Una construcción del centro de curvatura en cónicas - Geometría

Centro de curvatura en cónicas
pasa por el punto medio I del arco (no conteniendo a P ) que la cuerda determina, situado en el
diámetro paralelo a la dirección fija P F ′ ; es decir, por el punto de corte de dicha circunferencia
con el eje de la parábola.
Así, a la tangente t2 a Γ2 en P0 (perpendicular a F P0) le corresponde, en la proyectividad
buscada, el punto I intersección del eje de la parábola con p0.
III) La tercera curva no se pude tomar como situación límite de la hipérbola tomada en el caso
de la elipse, pues vuelve a dar, como en el caso I), la recta F P0 (una de sus asíntotas pasaría la
recta del infinito). Ahora, vamos a tomar como curva Γ3 la envolvente la bisectrices vP de F P F ′
(para P sobre p0) y vamos a demostrar que Γ3 toca a p0 en P0, sin describir u obtener la ecuación
de tal envolvente.
Para establecer esto, supongamos que la ecuación de la parábola es y 2 = 2px, con lo que
F (p/2, 0) y P0(y 2 0/(2p), y0). La ecuación de la normal p0 a la parábola en P0 es
y − y0 = − y0
p
x − y2
0
.
2p
Un punto punto genérico de esta recta se puede poner de la forma P (t, y(t)). Si α es el ángulo
que forma la recta F P con el eje de parábola, la bisectriz vP forma un ángulo α π
+ con el eje;
2 2
por lo que su ecuación es
y − y(t) = − cotag α
(x − t).
2
La ecuación paramétrica de la envolvente Γ3, se obtiene resolviendo, en las variables x e y, el
sistema formado por esta ecuación y la que resulta de derivarla, respecto a t:
Como y ′ (t) = −y0/p, se obtiene
−y ′ (t) = α′
2 sen α (x − t) + cotag
2
α
2 .
x = x(t) = t +
y0
p
− cotag α
2
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α
2 sen
2
α ′ .