
incrementales, concluyendo que éstos son los
mostrados en las ecuaciones (6), (7) y (8).
∆ σ1 = ∆ τ
(6)
∆ σ = 0
(7)
2
∆ σ 3 = −∆ τ
(8)
El estado de esfuerzo incremental, definido por
estos datos, se muestra en el plano de Mohr de
esfuerzos incrementales en la figura 3.
∆σ3 = − ∆τ
∆ττττ
∆τmáx. = ∆τ
∆σ2 = 0
∆τmín. = − ∆τ
∆σ1 = ∆τ
∆σσσσ
Figura 3. Región de Mohr del estado de esfuerzo
incremental deducido.
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PADILLA R. 3
También con estos últimos datos obtenidos, se
pueden calcular las direcciones donde actúan los
esfuerzos principales incrementales. Bajo la
suposición de isotropía elástica lineal, se puede
demostrar que deben ser idénticas a las direcciones
donde actúan las deformaciones principales (lineales
unitarias).
Para el caso planteado por el tensor incremento
de esfuerzo, usado en la demostración, esas
direcciones deben ser:
1 1
n I = = ± ± i + + 0j
±
± k
2 2
n II = 0i ± j+ 0k
n
III
1 1
= i + 0j
± k
2 2
m
3.2 Cálculo de las deformaciones principales
Ahora, continuando con la demostración, vamos a
calcular las deformaciones principales, a partir del
tensor deformación final definido antes en la
ecuación (4). Para el caso particular del tensor
deformación, en función de la distorsión gamma, se
calculan estos invariantes:
I 1 = 0 + 0 + 0 = 0
⎛ 1 ⎞ 1 2
I2 = 0 − ⎜ γ ⎟ + 0 = − γ
⎝ 2 ⎠ 4
I 3 = det E = 0
ij
2
La ecuación característica para este caso, toma la
forma:
1
− = 0
4
3 2
λ γ λ
Se obtiene ahora, como primera raíz: λ 1 = 0 . El
polinomio reducido toma ahora la forma:
2 1 2
λ − γ = 0
4
Haciendo uso de la ecuación cuadrática, se
obtienen las raíces segunda y tercera

4
1 2
λ2,3 = ± γ
4
Demostración simple del valor del Módulo de Rigidez al Cortante, desde un enfoque del Continuo en análisis
tridimensional
llegando finalmente a que:
1
λ2 = γ
2
y
1
λ3 = − γ
2
Al igual que en el caso de los esfuerzos
incrementales, se ordenan las raíces para identificar
las deformaciones principales, como se muestra en
las ecuaciones (9), (10) y (11).
1
ε1 γ
2
2
= (9)
0
ε = (10)
1
ε 3 = − γ
(11)
2
El estado de deformación planteado por estos
datos, se muestra en el plano de Mohr de
deformaciones en la figura 4, en función de la
distorsión γ .
ε3 = − 1/2γ
1/2γγγγ
1/2γmáx. = 1/2γ
ε2 = 0
1/2γmín. = − 1/2γ
ε1 = 1/2γ
Figura 4. Estado de deformación deducido, en el plano de
Mohr y en función de γ .
3.3 Ecuaciones constitutivas de la elasticidad lineal
y adecuación a su forma principal
Recordemos ahora que, del análisis tridimensional
de la elasticidad lineal, se deducen las ecuaciones
constitutivas (12), (13) y (14) (ref. Asaro).
εεεε
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1
ε x = ⎡∆σ x −ν ( ∆ σ y + ∆σ
z ) ⎤
E ⎣ ⎦ (12)
1
ε y = ⎡∆σ y −ν ( ∆ σ x + ∆σ
z ) ⎤
E
⎣ ⎦ (13)
1
ε z = ⎡∆σ z −ν ( ∆ σ x + ∆σ
y ) ⎤
E ⎣ ⎦ (14)
Las mismas expresiones anteriores, pero ahora
escritas en función de esfuerzos incrementales
principales y de deformaciones lineales unitarias
principales, toman la forma de las ecuaciones (15),
(16) y (17).
1
ε1 = ⎡∆σ 1 −ν ( ∆ σ 2 + ∆σ
3 ) ⎤
E
⎣ ⎦ (15)
1
ε 2 = ⎡∆σ 2 −ν ( ∆ σ1 + ∆σ
3 ) ⎤
E
⎣ ⎦ (16)
1
ε 3 = ⎡∆σ 3 −ν ( ∆ σ1 + ∆σ
2 ) ⎤
E
⎣ ⎦ (17)
3.4 Sustitución de valores principales en
ecuaciones constitutivas principales
Para llegar finalmente a la demostración, tan
largamente prometida, haremos primeramente uso
de la ecuación (15), donde vamos a sustituir (en
dirección principal mayor) los datos obtenidos en las
expresiones (9), (6), (7) y (8), llegando a la ecuación
(18).
1 1
γ = ⎡∆τ −ν ( 0 − ∆τ
) ⎤
2 E
⎣ ⎦ (18)
que se puede después reducir a la ecuación (19).
1 1
γ = ⎡∆ τ ( 1+
ν ) ⎤
2 E
⎣ ⎦ (19)
Si ahora se simplifica, al poner el incremento de
esfuerzo cortante fuera de paréntesis, se tiene la
forma de la ecuación (20).
1 ∆τ
γ = ( 1+
ν )
(20)
2 E
Se despeja ahora γ , pasando los parámetros
elásticos al denominador y dejando únicamente al
incremento de esfuerzo cortante en el numerador,
generando la ecuación (21).

