Áreas de rectángulos y paralelogramos
Áreas de rectángulos y paralelogramos
Áreas de rectángulos y paralelogramos
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LECCIÓN<br />
CONDENSADA<br />
8.1<br />
En esta lección<br />
<strong>Áreas</strong> <strong>de</strong> <strong>rectángulos</strong> y<br />
<strong>paralelogramos</strong><br />
● Revisarás la fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un rectángulo<br />
● Usarás la fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un rectángulo para encontrar las áreas <strong>de</strong> otras<br />
formas<br />
● Descubrirás la fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un paralelogramo<br />
El área <strong>de</strong> una figura plana es el número <strong>de</strong>l<br />
unida<strong>de</strong>s cuadradas que pue<strong>de</strong>n acomodarse<br />
<strong>de</strong> manera que llenen la figura completamente.<br />
Es probable que ya conozcas varias fórmulas<br />
<strong>de</strong>l área. Las investigaciones en este capítulo<br />
te ayudarán a compren<strong>de</strong>r y recordar las<br />
fórmulas.<br />
Área 15 unida<strong>de</strong>s cuadradas Área 11 unida<strong>de</strong>s cuadradas<br />
En las páginas 422 y 423 <strong>de</strong> tu libro, se analiza la fórmula para el área <strong>de</strong> un<br />
rectángulo. Lee ese texto atentamente. Asegúrate <strong>de</strong> que compren<strong>de</strong>s los<br />
significados <strong>de</strong> base y altura y que la fórmula <strong>de</strong>l área tiene sentido para<br />
ti, y <strong>de</strong>spués completa la conjetura <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un rectángulo <strong>de</strong> tu libro. En el<br />
Ejemplo A <strong>de</strong> tu libro, se muestra cómo la fórmula <strong>de</strong>l área para los <strong>rectángulos</strong><br />
pue<strong>de</strong> ayudarte a encontrar las áreas <strong>de</strong> otras formas. He aquí otro ejemplo.<br />
EJEMPLO A Encuentra el área <strong>de</strong> este cuadrado.<br />
Solución Ro<strong>de</strong>a el cuadrado “inclinado” con un cuadrado <strong>de</strong><br />
7 por 7, con lados horizontales y verticales. Después<br />
resta el área <strong>de</strong> los cuatro triángulos <strong>rectángulos</strong> que<br />
se forman <strong>de</strong>l área <strong>de</strong>l cuadrado que ro<strong>de</strong>a el<br />
cuadrado inclinado.<br />
Cada uno <strong>de</strong> los cuatro triángulos es la mitad <strong>de</strong> un<br />
rectángulo <strong>de</strong> 2 por 5, <strong>de</strong> manera que cada uno tiene<br />
un área <strong>de</strong> 1<br />
2 2 5, ó 5 unida<strong>de</strong>s cuadradas. Por lo tanto,<br />
el área <strong>de</strong>l cuadrado original es (7 7) (4 5) <br />
29 unida<strong>de</strong>s cuadradas.<br />
Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish CHAPTER 8 105<br />
©2008 Key Curriculum Press<br />
(continúa)
Lección 8.1 • <strong>Áreas</strong> <strong>de</strong> <strong>rectángulos</strong> y <strong>paralelogramos</strong> (continuación)<br />
Al igual que con un rectángulo, cualquier lado <strong>de</strong> un paralelogramo pue<strong>de</strong><br />
llamarse base. Una altitud <strong>de</strong> un paralelogramo es cualquier segmento <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un<br />
lado <strong>de</strong>l paralelogramo, perpendicular a ese lado, hasta una recta al lado opuesto.<br />
La altura <strong>de</strong> un paralelogramo es la longitud <strong>de</strong> la altitud. Estudia los diagramas<br />
<strong>de</strong> altitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la página 424 <strong>de</strong> tu libro.<br />
Investigación: Fórmula <strong>de</strong>l área para <strong>paralelogramos</strong><br />
Sigue los Pasos 1 y 2 <strong>de</strong> la investigación <strong>de</strong> tu libro. En el Paso 2, cada nueva forma<br />
que hagas tendrá la misma área que el paralelogramo original, porque simplemente<br />
habrás reor<strong>de</strong>nado las partes, sin añadir o eliminar ninguna pieza.<br />
