x - Diquima

Lección 3:!
Conceptos básicos"
m a x f ( x )
x
s . t .
h ( x ) = 0
g ( x ) ≤ 0
x ≤ x ≤
x
m i n m a x
Optimización de procesos químicos. 2012-2013 DIQUIMA-ETSII

m a x f ( x )
x
s . t .
h ( x ) = 0
g ( x ) ≤ 0
x ≤ x ≤ x
m i n m a x
FACTIBILIDAD (FEASIBILITY) Y!
OPTIMALIDAD (OPTIMALITY)!
Un punto es factible si cumple todas las restricciones.
El conjunto de todos los puntos factibles es la región factible (S).
Si en un punto la restricción de desigualdad cumple la igualdad se dice
que dicha restricción está activa.
Un punto es un máximo global en la región factible S si cumple:
f(x*)≥f(x) para todo x ∊ S
Es un máximo global estricto si cumple:
f(x*)>f(x) para todo x ≠x*∊ S
Un punto es un máximo local en la región factible S si cumple:
f(x*)≥f(x) para todo x ∊ S s.t. ∣x-x*∣

Una región es convexa si todos los
puntos de una línea que conecta dos
puntos de la región están en dicha."
CONVEXIDAD!
Optimización de procesos químicos. 2012-2013 DIQUIMA-ETSII

Convexidad y la función objetivo. Una función de x
(vectorial) es convexa si cumple:
f[ γx1 + ( 1− γ ) x2
] ≤ γf(
x1)
+ ( 1−
γ ) f(
x2
Donde 0 ≤ γ ≤ 1."
f(x)
x
CONVEXIDAD!
¿Es convexa esta función?"
Optimización de procesos químicos. 2012-2013 DIQUIMA-ETSII
)

CONVEXIDAD!
La minimización de una función convexa sobre una
región convexa tiene la siguiente propiedad:
Programación
convexa
¡Un mínimo local es también un mínimo global!
Optimización de procesos químicos. 2012-2013 DIQUIMA-ETSII

¿Es convexa la función
objetivo de la figura?!
F(X1, X2)
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
2
CONVEXIDAD!
1
F(X1,X2) = X1 2 + X2 2
0
0
0.5
1
x2 -1
-2
-1.5
-1
-0.5
-2
x1 X2
Optimización de procesos químicos. 2012-2013 X1 DIQUIMA-ETSII
1.5

Determinación de la convexidad de una función!
f(x) es" H(x) es" x T H(x)x Valores
propios"
Strictly
convex"
positive
definite"
Convex" positive semi
definite"
Strictly
concave"
negative
definite"
Concave" negative semi
definite"
>0" >0"
>=0" >=0"

¿Son convexas las siguientes funciones?
f(x)=2x 1 2 -3x1 x 2 +2x 2 2
f(x)=x 1 2 +x1 x 2 +2x 2 +4
f(x)=2x 1 -3x 2 +6
Las siguientes restricciones:
¿forman una región convexa?
-x 1 2 +x2 >=1
x 1 -x 2 >=-2
g 1 (x)=-x 1 2 +x2 -1>=0
g 2 (x)=x 1 -x 2 +2>=0
4" -3"
-3" 4"
0" 0"
0" 0"
-2" 0"
0" 0"
|λI-A|=0
λ 1 =1,λ 2 =7
2" 1"
1" 0"
λ 1 =0,λ 2 =0
convexa
0" 0"
0" 0"
convexa
λ 1 =1+√-8,λ 2 =1-√-8
convexa y
cóncava
convexa y
cóncava
Optimización de procesos químicos. 2012-2013 DIQUIMA-ETSII
??
CONVEXA

OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA"
Es el único procedimiento (frente a optimización gráfica y analítica
que permite abordar problemas complejos.
Problema: dificultad en encontrar el óptimo global en algunos casos.
Normalmente sólo conocemos el valor de un punto (x k y f(x k )) y
alguna información local adicional (derivadas,…)
Procedimiento básico de optimización numérica
1. Determinar un buen siguiente punto que
mejore la función objetivo"
2. Comprobar si se puede seguir mejorando.
Si se puede volver al punto 1."
3. Parar en un mínimo local."
¿Cómo
continuo
?
Optimización de procesos químicos. 2012-2013 DIQUIMA-ETSII

OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA"
Optimización numérica empleando información local
A partir del punto inicial, cómo decidimos:
• La dirección del cambio
• La distancia en esa dirección
• Si es posible mejorar más
x 2
Optimización de procesos químicos. 2012-2013 x DIQUIMA-ETSII
1

La ecuación básica:
x
k+
1
OPTIMIZACIÓN NUMÉRICA"
& x1
$
x
$ 2
=
$ ..
$
% xn
#
!
!
!
!
"
k+
1
x 2
=
x
k
+ αΔx
Optimización de procesos químicos. 2012-2013 DIQUIMA-ETSII
x 1
k
& x1
$
x
$ 2
=
$ ..
$
% xn
#
!
!
!
!
"
k
&Δx
$
Δx
+ α $
$ ..
$
% Δx
1
2
n
#
!
!
!
!
"
k

x
NUMERICAL OPTIMIZATION
Determina el tamaño del cambio
α >0
k+
1
& x1
#
$
x
!
$ 2
= !
$ .. !
$ !
% xn
"
k+
1
=
x
k
+ αΔx
escalar
vector
Optimización de procesos químicos. 2012-2013 DIQUIMA-ETSII
k
& x1
#
$
x
!
$ 2
= !
$ .. !
$ !
% xn
"
k
&Δx
$
Δx
+ α $
$ ..
$
% Δx
1
2
n
#
!
!
!
!
"
Determina la dirección del cambio
Δx >0
k

x
k+
1
NUMERICAL OPTIMIZATION
• ¿Cómo determinamos"
"α and Δx? "
• ¿Cómo sabemos "
cuando parar?"
& x1
#
$
x
!
$ 2
= !
$ .. !
$ !
% xn
"
k+
1
• Debe permanecer en la región
factible"
• No es demasiado grande, hace que
la función objetivo pueda disminuir"
=
x
k
+ αΔx
• Una dirección posible"
• Que mejore la función objetivo"
Optimización de procesos químicos. 2012-2013 DIQUIMA-ETSII
k
& x1
#
$
x
!
$ 2
= !
$ .. !
$ !
% xn
"
k
&Δx
$
$
Δx
+ α
$ ..
$
% Δx
1
2
n
#
!
!
!
!
"
k