∆τ
γ =
E
2 1
( + ν )
(21)
Al denominador último, que ahora queda
únicamente en función de los parámetros elásticos,
se le llama Módulo de Rigidez al Cortante y se
abrevia con la letra mayúscula “ G ”. De modo que la
forma en que aparece este parámetro en textos de
elasticidad lineal, donde normalmente no se
demuestra, se presenta en la ecuación (22).
G =
E
2 1
( + ν )
(22)
Definido este parámetro, la ecuación (21) también
se puede escribir, en función de este parámetro,
como se muestra en la expresión (23).
γ
∆τ
G
= (23)
En dirección del eje principal intermedio,
supusimos incremento de esfuerzo y de deformación
nulos. Se puede plantear el obtener el valor de la
deformación principal ε2 como incógnita, llegando a
la conclusión de que sin duda, ésta vale cero (con
acuerdo a las herramientas de análisis tensorial).
Para el análisis en la dirección principal menor, en
la ecuación (17) vamos a sustituir ahora los datos
obtenidos en las expresiones (11), (6), (7) y (8), para
llegar a la ecuación que denominamos (24).
1 1
− γ = ⎡−∆τ −ν ( ∆ τ + 0)
⎤
2 E
⎣ ⎦ (24)
que se puede reducir a la forma de la ecuación
(25).
1 1
− γ = ⎡−∆ τ ( 1+
ν ) ⎤
2 E
⎣ ⎦ (25)
Eliminando ahora el signo negativo a ambos lados
de la igualdad y sacando al incremento de cortante
del paréntesis, se llega a una expresión que es
idéntica a la ecuación (20).
1 ∆τ
γ = + ν
2 E
( 1 )
Se puede decir que en el análisis de estas dos
direcciones principales (la mayor y la menor), se
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PADILLA R. 5
llega a la misma ecuación (21) al despejar la
distorsión γ , logrando por ambas vías demostrar el
valor del Módulo de Rigidez al Cortante “ G ”, en
función del Módulo de Elasticidad ( o de Young) y de
la relación de Poisson.
Para terminar diremos que, si en lugar de la
distorsión γ se hubiera usado la distorsión g, que
vale la mitad de la primera, se hubiera tenido como
expresión final la mostrada en la ecuación (26).
∆τ
g =
E
1+
ν
(26)
Para este caso, se puede escribir finalmente la
distorsión “ g ”, en función del parámetro “ G ”, como
se muestra en la ecuación (27).
g
∆τ
2G
= (27)
No debemos olvidar, que toda la demostración
que se ha planteado, presupone isotropía elástica
lineal para los parámetros fundamentales de esta
teoría.
En toda la demostración se ha supuesto:
a) Mismo módulo de Young en tres direcciones
ortogonales, como se muestra en la ecuación
(28).
E = Ex = Ey = Ez
(28)
y
b) Misma relación de Poisson en tres planos ortogonales,
como se plantea en la ecuación
(29).
ν = ν xy = ν yz = ν xz
(29)
4 CONCLUSIONES
Como conclusiones podemos decir, que se logró
generar una demostración que hace uso de las
herramientas que aprende un estudiante de
licenciatura en un curso básico de Mecánica del
Medio Continuo. Se ejercita el cálculo de los
invariantes de un tensor, la deducción de los valores
principales, su identificación para decidir valores
principales, tanto para los esfuerzos normales
incrementales como para las deformaciones lineales
unitarias.
Por otro lado, la demostración presenta con toda
claridad, las suposiciones que se hacen para llegar
en una forma económica a la expresión final, acorde

6
Demostración simple del valor del Módulo de Rigidez al Cortante, desde un enfoque del Continuo en análisis
tridimensional
con la difundida por la Teoría de Elasticidad lineal,
de modo que no se juega con ningún elemento
oculto que fuera parte del desarrollo. Lo anterior
apoya el criterio para decidir cuando se justifica
plenamente su uso y para qué casos no se justifica.
Otra cosa importante es que se hace evidente,
que la demostración exige el uso de elementos de
Elasticidad lineal, pero de análisis de la Elasticidad
tridimensional, ya que todas las demostraciones que
conoce el autor, parten de plantear la demostración
desde una concepción de análisis plano. Se comenta
lo anterior, porque en la mayoría de los cursos
pensados para alumnos de licenciatura, se privilegia
el análisis plano (o estado plano), cuando se debería
partir siempre de un análisis tridimensional, que es el
caso general, y después plantear como un caso
particular el análisis en forma plana.
Para concluir comentaremos que, en esta
demostración del Módulo de Rigidez al Cortante se
supone, adicionalmente a la distorsión, que no se
presentan deformaciones lineales unitarias (se
suponen nulas) en las direcciones X y Z, como
queda gráficamente patente en las configuraciones
de la figura 2 y en el tensor de la ecuación (4).
Queda la duda de si al modelar un fenómeno real, en
materiales más deformables, como son los suelos,
donde no se cumple con la condición de
deformaciones muy pequeñas (infinitesimales), sea
válido usar el módulo obtenido en la demostración
que se ha presentado.
REFERENCIAS
Asaro, R. J. and Lubarda, V. A. (2006) “Mechanics of
Solids and Materials”, U.S.A., Cambridge
University Press
Mase, G. T. and Mase, G. E. (1999, Second edition)
“Continuum Mechanics for Engineers”, U.S.A.,
CRC Press LLC
Oliver, X., y Agelet C. (2002) “Mecánica de medios
continuos para ingenieros”, México, Coedición de
Alfaomega−Ediciones UPC
Padilla, R. (2012) “Notas del curso Fundamentos de
Mecánica del Medio Continuo”, México, en
proceso de ser publicadas.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.