Forma un rectángulo con las dos partes.<br />
Observa que la base y la altura <strong>de</strong>l rectángulo son iguales que la base y<br />
h<br />
la altura <strong>de</strong>l paralelogramo original. Como las áreas <strong>de</strong>l rectángulo y <strong>de</strong>l<br />
paralelogramo son iguales, el área <strong>de</strong>l paralelogramo es bh. Esto pue<strong>de</strong><br />
resumirse en una conjetura.<br />
Conjetura <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un paralelogramo El área <strong>de</strong> un paralelogramo se<br />
expresa por la fórmula A bh, don<strong>de</strong> A es el área, b es la longitud <strong>de</strong> la base<br />
y h es la altura <strong>de</strong>l paralelogramo.<br />
Si las dimensiones <strong>de</strong> una figura se mi<strong>de</strong>n en pulgadas, pies o yardas, el área se<br />
mi<strong>de</strong> en pulg 2 (pulgadas cuadradas), pies 2 (pies cuadrados) o yardas 2 (yardas<br />
cuadradas). Si las dimensiones se mi<strong>de</strong>n en centímetros o metros, el área se mi<strong>de</strong><br />
en cm 2 (centímetros cuadrados) o m 2 (metros cuadrados). Lee el Ejemplo B <strong>de</strong> tu<br />
libro y <strong>de</strong>spués lee el ejemplo siguiente.<br />
EJEMPLO B Un paralelogramo tiene una altura <strong>de</strong> 5.6 pies y un área <strong>de</strong> 70 pies 2 . Encuentra la<br />
longitud <strong>de</strong> la base.<br />
Solución A bh Escribe la fórmula.<br />
70 b(5.6) Sustituye los valores conocidos.<br />
70<br />
5.<br />
6<br />
b Resuelve para la longitud <strong>de</strong> la base.<br />
12.5 b Divi<strong>de</strong>.<br />
La longitud <strong>de</strong> la base es 12.5 pies.<br />
Altitud<br />
Base<br />
C-75<br />
106 CHAPTER 8 Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish<br />
b<br />
s s<br />
©2008 Key Curriculum Press
LECCIÓN<br />
CONDENSADA<br />
8.2<br />
En esta lección<br />
<strong>Áreas</strong> <strong>de</strong> triángulos,<br />
trapecios y papalotes<br />
● Descubrirás las fórmulas <strong>de</strong>l área para triángulos, trapecios y papalotes<br />
Pue<strong>de</strong>s usar las fórmulas <strong>de</strong>l área que ya conoces para <strong>de</strong>rivar nuevas fórmulas<br />
<strong>de</strong> área. En la primera investigación te concentrarás en triángulos.<br />
Investigación 1: Fórmula <strong>de</strong>l área para triángulos<br />
Sigue el Paso 1 en tu libro para crear y rotular un par <strong>de</strong> triángulos congruentes.<br />
Ya conoces la fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> <strong>rectángulos</strong> y <strong>paralelogramos</strong>. Acomoda los dos<br />
triángulos congruentes <strong>de</strong> manera que formen una <strong>de</strong> estas figuras. Escribe una<br />
expresión para el área <strong>de</strong> toda la figura. Después escribe una expresión para el<br />
área <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los triángulos.<br />
Resume tus <strong>de</strong>scubrimientos completando la conjetura siguiente.<br />
Conjetura <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un triángulo El área <strong>de</strong> un triángulo se expresa por<br />
la fórmula __________________, don<strong>de</strong> A es el área, b es la longitud <strong>de</strong> la<br />
base y h es la altura <strong>de</strong>l triángulo.<br />
A continuación, consi<strong>de</strong>rarás el área <strong>de</strong> un trapecio.<br />
Investigación 2: Fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un trapecio<br />
Sigue los Pasos 1 y 2 <strong>de</strong> tu libro para crear y rotular dos trapecios congruentes.<br />
Pue<strong>de</strong>s acomodar los trapecios <strong>de</strong> manera que formen un paralelogramo.<br />
b 2<br />
h s s<br />
h<br />
b 1<br />
b 2<br />
b 1<br />
¿Cuál es la longitud <strong>de</strong> la base <strong>de</strong>l paralelogramo? ¿Cuál es la altura? Usa tus<br />
respuestas para escribir una expresión para el área <strong>de</strong>l paralelogramo. Después usa<br />
