Análisis dimensional y semejanza hidráulica - Universidad de ...

Análisis dimensional y semejanza hidráulica
1, ∗
Hidráulica (FS–425)
1 Departamento de Física, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile
(Dated: November 9, 2009)
La siguiente lista de problemas corresponde a los problemas
propuestos en el capítulo 6 de la referencia [2]
(traducción de [3]). Se le recomienda consultar el resto
de la bibliografía básica del curso (ver [1, 4–7]) u otros
textos.
1. Comprobar dimensionalmente la expresión τ =
η(dv/dy).
2. Demostrar mediante los métodos del análisis dimensional
que la energía cinética de un cuerpo es
igual a K mv 2 .
3. Mediante los métodos del análisis dimensional
probar que la fuerza centrífuga viene dada por
K mv 2 /r.
4. Un cuerpo cae libremente una distancia s partiendodel
reposo. Desarrollar una ecuación para la velocidad.
Solución: v = K √ sg.
5. Un cuerpo cae libremente durante un tiempo t partiendo
del reposo. Desarrollar una ecuación para la
velocidad.
Solución: v = K gt.
6. Desarrrollar una expresión que dé la frecuencia de
un péndulo simple, suponiendo que es función de
la longitud y de la masa del péndulo y de la aceleración
de la gravedad.
Solución: frecuencia = K g/ℓ.
7. Suponiendo que el caudal Q sobre un vertedero
rectangular varía directamente con la longitud ℓ y
es función de la altura de carga total h y de la aceleración
de la gravedad g, establecér la fórmula del
vertedero.
Solución: Q = K ℓh 3/2 g 1/2 .
8. Establecer la fórmula de la distancia recorrida s
por un cuerpo que cae libremente, suponiendo que
dicha distancia dependela la velocidad inicial v0, el
tiempo t y la aceleración de la gravedad g.
Solución: s = Kv0t(gt/v0) b .
9. Establecer la expresión del número de Froude al ser
éste función de la velocidad v, la aceleración de la
gravedad g y la longitud ℓ.
Solución: Fr = K (v 2 /ℓg) −c .
∗ URL: http://www.uantof.cl/facultades/cs_basicas.htm
10. Establecer la expresión del número de Weber si es
función de la velocidad v, la densidad ρ, la longitud
ℓ y la tensión superficial σ.
Solución: We = K (ρℓv 2 /σ) −d .
11. Establecer un número adimencional que sea función
de la aceleración de la gravedad g, la tensión superficial
σ, la viscosidad absoluta η y la densidad ρ.
Solución: número = K (σ 3 ρ/gη 4 ) d .
12. Suponiendo que la fuerza de arrastre o resistencia
de un barco es función de la viscosidad absoluta
η y de la densidad ρ del fluido, de la velocidad
v, la aceleración de la gravedad g y del tamaño
(longitud ℓ) del barco, establecer la fórmula que da
la resistencia.
Solución: fuerza = ρℓ 2 v 2 /2 φ(Re, Fr).
13. Resolver el problema 6.9 incluyendo los efectos de
la compresibilidad mediante la magnitud celeridad
c, velocidad de propagación del sonido.
Solución: fuerza = ρAv 2 /2 φ(Re, Ma).
14. Demostrar que, para orificios geométricamente semejantes,
la relación de velocidades es esencialmente
igual a la raíz cuadrada de la relación de
alturas de carga.
15. Demostrar que las relaciones de tiempos y de velocidades,
cuando la magnitud predominante es la
tensión superficial, vienen dadas por
y
respectivamente.
Tr =
Vr =
ρr
L
σr
3 r
σr
Lrρr
16. Demostrar que las relaciones de tiempos y de velocidades,
cuando los efectos predominantes son los
elásticos, vienen dadas por
y
respectivamente.
Tr =
Vr =
,
Lr
Er/ρr
Er
ρr
,

17. El modelo de un aliviadero se construye a una escala
1 : 36. Si en el modelo la velocidad y el caudal
desaguado son, respectivamente 0.381 m/s y
0.0708 m 3 /s, ¿cuáles son los valores correspondientes
en el prototipo?
Solución: 2.29 m/s, 550 m 3 /s.
18. ¿A qué velocidad debe ensayarse en un túnel
aerodinámico un modelo de ala de avión de 152 mm
de cuerda para que el número de Reynolds sea el
mismo que en el prototipo de 0.914 m de cuerda y
que se mueve a una velocidad de 145 km/h? En el
túnel el aire está a la presión atmosférica.
