Ampliación de Topolog´ıa

Ampliación de Topología
Problemas. Curso 2003–04
Homotopía de aplicaciones y tipos de homotopía
1. Sea X un espacio, y sea f: S 1 → X una aplicación continua. Demostrar que f es homótopa a una
aplicación constante si y sólo si existe una aplicación continua g del disco E 2 en el espacio X que
extiende a la aplicación f.
2. Sean f, g dos aplicaciones continuas de un espacio X a un subespacio Y ⊆ R n tales que para todo
x ∈ X el segmento que une f(x) con g(x) está contenido en Y . Demostrar que f es homótopa a g.
3. Sea X un espacio cualquiera. Demostrar que toda aplicación continua f: X → S n que no sea homótopa
a una aplicación constante es exhaustiva.
4. Demostrar las afirmaciones siguientes:
(a) Si f0 ≃ f1: X → Y , entonces para toda g: Y → Z se cumple g ◦ f0 ≃ g ◦ f1.
(b) Si g0 ≃ g1: Y → Z, entonces para toda f: X → Y se cumple g0 ◦ f ≃ g1 ◦ f.
(c) Si f0 ≃ f1: X → Y y g0 ≃ g1: Y → Z, entonces g0 ◦ f0 ≃ g1 ◦ f1.
(d) Si f0 ≃ f1: X → Y y g0 ≃ g1: Z → T, entonces g0 × f0 ≃ g1 × f1.
(e) Si f0 ≃ f1: X → Y y g0 ≃ g1: Z → T, entonces g0 ∨ f0 ≃ g1 ∨ f1.
Formular las mismas afirmaciones para homotopías relativas a un subespacio dado y comprobar que
siguen siendo válidas.
5. Sea f: X → Y una equivalencia homotópica y sean g, h dos inversas homotópicas de f. Demostrar
que g ≃ h.
6. Demostrar que el cono C = {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 = z 2 } es contráctil.
7. Demostrar que un espacio X es contráctil si y sólo si la aplicación identidad X → X es homótopa a
una aplicación constante.
8. Demostrar que si X1, X2, Y1, Y2 son espacios topológicos tales que X1 ≃ X2 y Y1 ≃ Y2, entonces se
cumple X1 × Y1 ≃ X2 × Y2 y X1 ∨ Y1 ≃ X2 ∨ Y2.
9. Demostrar que X × Y es contráctil si y sólo si X y Y son contráctiles.
10. Demostrar que si X es conexo y es del mismo tipo de homotopía que otro espacio Y , entonces Y
también es conexo. Estudiar si el mismo enunciado es cierto cambiando “conexo” por “arco-conexo”
o por “compacto”.
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11. Demostrar que el espacio que se obtiene identificando n puntos diferentes de la esfera S 2 es homotópicamente
equivalente a la unión puntual de S 2 y n − 1 copias de S 1 .
12. Si en un toro colapsamos a un punto el subespacio formado por la unión de un meridiano y un paralelo,
¿qué espacio resulta? ¿Y si colapsamos dos meridianos?
13. Demostrar que S 1 es un retracto de deformación de la banda de Möbius y del cilindro.
14. Demostrar que si X es un espacio contráctil y x0 es un punto cualquiera de X, entonces el espacio
{x0} × Y es un retracto de deformación de X × Y .
15. Demostrar que si A es un retracto de deformación de X y B es un retracto de deformación de A,
entonces B es un retracto de deformación de X.
16. Encontrar un ejemplo de un espacio X y dos subespacios A, B homeomorfos, tales que A sea un
retracto de deformación de X pero B no lo sea.
17. Sea X el espacio que se obtiene identificando las tres aristas de un triángulo equilátero siguiendo la
palabra a a −1 a. Demostrar que X es contráctil.
18. Demostrar que todos los espacios siguientes son homotópicamente equivalentes a uniones puntuales de
esferas. Determinar en cada caso el número de esferas y sus dimensiones.
(a) R 2 − {(0, 0)}.
(b) R 3 − {(x, y, z) | x = 0, y = 0}.
(c) R n − R m con m ≤ n − 2.
(d) Un toro menos un punto.
(e) R 3 − {(x, y, z) | z = 0, |y| = 1}.
(f) R 3 menos n rectas concurrentes.
19. Sea X = R 2 y sea A la unión de tres rectas arbitrarias. Decir en cada caso si A es un retracto de X,
dependiendo de la posición relativa de las tres rectas. ¿En qué casos es A un retracto de deformación
de X? Repetir el mismo ejercicio suponiendo que X es el plano menos un punto que no pertenece a A.