la expresión <strong>de</strong>l área <strong>de</strong>l paralelogramo para escribir una expresión para el área <strong>de</strong><br />
un trapecio.<br />
Resume tus <strong>de</strong>scubrimientos completando la siguiente conjetura.<br />
Conjetura <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un trapecio El área <strong>de</strong> un trapecio se expresa por la<br />
fórmula __________________, don<strong>de</strong> A es el área, b 1 y b 2 son las longitu<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> las dos bases y h es la altura <strong>de</strong>l trapecio.<br />
Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish CHAPTER 8 107<br />
©2008 Key Curriculum Press<br />
C-76<br />
C-77<br />
(continúa)
Lección 8.2 • <strong>Áreas</strong> <strong>de</strong> triángulos, trapecios y papalotes (continuación)<br />
Finalmente consi<strong>de</strong>rarás el área <strong>de</strong> un papalote.<br />
Investigación 3: Fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un papalote<br />
Dibuja un papalote. Dibuja sus diagonales. Sea d 1 la longitud <strong>de</strong> la diagonal que<br />
conecta los ángulos <strong>de</strong>l vértice y sea d 2 la longitud <strong>de</strong> la otra diagonal.<br />
d 1<br />
Recuerda que la diagonal que conecta los ángulos <strong>de</strong>l vértice <strong>de</strong> un papalote lo<br />
divi<strong>de</strong> en dos triángulos congruentes. Consi<strong>de</strong>ra la diagonal rotulada d 1 como la<br />
base <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los triángulos. Después, como la diagonal que conecta los ángulos<br />
<strong>de</strong>l vértice <strong>de</strong> un papalote es la mediatriz <strong>de</strong> la otra diagonal, la altura <strong>de</strong>l<br />
triángulo es 1<br />
2 d 2 .<br />
1_<br />
2<br />
d2 d 2<br />
d 1<br />
d 1<br />
1_<br />
2<br />
d2 Escribe una expresión para el área <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> los triángulos. Después usa la<br />
expresión <strong>de</strong>l área <strong>de</strong>l triángulo para escribir una expresión para el área <strong>de</strong>l<br />
papalote.<br />
Resume tus <strong>de</strong>scubrimientos completando la siguiente conjetura.<br />
Conjetura <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un papalote El área <strong>de</strong> un papalote se expresa por<br />
la fórmula __________________, don<strong>de</strong> A es el área, y d 1 y d 2 son las<br />
longitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las diagonales.<br />
C-78<br />
108 CHAPTER 8 Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish<br />
©2008 Key Curriculum Press
LECCIÓN<br />
CONDENSADA<br />
8.3<br />
En esta lección<br />
Problemas <strong>de</strong> área<br />
● Usarás una diversidad <strong>de</strong> estrategias para aproximar las áreas <strong>de</strong> figuras con<br />
formas irregulares<br />
● Usarás las fórmulas <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> las dos lecciones anteriores para hallar las<br />
áreas <strong>de</strong> figuras más complejas<br />
Ya has <strong>de</strong>scubierto fórmulas para las áreas <strong>de</strong> <strong>rectángulos</strong>, <strong>paralelogramos</strong>,<br />
triángulos, trapecios y papalotes. En esta lección usarás estas fórmulas, junto<br />
con otros métodos, para encontrar las áreas aproximadas <strong>de</strong> figuras con formas<br />
irregulares.<br />
Investigación: Solución <strong>de</strong> problemas con fórmulas <strong>de</strong>l área<br />
En la siguiente página, encontrarás ocho figuras geométricas. Para cada figura,<br />
encuentra una forma <strong>de</strong> calcular el área aproximada. Después anota el área y<br />
escribe una o dos oraciones explicando cómo la encontraste. Pue<strong>de</strong> ser útil trazar<br />
la figura en otro papel.<br />
A continuación se muestran algunas sugerencias <strong>de</strong> métodos para encontrar el<br />
área <strong>de</strong> cada figura. Lee estas sugerencias solamente si no pue<strong>de</strong>s avanzar. Existen<br />
muchas maneras <strong>de</strong> encontrar cada área. Los métodos que uses pue<strong>de</strong>n ser muy<br />