Solución: 869 km/h.
19. A través de una tubería de 15.24 cm de diámetro
fluye un aceite (ν = 5.665 × 10 −6 m 2 /s) a una velocidad
de 3.66 m/s. ¿A qué velocidad debe circular
agua a 15.55 ◦ C a través de una tubería de 30.5 cm
de diámetro para que los números de Reynolds sean
iguales?
Solución: 0.37 m/s.
20. A 16 ◦ C fluye gasolina a 3.05 m/s por una tubería
de 100 mm. ¿Qué diámetro debe tener una tubería
que transporta agua a 16 ◦ C a una velocidad de
1.52 m/s para que los números de Reynolds sean
los mismos?
Solución: 338 mm.
21. Agua a 15.5 ◦ C fluye a 3.66 m/s a través de una
tubería de 15.2 cm. Para que exista semejanza
dinámica,
(a) ¿a qué velocidad debe fluir un fuel-oil medio
a 32.2 ◦ C por una tubería de 30.5 cm?
(b) ¿Qué diámetro de tubería se utilizaría si la
velocidad del fuel-oil fuera de 19.2 m/s?
Solución: 4.80 m/s, d = 7.62 cm.
22. Un modelo es ensayado en atmósfera de aire normal
a 20 ◦ C y a una velocidad de 27.45 m/s. ¿A
[1] Yunus A. Cengel, and John M. Cimbala, Fluid Mechanics,
fundamentals and applications, McGraw-Hill, 2004. ISBN
0073044652 (document)
[2] Ronald V. Giles, Jack B. Evett, and Cheng Liu, Mecánica
de los fluidos e hidráulica, McGraw–Hill, Madrid 1994.
ISBN 8448118987 (document)
[3] Ronald V. Giles, Jack B. Evett, and Cheng Liu, Schaum’s
Outline of Fluid Mechanics and Hydraulics, McGraw–Hill
Book Company, New York 1994. ISBN 0070205094 (document)
[4] Robert L. Mott, Applied Fluid Mechanics, Prentice Hall,
2005. ISBN 0131146807 (document)
[5] Yasuki Nakayama, and Robert Boucher, Introduction to
Fluid Mechanics, Butterworth-Heinemann, 1998. ISBN
qué velocidad debe ensayarse sumergido totalmente
en el agua a 15.5 ◦ C de un canal hidrodinámico
para que se satisfagan las condiciones de semejanza
dinámica?
Solución: 2.08 m/s.
23. Un navío de superficie de 156 m de longitud ha de
moverse a 6.83 m/s. ¿A qué velocidad ha de ensayarse
en un modelo geométricamente semejante de
2.44 m de longitud?
Solución: 0.853 m/s.
24. ¿Qué fuerza por metro de longitud se ejercerá sobre
un muro de contención del agua de mar si un
modelo a escala 1 : 36 de una longitud de 0.914 m
experimenta una fuerza de las olas de 120 N?
Solución: 171 kN/m.
25. Un cuerpo anclado está sumergido en agua dulce a
15.5 ◦ C, que fluye a una velocidad de 2.44 m/s. La
resistencia medida sobre en modelo a escala 1 : 5
en un túnel aerodinámico en condiciones normales
es de 20.01 N. ¿Qué fuerza actúa sobre el prototipo
si se dan las condiciones de la semejanza dinámica?
Solución: 96.2 N.
26. Determinar las expresiones de las relaciones o escalas
de velocidades y pérdidas de carga entre modelo
y prototipo para un flujo en que las fuerzas
dominantes son las viscosas y las debidas a la
presión.
Solución: Vr = prLr/ηr, y Hr = Vrηr/γrLr.
27. Obtener una expresión que dé el coeficiente de
fricción f si se sabe que depende del diámetro de
la tubería d, de la velocidad media v, de la densidad
del fluido ρ, de la viscosidad del fluido η y de
la rugosidad absoluta de la tubería ε. Utilizar el
teorema Π de Buckingham.
Solución: f = φ(Re, ε/d).
0340676493
[6] Merle C. Potter, and David C. Wiggert, Mechanics of Fluids,
CENGAGE-Engineering, 2001. ISBN 0534379966
[7] Frank M. White, Fluid Mechanics, McGraw Hill, 2006.
ISBN 0071286462 (document)
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