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Homotopía de caminos
20. Demostrar que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes para un espacio X dado:
(a) Dos caminos cualesquiera que empiezan en un punt x0 y acaban en otro punt x1 son homótopos.
(b) Todo camino que comienza y acaba en un mismo punto es homótopo al camino constante.
21. Sea f: S 1 → S 1 la aplicación definida per f(z) = z k , donde k es un entero. Demostrar que el morfismo
inducido f∗: π(S 1 , 1) → π(S 1 , 1) es la multiplicación per k vía el isomorfismo π(S 1 , 1) ∼ = Z.
22. Demostrar que el conjunto de puntos z ∈ E 2 para los cuales E 2 \ {z} es simplemente conexo es precisamente
S 1 . Deducir de este hecho que si f: E 2 → E 2 es un homeomorfismo, entonces f(S 1 ) = S 1 .
23. Calcular los grados de las aplicaciones siguientes S 1 → S 1 :
(a) La aplicación antipodal.
(b) Un giro de τ grados, donde 0 ≤ τ < 2π.
(c) f(x, y) = (−x, y).
(d) g(z) = z n , donde z ∈ S 1 ⊂ C.
24. Sea f: S 1 → S 1 una aplicación continua y supongamos que existe un entero n > 1 tal que f(z) = f(z n )
para todo z. Demostrar que f es homótopa a una aplicación constante.
25. ¿Existe alguna retracción de la banda de Möbius sobre su borde?
26. Demostrar que no existe ninguna aplicación inyectiva y continua del disco E 2 en un toro S 1 × S 1 que
aplique el borde del disco sobre un meridiano del toro.
27. Demostrar que si f: S 1 → S 1 es una aplicación continua que satisface f(−z) = f(z) para todo z ∈ S 1
y f(1) = 1, entonces el grado de f es un entero par.
28. Sean A y B dos cerrados de S 2 y sea C ⊂ S 2 un subconjunto tal que S 2 = A ∪ B ∪ C. Demostrar que
alguno de los tres conjuntos A, B, C contiene un par de puntos antipodales.
29. Demostrar que toda aplicación continua e inyectiva S 2 → S 2 es un homeomorfismo.
30. Sea X el subespacio de R 3 siguiente (una esfera S 2 con un disco añadido):
X = {(x, y, z) | x 2 + y 2 + z 2 = 1} ∪ {(x, y, z) | x 2 + y 2 ≤ 1, z = 0}.
Demostrar que, dada una aplicación continua f: X → R 2 tal que su restricción al ecuador {(x, y, z) |
x 2 + y 2 = 1, z = 0} es inyectiva, existen al menos tres puntos diferentes p, q, r ∈ X tales que
f(p) = f(q) = f(r).
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31. Demostrar que toda aplicación continua f: S 1 → S 1 de grado diferente de 1 tiene algún punto fijo.
32. Demostrar que toda aplicación continua S 2 → S 2 no exhaustiva tiene algún punto fijo. Dar un ejemplo
de una aplicación continua S 2 → S 2 que no tenga ningún punto fijo.
33. Demostrar que, si n ≥ 2, entonces no existe ninguna aplicación continua f: S n → S 1 tal que f(x) =
−f(−x).
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Algunos problemas de grupos
1. Sea G = 〈x, y | y 10 = 1, xy = y 3 x〉. Encontrar el mínimo entero positivo n tal que x n conmuta con
todos los elementos de G.
2. Demostrar que el grupo G = 〈x, y | xyx −1 = y 2 , yxy −1 = x 2 〉 es el grupo trivial.
3. Demostrar que Σ3 ∼ = 〈σ, τ | σ 2 = 1, τ 3 = 1, στ = τ 2 σ〉, donde Σ3 es el grupo de permutaciones de tres
letras.
4. Demostrar 〈a, b, c | a p = b q , a p = c 7 , b q = c 12 , c 21 = 1〉 ∼ = 〈x, y | x p = 1, y q = 1〉.
5. Demostrar 〈x, y | xyx = yxy〉 ∼ = 〈a, b | a 2 = b 3 〉. (El primer grupo es el grupo de 3-trenzas, y el
segundo el grupo del nudo trébol, como ya veremos).
6. Sea G = 〈x, y | xy = y −1 x, x 2 = 1〉. Demostrar que G es infinito pero en cambio su abelianizado es
finito.
7. Sea G = Z2 ∗ Z3. Demostrar las afirmaciones siguientes:
(a) G contiene elementos de orden infinito.
(b) Los únicos elementos de orden finito son aquellos de Z2, de Z3 y todos los conjugados de estos.
(c) El centro de G es el grupo trivial.
(d) El abelianizado de G es isomorfo a Z2 ⊕ Z3.