diferentes <strong>de</strong> los aquí <strong>de</strong>scritos.<br />
Figura A Divi<strong>de</strong> la figura en dos <strong>rectángulos</strong>.<br />
Figura B Esta figura es un papalote. Usa lo que aprendiste en la Lección 8.2<br />
para encontrar el área.<br />
Figura C Esta figura es un paralelogramo. Usa lo que aprendiste en la<br />
Lección 8.1 para hallar el área.<br />
Figura D Divi<strong>de</strong> la figura en triángulos.<br />
Figura E Esta figura es un trapecio. Usa lo que aprendiste en la Lección 8.2<br />
para encontrar el área.<br />
Figura F Encuentra el área <strong>de</strong> los dos cuadrados. Recorta las otras dos partes y<br />
reacomódalas para crear una forma reconocible.<br />
Figura G Divi<strong>de</strong> este do<strong>de</strong>cágono en 12 triángulos isósceles idénticos, con los<br />
ángulos <strong>de</strong>l vértice en el “centro” <strong>de</strong>l polígono.<br />
Figura H Traza la figura en un papel cuadriculado. Estima el número <strong>de</strong><br />
cuadrados que caben <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la figura. O bien, dibuja el rectángulo más<br />
gran<strong>de</strong> que quepa <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la forma. Recorta las partes restantes y acomódalas<br />
para crear formas reconocibles.<br />
Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish CHAPTER 8 109<br />
©2008 Key Curriculum Press<br />
(continúa)
Lección 8.3 • Problemas <strong>de</strong> área (continuación)<br />
A<br />
D<br />
E<br />
110 CHAPTER 8 Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish<br />
B<br />
C<br />
H<br />
G<br />
©2008 Key Curriculum Press<br />
F
LECCIÓN<br />
CONDENSADA<br />
8.4<br />
En esta lección<br />
<strong>Áreas</strong> <strong>de</strong> polígonos regulares<br />
● Descubrirás la fórmula <strong>de</strong>l área para polígonos regulares<br />
Pue<strong>de</strong>s dividir un polígono regular en triángulos isósceles congruentes,<br />
dibujando unos segmentos <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong>l polígono a cada vértice.<br />
El centro <strong>de</strong>l polígono es en realidad el centro <strong>de</strong>l círculo circunscrito,<br />
entonces cada uno <strong>de</strong> estos segmentos congruentes se llaman radio<br />
<strong>de</strong>l polígono regular.<br />
En la investigación dividirás polígonos regulares en triángulos. Después<br />
escribirás una fórmula para el área <strong>de</strong> cualquier polígono regular.<br />
Investigación: Fórmula <strong>de</strong>l área para polígonos regulares<br />
La apotema <strong>de</strong> un polígono regular es un segmento perpendicular que va <strong>de</strong>l<br />
centro <strong>de</strong>l círculo circunscrito <strong>de</strong>l polígono a un lado <strong>de</strong>l polígono. La apotema es<br />
también la longitud <strong>de</strong>l segmento. Sigue los pasos en tu libro para encontrar la<br />
fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un polígono regular <strong>de</strong> n lados, con lados <strong>de</strong> longitud s y<br />
apotema a. Tus <strong>de</strong>scubrimientos pue<strong>de</strong>n resumirse en esta conjetura.<br />
Conjetura <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un polígono regular El área <strong>de</strong> un polígono<br />
regular se expresa por la fórmula A 1 asn 2 o A 1 aP, 2 don<strong>de</strong> A es el área,<br />
P es el perímetro, a es la apotema, s es la longitud <strong>de</strong> cada lado y n es el<br />
número <strong>de</strong> lados.<br />
Los ejemplos siguientes te muestran cómo aplicar tus nuevas fórmulas.<br />
EJEMPLO A Un nonágono regular tiene un área <strong>de</strong> 302.4 cm 2 y una apotema <strong>de</strong> 9.6 cm.<br />
Encuentra la longitud <strong>de</strong> cada lado.<br />
Solución Como estás tratando <strong>de</strong> encontrar la longitud <strong>de</strong>l lado, s, tal vez sea más fácil usar<br />
la fórmula A 1 asn. 2 También podrías usar A 1 aP, 2 resolver para P, y <strong>de</strong>spués<br />
