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MATEMÁTICAS 1º DE EMPRESARIALES
TEMA 4: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. SUCESIONES Y SERIES
DE NÚMEROS REALES
Φ
4.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.
• DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE R:
Existe un conjunto R con dos operaciones suma (+) y producto (.) y con una
relación ≤ de modo que se verifican los siguientes axiomas:
1. Se verifica la propiedad conmutativa para las dos operaciones.
2. Se verifica la propiedad asociativa para las dos operaciones.
3. Existen dos números reales distintos, 0 y 1 tales que para cualquier número real
a+0=a, y a.1=a. Además existen –a y a -1 (si a distinto de 0) tales que a+(-a)=0 y
a.(a -1 )=1.
4. a(b+c)=ab+ac para todo a, b y c números reales.
5. Se verifica:
a) a ≤ a (reflexiva)
b) Si a ≤ b y b ≤ a entonces a=b (antisimétrica)
c) Si a ≤ b y b ≤ c ≤ entonces a ≤ c (transitiva)
6. R está totalmente ordenado, es decir dados a y b se verifica o a ≤ b o b ≤ a.
7. Si a ≤ b y c es un número real a+c ≤ b+c
8. Si a ≤ b y c es un número real mayor que cero entonces a.c ≤ b.c.
9. Todo conjunto de números reales acotado y distinto del vacío posee extremo
superior.
DEFINICIONES:
- Un conjunto A de números reales es acotado superiormente si existe M, número
real, tal que a ≤ M para todo a perteneciente a A.
- Un conjunto A de números reales es acotado inferiormente si existe m, número
real, tal que m ≤ a para todo a perteneciente a A.
- Un conjunto A de números reales es acotado si está acotado superior e
inferiormente.
- El extremo superior o supremo de un conjunto es la menor de las cotas
superiores.
- El extremo inferior o ínfimo de un conjunto es la mayor de las cotas inferiores.
CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS:
• POR SER GRUPO ABELIANO:
- Unicidad del neutro para la suma
- Unicidad del opuesto para la suma
- Leyes de simplificación
• POR SER ANILLO:
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Φ - a.0=0 (el cero es absorbente)
- La regla de los signos.
• POR SER CUERPO:
- Si a.b=0 entonces a=0 o b=0.
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- Unicidad del neutro para el producto.
- Unicidad del inverso para el producto.
• VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
- DEFINICIÓN: X =
2
X .
- PROPIEDADES:
1. ⎧ X SI X ≥ 0
X = ⎨
⎩−
X SI X ≤ 0
2. X = MÁX { X , −X
}
3. X ≥ 0
4. X + Y ≤ X + Y
5. |X.Y|=|X|.|Y|
6. |X|=0 entonces X=0
7. Si x es distinto de cero
8.
9.
1
=
x
x ≤ ε ⇔ − ε ≤ x ≤ ε
x − y ≤ x − y
• TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL
1
x
Sea A un conjunto de elementos cualquiera definimos distancia o métrica sobre A
como una aplicación d: AxA → R + verificando:
1. d(x,y)=0 si y sólo si x=y.
2. d(x,y)=d(y,x).
3. d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z).
M=(A,d) se denomina espacio métrico.
Si consideramos R como espacio vectorial sobre sí mismo la siguiente aplicación
d(x,y) = |x-y| cumple:
1. d(x,y)=0 implica |x-y|=0 si y solo si x-y=0 es decir x=y.
2. d(x,y)=| d(y,x).
3. d(x,y) ≤ d(x,z)+d(y,z).
Y por lo tanto es una métrica sobre R. Por lo tanto, R tiene estructura de espacio
métrico al que denominaremos recta real.
DEFINICIONES:
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- Sea a un número real y r un número real mayor que cero definimos entorno
abierto de centro a y radio r como el conjunto de puntos de la recta real tales
que d(x,a)

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4.2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
Sucesión es cualquier aplicación de N en R
Una sucesión puede venir dada en forma de lista { 1,5,9,...}, mediante una
fórmula n+4, a esta fórmula se le denomina término general y se denota an, o
escribiendo el término general en relación con los anteriores, a lo que se denomina
recurrencia, a1=1, an=4+an-1
DEFINICIONES
an es monótona no decreciente si a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ...
an es monótona creciente si a1an>...
an es acotada si el conjunto {an / n = 1,2, ...} es un conjunto acotado.