8. Demostrar que Zm ∗ Zn ∼ = Zp ∗ Zq si y sólo si m = p y n = q o bien m = q y n = p.
9. Calcular el abelianizado de los grupos seguientes:
(a) Σ3.
(b) 〈a, b | a 2 = b 3 〉.
(c) 〈x, y, z | xyx = yxy, xzx = zxz〉.
(d) A5, el grupo de permutaciones pares de 5 letras.
10. Calcular todos los subgrupos (especificando cuáles son normales), el centro y el abelianizado de los
grupos siguientes:
(a) Z3 × Z2.
(b) Σ3.
(c) El grupo diédrico D4 = 〈a, b | a 2 = 1, b 4 = 1, aba = b −1 〉.
(d) El grupo alternado A4.
(e) El grupo diédrico D5 = 〈a, b | a 2 = 1, b 5 = 1, aba = b −1 〉.

Cálculo de grupos fundamentales
1. Dar una condición necesaria y suficiente para que dos grafos conexos y finitos sean homotópicamente
equivalentes.
2. Determinar el grupo fundamental de la suma conexa de dos superficies compactas y conexas en términos
de los grupos fundamentales de estas superficies.
3. Sean RP 2 el plano proyectivo real, T 2 el toro y K la botella de Klein. Dar isomorfismos entre los
grupos fundamentales de las superficies siguientes:
S1 = RP 2 #RP 2 #RP 2 ; S2 = RP 2 #T 2 ; S3 = RP 2 #K.
4. ¿Es posible adjuntar una celda de dimensión 3 a un toro S 1 × S 1 de manera que se obtenga un toro
macizo S 1 × E 2 ?
5. Calcular el grupo fundamental de los siguientes complejos celulares:
a1
b1
b2
a2
a1
a1
b1
b2
a2
a2
a1
a3
b2 b3
6. Calcular el grupo fundamental de los espacios cocientes de C ∗ = C − {0}:
(a) C ∗ /G, donde G es el grupo de los homeomorfismos {ϕ n | n ∈ Z} con ϕ(z) = 2z.
(b) C ∗ /N, donde N = {ψ n | n ∈ Z} con ψ(z) = 2¯z.
(c) C ∗ /{e, a}, donde e es el homeomorfismo identidad y a(z) = −¯z.
b1
a2
a3
a1 b2 b3
7. Calcular el grupo fundamental del espacio X que se obtiene identificando las caras de un cubo I 3 de
la manera siguiente: cada cara se identifica con su cara opuesta por proyección, después de girar π/2
en el sentido de las agujas del reloj. (Por ejemplo, la arista que va de (1,1,0) y (1,0,0) se identifica
con la arista que va de (0,0,0) a (0,0,1), y también con la arista que va de (0,1,1) a (1,1,1).) ¿Cuantos
elementos tiene el abelianizado de este grupo?
8. Calcular el grupo fundamental del espacio que se obtiene cortando primero dos discos disjuntos de una
esfera S 2 y volviéndolos a pegar donde estaban, pero con aplicaciones de grados 12 y 20 en los bordes
respectivos.
a1
b1
a3
a2
a2

9. Calcular el grupo fundamental del espacio obtenido al identificar el ecuador de una esfera S 2 con un
paralelo del doble toro, tal como indica el dibujo.
10. Calcular el grupo fundamental de la unión de tres toros T1, T2, T3 tal como se muestra en la figura.
11. Calcular el grupo fundamental del espacio obtenido al pegar dos toros T1 y T2 tal y como se indica en
el dibujo (el paralelo de radio mínimo del toro T1 se identifica con un meridiano del toro T2).
12. Calcular el grupo fundamental del espacio que se obtiene al pegar dos toros T1 y T2 tal y como indica
el dibujo (el paralelo de radio mínimo de cada uno de los toros se identifica con un meridiano del otro
toro).

13. Consideremos el subespacio de R 2 siguiente:
W = {(x, y) | x 2 + (y − 1) 2 = 1} ∪ {(x, y) | x 2 + (y + 1) 2 = 1},
que es homeomorfo a S 1 ∨ S 1 . Calcular el grupo fundamental del espacio Y = W × I / (x, y,0) ∼
(−x, −y, 1).
14. Calcular el grupo fundamental del espacio que se obtiene al eliminar n puntos de una superficie
compacta conexa orientable de género g. (Suponer g ≥ 1, n ≥ 1.)
15. Calcular el grupo fundamental de R 3 − K, para cada uno de los subespacios K siguientes:
(a) La unión de tres rectas (no necesariamente disjuntas).
(b) La unión de una recta y una circunferencia.
(c) La unión de dos circunferencias.
16. Calcular el grupo fundamental del exterior en R 3 del nudo trébol.