dividir el resultado entre 9 (el número <strong>de</strong> lados).<br />
A 1<br />
asn<br />
2<br />
Escribe la fórmula.<br />
302.4 1<br />
(9.6)(s)(9) Sustituye los valores conocidos.<br />
2<br />
302.4 43.2s Multiplica.<br />
302.<br />
4<br />
<br />
43.<br />
2<br />
s Resuelve para s.<br />
7 s Divi<strong>de</strong>.<br />
Cada lado tiene aproximadamente 7 cm <strong>de</strong> largo.<br />
Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish CHAPTER 8 111<br />
©2008 Key Curriculum Press<br />
C-79<br />
(continúa)
Lección 8.4 • <strong>Áreas</strong> <strong>de</strong> polígonos regulares (continuación)<br />
EJEMPLO B Encuentra el área sombreada <strong>de</strong>l pentágono regular PENTA. La apotema mi<strong>de</strong><br />
aproximadamente 2.0 cm. El segmento PE mi<strong>de</strong> aproximadamente 2.9 cm.<br />
P<br />
E<br />
A<br />
Solución Primero, encuentra el área <strong>de</strong> todo el pentágono.<br />
A 1<br />
asn<br />
2<br />
Escribe la fórmula.<br />
A 1<br />
(2.0)(2.9)(5)<br />
2<br />
Sustituye los valores conocidos.<br />
N<br />
A 14.5 Multiplica.<br />
T<br />
El área <strong>de</strong>l pentágono es aproximadamente 14.5 cm 2 . La parte sombreada<br />
constituye 3<br />
<br />
5 <strong>de</strong>l pentágono. (Si divi<strong>de</strong>s el pentágono en cinco triángulos isósceles,<br />
tres estarán sombreados.) Así pues, el área sombreada es <strong>de</strong> aproximadamente<br />
3<br />
5 14.5 cm2 , ó 8.7 cm2 .<br />
112 CHAPTER 8 Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish<br />
©2008 Key Curriculum Press
LECCIÓN<br />
CONDENSADA<br />
8.5<br />
En esta lección<br />
<strong>Áreas</strong> <strong>de</strong> círculos<br />
● Descubrirás la fórmula para el área <strong>de</strong> un círculo<br />
Un rectángulo tiene lados rectos, mientras que un círculo es completamente<br />
curvo. Por eso, tal vez te sorprenda apren<strong>de</strong>r que pue<strong>de</strong>s usar la fórmula <strong>de</strong>l área<br />
<strong>de</strong> un rectángulo para ayudarte a encontrar la fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un círculo. En<br />
la siguiente investigación verás cómo.<br />
Investigación: Fórmula <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un círculo<br />
Sigue los Pasos 1–3 <strong>de</strong> tu libro para crear una figura como la siguiente.<br />
La figura se parece a un paralelogramo con dos lados <strong>de</strong>siguales. Si cortas el<br />
círculo en más cuñas, podrías acomodar estas cuñas más <strong>de</strong>lgadas para que se<br />
parezca más a un rectángulo. No per<strong>de</strong>rías ni ganarías área en este cambio, <strong>de</strong><br />
manera que el área <strong>de</strong> este nuevo “rectángulo” sería la misma que el área <strong>de</strong>l<br />
círculo original. Si pudieras cortar infinitas cuñas, en realidad tendrías un<br />
rectángulo <strong>de</strong> lados lisos.<br />
Los dos lados más largos <strong>de</strong>l rectángulo estarían constituidos por la<br />
circunferencia, C, <strong>de</strong>l círculo. (Cada lado sería la mitad <strong>de</strong> la circunferencia.)<br />
Consi<strong>de</strong>ra uno <strong>de</strong> estos lados como la base. Recuerda la fórmula <strong>de</strong> la<br />
circunferencia <strong>de</strong> un círculo que aprendiste en el Capítulo 6. Ahora usa esta<br />
fórmula para escribir la longitud <strong>de</strong> la base <strong>de</strong>l rectángulo en términos <strong>de</strong> r, el<br />
radio <strong>de</strong>l círculo original.<br />
¿Qué relación hay entre la altura <strong>de</strong>l rectángulo y el círculo original?<br />
Recuerda que el área <strong>de</strong>l rectángulo es igual que el área <strong>de</strong>l círculo original. Usa<br />
esta i<strong>de</strong>a y tus <strong>de</strong>scubrimientos para completar esta conjetura.<br />
Conjetura <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> un círculo El área <strong>de</strong> un círculo se expresa por la<br />