CONVERGENCIA
Concepto de límite de una sucesión
Una sucesión an de números reales es convergente hacia un número real a si para
todo ε >0 existe n0∈N tal que si n ≥ n0 entonces |an-a|< ε
En este caso se dice que {an} tiene como límite al número a cuando n tiende a
infinito y se escribe a = a .
lim n
n→∞
Una sucesión no convergente se denomina divergente.
Teorema de Bolzano:
Enunciado:
Toda sucesión de números reales acotada y monótona tiene límite.
Demostración:
Supongamos que la sucesión es monótona no decreciente.
Por ser acotada el conjunto S= {an / n = 1,2, ...} estará acotado superiormente, como
es no vacío por el axioma del supremo existirá un supremo de dicho conjunto al que
denominaremos s.
Vamos a demostrar que s es el límite de la sucesión.
Sea ε , por ser s supremo del conjunto s - ε no será cota superior de S, es decir
existirá n0 tal que an0>s- ε , es decir 0 ≤ s- an0< ε ,
por lo tanto como si n ≥ n0 an>an0 entonces |s-an| ≤ | s- an0|< ε
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Ejercicio: demostrar, como aplicación del Teorema de Bolzano, que la sucesión
n
⎪⎧
⎛ 1 ⎞ ⎪⎫
⎨⎜1
+ ⎟ ⎬ tiene límite, a dicho límite se le denomina número e.
⎪⎩ ⎝ n ⎠ ⎪⎭
PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES CONVERGENTES:
1. Unicidad del límite
2. Toda sucesión convergente está acotada.
3. El límite de la suma de dos sucesiones convergentes es la suma de los límites.
4. El límite del producto de dos sucesiones convergentes es el producto de los
límites.
5. Si { } a
an → , a ≠ 0 , ≠ 0 ∀n
entonces
a n
6. Si { an } → a , entonces { | an | } → | a |
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⎧ 1 ⎫ 1
⎨ ⎬ →
⎩a
n ⎭ a
7. Si { an } → a , { bn} → a , y an ≤ cn
≤ bn
para todo n, entonces { cn} → a
8. Si an ≤ bn
para todo n, { an } → a , y { bn} → b entonces a ≤b.
SUBSUCESIONES
Dada una sucesión { a n}
, si de sus términos escogemos unos cuantos aj1, aj2, ..., ajn, ...
verificándose j1k.
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Φ Por ejemplo, la sucesión {n 2 }
Una sucesión de números reales {an} tiene como límite menos infinito si para todo
número real k mayor que cero, existe n0 ∈N tal que si n ≥ n0 entonces an< -k..
Por ejemplo {-n 2 }
Toda sucesión de números reales creciente no acotada superiormente tiene límite
infinito.
Toda sucesión de números reales decreciente no acotada inferiormente tiene límite
menos infinito.
Si { a n}
tiene por límite infinito, entonces { − a } tiene por límite –infinito.
Si { an } → a y { bn} → b entonces:
• Si a= ∞ y b real { a n + bn}
→ ∞
• Si a y b son infinitos, el límite de la suma es infinito.
• Los dos resultados anteriores se dan con menos infinito.
• Si a es infinito y b menos infinito, no podemos asegurar nada.
a . →
• Si a es infinito y b>0 { } ∞
n n b
n bn
• Si a es infinito y b0 { a n. bn}
→ −∞
− ∞ y b0 si n ≥ n1 entonces ∞
• Si a=0 y an

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CRITERIO DE STOLTZ
a n − a n−1
Sean {an }y {bn} sucesiones de números reales tales que lim = L , siendo L
n→∞
b n − b n−1
de la recta real ampliada. Si {bn} es estrictamente creciente y tiende a infinito,
a n
entonces lim = L .
n→∞
b
n
4.3. SERIES DE NÚMEROS REALES
Sea {xn} una sucesión de números reales, vamos a construir por recurrencia una
nueva sucesión a partir de ella:
S1=x1.
S2=x1+x2
................
Sn=x1+x2+...+xn
...........................
A cada elemento de {Sn} se le denomina suma parcial de orden n.
A la sucesión {Sn} se le denomina serie de término general xn y la denotaremos
simbólicamente como ∑ ∞
x .
Diremos que la serie∑ ∞
n=1
n=1
n
n
x converge a s∈ R si la sucesión {Sn} converge a s. En este
caso a s le denominamos suma de la serie numérica. Si {Sn} diverge, la serie se
denomina divergente.
PROPOSICIÓN
Si añadimos o suprimimos un número finito de términos de una serie no se modifica
la naturaleza de la misma.
