Resumen TEMA 5: Dinámica de percusiones = ∫ t ∑ ∑ - Tecnun

© TECNUN, 2006
TEMA 5: Dinámica de percusiones
Mecánica 2
Resumen TEMA 5: Dinámica de percusiones
1. Concepto de percusión
• Impulsión elemental producida por una fuerza: F dt
(t , t ): ∫ 1
Impulsión producida por una fuerza en un intervalo 0 1
t
t
0
dt F
• Percusión es la impulsión producida por una fuerza infinitamente grande F que
actúa durante un intervalo temporal infinitamente pequeño δt:
δ
= ∫ t
0
P F dt (F se denomina fuerza percusional)
El grado de infinitud de la fuerza es el mismo que el orden infinitesimal de δt, de modo
que P sea una magnitud finita.
• En un sólido indeformable – al igual que con las fuerzas – se pueden distinguir:
⎧percusiones
interiores
⎪
percusiones actuantes ⎨
⎧percusiones
aplicadas
⎪percusiones
exteriores ⎨
⎩
⎩percusiones
de enlace
• La aplicación de una percusión sobre un sólido libre conlleva:
- La aparición súbita e instantánea de un campo de aceleraciones infinitas
- Una variación brusca y finita de su campo de velocidades
- Sin que varíe la posición del sólido
• Por similitud con lo que sucede con las fuerzas se aceptará:
- Que el sistema de percusiones interiores es un sistema idénticamente nulo:
N N
∑P = ∑P
aci exi
i= 1 i= 1
- Que, por mantenerse la indeformabilidad del cuerpo, las fuerzas
percusionales exteriores no dan trabajo durante el intervalo percusional, δt.
- Que las percusiones generadas por la preexistencia de enlaces, cumplen
análogas propiedades que las reacciones ordinarias producidas por esos
mismos enlaces.
• Se denominará enlace persistente al que existe durante y después de la percusión;
enlace permanente al que existe siempre; en caso distinto a los anteriores,
llamaremos enlace no persistente.

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2. Ecuaciones fundamentales de la dinámica de percusiones
a) Teorema del momento lineal:
Durante δt:
dp
dt
luego:
N N N N
∑ ∑ ∑ ∑
= F + F = F + F
aci aci exi exi
i= 1 i= 1 i= 1 i= 1
δt N
δ
N
δ
N
d p
t t
dt = ∑ Fex dt + ∑ F = ∑
0 0 i 0
ex dt P
i exi
dt i= 1 i= 1 i= 1
∫ ∫ ∫
d p
dt = dp
= pd − pa = ∆p
dt
δt δt
∫ ∫
0 0
(donde d p es el momento lineal inmediatamente después de la percusión y a
momento lineal inmediatamente antes de la percusión)
Teorema:
N N
∑ ex M( ∑
i G G) exi
i= 1 i= 1
∆ p = P ⇒ V − v = P
(con V G y v G velocidades de G inmediatamente después y antes de la percusión)
b) Teorema del momento angular:
Durante δt:
dH
dt
Teorema:
O
dH
N N
∑ ∑
+ v ∧ p = OA ∧ F + OA ∧F
O i exi i exi
i= 1 i= 1
δt δt N
δt N
δt
O + vO ∧ p = ∑ OAi ∧ Fex + ∑ OA ∧
0 0 0 i 0
i F exi
dt
i= 1 i= 1
∫ ∫ ∫ ∫
dH
dt dt dt dt
δt δt N
δt N
δt
O + vO ∧ p = ∑OAi ∧ Fex + ∑OA
∧
0 0 0 i i F
0
exi
dt
i= 1 i= 1
∫ ∫ ∫ ∫
dt dt dt dt
N
O − = ∑ ∧
d Oa i exi
i= 1
H H OA P (¿por qué
N
∑ i
∆ H = OA ∧P
O i ex
i= 1
N
δt
∑ i ∧ ∫0 exi
i= 1
p , el
OA F dt se desprecia?)