fórmula A _______________, don<strong>de</strong> A es el área y r es el radio <strong>de</strong>l círculo.<br />
Los Ejemplos A y B <strong>de</strong> tu libro muestran cómo usar tu nueva conjetura. Lee estos<br />
ejemplos y <strong>de</strong>spués lee los ejemplos siguientes.<br />
Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish CHAPTER 8 113<br />
©2008 Key Curriculum Press<br />
C-80<br />
(continúa)
Lección 8.5 • <strong>Áreas</strong> <strong>de</strong> círculos (continuación)<br />
EJEMPLO A La circunferencia <strong>de</strong> un círculo es <strong>de</strong> 22 pies. ¿Cuál es el área <strong>de</strong>l círculo?<br />
Solución Usa la fórmula <strong>de</strong> la circunferencia para encontrar el radio. Después usa la<br />
fórmula <strong>de</strong>l área para encontrar el área.<br />
C 2r Escribe la fórmula <strong>de</strong> la circunferencia.<br />
22 2r Sustituye los valores conocidos.<br />
11 r Resuelve para r.<br />
A r 2 Escribe una fórmula para el área.<br />
A (11) 2 Sustituye los valores conocidos.<br />
A 121 Simplifica.<br />
El área es <strong>de</strong> 121 pies 2 , o aproximadamente 380.1 pies 2 .<br />
EJEMPLO B En la pizzería <strong>de</strong> María, una pizza <strong>de</strong> pepperoni con un diámetro <strong>de</strong> 10 pulgadas<br />
cuesta $8, y una pizza <strong>de</strong> pepperoni con un diámetro <strong>de</strong> 12 pulgadas cuesta $10.<br />
¿Cuál tamaño es una mejor compra?<br />
10 pulg<br />
12 pulg<br />
$8 $10<br />
Solución Encuentra el área <strong>de</strong> cada pizza, y <strong>de</strong>spués encuentra el precio por pulgada<br />
cuadrada.<br />
Pizza <strong>de</strong> 10 pulgadas Pizza <strong>de</strong> 12 pulgadas<br />
A r 2 A r 2<br />
(5) 2 (6) 2<br />
25 36<br />
El área es <strong>de</strong> 25 pulg 2 . Para El área es <strong>de</strong> 36 pulg2 .Para<br />
encontrar el costo por pulgada encontrar el costo por pulgada<br />
cuadrada, divi<strong>de</strong> el precio entre cuadrada, divi<strong>de</strong> el precio entre<br />
el área. el área.<br />
8<br />
25<br />
0.10<br />
10<br />
36<br />
0.09<br />
La pizza <strong>de</strong> 10 pulgadas cuesta La pizza <strong>de</strong> 12 pulgadas cuesta<br />
aproximadamente 10¢ por aproximadamente 9¢ por<br />
pulgada cuadrada. pulgada cuadrada.<br />
La pizza <strong>de</strong> 12 pulgadas cuesta menos por pulgada cuadrada, entonces la pizza <strong>de</strong><br />
12 pulgadas es una mejor compra.<br />
114 CHAPTER 8 Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish<br />
©2008 Key Curriculum Press
LECCIÓN<br />
CONDENSADA<br />
8.6<br />
En esta lección<br />
De cualquier forma que<br />
lo rebanes<br />
● Apren<strong>de</strong>rás a encontrar el área <strong>de</strong> un sector, <strong>de</strong> un segmento y <strong>de</strong> una<br />
corona <strong>de</strong> un círculo<br />
En la Lección 8.5, <strong>de</strong>scubriste la fórmula para calcular el área <strong>de</strong> un círculo.<br />
En esta lección apren<strong>de</strong>rás cómo encontrar las áreas <strong>de</strong> tres tipos <strong>de</strong> secciones<br />
<strong>de</strong> un círculo.<br />
Un sector <strong>de</strong> un círculo es la región entre dos radios y un arco <strong>de</strong>l círculo.<br />
Un segmento <strong>de</strong> un círculo es la región entre una cuerda y un arco <strong>de</strong>l círculo.<br />
Una corona circular (annulus) es la región entre dos círculos concéntricos.<br />
A continuación se ilustran los tres tipos <strong>de</strong> secciones.<br />
Sector <strong>de</strong> un círculo Segmento <strong>de</strong> un círculo<br />
Corona circular<br />
Las siguientes “ecuaciones ilustradas” te muestran cómo calcular el área <strong>de</strong> cada<br />
tipo <strong>de</strong> sección.<br />
___ a<br />
360 <br />
___ a<br />
360<br />
r<br />
a°<br />
r<br />
<br />
r 2 A sector<br />
r<br />
a°<br />
Lee los ejemplos <strong>de</strong> tu libro atentamente. Después lee los siguientes ejemplos.<br />
EJEMPLO A R 9 cm y r 3 cm. Encuentra el área <strong>de</strong> la corona circular.<br />