TEOREMA DE CAUCHY
∑ ∞
m
x n converge si y sólo si para todo ε >0 existe M∈N tal que si ∑
n=1
k=
1
m>n ≥ M
COROLARIO
Si ∑ ∞
x n converge entonces lim x n =0.
n→∞
n=1
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x < ε para todo
k
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La condición enunciada en el corolario anterior es necesaria para la convergencia
pero no es suficiente ya que la serie armónica ∑ ∞ 1 1
no converge aunque lim = 0 .
SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS
Una serie ∑ ∞
n=1
PROPOSICIÓN
x es de términos no negativos si lo son los valores xn.
n
n=1
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n
n→∞
Una serie de términos no negativos converge si y solo si la sucesión de sumas
parciales es acotada.
∑ y n es mayorante de ∑ x n ,∑ n ∑
que yn.
x , si para todo n, xn es menor o igual

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PROPOSICIÓN(Serie geométrica)
Consideremos la serie ∑ ∞
si a ≥ 1 es divergente
PROPOSICIÓN
n=1
n
a , si 0 ≤ a1, la serie es
p
n=1
n
convergente, y si p ≤ 1 es divergente.
PROPOSICIÓN (Criterio de Pringsheim)
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a
1−
a
,
Sean ∑ ∞
x n y ∑
n=1
∞ 1 p x n
, elijamos p de forma que lím n x
p
n = lím = k ≠ 0 . Si p>1, la
n=1
n
n→∞
n→∞
1
p
n
serie converge, en caso contrario diverge.
PROPOSICIÓN(Criterio de la raíz de Cauchy)
Dada ∑ ∞
x n de términos positivos, sea λ = lim n x
n→∞
n=1
a) Si λ 1, la serie diverge.
c) Si λ =1, el criterio de la raíz no da información alguna sobre la convergencia o
divergencia de la serie.
PROPOSICIÓN(Criterio del cociente de D´Alembert)
Dada ∑ ∞
x n 1
x de términos positivos, sea λ = lim +
.
n=1
n
n→∞ x n
a) Si λ 1, la serie diverge.
x n+ 1
c) Si λ =1 y ≥ 1 a partir de cierto n entonces la serie diverge.
x
SERIES ALTERNADAS
∑ ∞
n=1
n
x es alternada si y sólo si x2n-1 ≥ 0 y x2n ≤ 0.
n
n
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Ejemplo la serie armónica ∑ ∞
TEOREMA
n=
1
−
1
n
n+
1
( 1)
.
Si la sucesión de sumas parciales de la serie ∑ ∞
que
a) y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn ≥ ....
b) y = 0
lim n
n→∞
Entonces la serie ∑ ∞
n=1
xn yn
converge.
Como caso particular la serie∑ ∞
Una serie ∑ ∞
n=1
n
n=
1
( −1)
n=1
n+ 1
yn converge
x es absolutamente convergente si ∑ ∞
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x es acotada y la serie ∑ ∞
n
n=1
n=1
| x n | es convergente.
y n es tal
Si una serie es absolutamente convergente, es convergente. El recíproco no es cierto
y además se verifica ∑ x n ∑ x n .
∞
n=
1
∞
≤
n=
1
SUMA DE SERIES NUMÉRICAS
No siempre es posible calcular la suma de una serie convergente, veremos unos
ejemplos en los que sí es posible.
a) Series geométricas.
Son aquellas en las que xn=ar n con a y r números reales, si |r| ≥ 1, la serie diverge
x1 y en caso contrario converge, en este caso s=
1−
r
.
b) Suma por descomposición.
p(
n)
Se aplica al caso en el que xn= , siendo el grado de q(n) ≥ grado de p(n)+2.
q(
n)
p(
n)
Descomponemos q(n) en factores, por lo tanto xn=
.
( n − n )( n − n )...( n − n )
Descomponemos xn en la suma de p sumandos:
p(
n)
A1
A 2
xn= = +
q(
n)
( n − n ) ( n − n
A p
+...+
) ( n − n
.
)
1
2
Con esta nueva expresión construimos las sumas parciales, se irán anulando
sumandos y nos quedará un límite fácil de calcular.
p
1
2
p
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c) Series hipergeométricas.
Son aquellas en las que
x n
x
+ 1
n
an + b
= con a+b-c ≠ 0, en este caso
an + c
x n ( na + b)
− x1c
Sn=
.
a + b + c
Con lo que el carácter de la serie y su suma es fácilmente obtenible.
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