) Teorema de la energía:
N N
1 2 1
d = ∑ i i = ∑ iVV i i⎪N i= 12 i= 12 ⎪ Vi + vi
⎬ ∆ T = ∑m(
i Vi −v
N N
i)
1 2 1 ⎪ i= 1
2
a = ∑ i i = ∑ ivv i i
i= 12 i= 12
T mV m
T mv m
Teorema:
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N
∆ T =∑P aci
i= 1
Y para un sólido indeformable:
⎫
⎪
⎭
Vi + vi
2
N
∆ T =∑P exti
i= 1
Vi + vi
2
3. Energía cinética de las velocidades perdidas
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(¿por qué?)
Cuando un sólido sufre una percusión experimenta un cambio brusco de su campo de
velocidades; pues bien, velocidad perdida de un punto material de dicho sólido, w i , es
la diferencia:
wi = vi −V
i
entre velocidad inmediatamente antes de la percusión, v i , y la que tiene
inmediatamente después de la percusión, V i .
Energía cinética de las velocidades perdidas es:
Se demuestra que ( ¡hágalo! ):
N N
1 2 1
2
w = ∑ i i = ∑ i vi −V
i
2 i= 1 2 i= 1
T mw m( )
V −v V −v
T P = P (¿por qué?)
N N
i i i i
w = ∑ ac ∑
i exi
i= 1 2 i= 1 2
Si el sólido fuera un sólido libre, T w podría calcularse:
1 2 1
2 2 2
Tw = M( vG − V G) + [I x( ωx −Ω x) + I y( ωy −Ω y) + I z( ωz −Ωz)
]
2 2
donde: I x , I y , I z son los momentos principales de inercia en G y:
Ω =Ω xE1+Ω yE2 +ΩzE3
; ω =ω xE1+ω yE2 +ωzE3
las componentes de la
velocidad angular del sólido antes y después de la percusión en el triedro principal de
inercia en G.

4. Choque puntual entre sólidos
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• Choque es el fenómeno físico que tiene lugar cuando al entrar en contacto –
puntual en este caso – dos sólidos, sucede que al menos uno de ellos experimenta
un cambio brusco e instantáneo en su campo de velocidades.
• Aceptaremos:
- Que el choque es instantáneo.
- Que el choque no comporta desplazamiento del sistema.
- Que las percusiones originadas en los puntos de contacto – por el hecho de
chocar y producir la modificación en los campos de velocidades – satisfacen
la tercera ley de Newton; esto es, son iguales y opuestas.
- Que no hay rozamiento, por lo que serán perpendiculares a la superficie
tangente común en los puntos de contacto.
• Definición de coeficiente de restitución o coeficiente de Newton:
1
VA
A B
vA
vB B V
Si: ε = 0 Choque plástico
0

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VA + vA
⎫
∆ T1
= P ⋅
2
⎪
VA −VB vA −vB
⎬ −∆ T =∆T1−∆ T2
=− ⋅P−⋅P VB + vB
∆ ⎪
2 2
T2
= −P⋅ 2 ⎪⎭
Por otra parte como:
T
T
w
w
Y además, siendo:
1
2
VA − vA ⎫
= ⋅P 2
⎪ VA −VB vA −vB
⎬ Tw
= ⋅P− ⋅P
VB − vB =− ⋅ ⎪ 2 2
P
2 ⎪⎭
( VA −VB) ⋅P
ε=− → 0 = ( VA −VB) ⋅ P+ε( vA −vB) ⋅P
( v −v ) ⋅P
A B
Haciendo operaciones con (a) y (b) para hallar
de T w y ε (¡hágalas!), resulta que:
V − V
⋅P
y
A B
2
(a)
(b)
v − v
⋅P
en función
A B
2
⎧ε=
0 ⇒ −∆ T = Tw
1−ε
⎪
−∆ T = T → si ⎨0
< ε < 1 ⇒ −∆ T < T
1+ε
⎪
⎩ε=
1 ⇒ ∆ T = 0
w w
En un choque elástico (si no hay rozamiento) no hay pérdida de energía cinética.
FIN DEL TEMA 5