R<br />
r<br />
a°<br />
b<br />
h<br />
r<br />
h<br />
<br />
b<br />
___ a<br />
360 r 2 1_<br />
<br />
2<br />
bh Asegmento R<br />
r<br />
R<br />
<br />
r<br />
<br />
R 2 r 2 A corona circular<br />
Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish CHAPTER 8 115<br />
©2008 Key Curriculum Press<br />
(continúa)
Lección 8.6 • De cualquier forma que lo rebanes (continuación)<br />
Solución A R 2 r 2 La fórmula <strong>de</strong>l área para una corona circular.<br />
(9) 2 (3) 2 Sustituye los valores <strong>de</strong> R y r.<br />
81 9 Evalúa los exponentes.<br />
72 Resta.<br />
El área <strong>de</strong> la corona circular es <strong>de</strong> 72 cm 2 , o aproximadamente 226 cm 2 .<br />
EJEMPLO B El área sombreada es <strong>de</strong> 21 cm 2 . El radio <strong>de</strong>l círculo gran<strong>de</strong> es <strong>de</strong> 12 cm, y el<br />
radio <strong>de</strong>l círculo pequeño es <strong>de</strong> 9 cm. Encuentra x, la medida <strong>de</strong>l ángulo central.<br />
x<br />
Solución Primero, encuentra el área <strong>de</strong> toda la corona circular.<br />
A R 2 r 2 La fórmula <strong>de</strong>l área para la corona circular.<br />
(12) 2 (9) 2 Sustituye los valores <strong>de</strong> R y r.<br />
63 Simplifica.<br />
El área sombreada, 21 cm2 x<br />
, es <br />
360<br />
<strong>de</strong>l área <strong>de</strong> la corona circular. Usa esta<br />
información para escribir y resolver una ecuación.<br />
x<br />
21 360<br />
63<br />
21<br />
360 63<br />
x<br />
120 x<br />
La medida <strong>de</strong>l ángulo central es 120°.<br />
116 CHAPTER 8 Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish<br />
©2008 Key Curriculum Press
LECCIÓN<br />
CONDENSADA<br />
8.7<br />
En esta lección<br />
Área superficial<br />
● Apren<strong>de</strong>rás cómo encontrar las áreas superficiales <strong>de</strong> prismas, pirámi<strong>de</strong>s,<br />
cilindros y conos<br />
Pue<strong>de</strong>s usar lo que sabes respecto a encontrar las áreas <strong>de</strong> figuras planas para<br />
encontrar las áreas superficiales <strong>de</strong> prismas, pirámi<strong>de</strong>s, cilindros y conos. El área<br />
superficial <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> estos sólidos es la suma <strong>de</strong> las áreas <strong>de</strong> todas las caras<br />
o superficies que ro<strong>de</strong>an el sólido. Las caras incluyen las bases <strong>de</strong>l sólido y sus<br />
caras laterales.<br />
En un prisma, las bases son dos polígonos congruentes y las caras laterales son<br />
<strong>rectángulos</strong> u otros <strong>paralelogramos</strong>. En una pirámi<strong>de</strong>, la base pue<strong>de</strong> ser cualquier<br />
polígono y las caras laterales son triángulos.<br />
Bases<br />
Lee “Steps for Finding Surface Area” (los pasos para encontrar el área superficial)<br />
en la página 462 <strong>de</strong> tu libro. El Ejemplo A muestra cómo encontrar el área<br />
superficial <strong>de</strong> un prisma rectangular. Lee el ejemplo atentamente.<br />
Después lee el Ejemplo B, que muestra cómo encontrar el área superficial <strong>de</strong> un<br />
cilindro. Observa que, para encontrar el área <strong>de</strong> la superficie lateral <strong>de</strong>l cilindro,<br />
necesitas imaginar cortar la superficie y aplanarla, <strong>de</strong> manera que obtengas un<br />
rectángulo. Como el rectángulo ro<strong>de</strong>a exactamente la base circular, la longitud<br />
<strong>de</strong> la base <strong>de</strong>l rectángulo es la circunferencia <strong>de</strong> la base circular.<br />
El área superficial <strong>de</strong> una pirámi<strong>de</strong> es el área <strong>de</strong> la base, más las áreas <strong>de</strong> las caras<br />
triangulares. La altura <strong>de</strong> cada cara triangular se conoce como la altura inclinada<br />
(slant height). Usa l para la altura inclinada y h para la altura <strong>de</strong> la pirámi<strong>de</strong>.<br />
Altura<br />
h<br />
l<br />
Cara lateral<br />
Altura inclinada<br />
Base<br />
Cara lateral<br />
Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish CHAPTER 8 117<br />
©2008 Key Curriculum Press<br />
(continúa)
Lección 8.7 • Área superficial (continuación)<br />
Investigación 1: Área superficial <strong>de</strong> una pirámi<strong>de</strong> regular<br />
Las caras laterales <strong>de</strong> una pirámi<strong>de</strong> regular son triángulos isósceles idénticos, y la<br />
base es un polígono regular.<br />
l<br />
b b b b b b b b<br />
Cada cara lateral es un triángulo con una longitud <strong>de</strong> base b y una altura l. ¿Cuál<br />
es el área <strong>de</strong> cada cara?<br />
Si la base es un n-ágono, entonces hay n caras laterales. ¿Cuál es el área total <strong>de</strong> la<br />
superficie lateral <strong>de</strong> la pirámi<strong>de</strong>?<br />
¿Cuál es el área <strong>de</strong> la base en términos <strong>de</strong> a, b y n?<br />
Usa tus expresiones para escribir una fórmula para el área superficial <strong>de</strong> una<br />
pirámi<strong>de</strong> n-agonal regular en términos <strong>de</strong>l número <strong>de</strong> lados n, la longitud <strong>de</strong> la<br />
base b, la altura inclinada l y la apotema a.<br />
Usando el hecho <strong>de</strong> que el perímetro <strong>de</strong> la base es nb, escribe otra fórmula para<br />
el área superficial <strong>de</strong> una pirámi<strong>de</strong> n-agonal regular en términos <strong>de</strong> la altura<br />
inclinada l, el apotema a y el perímetro <strong>de</strong> la base, P.<br />
En la siguiente investigación encontrarás el área superficial <strong>de</strong> un cono con un<br />
radio r y una altura inclinada l.<br />
Investigación 2: Área superficial <strong>de</strong> un cono<br />
Al incrementarse el número <strong>de</strong> caras <strong>de</strong> una pirámi<strong>de</strong>, ésta comienza a verse<br />
como un cono. Pue<strong>de</strong>s concebir la superficie lateral como muchos triángulos<br />
<strong>de</strong>lgados o como un sector <strong>de</strong> un círculo. Pue<strong>de</strong>s reacomodar los triángulos<br />
para formar un rectángulo.<br />
r<br />
l<br />
l<br />
Usa los diagramas para ayudarte a escribir una fórmula para el área <strong>de</strong> la<br />
superficie lateral en términos <strong>de</strong> r y l.<br />
Usando la expresión para un área <strong>de</strong> la superficie lateral y una expresión para el<br />
área <strong>de</strong> la base, escribe una fórmula para el área superficial <strong>de</strong>l cono.<br />
2r<br />
b<br />
b b<br />
b b<br />
a<br />
118 CHAPTER 8 Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish<br />
b<br />
r<br />
r<br />
b<br />
b<br />
l<br />
(continúa)<br />
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Lección 8.7 • Área superficial (continuación)<br />
El Ejemplo C <strong>de</strong> tu libro te muestra cómo aplicar la fórmula para el área superficial<br />
<strong>de</strong> un cono. Lee el Ejemplo C atentamente. Después lee el ejemplo siguiente.<br />
EJEMPLO Encuentra el área superficial <strong>de</strong> este sólido. D 10, d 6, h 14.<br />
d<br />
D<br />
h<br />
Solución El área superficial es el área <strong>de</strong> la superficie lateral <strong>de</strong>l cilindro externo, más el<br />
área <strong>de</strong> la superficie lateral <strong>de</strong>l cilindro interno, más el área <strong>de</strong> las dos bases, que<br />
son coronas circulares.<br />
Área <strong>de</strong> la superficie lateral <strong>de</strong>l cilindro externo 2D 2 h 2<br />
10<br />
(14) 140 cm2<br />
2<br />
Área <strong>de</strong> la superficie lateral <strong>de</strong>l cilindro interno 2 d<br />
2 h 2<br />
6<br />
(14) 84 cm2<br />
2<br />
Área <strong>de</strong> una base D 2<br />
2<br />
d<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
10 6<br />
16 cm 2<br />
Entonces,<br />
Área superficial total 140 84 2(16) 256 cm2 804 cm2 .<br />
Discovering Geometry Con<strong>de</strong>nsed Lessons in Spanish CHAPTER 8 119<br />
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